POPE8CU LZETA POPE8CU LZETA POPE8CU LZETA POPE8CU LZETA ECHPAMENTE ELECTRCE Volumul Volumul Volumul Volumul Editura "ALMA MATER" 8ibiu 2007 3CUPRINS 1. PROCESE TERMICE N ECHIPAMENTELE ELECTRICE 1.1. Cmpul termic 1.2. Ecuatiile cmpului termic 1.3. Transmisia termic 1.4. Cmpul de temperatur n regim stationar 1.4.1. Cmpul termic al peretilor plani paraleli fr surse interne de cldur 1.4.2. Cmpul termic n pereti cilindrici fr surse interne de cldur 1.4.3. Cmpul termic ntr-un conductor lung, de sectiune dreptunghiular, cu surse interne de cldur 1.4.4. Cmpul termic ntr-un conductor circular cu surs intern de cldur 1.4.5. Cmpul termic n conductoarele cu izolatie 1.4.6. Cmpul termic n bobine 1.5. Cmpul termic n regim tranzitoriu 1.5.1. Ecuatia general a bilantului termic 1.5.2. nclzirea corpurilor n regim de durat 1.5.3. Rcirea corpurilor 1.5.4. nclzirea unui corp n regim de scurt durat 1.5.5. nclzirea corpurilor n regim de scurtcircuit 1.5.6. nclzirea unui corp n regim periodic intermitent 1.6. Stabilitatea termic a aparatelor electrice 2. FORTE ELECTRODINAMICE SI ELECTROMAGNETICE 2.1. Calculul fortelor electrodinamice n regim stationar 2.1.1. Forta electrodinamic dintre conductoare drepte si coplanare 2.1.2. Forta electrodinamic dintre conductoare drepte si paralele 2.1.3. Forte electrodinamice n circuite cu configuratie complex 2.1.4. Forte electromagnetice n apropierea peretilor feromagnetici 2.1.5. Forte electromagnetice n nise feromagnetice 2.1.6. Fortele electrodinamice n bobine 2.2. Calculul fortelor electrodinamice n regim nestationar 2.2.1. Fortele electrodinamice n curent alternativ monofazat 2.2.2. Fortele electrodinamice n curent alternativ trifazat 2.2.2.1. Fortele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare paralele si coplanare, n regim nominal 2.2.2.2. Fortele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare paralele si coplanare, n regim de scurtcircuit 2.2.2.3. Fortele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare plasate n vrfurile unui triunghi echilateral, n regim nominal 2.2.2.4. Fortele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare plasate n vrful unui triunghi echilateral, n regim de scurtcircuit 2.3. Stabilitatea electrodinamic a aparatelor electrice 3. ELECTROMAGNETI 3.1. Clasificarea electromagnetilor 4 3.2. Bilantul energetic a unui electromagnet 3.2.1. Lucrul mecanic al unui electromagnet de curent continuu 3.2.2. Lucrul mecanic al unui electromagnet de curent alternativ 3.2.3. Randamentul electromagnetilor 3.3. Regimul dinamic al electromagnetului 3.4. Circuitul magnetic al electromagnetilor 3.4.1. Calculul circuitului magnetic la ntrefier mare 3.5. Calculul fortei dezvoltate de electromagneti 3.5.1. Calculul fortei de atractie la electromagneti de curent continuu 3.5.2. Calculul fortei de atractie la electromagneti de curent alternativ monofazat 3.5.3. Calculul spirei n scurtcircuit 3.5.4. Calculul fortei de atractie la electromagnetii de curent alternativ trifazat 3.6. Actionarea electromagnetilor 3.6.1. Modificarea timpului de actionare al electromagnetilor 3.6.2. Comparatie ntre electromagnetii de c.c. si cei de c.a. 4. COMUTATIA ELECTRIC 4.1. Modelarea arcului electric 4.1.1. Spectrul termic si de curent n arcul electric 4.1.2. Efectul Pinch 4.2. Arcul electric de curent continuu 4.2.1. Caracteristicile arcului electric de c.c. 4.2.2. Stabilitatea arcului electric de c.c. 4.2.3. Metode de stingere ale arcului electric 4.3. Arcul electric de curent alternativ 4.3.1. Caracteristicile arcului electric de c.a. 4.3.2. Metode de stingere ale arcului electric de c.a. 4.3.3. Tensiunea de restabilire 4.3.4. Arcul electric n aparatele de comutatie 4.4. Principii de stingere ale arcului electric 4.4.1. Principiul deion asociat cu suflajul magnetic 4.4.2. Principiul efectului de electrod asociat cu efectul de nis 4.4.3. Principiul expandrii asociat cu jetul de lichid 4.4.4. Principiul jetului de gaz 4.4.5. Principiul vidului avansat 4.4.6. Principiul materialelor granulate 5. CONTACTE ELECTRICE 5.1. Suprafata de contact 5.2. Rezistenta de contact si componentele sale 5.2.1. Rezistenta de strictiune 5.2.2. Rezistenta pelicular 5.2.2.1. Dependenta rezistentei de contact de forta de apsare 5.3. Fenomene perturbatoare n contactele electrice 5.3.1. nclzirea contactelor electrice 5.3.2. Fortele de repulsie n contactele electrice 5.3.3. Vibratia contactelor 5.3.4. Lipirea si sudarea contactelor 5.3.5. Migratia materialului la contacte 5 5.4. Uzura contactelor 5.5. Materiale utilizate pentru contacte electrice 5.5.1. Conditiile de functionare ale contactelor electrice 5.5.2. Materiale pentru contacte electrice 5.6. Solutii constructive ale contactelor electrice 5.6.1. Contacte fixe 5.6.2. Contacte de ntrerupere 5.6.3 Contactele glisante 6. INSTALATII ELECTRICE 6.1. Clasificarea instalatiilor electrice 6.2. Clasificarea constructiilor si a locurilor de munc 6.3. Regimurile de lucru ale consumatorilor electrici 6.4. Caracteristicile consumatorilor electrici 6.5. Determinarea puterii necesare consumatorilor 6.6. Calitatea energiei electrice 6.6.1. Variatia tensiunii de alimentare 6.6.2. Regimul deformant 6.6.3. Nesimetria instalatiilor electrice 6.6.4. Efectele variatiilor de frecvent 6.7. Siguranta n functionare a instalatiilor electrice 6.7.1. Determinarea fiabilittii echipamentelor electrice 6.8. Avarii n instalatiile electrice 6.8.1. Mentenanta instalatiilor electrice Bibliografie 6 Cursul de ECHIPAMENTE ELECTRICE se adreseaz, n special studentilor de la sectia de Inginerie Electric, dar si celorlalti studenti ai faculttilor de profil tehnic care doresc s cunoasc fenomenele de comutatie si protectie electric. Notiunea de echipament electric este foarte larg si se preteaz la numeroase interpretri; de aceea trebuie s precizm c n domeniul Electrotehnicii prin echipament electric ntelegem dispozitivele destinate comutatiei electrice, protectiei consumatorilor electrici si unele dispozitive folosite n actionrile electrice. Transferul de energie electric de la locul de producere la locul de utilizare se realizeaz prin intermediul retelelor electrice. Att la productorii de energie electric ct si n retelele de transport, dar mai ales la consumatorii industriali sau casnici sunt utilizate aparate si echipamente electrice de comutatie si protectie. Definind un aparat de comutatie ca un ansamblu de dispozitive electromecanice sau elec-trice cu ajutorul crora se stabilesc sau se ntrerup circuitele electrice, rezult c din punct de vedere structural aparatele de comutatie se mpart n dou mari categorii: aparate de comutaiei mecanic, ce au cel putin un element mobil pe durata efecturii comutatiei. La rndul lor aceste aparate pot fi: a) neautomate, cum ar fi: ntreruptoarele si comutatoarele cu prghie, ntreruptoarele si comutatoarele pachet, butoane de actionare, ntreruptoare basculante, separatoare si controlere; b) automate din care amintim: contactoarele, ntreruptoarele de joas si nalt tensiune si separatoare de scurtcircuitare; aparate cu comutaie static, ce nu au componente n miscare iar conectarea sau deconectarea este comandat si realizat electronic. Aceast categorie de aparate de comutatie se realizeaz cu dispozitive semiconductoare de putere ca: diode, tiristoare, triacuri sau tranzistoare de putere. n afara aparatelor de comutatie exist o categorie larg de aparate i echipamente electrice de protecie, cu rolul de a proteja generatoarele electrice, liniile electrice, transfor-matoarele si consumatorii mpotriva suprasarcinilor, supracurentilor, scurtcircuitelor, supratensi-unilor sau a oricror regimuri anormale de functionare. Din categoria aparatelor electrice de protectie fac parte: sigurantele fuzibile, releele de protectie, declansatoarele, bobinele de reac-tant, eclatoarele si descrctoarele. 7 Cursul este structurat pe dou prti distincte: n volumul nti se vor aborda initial aspectele teoretice ale proceselor termice si ponderomotoare din aparatele si echipamentele electrice (forte electrodinamice si electromag-netice), procesele de comutatie (arcul electric) si studiul electromagnetilor (ca pricipal dispozitiv de actionare a aparatelor electrice). n volumul doi sunt prezentate principalele tipuri de aparate si echipamente electrice de comutatie si protectie de joas, medie si nalt tensiune, precum si echipamentele electrice pentru pornirea si reglarea turatiei masinilor electrice. Multumesc pentru sprijinul primit la realizarea acestui curs din partea colegilor si a colaboratorilor. Autorul 8 1. PROCESE TERMICE N ECHIPAMENTELE ELECTRICE n aparatele electrice (dar si n motoarele electrice sau orice alt dispozitiv ce foloseste energia electric) se dezvolt necontenit cldur datorit transformrii unei prti din energia elec-tromagnetic n energie termic. Principalele surse de cldur dintr-un parat electricsunt: conductoarele parcurse de cu-rentul electric, miezurile de fier strbtute de fluxuri magnetice variabile n timp, arcul electric (dintre piesele de contact deschise), pierderile de putere activ din izolatii si ciocnirile mecanice. Celelalte elemente ale aparatului, care nu sunt surse de cldur, pot fi puternic solicitate termic prin propagarea cldurii de la un corp la altul prin conductie termic. Cldura ce se dezvoltat n aparatele electrice face ca temperaturile diferitelor prti ale acestora s creasc n timp, pn la o valoare stationar (corespunztoare regimului stationar), cnd ntreaga cldur produs n aparat se cedeaz mediului ambiant prin convectie. Pentru a se asigura o functionare sigur si de durat a aparatelor elctrice (din punctul de vedere al solicitrilor termice), standardele impun (ca n functie de materialele utilizate si conditiile de exploatare ale aparatului electric) anumite limite maxim admisibile pentru temperaturile din regimul stationar. 1.1. Cmpul termic Temperatura, ca mrime de stare ce caracterizeaz energia intern a unui corp, este principalul factor ce influenteaz durata de viat si stabilitatea n functionare a unui aparat electric. Rezult c este necesar cunoasterea variatiei n timp si a repartitiei spatiale a temperaturii. Repartitia temperaturilor ntr-un corp este o functie de spatiu si timp, adic: = (x, y, z, t) [C] (1.1) Pentru un cmp termic stationar (invariabil n timp) se obtine o repartitie doar spatial a temperaturii care se exprim astfel: = (x, y, z) [C] (1.2) Deoarece temperatura este o mrime care poate fi caracterizat, ntr-un sistem de msur dat, printr-un singur numr, nefiind legat de notiunea de directie si sens, cmpul de temperaturi este un cmp scalar. Definim supratemperatura sau nclzirea () ca diferenta dintre temperatura corpului () si temperatura mediului ambiant (a): = a = T Ta [C], [K], (1.3) n care: temperaturile si a se msoar n grade Celsius, iar temperaturile absolute T si Ta n Kelvin. nclzirea fiind o diferent de temperaturi se msoar n grade Celsius [C] sau Kelvin. n regim stationar relatia (1.3.) devine: s = s a (1.4) unde s si s sunt nclzirea si respectiv temperatura n regim stationar. 9 Supratemperatura stationar la care ajung diferitele prti ale aparatului depinde de regimul de functionare a acestuia si de temperatura mediului ambiant. Valorile temperaturii mediului ambiant sunt stabilite prin standarde pentru diferite zone climatice. Valorile temperaturilor maxim admisibile pentru diversele subansamble care compun aparatul, n regimul de functionare normal sau de avarie depind de materialele folosite la constructia sa si sunt date n standarde. Deoarece puterea aparatului este determinat de supratemperaturile maxim admisibile n diferitele lui prti, rezult c nclzirea admis pentru un anumit element al aparatului trebuie aleas n asa fel nct s asigure o putere maxim la o durat de functionare prestabilit (prin standarde sau de beneficiari). Verificarea supratemperaturii maxime admise se va face asupra celor mai sensibile prti ale aparatului: cilor de curent, izolatiile electrice, elementelor elastice, lipituri, si contacte. Pentru ca nclzirea nici unui punct din aparat s nu depseasc limitele admise de standarde, este necesar ca disiparea cldurii ctre mediul ambiant s fie ct mai activ. Conditiile de disipare a cldurii dintr-un aparat electric ctre mediul ambiant reprezint unul din criteriile fundamentale de dimensionare a aparatelor electrice, si de aceea este necesar cunoasterea surselor de nclzire si transferul de cldur n aparat si spre mediul ambiant. Prin studiul solicitrilor termice ale aparatelor electrice se urmreste determinarea prin calcul a nclzirii diferitelor prti ale aparatului, la un anumit regim de functionare si n n comnditii bine determinate. Totalitatea punctelor cu aceiasi temperatur dintr-un cmp termic formeaz o suprafat izoterm sau suprafat de nivel. Pentru a ajunge de la o izoterm la o alt izoterm pe drumul cel mai scurt se utilizeaz vectorul gradient (grad ) definit astfel: kzjyixgrad + + = [grd/m] (1.5) Astfel se asociaz fiecarui punct al cmpului de temperatur (x, y, z) o valoare determinat pentru vectorul grad , iar functia grad = f(x, y, z) reprezint un cmp vectorial plan al gradientilor de temperatur. Sensul pozitiv al gradientului de temperatur este sensul n care temperatura creste de la o izoterm la alta, iar directiile grad si a izotermelor n fiecare punct sunt perpendiculare. Conform legilor calorimetriei ntre dou puncte nvecinate cu temperaturi diferite, energia caloric se propag de la punctul cu temperatur mai mare spre punctul cu temperatur mai mic. Sensul acestei energii de egalizare (caracterizat de un flux termic P) coincide cu sensul descresterii temperaturii. Definim drept cdere de temperatur () valoarea negativ a gradien-tului de temperatur: = grad [C] (1.6) Dac raportm cldura transmis ntre dou izoterme (dQ) la timpul n care are loc acest transfer de cldur obtinem fluxul termic P: dtdQP = [W] (1.7) Raportnd fluxul termic la unitatea de suprafat se obtine densitatea fluxului termic ( q ): ] m / W [dAdPq2= (1.8) Pentru un flux omogen, adic un flux care are aceeasi valoare n toate punctele suprafetei A, rezult: 10 ] m / W [APq2= (1.9) ntre punctele cu temperaturi diferite dintr-un aparat electric are loc o egalizare a energii-lor calorice, care se poate caracteriza matematic prin densitatea de flux termic ( q). Aceasta, pe lng valoarea numeric are o directie si un sens bine determinat n spatiu adic este o mrime vectorial. Rezult c n cazul general functia q = f(x, y, z, t) reprezint un cmp vectorial spatio-temporal, care indic sensul de propagare a cldurii. n regim stationar cmpul vectorial al dennsittii de flux termic este doar o functie spatial q = f(x, y, z). Figura 1.1. Mrimile ce caracterizeaz transferul de cldur ntre dou suprafete izoterme. n figura 1.1 este reprezentat propagarea prin conductie a cldurii printr-o suprafat elementar de aria dA, ntre dou suprafete izoterme, dup directia versorului normalei la izoterm n. Se observ c vectorul q are sens contrar cu versorul n si grad iar propagarea cldurii avnd loc de la suprafata cu temperatur mai mare ( + d) la suprafata cu temperatura mai mic (). Principala surs de nclzire n aparatele electrice o constituie dezvoltarea cldurii prin efect electrocaloric (Joule-Lenz) n conductoarele parcurse de curent. Expresia energiei transformate n cldur n conductoarele parcurse de curent electric este dat de Legea transformrii energiei n conductoare sau forma local a legii lui JouleLenz: j E p = [W/m3] (1.10) Adic puterea specific p dezvoltat n unitatea de volum a conductorului, n procesul de conductie electric este dat de produsul scalar dintre intensitatea cmpului electric E [V/m] si densitatea de curent j [A/m2]. Puterea specific se poate msura si n [W/Kg]. Tinnd cont de Legea lui Ohm: E j = [A/m2] (1.11) si de expresia conductivittii electrice: = 1 (1.12) rezult: p = j2 (1.13) 11 n care [S/m] este conductivitatea electric iar [ m] este rezistivitatea electric a materialului conductor. Pentru a obtine forma integral a Legii transformrii energiei n conductoare filiforme (adic considerm densitatea de curent constant n sectiunea transversal a conductorului) integrm relatia (1.13) pe volumul V al conductorului, obtinnd puterea P produs prin efect electrocaloric (ireversibil): ] W [ i R i u dl i E dl A j E dV j E P2l V V = = = = =} } } (1.14) n care: A aria sectiunii transversale a conductorului, u tensiunea electric, R rezistenta electric a conductorului, i curentul electric prin conductor. Considernd fluxul termic P cldura dezvoltat n intervalul de timp dt se scrie: } = dt P Q (1.15) Dac fluxul termic P este constant n timp rezult: Q = P dt, ecuatie echivalent cu (1.7). 1.2. Ecuaiile cmpului termic Pe baze empirice s-a dedus legtura dintre densitatea de flux termic q si cmpul vectorial grad sub forma unei dependente liniare: q = grad (1.16) Rezult c densitatea fluxului termic q este proportional cu cderea de temperatur (conform figurii 1.1), adic directiile celor dou mrimi coincid. Rezult c propagarea cldurii se face perpendicular pe izoterme, dup directia gradientului de temperatur. Constanta de proportionalitate [W/mgrd] se numeste conductivitate termic si caracterizeaz materialele din punctul de vedere al conductiei termice. Pentru un mediu izotrop si omogen este constant n orice directie si n orice punct al corpului. Desi depinde de temperatur, n majoritatea apli-catiilor se neglijeaz aceast dependent si se consider ca o constant de material. Dac mediul nu este omogen este o functie de punct = (x, y, z), iar dac mediul este si anizotrop este un tensor, adic depinde de directie, astfel ntr-un sistem de axe carteziene x, y si z reprezint conductivittile termice dup directia axelor x, y si z. n acest caz n locul relatiei (1.16) se pot scrie relatiile: zq ;yq ;xqz z y y x x = = = (1.17) Rezultnd: ||.|

\| + + = + + = kzjyixk q j q i q qz y x z y x(1.18) Deoarece divergenta densittii de flux termic q reprezint o msur pentru sursa de cldur din unitatea de volum (adic pentru cldura specific p) putem scrie: 12 div q = q = p (1.19) n care s-a notat cu nabla operatorul de derivare: kzjyix + + = (1.20) Rezult: pz y xq22z22y22x =||.|

\| + + = (1.21) Se obtine astfel o ecuatie tip Poisson pentru medii anizotrope, care determin cmpul termic n mediile cu surse de cldur: 0 pz y x22z22y22x = + + + (1.22) Pentr corpurile izotrope, unde x = y = z = , se obtine a doua form mai simpl a ecuatiei lui Poisson: 0pz y x222222=+ + + (1.23) Mentionm c pierderile specifice p din ecuatiile Poisson nu reprezint neaprat pierderi prin efect electrocaloric (definite de relatia 1.13) ci pot reprezenta si pierderi n miezurile feromagnetice (prin histerezis sau curenti turbionari) sau chiar pierderi de putere activ n izolatii, dar exprimate n [W/m3]. Pentru cazul corpurilor cu sectiune circular se folosesc coordonatele cilindrice definite astfel: x = r cos ; y = r sin ; z = z (1.24) Scriind ecuatia lui Poisson n coordonate cilindrice pentru un mediu izotrop se obtine relatia: 0pz r1r r1r22222 22=+ + + + (1.25) n cazul corpurilor fr surse interne de cldur, pentru care p = 0, Laplace a obtinut ecuatiile care i poart numele, si care sunt cazuri particulare ale ecuatiilor lui Poisson. Astfel pentru corpuri anizotrope n coordonate carteziene ecuatia lui Laplace are forma: 0z y x22z22y22x = + + (1.26) Pentru corpuri izotrope, n coordonate carteziene, ecuatia Laplace este: 0z y x222222= + + (1.27) Pentru corpuri izotrope, n coordonate cilindrice, ecuatia lui Laplace este: 0z r1r r1r22222 22= + + + (1.28) 13 Ecuatiile Poisson si Laplace descriu cmpul termic n regim stationar. Dac distributia temperaturii n corp nu este stationar, cmpul termic satisface o ecuatie de tip Fourier dedus pe baza Legii conservrii energiei si care este de forma: ||.|

\| + + = 222222z y xat (1.29) n care s-a notat cu "a" difuzivitatea termic, care are expresia: ] s / m [ca2d = (1.30) Difuzivitatea termic caracterizeaz inertia termic a corpurilor. Conductivitatea termic s-a notat cu [W / m grd], c [Ws / kggrd] este cldura speci-fic masic iar d [kg / m3] este densitatea corpului. Se observ c n regim stationar ecuatia lui Fourier (1.29) se reduce la ecuatia lui Laplace pentru medii izotrope n coordonate carteziene (1.27). Prin rezolvarea ecuatiilor Laplace, Poisson sau Fourier n conditii de frontier si initiale cunoscute se poate obtine cmpul termic al unui aparat. Pentru corpurile cu o structur complex se fac aproximri ale geometriei acestora sau se folosesc metode numerice de calcul a cmpului termic. 1.3. Transmisia termic Cmpul termic ntr-un aparat electric depinde att de sursele de nclzire ct si de disiparea cldurii n mediul ambiant prin transmisivitate termic. Prin suprafata corpului care se afl n contact cu un gaz sau lichid, de o alt temperatur dect corpul, are loc un schimb de cldur. Cu ct diferenta de temperatur este mai mare, cu att transmisia termic este mai intens. Din momentul n care cantitatea de cldur produs devine egal cu cantitatea de cldur disipat n exterior, se stabileste regimul stationar. Transmisia cldurii se poate face n trei moduri: prin conductie, prin convectie si prin radiatie. ntr-un aparat electric apar n general toate cele trei moduri de transmisie a cldurii, dar deoarece predomin unul sau dou dintre acestea, n unele cazuri, celelalte feluri de transmisivitti se pot neglija. Transmisia termic prin conductie este fenomenul propagrii cldurii prin masa corpurilor solide, lichide sau gazoase, sau ntre aceste corpuri aflate n contact intim, prin egalizarea energiei cinetice a moleculelor lor. Pornind de la relatia (1.16) si conform notatiilor din figura 1.1 putem scrie: ndndgrad q = = ndt dAQ dndAdP2 = = (1.31) Rezult pentru cldura transmis prin conductie mediului ambiant expresia: dt dAdndQ =}} (1.32) Cldura cedat mediului ambiant prin conductie Q depinde de propriettile mediului n care are loc procesul de transmitere a cldurii si de valoarea gradientului de temperatur. 14 Transmisia termic prin convectie este fenomenul de transmitere a cldurii la suprafata de contact dintre un corp si mediul fluid cu care se afl n contact. Initial, are loc un transfer de cldur prin conductie de la mediul solid la moleculele lichidului sau gazului cu care se afl n contact. Fluidul din zona de contact si micsoreaz densitatea si fiind mpins de masa de fluid mai rece, n sus, iau nastere curenti de fluid care extrag cldura din corp prin transfer de mas a fluidului. Dac acest proces nu este influentat n mod voit, constituie transmisivitatea termic prin convectie natural. n cazul unui suflaj fortat, din exterior, a fluidului de rcire se obtine o intensificare a convectiei prin asa numita convectie artificial. n cazul gazelor convectia artificial se obtine prin ventilare, iar pentru lichide prin pompe de circulare a lichidului de rcire. Fluxul termic obtinut prin convectie nu poate fi separat de cel prin conductie si deci rezult: qc = c (c a) = c (Tc Ta) = c [W / m2] (1.33) Am notat cu c [W / m2grd] transmisivitatea termic prin conductie si convectie. Aceast transmisivitate depinde de foarte multi factori cum ar fi: de temperatura corpului, temperatura fluidului de rcire, natura fluidului de rcire, forma, dimensiunea si orientarea suprafetei prin care se cedeaz cldura lichidului de rcire. Valorile lui c se dau n literatura de specialitate. Pentru a ameliora conditiile de rcire prin conductie si convectie a aparatelor se recomand convectia fortat si forme adecvate ale suprafetei de rcire. Cldura total transmis prin conductie si convectie de la aparat mediului ambiant este: dt dS ) ( Qa c Cc =}} [J] (1.34) Am notat cu S este suprafata de rcire prin conductie si convectie. Transmisia termic prin radiatie este fenomenul de transmitere a cldurii de la un corp cu temperatura diferit de zero absolut, prin radiatie electromagnetic. Energia radiatiilor electromagnetice captate de un corp cu temperatura mai redus conduce la nclzirea sa. Acest proces are loc prin tranzitia electronilor din atomi, de pe nivele energetice superioare spre cele inferioare. Aceast tranzitiei duce la emisia de cuante de energie. Capacitatea corpului de a emite sau absorbi unde electromagnetice depinde n primul rnd de diferenta de temperatur, de suprafata lateral, de pozitionarea suprafetei laterale, de culoarea acesteia side calitatea ei (rugo-zitatea ei). Densitatea fluxului termic cedat prin radiatie mediului ambiant (qr) se obtine pe baza Legii lui StefanBoltzman: qr = r (c a) = r (Tc Ta) = r [W / m2] (1.35) Am notat cu r [W / m2 grd] trasmisivitatea termic prin radiatie a crei expresie este: (((

|.|

\||.|

\| =4a4c0 r100T100TC q (1.36) Rezult pentru transmisivitatea termic prin radiatie expresia: a c4a4c0 rT T100T100TC|.|

\||.|

\| = [W / m2 grd] (1.37) S-au fcut urmtoarele notatii: C0 = 5,77 [W / m2grd2] este coeficientul de radiatie al corpului absolut negru; coeficientul de radiatie sau absorbtie al corpului; 15 c temperatura corpului n [C] respectiv [K]; a temperatura mediului ambiant n [C] respectiv [K]; Tc temperatura absolut a corpului n [K]; Ta temperatura absolut a mediului n [K]; Valoarea coeficientul de radiatie al corpului este dat n tabele, n functie de aspectul, culoarea si rugozitatea suprafetei de cedare a cldurii prin radiatie. Trebuie avut n vedere c suprafata radiant Sr, este numai suprafata care radiaz n spatiul liber (a crei normal nu intersecteaz din nou corpul) si care este mai mic dect suprafata lateral n cazul carcaselor profilate. Este de asemenea avantajos s vopsim suprafetele exterioare ale corpului n culori mate si nchise care favorizeaz cedarea de cldur prin radiatie. Cldura total transmis prin radiatie de un corp, mediului ambiant este: dt dS ) ( Qr a c r r =}} [J] (1.38) Schimbul real de cldur are loc prin radiatie, convectie si conductie. Ponderea celor trei fenomene diferind de la un aparat la altul. Lund n considerare toate cele trei tipuri de transmisivitti termice obtinem pentru densitatea fluxului termic global expresia: q = qr + qc = r (c a) + c (c a) = (r + c) (c a) [W / m2] (1.39) Notnd cu [W / m2 grad] transmisivitate termic global rezultant:q = (c a) [W / m2] (1.40) Cantitatea total de cldur disipat prin transmisivitate termic de la aparat spre mediul ambiant este: dt dS ) ( dt dS ) ( Qr a c rSr Sc a c c + =}} }} [J] (1.41) 1.4. Cmpul de temperatur n regim staionar Regimul stationar (permanent) are loc cnd ntreaga cantitate de cldur ce se dezvolt n aparat se cedeaz mediului ambiant, prin transmisivitate termic. n acest caz temperatura aparatului rmne constant n timp la valoarea stationar s. Datorit neomogenittii aparatelor electrice temperaturile difer de la un punct la altul, desi sunt constante n timp. Este necesar din punct de vedere tehnic s determinm repartitia spa-tial a cmpului termic, n cele mai frecvent ntlnite cazuri n aparatele electrice. Determinarea cmpului termic = (x, y, z) se face separat pentru medii fr surse interne de cldur si pentru mediile cu surs intern de cldur. 1.4.1. Cmpul termic al pereilor plani paraleli fr surse interne de cldur Considerm un perete plan paralel, de grosime , splat n stnga de un fluid cu o temperatur 1 si n dreapta de un fluid cu temperatura mai mic 2. ntre fluide si perete are loc un schimb de cldur prin transmisie termic 1 si respectiv 2 astfel nct temperaturile la extremitatea peretelui sunt 1 si 2. 16 Figura 1.2. Cmpul termic ntr-un perete plan paralel fr surse interne de cldur Peretele neavnd surse interne de cldur (p = 0), si fiind omogen rezult c conductivitatea termic este constant ( = ct.). Considernd peretele de extensie infinit rezult c transmiterea cldurii are loc perpendicular pe perete (q=qx). Cazul studiat este o simplificare care modeleaz cazul carcaselor plane sau al peretilor plani ai cuptoarelor. Dorim s determinm repartitia temperaturilor n acest perete. Pornind de la ecuatia lui Lapace (1.27) si tinnd cont c i q qx = , rezult c ecuatia ce trebuie integrat este: 0dxd22= (1.42) Prin dou integrri succesive se obtine: 1Cdxd= (1.43) = C1 x + C2 (1.44) Se observ c variatia temperaturii n perete este liniar (ca n figura 1.2). Determinarea constantelor de integrare C1 si C2 se face din conditiile de limit: pentru x=x1 avem = 1, iar pentru x=x2 avem = 2. Rezult pentru constante expresiile: 2 12 11x xC = (1.45) 1 22 1 1 22x xx xC = (1.46) Scriind relatia (1.31) sub forma: 17 dxdq = 1 21 2x x = (1.47) si fcnd notatiile: 1 2 = cderea de temperatur, x1 x2 = grosimea peretelui; Rezult relatia: q R qt = = (1.48) care poate fi interpretat (prin analogie cu circuitele electrice de curent continuu) ca o Lege a lui Ohm pentru transmiterea cldurii. S-a fcut notatia: Rt = / (1.49) Rt poart denumirea de rezistent termic. Analogia dintre circulatia fluxului termic (q) prin pereti plani paraleli si circuitele electrice de c.c. permite calculul rapid al cderilor de temperatur pentru peretii formati din mai multe straturi. Pentru aceasta se realizeaz scheme electrice echivalente ale circuitului termic pe baza echivalentelor: I q , U , R Rt (1.50) Dac peretele este constituit din mai multe straturi plan paralele, cu rezistentele termice Rt1, Rt2, ..., Rtn, atunci cderea total de temperatur este: qnn2211n 2 1 ||.|

\|+ ++= + + + = ... ... (1.51) Pe baza analogiilor (1.50), se pot calcula relativ usor cderile de temperatur pe straturi, conductivittile termice echivalente si rezistentele termice totale. 1.4.2. Cmpul termic n perei cilindrici fr surse interne de cldur Considernd un perete cilindric, de lungime mare, n raport cu diametrul, se poate admite c transmisia cldurii prin conductie are loc numai n directie radial, adic q=qr (se neglijeaz efectul de capt). Acest caz este o modelare, simplificat a cazului carcaselor cilindrice ale motoarelor si aparatelor electrice, a izolatiilor cablurilor electrice sau a unor etuve cilindrice. 18 Figura 1.3. Pereti cilindrici, fr surse interne de cldur. Considernd peretele omogen ( = ct.), fr surse interne de cldur si avnd simetrie axial, cmpul termic va satisface o ecuatie de tip Laplace n coordonate cilindrice: 0r r1r22= + (1.52) Integrnd ecuatia diferential (1.52) de dou ori obtinem succesiv formele: 0drdr1drddrd= +|.|

\| (1.53) 0drddrddrdr =+|.|

\| (1.54) 0drdrdrd=|.|

\| (1.55) 1Cdrdr = (1.56) rdrC d1 = (1.57) = C1 ln r + C2 (1.58) Conditiile de frontier sunt: la r = r1 avem = 1 si la r = r2 avem = 2 . Impunnd conditiile de frontier ecuatiei (1.58) rezult: 1 = C1 ln r1 + C2 (1.59) 2 = C1 ln r2 + C2 (1.60) Prin rezolvarea sistemului de mai sus se obtin constantele de integrare: 19 212 11rrCln = (1.61) 212 1 1 22rrr rClnln ln = (1.62) care nlocuite n relatia (1.58) conduc la forma final a variatiei cmpului termic n functie de raza r: 211221rrrrrrlnln ln = (1.63) Rezult o variatie logaritmic a temperaturii n functie de raz. 1.4.3. Cmpul termic ntr-un conductor lung, de seciune dreptunghiular, cu surse interne de cldur Acest caz modeleaz cile de curent sub form de bare, bobinele de form plat si plcile electroizolante n care se dezvolt pierderi dielectrice. Considerm c sursele de cldur sunt uniform repartizate n masa conductorului, iar cantitatea de cldur dezvoltat n unitatea de volum si unitatea de timp este egal cu pierderile specifice volumice p [W / m3]. nclzirea fiind n regim stationar, cmpul termic este un cmp spatial, invariabil n timp. Conductorul avnd dimensiunile transversale mult mai mari ca grosimea, lum n considerare doar componenta transversal a densittii de flux termic: q = q(x). Cmpul de temperatur se obtine prin integrarea ecuatiei Poisson n coordonate carteziene (1.22), care pentru =ct. obtine forma: 0pdxd22=+ (1.64) 20 Figura 1.4. Pereti plani cu surse interne de cldur. Prin integrri succesive se obtine: 1C xpdxd+ = (1.65) 2 12C x C2x p+ + = (1.66) Conditiile de frontier sunt: la x = 0 avem = 1; la x = avem = 2 . nlocuind aceste conditii n relatia (1.66), rezult constantele de integrare: C2 = 1 iar =2 112pC (1.67) Iar ecuatia final a cmpului termic este: 12 1 2x2px2p + |.|

\| + = (1.68) Solicitarea maxim va avea loc la x = xm, iar maxim a temperaturii va fi = m. Pentru a afla temperatura maxim tinem cont c la x = xm avem: 0dxdmx x=|.|

\| = (1.69) nlocuind n relatia (1.65) rezult: 1 mC xp= (1.70) 21 Adic: ( )2 1 mp 2x = (1.71) nlocuind n (1.68) rezult valoarea maxim a temperaturii: 1 m2 12mmx2p2x p + |.|

\| + = (1.72) Aceasta este valoarea la care trebuie verificat materialul conductorului. Variatia parabolic a temperaturii este reprezentat n figura 1.4. Un caz frecvent ntlnit este acela cnd temperaturile celor dou suprafete laterale sunt egale. n acest caz 1 = 2 = a, adic: 2xm= (1.73) 21 m2 2p|.|

\| + = (1.74) n acest caz variatia temperaturii este: 12x2px2p + + = (1.75) 1.4.4. Cmpul termic ntr-un conductor circular cu surs intern de cldur Considerm un conductor de raz mic n raport cu lungimea sa (adic putem aproxima temperatura ca fiind constant ntr-o sectiune transversal), si fcnd abstractie de efectul de capt, cmpul termic n conductor satisface o ecuatie Poisson n coordonate cilindrice (relatia 1.25). n ipotezele mentionate cmpul termic va depinde doar de raz: 0pr r1r22=+ + (1.76) Neglijnd variatia cu temperatura a rezistivittii electrice, adic considernd p = j2 = ct. rezult prin integrare: 2r prC2r pCr1drd121 =||.|

\| = (1.77) 221C4r pr C + = ln (1.78) Pentru determinarea constantelor de integrare se folosesc conditiile la limit si anume: la r = 0 avem = max si deci 0drd0 r=|.|

\| = iar la r = r1, = 1. Din relatia (1.77) rezult: 22 C1 = 0 (1.79) iar din relatia (1.78) rezult: + =4r pC211 2 (1.80) Rezult c ecuatia cmpului termic este: ( )12 21r r4p + = (1.81) Variatia parabolic a temperaturii cu raza conductorului este reprezentat n figura 1.5. Temperatura maxim ce apare n conductor va apare n axa conductorului (la r = 0) si va avea valoarea: 21 1r4p + = max (1.82) Figura 1.5. Cmpul termic ntr-un conductor cilindric cu surse interne de cldur Supratemperatura maxim ce apare n conductor va fi: 23 21r4p = = max (1.83) 1.4.5. Cmpul termic n conductoarele cu izolaie Considernd un conductor izolat parcurs de curent, acesta se nclzeste avnd temperatura maxim n axa conductorului (max). Cum cderea de temperatur n sectiunea transversal a conductorului este neglijabil datorit conductivittii termice foarte mari, ne propunem s determinm temperatura de la suprafata de separatie dintre conductor si izolatie (1), care este cea mai mare temperatur care solicit izolatia. Cderea de temperatur n stratul de izolatie (1 2) variaz dup o functie logaritmic, asa cum s-a determinat n cazul transmisiei cldurii printr-un perete cilindric, conform relatiei (1.63). Figura 1.6. Conductor izolat de sectiune circular Considerm un conductor cilindric de diametru d, acoperit cu un strat de izolatie de grosime (D d) /2 si a crui lungime este l. Neglijnd efectul de capt densitatea de flux termic q este orientat radial: drdQ) r ( q q = = (1.84) Rezult c fluxul termic P ce strbate conductorul este: P = q S (1.84) S-a notat cu S suprafata lateral curent (situat la distanta r de ax) prin care cldura trece de la conductor la izolatie. Rezult: 24 drdl r 2 P = (1.85) rdrl 2Pd = (1.86) Integrnd relatia (1.86) rezult: } } = 2 d2 Drdrl 2Pd21// (1.87) Rezult: dDl 2P2 1ln + = (1.88) Cedarea cldurii de la suprafata exterioar a conductorului spre mediul ambiant (de temperatur a) se face conform ecuatiei transmisiei cldurii (1.40). q = (2 a) (1.89) S-a notat cu transmisivitatea termic global. Rezult: 1a a 2SP q + =+ = (1.90) Suprafata lateral de cedare a cldurii ctre mediul ambiant este: S1 = D 1 (1.91) nlocuind n relatia (1.90) l DPa 2 + = (1.92) nlocuind (1.88) rezult: dDl 2Pl DPa 1ln + + = (1.93) Folosind relatia (1.82), rezult c temperatura maxim din conductor (care este n axa conductorului circular) este: l 4pdDl 2Pl DPa + + + = lnmax (1.94) Izolatia va fi verificat la temperatura 1 calculat cu relatia (1.93). Considernd cazul unui conductor dreptunghiular de sectiune A B, cu grosimea izolatiei si de lungime 1, ca cel din figura 1.7, ne propunem s calculm solicitarea termic maxim a izolatiei si temperatura maxim din conductor. Dac temperaturile celor dou 25suprafete limit ale izolatiei sunt 1 si 2, fluxul termic va fi: ( ) ( ) [ ] x 2 B 2 x 2 A 2 ldxdP + + + = (1.95) ( ) [ ] x 8 B A 2 ldxdP + + = (1.96) ( ) [ ]dxx 8 B A 2 lPd + + = (1.97) Figura 1.7. Conductor izolat de sectiune dreptunghiular. Integrnd relatia (1.97) de la 2 la 1 si de la x = 0 la x = , rezult: ( )( )} } + + + = B A 28 B A 2udul 8Pd12 (1.98) Fcnd notatiile: 2 (A + B) + 8 x = u si 8 dx = du (1.99) Rezult. ( )( ) B A 28 B A 2l 8P2 1+ + + = ln (1.100) |.|

\|+ + + = B A41l 8P2 1ln (1.101) Fcnd aproximatia: B A4B A41+ |.|

\|+ + ln (1.102) Rezult: ( ) B A l 2P2 1+ + = (1.103) 26 Ceea ce reprezint solicitarea termic maxim la care este solicitat izolatia. Dac cldura este cedat mediului ambiant (2= a) rezult c aceast solicitare maxim va fi: ( ) [ ] ( ) B A l 2Pl 8 B A 2Pa 1+ + + + + = (1.104) Calculul prezentat este acoperitor deoarece se disipeaz cldur si prin capetele conductorului. 1.4.6. Cmpul termic n bobine Calculul cmpului termic n bobine reprezint o important tehnic deosebit deoarece este des ntlnit si este relativ complex. Caracteristic unei bobine este faptul c structura ei este neomogen. Asa cum rezult din sectiunea longitudinal din figura 1.8 o bobin este format din: conductoare active, izolatia conductoarelor, izolatia dintre straturi, lacul de impregnare si carcasa bobinei. Fiecare din aceste elemente este caracterizat prin conductivitatea termic si cldura specific proprie. Aceast neomogenitate nu permite un calcul analitic exacz a cmpukui termic ci este necesar omogenizarea aproximativ prin medierea constantelor de material. Figura 1.8. Sectiune longitudinal printr-o bobin n conductorul de bobinaj se dezvolt cldur prin efect JouleLenz, iar n izolatii, dac se neglijeaz pierderile de putere activ prin polarizare nu se dezvolt cldur (adic sunt medii fr surse interne de cldur). n cazul n care bobina are miez de fieromagnetic, n curent alternativ se produce cldur prin curenti turbionari si histerezis. Din aceste motive calculul 27analitic al cmpului termic al bobinelor n regim stationar, se poate face doar prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare, cum ar fi bobina se consider omogen, adic p = ct.; se consider o conductivitate termic medie m pentru materialul bobinei format din conductoare si izolatie; cldura se evacueaz din bobin numai prin suprafetele cilindrice laterale si nu prin suprafetele frontale (se neglijeaz efectele de capt); pe suprafetele laterale admitem transmisivitate termic medie m. n aceste ipoteze rezult c densitatea fluxului termic q este orientat n directie radial q = q(r). n acest fel problema este analoag matematic cu nclzirea unui conductor cilindric, schimbndu-se numai conditiile de frontier. Se ntlnesc dou situatii distincte: cazul bobinelor fr miez de feromagnetic sau al bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate n curent continuu, cnd deoarece miezul nu are surse interne de cldur cedarea cldurii se face att prin suprafata cilindric exterioar (2 r2 1) ct si prin suprafata interioar (2 r1 1); cazul bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate n curent alternativ cnd cedarea cldurii se face numai prin suprafata cilindric exterioar (2 r2 1) deoarece din cauza curentilor turbionari si a pierderilor prin histerezis, miezul magnetic se nclzeste si apare un flux termic suplimentar dirijat de la miez spre nfsurarea de curent alternativ. Conditiile de frontier pentru cele dou cazuri fiind diferite si conduc la cmpuri termice diferite. n cazul bobinelor fr miez de feromagnetic sau alimentate n c.c. densitatea de flux termic este orientat radial spre exteriorul si interiorul bobinei. Rezult c temperatura maxim se obtine undeva n interiorul bobinei (n dreptul razei rm). Cunoscnd temperaturile suprafetelor interioare si exterioare (1 respectiv 2) ne propunem s determinm legea de variatie = (r) precum si valoarea temperaturii maxime m la raza rm. Ca o concluzie practic se recomand ca n cazul bobinelor de curent continuu cu miez feromagnetic s se realizeze un contact termic bun ntre miez si bobinaj pentru o mai bun cedare a cldurii. Pornind de la relatia (1.78) vom determina constantele de integrare pe baza conditiile de frontier: la r = r1, = 1 iar la: r = r2, = 2, care introduse n relatia (1.78), permit determinarea celor dou constante, sub forma: ( ) ( )((

=2 12122m121r r4prr1Cln (1.105) ( ) ( )((

+ =2 12122m122m222 2r r4prrr4r pClnln (1.106) 28 Figura 1.9. Cmpul de temperatur ntr-o bobin fr miez de feromagnetic sau alimentat n c.c.. Pentru a determina raza rm la care se obtine temperatura maxim si temperatura maxim m, folosind relatia (1.77) si punnd conditia (d / dr)r =r m = 0 rezult: 02r prCmmm1= ; pC 2rm 1m = (1.107) Temperatura maxim va avea valoarea: 2m2mm 1 mC4r pr C + = ln (1.108) Tinnd seama de (1.107.) obtinem expresia: m = C1 (ln rm 0.5) + C2 (1.109) nlocuind constantele C1 si C2 n relatia (1.78) se poate determina distributia radial a temperaturii (reprezentat n figura 1.9), si prin nlocuirea n relatia (1.108) se determin temperatura maxim. n cazul bobinelor cu miez de feromagnetic alimentate n curent alternativ 29 miezul feromagnetic constituie o surs suplimentar de cldur foarte important datorit curentilor turbionari care circul n materialul miezului si a pierderilor prin histerezis. Din cauza cldurii dezvoltate n miez, se consider c bobina poate ceda cldur numai prin suprafata ei exterioar, iar la limita dintre miez si bobin, temperatura 1 este temperatura maxim pentru bobin, adic temperatura la care trebuie s reziste izolatiile. Ca o concluzie practic, rezult c n cazul bobinelor de curent alternativ cu miez feromagnetic se recomand izolarea termic cu materiale electroizolante a bobinajului fat de miez. Figura 1.10. Cmpul de temperatur ntr-o bobin de c.a. cu miez de feromagnetic. Pentru bobina din figura 1.10 vom determina legea de variatie a temperaturii functie de raz pornind de la relatia (1.78), obtinut prin integrarea ecuatiei Poisson n coordonate cilindrice (1.25). Determinarea constantelor de integrare din relatia (1.78) se va face n urmtoarele conditii de frontier: la r = r1, = 1 = max, (d / dr)r = r1 = 0 iar la r = r2, = 2. Din relatia (1.77) rezult: m1112r prC (1.110) m2112r pC = (1.111) 30care nlocuit n relatia (1.78) rezult: m222m212 24r pr2r pC + = ln (1.112) Ecuatia cmpului termic al bobinei este dat de relatia: ( )2 22m 2 m212r r4prr2r p + + = ln (1.113) Reprezentarea grafic a variatiei temperaturii ca raza este dat n figura 1.10. Notnd cu = 1 2, cderea de temperatur n directia radial se obtine prin nlocuirea n relatia (1.113) a lui r cu r1 si cu 1: ( )2122m 21m21r r4prr2r p + = ln (1.114) Pentru utilizarea practic a relatiilor deduse anterior este necesar aproximarea conductivittii termice medii m ce apare n expresia cmpului termic. n practic se utilizeaz mai multe aproximri deduse empiric dintre care cele mai des utilizate sunt: pentru conductoare rotunde: = 2d6 0i m, (1.115) pentru conductoare dreptunghiulare: ++ + + = b imb 2 2b 2 248 1, (1.116) sau: + + = 22 B2 AAi m (1.117) S-au fcut notatiile: grosimea stratului de izolatie; b grosimea echivalent a stratului dintre conductoare umplut cu aer sau mas de impregnare; grosimea izolatiei dintre straturi; d diametrul conductorului neizolat; A, B dimensiunile conductorului dreptunghiular dup directia axial, respectiv radial; i conductivitatea termic a materialului izolatiei; b conductivitatea termic a masei de impregnare; conductivitatea termic a izolatiei dintre straturi. Calcularea cmpului termic din bobine fcut anterior este acoperitoare deoarece n cazurile reale cedarea cldurii se produce si prin suprafetele frontale ale bobinei, si deci distributia temperaturii pe nltimea bobinei va fi neuniform si inferioar celei calculate. Acest lucru se poate evidentia experimental. 31 1.5. Cmpul termic n regim tranzitoriu Definim regimul tranzitoriu ca acel regim n care cmpul de temperatur este functie att de coordonatele spatiale ct si de timp: = f(x, y, z, t). Cldura care se dezvolt n aparate contribuie la cresterea temperaturii corpului n timp, iar transmisia cldurii ctre mediul ambiant se face combinat prin conductie, convectie si radiatie. Determinarea repartitiei spatio-temporale a temperaturilor se poate face tinnd cont de dependenta de temperatur a constantelor de material (conductivitatea termic, transmisivitatea termic, rezistivitatea electric etc.) conform teoriei moderne a nclzirii. Conform acestei teorii dependenta de temperatur se face polinomial (empiric) sau exponential. Astfel dac considerm o variatie liniar cu temperatura a rezistivittii: Rezult: = 0 (1 + ) (1.118) Teoria modern a nclzirii este mai precis, dar necesit un volum mai mare de calcule si este folosit mai ales n proiectarea asistat pe baza metodelor numerice. O metod mai simpl de calcul a cmpului termic n regim tranzitoriu este teoria clasic a nclzirii, n care se neglijeaz dependenta de temperatur a constantelor de material. Tot pentru simplificarea calculelor se fac si urmtoarele ipoteze simplificatoare: corpul este omogen; pierderile n unitatea de volum sunt constante (p = ct.); temperatura mediului ambiant este constant (a = ct.). n regim nestationar cmpul termic este descris de ecuatii diferentiale deduse pe baza bilantului termic, adic forme particulare ale Legii conservrii energiei. 1.5.1. Ecuaia general a bilanului termic. Pornind de la Legea conservrii energiei, si folosind ipotezele teoriei clasice a nclzirii putem gsi o ecuatie general de bilant termic (ecuatii tip Fourier) prin integrarea creia s obtinem o solutie analitic a fenomenului de difuzivitate termic. Majoritatea cazurilor practice de regimuri tranzitorii pot fi reduse la cazul conductorului drept de sectiune constant, cu rcire natural sau fortat. Conform teoriei clasice a nclzirii (si acceptnd ipotezele ei simplificatoare), se consider un conductor cilindric (ca n figura 1.11) rectiliniu si omogen de lungime infinit si cu diametru suficient de mic pentru a putea aproxima aceeasi temperatur ntr-o sectiune oarecare. Conductorul este parcurs de un curent electric, ce dezvolt o putere p n unitatea de volum. Se tine cont de efectul de capt, considernd c la origine exist o surs suplimentar de cldur, care d nastere la un flux termic longitudinal. Temperatura corpului nefiind constant de-a lungul conductorului, exist tendinta de uniformizare a temperaturilor prin conductivitate termic. Datorit ariei transversale mici considerm c fluxul termic este axial, n directia x, iar conductorul cedeaz cldur mediului ambiant doar prin suprafata lateral, care are o temperatur constant. n aceste conditii tem-peratura conductorului va fi o functie de lungimea axial x si de timp: = f(x, t). 32 Figura 1.11. Bilantul termic a unui conductor drept de sectiune constant Legea conservrii energiei n elementul infinitezimal dx din conductorul drept, de sectiune constant si mic A reprezentat n figura 1.11 are expresia: dQ1 + dQ2 = dQ3 + dQ4 + dQ5 (1.119) S-au fcut notatiile: dQ1 este cantitatea de cldur dezvoltat n elementul de volum (A dx), n timpul dt: dQ1 = p A dx dt = j2 A dx dt (1.120) dQ2 este cantitatea de cldur datorat fluxului termic longitudinal, ce intr pe calea conductiei prin sectiunea transversal A, n timpul dt si care conform (1.32) este: dtxA dQ2 = (1.121) dQ3 este cantitatea de cldur ce iese prin conductiei din elementul de volum (A dx), n timpul dt, care conform (1.32) este: dt dxx xA dQ3 |.|

\| + = (1.122) dQ4 este cantitatea de cldur cedat mediului ambiant prin transmisivitate termic combinat, prin suprafata lateral S, n timpul dt, care conform (1.41) este: dQ4 = S ( a) dt = lp ( a) dx dt (1.123) unde s-a notat cu lp perimetrul sectiunii transversale; dQ5 este cantitatea de cldur nmagazinat n elementul infinitezimal de volum (A dx), n timpul dt si care are expresia: dt dxtA c d dM c dQd 5 = = (1.124) unde c este cldura specific, iar dM = d A dx este masa elementului infinitezimal si d densitatea materialului conductorului. nlocuind n relatia (1.119) vom obtine: ( ) dt dxtA c dt dx ldt dxxAxA dtdxA dt dx A jd a p + ++ = 222 (1.125) 33 Simplificnd cu Adxdt rezult: ( )ap 222dAljx tc + = (1.126) mprtind cu cd si tinnd cont c difuzitivitatea termic are conform (1.30) expresia: a = / c d se obtine ecuatia diferential cu derivate partiale a transmisiei cldurii sub forma: ( )adpd222A clcjxat + = (1.127) Pornind de la aceast ecuatie se pot deduce alte ecuatii particulare ce se folosesc n practic la determinarea cmpurilor termice n regim nestationar. n practic de cele mai multe ori se studiaz separat procesele de nclzire fat de cele de distributie spatial a cmpului termic. De exemplu, n procesul de nclzire n regim stationar ( = s), temperatura conductorului are o valoare bine determinat, independent de x si t, ||.|

\| = = 0x; 0t22 si deci relatia (1.127) va deveni: sdpd2A clcj = (1.128) Supratemperatura stationar va fi: s = s a (1.129) l l Al A IlA jp22p2s = = (1.130) Deoarece rezistenta electric are expresia R = 1 / A, suprafata lateral de cedare a cldurii ctre mediul ambiant este S= lp l, iar fluxul termic este P = I2 R, rezult c supratemperatura stationar are expresia: SPs = (1.131) 1.5.2. nclzirea corpurilor n regim de durat Pentru determinarea ecuatiei nclzirii unui corp, n regim de durat vom porni de la relatia (1.127) si vom neglija cderea de temperatur n conductor obtinnd relatia: =A clcjdtddpd2 (1.132) Deoarece: d = d (1.133) Rezult: dtA cldtcjddpd2 = (1.134) 34 dtM cSdtM cPd = (1.135) P dt S dt = c M d (1.136) Relatia (1.136) nu este alceva dect Legea conservrii energiei care se poate enunta astfel: cantitatea de cldur nmagazinat n corp este diferenta dintre cldura dezvoltat prin efect electrocaloric n corp si cldura cedat mediului ambiant prin transmisivitate termic. Am dovedit astfel c ecuatiile de bilant termic sunt forme particulare ale Legii conservrii energiei, n ipoteze simplificatoare. Deoarece P = S s relatia (1.136) se mai poate scrie: S (s ) dt = c M d (1.137) Definim constanta termic de timp, prin expresia: SM cT = [s] (1.138) Folosind expresia constantei termice de timp ecuatia (1.137) se poate scrie succesiv: =sdTdt (1.139) Tdt ds = (1.140) Integrnd relatia (1.140) rezult: ( ) CTts + = ln (1.141) Constanta de integrare se deduce din conditiile de limit: la t = o, r = r0 Rezult: C = ln( s) (1.142) Adic relatia (1.141) prin nlocuire devine: s 0sTt = ln (1.143) s 0s Tte = (1.144) ||.|

\| + = TtsTt0e 1 e (1.145) Relatia (1.145) reprezint ecuatia de nclzire n timp a corpului, n cazul cel mai general. Dac n momentul initial (t = 0) temperatura conductorului este egal cu temperatura mediului 35ambiant (0) = a si deci supratemperatura initial este nul (0 = 0), se obtine o lege de variatie de forma: ||.|

\| = Ttse 1 (1.146) Reprezentnd grafic curbele de nclzire date de relatiile (1.145) si (1.146) sunt reprezentate n figura 1.12 prin curbele 1 si respectiv 2 constatndu-se c ambele curbe au aceeasi supratemepratur stationar s. Pentru a evidentia o propietate important a curbelor de nclzire se ia un punct arbitrar M pe curba de nclzire din figura 1.12. Conform relatiei (1.140) se poate scrie: T dtds = (1.147) Din reprezentarea grafic a curbei de nclzire din figura 1.12 rezult: ABAMdtd= (1.148) deoarece AM = s , rezult c AB = T. Segmentul T ca subtangent la curba de nclzire, corespunztoare punctului M, rmne mereu constant pentru orice pozitie a punctului M pe curb. Constanta termic de timp T = c M / S poate fi luat constant numai dac si c nu depind de temperatur si are dimensiunea unui timp. Cu ajutorul ei se poate trasa simplu curba de nclzire, asa cum rezult n figura 1.13. Figura 1.12. Curbele de nclzire a unui corp. Din relatia (1.146) scris sub forma: Ttse 1 = (1.149) Se poate calcula / s pentru t / T ={0, 1, 2, 3, 4} s.a.m.d. Se reprezint punctele cores-punztoare (0,64; 0,86; 0,95; 0,98, etc.) si avnd n vedere c subtangenta la curb T = const., se traseaz curba universal a nclzirii (adimensional). 36 Desi teoretic nclzirea stationar se atinge dup un timp infinit practic se constat c regimul stationar se ncheie dup aproximativ 4 constante termice de timp. n cazul corpurilor cu mas mare, nclzirea n regim permanent se atinge dup un numr mare de ore (10 20), datorit inertiei termice mari. De aceea pentru a reduce timpul necesar determinrii experimentale a curbei de nclzire se foloseste constructia grafic prezentat n figura 1.14, care are la baz urmtoarele considerente: Figura 1.13. Curba universal de nclzire a corpurilor. Derivnd relatia (1.146) se obtine: TtseT1dtd = (1.150) Rezult succesiv: ss Tte = (1.151) ( ) =sT1dtd sau: (1.152) 37 Figura 1.14. Deteminarea grafoanalitic a supratemperaturii stationare a corpurilor cu inertie termic mare. dtdTs = (1.153) Scriind relatia (1.153) sub forma: tTs = (1.154) rezult c la t =constant, = f() este ecuatia unei drepte, care taie axa ordonatelor la = 0, adic = s. Astfel, prin determinarea experimental a portiunii OD din curba de nclzire, la intervale de timp egale t, se determin cresterile de supratemperatur 1; 2; 3, corespunztor punctelor A, B, C, se determin n sistemul de axe = f() punctele A', B' si C' si ducnd dreapta ce uneste aceste puncte, acolo unde intersecteaz axa ordonatelor se obtine nclzirea stationar s . 1.5.3. Rcirea corpurilor. Dac ntr-un conductor s-a atins temperatura stationar, atunci ntreaga cldur dezvoltat ]n conductor este cedat mediului ambiant. Dac nceteaz dezvoltarea de cldur n conductor (p = 0), din acel moment ncepe procesul de rcire, care const n cedarea cldurii acumulate n conductor mediului ambiant. Cnd temperatura conductorului atinge temperatura mediului ambiant, ntreaga cantitate de cldur se consider complet evacuat, si procesul de rcire ncheiat. Pornind de la ecuatia bilantului termic (1.136), n ipoteza p = 0, se obtine: c M d = S dt (1.155) Adic: 38 Tdt d = (1.156) Integrnd relatia (1.156) rezult: C lnTt* CTtln + = + = (1.157) Adic: TtC lnTdte C e + = = (1.158) Considernd c la t = 0, = s rezult ecuatia curbei de rcire sub forma: Ttse = (1.159) Dac la t = 0, supratemperatura are o valoare oarecare i, atunci rcire va avea expresia: Ttie = (1.160) Reprezentarea grafic a relatiilor (1.159) si (1.160) este dat n figura 1.15. Propriettile curbei de nclzire sunt valabile si pentru curba exponential de rcire, adic subtangenta la curba de rcire n orice punct M al curbei, este o constant egal cu constanta termic de timp T. Desi matematic procesul de rcire se ncheie ntr-un timp infinit de lung, practic dup 4 constante termice de timp el poate fi considerat ncheiat. Constanta termic de timp a unui corp este aceeasi la nclzirea si rcirea corpului cu conditia ca att nclzirea ct si rcirea s aib loc n aceleasi conditii. Astfel dac rcirea este fortat prin ventilare sau prin circularea artificial a fluidului de rcire, constanta termic de timp T se modific. Figura 1.15. Curbe de rcire a unui corp 1.5.4. nclzirea unui corp n regim de scurt durat ntr-un regim de scurt durat procesul de nclzire dureaz mult mai putin dect constanta de timp termic T. Dup o scurt perioad de nclzire alimentarea aparatului se ntrerupe pentru o durat suficient de mare ca el s se rceasc pn la temperatura mediului ambiant ( = 0). 39 n figura 1.16 am reprezentat curbele de nclzire si rcire corespunztoare acestui regim de functionare. Dac puterea care se dezvolt n regim de scurt durat (RSD) este PSD, se constat c supratemperatura maxim care se atinge n acest regim este SD, mai mic dect supratemeratura care s-ar atinge n regim de durat si care corespunde temperaturii maxime admisibile. Putem concluziona c n acest regim se poate aplica o suprasarcin, fr a periclita stabilitatea termic a aparatului. Folosirea aparatului n regim de scurt durat la o putere mai mare dect cea n regim permanent este recomandabil pentru a mri eficienta economic a aparatului si a obtine reducerea costurilor. Definim coeficientul de suprasarcin termic admisibil n regim de scurt durat astfel: DSDSDspPPk == (1.161) Figura 1.16. nclzirea unui corp n regim de scurt durat Scriind ecuatia curbei de nclzire (1.146) pentru regimul de scurt durat: ||.|

\| = Tts SDie 1 (1.162) Am notat cu ti timpul de nclzire n regim de scurt durat. Rezult pentru coeficientul de suprasarcin expresia: Tt pie 11k= (1.163) Pentru a obtine o expresie mai simpl pentru Kp, dezvoltm n serie Taylor pe Ttiesi retinem primi doi termeni: Tt1 ei Tt1 (1.164) Rezult pentru Kp expresia: 40 iPtTk = (1.165) Deoarece pierderile specifice sunt proportionale cu ptratul curentului, coeficientul de suprasarcin pentru curent (kI) este: iP ItTk k = = (1.166) Rezult c n regim de scurt durat, pentru ca aparatul s nu se nclzeasc peste tempe-ratura admisibil, el poate fi strbtut de un curent de kI ori mai mare dect curentul din regim de permanent. 1.5.5. nclzirea corpurilor n regim de scurtcircuit Un caz specific al regimului de scurt durat, de o deosebit important tehnic, corespunde regimului de scurtcircuit care se caracterizeaz prin curenti de intensitate foarte mare, de 10 20 de ori mai mari dect curentii nominali, sau chiar mai mari, si o durat foarte scurt (0,05 2 s), deoarece aparatele de protectie elimin defectul. De aceea, acest regim se poate considera adiabatic, ntreaga cldur care se dezvolt n aparat, n regim de scurtcircuit, acumulndu-se n aparat, neavnd loc cedare de cldur ctre mediul ambiant. n figura 1.17 am reprezentat nclzirea unui corp n regim de scurtcircuit, dup un regim permanent (cazul cel mai frecvent ntlnit n practic). Ecuatia diferential a bilantului termic (1.136) devine n acest caz (=0): P dt = c M d (1.167) Deoarece: P = S rs (1.168) T = c M / S (1.169) Rezult: sdTdt= (1.170) Integrnd relatia (1.170) rezult: Tts = (1.171) 41 Figura 1.17. nclzirea unui corp n regim de scurtcircuit. Se observ c temperatura variaz liniar cu timpul. Reprezentarea grafic (figura 1.17) a regimului de scurtcircuit, declansat la momentul t1 cnd corpul se gseste la temperatura stasionar s si care dureaz pn la momentul t2. Deoarece durata regimului (t2 t1) este foarte scurt, supratemperatura maxim m depseste de 2 3 ori supratemperatura n regim stationar. Evident, scurtcircuitul poate apare nainte de atingerea regimului stationar, sau putem conecta un aparat direct n regim de scurtcircuit, n care caz temperatura va varia dup o curb paralel cu cea din figur dar deplasat corespunztor n jos. Conform relatiei (1.171) se poate da o interpretare fizic constantei termice de timp T dup cum urmeaz: constanta termic de timp este acel interval de timp n care conductorul, fr nclzire initial si fr schimb de cldur cu mediul ambiant se nclzeste, la pierderi constante (p=ct.) pn la supratemperatura s din regim stationar. Conductoarele parcurse de curentul de scurtcircuit se nclzesc puternic, ceea ce poate duce la topirea lor si la avarii grave n instalatii. Rezult c este de dorit ca aparatele de protectie s elimine ct mai rapid defectul de scurtcircuit, nainte ca conductoarele s fie avariate prin efectul cumulativ al cldurii nmagazinate. 1.5.6. nclzirea unui corp n regim periodic intermitent n numeroase aplicatii tehnice aparatele sunt alimentate periodic deoarece sarcina aparatului variaz periodic. Astfel dup o perioad de nclzire urmeaz o perioad de rcire, ciclul repetndu-se la intervale de timp egale. Regimul se numeste periodic intermitent (RPI) cnd alimentarea si repaosul aparatului se succed n mod periodic. n figura 1.18 sunt prezentate intervale de timp de nclzire ti si de rcire tr. Aparatul se va nclzi treptat dup o curb n zig-zag tinznd s se stabilizeze din punct de vedere termic ntre dou temperaturi min si t max . Intervalul de timp ti + tr = tc se numeste durata unui ciclu si trebuie s ndeplineasc conditia tc < 10 min. 42 Raportul: r 1iAt ttD+= (1.172) se numeste durat de anclansare (actionare), iar raportul: 100t ttDr iiA += [%] (1.173) poart denumirea de Durat relativ de anclansare iar valorile ei sunt standardizate la: 10, 25, 60 si 100 %. Pentru a determina legea de variatie t = f(t) n regim periodic intermitent, am reprezentat n figura 1.18 curbele de nclzire paralele cu curba ti, si curbele de rcire paralele cu curba tr, n ipoteza c T are aceiasi valoare la nclzire si rcire (lucru care este adevrat doar pentru aparatele care nu sunt cu convectie fortat). Folosind ecuatiile ce descriu nclzirea (1.145) si rcirea corpurilor (1.158) vom putea scrie pentru RPI prezentat n figura 1.18: ||.|

\| = Tts 1ie 1 (1.174) Tt1 2ie = (1.175) ||.|

\| + = TtsTt4 3i ie 1 e (1.176) Tt3 4re = (1.177) ... Ttn 2 n 2re = (1.178) ||.|

\| + = + TtsTtn 2 1 n 2i ie 1 e (1.179) 43 Figura 1.18. nclzirea corpurilor n Regim periodic intermitent. Dup un numr suficient de mare de cicluri nclzire-rcire ale RPI, se stabileste un regim periodic stationar (supratemperatura oscileaz ntre valoarea maxim tmax si valoarea minim tmin. Rezult c: 2n 1 = 2n + 1 (1.180) Se observ c: 2n = min, adic: TtTtTtcc re 1e e = min (1.181) Prin nlocuire n (1.179) rezult: sTtTtcie 1e 1 = max (1.182) Valorile determinate pentru tmax si tmin determin domeniul n care variaz temperatura corpului dup un numr foarte mare de cicluri ale RPI. Dac n RPI avem tr = 0, rezult max = min = s si regsim regimul permanent ca un caz particular al RPI, fr intervalul de rcire. De important tehnic este determinarea Coeficientul de suprasarcin admisibil Kp, definit prin relatia (1.161) si care n RPI devine: 44 A icicTtTtmaxspD1ttTt1 1Tt1 1e 1e 1kic= |.|

\| |.|

\| == (1.183) Coeficientul suprasarcin n curent definit prin relatia (1.166) devine n RPI: Ap rD1k k = = (1.184) n exploatare se va avea n vedere faptul c orice aparat construit pentru un regim permanent poate fi suprancrcat n RPI cu o suprasarcin cel mult egal cu cea dat de coeficientul de suprasarcin. Prin suprancrcare aparatul nu va depsi solicitrile maxime admisibile si va fi folosit ntr-un mod mai eficient. 1.6. Stabilitatea termic a aparatelor electrice nclzirea reprezint una din solicitrile cele mai importante la care sunt supuse aparatele electrice n timpul exploatrii lor. Limita de nclzire si deci temperatura cea mai mare pe care o atinge un aparat electric, ntr-un punct al su, este determinat de urmtorii factorii: necesitatea conservarii propriettilor fizicomecanice si chimice ale conductoarelor; conservarea propriettilor electroizolante ale izolatiilor si o durat de viat ct mai mare a acestora; conservarea propiettilor mbinrilor prin lipire si sudare; mentinerea calittii contactelor electrice n limitele admisibile. Limitele de temperatur (maxime si minime) ale aparatelor electrice sunt date n standarde si trebuiesc respectate cu rigurozitate pentru ca nici una din caracteristicile tehnice ale aparatului s nu sufere vreo nruttire care s-i prejudicieze functionarea sau care s-i reduc durata de viat prestabilit. Putem defini Stabilitatea termic a unui aparat n regim permanent ca fiind proprietatea aparatului de a suporta solicitrile termice ale unui anumit curent un timp orict de lung, fr ca nclzirea diferitelor prti ale aparatului s depseasc temperaturile maxim admisibile, sau s produc degradarea inadmisibil a oricrei caracteristici tehnice a sa. Stabilitatea termic a unui aparat este caracterizat n regim permanent de ctre curentul nominal al aparatului (In), care este n c.c. valoarea maxim a curentului, iar n curent alternativ valoarea efectiv maxim, denumit curent echivalent termic. Acest curent este valabil atta timp ct conditiile termice exterioare sau de rcire sunt cele prescrise n standarde. n caz contrar trebuieste adaptat regimul de lucru la noile conditii termice. Deoarece fenomenele termice sunt cumulative n regim tranzitoriu valorile maxime admisibile vor fi si n functie de timpul ct aparatul va fi solicitat termic. Astfel pentru curentul de scurtcircuit care apare, n general, dup functionarea aparatului n regim nominal de durat nclzirea va depinde si de temperatura avut de aparat anterior regimului de avarie. Deoarece durata scurtcircuitului este mic se admite o nclzire mai mare dect nclzirea stationar din regim nominal, fr a exista pericolul de degradare a aparatului. 45 Proprietatea aparatului de a suporta solicitrile termice ale curentilor de scurtcircuit, pentru o durat bine precizat, fr deteriorri inadmisibile ale niciuneia din caracteristicile sale tehnice, se numeste Stabilitate termic a aparatelor electrice n regim de avarie si se exprim prin curentul de stabilitate termic (Ist). Valoarea lui este prevzut n standarde, raportat la numite intervale de timp: 10 secunde, 5 secunde sau 1 secund. Alegerea curentilor de stabilitate termic pentru un aparat, se face tinnd seama de valorile maxime ale curentului de scurtcircuit (n cazul cel mai defavorabil) si de durata maxim posibil a acestui curent, tinnd cont de caracteristicile schemei de protectie. Calcularea curentului de stabilitate termic pentru o valoare nestandardizat a timpului de actionare a curentului de scurtcircuit (tx) se obtine din conditia: I2 t = ct. (1.185) cu formula: xstN stxtNI I = (1.186) n care N este cea mai apropiat valoare standardizat a duratei curentului de scurtcircuit de timpul tx, iar N {1,5,10} 46 Pe baza notiunilor tehnice prezentate n capitolul Procese termice n echipamentele electrice rspundeti la urmtoarele ntrebri: 1. Ce surse de cldur exist n aparatele electrice? 2. Ce este efectul electrocaloric? 3. Ce pierderi apar n miezurile feromagnetice? 4. Ce pierderi apar n izolatii? 5. Definiti supratemperatura. 6. Ce subansamble ale aparatelor si echipamentelor electrice se verific la nclzire? 7. Ce este o izoterm? 8. Care este ecuatia unei izoterme? 9. Care este Legea transformrii energiei n conductoarele parcurse de curent? 10. n ce se msoar pierderile specifice? 11. n ce se msoar fluxul termic? 12. Definiti densitatea de flux termic. 13. n ce se msoar densitatea de flux termic? 14. Care este legtura empiric ntre densitatea de flux termic si temperatur? 15. Ce msoar divergenta densittii de flux termic? 16. Definiti conductivitatea termic. 17. n ce se msoar conductivitatea termic? 18. Definiti coordonatele cilindrice n functie de coordonatele carteziene. 19. Definiti operatorul Laplace n coordonate carteziene. 20. Definiti operatorul Laplace n coordonate cilindrice. 21. Scrieti ecuatia Poisson, n coordonate carteziene, ntr-un mediu izotrop. 22. Scrieti ecuatia Poisson, n coordonate carteziene, ntr-un mediu anizotrop. 23. Scrieti ecuatia Poisson, n coordonate cilindrice. 24. Scrieti ecuatia Laplace, n coordonate carteziene, ntr-un mediu izotrop. 25. Scrieti ecuatia Laplace, n coordonate carteziene, ntr-un mediu anizotrop. 26. Scrieti ecuatia Laplace, n coordonate cilindrice. 27. Scrieti ecuatia Fourier pentru regimul termic nestationar. 28. Definiti difuzivitatea termic. 29. n ce se msoar difuzivitatea termic? 30. Cte tipuri de transmisivitti termice cunoasteti? 31. Care este expresia cldurii cedat mediului ambiant prin conductie? 32. Care este expresia cldurii cedat mediului ambiant prin convectie? 33. Ce este convectia fortat? 34. Cum se poate realiza rcirea fortat n aer? 35. Cum se poate realiza rcirea fortat n ulei? 36. Care este Legea lui Stefan Boltzmann? 37. Ct este transmisivitatea termic prin radiatie? 38. Care este expresia cldurii cedate mediului ambiant prin radiatie? 39. Cum trebuiesc vopsite carcasele pentru o rcire ct mai intens prin radiatie? 40. Care este transmisivitatea termic total? 41. Care este Legea lui Ohm pentru transmiterea cldurii? 42. Care este expresia rezistentei termice? 43. n ce se msoar rezistenta termic? 44. Ce sunt conditiile de limit? 45. Pe baza cror echivalente se realizeaz circuitul electric echivalent transmisiei cldurii? 46. La ce bobine trebuie s izolm termic bobinajul de miezul feromagnetic? 47. Care este ecuatia general a bilantului termic a unui conductor? 4748. Cum variaz rezistivitatea electric cu temperatura? 49. Definiti regimul termic stationar. 50. Care este expresia supratemperaturii stationare? 51. Care este expresia constantei termice de timp? 52. n ce se msoar constanta termic de timp? 53. Care este interpretarea matematic a constantei termice de timp? 54. Care este interpretarea fizic a constantei termice de timp? 55. Care este ecuatia nclzirii unui corp cu supratemepratur initial? 56. Care este ecuatia nclzirii unui corp fr supratemepratur initial? 57. Care este ecuatia rcirii unui corp? 58. Definiti regimul termic de scurt durat? 59. Ct este coeficientul de suprasarcin termic n regim de scurt durat? 60. Ct este coeficientul de suprasarcin pentru curent n regim de scurt durat? 61. Cum variaz temepratura n regim de scurtcircuit? 62. Definiti Regimul periodic intermitent. 63. Definiti durata relativ de anclansare. 64. Ct este coeficientul de suprasarcin termic n regim periodic intermitent? 65. Ct este coeficientul de suprasarcin pentru curent n regim periodic intermitent? 66. Ce este stabilitatea termic a unui aparat? 67. Ce mrime caracterizez stabilitatea termic a unui aparat n regim permanent? 68. Ce mrime caracterizez stabilitatea termic a unui aparat n regim de avarie? 69. Ce timpi s-au standardizat pentru stabilitatea termic la scurtcircuit? 70. Cu ce formul se echivaleaz curentii de stabilitate termic la scurtcircuit? 48 2. FORE ELECTRODINAMICE I ELECTROMAGNETICE n aparatele si echipamente electrice parcurse de curenti mari apar pe lng solicitrile termice, studiate n capitolul anterior, si solicitri mecanice datorate fortelor electrodinamice sau electromagnetice. Fortele electrodinamice actioneaz asupra conductoarelor parcurse de curenti, ca rezultat al interactiunii dintre curenti si cmpurile magnetice create de alti curentii electrici. Actiunea acestor forte devine important n special n cazul curentilor de scurtcircuit, solicitnd conductoarele, barele si izolatoarele la solicitri de tipul fort tietoare si momente ncovoietoare, care pot da nastere la avarii grave n instalatiile electrice. De aceea, de aceste forte trebuie s se tin seama la constructia aparatelor si echipamentelor electrice pentru a asigura stabilitatea lor mecanic. Fortele electromagnetice apar datorit variatiei energiei magnetice prin intereactiunea dintre curentii electrici si corpurile feromagnetice. Principalele metode folosite la calculul fortelor electrodinamice si electromagnetice sunt: metoda bazat pe formula lui Biot-Savart-Laplace; metoda bazat pe teoremele fortelor generalizate si aprecierea variatiei energiei magnetice; metoda bazat pe calculul tensiunilor maxwelliene n cmp magnetic (metod folosit n special n cazul contactelor electrice). Pentru calculul fortelor electrodinamice se poate folosi expresia fortei Laplace: ( ) B dl i dF = (2.1) a crei modul are exprresia: dF = i B dl sin (2.2) Semnificatia mrimilor din relatiile (2.1) si (2.2) este dat n figura 2.1. n figura 2.1 s-a notat cu u unghiul dintre inductia magnetic B si versorul dl al circuitului parcurs de curentul i , iar cu dF forsa elementar Laplace corespunztoare portiunii de circuit dl. Forta total ce actioneaz asupra ntregului circuit de lungime l se obtine prin integrarea lui dF: } =10dl B i F sin [N] (2.3) 49 Figura 2.1 Explicativ pentru calculul fortei Laplace. Pentru a putea calcula forta Laplace trebuie s calculm inductia magnetic B, ceea ce se poate realiza cu formula lui Biot-Savart-Laplace. Pentru a calcula intensitatea cmpului magnetic elementar dH n punctul M, caracterizat prin vectorul de pozitie r , de portiunea infinitezimal de circui filiform dl, parcurs de curentul i, folosim formula: ( )3r 4r dl idH = (2.4) Modulul cmpului magnetic elementar va fi: 2r 4dl idH =sin (2.5) n figura 2.2 sunt explicate mrimile ce intervin n formula lui Biot-Savart-Laplace. Figura 2.2. Explicativ la formula lui Biot-Savart-Laplace. n formula (2.5) este unghiul format de vectorii dl (versorul circuitului parcurs de curentul i) si r vectorul de pozitie a punctului M. S-a notat cu 0= 4 107 [H / m] , permeabilitatea magnetic a vidului. 50 Tinnd cont de Legea legturii dintre B, H si M, rezult c modulul inductiei magnetice B n punctul M, va fi: 20rsin dl i4dB = (2.6) Pe baza formulei (2.6) se poate calcula analitic inductia magnetic B n fiecare punct al conductorului. Metoda se recomand n cazul conductoarelor de form simpl (conductoare paralele, conductoare perpendiculare, etc.). Pentru a calcula forta exercitat de un ntreg circuit C1, de lungime l1, asupra portiunii elementare de circiut dl2 se integreaz relatia (2.6): } =1C1212 20dlrsin sin idl i4dF (2.7) n figura 2.3 sunt prezentate mrimile ce intervin n calculul fortei elementare dF. Figura 2.3 Explicativ pentru calculul fortei electrodinamice cu formula lui Biot-Savart-Laplace. Forta total ce actioneaz ntre circuitele C1 si C2 se obtine prin integrarea fortei elementare dF de-a lungul conductorului filiform C2. Se obtine expresia: 2 1C1C2 2 2 10i i C dl dlrsin sini i4F1 2 = =} } (2.8) n relatia (2.8) s-a notat cu C, coeficientul de contur al circuitelor C1 si C2 care depinde doar de configuratia geometric si de pozitionarea celor dou circuite. Dac considerm medii masive sau ansambluri de circuite parcurse de curenti, pentru care cunoastem energia magnetic, putem calcula fortele electrodinamice sau electromagnetice pe baza Teoremelor fortelor generalizate. Considerm un sistem de n circuite cuplate magnetic si parcurse de curentii i1 in. Energia magnetic nmagazineaz n sistemul de n circuite este: k kn1 kmi21W = = (2.9) Fluxurile care strbat suprafetele limitate de contururile circuitelor sunt legate de curenti prin inductivittile proprii si mutuale, conform relatiilor lui Maxwell: 51 pn1 pkp k k ki M i L + = = (k p) (2.10) Am fcut notatiile: Lk inductivitatea proprie a circuitului k, Mkp inductivitatea mutual a circuitelor k si p. nlocuind pe (2.10) n (2.9) rezult: = = = + =n1 pp kpn1 kkn1 kk k mi M i21i L21W2 (2.11) Conform Teoremei fortelor generalizate, forta generalizat F, la curent constant, este: . ct imxxWF=|.|

\|= (2.12) La flux constant forta generalizat va fi: . ctmxxWF= |.|

\| = (2.13) n Teoremele fortelor generalizate Fx este o fort dac coordonata generalizat x este o coordonat liniar, si este un moment dac coordonata generalizat este un unghi. Relatiile (2.12) si (2.13) tin seama de variatia inductivittilor propri si mutuale, n raport cu coordonata generalizat x. Aceste relatii se folosesc n aplicatiile n care inductivittile proprii si mutuale sunt cunoscute sub form analitic: Astfel dac dorim s calculm forta ce actioneaz ntre dou bobine cuplate magnetic pornim de la expresia energiei magnetice (2.10) particularizat pentru dou circuite : 1 2 21 2 1 1222 221 1 mi i M21i i M21i L21i L21W + + + = (2.14) Aplicnd teorema de reciprocitate a circuitelor electrice cuplate magnetic, rezult: M12 = M21 = M (2.15) Relatia (2.14) devine: 2 122 221 1 mi i M i L21i L21W + + = (2.16) Considernd curentii independenti de deformatia circuitelor (i1 =i2= ct.), relatia (2.12) devine: dxdMi idxdLi21dxdLi21F2 12 221 21 x + + = (2.17) n aceast relatiei primii doi termeni reprezint fortele interne din fiecare circuit, iar ulti-mul termen reprezint forta de interactiune dintre cele dou sisteme. 2.1. Calculul forelor electrodinamice n regim staionar. 52 n regim stationar curentii ce parcurg circuitele electrice sunt constanti si deci fortele electromagnetice sunt invariabile n timp. Pentru calcularea acestor forte putem utiliza una din metodele descrise anterior. Cele mai reprezentative cazuri de forte electrodinamice sunt cele dintre conductoare a cror dimensiune liniar transversal este neglijabil n raport cu lungimea lor si cu distanta dintre ele (conductoare filiforme). Determinarea acestor forte, ca mrime si punct de aplicatie, este posibil utiliznd o metod grafoanalitic, care face ipoteza simplificatoare c se poate izola portiunea din circuit corespunztoare celor dou conductoare. 2.1.1. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i coplanare. Considerm dou conductoare filiforme, rectilinii si coplanare prezentate n figura 2.4, parcurse de curentii i1 si i2 si care fac ntre ele un unghi oarecare. Aplicnd metoda de calcul bazat pe teorema lui BiotSavartLaplace, inductia magnetic n punctul Pk (n care se afl elementul infinitezimal dl2) determinat de elementul de curent i1 dy se calculeaz conform relatiei (2.6): 21 0krdy i4dB =sin (2.18) Forta care se exercit asupra elementului de circuit dl2 sub influenta elementului de curent dy parcurs de curentul i1, se determin conform (2.2), cu observatia c elementul dl2 si in-ductia dBk sunt perpendiculare si deci sin = 1, rezult: 21 02 2 k2rdy i4dl i F d =sin (2.19) n figura 2.4 sunt prezentate mrimile ce intervin n relatiile (2.18) si (2.19) Din figur rezult c: =sinxr ; =tgxy rezult = dxdy2sin (2.20) nlocuind relatiile (2.20) n relatia (3.19) se determin forta elementar: 2 2 10k2dl dxi i4F d =sin (2.21) 53 Figura 2.4. Determinarea fortelor dintre dou conductoare rectilinii si coplanare. Forta determinat de ntreg circuitul parcurs de curentul i1, asupra elementului dl2 va fi: } =21dxdli i4dF22 10ksin (2.22) 22 12 10kdlxi i4dF =cos cos (2.23) Notnd forta pe unitatea de lungime (numit forta specific) cu fk, rezult: xi i4 dldFf2 12 102kk = =cos cos [N / m] (2.24) Prescurtat relatia (2.24) se poate scrie: fk = C (2.25) S-au fcut notatiile: mrimea 2 172 10i i 10 i i4 = = (2.26) se numeste factorul de curent a circuitelor, si depinde doar de curentii ce interactioneaz electrodinamic si de permeabilitatea magnetic a mediului. 54 mrimea xC2 1 =cos cos (2.27) se numeste factorul de contur al circuitelor electrice, si depinde de parametrii geometrici ai circiutelor electrice. Figura 2.5. Determinarea fortei electrodinamice rezultante printr-o metod grafo-analitic. Pe baza formulei (2.25) si al factorilor de contur dati n literatura de specialitate, se pot calcula relativ usor fortele electrodinamice ce rezult din interactiunea unor conductoare coplanare, rectilinii si filiforme. Pentru a calcula forta total ce actioneaz asupra conductorului parcurs de curentul i2 si datorate curentului i1 putem folosi o metod grafo-analitic (sau echivalentul ei numeric). Astfel n figura 2.5. s-au reprezentat fortele specifice corespunztoare punctelor de abscis xi, plasate pe conductorul 2 si calculate cu ajutorul relatiei (2.23). Pentru determinarea fortei rezultante F12 care actioneaz asupra conductorului 2, se unesc vrfurile segmentelor fk ce reprezint la scar fortele specifice si se obtine o suprafat de arie A. Forta electrodinamic rezultant F12 se calculeaz prin planimetrarea ariei A si este orientat perpendicular pe conductor, Punctul de aplicatie al fortei este centrul de greutate al suprafetei de arie A. 55 Rezult c forta exercitat de conductorul 1 asupra conductorului 2, notat cu F12 va avea expresia: F12 = X Y A (2.28) Am notat cu X scara fortelor specifice [N / m 1 / m] si cu Y scara lungimilor [m / m]. Aria planimetrat A [m2] este aria fortelor specifice. 2.1.2. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i paralele. Cel mai des ntlnit caz n aplicatiile tehnice este cazul conductoarelor drepte, plan paralele si de lungime considerat infinit. n figura 2.6 am reprezentat dou conductoare t filiforme si paralele de lungime egal cu 1, situate fat n fat si parcurse de acelasi curent i. Conform relatiei (2.24) si considernd c x = a = ct., rezult: ai4f2 1 2 0k =cos cos (2.29) Din figura 2.6 rezult: 2 211a hhrh+ = = cos (2.30) ( )2 222a h lh 1rh l+ = = cos (2.31) nlocuind relatiile (2.30) si (2.31) n relatia (2.29) se obtine expresia fortei specifice sub forma: ( ) ||.|

\|+ ++ =22 2 22 0ka h lh la hhi4f (2.32) 56Figura 2.6. Determinarea fortelor electrodinamice dintre conductoare paralele Forta total care actioneaz asupra conductorului 2, se obtine prin integrarea relatiei (2.32): ( )} } ||.|

\|+ ++ = =l0 2 2 2 22 0l0k 12dha h lh la hhia 4dh f F (2.33) ( )l02 2 2 2 2 012a h l a h ia 4F + + = (2.34) lala1 l ia 2F22 012 |.|

\|+ = (2.35) Rezult forta specific expresia: |.|

\| =laia 2f2 0k (2.36) Factorul de corectie este: lala1la2|.|

\|+ =|.|

\| (2.37) n cazul conductoarelor de lungime infinit (1 >> a), forta specific se poate calcula tinnd cont c factorul de corectie devine: 1lal=|.|

\| (2.38) Forta specific va fi: 2 0kia 2f = (2.39) n cazul n care distanta dintre conductoare este comparabil cu diametrul conductoarelor (adic numai putem considera conductoarele filiforme) forta de interactiune dintre acestea se poate calcula pe baza Teoremelor fortelor generalizate. Considerm dou conductoare paralele, drepte, cu sectiune circular de raz r, prezentate n figura 2.7. Forta de interactiune se determin cu ajutorul teoremei fortelor generalizate, pornind.de la expresia inductivittii mutuale dintre cele dou conductoare. Figura 2.7. Conductoare paralele, drepte, finite de sectiune circular. 57 Pornind de la expresia inductivittii unui circuit format din dou conductoare paralele de lungime 1, de diametru 2r si distanta dintre conductoare a: |.|

\| + =rr a4 1 l4L0ln [H] (2.40) Aplicnd relatia (2.12) rezult: 2 0 2ir al2i L21dadF =|.|

\| = (2.41) 2.1.3. Fore electrodinamice n circuite cu configuraie complex. Pentru cazul unor conductoare perpendiculare, filiforme si de lungime finit ca cele din figura 2.8 calcularea fortelor electrodinamice se va face n ipotezele: 2 = /2 si deci cos 2 = 0 (2.42) 2 211111x llrl+= = cos (2.43) Tinnd cont de relatia (2.24) obtinem: 2 211 2 0kx l xli4f+ = (2.44) Forta specific este prezentat n figura 2.8, iar forta total se obtine prin integrarea grafoanalitic sau numeric a fortei specifice. 58 Figura 2.8. Cazul conductoarelor perpendiculare Pentru circuitele cu o configuratie complex, formate din mai multe conductoare, calcularea fortelor de interactiune dintre acestea se face pe baza principiului suprapunerii efectelor (principiul superpozitiei). Pentru exemplificare considerm cazul cilor de curent