Embed Size (px)
Citation preview
Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________ ID: A
1
probleme propuse ecuatii cu derivate partiale sesiunea iarna 2006-2007
Multiple Choice
Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
____ 1. --
Care din urmatoarele expresii nu sunt corecte din punct de vedere matematic?
a.
b.
c.
d.
____ 2. --
Care din urmatoarele ecuatii nu sunt ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
2
____ 3. --
Care din urmatoarele ecuatii nu sunt ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2
a.
b.
c.
d.
____ 4. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
3
____ 5. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
____ 6. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
____ 7. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
4
____ 8. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a.
b.
c.
d.
____ 9. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
5
____ 10. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
____ 11. --
Se da ecuatia diferentiala
Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de
mai sus ca ecuatie a caracteristicilor:
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
6
____ 12. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei
____ 13. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei
____ 14. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. criteriul nu decide tipul ecuatiei
Name: ________________________ ID: A
7
____ 15. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 16. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe . Ecuatia caracteristicilor asociata
acestei ecuatii este
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 17. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata
acestei ecuatii
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
8
____ 18. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata
acestei ecuatii
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 19. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata
acestei ecuatii
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 20. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata
acestei ecuatii
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
9
____ 21. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata
acestei ecuatii
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 22. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu cu ecuatie a
caracteristicilor asociata
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu
functii reale si distincte in fiecare punct .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
10
____ 23. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca cu functie reala in
fiecare punct .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 24. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu
functii complex conjugate asa ca in fiecare punct , nu este
reala.
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
11
____ 25. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a
ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
____ 26. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a
ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
12
____ 27. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a
ecuatiei cu derivate partiale.
a. c.
b. d.
____ 28. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
13
____ 29. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este
a.
b.
c.
d.
____ 30. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
14
____ 31. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Identificati in expresiile de mai jos valoarea
a. c. 2 / y
b.
____ 32. --
Care din urmatoarele ecuatii sunt ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al
doilea cu coeficienti constanti.
a. c.
b. d.
____ 33. --
Care din urmatoarele ecuatii sunt ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al
doilea cu coeficienti constanti.
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
15
____ 34.
Dupa rezolvarea ecuatiei caracteristicilor asociate unei ecuatii liniare si omogene in raport cu
derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti trebuie rezolvate ecuatii diferentiale de tipul
a. k constanta c. unde k,a constante
b. unde k constanta d. unde k,a constante
____ 35. --
Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de
ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Notam noile variabile cu . Atunci este de forma
a. unde α,β numere constante
b. unde α,β numere constante
c. unde α,β numere constante
d. unde α,β numere constante
____ 36. --
Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de
ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Se stie ca aceasta ecuatie este de tip hiperbolic. Schimbarea
de variabile potrivita este de forma
a. unde β1,β2 numere constante
b. unde β1,β2 numere constante
c. unde β1,β2 numere constante
d. unde β1,β2 numere constante
Name: ________________________ ID: A
16
____ 37. --
Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de
ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Se stie ca aceasta ecuatie este de tip eliptic. Schimbarea de
variabile potrivita este de forma
a. numere constante
b. numere constante
c. numere constante
d.
____ 38. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu
coeficienti constanti de tip hiperbolic. este
a. c.
b. d.
____ 39. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu
coeficienti constanti de tip parabolic. este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
17
____ 40. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu
coeficienti constanti de tip eliptic. este
a. c.
b. d.
____ 41. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
18
____ 42. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
____ 43. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
19
____ 44. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
____ 45. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
____ 46. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
20
____ 47. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
21
____ 48. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu
coeficienti constanti . este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
e. Niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
22
____ 49. --
Ecuatia
unde c>0 este o constanta , reprezinta
a. ecuatia propagarii caldurii
b. problema Dirichlet pentru disc
c. ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d. ecuatia neomogena a coardei vibrante
e. Niciuna din variantele de mai sus
____ 50. --
Ecuatia
reprezinta o forma particulara a
a. ecuatiei propagarii caldurii
b. problemei Dirichlet pentru disc
c. ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d. ecuatiei neomemogene a coardei vibrante
e. Niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
23
____ 51. --
Se considera ecuatia
pentru si .
O conditie de tipul pentru orice reprezinta
a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus
b. O conditie initiala
____ 52. --
Se considera ecuatia
pentru si .
O conditie de tipul , pentru reprezinta
a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus
b. O conditie initiala
Name: ________________________ ID: A
24
____ 53. --
Ecuatia caracteristicilor asociata ecuatiei
unde c este o constanta , este
a. c.
b. d.
____ 54. --
Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este
a. c.
b. d.
____ 55. --
Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile
sunt
a. conditii initiale c. conditii necesare
b. conditii la limita d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
25
____ 56. --
Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile
sunt
a. conditii initiale c. conditii necesare
b. conditii la limita d. niciuna din variantele de mai sus
____ 57. --
Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale
si conditiile la limita
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie
particulara a ecuatiei initiale de forma
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
26
____ 58. --
Consideram doua functii asa ca X(x),T(t) satisfac ecuatia
unde c>0, este un numar real constant. Atunci exista un numar real constant k asa ca
a.
b.
c.
d.
____ 59. --
Pentru k>0 solutia ecuatiei
este de forma
a.
b.
c.
d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
27
____ 60. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(2)
Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrante c. ecuatia propagarii caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibrante d. ecuatia lui Laplace
____ 61. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(8)
a>0. Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrante c. ecuatia propagarii caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibrante d. ecuatia lui Laplace
____ 62. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(9)
a>0. Aceasta este o ecuatie de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus.
Name: ________________________ ID: A
28
____ 63. --
Consideram ecuatia propagarii caldurii
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie
particulara a ecuatiei initiale de forma
a. c.
b. d.
____ 64. --
Incercam sa rezolvam o ecuatie cu derivate partiale de ordin 2 cu metoda separarii varibilelor.
datorita formei acestei ecuatii cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
. Presupunem ca
T satisface ecuatia
unde k,a sunt numere reale constante. Solutia generala a acestei ecuatii diferentiale este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
29
____ 65. --
Temperatura intr-un punct al unei bare de metal este data de
unde reprezinta timpul scurs de la momentul initial 0 iar c este un numar real. In ipoteza ca nu
exista schimb de caldura intre suprafata barei si mediul inconjurator care credeti ca este semnul lui
c? (indicatie: deoarece nu exista schimb de caldura intre suprafata barei si mediul inconjurator
temperatura barei nu poate creste catre infinit).
a. c este pozitiv c. c este 0
b. c este negativ d. depinde de conditiile initiale
____ 66. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(11)
Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrante c. ecuatia caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibrante d. ecuatia lui Laplace
____ 67. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(12)
Aceasta este o ecuatie de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nicuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
30
____ 68. --
Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc
a. se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor
b. se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare
c. se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda
caracteristicilor
d. niciuna din variantele de mai sus
____ 69. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(17)
Dorim sa trecem la coordonate polare r, date de . Punem
. Cat este ?
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
31
____ 70. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza
aceste ecuatii si se gaseste .
Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip eliptic pe D atunci schimbarea de variabile pentru
reducerea la forma canonica a ecuatiei este
a.
b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este
c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
32
____ 71. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza
aceste ecuatii si se gaseste .
Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip parabolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru
reducerea la forma canonica a ecuatiei este
a.
b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este
c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
33
____ 72. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza
aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate
partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica
a ecuatiei este
a.
b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este
c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
34
____ 73. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a
ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
____ 74. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a
ecuatiei cu derivate partiale.
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
35
____ 75. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos tipul ecuatiei cu derivate partiale.
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din aceste variante
____ 76. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Identificati in expresiile de mai jos derivata partiala a lui η in raport cu x
si y,
a. c. 2 / y
b. d.
____ 77. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Notam Atunci este adevarat ca
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
36
____ 78. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Notam Atunci este adevarat ca
a. c.
b. d.
____ 79. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
37
____ 80. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile
. Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a. c.
b. d.
____ 81.
Dupa rezolvarea ecuatiei caracteristicilor asociate unei ecuatii liniare si omogene in raport cu
derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti trebuie rezolvate ecuatii diferentiale de tipul
a. k constanta c. unde k,a constante
b. unde k constanta d. unde k,a constante
Name: ________________________ ID: A
38
____ 82. --
Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de
ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Notam noile variabile cu . Atunci este de forma
a. unde α,β numere constante
b. unde α,β numere constante
c. unde α,β numere constante
d. unde α,β numere constante
____ 83. --
Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de
ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Se stie ca aceasta ecuatie este de tip parabolic. Schimbarea
de variabile potrivita este de forma
a. unde β1,β2 numere constante
b. unde β1 numar constant
c. unde β1 numar constant
d.
Name: ________________________ ID: A
39
____ 84. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
40
____ 85. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.
b.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
Name: ________________________ ID: A
41
____ 86. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f este functie de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
Name: ________________________ ID: A
42
____ 87. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.
b.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
Name: ________________________ ID: A
43
____ 88. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma
canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
Name: ________________________ ID: A
44
____ 89. --
Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei
unde c este o constanta , sunt
a. unde numere reale
b. unde numere reale
c. unde numere reale
d. unde numere reale
____ 90. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este
unde c este o constanta .
Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma
canonica?
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
45
____ 91. --
Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare se aduce ecuatia la forma
canonica
si apoi se rezolva aceasta ecuatie. Se obtine
a. U(ψ ,η) = f(η)
unde f este functie de clasa .
b. U(ψ ,η) = f(ψ ) + g(η)
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d. Niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
46
____ 92. --
Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia
la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f,g sunt functii de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
e. Niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
47
____ 93. --
Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditii initiale
se cauta o solutie de tipul
unde sunt functii de clasa iar c este un numar real pozitiv. Dupa aplicarea conditiilor
initiale se obtine
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
48
____ 94. --
Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale
(1)
Se cauta o solutie de forma
. Rezulta atunci ca
X,T satisfac ecuatia
a. c.
b. d.
____ 95. --
Pentru k<0 solutia ecuatiei
este de forma
a. , c1,c2 constante
b. , c1,c2 constante
c. , c1,c2 constante
d. niciuna din variantele de mai sus
Name: ________________________ ID: A
49
____ 96. --
Pentru exista solutie nenula a ecuatiei
cu conditiile numai daca k este de forma
a.
n numar natural.
b. ,n numar natural.
c. ,n numar natural.
d. ,n numar natural.
Name: ________________________ ID: A
50
____ 97. --
Pentru rezolvarea ecuatiei neomogene a coardei vibrante
(3)
cu conditiile initiale
si conditiile la limita
se cauta o solutie de forma unde u0 este solutia ecuatiei omogene a coardei vibrante
corespunzatoare si este solutia ecuatiei de mai jos cu conditiile initiale
si conditiile la limita
Selectati ecuatia satisfacuta de U.
Name: ________________________ ID: A
51
a.
b.
c.
d.
Name: ________________________ ID: A
52
____ 98. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(10)
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie
particulara a ecuatiei initiale de forma
. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
53
____ 99. --
Consideram o functie X(x) ce satisface o ecuatie diferentiala de forma
Stim deasemenea ca X satisface conditiile la limita
Cat credeti ca trebuie sa fie pentru ca solutia X a ecuatiei diferentiale de mai sus sa nu fie solutia
nula .
a. , k numar intreg c. , k numar intreg
b. ,k numar intreg d. , k numar intreg
____ 100. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(13)
Dorim sa trecem la coordonate polare r, date de . Punem
. Cat este ?
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
54
____ 101. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(14)
Dorim sa trecem la coordonate polare r, date de . Punem
. Cat este ?
a. c.
b. d.
____ 102. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(15)
Dorim sa trecem la coordonate polare r, date de . Punem
. Cat este ?
a. c.
b. d.
Name: ________________________ ID: A
55
____ 103. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(16)
Dorim sa trecem la coordonate polare r, date de . Punem
. Cat este ?
a. c.
b. d.
True/False
Indicate whether the sentence or statement is true or false.
____ 104. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al
doilea cu coeficienti constanti are forma
unde a,b,c sunt niste numere reale constante.
____ 105. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al
doilea cu coeficienti constanti are forma
unde a,b,c sunt niste numere reale constante.
Name: ________________________ ID: A
56
____ 106. --
Pentru solutia ecuatiei
cu conditiile , este in mod necesar solutia nula.
Matching
--
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei
ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza
aceste ecuatii si se gaseste . Identificati mai jos schimbarea
de variabile potrivita fiecarui tip de ecuatie pentru aducerea la forma canonica
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic
____ 107.
____ 108.
____ 109.
1
ecuatii
MULTIPLE CHOICE
1. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
2. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
2
3. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
4. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
5. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
a. c.
b. d.
3
6. --
Se da ecuatia diferentiala
Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor:
a.
b.
c.
d.
7. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei
4
8. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei
9. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un
domeniu este
. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. criteriul nu decide tipul ecuatiei
10. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
sinx⋅ y' 2 − 2cosx⋅ y'− sinx= 0
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
5
11. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe . Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
12. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
y' 2 − cosx ⋅ y'+ 3 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
13. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
y' 2 − 2cosx ⋅ y'+ 4 = 0
Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
6
14. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu cu ecuatie
a caracteristicilor asociata
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu
functii reale si distincte in fiecare punct .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
15. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca cu functie reala in
fiecare punct .
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
7
16. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia
caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu
functii complex conjugate asa ca in fiecare punct , nu
este reala.
Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
17. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
8
18. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
19. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale.
a. c.
b. d.
9
20. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este
a.
b.
c.
d.
21. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este
a.
b.
c.
d.
10
22. --
Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este
a.
b.
c.
d.
23. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este
a. c.
b. d.
24. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip parabolic. este
a. c.
b. d.
11
25. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este
a. c.
b. d.
26. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
12
27. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
28. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
13
29. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
30. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
31. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
14
32. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
Atunci ecuatia este de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus
15
33. --
Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
e. Niciuna din variantele de mai sus
16
34. --
Ecuatia
unde c>0 este o constanta , reprezinta
a. ecuatia propagarii caldurii
b. problema Dirichlet pentru disc
c. ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d. ecuatia neomogena a coardei vibrante
e. Niciuna din variantele de mai sus
35. --
Ecuatia
reprezinta o forma particulara a
a. ecuatiei propagarii caldurii
b. problemei Dirichlet pentru disc
c. ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare
d. ecuatiei neomemogene a coardei vibrante
e. Niciuna din variantele de mai sus
17
36. --
Se considera ecuatia
pentru si .
O conditie de tipul pentru orice reprezinta
a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus
b. O conditie initiala
37. --
Se considera ecuatia
pentru si .
O conditie de tipul , pentru reprezinta
a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus
b. O conditie initiala
38. --
Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este
a. c.
b. d.
18
39. --
Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile
sunt
a. conditii initiale c. conditii necesare
b. conditii la limita d. niciuna din variantele de mai sus
40. --
Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale
si conditiile la limita
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
a. c.
b. d.
19
41. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(8)
a>0. Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia propagarii caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace
42. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(9)
a>0. Aceasta este o ecuatie de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus.
20
43. --
Consideram ecuatia propagarii caldurii
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
a. c.
b. d.
44. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(11)
Aceasta este
a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia caldurii
b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace
21
45. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(12)
Aceasta este o ecuatie de tip
a. hiperbolic c. eliptic
b. parabolic d. nicuna din variantele de mai sus
46. --
Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc
a. se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor
b. se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare
c. se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor
d. niciuna din variantele de mai sus
47.
1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila :
a. ξ=y+x; η =2x c. ξ=y+x; η =x
b. ξ=y-x; η =2x d. ξ=y+x; η =2xy
22
TRUE/FALSE
1. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma
unde a,b,c sunt niste numere reale constante.
2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2
Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este
1
Ecuatii cu derivate partiale
MULTIPLE CHOICE
1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
2 2
2 20
u u
t x
∂ ∂− =∂ ∂
cu condiŃiile ini Ńiale:
20 0, 0t t
uu x
t= =∂= =∂
a. ( ) 2 2,u x t t x= +b. ( ) 2 2,u x t t x= −
c. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,
2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.
d. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,
2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − − + ⋅ - funcŃie arbitrară.
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 2
2 2
0 0
4 0
0, t t
u u
t xu
u xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )1, 2 2 ,
4u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.
b. ( ),u x t xt=
c. ( ) ( )2 2,u x t x tϕ= + , ( )ϕ ⋅ - funcŃie arbitrară.
d. ( ) 2 2,u x t t x= +
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul 2
ta
π= dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:
2 22
2 2
u ua
t x
∂ ∂−∂ ∂
şi de condiŃiile ini Ńiale 0 0sin , 1t t
uu x
t= =∂= =∂
.
a. ( ), sin cosu x t ax t t= +b. ( ), sin cosu x t x t t= +
c. ( ),2
u x ta
π=
d. ( ) 1, sin cos
2u x t x at
a=
2
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 2
2 2
0 0
0
, t t
u u
t xu
u x xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = − ∂
a. ( ) ( ), 1u x t t x= −b. ( ) ( ), 1u x t x t= −c. ( ),u x t tx=d. ( ) ( ), 1u x t x t= −
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 22
2 2
0 0
0
0, cost t
u ua
t xu
u xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
a. ( ) 1, cos sinu x t x at
a=
b. ( ) 1, sin cosu x t x at
a=
c. ( ) 1, sin cosu x t x x
a=
d. ( ) 1, cos sinu x t at x
a=
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t π= dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
2 2
2 2
0 0
0
sin , cost t
u u
t xu
u x xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
a. cosu x=b. sinu x= −c. cosu x= −d. sinu x=
3
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:2 2 2
2 22 3 2 6 0.
u u u u u
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂+ = = + = −
∂ ∂ ∂
b.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂− = = + = −
∂ ∂ ∂
c.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂+ = = − = +
∂ ∂ ∂
d.2 1
0 , , 32
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂− = = + = +
∂ ∂ ∂
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
2 24 5 2 0
u u u u u
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = + = −∂ ∂ ∂
b.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = − =∂ ∂ ∂
c.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂− + = = − =∂ ∂ ∂
d.2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ − = = − =∂ ∂ ∂
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
2 22 0.
u u u u ucu
x x y y x yα β∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂− + + + = = − =∂ ∂ ∂
b. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ − − + = = + =∂ ∂ ∂
c. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂
d. ( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂
4
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
( )2 2 2
22 2
2cos 3 sin 0u u u u
x x yx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂− − + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2
0 , 2 sin , 2 -sin -16
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
b.2
0 , 2 sin , 2 -sin -16
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ + = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
c.2
0 , 2 sin , 2 -sin -16
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = − + = ∂ ∂ ∂ ∂
d.2
0 , 2 sin , 2 -sin -32
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate2 2 2
2 22 2
2 2 0.u u u u
y xy x yx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂
b.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂
c.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ − ∂ ∂
d.2 2
2 2 22 2
1 1 0 , ,
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ + ∂ ∂
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 2 32 2
2 0.u u u u
tg x y tgx y tg xx x y y x
∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂
b.2
2 2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂
c.2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂
d.2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂
5
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
22 2
12sin cos cos sin 2 0.
2
u u u u ux x x x
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −
∂ ∂ ∂
b.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −
∂ ∂ ∂
c.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂+ = = + + = − −
∂ ∂ ∂
d.2 1
cos 0 , cos , cos2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ − ∂+ = = + + = − −
∂ ∂ ∂
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 2 42 2
2 3 2 4 16 0.u u u u u
x xy y x y x ux x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2 1 1
0 , , 4 2
u u u xu x y
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = − =
∂ ∂ ∂ ∂
b.2 1 1
0 , , 4 2
u u u xu x y
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = + =
∂ ∂ ∂ ∂
c.2 1 1
0 , , 4
u u u xu xy
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂− ⋅ + + = = =
∂ ∂ ∂ ∂
d.2 31 1
0 , , 4
u u u xu xy
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = =
∂ ∂ ∂ ∂
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
( ) ( )2 2
2 22 2
1 1 0.u u u u
x y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂
b. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂
c. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 3 1 9
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂
d. ( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 2 1 4 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂
6
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 22 2
sin 2 sin 0.u u u
x y x yx x y y
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂
a.2
2 2 2
20 , ln ,
2
u u xy y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂
b.2
2 2 2
20 , ,
2
u u xytg y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂
c.2
2 2 2
20 , ,
u u xtg y
y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂+ ⋅ = = =∂ + ∂
d.2
2 2 2
20 , ,
2
u u yxtg y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = = −∂ + ∂
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 22 2
2 2 0.u u u u
cth x y cthx y yx x y x y
∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a.2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx shxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ − ∂ ∂
b.2
2 2
10 , ,
1
u u uy shx chxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ + ∂ ∂
c.2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx shxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ + = = = ∂ + ∂ ∂
d.2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx yshxη ξ ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂− + = = = ∂ + ∂ ∂
7
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20.
u uy
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> ,iar, forma canonică este:
( )32 22
2 2
1 20 , , 0
3 3
u u ux y yξ η
ξ η η η∂ ∂ ∂+ + = = = >∂ ∂ ∂
b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y> , iar forma canonică este:
( )32 22
2 2
1 20 , , 0
3 3
u u ux y yξ η
ξ η η η∂ ∂ ∂− + = = = >∂ ∂ ∂
c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru 0y< , iar forma canonică este:
( )( )
( )
32
2
32
21 30 , 0
26
3
x yu u u
y
x y
ξ
ξ η η ξ ξ η η
= − − ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru 0y< , iar forma canonică este:
( )( )
( )
32
2 2
2 2 32
21 30 , 0
26
3
x yu u u u
y
x y
ξ
ξ η η ξ ξ η η
= − − ∂ ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20 , unde constant
u u uy
x y yα α∂ ∂ ∂+ + = =
∂ ∂ ∂a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2 2
2 2
2 10 , , 2 , 0
u u ux y y
α ξ ηξ η η η
∂ ∂ − ∂+ + = = = − <∂ ∂ ∂
b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2
122 0 , 02
x yu u uy
x y
α ξξ η ξ η ξ η η
− = − − ∂ ∂ ∂ − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2 2
2 2
2 10 , , 2 , 0
u u ux y y
α ξ ηξ η η η
∂ ∂ − ∂− + = = = − <∂ ∂ ∂
d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> , iar forma canonică este:
( )2 2
2 2
122 0 , 02
x yu u u uy
x y
α ξξ η ξ η ξ η η
− = − − ∂ ∂ ∂ ∂ + − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
8
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 2 0
u uy x
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y< < iar, forma canonică este:
( )
( )
3322 2
2 2 3322
1 10 ,
3
x yu u u
x y
ξη ξ
ξ η η ξ ξ ηη
= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +
b. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y< < iar forma canonică este:
( )
( )
32 2 2
2 2 3
2
1 10 ,
3 3
xu u u u
y
ξξ η ξ ξ η η η
= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −c. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:
( )
( )
32 2 2
2 2 3
2
1 10 ,
3 3
xu u u u
y
ξξ η ξ ξ η η η
= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:
( )
( )
3322 2
2 2 3322
1 10 ,
3
x yu u u
x y
ξη ξ
ξ η η ξ ξ ηη
= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +
9
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20
u ux y
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η+ −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ − −b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică
este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η+ −∂ ∂− = = =
∂ ∂ − −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică
este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂− = = =
∂ ∂ − −d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică
este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ − −
22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
( ) ( )2 2 2
2 22 2
1 2 1 2 2 0u u u u u
x xy y x yx x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− +∂ ∂− = = =
∂ ∂ + +b. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂− = = =
∂ ∂ + +c. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− +∂ ∂+ = = =
∂ ∂ + +d. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ + +
10
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2
22 2
2sin cos cos 0u u u u
x x xx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂− − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + + + − −b. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +c. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +d. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= − − + − +
24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
a. ( )2 2
2 2
10 , 0, 0 .
2
u u u ux y x y
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂− + − = > > ∂ ∂ ∂ ∂
b. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − − + − + − < <
c. ( ) ( ) ( ), , 0u x y x y x y x yϕ ψ= − + + >
d. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − + − + < >
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2
2 22 2
2 0u u u
x y yx y y
∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂
a. ( ) ( )2
2, ,
x xu x y x y
y yϕ ψ
= +
b. ( ) ( ),x y
u x y x y xyy xϕ ψ = ⋅ +
c. ( ) ( ), ,x y
u x y x yy x
ϕ ψ = +
d. ( ) ( ), ,x y
u x y x yy xϕ ψ = +
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2
2 22 2
2 0u u u u u
x xy y x yx x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ), lnu x y x y y x yϕ ψ= ⋅ + ⋅b. ( ) ( ) ( ), , lnu x y x y y x yϕ ψ= + ⋅
c. ( ) ( ), lnx
u x y x y yy
ϕ ψ = ⋅ +
d. ( ) ( ) ( ), , lny
u x y x y x yx
ϕ ψ= + ⋅
11
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2
2 22
u ux x
x x y
∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂
a. ( )( )
,
xx y
yu x y
x
ϕ ψ ⋅ + =
b. ( ) ( ) ( ),
x y x yu x y
x
ϕ ψ− + +=
c. ( ) ( ) ( ),
x y x yu x y
y
ϕ ψ− + +=
d. ( )( )
,
xx y
yu x y
y
ϕ ψ ⋅ + =
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( )2
0u u u
x yx y x y
∂ ∂ ∂− − + =∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrare
X x Y yu x y X x
x y=
+
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
⋅=
⋅
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
−=
−
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
+=
+
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2
0u u u
y x xyux y x y
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( )2 2
2,x y x
u x y e yy
ϕ ψ+−
= +
b. ( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x y x yϕ ψ+
= + + −
c. ( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x y x yϕ ψ+−
= + + −
d. ( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x yϕ ψ+−
= +
12
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
, , y z
z yx x
ξ η ζ= = = −
să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 0u u u u u u
x xy y yz z zxx x y y y z z z x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
b. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z y x yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
d. ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z xyx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( )2 2 2 2
211 12 22 11 22 122 2 2
2 u u u u
a a a a a at x x y y
∂ ∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( )12 22 12 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψb. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψc. ( ) ( ) ( )22 12 22 12, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψd. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + − + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψ
13
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:4 4 4
4 2 2 42 0
u u u
x x y y
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y yf x xf y f x y f x y= + + − + + ,
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y f x y f x y= + + − + + ,
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y x y f x y x y f x y f x y f x y= − + + + − + − + +
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y x y f x y x y f x y= + + + − + − +
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:2 2 2
22 2 0
0
2 3 0 , 3 , 0y
y
u u u uu x
x x y y y==
∂ ∂ ∂ ∂+ − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) 2 2, 3u x y x y= −b. ( ) 2 2, 3u x y x y= −c. ( ) 2 2, 3u x y x y= +d. ( ) 2 2, 3u x y x y= +
14
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 20 12 2 0
0
1 1 0 , u , y
y
u u u u ux y x y x x
x y x y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
− − −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β + += + + + + =
+ +
b. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
+ + −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β + += + + + + =
+ +
c. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
− − −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β − += − + + + =
+ +
d. ( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
+ + −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β − += − + + + =
+ +
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
20 12 2 sin
sin
2cos sin sin 0 , u , y x
y x
u u u u ux x x x x
x x y y y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )sin
0 0 1
sin
1 1, sin sin
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +
− −
= + + + − − + ∫
b. ( ) ( ) ( ) ( )sin
0 0 1
sin
1 1, sin sin
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +
+ −
= − + + + − + ∫
c. ( ) ( ) ( ) ( )cos
0 0 1
cos
1 1, cos cos
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +
+ −
= − + + + − + ∫
d. ( ) ( ) ( ) ( )cos
0 0 1
cos
1 1, cos cos
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +
+ −
= + + + + − + ∫
15
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
2 2 00
4 5 0, u , y
y
u u u u u uf x F x
x x y y x y y==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −−
− −
′= − + −
∫ ∫
b. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
+ ++−
− −
′= + + −
∫ ∫
c. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −+−
+ +
′= + + −
∫ ∫
d. ( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −+ − −
+ +
′= + + −
∫ ∫
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
2 20 12 2 1
1
2 3 0 , , y
y
u u u ux xy y u x x
x x y y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂− − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
a. ( ) ( ) ( ) ( )4 4
7 7
4 40 0 0 1
3 1 3 3,
4 4 16 4
x x
y y
x y x y
xu x y x y y y x x y x dx x y x x dx
yϕ ϕ ϕ ϕ
− − = + + −
∫ ∫
b. ( ) ( ) ( ) ( )4 4
7 72 24 4
0 0 0 1
3 1 3 3,
4 4 16 4
x x
y y
x y x y
xu x y xy y xy x x dx x y x x dx
yϕ ϕ ϕ ϕ
− − = + + −
∫ ∫
c. ( ) ( ) ( ) ( )4 4
7 73 34 44 44
0 0 0 1
3 1 3 3,
4 4 16 4
x x
y y
x y x y
xu x y x y y x y x x dx x y x x dx
yϕ ϕ ϕ ϕ
− − = + + −
∫ ∫
d. ( ) ( ) ( ) ( )3 3
7 73 34 44 43
0 0 0 1
3 1 3 3,
4 4 16 4
x x
y y
x y x y
xu x y x y y x y x x dx x y x x dx
yϕ ϕ ϕ ϕ
− − = + + −
∫ ∫
1
grele_ecuatii
MULTIPLE CHOICE
1. --
Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se
integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este
a.
b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este
c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea
de variabile potrivita este
d. niciuna din variantele de mai sus
2
2. --
Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii
. cu .
Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale
a. c.
b. d.
3. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci este adevarat ca
a. c.
b. d.
3
4. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci este adevarat ca
a. c.
b. d.
5. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a. c.
b. d.
4
6. --
Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de
variabile . Notam Atunci
contine (cu + sau - in fata) termenul
a. c.
b. d.
7. --
Forma canonica a ecuatiei
este
a. c.
b. d.
5
8. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.
b.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
6
9. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f este functie de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
7
10. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.
b.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
c.
unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.
d.
unde f este functie ce admite primitive cel putin local.
8
11. --
Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este
De aici rezulta ca
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f este functie de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
9
12. --
Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei
unde c este o constanta , sunt
a. unde numere reale
b. unde numere reale
c. unde numere reale
d. unde numere reale
13. --
Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este
unde c este o constanta .
Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma canonica?
a. c.
b. d.
10
14. --
Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine
a.
unde f este functie de clasa .
b.
unde f,g sunt functii de clasa .
c.
unde f,g sunt functii de clasa .
d.
unde f,g sunt functii de clasa .
e. Niciuna din variantele de mai sus
11
15. --
Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale
(1)
Se cauta o solutie de forma
. Rezulta atunci ca
X,T satisfac ecuatia
a. c.
b. d.
12
16. --
Consideram urmatoarea ecuatie
(10)
cu conditia initiala
si conditiile pe frontiera
si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma
. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia
a. c.
b. d.
1
Ecuatii
TRUE/FALSE
1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :
Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y.
2. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x.
3. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x.
4. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y.
5. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.
2
6. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x.
7. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y.
8. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x.
9. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.
10. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.
3
11. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:
Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.
1
Ecuatii cu derivate partiale
MULTIPLE CHOICE
1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
2 2
2 20
u u
t x
∂ ∂− =∂ ∂
cu condiŃiile ini Ńiale:
20 0, 0t t
uu x
t= =∂= =∂
( ) 2 2,u x t t x= +
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 2
2 2
0 0
4 0
0, t t
u u
t xu
u xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
( ),u x t xt=
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul 2
ta
π= dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:
2 22
2 2
u ua
t x
∂ ∂−∂ ∂
şi de condiŃiile ini Ńiale 0 0sin , 1t t
uu x
t= =∂= =∂
.
( ),2
u x ta
π=
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 2
2 2
0 0
0
, t t
u u
t xu
u x xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = − ∂
( ) ( ), 1u x t x t= −
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2 22
2 2
0 0
0
0, cost t
u ua
t xu
u xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
( ) 1, cos sinu x t x at
a=
2
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t π= dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
2 2
2 2
0 0
0
sin , cost t
u u
t xu
u x xt= =
∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂
sinu x= −
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:2 2 2
2 22 3 2 6 0.
u u u u u
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 10 , , 3
2
u ux y x yξ η
ξ η ξ∂ ∂+ = = + = −
∂ ∂ ∂
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
2 24 5 2 0
u u u u u
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2 20 , 2 ,
u u ux y xξ η
ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = − =∂ ∂ ∂
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
2 22 0.
u u u u ucu
x x y y x yα β∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )2
2 0 , ,
u u ucu x y yα β β ξ η
η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
( )2 2 2
22 2
2cos 3 sin 0u u u u
x x yx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂− − + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
0 , 2 sin , 2 -sin -32
u u ux x y x x y
η ξ ξ ηξ η ξ η
∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate2 2 2
2 22 2
2 2 0.u u u u
y xy x yx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 22 2 2
2 2
1 10 , ,
2
u u u ux y xξ η
ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 2 32 2
2 0.u u u u
tg x y tgx y tg xx x y y x
∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
2 2
20 , sin ,
u uy x y
ξ ξ ηη η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2 2 2
22 2
12sin cos cos sin 2 0.
2
u u u u ux x x x
x x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 1cos 0 , cos , cos
2 2
u ux y x x y x
ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂+ = = + + = − −
∂ ∂ ∂
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 2 42 2
2 3 2 4 16 0.u u u u u
x xy y x y x ux x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 31 10 , ,
4
u u u xu xy
yξ η
ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = =
∂ ∂ ∂ ∂
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
( ) ( )2 2
2 22 2
1 1 0.u u u u
x y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( )2 22 2
2 20 , ln 1 , ln 1
u ux x y yξ η
ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 22 2
sin 2 sin 0.u u u
x y x yx x y y
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂2
2 2 2
20 , ,
2
u u xytg y
ξ ξ ηη ξ η ξ
∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2
2 22 2
2 2 0.u u u u
cth x y cthx y yx x y x y
∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂2
2 2
10 , ,
1
u u uy chx shxξ η ξ η
η η ξ η ∂ ∂ ∂+ + = = = ∂ + ∂ ∂
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20.
u uy
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> ,iar, forma canonică este:
( )32 22
2 2
1 20 , , 0
3 3
u u ux y yξ η
ξ η η η∂ ∂ ∂+ + = = = >∂ ∂ ∂
19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20 , unde constant
u u uy
x y yα α∂ ∂ ∂+ + = =
∂ ∂ ∂
ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:
( )2
122 0 , 02
x yu u uy
x y
α ξξ η ξ η ξ η η
− = − − ∂ ∂ ∂ − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −
3
4
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 2 0
u uy x
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:
( )
( )
32 2 2
2 2 3
2
1 10 ,
3 3
xu u u u
y
ξξ η ξ ξ η η η
= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
2 2
2 20
u ux y
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică este:
2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− −∂ ∂+ = = =
∂ ∂ − −
22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:
( ) ( )2 2 2
2 22 2
1 2 1 2 2 0u u u u u
x xy y x yx x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:2 22 2
2 2
10 , ,
1 1
x yu u y
x xξ η
ξ η− +∂ ∂− = = =
∂ ∂ + +
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2
22 2
2sin cos cos 0u u u u
x x xx x y y y
∂ ∂ ∂ ∂− − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +
24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( ) ( ) ( ), , 0u x y x y x y x yϕ ψ= − + + >
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2
2 22 2
2 0u u u
x y yx y y
∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂
( ) ( ), ,x y
u x y x yy x
ϕ ψ = +
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2
2 22 2
2 0u u u u u
x xy y x yx x y y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ), lnu x y x y y x yϕ ψ= ⋅ + ⋅
5
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2
2 22
u ux x
x x y
∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ),
x y x yu x y
x
ϕ ψ− + +=
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( )2
0u u u
x yx y x y
∂ ∂ ∂− − + =∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y
u x y X xx y
−=
−
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2
0u u u
y x xyux y x y
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )2 2
2,x y
u x y e x yϕ ψ+−
= +
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
, , y z
z yx x
ξ η ζ= = = −
să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 0u u u u u u
x xy y yz z zxx x y y y z z z x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z
u x y z z yx x x x
ϕ ψ ϕ ψ = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( )2 2 2 2
211 12 22 11 22 122 2 2
2 u u u u
a a a a a at x x y y
∂ ∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −
unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψ
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:4 4 4
4 2 2 42 0
u u u
x x y y
∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y x y f x y x y f x y f x y f x y= − + + + − + − + +
( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:2 2 2
22 2 0
0
2 3 0 , 3 , 0y
y
u u u uu x
x x y y y==
∂ ∂ ∂ ∂+ − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) 2 2, 3u x y x y= +
6
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 20 12 2 0
0
1 1 0 , u , y
y
u u u u ux y x y x x
x y x y yϕ ϕ=
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )2 2 2
0 0 1
1 1 1 1 1 1,
2 2 2 2 2
zu x y dz
z z
β
α
α βϕ ϕ ϕα β
− − −= −
∫
( )( ) 22 2
2
1unde, 1 1 ,
1
x xx x y y
y yα β + += + + + + =
+ +
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
20 12 2 sin
sin
2cos sin sin 0 , u , y x
y x
u u u u ux x x x x
x x y y y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )sin
0 0 1
sin
1 1, sin sin
2 2
x x y
x x y
u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +
+ −
= − + + + − + ∫
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
2 2 00
4 5 0, u , y
y
u u u u u uf x F x
x x y y x y y==
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )5 5
6 6 65,
6
y yx x
x y z z
x y x y
u x y f x y e e f z dz e F z dz
− −+−
+ +
′= + + −
∫ ∫
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
( ) ( )2 2 2
2 20 12 2 1
1
2 3 0 , , y
y
u u u ux xy y u x x
x x y y yϕ ϕ
==
∂ ∂ ∂ ∂− − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )3 3
7 73 34 44 43
0 0 0 1
3 1 3 3,
4 4 16 4
x x
y y
x y x y
xu x y x y y x y x x dx x y x x dx
yϕ ϕ ϕ ϕ
− − = + + −
∫ ∫
