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Ecuaciones Diferenciales Segundo orden
JuanManuelRodríguezPrieto
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
¿Cómosevaadesplazarlamasaalolargodel:empo?
SegundaleydeNewton
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
SegundaleydeNewton
F∑ = ma
FR + FW = maFR = −k(x + s)FW = mg
a = d2xdt 2
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
SegundaleydeNewton
F∑ = ma
−kx + (mg − ks) = m d 2xdt 2
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
SegundaleydeNewton
0 = m d 2xdt 2
+ kx
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
SegundaleydeNewton
d 2xdt 2
+ kmx = 0
Adiferenciadelasecuacionesquehemosvisto,enlasecuacionesdiferencialesdesegundoordenaparecelasegundaderivada
ω = km
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
m d 2xdt 2
+ kx = 0
Comoenlaecuacióndiferencialaparecelasegundaderivadasenecesitandoscondicionesiniciales,porejemplolaposiciónylavelocidadenel:empo0
x(0) = x0dx(0)dt
= v0
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
m d 2xdt 2
+ kx = 0x(0) = x0dx(0)dt
= v0
Cómosolucioneslaanteriorecuacióndiferencial?
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
m d 2xdt 2
+ kx = 0x(0) = x0dx(0)dt
= v0
a d2xdt 2
+ b dxdt
+ cx = 0
ax '' + bx '+ cx = 0
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
a d2xdt 2
+ b dxdt
+ cx = 0 ax '' + bx '+ cx = 0
ar2 + br + c = 0 r = −b ± b2 − 4ac2a
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 0dx(0)dt
= 1
Supongamosquelamasavale1,laconstantedelresorte10
r2 +10 = 0
r = ± 10i
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0x(0) = 0dx(0)dt
= 1
r = ± 10i
x(t) = C1 cos( 10t)+C2 sin( 10t)
x(0) = C1 cos( 100)+C2 sin( 100)
0 = C1
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0x(0) = 0dx(0)dt
= 1
x(t) = C1 cos( 10t)+C2 sin( 10t)
x(t) = C2 sin( 10t)
x '(t) = C2 10 cos( 10t)
C2 =110
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0x(0) = 0dx(0)dt
= 1
x(t) = 110sin( 10t)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 0dx(0)dt
= 1
x(t) = 110sin( 10t)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 0dx(0)dt
= 1
x '(t) = 1cos( 10t)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 0dx(0)dt
= 1
x '(t) = 1cos( 10t)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 0dx(0)dt
= 1
x '(t) = 1cos( 10t)
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 1dx(0)dt
= 0
x(t) = C1 cos( 10t)+C2 sin( 10t)
1= x(0) = C1 cos( 100)+C2 sin( 100)1= C1
x(t) = −C1 10 sin( 10t)+C2 10 cos( 10t)
0 = x(0) = −C1 10 sin( 100)+C2 10 cos( 100)
0 = C2
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 1dx(0)dt
= 0
x(t) = cos( 10t)Seob:enenresultadosigualesusandogeogebrayelmétodoteórico
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 1dx(0)dt
= 1
Lasoluciónobtenidaacá,eslasumadelasolucióndelosdosproblemasanteriores
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
d 2xdt 2
+10x = 0
x(0) = 1dx(0)dt
= 1
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
12d 2xdt 2
+18x = 0
x(0) = 0.1dx(0)dt
= 0
T = 2πω
= 2π6
= π3
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Sistema masa resorte
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Caso I:
d 2xdt 2
+ 5 dxdt
+ 6x = 0
a = 1b = 5c = 6
r2 + 5r + 6 = 0
r1,2 =−5 ± 52 − 4(1)(6)
2= −5 ±1
2 x(t) = C1e−3t +C2e
−2t
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Caso II
d 2xdt 2
− 4 dxdt
+ 4x = 0
a = 1b = −4c = 4
r2 − 4r + 4 = 0
r1,2 =4 ± 42 − 4(1)(4)
2= 4 x(t) = C1e
4 t +C2te4 t
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Resonancia
Podemosobservarcuandoenunsistemamasaresorteforzadoocurreresonancia
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Movimiento armónico libre amor=guado
m d 2xdt 2
= −kx − β dxdt
SegundaleydeNewton
m d 2xdt 2
+ β dxdt
+ kx = 0
d 2xdt 2
+ βmdxdt
+ kmx = 0
d 2xdt 2
+ 2λ dxdt
+ω 2x = 0
r2 + 2λr +ω 2 = 0
r = −2λ ± 4λ 2 − 4ω 2
2= −λ ± λ 2 −ω 2
2λ = βm
ω 2 = km
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Movimiento armónico libre amor=guado
Subamor:guado
Ecuaciones Diferenciales Segundo orden: Movimiento armónico libre amor=guado
Sobreamor:guado–crí:camenteamor:guado
