UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

Sistema Nacional de Nivelación y

Admisión

PROYECTO DE AULA

MANUAL DE DESARROLLO DE ECUACIONES DE

SEGUNDO GRADO

INTEGRANTES

JOHN GUALAN

JOSE HEREDIA

KEVIN JIMENEZ

FREDDY ROCANO

MAURICIO PEÑA

JOEL VALLE

PROFESORA:

ING. PAULINA VERZOSI

PERIODO ABRIL – AGOSTO 2013

INDICE

Contenido INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 1

DEFINICIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: .................................................. 2

ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL SIN DENOMIADORES: ....... 3

ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL CON DENOMINADORES:.... 9

ECUACIONES COMPLETAS CON PRDUCTOS INDICADOS .......................................... 15

ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 +c=0 ............................................. 21

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ............................................................................... 24

CONCLUSION ...................................................................................................................... 28

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 29

JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO DE AULA

La importancia que tiene el presente trabajo, radica en el hecho de que

todos quienes conformamos este equipo, nos vemos obligados a

esforzarnos al máximo para conseguir resultados satisfactorios en la

ejecución del mismo, es decir con este proyecto nosotros los estudiantes

potenciaremos nuestras habilidades y destrezas adquiridas durante el

presente curso, así como las diferentes cualidades innatas de cada uno.

Otro factor importante de este trabajo, se encuentra inmerso en el hecho de

que los jóvenes al momento de ingresar a su etapa de estudio regular en los

diferentes semestres, ya no serán novatos en el desarrollo de esta actividad,

por cuanto habrán acumulado una experiencia muy valiosa, la misma que

les servirá en su vida profesional, laboral y en todo ámbito en el cual

tengan que desenvolverse en la vida.

¿QUE ES EL PROYECTO DE AULA?

Es el proceso de re-construcción de un concepto concebido como sistema y

referido a un problema del campo de la profesión, con su respectiva red de

variables y dimensiones.

¿EN QUE CONSISTE EL PROYECTO DE AULA?

Consiste en desarrollar ejercicios de Matemáticas escogidos por el

estudiante en base a cada tema aprendido, estos ejercicios deberán ser

desarrollados en clase con la tutoría del docente, una vez que se ha resuelto

y estén revisados por el docente, el estudiante ejecutará un plan de acción

1

INTRODUCCIÓN

La importancia de las Matemáticas a nivel utilitario radica en que es un

instrumento de análisis, comprensión, interpretación y expresión de la

realidad, facilitando la forma de actuar en el medio donde se desenvuelven

los estudiantes para que puedan hacer frente a las necesidades que se le

plantearán en la vida adulta; también, los conocimientos Matemáticos

constituyen una herramienta indispensable para el estudio de los contenidos

de otras áreas del currículo escolar. La Matemática es también un

instrumento funcional, de aplicación a problemas y situaciones de la vida

diaria fuera del ámbito escolar; enseña a explorar, representar, explicar y

predecir la realidad; además, capacita a los escolares a enfrentarse a

situaciones imprevistas.

El estudio de las Matemáticas potencia el desarrollo global de las

capacidades mentales de los escolares y la formación de su personalidad; es

de gran utilidad en la vida diaria, y también, es un instrumento esencial en

el desarrollo de la ciencia, de la cultura y, en general, de todos los aspectos

de la actividad humana.

El presente proyecto de aula tiene como objetivo principal mejorar el

nivel de logro de Aprendizaje en el área de Matemática mediante un video

tutorial de Ecuaciones de Segundo Grado completas e incompletas

utilizando fórmula general, fórmula particular, con denominadores o sin

denominadores, y con productos indicados.

2

DEFINICIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

Las ecuaciones de segundo grado son todas aquellas en las cuales una vez

simplificado, el mayor exponente de la incógnita es dos. Ejemplo:

4x2+7x+6=0

PUEDEN SER:

COMPLETAS INCOMPLETAS

También pueden ser:

EJEMPLO

EJEMPLO

Se encuentra de la Forma:

ax2+bx+c=0

Tiene que tener un término

en x2, un término en x y un

término independiente de x

1) 2x2+7x+15=0

2) X2-8x=-15

X2-8x+15=0

Son ecuaciones de la forma:

ax2+c=0

Es decir carecen del

término en x

De la forma ax2+b=0, ósea

carece del término

independiente.

1) x2-16=0

2) 3X2+5x=0

3

ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL

SIN DENOMIADORES:

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que

tiene la forma de una suma de término cuyo grado máximo es el 2, una

ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo

grado o polinomio cuadrático. La expresión canoníca general de una

ecuación cuadrática es: “𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0”

Donde x representa la variable y a, b y c son constante; a es un coeficiente

cuadrático, b es el coeficiente literal y c es el termino independiente.

“a” es el termino cuadrático

“b” es coeficiente literal

“c” termino independiente

Para resolver esta ecuación se aplica la siguiente fórmula

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

4

Ejercicio #1

3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑋 =−(−5) ± (−5)2 − 4 3 (2)

2(3)

𝑥 =5 ± 25 − 24

6

𝑥 =5 ± 1

6

𝑥 =5 ± 1

6

𝑥₁=5+1

2𝑎=

6

6 = 1R// 𝑥₂ =

5−1

6=

4

6

2

3 R//

5

Ejercicio # 2

12𝑥 − 4 − 9𝑥2 = 0

−9𝑥2 + 12𝑥 − 4 = 0

9𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−12) ± (−12)2 − 4 9 (4)

2 9

𝑥 =12 ± 144 − 144

18

𝑥 =12 ± 0

18

𝑥 =12 ± 0

18

𝑥₁ =12+0

18=

12

18=

2

3 R// 𝑥₂ =

12−0

18=

12

18=

2

3 R//

6

Ejercicio #3

4𝑥2 + 3𝑥 − 22 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(3) ± (3)2 − 4(4)(−22)

2(4)

𝑥 =−3 ± 9 + 352)

8

𝑥 =−3 ± 361

8

𝑥 =−3 ± 19

8

𝑥₁ =−3+19

8=

16

8= 𝑥₁ = 2 𝑥₂ =

−3−19

8=

−22

8= 𝑥₂ −

11

4

7

Ejercicio #4

6𝑥2 = 𝑥 + 222

6𝑥2 − 𝑥 − 222 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−1) ± (−1)2 − 4(6)(−222)

2(6)

𝑥 =1 ± 1 + 5328

18

𝑥 =1 ± 5329

12

𝑥 =1 ± 73

12

𝑥1 =1+73

12=

74

12 𝑥1 37

6= −6

1

6 𝑥2 =

1−73

12= −

72

12 𝑥2 =

−6

8

Ejercicio# 5

176𝑥 = 121 + 64𝑥2

−64𝑥2 + 176𝑥 − 121 = 0

64𝑥2 − 176𝑥 + 121 = 0

𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−176) ± (−176)2 − 4(64)(121)

2 64

𝑥 =176 ± 30976 − 30976

128

𝑥 =176 ± 0

128

𝑥 =176 ± 0

128

𝑥₁ =176+0

128=

176

128 𝑥₁

11

8= 1

3

8 𝑥2 =

176−0

128=

176

128 𝑥2 =

11

8=

13

8

9

ECUACIONES COMPLETAS CON FORMULA GENERAL

CON DENOMINADORES:

EJERCICIO 1

5x − 8

x − 1=

7x − 4

x + 2 aqui el m. c. m. es x − 1 x − 2

x + 2 5x − 8 x − 1 7x −

4 luego resolvemos estos productos indicados

5x2 − 8x + 10x − 16

= 7x2 − 4x − 7x + 4 igualamos la ecuacion a cero

−2x2 + 13x − 20 = 0 le cambiamos los signos

2x2 − 13x + 20 = 0

x =−b ± b2 − 4ac

2a aplicamos la formula general

x = − −13 ± −13 2 − 4 2 20

2 2 reemplazamos los valores

x =13 ± 169 − 160

4 obtenemos

x =13 ± 9

4 calculamos la raiz

x =13 ± 3

4 obtenemos

x1 =13 + 3

4 procedemos a encontrar el valor de x1

x1 =16

4 x1 = 4 R//

x2 =13 − 3

4 luego encontramos el valor de x2

x2 =10

4

10

𝑥2 =5

2 𝑥2 = 22

1 𝑅//

EJERCICIO 2

4𝑥2

𝑥 − 1−

1 − 3𝑥

4=

20𝑥

3

12 4𝑥2 − 3 𝑥 − 1 1 − 3𝑥 = 4 𝑥 − 1 20𝑥

48𝑥2 − 3 𝑥 − 3𝑥2 − 1 + 3𝑥 = 4𝑥 − 4 20𝑥

48𝑥2 − 3𝑥 + 9𝑥2 + 3 − 9𝑥 = 80𝑥2 − 80𝑥

48𝑥2 − 3𝑥 + 9𝑥2 + 3 − 9𝑥 − 80𝑥2 + 80𝑥 = 0

−23𝑥2 + 68𝑥 + 3 = 0

23𝑥2 − 68𝑥 − 3 = 0

𝑥 =68 ± 68 2 − 4 23 −3

2 23

𝑥 =68 ± 4624 + 276

46

𝑥 =68 ± 4900

46

𝑥 =68 ± 70

46

𝑥1 =68 + 70

46

𝑥1 =138

46 𝑥1

= 3 𝑅//

𝑥2 =68 − 70

46

11

𝑥2 = −2

46 𝑥2 = −

1

23 𝑅//

EJERCICIO 3

1

4 𝑥 − 4 +

2

5 𝑥 − 5 =

1

5 𝑥2 − 53

5 𝑥 − 4 + 8 𝑥 − 5 = 4 𝑥2 − 53

5𝑥 − 20 + 8𝑥 − 40 = 4𝑥2 − 212

5𝑥 − 20 + 8𝑥 − 40 − 4𝑥2 + 212 = 0

−4𝑥2 + 13𝑥 + 152 = 0

4𝑥2 − 13𝑥 − 152 = 0

𝑥 =13 ± 13 2 − 4 4 −152

2 4

𝑥 =13 ± 169 + 2432

8

𝑥 =13 ± 2601

8

𝑥 =13 ± 51

8

𝑥1 =13 + 51

8

𝑥1 =64

8 𝑥1 = 8 𝑅//

𝑥2 =13 − 51

8

𝑥2 = −38

8

12

𝑥2 = −19

4 𝑥2 = −44

3 𝑅//

EJERCICIO 4

𝑥 − 1

𝑥 + 1+

𝑥 + 1

𝑥 − 1=

2𝑥 + 9

𝑥 + 3

𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 + 3 + 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 3

= 2𝑥 + 9 𝑥 + 1 𝑥 − 1

𝑥 + 3 𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 + 1 + 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 + 1

= 2𝑥 + 9 𝑥2 − 𝑥 + 𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥2 − 3𝑥 − 3𝑥 + 3 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥2 + 3𝑥

+ 3𝑥 + 3

= 2𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 9𝑥2 − 9𝑥 + 9𝑥 − 9

2𝑥3 + 6𝑥2 + 2𝑥 + 6 − 2𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 9𝑥2 + 9𝑥 − 9𝑥 + 9

= 0

−3𝑥2 + 4𝑥 + 15 = 0

3𝑥2 − 4𝑥 − 15 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =4 ± 4 2 − 4 3 −15

2 3

𝑥 =4 ± 16 + 180

6

𝑥 =4 ± 196

6

𝑥 =4 ± 14

6

13

𝑥1 =4 + 14

6

𝑥1 =18

6 𝑥1 = 3 𝑅//

𝑥2 =4 − 14

6

𝑥2 = −10

6

𝑥2 = −5

3 𝑥2 = −13

2 𝑅//

EJERCICIO 5

𝑥 + 3

2𝑥 − 1−

5𝑥 − 1

4𝑥 + 7= 0

𝑥 + 3 4𝑥 + 7 − 2𝑥 − 1 5𝑥 − 1 = 0

4𝑥2 + 7𝑥 + 12𝑥 + 21 − 10𝑥2 − 2𝑥 − 5𝑥 + 1 = 0

4𝑥2 + 7𝑥 + 12𝑥 + 21 − 10𝑥2 + 2𝑥 + 5𝑥 − 1 = 0

−6𝑥2 + 26𝑥 + 20 = 0

6𝑥2 − 26𝑥 − 20 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =26 ± −26 2 − 4 6 −20

12

𝑥 =26 ± 676 + 480

12

𝑥 =26 ± 1156

12

𝑥 =26 ± 34

12

14

𝑥1 =26 + 34

12

𝑥1 =60

12 𝑥1 = 5 𝑅//

𝑥2 =26 − 34

12

𝑥2 = −8

12 𝑥2 = −

2

3 𝑅//

15

ECUACIONES COMPLETAS CON PRDUCTOS INDICADOS

Ejercicio# 1

7(𝒙 − 𝟑) − 𝟓 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟐)

Primero realizamos la multiplicación correspondiente en la ecuación:

7𝒙 − 𝟐𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓 = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎

Después de hacer la multiplicación hacemos la trasposición de

términos y lo igualamos a cero, en el momento de cambiar del

segundo miembro al primero cambiamos el signo.

𝟕𝒙 − 𝟐𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓 − 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎

Hacemos suma y resta de términos semejantes:

−𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎

Se cambia el signo a toda la ecuación multiplicando por menos uno:

𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎

Al obtener la ecuación remplazamos en la formula general:

𝒙 =−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑥 =− −12 ± − 12 2 − 4 6 6

2 6

𝑥 =12 ± 144 − 144

12

𝑥 =12 ± 0

12

𝑥 =12 ± 0

12

𝑥 =12

12

X=1

16

Ejercicio# 2

(5x-4 )2-(3x+5)(2x-1)=20x(x-2)+27

25𝑥2 − 40𝑥 + 16 − 6𝑥2 − 7𝑥 + 5 = 20𝑥2 − 40𝑥 + 27

25𝑥2 − 40𝑥 + 16 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 5 − 20𝑥2 + 40𝑥 − 27 = 0

−𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0

𝑥2 + 7𝑥 + 6 = 0

𝑥 =−7 ± (7)2 − 4 1 (6)

2(1)

𝑥 =−7 ± 49 − 24

2

𝑥 =−7 ± 25

2

𝑥 =−7 ± 5

2

𝑥1=

−7+5

2

𝑥1=

−2

2

𝒙𝟏=−𝟏

𝑥2=

−7−5

2

𝑥2=

−12

2

𝒙𝟐=−𝟔

17

𝒙 𝒙 + 𝟑 = 𝟓𝒙 + 𝟑

𝑥2 + 3𝑥 = 5𝑥 + 3

𝑥2 + 3𝑥 − 5𝑥 − 3 = 0

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 =−(−2) ± (−2)2 − 4 1 (−3)

2𝑎

𝑥 =2 ± 4 + 12

2

𝑥 =2 ± 16

2

𝑥 =2 ± 4

2

𝑥1=

2+4

2

𝒙𝟏=

𝟔

𝟐

𝑥1=3

𝑥2=

2−4

2

𝑥2=

−2

2

𝒙𝟐=−𝟏

18

Ejercicio# 3

𝟑𝒙 𝒙 − 𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟐𝟑(𝒙 − 𝟑)

3𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥 + 6 = 23 − 69

3𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 − 23 + 69 = 0

3𝑥2 − 30𝑥 + 75 = 0

𝑥 =−(−30) ± (−30)2 − 4(3)(75)

2(3)

𝑥 =30 ± 900 − 900

6

𝑥 =30 ± 0

6

𝑥 =30 ± 0

6

𝑥 =30

6

𝑥 = 5

19

Ejercicio# 4

𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐)𝟐 = (𝒙 − 𝟕)𝟐 − 𝟖𝟏

25(𝑥2 + 4𝑥 + 4) = 𝑥2 − 14𝑥 + 49 − 81

25𝑥2 + 100𝑥 + 100 − 𝑥2 + 14 − 49 + 81 = 0

24𝑥2 + 114𝑥 + 132 = 0

𝑥 =−114 ± (114)2 − 4 24 (132)

2(24)

𝑥 =−114 ± 12996 − 12672

48

𝑥 =−114 ± 324

48

𝑥 =−114 ± 18

48

𝑥1=

−114 +18

48

𝑥1=

−96

48

𝒙𝟏=−𝟐

𝑥2=

−114 −18

48

𝑥2=

−132

48

𝒙𝟐=−𝟐

𝟑

𝟒

20

Ejercicio# 5

𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐)𝟐 = (𝒙 − 𝟕)𝟐 − 𝟖𝟏

25(𝑥2 + 4𝑥 + 4) = 𝑥2 − 14𝑥 + 49 − 81

25𝑥2 + 100𝑥 + 100 − 𝑥2 + 14 − 49 + 81 = 0

24𝑥2 + 114𝑥 + 132 = 0

𝑥 =−114 ± (114)2 − 4 24 (132)

2(24)

𝑥 =−114 ± 12996 − 12672

48

𝑥 =−114 ± 324

48

𝑥 =−114 ± 18

48

𝑥1=

−114 +18

48

𝑥1=

−96

48

𝒙𝟏=−𝟐

𝑥2=

−114 −18

48

𝑥2=

−132

48

𝒙𝟐=−𝟐

𝟑

𝟒

21

ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 +c=0

Ejercicio# 1

4𝒙𝟐-2=0

Despejamos la x para poder resolver la ecuación:

4𝑥2=-2

𝑥2= - 2

4

Luego simplificamos la fracción si se puede

𝑥2= - 1

2

Para poder eliminar la potencia les colocamos raíz cuadrada a los dos

miembros así:

𝑥2=± −1

2

Procedemos a resolver:

X=± −1

2 no tiene solución

22

Ejercicio# 2

5𝒙𝟐-9= 46

5𝑥2= 46+9

5𝑥2= 55

𝑥2= 55

5

𝑥2= 11

X= ± 11𝑖

Ejercicio# 3

(2x-3) (2x+3) – 135= 0

4𝑥2+6x-6x-9-135=0

4𝑥2-9-135=0

4𝑥2=135+9

4𝑥2=144

𝑥2= 144

4

𝑥2=36

𝑥2 = 36

x= ± 6

23

Ejercicio# 4

9𝒙𝟐-𝒂𝟐=0

9𝑥2=𝑎2

𝑥2=𝑎2

9

𝑥2= 𝑎2

9

X= ± 𝑎

3

Ejercicio# 5

3 (x+2) (x-2)=(𝒙 − 𝟒)𝟐+8x

3(𝑥2+2x-2x-4)= 𝑥2-8x+16+8x

3𝑥2-12=𝑥2-8x+16+8x

3𝑥2-𝑥2= -8x+16+8x+12

2𝑥2=28

𝑥2=28

2

𝑥2= 14

X= ± 14𝑖

24

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1) Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían

casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y

televisor; 120 automóvil y casa; 190 casa y televisor; 105 casa, automóvil y

televisor.

¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?

Pasos:

1.) Primero encontramos la intersección entre las tres gráficas.

2.) Utilizando los valores que nos dan en el problema encontraremos el

resto de las intersecciones.

3.) Una vez que encontramos el valor de cada intersección podremos

conocer cuantas personas tienen casa propia, automóvil, y cuantas

tienen televisor.

2) Si (C) es el conjunto de los estudiantes de cierta sesión que pertenece al

coro del colegio y (R) el conjunto de los estudiantes del gobierno escolar,

se desea escoger de estos 2 grupos a aquellos estudiantes que formen parte

en el acto por aniversario de la institución. En la siguiente información

represente la respuesta utilizando signos de agrupación y mediante

diagramas de benz.

C= {Carmen, Dayana, Joel, Marlene, Carolina}

R= {David, Antonio, Carmen, Joel}

25

C U R= {Carmen, Dayana, Joel, Marlene, Carolina, David, Antonio}

3 )En un aula hay cierto número de estudiantes que hemos de determinar.

Se sabe que cada uno de ellos estudian al menos una de las 3 asignaturas

siguientes: Matemáticas, Física, Química. Pues bien en sucesivas veces se

pide que levanten la mano los que estudian:

A.) Matemáticas, y levantan la mano 48.

B.) Física, y levantan la mano 45.

C.) Química, y levantan la mano 49.

D.) Matemáticas y Física, y levantan la mano 28.

E.) Matemáticas y Química, y levantan la mano 26.

F.) Física y Química, y levantan la mano 28.

G.) Las 3 asignaturas, y levantan la mano18.

¿Cuántos alumnos hay en el aula?

¿Cuántos estudian Matemáticas y Física, pero no Química?

26

4) Una empresa de servicios de medios ambientales va a ampliar su red

comercial y por ello necesita incorporar a 25 comerciales. La empresa

requiere fundamentalmente personas que posean al menos una de las

siguientes características.

A.) Alguna experiencia en el área de venta.

B.) Formación técnica.

C.) Conocimiento de inglés.

En concreto la empresa ofrece 12 plazas para los de la característica a, 14

para los de la característica b, 11 para los de la característica c.

Ahora bien la empresa quiere que 5 comerciales posean las características

A y B, que 3 comerciales posean A y C, y que 6 comerciales posean B y C.

¿Cuántos de esos 25 comerciales quiere la empresa que posean las 3

características citadas?

¿A cuántos comerciales se les exigen nada más que la característica: tener

conocimiento en inglés?

¿Cuántos tienen alguna experiencia en venta y tienen conocimiento de

inglés, pero no tienen formación técnica?

¿Cuántos comerciales tienen nada más que una de las características

pedidas?

27

5.) De 100 televidentes se obtiene la siguiente información:

391 ven programas deportivos.

230 ven programas cómicos.

545 ven programas sobre el mundo animal.

98 ven programas cómicos y deportivos.

152 ven programas cómicos y mundo animal.

88 ven programas deportivos y mundo animal.

90 no ven nada.

¿Cuántos entrevistados ven los 3 tipos de programas?

¿Cuántos entrevistados ven solo 1 de los 3 tipos?

CONCLUSION

La aplicación de las ecuaciones de de segundo grado y operaciones

entre conjuntos , es una forma de que los estudiante puedan desarrollar

las diferentes habilidades que por naturaleza cada uno lleva dentro de

sí.

El trabajo en grupo fue importante por la posibilidad de compartir y

apoyarse el uno con el otro así mismo, la socialización del trabajo

realizado fue clave para establecer comparaciones y llegar a acuerdos entre

todos, al momento de realizar la grabación cada uno de los compañeros

procedió dar lo mejor de cada uno, para de esta manera generar un

material que sea de ayuda para las personas que lo vean.

El trabajo en equipo fue clave ya que de esta manera logramos socializar

las debilidades y las destrezas que cada uno de los integrantes.

BIBLIOGRAFIA

Algebra de Baldor

Videos tutoriales en www.youtube.com.ec

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaci

on_segundo_grado_pav/Ecuacion_segundo_grado_pav.htm

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemacuad.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html