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EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL UNIDAD 4: SISTEMA DIÉDRICO

Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 4: Sistema Diédrico. 4º ESO

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INDICE 1. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

1.1. Objetivo (de las 3D a las 2D y de las 2D a las 3D) 3

1.2. Operaciones básicas 3

1.3. Tipos de proyección 4

1.4. Sistemas de representación 4

2. SISTEMA DIÉDRICO

2.1. Introducción 5 2.2. Bisectores 6 2.3. El punto 7

2.3.1. Proyecciones del punto 2.3.2. Nomenclatura 2.3.3. Representación del punto 2.3.4. Alfabeto del punto

2.4. La recta 11 2.4.1. Nomenclatura 2.4.2. Proyecciones de una recta 2.4.3. Trazas de una recta 2.4.4. Pertenencia 2.4.5. Alfabeto de la recta

2.5. El plano 18 2.5.1. Nomenclatura 2.5.2. Formas de definir un plano


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1. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

El conjunto del sistema diédrico y de las tres formas perspectivas, cónica, caballera y axonométrica, constituye el instrumento gráfico utilizado actualmente para los trabajos de dibujo técnico y diseño, siendo un lenguaje universal que puede ser comprendido en cualquier momento por los técnicos especializados en cada materia en todo el mundo.

1.1. Objetivo (de las 3D a las 2D y de las 2D a las 3D)

Todos los sistemas de representación, tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, (como puede ser una hoja de papel), los objetos que son tridimensionales en el espacio. Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación. Pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentes sistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto. Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un plano, que se denomina plano del cuadro o de proyección, mediante los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyección utilizados, la situación relativa de estos respecto al objeto, así como la dirección de los rayos proyectantes, son las características que diferencian a los distintos sistemas de representación.

1.2. Operaciones básicas Proyectar es una operación geométrica que consiste en hacer pasar un rayo proyectivo por un punto determinado.

Cortar hace referencia a la intersección que un rayo proyectivo tiene sobre un plano, al que se denomina de proyección.

Proyección de un punto P sobre un plano es obtener mediante las operaciones de proyectar y cortar el punto P’ de intersección del rayo proyectivo con el plano de proyección.


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1.3. Tipos de proyección

Proyección cónica. Si el punto de vista o vértice de la radiación es un punto propio (está en la zona finita del espacio), el haz proyectivo tiene forma cónica, resultando el Sistema Cónico, empleado más usualmente en arte, así como en arquitectura e ingeniería, principalmente cuando se trata de representar edificios en los que interesa una percepción más real del objeto. Proyección cilíndrica. Si el punto de vista está en el infinito, los rayos proyectivos son paralelos. A estos sistemas se les denomina de proyección cilíndrica o paralela y tienen importantes ventajas debido a que simplifican la representación. Si estos rayos proyectivos son perpendiculares al plano de proyección, se dice que el sistema de representación es ortogonal, en caso contrario es oblicuo.

1.4. Sistemas de representación en función del tipo de proyección


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2. SISTEMA DIÉDRICO

2.1. Introducción

El Sistema Diédrico es un sistema de representación que se basa en una proyección paralela o cilíndrica ortogonal con dos planos de proyección, y en consecuencia, con dos proyecciones. Por cada plano de proyección se obtiene una proyección. Los dos planos de proyección principales se cortan perpendicularmente en posición vertical y horizontal, dividiendo el espacio en cuatro zona. A los planos de proyección se les denomina Plano Vertical de proyección (PV) y Plano Horizontal de proyección (PH). Aunque se representan con límites, en realidad son ilimitados, ya que son imaginarios. A la línea de intersección de los planos de proyección se la denomina Línea de Tierra(LT). A los cuatro espacios en los que queda dividido el espacio general por los planos de proyección, se les denomina Diedros o Cuadrantes. El nombre de Sistema Diédrico proviene de Diedro.

Para convertir estos dos planos en uno solo, se abate uno de los planos sobre el otro, girando sobre la Línea de Tierra (LT), que hace las veces de bisagra, de forma que queden superpuestos. En el abatimiento se levan consigo sus proyecciones. Después de realizado el abatimiento, junto con sus proyecciones, se obtiene un único plano de trabajo, con el indicador de la Línea de Tierra (LT) como medio de referencia. La Línea de Tierra se marca con una línea horizontal y dos pequeñas rayitas debajo de sus extremos.


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2.2. Bisectores

En ocasiones es interesante imaginar dos planos que dividen a los Cuadrantes en dos partes iguales. A estos planos se les conoce como Planos Bisectores. Los Planos de Proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. Los Planos Bisectores y los Planos de Proyección dividen el espacio en ocho Octantes.


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2.3. El punto El punto es el elemento geométrico más simple. No tiene dimensiones, es inmaterial. Solo tiene posición. Dos puntos definen una línea recta (un segmento). Tres puntos forman un plano (un triángulo).

2.3.1. Proyecciones del punto

La proyección de un punto siempre es otro punto.

Todo punto en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos proyecciones en forma de dos puntos. Una proyección vertical, en el plano de proyección Vertical, y otra proyección horizontal, en el plano de proyección Horizontal.

2.3.2. Nomenclatura

Los puntos se representan con letras mayúscula latinas (A, B, C…). La proyección vertical lleva dos comillas (A’’). La proyección horizontal lleva una comilla. (A’).

2.3.3. Representación del punto

A la distancia que hay desde el punto al Plano Horizontal se la denomina Cota.

A la distancia que hay desde el punto al Plano Vertical se la denomina Alejamiento.

La representación en el Sistema Diédrico de un punto cualquiera se hace a partir de una línea perpendicular a la LT, midiendo en la proyección vertical la cota del punto y en la proyección horizontal el alejamiento del punto.

V

H

A’’

A’

Cota

Alejamiento

A’’

A’

Cota

Alejamiento

A


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Representación por coordenadas:

Existe otra forma de definir un punto en Diédrico por medio de coordenadas.

Si imaginamos un sistema de coordenadas X, Y, Z situados en los Planos de Proyección, podemos trabajar en el papel de acuerdo con el siguiente esquema:

De esta forma, podemos definir cualquier punto dando tres coordenadas en la forma: (X, Y, Z), que se corresponden con X=desviación, Y=alejamiento y Z=cota, pudiendo tener valores positivos o negativos, tal como se puede ver en las figuras anteriores. En este sistema no es preciso dibujar los ejes. Solo se necesita marcar la Línea de Tierra y el origen de coordenadas en la LT que situaremos en el centro de la línea de tierra.

Por ejemplo, si decimos dibujar el punto E (36, 47, 25), tenemos:

V

H

+Z

-Z

-Y

+Y

+X

-X

-Z +Y

+Z -Y

+X -X 0

E2

E1

25

47

36

E2

E1

E2

E1

(E)

O


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Otros casos posibles serían: F(25, 30, -40); G(-15, -52, 18); H(0, -10, -10); etc.

2.3.4. Alfabeto del punto

Con el nombre de “alfabeto del punto”, se indican las diversas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio con relación a los planos de proyección.

Existen 17 puntos notables en el Sistema Diédrico situados en los ocho octantes, en los cuatro bisectores, en los cuatro planos de proyección y en la LT. A la representación de estos 17 puntos se la conoce como alfabeto del punto.

F’’

F’

G’

G’’ H’

H’’


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Puntos situados en los octantes y en la L.T.. Puntos B, D, F, H, J, N, O, Q y R.

• Los puntos situados en el primer Cuadrante siempre tienen la proyección vertical encima de la LT y la proyección horizontal debajo de la LT: Punto B. En el primer octante, tiene más alejamiento que cota. Punto D. En el segundo octante tiene más cota que alejamiento.

• Los puntos situados en el segundo Cuadrante siempre tienen la proyección vertical y la proyección horizontal encima de la LT: Punto F. En el tercer octante, tiene más cota que alejamiento. Punto H. En el cuarto octante, tiene más alejamiento que cota.

• Los puntos situados en el tercer Cuadrante siempre tienen la proyección vertical debajo de la LT y la proyección horizontal encima de la LT: Punto J. En el quinto octante. Punto N. En el sexto octante.

• Los puntos situados en el cuarto Cuadrante siempre tienen la proyección vertical y la proyección horizontal debajo de la LT. Punto O. En el séptimo octante. Punto Q. En el octavo octante.

• Los puntos situados en la Línea de Tierra siempre tienen cota y alejamiento cero. Punto R. Tiene las dos proyecciones sobre la línea de tierra.

Puntos situados en los planos de proyección. Puntos A, E, I y M. o Los puntos situados en el plano Horizontal de proyección siempre

tienen cota cero. Puntos A e I. o Los puntos situados en el plano Vertical de proyección siempre tienen

alejamiento cero. Puntos E y M.

Puntos situados en los planos bisectores. Puntos C, G, K y P. § Los puntos situados en los planos bisectores siempre tienen iguales la

cota y el alejamiento. Punto C. Situado en el primer bisector, primer diedro. Punto G. Situado en el segundo bisector, segundo diedro. Punto K. Situado en el primer bisector, tercer diedro. Punto P. Situado en el segundo bisector, cuarto diedro.


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2.4. La recta

La recta es uno de los elementos geométricos básicos. Solo tiene una dimensión lineal (X). Dos puntos definen una línea recta (un segmento).

En general, la proyección de una recta es otra recta.

Toda recta en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos proyecciones en forma de dos rectas. Una proyección vertical, en el Plano de Proyección Vertical, y otra proyección horizontal, en el Plano de Proyección Horizontal.

2.4.1. Nomenclatura

Las rectas se representan con letras minúsculas latinas (r, s, t…). La proyección vertical lleva dos comillas (r’’). La proyección horizontal lleva una comilla (r’).

2.4.2. Proyecciones de la recta de la recta

Una recta queda definida por dos puntos. Conociendo ya la representación del punto puede procederse a la representación de la recta en el espacio y en su forma descriptiva. La recta r está determinada por los puntos A y B siendo sus proyecciones respectivas A’, A’’ y B’, B’’. Para hallar las proyecciones de la recta r, bastará con unir las proyecciones homónimas A’ con B’ y A’’ con B’’, obteniendo r’ (proyección horizontal) y r’’ (proyección vertical).

V

H

A’’

A’

B’’

B

A

B

B’

B’’

A’’

A

r

A’

A’

B’’

B’

A

B

B’

B’

A’’

A’

r’’

r’

r’’

r’


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Las proyecciones de una recta, que en definitiva serían las de los infinitos puntos que contiene, son dos rectas, una r’ sobre el Plano Horizontal de proyección y otra r’’ sobre el Plano Vertical de proyección.

2.4.3. Trazas de una recta

Cualquier recta situada en el espacio sin condiciones especiales (al azar), al prolongarse atraviesa el PV y el PH y pasa por tres diedros o cuadrantes.

Los puntos por los que la recta a traviesa los planos de proyección se denominan trazas de la recta, existiendo dos: la traza vertical (donde atraviesa al PV) y la traza horizontal (donde atraviesa al PH).

La traza vertical de una recta siempre es un punto del PV y la traza horizontal de una recta siempre es un punto del PH.

Para diferenciarse de puntos cualesquiera situados en los planos de proyección, se denominan de una forma especial, con la letra V o H, según sean traza vertical o traza horizontal, acompañadas de un subíndice con la letra correspondiente a la recta. Solo se suelen rotular en la proyección correspondiente de cada punto.

Las trazas se localizan en la perpendicular sobre la LT a partir del punto donde la proyección de la recta toca a la Línea de Tierra.

Ya hemos comentado que cualquier recta del espacio, al ser ilimitada, atraviesa varios cuadrantes (normalmente tres), por lo tanto, hay partes de las proyecciones de la recta que pertenecen a diversos cuadrantes.

Para saber qué zonas de una recta están en distintos cuadrantes, es preciso localizar primero las trazas de la recta, ya que estos puntos marcan los puntos donde la recta cambia de diedro.

La zona de la recta situada entre las trazas pertenece a un determinado diedro. La zona de la recta que va desde la traza de la izquierda hacia la izquierda pertenece a otro diedro. La zona de la recta que va desde la traza de la derecha hacia la derecha pertenece a otro diedro.

r

Vr

Hr

r’’

r’

Hr

Vr

r’’

r’

. .


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Para saber a qué diedro o cuadrante pertenece una determinada zona, es suficiente con elegir un punto de cada zona que pertenezca a la recta y ver a qué diedro pertenece dicho punto.

Otra forma de saber a qué cuadrante pertenece cada zona es fijándose en las trazas. En la figura anterior, las trazas están en el PHA y en el PVS, ambos visibles desde el primer diedro, lo que quiere decir que la zona entre las trazas pertenece al primer cuadrante.

2.4.4. Pertenencias

Un punto pertenece a una recta si su proyección vertical está en la proyección vertical de la recta y si su proyección horizontal está en la proyección horizontal de la recta. No es suficiente con que solo coincida una de las proyecciones.

En la siguiente figura, el punto A pertenece a la recta R y el punto B no está en la recta R.

r

Vr

Hr

r’’

r’ Hr

Vr

r’’

r’

D D D

r

A’’

A’

A

B

B’

B’’

r’’

r’

B’’

B’

A’’

A’

r’’

r’


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2.4.5. Alfabeto de la recta

Estudiaremos aquí lo que ocurre con las proyecciones de una recta, dependiendo de las distintas posiciones que ocupe en el espacio.

Recta Horizontal Es paralela al Plano Horizontal. Su proyección vertical es paralela a la LT. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

Recta Frontal Es paralela al Plano Vertical. Su proyección horizontal es paralela a la LT. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

r r’’

r’

r’’

r’

Vr

r r’’

r’

r’’

r’

Hr


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Recta De Punta Es perpendicular al Plano Vertical. Su proyección vertical es un punto y su proyección horizontal es perpendicular a la LT. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

Recta Vertical Es perpendicular al Plano Horizontal. Su proyección horizontal es un punto y su proyección vertical es perpendicular a la LT. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

r

r’’

r’

r’’ΞVr

r’

r r’’

r’

r’’

r’ΞHr


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Recta Paralela a LT Es paralela a la Línea de Tierra. Sus dos proyecciones son paralelas a LT. Sus dos proyecciones se muestran en verdadera magnitud. No tiene trazas. Pasa por un diedro. No corta a ningún bisector.

Recta que corta a LT Corta a la Línea de Tierra en un punto. Sus dos proyecciones son inclinadas con la LT y se cortan en un punto de ella. Tiene dos trazas coincidentes en un punto de LT. Pasa por dos diedros. No corta a ningún bisector.

r

r’’

r’

r’’

r’

r r’’

r’

r’’

r’

HrΞVr


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Recta contenida en PH Está contenida en el Plano Horizontal. Su proyección vertical coincide con la LT y se corta con la proyección horizontal en un punto de ella. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. No pasa por ningún diedro. No corta a ningún bisector.

Recta contenida en PV Está contenida en el Plano Vertical. Su proyección horizontal coincide con la LT y se corta con la proyección vertical en un punto de ella. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. No pasa por ningún diedro. No corta a ningún bisector.

r Ξ r’

r’’ r’’

r’

Vr

r’

r’’

r’

r Ξ r’’

Hr


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2.5. El plano Un plano es una superficie plana ilimitada, sin espesor. El plano es uno de los elementos geométricos básicos. Tiene dos dimensiones planas (X e Y). Tres puntos no alineados definen un plano. Un punto y una recta exterior al punto definen un plano. Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan también definen un plano.

Un plano no tiene proyección (la proyección de los infinitos puntos que lo componen daría como resultado una mancha de puntos), por este motivo, los planos se representan en el Sistema Diédrico por sus trazas.

Todo plano en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos trazas en forma de dos rectas contenidas en los dos planos proyectantes. Una traza vertical, en el Plano de Proyección Vertical, y otra traza horizontal, en el Plano de Proyección Horizontal.

Aunque los planos no tienen proyección propia y se representan por sus trazas, las figuras planas que contienen los planos (puntos, rectas, polígonos, circunferencias, etc.) si tienen proyecciones.

2.5.1. Nomenclatura Las trazas de un plano dispuesto sin ninguna condición especial se cortan en un mismo punto de la Línea de Tierra.

Un plano en el espacio se marca con una letra griega mayúscula (α, β, γ…). A la traza vertical de un plano se la denomina α’’, (u otra letra griega que define el plano) y a la traza horizontal de un plano se la denomina α’ (o la letra griega que le corresponda).

𝛼 𝛼′′

𝛼′

𝛼′

𝛼′′


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2.5.2. Formas de definir un plano

Plano definido por dos rectas que se cortan

Dos rectas que se cortan definen un plano. También sabemos que dos rectas que se cortan tienen un punto común.

En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por dos rectas que se cortan, dibujando las trazas del plano por las trazas homónimas de las rectas dadas.

r’’

r’

s’’

s’

r’’

r’

s’’

s’

r’’

r’

s’’

s’

r’’

r’

s’’

s’

Partimos de dos rectas r y s que se cortan 1 Localizamos las trazas de una de las rectas dadas, en este caso la recta r

3 Unimos las trazas homónimas de cada recta para dibujar las trazas del plano 𝛼

2 Localizamos las trazas de la otra recta, en este caso la recta s

Hr

Vr

Vr

Hr

Vs

Hs

Vr

Vs

Hs

Hr

𝛼′

𝛼′′


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Plano definido por dos rectas paralelas

Dos rectas paralelas definen un plano. También sabemos que dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas.

En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por dos rectas paralelas, dibujando las trazas del plano por las trazas homónimas de las rectas dadas.

r’’

r’

s’’

s’

Partimos de dos rectas r y s paralelas

r’’

r’

s’’

s’

Vr

Hr

1 Localizamos las trazas de una de las rectas, en este caso la recta r

r’’

r’

s’’

s’

Vs

Vr

Hs

Hr

3 Unimos las trazas homónimas de cada recta para dibujar las trazas del plano 𝛼

𝛼′′

𝛼′

r’’

r’

s’’

s’

Vs

Vr

Hs

Hr

2 Localizamos las trazas de la otra recta, en este caso la recta s


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Plano definido por una recta y un punto

Una recta y un punto exterior a ella definen un plano. Para dibujar el plano que forman una recta y un punto debemos coger un punto cualquiera de la recta y trazar la recta que definen el punto dado y el punto que hemos elegido en la recta, lo que da lugar a dibujar un plano definido por dos rectas que se cortan, que ya sabemos cómo se hace.

En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por una recta y un punto exterior a ella.

r’’

r’

s’’

s’

Partimos de un punto A y una recta s 1 Cogemos un punto cualquiera de la recta dada s, en este caso el punto B

3 Localizamos las trazas de las rectas r y s para dibujar las trazas del plano 𝛼

2 Unimos A con B para dibujar una recta r que se corta con la recta s en el punto B

Vr

Vs

Hs

Hr

𝛼′

𝛼′′ A’’

A’

r’’

r’

s’’

s’

A’’

A’

s’’

s’

A’’

A’

s’’

s’

A’’

A’

B’’

B’

B’’

B’


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Plano definido por tres puntos

Tres puntos no alineados definen un plano. Para dibujar el plano que forman tres puntos no alineados debemos unir los tres puntos, dos a dos, para tener dos rectas que se cortan en un de ellos, lo que da lugar a dibujar un plano definido por dos rectas que se cortan, que ya sabemos cómo se hace.

En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por tres puntos no alineados.

r’’

r’

s’’

s’

Partimos de tres puntos A, B y C 1 Unimos dos puntos A y B para formar una recta, en este caso r

3 Localizamos las trazas de las rectas r y s para dibujar las trazas del plano 𝛼

2 Unimos C con B para dibujar la recta s, que se corta con la recta r en el punto B

Vr

Vs

Hs

Hr

hα

vα A’’

A’

B’

B’’ C’’

C’

r’’

r’

s’’

s’

A2

A’

B’

B’’

C’’

C’

A’’

A’

B’

B’’ C’’

C’

r’’

r’

A’’

A’

B’

B’’ C’’

C’

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