Echtzeitfähige Zeitintegration von differentiell ...€¦ · estset) PSfr ag replacements e xplizit e xplizit mit Projektion linear-implizit linear-implizit mit Projektion PKW-Achse

Echtzeitfähige Zeitintegrationvon differentiell-algebraischen Systemen

in der Mehrkörperdynamik7. Workshop für Deskriptorsysteme, März 2005, Paderborn

Bernhard Burgermeister1, Martin Arnold1, Benjamin Esterl2

1{bernhard.burgermeister,martin.arnold}@mathematik.uni-halle.de

Martin–Luther–Universitat Halle–Wittenberg, FB Mathematik und Informatik, 06099 Halle (Saale)

[email protected]

TESIS DYNAware Technische Simulation Dynamischer Systeme GmbH, 81379 Munchen

7. Workshop fur Deskriptorsysteme, Echtzeitfahige Zeitintegration von differentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkorperdynamik – p. 1/23

Inhalt

1. Problemstellung

2. Partitioniertes linear-implizites Eulerverfahren

3. Baumgarte-Stabilisierung

4. Stabilisierung durch Projektion

5. Testrechnungen

6. Zusammenfassung


Bewegungsgleichungen

Differentiell-algebraisches System vom Index 3 in Deskriptorform:

q = u

M(q)u = f(q, u) − GT (q)λ

0 = g(q) (Lage)

versteckte Zwangsbedingungen: 0 = G(q)u (Geschwindigkeit)0 = gqq(q)(u, u) + G(q)u (Beschleunigung)

mit G(q) = ∂∂q

g(q), rang G(q) = nλ, M(q) positiv definit,(

M(q) GT (q)

G(q) 0

)

regulär.


Anforderungen an das Integrationsverfahren

Anwendung: Hardware-in-the-Loop, Bewegungssimulatoren

I kurzer externer Takt

I stabiles System

I geringe Genauigkeitsanforderungen

Beschränkte Rechenzeit für einen Integrationsschritt

I keine iterativen Lösungsverfahren

I keine Schrittweitensteuerung

I kein Beibehalten der Jacobimatrix über mehrere Schritte

I Lösung der linearen Gleichungssysteme mit direkten Verfahren

Implementierung auf geeigneter Soft- und Hardwareplattform

I nur kontrollierte Unterbrechung des Programmablaufs durch Interrupts

I keine virtuelle Speicherverwaltung


Linear-implizites Eulerverfahren

Berechnung von λ aus der Beschleunigungs-Bedingung: (Index-1-Verfahren)

λ = (GM−1GT )−1(GM−1f(q, u) + gqq(q)(u, u))

angewendet auf die MKS-Bewegungsgleichungen q = u, u = f(q, u):

(I − hJ)

(

∆q

∆u

)

=

(

u

f(q, u)

)

,

(

q1

u1

)

=

(

q0

u0

)

+ h

(

∆q

∆u

)

f(q, u) = M−1Pf(q, u) − M−1GT (GM−1GT )−1gqq(q)(u, u)

mit dem Projektor P = Inq− GT (GM−1GT )−1GM−1

und J =

(

0 I

fq(q, u) fu(q, u)

)


Stabilität mit vereinfachter Jacobimatrix I

Testgleichung:

q = u, u = f(q, u) = −aq − bu, q(t), u(t), a, b ∈ R, a, b ≥ 0

Jexakt =

(

0 1

−a −b

)

⇒ stabil fur beliebige a, b ≥ 0

J1 =

(

0 0

−a −b

)

⇒ stabil fur 0 ≤ hb, 0 ≤ h2a ≤ 2hb + 4

J2 =

(

0 0

−a −b − ha

)

⇒ stabil fur beliebige a, b ≥ 0

J3 =

(

0 0

−a 0

)

⇒ stabil fur 0 ≤ hb ≤ 2, 0 ≤ h2a ≤ 4 − 2hb

J4 =

(

0 0

0 −b

)

⇒ stabil fur 0 ≤ h2a ≤ hb


Stabilität mit vereinfachter Jacobimatrix IIPSfrag replacements

J2, Jexakt J1 J4 J3

Re heF

Imhe F

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

J1=

(

0 0

−a −b

)

J2=

(

0 0

−a −b − ha

)

J3=

(

0 0

−a 0

)

J4=

(

0 0

0 −b

)


Anwendung auf MKS

∆qn = un

(M(qn) − hJu(qn, un))∆un = f(qn, un) − G(qn)T λn + hJq(qn, un)un

qn+1 = qn + h∆qn

un+1 = un + h∆un

mit

Jq = fq und Ju = 0 oder Ju = fu oder Ju = fu + hfq

Berechnung von λn aus der Beschleunigungsbedingung:

0 = gqq(qn)(un, un) + G(qn)∆un ⇒

(

M(qn) − hJu(qn, un) G(qn)T

G(qn) 0

)(

∆un

λn

)

=

(

f(qn, un) + hJq(qn, un)un

−gqq(qn)(un, un)

)


Beispiel Kreisbahn

I Massepunkt gleitetreibungsfrei auf Kreisbahn

I zusätzliche Kraft radialnach außen

I Geschwindigkeit durchPI-Regler nahe ‖u‖ = 1geregelt

PSfrag replacements

t

‖g(q

)‖

Kreisbahn

Index 1Index 2stabilisiert

0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


Baumgarte-Stabilisierung (1972)

Ersetze0 = gqq(qn)(un, un) + G(qn)∆un

durch0 = gqq(qn)(un, un) + G(qn)∆un+2αG(qn)un + βg(qn)

Wahl von α, β so, dass die skalare Differentialgleichung

0 = g + 2αg + βg

eine asymptotisch stabile Lösung g(t) = c1eτ1t + c2e

τ2t besitzt.Aperiodischer Grenzfall:

α = γ, β = γ2, γ > 0 ⇒ τ1,2 = −γ


Optimale Baumgarte-Parameter

mit den Abkürzungen wi = g(qi) und vi = G(qi)ui gilt nach einem Schritt desBaumgarte-stabilisierten Verfahrens:

w1 = w0 + hv0 + O(h2)

v1 = −hβw0 + (1 − 2hα)v0 + O(h2)

und nach zwei Schritten:

w2 = (1 − h2β)w0 + 2h(1 − hα)v0 + O(h2)

v2 = (1 − h2β + 4hα(hα − 1))v0 + 2hβ(hα − 1)w0 + O(h2)

Optimal: α = 1/h und β = 1/h2


Test Baumgarte-VerfahrenPSfrag replacements

Fehler Lage Kreisbahn

α × hβ × h2

log10‖g

(q)‖

0 0.5 1 1.5 2

01

23

4

-4

-2

0

PSfrag replacements

Driftverhalten Kreisbahn

α × hβ×

h2

0 0.5 1 1.5 20

0.51

1.52

2.53

3.54

4.5

11.5

22.5

33.5

4


Stabilisierung durch Projektion

Gesucht: qn+1 mit

g(qn+1) = 0

distM (qn+1, qn+1) → min. (Lubich)

Notwendige Bedingungen:

M(qn+1)(qn+1 − qn+1) + GT (qn+1)µ = 0

g(qn+1) = 0

Lösung durch einen Schritt eines vereinfachten Newton-Verfahrens.

Projektion der Geschwindigkeit durch Lösen eines LGS.


Halbexplizites Eulerverfahren

Berechne λn aus der Bedingung

0 = G(qn+1)un+1 = G(qn+1)un + hG(qn+1)∆un

(M − hJu)∆un = f − GT λn + hfqun

(Index-2-Verfahren)

qn+1 = qn + hun,(

M(qn) − hJu GT (qn)

G(qn+1) 0

)(

∆un

λn

)

=

(

f(qn, un) + hfqun

− 1

hG(qn+1)un

)

un+1 = un + h∆un


Linearisierte GGL-Formulierung

Gear-Gupta-Leimkuhler-Formulierung der MKS-Bewegungsgleichungen:

M(q)q = M(q)u − GT (q)µ (1)

M(q)u = f(q, u) − GT (q)λ (2)

0 = g(q) (3)

0 = G(q)u (4)

Berechne qn+1 aus (1) und (3):

M(qn)(qn+1 − qn) = h(M(qn)un − GT (qn)µ)

0 = g(qn+1)

mit einem vereinfachten Newton-Schritt und dann un+1 aus (2) und (4)


Drift nach Projektion mit 1 Newtonschritt

Satz 1 (BBU 2003): Sei Un eine Umgebung der Lösung q(t) (t ∈ [tn, tn+1]) inder auch die numerische Lösung liegt, so gilt nach einem Newtonschritt zurProjektion der Lagebedingung

‖g(qn+1)‖ ≤ C2,n‖g(qn)‖2 + hC1,n‖g(qn)‖ + h3C0,n

mit Konstanten

C2,n ≥ maxξ∈Un

‖gqq(ξ)(Pn(·), Pn(·))‖

C1,n ≥ maxξ∈Un

‖gqq(ξ)(un, Pn(·))‖ + h maxξ∈Un

‖gqq(ξ)(2An(ξ), Pn(·))‖

C0,n ≥ maxξ∈Un

‖gqq(ξ)(un, An(ξ))‖ + h maxξ∈Un

‖gqq(ξ)(An(ξ), An(ξ))‖

und Pn := M−1GT (GM−1GT )−1|qn

An(ξ) := Pngqq(ξ)(un, un)


Kriterium für beschränkten Drift

Satz 2: Falls Konstanten C2, C1, C0 ≥ 0 mit

C2 ≥ C2,n, C1 ≥ C1,n, C0 ≥ C0,n, (n = 0, 1, . . . , N)

hC1 < 1 und (1 − hC1)2 − 4h3C0C2 > 0

existieren, bleibt der Fehler ‖g(qn)‖ beschränkt und es gilt

‖g(qn)‖ ≤ glim (0 ≤ n ≤ (te − t0)/h)

mit

glim :=1 − hC1 −

√

(1 − hC1)2 − 4h3C0C2

2C2

=O(h3)PSfrag replacements

gn+1

idglimgstab

gn

g n+

1


Vergleich der Verfahren

Grundaufwand: Auswertung von f, M, G, Ju, Jq

Verfahren ‖g(q)‖ ‖G(q)u‖ g Gu gqqu2 LGS

Index-1-Verfahren O(h)t2 O(h)t 0 0 1 1Baumgarte-Stabilisierung O(h2) O(h) 1 1 1 1Lage-Projektion O(h3)t O(h)t 1 0 1 2Geschwindigkeits-Projektion O(h)t 0 0 1 1 2Lage+Geschw.-Projektion O(h3) 0 1 1 1 3

Index-2-Verfahren O(h)t 0 0 0 0 1Projektion (linearisierte GGL) O(h3) 0 1 0 0 2


Bei

spie

lPK

W-A

chse

(IV

P-Te

stse

t)

PS

frag

repl

acem

ents

expl

izit

expl

izit

mit

Pro

jekt

ion

linea

r-im

pliz

itlin

ear-

impl

izit

mit

Pro

jekt

ion

PK

W-A

chse

y r

t0

0.5

11.

52

-1.5-1

-0.50

0.51

7.W

orks

hop

furD

eskr

ipto

rsys

tem

e,E

chtz

eitfa

hige

Zeiti

nteg

ratio

nvo

ndi

ffere

ntie

ll-al

gebr

aisc

hen

Sys

tem

enin

derM

ehrk

orpe

rdyn

amik

–p.

19/2

3

Genauigkeit PKW-Achse

PSfrag replacements

I1 unstabilisiertBaumgarteProjektionI2 unstabilisiertlin. GGL

PKW-Achse aus IVP-Testset

Schrittweite h

Fehl

erq

10−3 10−2

10−3

10−2

10−1


Siebenkörpermechanismus

PSfrag replacements

I1 unstabilisiertBaumgarteProjektionI2 unstabilisiertlin. GGL

Andrews squeezing mech.

Schrittweite h

‖g(q

)‖

10−5 10−4

10−8

10−6

10−4


Zusammenfassung

I Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen können mit einerkonstanten Anzahl von Rechenoperationen pro Zeitschritt integriertwerden

I Zur Vermeidung des Drift-Effekts ist eine Stabilisierung notwendig

I Projektionsverfahren benötigen häufig nur einen Schritt derNewton-Iteration

I Vereinfachte Jacobimatrizen erlauben eine schnellere und trotzdemstabile Integration mit dem linear-impliziten Eulerverfahren

I Offene Probleme. große Makroschritte. Fehlerschätzer und Extrapolation. Schaltfunktionen


Literatur

Literatur[1] J. Baumgarte. Stabilization of constraints and integrals of motion in

dynamical systems. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering, 1:1–16, 1972.

[2] B. Burgermeister. Echtzeitfähige Zeitintegration vondifferentiell-algebraischen Systemen in der Mehrkörperdynamik. Master’sthesis, TU München, Zentrum Mathematik, 2003.

[3] E. Hairer and G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations. II. Stiffand Differential-Algebraic Problems. Springer-Verlag, Berlin HeidelbergNew York, 2nd edition, 1996.

[4] IVP-Testset. http://hilbert.dm.uniba.it/~testset/.

[5] W.O. Schiehlen. Technische Dynamik. Teubner Studienbücher, Stuttgart,1985.


http://hilbert.dm.uniba.it/~testset/

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