Egalisation v Eleves 2012-2013

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  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    INTRODUCTION A LEGALISATION EN

    COMMUNICATIONS NUMERIQUES

    ENSIL ELT 3me anne -2012/2013

    Anne JULIEN-VERGONJANNE

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    Table des matires

    CHAPITRE I ........ Dfinition de lgalisation ................................................ 3

    1......

    Introduction ............................................................................................................... 32. .... La chane de transmission ......................................................................................... 3

    2.1 Rappel : Critre de Nyquist ................................................................................................. 32.1 Modle discret quivalent .................................................................................................... 5

    3. .... Classification ............................................................................................................. 74. .... Performances ............................................................................................................. 8

    CHAPITRE II ...... Egalisation Linaire ........................................................ 101...... Introduction ............................................................................................................. 102. .... Critre du Zro Forcing (ZF) ............................................................................... 12

    2.1 Enonc du critre ZF......................................................................................................... 122.2 Rapport signal bruit ........................................................................................................ 13

    2.3 Mise en uvre pratique du critre ZF ............................................................................... 14

    2.4 Exercice sur le ZF ............................................................................................................. 162.5 Utilisation de MATLAB .................................................................................................... 162.6 Conclusion ......................................................................................................................... 17

    3. .... Egaliseur MMSE ( Minimum Mean Square Error ) ........................................... 173.1 Principe .............................................................................................................................. 173.2 Mise en oeuvre .................................................................................................................. 183.3 Exercice ............................................................................................................................. 193.5 Conclusion ......................................................................................................................... 20

    CHAPITRE III .... Simulation dgaliseurs linaires avec MATLAB ........... 211...... Egaliseur ZF ............................................................................................................ 21

    1.1 Exemple du chapitre II ..................................................................................................... 21

    1.2 Canal dfini par une quation .......................................................................................... 23

    1.3 Impact du bruit ................................................................................................................. 252. .... Egaliseur MMSE ..................................................................................................... 26

    2.1 Exemple du chapitre II .................................................................................................... 262.2 Impact du bruit ................................................................................................................ 28

    3. .... Matlab - Simulink ................................................................................................... 31a. ..... Test sur une modulation damplitude MDA-4 .............................................................. 31b...... Test sur une modulation de phase MDP-4 .................................................................... 33

    CHAPITRE IV..... Egalisation adaptative .................................................... 341...... Introduction ............................................................................................................. 342. ....Algorithme LMS ( Least Mean Square ) ............................................................. 35

    3.....

    Simulation dgalisation adaptative avec Matlab ................................................... 374. .... Simulation dgalisation adaptative avec Matlab Simulink .............................. 39

    5. ....Algorithme RLS ( Recursive Least Square ) ........................................................ 406. .... Egalisation autodidacte ........................................................................................... 41

    CHAPITRE V....... Egalisation non linaire retour de dcision ................ 431...... Introduction ............................................................................................................. 432. .... Filtre annuleur .................................................................................................... 443. .... Structure retour de dcision ou DFE ................................................................... 47

    Annexe 1 : ................. Filtre de NYQUIST ........................................................ 49Annexe 2 : ................. Filtre Blanchissant .......................................................... 51Rfrences .............. 52

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    CHAPITRE I Dfinition de lgalisation

    1. IntroductionLes performances dun systme de transmission numrique sexpriment en termes de

    FIABILITE. Elle peut tre assure par :

    a) le codage de canal, ou codage correcteur derreur ( Forward Error Correction FEC)

    (cours de V. Meghdadi, M1) qui introduit de la redondance dans le message mis.

    b) lgalisation qui permet dexploiter au mieux la bande passante du canal en compensant

    en rception les distorsions introduites par le milieu de transmission, les quipements

    lectroniques etc

    Il existe en fait deux approches :

    c) une approche optimale (algorithme de Viterbi : cours de JP Cances) qui consiste

    dterminer les donnes mises, par lapplication du critre du Maximum de

    Vraisemblance (MV) ; cest une mthode souvent lourde en complexit.

    d) une approche sous optimale quon appelle EGALISATION :

    o en labsence de bruit, lgaliseur est un simple filtre inverse dont le rle est de

    rendre plate la rponse frquentielle de lensemble (canal + galiseur)

    o en prsence de bruit, le filtre inverse amplifie le bruit et un autre critre est utilis

    afin deffectuer un compromis entre rduction du bruit et des interfrences

    (critre de lerreur quadratique moyenne)

    2. La chane de transmission2.1 Rappel : Critre de Nyquist

    Avant transmission sur le canal, les signaux sont moduls et dmoduls en rception.

    On se place dans le cours, dans le concept de la modlisation bande de base , qui consiste

    considrer que lopration modulation dmodulation est transparente.

    Dans ce cas, la chane de transmission est modlise de la faon suivante :

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    4

    Figure 1 Modle bande de base dune chane de transmission sur canal dispersif

    p(t) reprsente la rponse impulsionnelle quivalente )(*)( thth ct ; le bruit b(t) est additif

    gaussien, centr de DSP bilatrale N0/2.

    Le rcepteur doit extraire de {x(t)}, une suite discrte {yk} permettant de prendre les dcisions.

    On pose H(f) = Ht(f).Hc(f).Hr(f) = P(f). Hr(f). Dans ce cas, labsence dinterfrence entresymboles (IES) se traduit par le critre de Nyquist :

    +

    =

    =n

    TT

    nfH )( (1)

    Pour une rapidit de modulation R=1/T la bande requise B pour ne pas avoir d IES doit tre

    suprieure ou gale 1/2T en Hz en bande de base. Cette condition fixe le dbit maximum

    possible sans IES lorsque la bande du canal est fixe.

    Lorsquon considre une rapidit de modulation R< 2B, la fonction globale de filtrage H(f)

    satisfaisant (1) et utilise couramment est la fonction cosinus surlev (annexe 1). Pour que la

    probabilit derreur soit minimale, on a vu (cours de 2me anne) que H(f) doit tre rparti en

    amplitude quitablement entre mission rception (filtres en racine de cosinus surlev ).

    Le principal problme de cette mthode est quil faut connatre la rponse du canal avant de

    dterminer les filtres dmission et de rception.

    ky

    )()()( tbnTtpatxn

    n += )(ty

    )t(x =

    k

    tk kTthatm )()( =k

    k kTtata )()(

    CodageBits 0,1

    AWGN

    Mise en

    forme

    ht(t) ; Ht(f)

    CANAL

    hc(t) ;Hc(f)

    Filtre de

    rception

    hr(t) ; Hr(f)

    kT

    ka

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    Une alternative est de fixer le filtre dmission et de choisir le filtre de rception qui satisfait (1)

    (filtres en racine de cosinus surlev ). Il faut donc rajouter un lment en rception pour

    compenser l IES due au canal. En pratique, on choisit un schma constitu dun simple filtre

    analogique Hr(f) suivi dun chantillonneur et dun filtre numrique appel Egaliseurqui permet

    dliminer lIES :

    Figure 2 Rception en prsence dgaliseur

    Lavantage principal dune telle approche est quun filtre numrique galiseur est facile raliser.

    Cest cette approche que nous appelons EGALISATION.

    2.1 Modle discret quivalent

    Lobjectif est de dfinir le filtre galiseur capable de rduire ou supprimer lIES. Pour cela , on

    transforme la chane de communication en un modle quivalent discret plus simple traiter.

    Dans un premier temps, au lieu de considrer le bruit additif avant le filtre de rception, on

    considre le bruit filtr appel bruit color ( figure 3 (a)).

    Figure 3 (a) Modle du systme de communication quivalent discret en prsence de bruit color

    Le bruit color est le bruit gaussien en sortie du filtre de rception.

    ky

    )()()( tbnTtpatxn

    n += )(ty

    Filtre de

    rception

    hr(t) ; Hr(f)kT

    ka Egaliseur

    ka ky =

    k

    k kTtata )()(

    Bruit

    color

    ht(t) ; Ht(f) CANALhc(t) ;Hc(f)

    kT

    hr(t) ; Hr(f) Egaliseur

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    Dans ce cas, on peut grouper les 3 blocs de filtres linaires Ht(f), Hc(f) et Hr(f) en un seul bloc

    de fonction de transfert quivalente H(f) :

    Figure 3 (b) Modle du systme de communication quivalent discret en prsence de bruit color

    On peut crire : + +=+=

    kn

    knknn

    0kknknk whahawha'y (2)

    Avec wkchantillon de bruit color.

    Lgaliseur est compos de deux parties : un filtre blanchissant de fonction de transfert Hw(f),

    dont le rle est de rendre indpendant les chantillons du bruit, et un circuit dgalisation.

    Hw(f) dpend uniquement de Hr(f) et peut tre dtermin priori ( annexe 2).

    Posons G(z)=H(z)Hw(z). Le systme quivalent discret de la source la sortie du filtre

    blanchissant peut alors se reprsenter de la manire suivante :

    Figure 4 Modle du systme de communication quivalent discret

    Avec la fonction de transfert du canal quivalent discret :

    =

    k

    kkzg)z(G , =

    k

    jkfT2keg)f(G

    On aura dans ce cas :

    + +=+=

    kn

    knknn

    0kknknk w~gagaw~gay~ (3)

    Le circuit galiseur doit liminer lIES la sortie du canal quivalent discret G(z).

    Supposons que lgaliseur soit un filtre linaire de fonction de transfert H E(z) et de rponse

    impulsionnelle {hEk}. A la sortie du filtre galiseur on aura : = j

    jk,Ejk hy~z

    k'y ka =k

    k )kTt(a)t(a

    Bruit

    color

    H(f), h(t)

    kT

    Egaliseur

    ky~

    ka

    ka

    kw~

    Bruit AWGN

    G(z) HE(z)

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    3. ClassificationUn problme dgalisation est donc un problme de filtrage. En gnral, on classifie les

    galiseurs en deux grandes catgories :

    e) les galiseurs linaires ou transverses

    f) les galiseurs non linaires ou retour de dcision

    On peut galement grouper les galiseurs suivant quils sont :

    g) dtermins lavance (lorsque le canal est connu et ne varie pas)

    h) adaptatifs (lorsque par exemple le canal varie au cours du temps) .On distingue dans ce

    cas deux catgories : les galiseurs adaptatifs par squence dapprentissage (connue du

    rcepteur) pour assurer la convergence et les galiseurs sans squence dapprentissage ou

    autodidactes.

    Rsum :

    EGALISEUR Type : Linaire ou Non linaire Structure : Transverse (MA),

    Rcursive (AR), ARMA Algorithme : adaptatif, autodidacte ou pas dalgorithme (canal connu).

    On peut galement distinguer deux cas dgalisation en fonction de lchantillonnage :

    i) si les symboles sont chantillonns 1 point par symbole

    j) si les symboles sont chantillonns plusieurs points par symbole (galiseur fractionn)

    Lgalisation fractionne consiste travailler avec plusieurs chantillons par dure

    symbole. Le choix le plus courant est 2 points / symbole, cest un bon compromis

    complexit performances qui rend le filtre galiseur moins sensible une erreur sur

    linstant dchantillonnage.

    Rappels sur le filtrage numrique :

    Un filtre numrique est un algorithme de calcul par lequel une squence { })(nx est transforme

    en { })(ny .

    Trois oprations sont ncessaires : addition, multiplication, retard.

    Lalgorithme dun filtre linaire et causal (LTI) se dfinit partir dune relation de rcurrence :

    = =

    =M

    k

    N

    j

    jk jnybknxany

    0 1

    )()()(

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    Pour un filtre linaire causal : =k

    khknxny )().()( n , cest une convolution.

    La rponse impulsionnelle { })(nh est dfinie par:

    =

    =0

    )()(n

    nznhzH

    La fonction de transfert H(z) du filtre scrit :)(

    )(

    1

    )(

    )()(

    1

    0

    zD

    zN

    zb

    za

    zX

    zYzH

    N

    j

    jj

    M

    k

    kk

    =

    +

    ==

    =

    =

    Un ple du filtre est une racine de D(z)=0 ( le filtre est stable si tous les ples ont un module

    infrieur 1)

    Un zro est une racine de N(z)=0

    Filtre rponse impulsionnelle finie (RIF) ou transverse: =

    ==

    M

    k

    kkza

    zX

    zYzH

    0)(

    )()(

    Filtre rponse impulsionnelle infinie (IIF) ou rcursif:

    =

    =

    +

    =N

    j

    jj

    M

    k

    kk

    zb

    za

    zH

    1

    0

    1

    )(

    4. PerformancesLe critre du minimum de la probabilit derreur est le plus adapt dans tout systme de

    communication numrique. Mais en pratique il est difficile de raliser des dispositifs sur ce

    critre, on a donc besoin dautres indicateurs de performance.

    x(n-k)x(n-2)x(n-1)

    h(k)h k-1h(2)h(1)h(0)

    z-

    z-

    z-

    z-

    y(n)

    x(n)

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    k) l EQM (Erreur Quadratique Moyenne) : utilise comme critre dans la conception de

    certains galiseurs, elle permet galement de chiffrer les performances dun galiseur.

    l) Le diagramme de lil : obtenu en superposant toutes les trajectoires possibles de la sortie

    du canal ou de lgaliseur sur une dure symbole. Il est utilis pour mesurer

    qualitativement le degr dInterfrence Entre Symboles (IES).

    m) Les interfrences rsiduelles : en sortie de lgaliseur, il est intressant de quantifier le taux

    dinterfrences rsiduelles. Cette donne permet de chiffrer lcart entre la rponse

    globale ( chane + galiseur) et celle dun dirac.

    2max

    2max

    2

    s

    ss

    ISI kk

    =

    avec s rponse impulsionnelle liant les donnes mises aux donnes en sortie de

    lgaliseur.

    maxs est la composante la plus grande du module de s.

    On dfinit galement le maximum de distorsion :max

    max

    s

    ss

    MD kk

    =

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    CHAPITRE II Egalisation Linaire

    1. IntroductionLes chantillons reus scrivent : + +=+=

    knknkn

    n0kknknk w

    ~gagaw~gay

    o kw~ est un chantillon de bruit additif gaussien centr (AWGN) de variance

    )~(22

    kwE= .

    Lide gnrale consiste appliquer un filtre galiseur HE(z) aux chantillons yk pour

    compenser le canal quivalent G(z) dfini au Chapitre I.

    Le problme est : sur quel critre choisir HE (z) ?

    Considrons un filtre transverse (2N+1) coefficients. Les galiseurs transverses sont les plus

    simples mettre en uvre. En effet, il sagit simplement dutiliser un filtre numrique

    rponse impulsionnelle finie pour lesquels les mthodes de calcul et dimplantation sont bien

    connues.

    =+

    =

    N

    Nnn,Eh)nk(y)k(z

    kz ky ka

    ka

    kw~

    Bruit AWGN

    G(z) HE(z)+

    y(n-k)y(n-1)

    hE(N)hE(N-1)hE(-N+1)hE(-N)

    z-1 z-1 z-1 z-1

    zk

    yk

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    k reprsente le temps qui scoule de -2N 2N pour (2N+1) chantillons dentre :

    On peut crire la relation de convolution sous la forme matricielle: Z=Y.HE

    Avec :

    +

    =

    )2(

    )0(

    )12(

    )2(

    Nz

    z

    Nz

    Nz

    Z

    M

    Mvecteur colonne de dimension (4N+1)

    =

    +

    NE

    E

    NE

    NE

    E

    h

    h

    h

    h

    H

    ,

    0,

    1,

    ,

    M

    Mvecteur colonne de dimension (2N+1)

    +

    +

    =

    )(000

    )1(0

    0

    )()1()2()1()(

    000)()1(

    000)(

    Ny

    Ny

    NyNyNyNyNy

    NyNy

    Ny

    Y

    LLL

    MMMMM

    MLLLMM

    LL

    MMMMMMM

    LL

    LLL

    Y est une matrice de dimension (4N+1)(2N+1)

    Le but de lgalisation est de dterminer les coefficients nEh , pour minimiser la probabilit

    derreur sur les prises de dcisions en sortie. Cette probabilit derreur est une fonction non

    linaire des coefficients. On dfinit diffrents critres pour minimiser Pe.

    Le premier critre est le critre dit du Zro Forcing (ZF).

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    2. Critre du Zro Forcing (ZF)Le moyen le plus simple denlever l IES est de choisir la fonction de transfert du circuit

    galiseur HE(z) de telle sorte que la sortie de lgaliseur donne : kk aa = pour tout k et en

    labsence de bruit. Cela peut se raliser en choisissant dinverser le canal discret quivalent :

    )z(G

    1)z(HE = .

    Cette mthode est appele galisation par zro forcing puisque les termes dIES en

    sortie dgaliseur sont forcs zro.

    2.1 Enonc du critre ZF

    Considrons un seul bloc quivalent au canal discret et lgaliseur. Il est reprsent par sa

    rponse impulsionnelle { })k(q telle que :

    )t(h)t(g)t(q E= , c'est--dire : =+

    =

    jjnj,En ghq (1)

    A la sortie de lgaliseur on peut donc crire : ++=

    +

    =

    kn nnkn,Eknnk0k w

    ~hqaaqz (2)

    On retrouve trois termes : le signal utile, le terme d IES et le terme de bruit en sortie du filtre

    galiseur.

    La distorsion maximum est la valeur maximale du terme d IES, soit :

    =

    +

    = 0n jjnj,E

    0n,nn ghq (3)

    La valeur de la distorsion dpend des coefficients de lgaliseur pour un canal donn.

    Donc, sil est possible de choisir les j,Eh de telle sorte que ce terme de distorsion soit nul, on

    aura limin l IES. Cette condition recherche ( 0n,0qn = ) scrit :

    == = +

    =

    0n00n1ghq

    jjnj,En cest le critre ZF (4)

    kz ky ka ka

    kw~

    Bruit AWGN

    G(z) HE(z)+

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    On peut remarquer que le bruit est nglig dans le dveloppement du critre ZF. En pratique, le

    bruit est cependant toujours prsent et bien que les termes d IES soient limins, il y a des

    chances que le filtre galiseur amplifie leffet du bruit et donc dgrade les performances.

    Pour examiner cet effet, on peut dterminer le rapport signal bruit en sortie de lgaliseur

    lorsque le filtre dmission est fix et le filtre de rception est le filtre adapt.

    2.2 Rapport signal bruit

    On se place dans le cas : )f(H)f(H)f(H *c*tr = ( figure 3 du Chapitre 1)

    Donc, le filtre H(z) correspondant au regroupement des filtres E/R et du canal, est donn partir

    de :

    2

    nct

    jfT2 )T

    nf(H)

    T

    nf(H

    T

    1)e(H =

    =

    (5)

    La densit de puissance du bruit color dont les chantillons sont wk est alors donne

    par :

    2

    nct

    0w )

    T

    nf(H)

    T

    nf(H

    T2

    N)f( =

    =

    (6)

    On peut choisir un filtre blanchissant HW(z) tel que :)e(H

    1)e(H

    jfT2

    jfT2w

    = et la densit

    de puissance du bruit devient simplement

    2

    N0 .

    La fonction de transfert du filtre quivalent scrit alors :

    )e(H)e(H)e(H)e(GjfT2jfT2

    wjfT2jfT2 == (7)

    Pour le filtre galiseur bas sur le critre ZF on choisit donc :

    )e(H

    1

    )e(G

    1)e(H

    jfT2jfT2

    jfT2E

    == (8)

    Le rapport signal bruit en sortie de lgaliseur scrit dans ce cas :

    =

    =

    =

    T2

    1

    T2

    1

    12

    nct

    0

    2

    T2

    1

    T2

    1

    2

    E0

    2

    T2

    1

    T2

    1

    2k

    df)T

    nf(H)

    T

    nf(H

    2

    N

    T

    1

    df)f(H2

    N

    df)a(E

    SNR (9)

    Le SNR dpend du spectre du signal transmis et reu lentre du rcepteur. On voit que sil

    existe des vanouissements par exemple dans ce signal, le SNR en sortie de lgaliseur devient trs

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    faible. Il y a donc possibilit damplification du bruit. Cest un des inconvnients majeurs du

    critre ZF.

    2.3 Mise en uvre pratique du critre ZF

    Considrons un filtre galiseur (2N+1) coefficients { }N,E0,EN,E h,,h,,h KK

    On aura dans ce cas : =+

    =

    N

    Njjnj,En ghq

    NN,E00,E1N1N,ENN,E

    N

    Njjj,E0 ghghghghghq +

    +

    = +++++ == KK (10)

    NnN,En0,E1Nn1N,ENnN,E0n,nghghghghq

    ++++++++= KK

    )e(G

    1jfT2

    )e(GjfT2

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

    15/52

    15

    On suppose que la rponse impulsionnelle du canal quivalent { }ng comporte (2L+1)

    chantillons non nuls{ }L0L g,,g,,g KK . Alors { }nq comporte 2(L+N)+1 chantillons non

    nuls.

    Le critre du ZF consiste chercher les j,Eh tels que :

    =

    =

    +++++=+=

    +

    0q

    1q

    avec

    a)ghghghgh(qaaqz

    0n

    0

    kkn

    NN,E00,E1N1N,ENN,Eknnk0k KK

    (11)

    dautre part :

    N,E1N,E

    N

    NnN,EEn h)Nk(yh)1Nk(yh)Nk(yh)nk(y)k(z +++++ +== +

    +

    = K (12)

    Cela revient donc chercher les j,Eh tels que :

    EH.YZ

    et

    N,2,1kpour0

    0kpour1)k(z

    =

    =

    ==

    K

    (13)

    Exemple : L=1

    Lgaliseur doit avoir au moins 3 coefficients (N=1). Dans ce cas, { }nq comporte 2(L+N)+1=5

    chantillons non nuls :

    11,E11,E20,E31,E2

    01,E10,E01,E10,E21,E1

    11,E00,E11,E0

    10,E01,E21,E10,E01,E1

    11,E31,E20,E11,E2

    ghghghghq

    ghghghghghq

    ghghghq

    ghghghghghq

    ghghghghq

    =++=

    +=++=

    ++=

    +=++=

    =++=

    Le critre du ZF impose : 0qq,0qq,1q 22110 =====

    La rsolution des quations permet de calculer les coefficients de lgaliseur. On se limite la

    rsolution de (2N+1)= 3 quations.

    gn

    n-1 0 1

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

    16/52

    16

    1,E

    0,E

    1,E

    h

    h

    h

    )1(y00

    )0(y)1(y0

    )1(y)0(y)1(y

    0)1(y)0(y

    00)1(y

    =

    )2(z

    )1(z

    )0(z

    )1(z

    )2(z

    =

    0

    0

    1

    0

    0

    Tout se passe comme si la dimension de la matrice Y tait ramene (2N+1)(2N+1).

    Cela permet dinverser la matrice : Z.YH 1E=

    2.4 Exercice sur le ZF

    On considre la rponse impulsionnelle discrte du canal quivalent telle que :

    Le filtre galiseur dterminer comporte dabord 3 coefficients puis 5 coefficients.

    a) dterminer les coefficients des galiseurs suivant le critre du ZFb) En dduire la distorsion maximum en sortie de lgaliseur.

    2.5 Utilisation de MATLAB

    On peut utiliser les capacits de MATLAB traiter des problmes matriciels.

    Dans ce cas il suffit de dfinir la matrice Y carre de dimension (2N+12N+1), puis un

    vecteur colonne Z de dimension (2N+1) contenant des zros et un 1 central.

    On utilisera la commande qui permet dinverser une matrice : inv(Y) pour obtenir le vecteur des

    coefficients (cof) et la commande : filter , pour obtenir la sortie galise.

    Le filtre galiseur dterminer comporte maintenant 5 coefficients. Raliser le script (.m) afin de :

    c) Calculer les coefficients de lgaliseur suivant le critre du ZF.

    d) Calculer les valeurs des chantillons de la sortie galise.

    e) Dterminer la distorsion maximum en sortie de lgaliseur.

    f) On peut galement utiliser un autre indicateur de performances : le Taux dErreur Binaire

    ou TEB dune transmission sans et avec galisation, en prsence de bruit gaussien. Pourcela, on gnre une suite de symboles NRZ :

    nT

    -2T 0

    0,9

    0,10,2

    -0,3

    -T 2T

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

    17/52

    17

    Exemple dun script du calcul du TEB dans le cas de la transmission NRZ

    de 10000 symboles dans un canal galis :

    x=[ 0.0 0.2 0.9 -0.3 0.1 ];%canalLLc=length(x);% longueur du canal

    n_coeff=length(cof);%longueur de lgaliseurRSB=[5 10 15 20 25 30 40 50];%rapport signal sur bruitR=(n_coeff+LLc)/2-1;% retard introduit par canal et galiseur

    ya=2*randint(10000,1,2)-1;% generation de 10000 symboles NRZy=ya';ly=length(y);yf=filter(x,1,y);% filtrage des symboles par le canal

    %calcul du TEB ou BERfor i=1:length(RSB)

    yb=yf+10^(-RSB(i)/20)*randn(1,ly);% ajout du bruit correspondant

    un RSB donneqz=filter(cof,1,yb);% sortie galisedec=sign(eqz(1+R:ly));%prise de dcisionerr=y(1:ly-R)-dec;% calcul de l erreur entre symboles mis et

    dcids

    BER(i)=length(find(err))/ly;%comptage des erreursend;

    2.6 Conclusion

    Lannulation de lIES par le critre du ZF se fait gnralement au prix dune augmentation

    sensible du niveau de bruit. Donc, en dehors du cas o on est assur dun faible niveau de bruit

    dans le canal (il parfaitement ouvert), cette solution nest pas retenir.

    Ces conclusions seront illustrs dans le Chapitre 2 (simulations Matlab) pour diffrents canaux.

    Dautre part, il faut noter que le canal est suppos parfaitement connu. Dans cette mthode

    (appele supervise) on passe par lestimation pralable de la rponse impulsionnelle du canal.

    Des erreurs dans son estimation vont se rpercuter sur le calcul des cfficients de lgaliseur et

    donc sur les performances.

    3.

    Egaliseur MMSE ( Minimum Mean Square Error )

    3.1 Principe

    Lgaliseur bas sur le critre ZF annule l IES mais ne donne pas de bonnes performances car il

    ne tient pas compte du bruit dans le systme. Lgaliseur bas sur le critre MMSE tient compte

    du bruit. Il est bas sur le critre de lerreur quadratique moyenne (EQM) ou MSE Mean

    Sqaure Error . Cest un critre robuste qui permet de dterminer les coefficients de lgaliseur en

    minimisant lEQM.

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    18/52

    18

    LEQM scrit : ( )[ ]2kk2k zaE)(EEQM == (14)

    Si lgaliseur compense parfaitement le canal quivalent et le bruit, en sortie on rcupre

    lestimation zk des donnes mise ak avec fiabilit.

    Contrairement au cas du ZF, pour calculer les coefficients on tient compte du signal total reu yk

    donc du bruit.

    3.2 Mise en oeuvre

    Considrons un filtre galiseur (2N+1) coefficients :

    ( )[ ]

    ==

    =

    2

    ,

    2 N

    Nj

    jEjkkkk hyaEzaEEQM

    (15)

    ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )EkTTETkEkT

    EkEkkk YHaYHaEYHaYHaEYHaEzaEEQM ====22

    E

    TT

    Ek

    TT

    EE

    T

    kk

    T

    k YHYHEaYHEYHaEaaE +=

    On cherche minimiser lEQM par un choix judicieux des coefficients. On cherche donc

    annuler la drive de lEQM par rapport aux valeurs j,Eh .

    k

    Donnes mises

    kz

    ka

    ky

    EGALISEUR

    Donnes reues

    y(n-k)y(n-1)

    hE(N)hE(N-1)hE(-N+1)hE(-N)

    z-1 z-1 z-1 z-1

    zk

    yk

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

    19/52

    19

    En utilisant les proprits des transposes ( kTT

    EE

    T

    k aYHEYHaE = ), la drive de lEQM par

    rapport HE donne : [ ] [ ] 022 =+ YYEHYaE TTETk (16)

    Minimiser lEQM revient donc chercher le vecteur des coefficients HE tels que :

    YYEHYaE TTETk =

    On pose :

    Avec)(

    )(

    YaERay

    YYERy

    T

    k

    T

    =

    =(17)

    Donc on a rsoudre : ayyT

    E RRH = (18)

    Ry est la matrice de corrlation des donnes reues et Ray est le vecteur dinter corrlation entre

    les donnes reues et les donnes mises.

    Il est donc ncessaire pour la mise en uvre pratique de connatre les donnes mises !!

    Pour contourner la difficult, on utilise une squence connue du rcepteur appele squence

    dapprentissage qui permet de calculer les coefficients partir du calcul de linverse de la matrice

    dauto corrlation :

    1.

    =

    yay

    T

    E RRH (19)

    Avec kTT

    kay aYEYaER ... == ka est la squence dapprentissage (20)

    Cependant, la ncessit dinclure dans lmission, une squence dapprentissage ventuellement

    rpte priodiquement si le systme est non stationnaire, limite le dbit des donnes utiles.

    3.3 Exercice

    Le signal reu lentre de lgaliseur possde 7 chantillons non nuls :

    y(3)= 0.0108 ; y(2)=-0.0558 ; y(1)=0.1617 ; y(0)=1 ; y(-1)=-0.1749 ; y(-2)=0.227 ; y(-3)=0.011

    Supposons que la squence dapprentissage soit un simple dirac.

    On cherche un galiseur 7 coefficients qui permet de retrouver en sortie le dirac mis.

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    20

    a) A laide de Matlab dterminer la matrice Yk de dimension (4N+1)(2N+1)

    puis kT

    ky YYER .= .

    b) Calculer [ ]kTk YaEd .= ka est la squence dapprentissage (dirac), vecteur colonne de

    dimension (4N+1)

    c) Dterminer les coefficients de lgaliseur et le taux de distorsion.

    3.5 Conclusion

    On va vrifier dans la suite, grce aux simulations Matlab, que lgalisation obtenue par le critre

    de lEQM est de meilleure qualit que celle fournie par le ZF en raison de la prise en compte

    effective du bruit. Mais elle reste mdiocre en prsence dvanouissements slectifs dans le canal.

    Ceci est li lutilisation dune structure transverse.

    Par ailleurs, pour la mise en uvre pratique, il est ncessaire dutiliser une squence connue du

    rcepteur pour calculer les coefficients ce qui limite le dbit utile.

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    21

    CHAPITRE III Simulation dgaliseurs linaires avec

    MATLAB

    1. Egaliseur ZF

    Dans cette partie, vous allez programmer le calcul des coefficients dun filtre galiseur

    bas sur le critre du ZF, partir des valeurs des chantillons reus lentre du rcepteur, en

    considrant que la squence dapprentissage est un Dirac. Cela signifie que les chantillons reus

    sont les valeurs discrtes de la rponse impulsionnelle du canal.

    1.1 Exemple du chapitre II

    Pour comprendre la structure du programme ou script MATLAB, on reprend lexemple

    trait dans le chapitre II.

    Le principe est le suivant :

    a) Dfinition des chantillons dentre ({x}) :

    x=[ 0.0 0.2 0.9 -0.3 0.1 ];LL=length(x); % longueur de la rponse impulsionnelle LL= 2*L+1

    L=round((LL-1)/2) ;

    b) Dfinition du temps t discret et trac de la rponse impulsionnelle:

    T=1 ; % T reprsente un facteur dchantillonnage

    t=-L*T:T:L*T;

    figure(1)

    stem(t,x)

    title('reponse impulsionnelle du canal')

    c) Choix du nombre de coefficients du filtre galiseur n_coeff=2*N+1 :

    Ici :

    n_coeff=5 ;

    Donc :

    N=round((n_coeff-1)/2) ;

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    22

    d) Cration de la matrice carre X des chantillons

    La dimension de la matrice des chantillons est (4N+1 2N+1) donc ici 95;

    Comme le nombre dchantillons va de x(-2N) x(2N) dans la matrice carre, on insre 2N

    zros dans le vecteur x si sa longueur est infrieure (4N+1):

    If L

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    23

    h) Calcul de la distorsion max

    nouvz=equalized_x';

    distorsion =0;

    for i=1:length(nouvz)

    distorsion=distorsion+abs(nouvz(i));

    end

    distorsion=100*abs(max(nouvz)-distorsion);

    disp('la distorsion max en % est')

    distorsion

    a) Utilisez le script pour retrouver les rsultats obtenus prcdemment pour les deuxcanaux tests :

    - Canal A =[ 0.0 0.2 0.9 -0.3 0.1] galis par un filtre 5 coefficients

    On doit retrouver les mmes rsultats que dans le chapitre prcdent cest--dire :

    0.0443

    -0.1994

    0.9637

    0.3419

    0.0069Et une distorsion de 4.17%

    - Canal B =[ 0.011 0.227 -0.1749 1 0.1617 -0.0558 0.0108 ] galis par un

    filtre 7 coefficients

    b) Modifiez le nombre de coefficients et examiner la valeur de la distorsion pour lesdeux canaux.

    1.2 Canal dfini par une quation

    Diffrents canaux peuvent maintenant tre tests. Ils peuvent tre dfinis par par un vecteur des

    chantillons comme dans lexemple trait ou bien par une quation dont on prend les valeurs

    discrtes aux instants kT.

    Considrons par exemple, le canal de rponse impulsionnelle dfinie par lquation :

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    24

    )4.0

    1(

    1)(

    2

    +

    =

    T

    ttx

    Modifiez le script en remplaant le vecteur x par :

    t=-20*T:T:20*T;

    x=1./(1+((0.4/T)*t).^2);

    Le reste ne change pas.

    Lorsquon applique le critre du ZF avec une longueur dgalisation de 5 (nombre de coefficients

    du filtre galiseur), vrifiez quon retrouve bien un Dirac en sortie sur 5 points dchantillons : le

    point central 1 et les deux points adjacents de part et dautre 0.

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    25

    Le choix de la longueur dgalisation est l encore un lment important par rapport ltalement

    de la rponse impulsionnelle du canal.

    On peut augmenter le nombre de coefficients pour mieux galiser, par exemple avec 17

    coefficients :

    1.3 Impact du bruit

    Linconvnient du critre du ZF est la non prise en compte du bruit. Pour illustrer cet

    inconvnient, un bruit blanc gaussien et centr est ajout aux chantillons de donnes reues.

    On dfinit le rapport signal bruit (SNR en dB) , puis on utilise la commande matlab awgn :

    y=awgn(x,SNR,'measured',1234)

    Par la suite, on remplace x par y.

    Voici par exemple, le trac des chantillons bruits y pour deux niveaux de bruit ( 20 et 15 dB) :

    On peut rajouter des commandes pour le trac des diffrentes courbes :

    Au dbut du script, pour visualiser le bruit dans le canal

    figure(2)

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    26

    plot(t,x,'o-',t,y,'ko-')

    title('reponse impulsionnelle du canal sans et avec bruit')

    et la fin du script, pour comparer les rsultats :

    equalized_x=equalized_x((N+1):length(equalized_x));

    LL=length(x);

    L=round((LL-1)/2) ;

    ti=-L*T:T:L*T;

    LLe=length(equalized_x);

    Le=round((LLe-1)/2);

    te=-Le*T:T:Le*T;

    figure(4)

    plot(ti,x,te,y,'k-',te,equalized_x,'ko-')

    title('comparaison entres sans bruit avec bruit - sortie de l galiseur')

    a) Dans le cas du canal B =[0.011 0.227 -0.1749 1 0.1617 -0.0558 0.0108 ] et ungaliseur 7 coefficients, comparer les valeurs des coefficients et examiner la

    sortie galise (distorsion) lorsque le SNR varie (de 5 100 dB par exemple).

    b) Conclusion sur la robustesse du ZF face au bruit.

    A lissue de ce paragraphe, vous disposez de scripts Matlab complets pour traiterlgalisation dun canal de communication par le critre du ZF.

    2. Egaliseur MMSELe critre de l Erreur Quadratique Moyenne est un critre plus robuste par rapport au bruit. IL

    permet de raliser un compromis entre rduction de l IES et du bruit.

    Pour calculer les coefficients de lgaliseur par le critre de l EQM, on utilise une squence

    connue du rcepteur appele squence dapprentissage, qui ici est un simple Dirac.

    Cela permet de calculer les coefficients partir du calcul de linverse de la matrice dauto

    corrlation des donnes reues Y : ayyE RRH .1

    = avec [ ]kkay YaER .= et ka la

    squence dapprentissage, c'est--dire un Dirac.

    2.1 Exemple du chapitre II

    On reprend lexemple trait dans le chapitre II.

    %Dfinition des chantillons dentre ({x}) :

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    27

    x=[0.011 0.227 -0.1749 1.0 0.1617 -0.0558 0.0108 ];

    LL=length(x); % longueur de la rponse impulsionnelle LL= 2*L+1

    L=round((LL-1)/2) ;

    T=1 ; % T reprsente un facteur dchantillonnage

    t=-L*T:T:L*T;

    figure(1)

    stem(t,x)

    title('reponse impulsionnelle du canal')

    %Choix du nombre de coefficients du filtre galiseur n_coeff=2*N+1 :

    n_coeff=7 ;

    N=round((n_coeff-1)/2) ;

    %Cration de la matrice X des chantillons

    Comme le nombre dchantillons va de x(-3N) x(3N) dans la matrice carre, on a :

    if L

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    28

    ap((2*N+1),1)=1 ; % on force 1 la valeur centrale du vecteur

    D=X*ap;

    %Calcul des coefficients par le critre MMSE: c_opt

    c_opt=K*D;

    c_opt'

    %Calcul et trac de la sortie galise

    equalized_x=filter(c_opt,1,[x,zeros(1,N)]);

    figure(2)

    stem(equalized_x)

    title('reponse en sortie de l egaliseur')

    %Calcul de la distorsion max

    nouvz=equalized_x';

    distorsion =0;

    for i=1:length(nouvz)

    distorsion=distorsion+abs(nouvz(i));

    end

    distorsion=100*abs(max(nouvz)-distorsion);

    disp('la distorsion max en % est')

    distorsion

    a) Utilisez le script pour retrouver les rsultats obtenus prcdemment.b) Pour un nombre de coefficients de 7, comparer les performances des 2 critres

    (ZF et EQM) sur cet exemple en labsence de bruit. Conclusion.

    c) Modifiez le nombre de coefficients et examiner la valeur de la distorsion.Conclusion.

    On peut vrifier ainsi que dans le cas sans bruit, les deux critres conduisent des rsultats quasi-

    identiques.

    2.2 Impact du bruit

    Dans le cas o le signal reu est bruit on constate que, contrairement au critre ZF qui

    ne tient pas compte du bruit pour le calcul des coefficients, le critre de lEQM conduit unsignal de sortie mieux galis.

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

    29/52

    29

    Pour comparer les deux critres, on utilise un seul script matlab.

    De plus, le taux de distorsion nest pas le meilleur indicateur pour comparer les

    performances des deux critres ; on lui prfrera le calcul le lerreur quadratique moyenne :

    ( )[ ]2kk2k zaE)(EEQM == .

    On se place pour cet exercice dans le cas dune transmission par modulation damplitude(MDA-4 ou ASK-4) sur un canal dfini par la commande : H=fir1(8,0.8) ;

    Fir1(N,Wn) correspond un filtre numrique FIR linaire passe bas dordre N

    cre un vecteur de longueur N+1 correspondant aux coefficients du filtre ; la frquence de

    coupure dfinie par Wn doit tre telle que : 0 < Wn < 1.0 ( Wn=1.0 correspond 1/2T).

    La rponse impulsionnelle du filtre tudi est :

    H=[-0.0038 0.0218 -0.0821 0.1625 0.8031 0.1625 -0.0821 0.0218 -0.0038]

    1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    Une suite de M symboles MDA-4 est gnre et applique lentre du canal :

    M=4000;a=[-3 -1 1 3];Ak=a(randint(M,1,4)+1);figure(1)plot(Ak,zeros(1,M),'o');

    title('constellation de la modulation MDA-4');

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    30/52

    30

    -3 -2 -1 0 1 2 3-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1constellation de la modulation MDA-4

    H=fir1(8,0.8) ;Rk1=filter(H,1,Ak);figure(2)plot(Rk1,zeros(1,length(Rk1)),'o');title('constellation de la modulation MDA-4 en sortie du canal');

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1constellation de la modulation MDA-4 en sortie du canal

    Le canal a introduit de la distorsion et ncessite une galisation en rception.

    Le script correspondant est demander lenseignant.

    a) Pour un nombre de coefficients de 9, vrifiez sur le canal dfini dans lexercicequon retrouve les mmes rsultats avec les deux critres EQM et ZF, dans le cas

    sans bruit (correspondant un SNR de 50dB) : valeurs des coefficients, distorsion

    et erreur quadratique.

    b) Comparer ensuite les performances des 2 critres (ZF et EQM) sur cet exemplepour un SNR variant de 1 dB 50 dB. Conclusion.

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    31

    3. Matlab - Simulink

    a. Test sur une modulation damplitude MDA-4Pour tester lgalisation sur Simulink , on considre une chane de transmission bande de base en

    ASK-4. La modlisation lmission est reprsente sur la figure suivante :

    Random Integer

    Generator

    Random

    Integer

    Q

    M-PAM

    Modulator

    Baseband

    4-PAM

    I

    Constellation MDA -4

    Complex to

    Real -Imag

    Re

    Im

    -Vrifiez le diagramme de constellation et les voies I et Q de la modulation

    damplitude MDA-4

    Le canal de transmission quivalent sera reprsent dans Simulink par un bloc Digital Filter dans

    Signal Processing Blockset/Filtering/Filter Designs.Les paramtres rentrer sont :

    FIR(all zeros)

    direct form

    [-0.0038 0.0218 -0.0821 0.1625 0.8031 0.1625 -0.0821 0.0218 -0.0038] vecteur qui

    reprsente les coefficients du canal dfini prcdemment avec la fonction fir1(8,0.8)

    Random Integer

    Generator

    Random

    Integer

    Q

    M-PAM

    Modulator

    Baseband

    4-PAM

    I

    Constellation aprs canal

    Constellation MDA -4

    Complex to

    Real -Imag

    Re

    Im

    CANAL

    Digital

    Filter

    -Vrifiez le diagramme de constellation et les voies I et Q en sortie du canal :

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    32

    Le bloc de bruit de type additif Gaussien (AWGN) est ajout en cascade. Lgaliseur sera

    galement insr en cascade avec le canal laide du mme type de bloc fonctionnel (Digital

    Filter).

    Par contre, les coefficients du filtre galiseur seront ceux calculs prcdemment avec les scripts

    Matlab (*.m)

    Pour calculer la performance en terme de taux derreur, il faut ensuite dmoduler (M-PAM

    demodulator Baseband) et insrer le blocError Rate Calculationcomme sur la figure suivante :

    Random Integer

    Generator

    Random

    Integer

    Q

    M-PAM

    Modulator

    Baseband

    4-PAM

    M-PAM

    Demodulator

    Baseband

    4-PAM

    I

    Error Rate

    Calculation

    Error Rate

    Calculation

    Tx

    Rx

    EGALISEUR

    Digital

    Filter

    Display

    Constellation aprs galisation

    Constellation aprs canal et bruitConstellation aprs canal

    Constellation MDA -4

    Complex to

    Real -Imag

    Re

    Im

    CANAL

    Digital

    Filter

    AWGN

    Channel

    AWGN

    a) On considre le canal tudi prcdemment. Calculez sans bruit (variance du blocAWGN 0 ou SNR 50dB), le taux derreur binaire (TEB) obtenu.

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    33

    b) Toujours dans le cas sans bruit, placez un galiseur en cascade avec le canal, dontles 9 coefficients sont ceux calculs prcdemment par les 2 critres EQM et ZF.

    Calculez le TEB et vrifiez lefficacit de lgalisation.

    c) Pour tester lgalisation avec bruit, on considre le cas dun SNR de 10dB et 20dB.Grce aux scripts Matlab, calculez les 9 coefficients des galiseurs correspondants

    aux 2 critres.

    Insrez les coefficients dans le bloc reprsentant lgaliseur dans la chane

    simulink et dterminez les nouvelles valeurs du TEB. Conclusion.

    b. Test sur une modulation de phase MDP-4On reprend le mme exercice avec un signal modul en phase 4 tats , MDP-4 ou QPSK :

    Random Integer

    Generator

    Random

    Integer

    Q

    M-PSK

    Modulator

    Baseband

    M-PSK

    M-PSK

    Demodulator

    Baseband

    M-PSK

    I

    Error Rate

    Calculation

    Error Rate

    Calculation

    Tx

    Rx

    Display

    0.05617

    56

    997

    Constellation aprs canal et bruitConstellation aprs canal

    Constellation MDA -4

    Complex to

    Real -Imag

    Re

    Im

    CANAL

    Digital

    Filter

    AWGN

    Channel

    AWGN

    -Vrifiez le diagramme de constellation et les voies I et Q de la modulation

    damplitude MDP-4 et calculer le TEB dans le cas sans bruit.

    -Les coefficients des galiseurs sont inchangs car ils dpendent du canal et pas de

    la modulation. Testez les performances en calculant les TEB pour des galiseurs

    EQM et ZF et des SNR de 50 et 20 dB. Conclusion.

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    34

    CHAPITRE IV Egalisation adaptative

    1. IntroductionDans lapproche tudie jusqu prsent, lgalisation est ralise par bloc . Cette approche peut

    se rsumer ainsi :

    Elle comporte quelques inconvnients lis la ncessit dune estimation prcise du canal et au

    calcul de la matrice de corrlation des donnes reues et de son inverse. Dautre part, si le canal

    varie dans le temps, cette approche ne permet pas dajuster les coefficients de lgaliseur.

    En effet, lgaliseur transverse sur le critre EQM, est bas sur la minimisation de la fonction de

    cot suivante : ( )2)( kkE zaEhJ =

    On est donc amen calculer le gradient tel que : 0)(2)( == RayRyHhJ EE ce qui conduit

    une solution analytique coteuse en complexit : ayyE RRH .1

    =

    Dans lapproche adaptative, on peut se passer de lestimation du canal et donc tenir compte des

    variations temporelles du canal:

    Squence dapprentissage donnes

    Estimation du canalquivalent G(z)

    Calcul de lgaliseur HE(z) Dtection des donnes enutilisant le mme galiseur

    chaque instant

    Squence dapprentissage donnes

    A linstant n on utilise lgaliseur )()(

    zHn

    E

    On ajuste au fil de leau )()(

    zHn

    E )()1(

    zHn

    E+

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    35

    2.Algorithme LMS ( Least Mean Square )

    Dans la mise en uvre du critre de l EQM, une alternative pour viter linversion de Ry consiste

    appliquer une mthode itrative pour calculer les coefficients qui minimisent la fonction de

    cot : )( EhJ .

    A partir des valeurs de )1k(hE on peut calculer les valeurs de )k(hE en utilisant lalgorithme

    du Gradient :))1(()1()( += khRRkhkh EyayEE

    avec constante positive appele coefficient dadaptation ( qui remplace )R 1y permettant de

    contrler la convergence.

    Cependant, le calcul de )()(n

    EhJ ncessite toujours de connatre yR et ayR par lutilisation

    dune squence dapprentissage.

    On modifie alors lalgorithme en remplaant le gradient par son estime (le LMS est un

    algorithme du gradient dit stochastique et non plus dterministe). On remplace chaque tape

    yR et ayR par les estimationsT

    kk YY . et kk Ya . . Lquation devient :

    kkEkkkEkET

    kkEE Ye)1k(hY)za()1k(hY))1k(hYa()1k(h)k(h +=+=+=

    Le signal derreur ke reprsente la diffrence entre la donne dsire linstant k et la sortieactuelle z(kT).

    Le LMS permet donc chaque instant, de remettre jour les coefficients du filtre galiseur

    proportionnellement lerreur destimation ke .

    En cas de variations du canal, lgaliseur sera capable de sadapter dautant plus rapidement que la

    constante est grande.

    kz ky

    kk aoua

    Signal derreur

    HE(z)

    Algorithmedada tation

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    36

    On peut admettre quune valeur adquate de permettant dassurer la convergence dans le cas de

    canaux variations lentes est :)12)((

    2.0

    ++=

    NPP ns avec (2N+1) nombre de coefficients de

    lgaliseur, Ps puissance du signal et Pn puissance du bruit.

    On distingue alors deux phases de fonctionnement :

    Une phase dapprentissage o les donnes ak sont connues (squence dapprentissage) et

    qui permet dajuster les coefficients de lgaliseur ( pas destimation du canal). Cette phase

    est appele mode supervis .

    Une phase de donnes ou de poursuite ( pilote par les dcisions ou decison directed )

    ou encore mode oprationnel : on remplace les ka par les donnes estimes ka

    L'algorithme du gradient stochastique est un algorithme simple dont le cot de calcul est

    proportionnel l'ordre du filtre identifier. A condition de respecter un pas d'adaptation

    suffisamment faible, cet algorithme est stable et optimise un critre des moindres carrs moyens.

    C'est encore aujourd'hui l'algorithme de filtrage adaptatif le plus employ dans les applications

    temps rel.

    Le problme principal dans son emploi rside dans le choix du pas d'adaptation. Un pas faible

    entrane une convergence lente souvent incompatible des applications envisages. Un pas trop

    fort va conduire, quant lui, des rsultats imprcis.

    kz ky

    ka

    ka

    kw~

    G(z) )()( zH kE +

    Actualisation

    de )()(

    zHk

    E -

    kz ky

    ka

    ka

    kw~

    G(z))(

    )(zH

    kE +

    Actualisation

    de )()(

    zHk

    E -

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    37

    Il existe un grand nombre de mthodes qui tendent faire varier ce pas au cours de la phase de

    convergence. Cela peut avoir pour effet d'acclrer la convergence mais il faut rester circonspect

    vis vis de ces mthodes car la convergence de l'algorithme n'est assure que dans le cas du pas

    fixe.

    3. Simulation dgalisation adaptative avec MatlabOn considre lexemple du canal fir1(8,0.8) et dune modulation damplitude 4 tats (ASK-4)transmise en prsence de bruit additif gaussien, avec une galisation 9 coefficients.On a trouv prcdemment les valeurs des coefficients pour un SNR de 50 dB et par les deuxcritres :Coefficients EQM :

    0.0652 -0.1480 0.2814 -0.4215 1.4793 -0.4228 0.2832 -0.1524 0.0705

    Coefficients ZF :

    0.0816 -0.1640 0.2958 -0.4346 1.4921 -0.4365 0.2986 -0.1698 0.0883

    On va mettre en uvre un calcul itratif des coefficients :%............................................................%symboles Maire 4 etats%............................................................a=[-3 -1 1 3];%............................................................%nombre de symboles ASK 4 etats%............................................................M=7000;

    %............................................................% creation de la suite de symboles%............................................................

    Ak=a(randint(M,1,4)+1);p=length(Ak);data_original=Ak;%............................................................% canal%............................................................H=[0.407 0.815 0.407];L=(length(H)-1)/2;

    %............................................................%filtrage de la squence par le canal%............................................................Rk=filter(H,1,[Ak,zeros(1,2*L)]);%............................................................% rapport signal bruit en dB%............................................................SNR=50;ps=sum(Rk.*Rk)/length(Rk) ;sigPower=10*log10(ps);%............................................................

    %puissance du bruit Pn%............................................................noisePower=sigPower-SNR;

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    38

    pn_lin=10^(noisePower/10);%............................................................% canal+ bruit%............................................................Rk=awgn(Rk,SNR,'measured',1234);Rk=Rk' ;

    NN=9;% nombre de coefficient du filtre egaliseurN=round((NN-1)/2);

    On calcule le pas de convergence du LMS:mu=0.2/((ps+pn_lin)*(2*N+1));

    Puis, le script du calcul itratif par LMS:if N

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    39

    -0.40961.4707

    -0.40990.2667

    -0.13810.0603

    On reprend le canal du chapitre 2 : H=[0.011 0.227 -0.1749 1 0.1617 -0.0558 0.0108]

    Utilisez le script pour calculer les 7 coefficients de lgaliseur dans le cas sans bruit.Quel est lordre de grandeur du nombre ditrations ncessaire la convergence ?

    On se place SNR=10dB, le bruit a-t-il un impact sur le nombre ditrations ?

    On augmente le nombre de coefficients (de 7 21). Mme question.

    4. Simulation dgalisation adaptative avec Matlab Simulink

    Afin de mettre en uvre une galisation adaptative on peut galement utiliser le bloc LMS de la

    librairie signal Processing Blockset / Filtering/Adaptative Filtersdans Simulink.

    Le bloc LMS possde :

    -Lentre Input reoit les donnes galiser

    -Lentre Desired reoit le signal dsir, retard du retard cumul des donnes travers le canal

    + le filtre LMS soit : (n-1)/2avec n nombre de coefficients des filtres.

    -La sortie Wts permet de visualiser les coefficients du filtre adaptatif LMS.

    -La sortie Error permet de visualiser lerreur.-La sortie Output permet de visualiser la sortie filtre.

    erreur

    coeff

    Scatter Plot

    mission

    Scatter Plot

    galis

    Scatter Plot

    +bruit+canal

    Scatter Plot

    +bruit

    Random -Integer

    Generator

    Random

    Integer

    M-PSK

    Modulator

    Baseband

    M-PSK

    LMS Filter

    LMS

    Input

    DesiredDesiredDesiredDesired

    Output

    Error

    Wts

    Integer Delay 1

    z-2

    Display

    -0.4649 - 0.02

    1.455 + 0.000

    -0.4808 + 0.01

    Digital Filter

    Digital

    Filter

    Complex t o

    Real -Imag2

    Re

    Im

    Complex to

    Real-Imag1

    Re

    Im

    AWGN

    Channel

    AWGN

    On considre le canal fir1(8,0.8) dfini par 9 valeurs.

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    40

    Effectuez le calcul itratif des 9 coefficients dun galiseur pour un SNR de 50 dB etretrouvez les valeurs obtenues prcdemment :

    0.0606-0.14160.2679

    -0.40961.4707

    -0.40990.2667

    -0.13810.0603

    Rajoutez des blocs de dmodulation et de calcul de taux derreur pour retrouver les

    rsultats en TEB.

    o Donnez le nombre ditrations ncessaires la convergence des

    coefficients.

    o Calculez pour un galiseur ayant le mme nombre de coefficients (9) lesTEB pour des SNR de 20, 10 et 5 dB (mu=0.01).

    o Faire varier le pas de convergence mu par exemple mu=0.1. Conclusion.

    5.Algorithme RLS ( Recursive Least Square )Lalgorithme de base du LMS est le gradient stochastique ( steepest descent ) dans lequel le

    vecteur gradient est approxim par une estimation provenant des donnes.

    Cependant, lorsque le canal galiser a une rponse impulsionnelle trs tale, le LMS converge

    trs lentement du fait dun seul paramtre de contrle ( le pas dadaptation).

    On peut mettre en uvre des algorithmes qui sont plus rapides au prix dune certaine complexit.

    Cest le cas de lalgorithme RLS.

    Il consiste :

    c) calculer le signal derreur linstant kT dpendant des coefficients linstant (k-1)Tprcdent : )1k(hYazae E

    Tkkkkk ==

    d) actualiser les coefficients : )za(Y)k(P)1k(h)k(h kkkEE += La diffrence par rapport au LMS se situe dans le terme P(k) ; cest une estimation de

    1yR obtenue de manire rcursive :

    +

    =

    kT

    k

    Tkk

    Y)1k(PY1

    )1k(PYY)1k(P)1k(P

    1

    1)k(P

    Le terme P(k) permet une actualisation optimale des divers coefficients ce qui explique la

    supriorit de lalgorithme RLS en termes de rapidit de convergence.

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    41

    Pour tester la convergence reprendre lexemple trait prcdemment dans simulink

    en remplaant le LMS par le RLS situ dans la mme librairie (on prendra un

    facteur doubli de 0.95) :

    o Calculez nouveau les coefficients

    o Quelle est le nombre ditrations correspondant la convergence

    o Conclusion par rapport au LMS

    La forme matricielle correspondante dans le bloc RLS est donne par:

    1 est appel facteur doubli et est compris entre 0 et 1 (typiquement entre 1 et 0.95, 1

    correspondant une mmoire infinie)

    6. Egalisation autodidacteLes mthodes prcdentes ncessitent une phase dapprentissage avec une squence connue durcepteur, ce qui peut pnaliser certains systmes de communications. Par exemple, lorsque le

    canal subit des variations brutales, les algorithmes adaptatifs ont du mal suivre ces variations.

    On doit dans ce cas, utiliser un apprentissage de manire rgulire ce qui rduit le dbit des

    donnes utiles.

    Les mthodes dites autodidactes ont t dveloppes pour saffranchir de la squence

    dapprentissage. La seule connaissance disponible en rception est la statistique du signal mis.

    Il existe beaucoup dalgorithmes autodidactes qui se diffrencient les uns des autres par leur

    rapidit de convergence et par leur aptitude viter les minimums locaux ( Sato , Kurtosis,

    Godard).

    Parmi eux, lalgorithme propos en 1980 par Godard sannonce trs robuste en terme de capacit

    de convergence notamment pour des canaux svres.

    Il ne ncessite ni la connaissance des donnes mises, ni celle des donnes dcides.

    La fonction cot utilise est appele fonction de dispersion dordre p . Cette fonction est la

    suivante :

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    42

    ( )

    =2

    p

    ppGodard z[n]E(C)J

    o p est une constante relle dfinie par :

    { }pn

    2p

    n

    p

    aE

    aE

    =

    La fonction de dispersion est gnralement prise lordre 2 (p=2). Lalgorithme dactualisation

    des coefficients est alors : ))k(z)(k(zY2)k(h)1k(h2

    2T

    kEE +=+

    Cet algorithme tend annuler le signal derreur et privilgie les solutions de module constant,

    do son autre nom CMA ( Constant Modulus Algorithm ). Mais il peut prsenter des

    minimums locaux et donc ne pas converger vers la solution optimale au sens de la minimisation

    de l EQM. Cet inconvnient pourra tre vit en augmentant le pas dadaptation au dtriment

    de la stabilit de convergence des coefficients.

    Un autre inconvnient de cet algorithme est quil peut entraner une erreur de phase quil faut

    estimer et compenser.

  • 7/30/2019 Egalisation v Eleves 2012-2013

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    43

    CHAPITRE V Egalisation non linaire retour de dcision

    1.

    IntroductionLes galiseurs linaires sont limits en performances surtout dans le cas des canaux trs svres (

    forts vanouissements par exemple).

    Lide de lgalisation par retour de dcision est base sur une approche consistant reconstruire

    une partie de linterfrence pour venir la soustraire au signal reu.

    Reprenons le modle initial de la chane de transmission :

    Avec la fonction de transfert du canal quivalent discret :

    =

    k

    kkzg)z(G , =

    k

    jkfT2keg)f(G

    On a :

    + +=+=

    kn

    knknn

    0kknknk w~gagaw~gay~

    Le signal lentre du rcepteur est compos de trois termes : le signal utile 0kga , le terme

    dinterfrence nknknga

    et le bruit.

    Si on connat les autres symboles tels que kn on peut imaginer reconstruire linterfrence et

    la soustraire au signal reu :

    kn

    nknk gay~

    Mais, il faut connatre ng et en gnral ce nest pas possible.

    Il est possible cependant, dutiliser les symboles dcids aux instants prcdents (en sortie du

    rcepteur) pourvu que les dcisions prises aient t bonnes. Cest lapproche appele galisation

    retour de dcision ou Decision Feedback Equalization .

    ky~

    ka ka

    kw~

    Bruit AWGN

    G(z) HE(z)

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    44

    Lide gnrale est celle de lannulation, on va donc commencer par traiter le cas du filtre

    annuleur .

    2. Filtre annuleur Considrons la rponse impulsionnelle du canal quivalent :

    Le retard introduit par le canal est.

    Donc : ++=

    j

    kjjkkk w~gagay~

    Le filtre annuleur , de longueur (N+1) sera un filtre permettant de construire le terme :

    j

    j,Ejk ha avec j=0,1,,-1, +1,,N

    Le signal nettoy de son interfrence sera : kkk w~gaz +=

    Les coefficients Eh du filtre peuvent tre calculs par application du critre de l EQM, c'est--

    dire en minimisant 2kk )az(E . Cependant, il faut disposer des donnes en rception ou

    dune squence dapprentissage.

    La structure optimale dun filtre annuleur dinterfrence bas sur le critre de lEQM est une

    structure constitue de deux filtres FIR :

    -un filtre adapt la rponse du canal appel filtre avant ( ou feedforward ) charg de

    rduire la puissance du bruit- un filtre charg de reconstruire linterfrence en sortie du filtre adapt.

    gn

    n-1 +1

    ky~

    kz

    ka

    Filtre

    annuleur

    Signalnettoy

    -

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    45

    La fonction de transfert du filtre avant scrit : )f(G*22

    a

    2a

    +

    La fonction de transfert du filtre annuleur est : ( )1)f(G2

    22a

    2

    a +

    Exemple

    Considrons un canal svre prsentant un vanouissement important : canal de Proakis [0.407

    0.815 0.407] avec un bruit significatif ( SNR de 15dB) :

    Les coefficients du canal sont quasi normaliss car 1)k(h2

    k

    , les donnes sont normalises

    ( 12a = ), le rapport signal bruit est donc : 21

    SNR

    = ( pour un SNR de 15 dB )0316.02

    ky~

    kz

    kk aa =

    Filtre

    annuleur

    -

    Filtre

    avantka

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    46/52

    46

    Tester les performances du canal dans une chane en modulation de phase

    QPSK : afficher la constellation et calculer le TEB pour un SNR de 50dB puis de

    15dB (ou une variance de 0.0316).

    Utiliser le critre de lEQM en appliquant lalgorithme du LMS pour calculer lescoefficients dun galiseur de longueur 3 et tester les performances de lgalisation

    pour un SNR de 15dB(TEB).

    Calcul des lments de lgaliseur annuleur

    Filtre avant:

    [ ] [ ]407.0815.0407.0)0(g)1(g)2(gz)k(ge)k(ge)k(g)f(G k2

    0

    2

    0k

    jkfT22

    0k

    jkfT2** === +==

    Pour un SNR de 15 dB il faut pondrer ce vecteur par le coefficient 969368.01

    12

    +

    Filtre annuleur:

    )f(G).f(G)f(G*2 =

    [ ][ ]

    [ ])2(g)0(g)2(g)1(g)1(g)0(g)2(g)1(g)0(g)2(g)1(g)1(g)0(g)2(g)0(g)0(g)1(g)2(g.)2(g)1(g)0(g

    222 ++++

    Ce qui donne :[ ]16565.06634.016634.016565.0

    On enlve 1 donc 0 pour le coefficient central.

    De plus, comme prcdemment, pour un SNR de 15 dB il faut pondrer ce vecteur par le

    coefficient 969368.01

    12

    +

    Tester la chane avec galisation par annulation dans le cas dun SNR de 15dB,

    afficher les constellations avant et aprs galisation et calculer le TEB

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    47

    Scatter Plot

    mission

    Scatter PlotgalisScatter Plot

    +bruit

    Random -Integer

    Generator

    Random

    Integer

    M-PSK

    Modulator

    Baseband

    M-PSK

    M-PSK

    Demodulator

    Baseband1

    QPSK

    Error Rate

    Calculation

    Error Rate

    Calculation

    Tx

    Rx

    Display1

    0

    0

    6999

    Digital Filter 2

    Digital

    Filter

    Digital Filter 1

    Digital

    Filter

    Digital Filter

    Digital

    Filter

    AWGN

    Channel

    AWGN

    3. Structure retour de dcision ou DFELa structure raliste nest pas lannuleur car on ne dispose pas des donnes mises.

    Reprenons la rponse impulsionnelle du canal quivalent :

    Si on considre que lannulation sopre uniquement partir de +1, on a un terme dannulation

    qui scrit : N,ENk2,E)2(kN

    1n1,E)1(kn,Enk hahahaha ++

    +=++ ++ += K

    A linstant (kT) o on veut dterminer z(k) c'est--dire prendre une dcision ka , les symboles

    Nk2k1k a,,a,a K ont t obtenus partir de dcisions prcdentes. Ces chantillons

    appels post cursor ou arrires ou feedback sont la base de la structure rcursive.

    La partie manquante ( n

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    48

    Supposons que le filtre avant soit dordre N1+1 et que le filtre arrire soit dordre N2.

    Alors en sortie de lgaliseur on a : +== =

    0

    1Nj

    2N

    1jj,Ejkj,Ejkk hahy

    ~z

    Les coefficients j,Eh peuvent tre calculs partir de la minimisation de l EQM.

    Considrons que les dcisions ont t bonnes. Alors : B,ET

    BF,ET

    Fk HYHYz +=

    Avec : [ ]Tk11Nk1NkF y~y~y~Y K

    ++= [ ]Tk11Nk1NkB aaaY K++=

    [ ]T0,E11N,E1N,EF,E hhhH K+= [ ]T

    2N,E2,E1,EB,EhhhH K=

    On cherche les filtres qui minimisent l EQM tels que :

    ( )[ ] ( )

    +=

    2

    B,ET

    BF,ET

    Fk2

    kk HYHYaEzaE

    En drivant et en annulant cela conduit :

    ( ) 0HYHYaYE B,ETBF,ETFkF =+

    ( ) 0HYHYaYE B,ETBF,ETFkB =+

    Cela se rduit :

    FkB,ET

    BFF,ET

    FF YaEHYYEHYYE =+

    0HHYYE B,EF,ET

    FB =+

    En rsolvant ces quations, on obtient les coefficients :

    [ ] [ ] [ ]( ) [ ]Fk1T

    FBT

    BFT

    FFF,E YaEYYEYYEYYEH

    =

    F,ET

    FBB,E HYYEH =

    Comme dans le cas de lgaliseur linaire on peut dterminer les coefficients de manire itrative

    et utiliser une squence dapprentissage.

    Ce type dgaliseurs est en gnral plus performant que les galiseurs linaires.

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    Annexe 1 : Filtre de NYQUIST

    T2

    1f

    T2

    1pour

    T2

    1fpour0

    )T2

    1f(

    Tcos1

    2

    T

    T2

    1f0pourT

    )f(X

    +

    +

    +

    =

    est appel facteur de retombe ou roll-off .

    )T/t41(T/t

    )T/tcos()T/tsin()t(x

    222

    =

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    Annexe 2 : Filtre Blanchissant

    Le bruit en sortie du filtre de rception nest pas un bruit blanc, cest un bruit color.

    Le signal reu avant galisation scrit :

    [ ] +=+= k

    nkknnnn whawa)z(H'y

    nw est le bruit color.

    Lide est dappliquer un filtre de blanchiment Hw(z) la suite'ky pour rendre le bruit blanc.

    =

    k

    kk,WW zh)z(H

    [ ] [ ] [ ] nWnW'nW w)z(Ha)z(H)z(Hy)z(H +=

    On choisit Hw(z) de telle sorte que : [ ] nnW w~w)z(H = soit une suite dchantillons blancs.

    Pour cela, on factorise H(z) sous la forme: **

    )z

    1(G)z(G)z(H =

    En effet, supposons que H(z) soit de degr fini. Soit racine de H(z). Comme *kk hhk = (symtrie

    hermitienne)*

    1

    est aussi racine de H(z).

    On pose : **

    W)

    z

    1(G

    1

    )z(H =

    Comme )z(G)z

    1(G)z(G

    )z

    1(G

    1)z(H)z(H *

    **

    *

    W == , on a en sortie du filtre de

    blanchiment :

    [ ] [ ] [ ] [ ] nnnWn'

    nWnw~a)z(Gw)z(Ha)z(Gy)z(Hy~ +=+==

    Le filtre G(z) est connu et le bruit nw~

    est blanc.

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    Rfrences

    [1] R.W. Lucky , Techniques for adaptive equalization of digital communication255-286, 1965.

    [2] Proakis J. G. Digital Communications, 4e dition, New York, Mc Graw-Hill, 2000.

    [3] M. Bellanger,Analyse des signaux et filtrage numrique adaptatif, Masson 1989.

    [4] Picinbono B. Signaux alatoires(en trois tomes), Bases du traitement statistique du signal

    (tome 3), Paris, Dunod, 1995.

    [5] Haykin S.,Adaptive Filter Theory, 3e dition, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

    [6] Macchi O. Lgalisation numrique en communications, Annales des tlcommunications,

    vol. 53, n_1-2, pp. 39-58, 1998.

    [7] Brossier J.M. Egalisation et synchronisation, Signal et communication numrique, collection

    Traitement du Signal, Hermes 1997

    [8] Sklar B. Digital Communications Fundamentals and applications, Prentice Hall 2001.

    [9] Labat J., Macchi O., Laot C. Adaptive decision feedback Equalizers : Can you skip the training

    period, IEEE trans. on Communications, 1996.

    [10] Tugnait J. K., Tong L., Ding Z. Single User Channel Estimation and Equalization, IEEE Signal

    Processing Magazine, pp. 17-28, may 2000.

    [11] D. Godard, Self recovering equalization and carrier tracking in two-dimensional data communicationsystemsIEEE trans. on Communications, vol. COM-28 no. 11, nov. 1980, pp. 1867-1875.