ECONOMETRIA PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES Mtro. Horacio Catalán Alonso

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PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE PROPIEDADES ESTADÍSTICAS DE LOS ESTIMADORESLOS ESTIMADORES



Mtro. Horacio Catalán Alonso

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

EconometríaEconometría

El estimador de MCO bajo el supuesto de regresores fijos permite obtener estimadores insesgados

uXXX

uXXXXXXX

uXXXX

YXXX

´)´(ˆ)4

´)´(´)´(ˆ)3

)´()´(ˆ)2

´)´(ˆ)1

1

11

1

1



Aplicando valor esperado

0)(´)´(´)´( 11 uEXXXuXXXE

)ˆ()5 E



MCO calcula estimadores eficientes

´)()´()ˆ

´)´(´)´(

)´(´´)´(

)´ˆ)(ˆ()ˆvar()3

)ˆ()2

´)´(ˆ)1

1

11

11

1

uuEXXvar(

uuXXXXXXE

XXXuuXXXE

E

E

uXXX



21

2322221

1312121

212

1

´

,...,,´

NN

N

N

N

N

uuu

uuuuuuu

uuuuuuu

uu

uuu

u

u

u

uu



)()(

)()()(

)()()(

)(

21

22221

12121

'

NN

N

N

uEuuE

uuEuEuuE

uuEuuEuE

uuE

Bajo el supuesto de

aciónautocorrel existe No ji 0)(

)( 22

ji

i

uuE

constante varianza uE

Taller de Econometría



2

2

2

0

00

00

´)(

uuE

12 )´()var(

XX

Los estimadores MCO presentan la mínima varianza



CY

YXXX

´)´(ˆ 1

Los estimadores de MCO son lineales

es una funciòn de las variables explicativas ùnicamente y no de la variable dependiente

YXXX ´)´(ˆ 1



El estimador de MCO cumple con ser:

Insesgado

Eficiente

Lineal

Es el “mejor estimador lineal insesgado”



Probar que MCO es el mejor estimador lineal insesgado

El estimador de MCO es una función de

Se define otro estimador

MCOYXXX

uXY

´)´(ˆ)2

)11

´)´( 1 XXX

CY)3



Donde W = W(X) es una función de las variables explicativas

El estimador es insesgado

WY~)4

~

WEWXWY

XY

~)6

ˆ~)5



Aplicando valor esperado

La expresión 7 cumple si

)ˆ()~()()7 WEWXEWYE

WX

0ˆ W



El estimador es insesgado

Para el caso de MCO se define

)~()( EWYE

´

´)´(ˆ 1

X(X´X)c donde

uXXX

1



Para

Entonces

WY

Wu ~



De esta manera la varianza del estimador se define como:

uu´WW´

WuWu

)´)(()~)(~( 1

´)~var( 2WW



Se define la matriz

La matriz D define la diferencia entre el estimador de MCO y el estimador dos

0

´)´(

´)´(1

1

DX ,WX donde

XXXDW

XXXWD

YXXXWYYXXXW

DY

´)´(´))´((

ˆ~

11



Se obtiene que

12

1111

11

2

)´(´)~var(

)´(´)´()´(´´)´(´(

´)´)´(´)()´((

´)~var(

XXDD

XXXXXXXXDXDXXXDD

XXXDXXXD

WW

2

2

122 )´(´)~var( XXDD

0DX X´D ,0 que dado



dado que DD´ es una forma cuadrática es un matriz no negativa

Por lo tanto la varianza del estimador 2 es igual a la varianza del estimador de MCO más un término constante

)~var()~var(



Teorema Gauss-Markov: En el modelo clásico de

regresión lineal el estimador de mínimos

cuadrados ordinarios es el estimador lineal

insesgado con menor varianza de Para

cualquier vector de constantes W, el estimador

lineal insesgado con mínima varianza de W

´en el modelo clásico de regresión es , donde

es el estimador de mínimos cuadrados

ordinarios



Observaciones

Bajo el supuesto de que X es un conjunto de regresores fijos o bien que se obtienen de muestras independientes

Se cumple que:

E(XU)=0

Los regresores no están correlacionados con el término de error



• El método de mínimos cuadrados ordinarios generan los mejores estimadores lineales insesgados y con menor varianza

En este contexto sólo la variable dependiente es estocástica (es una variable aleatoria)

El término de error contiene los elementos que no captura el modelo



Es un error de medición con respecto a Y

El modelo de regresión es sólo una “proyección” de las variables X en el espacio k-dimensional () que aproxima a Y

No se considera un modelo estocástico





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