Ec5 2003 Correction Exercices v1

BTS SCBH VERIFICATION EC5 (Dossier des exercices corrigés prEN1995 1.1 12/03) V092005

EUROCODE 5 Page 1/48

VERIFICATION DES STRUCTURES BOIS

EUROCODE 5

DOSSIER EXERCICES CORRIGES Travail de correction en cours (en attente nouvelle version corrigée vers

12/2005) M1-01 CLASSES DE RESISTANCE : BOIS MASSIF ET BOIS LAMELLE

COLLE

1. Que signifie D35 ? Classe de résistance (35 N/mm²) pour les essences feuillues (D), valeur au fractile de 5% (95% des bois de cette catégorie ont une résistance supérieure) et pour une humidité des bois de 12%.

2. Que signifie GL24h ? Classe de résistance (24 N/mm²) pour le lamellé collé (GL, Glulam) homogène (toutes les lamelles appartiennent à la même catégorie, C24) et pour une humidité de 12%.

3. Que signifie GL32c ?

Classe de résistance (32 N/mm²) pour le lamellé collé (GL, Glulam) combiné (1/3 des lamelles appartiennent à la catégorie C40 et le reste à la catégorie C30, les lamelles C40 sont placées sur les faces extérieures des poutres) et pour une humidité de 12%.

4. Ecrire « en clair » fv,k

Résistance (f) caractéristique (k) en cisaillement (v)

5. Quelle est la valeur de résistance carac téristique en compression transversale pour du GL24h ?

fc,90,k = 2,7 N/mm²

6. Pour la valeur fm,d = 9 Mpa et concernant du C18, quelle est la valeur des coefficients de sécurité appliqués , coefficients partiels ?

fm,k pour du C18 = 18 N/mm², donc les coefficients partiels sont de 0.5.

7. Calculer la valeur caractéristique en compression pour un effort qui agit avec un angle de 40° par rapport à l’axe des fibres du bois et pour du C18.

fc,90,k = 4.8 N/mm² fc,0,k = 18 N/mm²

α+α=α

²cos²sinff

ff

k,90,c

k,0,c

k,0,ck,,c

8. Lire E0,moy - E0,0.5

Module moyen d’élasticité utilisé pour les ELS Module moyen d’élasticité au fractile de 5% utilisé pour les ELU

fc,40,k = 8.4 N/mm²



M1-02 APPROCHE REGLEMENTAIRE DES VERIFICATIONS A L’EUROCODE 5

1. Une solive C22 soumise à une combinaison de chargement comprenant G et Q subit une

contrainte σm,d de 11MPa. Déterminer si cette contrainte est acceptable au regard des EC5 ?

(Kmod et γm sont à définir, les coeff spécifiques à la flexion = 1)

Classe de service : solive, classe 1 Classe de durée de charge :

G charge permanente (permanente), Q charge d’exploitation (moyen terme) avec classe de durée de charge fonction de la plus courte des durées soit Q, moyen terme.

Kmod = 0,8 et γm = 1.3 (bois) fm,k = 22 Mpa, fm,k = 22 x 0.8 / 1.3 = 13.5 N/mm² La taux de travail est de 11 MPa / 13.5 N/mm² = 81 %

2. Poutre en LC pour un plancher courant d’une portée de 7,00 m. Déterminer les valeurs limites de la flèche instantanée, de la flèche finale et de la contreflèche de fabrication envisageable ? Illustrer la réponse par un schéma.

Uinst

Ud

if

U0

Unet

Valeur limite U instantanée = 1/300 de 7 m soit 23 mm Valeur limite U de la contreflèche = 1/300 de 7 m soit 23 mm Valeur limite U net fin = 1/250 de 7 m soit 28 mm La déformation totale possible sous l’effet des chargements, y compris la déformation dans le temps sera de 28 mm + 23 mm soit 51 mm à condition d’effectuer une CF de 23 mm au maximum.



M1-03 LES ACTIONS APPLIQUEES AUX STRUCTURES – LES COMBINAISONS D’ ACTIONS

1. Un chevron est soumis à un chargement G et S. Déterminer les combinaisons ELU et ELS et

commenter ce qui sera vérifié avec ces combinaisons. (Altitude < 500 m) ELU 1.35 G + 1.5 S (max : S1, S2) ELS G + S (max : S1, S2) et G pour la déformation différée

2. Une solive est soumise à un chargement G et Q. Déterminer les combinaisons ELU et ELS et commenter ce qui sera vérifié avec ces combinaisons.

ELU 1.35 G + 1.5 Q Résistance (contraintes : flexion, cisaillement, compression transversale) ELS G + Q Déformation instantanée < l/300 G + 0.25 Q Déformation différée (intégration du fluage) < l/250 Nota : la déformation finale se calculera de la manière suivante : Ginst (1 + kdef) + Qinst (1+0,25Kdef)

3. Un portique d’un bâtiment situé à une altitude de 200m est soumis à un chargement permanent G, un chargement de neige sous la forme S1, S2 et S3, un chargement de vent WGP (vent de gauche avec pression intérieure) et un vent WGD (vent de gauche avec dépression intérieure). Déterminer les différentes combinaisons ELU et ELS et commenter ce qui sera vérifié avec ces combinaisons.

Voir du dossier technique ou du cours de base

Nota : la déformation finale se calculera de la manière suivante : Ginst (1 + kdef) + S1inst

Ginst (1 + kdef) + S2inst Ginst (1 + kdef) + WGPinst Ginst (1 + kdef) + WGDinst



M2-01 LA FLEXION (Poutres droites – IV – courbes)

1- Vérifier à la flexion (ELU) une solive de plancher BM 75/225 C22 - Portée 5,50 m - Entraxe de solive 0.5m Classe de service 1 Support de plancher en PP, effet système à prendre en compte

§ Cas n°1 : des entretoises limitent le risque de déversement § Cas n°2 : pas d’entretoise, risque de déversement à prendre en compte

G = 0,5 kN/m² - Q = 1.5 kN/m²

VERIFICATION EC5

On vérifiera que : 1f d,m

d,m ≤σ

a) Calcul de la contrainte de flexion

La contrainte de flexion est v/I

Myd,m =σ avec My = pl²/8 et p = 1.35G + 1.5Q

G = 0.5 kN/m² x 0.5 m = 0.25 kN/m Q = 1.5 kN/m² x 0.5 m = 0.75 kN/m p = 1.35 (0.25 kN/m) + 1.5 (0.75 kN/m) = 1.46 kN/m

MPa7.8²225x75x8

²5500x460,1x6²bh8²pl6

d,m ===σ nota : p en N/mm et dimension en mm

b) Calcul de la résistance de flexion

La résistance de flexion est critlshM

k,mmodd,m k.k.k

f.kf ×

γ=

fm,k = 22 MPa Kmod = 0,8 (classe de service 1 et durée d’application de charge fonction de Q, moyen terme)

γm = 1.3 kh = 1 Kls = 1.1 Cas n°1 : Kcrit = 1 (le déversement est limité par les entretoises)

MPa.9,141x1x1,13,122x8,0f d,m =×=

Données : Entraxe de solive 0.5m BM 75/225 C22 Classe de service 1 G = 0,5 kN/m² - Q = 1.5 kN/m² Combinaison ELU 1.35 G + 1.5 Q



Cas n°2 : Kcrit calcul : -

ef

05,0crit,m l.h

²b.E.78,0=σ

lef = (5500 x 0.9) + 2 x 225 = 5400 mm E0.05 = 6700 Mpa

MPa2,245400.225

²75.6700.78,0crit,m ==σ

- 95.02.24

22f

critique,m

k,mm,réel ==

σ=λ

- CAS 2 4,175,0 m,réel ≤λ<

- Kcrit = 1,56 – 0.75 λréel,m = 1.56 – 0,75 . 0.95 = 0.85

MPa7.1285.0x1x1,13,122x8,0

f d,m =×=

c) Vérification et taux de travail

Cas n°1 : 58,09,14

7,8=

le taux de travail de la solive en flexion est de 58 %

Cas n°2 : 69,07,127,8

=

le taux de travail de la solive en flexion est de 69 % 2- Vérifier à la flexion (ELU) une panne posée à l’aplomb

LC 85/352 GL24h – Portée 6,00 m - Entraxe des pannes 2 m – angle toiture 20°. Classe de service 2 Pas d’effet de système à prendre en compte G = 0,5 kN/m² - S = 0.45 KN/m²h

VERIFICATION EC5

On vérifiera que : 1f d,m

d,m ≤σ

Données : Entraxe de panne 2 m BM 75/352 GL24h Classe de service 2 G = 0,5 kN/m² - Q = 0.45 KN/m² Combinaison ELU 1.35 G + 1.5 S



a) Calcul de la contrainte de flexion

La contrainte de flexion est v/I

Myd,m =σ avec My = pl²/8 et p = 1.35G + 1.5S

G = 0.5 kN/m² x2 m = 1 kN/m S = 0.45 kN/m² x 2 m x cos 20° = 0.85 kN/m P = 1.35 (1 kN/m) + 1.5 (0.85 kN/m) = 2.6 kN/m

Pa7.6²352x85x8²6000x6.2x6

²bh8²pl6

d,m ===σ nota : p en N/mm et dimension en mm

b) Calcul de la résistance de flexion

La résistance de flexion est critlshM

k,mmodd,m k.k.k

f.kf ×

γ=

fm,k = 24 MPa Kmod = 0,9 (classe de service 2 et durée d’application de charge fonction de S, court terme)

γm = 1.25 kh = 1.11

Kcrit calcul : -

ef

05,0crit,m l.h

²b.E.78,0=σ

lef = (6000 x 0.9) + 2 x 352 = 6104 mm E0.05 = 9400 Mpa

MPa2,196104.352

²75.9400.78,0crit,m ==σ

- 11,12,19

24f

critique,m

k,mm,réel ==

σ=λ

- CAS 2 4,175,0 m,réel ≤λ<

- Kcrit = 1,56 – 0.75 λréel,m = 1.56 – 0,75 . 1,11 = 0.73

MPa1473,0x11,125,1

24x9,0f d,m =×=


48,014

7,6= le taux de travail de la panne en flexion est de 48%.



M2-02 LA COMPRESSION – LA TRACTION … ( // au fil du bois et - au fil du bois)

1- Vérifier le poteau pendulaire ci-contre, à la compression (le poteau est maintenu dans son inertie mini par des lisses)

o Classe de service 2 o GL24h 75 x 225 o G = 20 kN ; S = 17 KN

VERIFICATION EC5 Que doit-on vérifier ?

1f.k d,0,cy,c

d,0,c ≤σ

a) Calcul de contrainte de compression axiale

la combinaison est 1,35 G + 1.5 S p = 1,35 (20 KN) + 1,5 (17 KN) = 52,5 KN σc,0,d = 52500 / 75 x 225 = 3.1 MPa

b) Calcul de la résistance à la compression axiale

fc,0,k = 24 Mpa Classe de service 2 Durée d’application des charges fonction de S, court terme Kmod = 0,9 γM = 1,25

MPa.3,1725,1

24x9,0f.kf

M

k,0,cmodd,0,c ==

γ=

c) Calcul de Kc,y

4733

mm10.12,712225x75

12bhIxx === et 47

33

mm10.79,012

75x22512hb

Iyy ===

Ø (élancement mécanique) ilf=λ

lf, longueur de flambement, lfxx = 5m et lfyy = 2,5 m. Nota : on pourrait enterpréter la Lf comme pivot + encastrement avec LF = L x 0.8 EC5 p110 fig 9.3

i, rayon de giration SI

i = I, inertie minimum et S, section

mm65225.7510.12,7

i7

xx == mm22225.7510.79,0

i7

yy ==

fc,0,d = résistance de compression de calcul

kc,y ou kc,x = coef de flambement selon l’axe y ou l’axe x. σc,0,d = contrainte de compression axiale.



7765

5000xx ==λ 114

222500

yy ==λ

(on poursuivra le calcul avec lyy = 114)

Ø (élancement relatif)

05,0

k,0,crel E

f

πλ

=λ 83,19400

2414,3

114rel ==λ

CAS 2 : 45,0rel >λ Risque de flambement

( )relyyy,c ²²kk

1K

λ−+=

Avec : )²)3,0.(c1(5,0K relrely λ+−λβ+×=

1.0c =β pour le LC

Kc,y = 0,28

d) Vérification et taux de travail

1f.k d,0,cy,c

d,0,c ≤σ

64,03,17x28,0

1,3= le taux de travail est de 64%

2- Vérifier l’appui en compression oblique (45° avec la verticale) de la diagonale de la console ci-contre. Les cotes X et Y seront à définir.

o Classe de service 3 o G = 2 kN ; S1 = 3 KN, S3= 1,5 KN, Q = 5 KN (ALTITUDE < 500M)

On étudiera la combinaison ELU EC5 la plus défavorable


La compression oblique agissant sur la surface Y de la diagonale 1f d,,c

d,,c ≤σ

α

α



La compression oblique agissant sur la surface X de la diagonale 1f d,,c

d,,c ≤σ

α

α

La compression transversale agissant sur la surface Y du montant 1f.k d,90,c90,c

d,90,c ≤σ

a) Calcul des contraintes

C1 1.35 G + 1.5 Q C2 1.35 G + 1.5 S1 C3 1.35 G + 1.5 S3 + 1 Q C4 1,35 G + 1,5 Q + 1 S3

C4 1,35 (2) + 1,5 (5) + 1 (1,5) = 11,7 KN Composante agissant sur Y = 13 cos 45° = 8,3 KN Composante agissant sur X = 13 cos 45° = 8,3 KN σ c,α,d = 8700 / 100 Y = 83/Y Mpa σ c,α,d = 8700 / 100 X = 83/X MPa σ c,90,d = 8700 / 100 Y = 83/Y MPa b) Calcul des résistances

fc,0,k = 18 Mpa fc,90,k = 2,4 Mpa (nota, par souci de sécurité on prendra 50% de la valeur EN338)

fc,45,k = 4,2 Mpa Classe de service 3 Durée d’application des charges fonction de Q, long terme Kmod = 0,55 γM = 1,3

MPa.8,13,1

2,4x55,0f.kf

M

k,0,cmodd,45,c ==

γ=

MPa.13,1

4.2x55,0f.kf

M

k,0,cmodd,90,c ==

γ=

c) Vérifications et taux de travail La compression oblique agissant sur la surface X et Y de la diagonale

1)XouY.(8,1

83< donc mm46

8,183

XouY => pour un taux de travail = 100%

La compression transversale agissant sur le montant

1Y.1

83< donc mm83

183

Y =>

On choisira de réaliser la coupe d’about avec pour valeur Y = 90 mm (taux de travail 92%) et pour valeur X = (100 / cos 45°) – 90 = 51 mm (taux de travail 89 %).



M2-03 LE CISAILLEMENT Le cisaillement (vérification à l’effort tranchant) – Effet des entailles

1- Vérifier la poutre continue ci-contre, au cisaillement

o GL24h ep=110 ; h=500 o Portée 10 m entre appuis o Entraxe 4,0 m o Classe de service 2 o G = 0,5 kN/m² ; S = 0,5 KN/m² o pp = 0,3 kN/m


Le cisaillement sur les appuis A et B 1f.k d,vv

d ≤τ

fv,d = résistance au cisaillement (valeur de calcul) kv = coef de concentration de contrainte au niveau de l’entaillage (si entaillage de la poutre) τd = contrainte de cisaillement. a) Calcul des contraintes

o G = 0,5 kN/m² x 4 m = 2 KN/m o S = 0,5 KN/m² x 4 m = 2 KN/m o pp = 0,3 kN/m o p = 1,35 (G +pp) + 1,5 (S) = 6,1 KN/m

V appui A = 3/8 pl = 3/8 x 6,1 x 10 = 22,9 KN V appui B = (10/8 pl )/2 = (10/8 x 6,1 x 10 ) / 2 = 38,1 KN

MPa.63,0500.110

22900.5,1)A.appui(d ==τ

MPa.04,1500.110

38100.5,1)B.appui(d ==τ

b) Calcul des résistances

MPa.95,125,1

7.2x9,0f.kf

M

k,vmodd,v ==

γ=

kv = 1 c) Vérification et taux de travail

54,095,104,1

= pour un taux de travail = 54%



2- Vérifier la solive ci-contre, au cisaillement

o C22 ep=50 ; h = 225 o Portée 5 m o Entraxe 0.4 m o Classe de service 1 o G = 0,5 kN/m² ; Q = 1,5 KN/m²


Le cisaillement sur les appuis A et B 1f.k d,vv

d ≤τ

fv,d = résistance au cisaillement (valeur de calcul) kv = coef d’entaillage (si entaillage de la poutre) τd = contrainte de cisaillement. a) Calcul des contraintes

o G = 0,5 kN/m² x 0,4 m = 0,2 KN/m o Q = 1,5 KN/m² x 0,4 m = 0,6 KN/m o p = 1,35 (G ) + 1,5 (Q) = 1,17 KN/m

V appui A = pl/2 = 1,17 x 5 / 2 = 2,925 KN

MPa.5,0175.50

2925.5,1d ==τ


MPa.48,13,1

4.2x8,0f.kf

M

k,vmodd,v ==

γ=

( )

α−

α+α−α

+=

²1

hx

8,01h

hi.1,1

1(k

1

mink 5,1

nv

kv= 0,47 c) Vérification et taux de travail

Kn 5 rappel : Kn = 5 BM ; Kn = 6.5 LC; LVL = 4.5

h 225 Hauteur totale de la poutre

he 175 Hauteur résiduelle

y 0 Lg horizontale d'entaille ( Y schéma)

i 0 i = pente, soit y/(h-he)

x 100 Distance de l'angle au point d'appui ( X schéma)

Kv 0.47

Kv entailles poutres



73,047,0x5,1

50,0= pour un taux de travail = 73%

3- Vérifier l’arbalétrier ci-contre, au cisaillement o GL28h ep=110 ; h constante =300 o Classe de service 2 o Vmax sous G : 364 daN o Vmax sous S : 818 daN o Vmax sous W :-613 daN

On étudiera les combinaisons : 1.35 G + 1.5 S 0.9 G + 1.5 W Nota : Seuls les boulons ø16 sont en contact avec l’arbalétrier, déduire de l’étude l’emplacement optimum de la ferrure


- le cisaillement sur la hauteur résistante he de la pièce 1f.k d,vv

d ≤τ

fv,d = résistance au cisaillement (valeur de calcul)

kv = coef d’entaillage (si entaillage de la poutre) τd = contrainte de cisaillement. - la résistance au fendage

1FF

Rd,90

d,V ≤

−

=

hhe

1

hebw14F Rk,90

avec

=

11

100

wmax

w

35.0pl

Wp , largeur plaque // au fil du bois b, h largeur, hauteur du bois a) Calcul des contraintes 1.35 G + 1.5 S C1 (Vmax) = 1,35 (364) + 1,5 (818) = 1718 daN 0.9 G + 1.5 W C2 (Vmax) = 0,9 (364) + 1,5 (-613) = -591 daN (soulèvement)

Pour Plaques métalliques

Pour autres assemblages

Fv,d Effort tranchant max au niveau de l’assemblage

F90,Rd Résistance de calcul au fendage, calculée à partir de Kmod, γm et de F90,Rk valeur caractéristique au fendage calculée comme ci-dessous :



C1 MPahe234

xhe11017180x5,1

bhV.5,1

ed ===τ he, hauteur minimum de la poutre

C2 MPahe81

xhe1105910x5,1

bhV.5,1

ed ===τ

a’) Calcul de l’effort tranchant - aux fibres au niveau de l’assemblage Vmax = 1718 cos 15° = 1660 daN b) Calcul des résistances

Ø MPa.3,225,1

2.3x9,0f.kf

M

k,vmodd,v ==

γ= avec kv = 1

Ø

N.42772

300216

1

2161.110.14F Rk,90 =

−

=

N.3079625.142772*9.0

F Rd,90 ==

c) Vérification et taux de travail au cisaillement

C1 13,2he

234< ce qui donne he > 101 mm , pour un taux de travail = 100%

C2 13,2he

81< ce qui donne he > 35 mm ,pour un taux de travail = 100%

Schéma de positionnement de la ferrure selon he (calculée ci-dessus)

au fendage

13079616600

< Nota ; he mini au fendage = 87 mm

He mini pour C1 = 101 mm, on 216 mm He mini pour C2 = 35 mm, on a 216 mm



M2-04 LES SOLLICITATIONS COMPOSEES Flexion composée ; flexion + traction axiale ; flexion + compression axiale ;

Les structures fléchies et comprimées

1.Vérifier la panne ci-dessous à la flexion oblique (contrainte normale) o C18 ep=100 ; h=200 o Angle de rampant 30° o Classe de service 2 o Portée 3.50 m o Bande de chargement = 2,00 o p est composé de : G = 75 daN/m² (pp pris en compte dans le chargement)

S = 35 daN/m²(de rampant)


1ff

kd,z,m

d,z,m

d,y,m

d,y,mm ≤

σ+

σ

1f

kf d,z,m

d,z,mm

d,y,m

d,y,m ≤σ

+σ

a) Calcul des contraintes G = 75 daN/m² (pp pris en compte dans le chargement) x 2,00 m = 150 daN/m S = 35 daN/m²(de rampant) x 2,00 m = 70 daN/m p = 1,35 (150) + 1,5 (70) = 308 daN/m py = p.cos 30° = 308 x cos 30° = 267 daN/m pz = p son 30° = 308 x sin 30° = 154 daN/m

MPa.1,6²200.100.8²3500.67,2.6

²h.b.8²l.30cosp.6

d,y,m ==°

=σ

MPa.1,7200².100.8

²3500.54,1.6h².b.8

²l.30sinp.6d,z,m ==

°=σ

fm,y,d = résistance à la flexion (valeur de calcul selon y)

fm,z,d = résistance à la flexion (valeur de calcul selon z) σm,y,d = contrainte de flexion selon y

σm,z,d = contrainte de flexion selon z km = Coef de plastification (voir ci-dessous) . km = 0.7 (section rectangulaire) . km = 1 (autres sections)




MPa.5,121x1x1x3.118x9.0

k.k.kf.k

f critlshM

k,mmodd,y,m ==×

γ=

MPa.5,131x1x08,1x3.118x9.0

k.k.kf.k

f critlshM

k,mmodd,z,m ==×

γ=

nota : Kcrit = 1 et Kls (effet système non pertinent), Kh = 1,08 dans la petite inertie. c) Vérification et taux de travail

87,05,131,7

5,121,67,0 =+ 86,0

5,131,7

7,05,121,6

=+ Le taux de travail max est de 87%

2. Variantes du problème ci-dessus.

En construction, l’utilisation de panne sollicitée en flexion oblique est limitée. On préferera selon les cas :

- Cas 1- disposer la panne à l’aplomb - Cas 2- « retenir » la panne selon z avec une entretoise - Cas 3- « retenir » la panne selon z par les chevrons eux-mêmes bloqués en

faîtière (cas fréquent) ou bien en sablière (cas plus rare).

Dans le cas 2, le chargement selon z est diminué et dans le cas 3, le chargement selon z, est reporté en totalité sur la faîtière ou bien sur la sablière et n’affecte pas la panne selon son axe z. Variante 1 : Panne en flexion oblique avec entretoise selon z

Mêmes données que exercice 1.

VERIFICATION EC5 Que doit-on vérifier ? La panne est considérée sur deux appuis selon son inertie principale et sur trois appuis selon son inertie secondaire.

1ff

kd,z,m

d,z,m

d,y,m

d,y,mm ≤

σ+

σ

1f

kf d,z,m

d,z,mm

d,y,m

d,y,m ≤σ

+σ

fm,y,d = résistance à la flexion (valeur de calcul selon y) fm,z,d = résistance à la flexion (valeur de calcul selon z) σm,y,d = contrainte de flexion selon y σm,z,d = contrainte de flexion selon z km = Coef de plastification (voir ci-dessous) . km = 0.7 (section rectangulaire) . km = 1 (autres sections)



a) Calcul des contraintes G = 75 daN/m² (pp pris en compte dans le chargement) x 2,00 m = 150 daN/m N = 35 daN/m²(de rampant) x 2,00 m = 70 daN/m p = 1,35 (150) + 1,5 (70) = 308 daN/m py = p.cos 30° = 308 x cos 30° = 267 daN/m pz = p son 30° = 308 x sin 30° = 154 daN/m MFy = pl²/8 avec l = 3500 mm MFz = pl²/8 avec l = 3500/2 mm

MPa.1,6²200.100.8²3500.67,2.6

²h.b.8²l.30cosp.6

d,y,m ==°=σ

MPa.8,1200².100.8

²1750.54,1.6h².b.8

²l.30sinp.6d,z,m ==

°=σ


MPa.5,121x1x1x3.118x9.0

k.k.kf.k

f critlshM

k,mmodd,y,m ==×

γ=

MPa.5,131x1x08,1x3.118x9.0

k.k.kf.k

f critlshM

k,mmodd,z,m ==×

γ=

nota : Kcrit = 1 et Kls (effet système non pertinent), Kh = 1,08 dans la petite inertie. c) Vérification et taux de travail

48,05,13

8,15,121,6

7,0 =+ 59,05,13

8,17,0

5,121,6

=+ Le taux de travail max est de 59%

Variante 2 : Panne en flexion oblique avec chevrons bloqués par faîtière

Mêmes données que exercice 1.

VERIFICATION EC5

Que doit-on vérifier ? Le chargement selon z n’agit pas sur la panne. La panne se comporte comme un poutre soumise à da la flexion selon son inertie principale.

fm,y,d = résistance à la flexion (valeur de calcul selon y) σm,y,d = contrainte de flexion selon y



1f d,y,m

d,y,m ≤σ

a) Calcul des contraintes G = 75 daN/m² (pp pris en compte dans le chargement) x 2,00 m = 150 daN/m N = 35 daN/m²(de rampant) x 2,00 m = 70 daN/m p = 1,35 (150) + 1,5 (70) = 308 daN/m py = p.cos 30° = 308 x cos 30° = 267 daN/m

MPa.1,6²200.100.8²3500.67,2.6

²h.b.8²l.30cosp.6

d,y,m ==°

=σ


MPa.5,121x1x1x3.118x9.0

k.k.kf.k

f critlshM

k,mmodd,y,m ==×

γ=


49,05,121,6

= Le taux de travail est de 49%

3. Vérifier le poteau le poteau pendulaire ci-contre, selon la combinaison EC5 la plus défavorable. Nota : on disposera une lisse horizontale selon la petite inertie mi hauteur.

o Classe de service 2 o GL24h 100 x 200 o G = 20 kN ; S1 = 17 KN, S2= 9KN, W = 2 kN/m

VERIFICATION EC5

a) Calcul des contraintes G = 20 kN ; S1 = 17 KN, S3= 9KN, W = 2 KN/m C1 1.35 G + 1,5 S1 C2 1,35 G + 1,5 W C3 1.35 G + 1.5 S3 + 1 W C4 1,35 G + 1,5 W + 1 S3

Que doit-on vérifier ? La compression avec flambement + la flexion

1ff.k d,m

d,x,m

d,0,cy,c

d,0,c ≤σ

+

σ



Nota : Les chargements ne sont pas même nature (KN et KN/m) , il n’est pas possible de déterminer la combinaison la plus défavorable spontanément. Il faut dont déterminer indépendamment les contraintes par type de chargement et procéder ensuite à la vérification. σc,0,d pour 1KN = 1000 / 100.200 = 0,05 Mpa 1,35 G donne 1,35 x 20 x 0,05 = 1,35 MPa 1,5 S1 donne 1,5 x 17 x 0,05 = 1,28 MPa 1,5 S3 donne 1,5 x 9 x 0,05 = 0,68 MPa 1 S3 donne 1 x 9 x 0.05 = 0,45 MPa σm,d pour 1KN/m = (pl²/8) / (bh²/6) =(1x4000²/8) / (100.200²/8) = 3 Mpa 1,5 W donne 1,5 x 2 x 3 = 9 MPa 1 W donne 1 x 2 x 3 = 6 MPa b) Calcul des résistances

Ø Résistance à la compression axiale, flambement

fc,0,k = 24 Mpa Classe de service 2 Durée d’application des charges fonction de S, court terme Kmod = 0,9 γM = 1,25

MPa.3,1725,1

24x9,0f.kf

M

k,0,cmodd,0,c ==

γ=

Kc,y

4733

mm10.7,612200x100

12bhIzz === et 47

33

mm10.7,112100x200

12hb

Iyy ===

Ø (élancement mécanique) ilf=λ

lf, longueur de flambement, lfxx = 4m et lfyy=2m

i, rayon de giration SI

i = I, inertie minimum et S, section

mm58200.10010.7,6

i7

xx == mm29200.100

10.7,1i

7

yy ==

6958

4000xx ==λ 6929

2000yy ==λ

Nous continuerons le calcul avec λ = 69

Ø (élancement relatif)

05,0

k,0,crel E

f

πλ

=λ 1,19400

2414,3

69rel ==λ

CAS 2 : 45,0rel >λ Risque de flambement

( )relyyy,c ²²kk

1K

λ−+=

Avec : )²)3,0.(c1(5,0K relrely λ+−λβ+×=

1.0c =β pour le LC



Kc,y = 0,615

Ø Résistance à flexion

MPa.9,191x1x15,1x25.1

24x9.0k.k.kf.k

f critlshM

k,mmodd,y,m ==×

γ=


pour C1 25,003,17.615,0

28,135,1=+

+

pour C2 58,09,19

93,17.615,0

35,1=+

pour C3 49,09,19

63,17.615,0

68,035,1=+

+

pour C4 60,09,19

93,17.615,0

45,035,1=+

+ le taux de travail maximum est de 60%



M2-06 LA FLEXION (Poutres à inertie variable et courbes)

1- Vérifier la poutre à IV (ELU) ci-contre, à la flexion o GL28h ep=160 ; h= 600 à 1300 o Portée 20 m o Entraxe 4,0 m o Classe de service 2 o G = 0,8 kN/m² - S = 0,5 KN/m² o pp = 0,7 kN/m


- la contrainte de flexion dans les zones de décroissance 1f.k d,0,m,m

d,,m ≤σ

α

α

- la contrainte de flexion dans les zones // au fil 1f d,0,m

d,0,m ≤σ

- la contrainte de flexion dans la zone de faîtage 1f.k d,mr

d,m ≤σ

- la contrainte de traction perpendiculaire + le cisaillement 1

f.VV

.kf

d,90,t

2,0o

dis

d,90,t

d,v

d <

σ+τ


Ø contrainte de flexion

α : artg ((1300-800)/10000)= 4° G = 0,8 x 4 = 3,2 kN/m S = 0,5 x 4 = 2,0 KN/m Pp = 0,7 KN/m p = 1.35 G + 1.5 S = (1,35 x 3,2) + (1,35 x 0,7) + (1,5 x 2) = 8,27 kN/m x, (maximum de contrainte) pour dσ/dx = 0, soit = 4,70 mm hauteur poutre pour x = 4700 mm, soit 600 + [(1300-600)/10000 x 4670]= 926 mm Action aux appuis= 8,27 x 20 / 2 = 82,7 kN Moment de flexion pour x = 4,7 m = (82,7x4,7) – (8,27x4,7²/2) = 297 kN.m

MPa.13²926.160

10.297.6²bh

M6 6d

d,0,m ===σ



Ø contrainte de flexion dans la zone de faîtage

²bh

M6.k

ap

d,apld,m =σ

3ap

4

2ap

3ap

21l rh

kr

hk

rh

kkk

+

+

+=

α+α+= ²tg.4,5tg.4,11k1

α−= tg.835,0k2

α−α+= ²tg.8,7tg.3,86,0k3

α= ²tg.6k4

α : artg ((1300-800)/10000)= 4° G = 0,8 x 4 = 3,2 kN/m S = 0,5 x 4 = 2,0 KN/m p = 1.35 G + 1.5 S = (1,35 x 3,2) + (1,35 x 0,7) + (1,5 x 2) = 8,27 kN/m Moment de flexion pour x = 10 m soit (8,27 x20²)/8 = 414 kN.m kl = 1,12

MPa.3,10²1300x160

10.414x6x12,1

6

d,m ==σ

Ø Contrainte de traction perpendiculaire aux fibres

²bh

M6.k

ap

d,appd,90,t =σ

2ap

7ap

65p r

hk

r

hkkk

+

+=

α= tg.2,0k5

α+α−= ²tg.6,2tg.25,125,0k6

α−α= ²tg.4tg.1,2k7

α : artg ((1300-800)/10000)= 4° G = 0,8 x 4 = 3,2 kN/m S = 0,5 x 4 = 2,0 KN/m Pp = 0,7 KN/m p = 1.35 G + 1.5 S = (1,35 x 3,2) + (1,35 x 0,7) + (1,5 x 2) = 8,27 kN/m Moment de flexion pour x = 10 m soit (8,27x20²)/8 = 414 kN.m kp = 0.04

MPa.13,0²1300x160

10.414x6x014,0

6

d,90,t ==σ

Ø Contrainte de cisaillement

La contrainte de cisaillement est = 0 sur la partie centrale de cette poutre


Ø Résistance à la flexion

critlshM

k,mmodd,m k.k.k

f.kf ×

γ= soit MPa.2,20

25,128x9,0

f d,0,m ==




γm = 1.25 (LC) kh = 1 (h supérieur à 600 mm) Kls = 1 (on négligera l’effet système sur un système structurel principal) Kcrit = 1. Les pannes constituent un dispositif anti-déversement, si blocage sur travée PAV. Pas de risque de déversement.

Ø Résistance à la flexion (zone de décroissance)

MPa.2,2025,1

28x9,0f d,0,m ==

MPa.3,225,1

2,3x9,0f d,v ==

MPa32.025,1

45,0x9,0f d,0,t ==

Ø Résistance à la flexion (zone de faîtage)

critlshM

k,mmodd,m k.k.k

f.kf ×

γ= (idem ci-dessus) MPa.2,20

25,128x9,0

f d,m ==

kr = 0,76 Feuille excel

Ø Résistance à la traction perpendiculaire aux fibres

MPa.33,025,1

45,0x9,0f.kf

M

k,90,tmodd,90,t ==

γ=

Kdis = 1,4 (Vo/V)² = [0,01 / (1,3² x 0,16)]0,2 = 0,51

c) Vérifications et taux de travail

Ø Flexion dans les zones // au fil

1f d,0,m

d,m ≤σ

donc 64,02,20

13 = le taux de travail est de 64%

Ø Flexion dans les zones de décroissance

1f.k d,0,m,m

d,,m ≤σ

α

α donc 72,0

2,20x88,013 = le taux de travail est de 72%

Ø Flexion dans les zones de faîtage

On peut ainsi calculer Km,a = 0,88 à partir de

face inclinée comprimée

2

d,90,c

d,0,m2

d,v

d,0,m

,m

²tanff

tanf5,1

f1

1k

α+

α+

=α



1f.k d,mr

d,m ≤σ

donc 67,02,20x76,0

3,10 = le taux de travail est de 67%

Ø Traction perpendiculaire

1

f.VV

.k d,90,t

2,0o

dis

d,90,t <

σ donc 55,033,0x51,0x4,1


2-Vérifier la poutre courbe ci-contre, à la flexion (ELU) o GL28h ep=160 ; h constante =1100 o Portée 20 m o Entraxe 4,0 m o Classe de service 2 o G = 0,8 kN/m²h S = 0,57 KN/m²h o pp = 0,7 kN/m


- la contrainte de flexion dans la zone de faîtage 1f.k d,mr

d,m ≤σ

- la contrainte de traction perpendiculaire

1

f.VV

.k d,90,t

2,0o

dis

d,90,t <

σ


Ø contrainte de flexion maximum (zone de faîtage)

²bh

M6.k

ap

d,apld,m =σ

3ap

4

2ap

3ap

21l rh

kr

hk

rh

kkk

+

+

+=

α+α+= ²tg.4,5tg.4,11k1

α−= tg.835,0k2

α−α+= ²tg.8,7tg.3,86,0k3

α= ²tg.6k4

G = 0,8 x 4 = 3,2 kN/m S = 0,57 x 4 = 2,3 KN/m Pp = 0,7 KN/m p = 1.35 G + 1.5 S = (1,35 x 3,2) + (1,35 x 0,7) + (1,5 x 2,3) = 8,42 kN/m Moment de flexion maximum = 421 kN.m kl = 1,02



MPa.3,13²1100x160

10.421x6x02,1

6

d,m ==σ

Ø Contrainte de traction perpendiculaire aux fibres

²bh

M6.k

ap

d,appd,90,t =σ

2ap

7ap

65p r

hk

r

hkkk

+

+=

α= tg.2,0k5

α+α−= ²tg.6,2tg.25,125,0k6

α−α= ²tg.4tg.1,2k7

kp = 0.012

MPa.16,0²1100x160

10.421x6x012,0

6

d,90,t ==σ


Ø Résistance à la flexion

critlshM

k,mmodd,m k.k.k

f.kf ×

γ= MPa.2,20

25,128x9,0

f d,m ==


γm = 1.25 (LC) kh = 1 (h supérieur à 600 mm) Kls = 1 (on négligera l’effet système sur un système structurel principal) Kcrit = 1. Les pannes constituent un dispositif anti-déversement, si blocage sur travée PAV. Pas de risque de déversement. kr = 1

Ø Résistance à la traction perpendiculaire aux fibres

MPa.33,025,1

45,0x9,0f.kf

M

k,90,tmodd,90,t ==

γ=

Kdis = 1,4 (Vo/V)² = [0,01 / 2/3 de Volume de la poutre]0,2 = 0,35

c) Vérifications et taux de travail

Ø Flexion

1f.k d,mr

d,m ≤σ

donc 66,02,20x1

3,13 = le taux de travail est de 66%

nota : L’exercice ne prend pas en compte les contraintes de compression axiale avec flambement

Ø Traction perpendiculaire



1

f.VV

.k d,90,t

2,0o

dis

d,90,t <

σ donc 99,033,0x35,0x4,1


NOTA : la vérification contrainte de traction perpendiculaire + le cisaillement, comme suit

1

f.VV

.kf

d,90,t

2,0o

dis

d,90,t

d,v

d <

σ+τ n’est pas plus défavorable dans le cas d’une charge répartie sur

un arc symétrique.



M3-02 ASSEMBLAGES PAR BOULONS ET PAR BROCHES


dELU REffort ≤ (l’effort ELU appliqué sur les boulons < la résistance de calcul des boulons)

a) Calcul de l’effort ELU appliqué sur les boulons G = 21KN S = 21KN C1 = 1,35 G + 1,5 S = 1,35x20+ 1,5x20= 60 KN b) Estimation du nb de boulons et prédisposition Soit par une simulation Excel, soit par expérience (un boulon ø16 en x2 cisaillement bois/bois EC5 résiste à environ 1200 à 1400 daN), on estimera le nb de boulons à 6 (prise en compte du nb efficace qui réduit un peu la valeur ci-dessus).

ø boulon 16

mm

Angle α 0 degré

a1 80 mm a2 64 mm a3t 90°<a<-90° 112 mm a3c 90°<a<150° 64 mm a3c 150°<a<210° 64 mm a3c 210°<a<270° 64 mm a4t 0°<a<180° 48 mm a4c 48 mm

1. Définir et vérifier un assemblage par boulons pour reprendre l’effort F non pondéré de 42kN (50% de G, 50% de S) La hauteur des pièces sera de préférence = à 275 mm. L’essence utilisée est de catégorie C22.

Classe de service 2 Boulons E36, ø 16 Proposer un schéma coté de l’assemblage

nef = 4.41

nef = 5.38

ø boulon 16 mm

Angle α 60 degré a1 72 mm

a2 64 mm a3t 90°<a<-90° 112 mm a3c 90°<a<150° 99 mm a3c 150°<a<210° 64 mm a3c 210°<a<270° 99 mm a4t 0°<a<180° 60 mm a4c 48 mm



c) Résistance de calcul des boulons

Calcul de la résistance de calcul par boulon et par plan de cisaillement Rd. Cette résistance caractéristique dépend de :

- La portance locale du bois fh,k

BOIS MASSIF kk,0,h )d01,01(082,0f ρ−= N/mm², d en mm, ρ en kg/m3

α+α=α ²cos²sink

ff

90

k,0,hk,,h

α, angle effort / fil du bois

d015,035,1k90 += Pour les résineux

fh,k sur entrait = 23 Mpa

fh,k sur arba = 16 Mpa

- du moment plastique de la tige My,k 6,2

ukk,y df3,0M = My,k = 145927 Nmm

k,uf , 360 MPa (Résistance caractéristique des boulons en traction, E36)

- du mode de rupture (équations de (f à k) pour assemblage BOIS/BOIS en 2x cisaillement. On détermine Rk.

(f)

4F

df2M12

1,15 Rk,axh,1y +

β+β rupture tige

(g) dtf 1h,1 rupture de t1

(h) dtf 0.5 2h,2 rupture de t2

(j) ( )4

F

dtf

)M(2412

2dtf

1.05 Rk,ax21h,1

y1h,1 +

β−

β+β+β+β

β+ rupture mixte t1 et tige

(k)

4F

df2M12

5 1.1 Rk,axh,1y +

β+β rupture tige

- des coef Kmod et γM Rd, résistance de calcul

M

kmodd

R.kRγ

=

o Kmod = 0,9

o γM , équation g et h , mode 1 γM =1.3

équation j, mode 2 γM = 1.2

équation k, mode 3 γM = 1.1

- Rd , résistance de calcul, par boulon et par plan de cisaillement = 6964 N (équation j) c) Vérification de l’assemblage - La vérification donne : 60KN < 6,964 KN x 12 x (4,41/6) soit 61,42 kN (taux de travail de 98%) Nota : Le placement ci-dessus est validé.





a) Calcul de l’effort ELU appliqué sur les boulons C1 = 1,35 G + 1,5 S = 1,35x12 + 1,5x25 = 53,7 KN (vertical) C2 = 0,9 G + 1,5 W = 0,9x12 - 1,5x21 = -20,7 KN (vertical) = 0,9x0 + 1,5x2 = 3 KN (horizontal) C1 53,7 KN avec un angle de 75° par rapport au fil de l’arba C2 20,9 KN avec un angle de 83° par rapport au fil de l’arba b) Résistance de calcul des boulons

Calcul de la résistance de calcul par boulon et par plan de cisaillement Rd. Cette résistance caractéristique dépend de :

- La portance locale du bois fh,k

BOIS MASSIF kk,0,h )d01,01(082,0f ρ−= N/mm², d en mm, ρ en kg/m3

α+α=α ²cos²sink

ff

90

k,0,hk,,h

α, angle effort / fil du bois

d015,035,1k90 += Pour les résineux

- du moment plastique de la tige My,k

6,2ukk,y df3,0M = My,k = 145927 Nmm

k,uf , 360 MPa (Résistance caractéristique des boulons en traction, E36)

- du mode de rupture (équations de (h,j) pour assemblage ACIER/BOIS en 2x cisaillement. On détermine Rk.

Ep plaque < 0,5 ø (6 mm < 0,5 x 16 mm), donc plaque mince (j) dtf 0.5 2h,2

et (k) dfM 2 1.15 h,2y

2. Vérifier l’assemblage par boulonnage de la ferrure ci-contre. On utilise 4 boulons ø16 classe 4,8, avec deux plaques latérales d’ep 6mm. Déterminer l’effort à reprendre Proposer un schéma coté de l’assemblage

Angle de l’arbalétrier 15° Classe de service 2 G +00 kN Horizontal +12 kN Vertical S +00 kN Horizontal +25 kN vertical W +02 kN Horizontal

On étudiera les combinaisons : 1.35 G + 1.5 S 0.9 G + 1.5 W



- des coef Kmod et γM Rd, résistance de calcul

M

kmodd

R.kRγ

=

o Kmod = 0,9

o γM , équation j , mode 1 γM =1.3

équation k, mode 3 γM = 1.1

Rd , résistance de calcul, par boulon et par plan de cisaillement = 7825 N (mini, équation k) c) Vérification de l’assemblage - Un boulon reprendra 7824 x 2 plans de cisaillement = 15650 N soit 15,65 KN - Il faut « installer » : 53,7 KN / 15.65 KN = 3,43 boulons de ø16, - Pour 4 boulons, l’assemblage est vérifié, son taux de travail est de 86%. Position des boulons sur l’arbalétrier

ø boulon 16 mm

Angle α 75 degré

a1 68 mm

a2 64 mm a3t 90°<a<-90° 112 mm a3c 90°<a<150° 109 mm a3c 150°<a<210° 64 mm a3c 210°<a<270° 109 mm a4t 0°<a<180° 63 mm a4c 48 mm

a1 (68) < 140 a2 (64) < 100 a3t et a3c, non significatif a4t (63) < 84 a4c (48) < 84 Positionnement vérifiée



M3-02 ASSEMBLAGES PAR POINTES


dELU REffort ≤ (l’effort ELU appliqué sur les pointes < la résistance de calcul des pointes)

a) Calcul de l’effort ELU appliqué sur les pointes C1 = 1,35 G + 1,5 Q = 1,35x(20%.15) + 1,5x(80%.15) = 22,1 KN b) Résistance de calcul des pointes Choix des pointes 80 x 3,1 (torsadées). La pénétration doit être > à 6ø soit 18.6, ce qui exclut les points lisses de 80 x 3.4 (pénétration > à 8ø)

Calcul de la résistance de calcul par pointe et par plan de cisaillement Rd. Cette résistance caractéristique dépend de :

La portance locale du bois fh,k ,quelque soit l’angle de l’effort par rapport au bois.

BOIS MASSIF sans avant trou 3.0kk,h d082,0f −ρ= N/mm², d en mm, ρ en kg/m3

Du moment plastique de la tige My,k 6.2k,u

k,y d180600

fM = N.mm (pointes cylindriques)

Des distances t1 et t2 t1 = 20 mm et t2 = 30 mm

Des modes de rupture (équations g,h,j,k), avec prise en compte de Kmod et γM (g) dtf 1h,1

rupture de t1

(h) dtf 0.5 2h,2 rupture de t2

(j) ( )4

F

dtf

)M(2412

2dtf

1.05 Rk,ax21h,1

y1h,1 +

β−

β+β+β+β


(k)

4F

df2M12

5 1.1 Rk,axh,1y +

β+β rupture tige

1. Définir et vérifier un assemb lage par pointes cylindriques pour reprendre l’effort F non pondéré de 15 kN (20% de G, 80% de Q). L’essence utilisée est de catégorie C22. Pas de préperçage. Classe de service 2

Proposer un schéma coté de l’assemblage



Kmod = 0,8 et γM = selon mode de rupture, (g et h) : 1,3 (j) : 1.2 et (k) 1,1

Double cisaillement MODE 1 g 758 N

Double cisaillement MODE 1 h 568 N

Double cisaillement MODE 2 j 396 N

Double cisaillement MODE 3 k 542 N

Rd, résistance pour un plan de cisaillement 396 N c) Vérification de l’assemblage PRE DIMENSIONNEMENT : une pointe reprendra 396 x 2 plans de cisaillement = 792 N - nb pointes nécessaires : 22100 N / 792 N = 28 pointes. On disposera les pointes soit en 6 colonnes par 5 lignes soit en 5 colonnes de 6 lignes. - Avec feuille excel, on rélève a1 mini soit 23 mm dans entrait. - Prise en compte du nb efficace de pointes, a1 = 23 mm (fil du bois) donc 7 ø, k = 0.7. Le nb efficace pour l’assemblage est de 0,7 x 6 x 5 (lignes, colonnes) = 21 pointes. C’est insuffisant ! deux possibilités : . passer a1 de 23 à au moins 13 ø (40mm) pour avoir k=0.96, soit 0.96 x 30 = 28.8 pointes . augmenter le nb de pointes de 6x5 à 6x7, soit 0.7 x 42 = 29.4 pointes Le choix se portera sur 6 x 7 pointes avec a1 entrait = 23 mm et a1 arba = 31 mm - La vérification donne 22100 < 396 x (42x2) x (29.4/42) soit 23285 N. Taux de travail 91%. Posit ionnement réglementaire des pointes Angle de 0° (arba)

a1 31 a2 16 a3t 47 a3c 31 a4t 16 a4c 16

La disposition réglementaire des pointes nécessitera au minimum des bois de hauteur 150 mm pour l’arba et de hauteur 180 mm pour l’entrait. La cote X sera de 30 mm.


dELU REffort ≤ (l’effort ELU appliqué sur les pointes < la résistance de calcul des pointes)

a) Calcul de l’effort ELU appliqué sur les pointes

2. Définir et vérifier l’assemblage par pointes (assemblage de continuité d’entrait pour une ferme industrielle). L’effort à reprendre est de :

G 1,9 kN S 2,6 kN On étudiera la combinaison :1.35 G + 1.5 S Classe de service 2

ρ CP = 650 daN/m3 ρ BM = 340 daN/m3

Angle de 60° (entrait) a1 23 a2 16 a3t 39 a3c 31 a4t 21 a4c 16



C1 = 1,35 G + 1,5 S = 1,35x(1,9) + 1,5x(2,6) = 6,5 KN b) Résistance de calcul des pointes Choix des pointes 40 x 2, avec clouage sur chaque face avec possibilité de chevauchement. - (t2-l)>4d soit (36-28) = 4x2

Calcul de la résistance de calcul par pointe et par plan de cisaillement Rd. Cette résistance caractéristique dépend de :

La portance locale du bois fh,k ,quelque soit l’angle de l’effort par rapport au bois.

BOIS MASSIF sans avant trou 3.0kk,h d082,0f −ρ= N/mm², d en mm, ρ en kg/m3

CONTREPLAQUE 3.0kk,h d11,0f −ρ= N/mm², d en mm, ρ en kg/m3

Du moment plastique de la tige 6.2k,uk,y d180

600

fM = N.mm (pointes cylindriques)

Des distances t1 et t2 t1 = 12 mm et t2 = 28 mm

Des modes de rupture (équations a à g), avec prise en compte de Kmod et γM (a) dtf 1h,1 rupture de t1

(b) dt,f 2h,2 rupture de t2

(c)

+β−

β+

++β+β

β+ 1

22

1

232

1

2

1

221h,1

tt

1tt

tt

tt

1 21

dtf rupture de t1 et de t2

(d) ( )4

F

dtf

)M(2412

2dtf

1,05 rk,ax21h,1

y1h,1 +

β−

β+β+β+β

β+ rupture mixte t1 et tige (6.2.1e)

(e) ( )4

F

dtf

)M2(141²2

2

dtf 1,05 rk,ax

22h,1

y2h,1 +

β−

β+β+β+β


(f)

4F

df2M12

1,15 Rk,axh,1y +

β+β rupture tige

Double cisaillement MODE 1 g 965 N

Double cisaillement MODE 1 h 439 N

Double cisaillement MODE 2 j 350 N

Double cisaillement MODE 3 k 355 N Kmod = 0,9

γM = selon mode de rupture, (g et h) : 1,3 (j) : 1.2 et (k) 1,1

fh,1 (BM) = 23 N/mm² fh,2 (CP) = 58 N/mm² My,k = 1091 Nmm



Rd, résistance pour un plan de cisaillement 350 N

c) Vérification de l’assemblage - Une pointe reprendra 350 N, soit 0,35 KN, il faut « installer » : 6,5 KN / 0,35 KN = 18,6 pointes soit 20 pointes. Attention ! 10 pointes par face x 2, le tout x 2, soit 40 pointes pour créer la continuité de l’ assemblage . Positionnement réglementaire des pointes (dans CP idem bois massif x 0,85)

a1 17 a2 9 a3t 26 a3c 17 a4t 9 a4c 9



M3-04 ASSEMBLAGES PAR VIS Nota : le moment en A, induit un effort F, sur chaque Liaison, inversement proportionnel à sa distance.

VERIFICATION EC5 a) Etude statique L’équilibre statique (à l’arrachement) est réalisée pour :

2500F = 100V5 + 350V4 + 600V3 + 850V2 + 1100V1 Les efforts V sont proportionnels entre eux de la manière suivante : V5 = V1 x 100/1100 = 0,09 V1 V4 = V1 x 350/1100 = 0,32 V1 V3 = V1 x 600/1100 = 0,55 V1 V2 = V1 x 850/1100 = 0,77 V1 On obtient : 2500F = 9V1 + 112V1 + 330 V1 + 655V1 + 1100V1 2500F = 2206V1 F = 2206/2500 V1 = 0,88V1 b) Résistance de calcul des vis Choix des vis L80ø6 avec 80-45 = 35 mm de longueur filetée dans la lisse basse. La résistance à l’arrachement est calculée de la manière suivante :

k,,ax8.0

ef

9.0

d f)l.d.(n

nR απ= (N)

1. Définir et vérifier un assemblage par tirefonds pour lier le panneau OB à une lisse basse par 5 vis de longueur 80. L’essence utilisée est de catégorie C22. Pas de préperçage. Classe de service 2.

Déterminer l’effort ultime F que ce panneau pourra absorber, indiquer le type de vis utilisée. On considérera les vis sollicitées uniquement à l’arrachement selon le modèle indiqué ci-dessous.



avec 5.1

k3

d,,ax 10.6,3f σ= −α avec prise en compte de Kmod et de γM

lef = longueur efficace de la partie filetée dans la partie où elle est fixée

d = diamètre sur partie lisse

n = nb de tire fonds sollicités axialement dans un assemblage

Rd par tire-fonds est de 2449 N c) Effort ultime F F = 0,88V1 = 0,88.2449 = 2155 N Nota : On pourra doubler les capacités résistantes à l’arrachement en doublant les vis sur les mêmes positions que celles décrites par l’énoncé. La distance (a2) entre les vis sera > à 24 mm.


1)ntcisailleme(Rdntcisailleme.Effort

)axial(Rdaxial.Effort

22

≤

+

. vis, tire-fonds

Effort de cisaillement (Rd) : Pour les tire-fonds d’un ø > à 8mm, on applique les mêmes règles que

pour les boulons. Effort d’arrachement (Rd) : La résistance à l’arrachement est calculée de la manière suivante :

k,,ax8.0

ef

9.0

d f)l.d.(n

nR απ= (N)

avec 5.1

k3

d,,ax 10.6,3f σ= −α avec prise en compte de Kmod et de γM

lef = longueur efficace de la partie filetée dans la partie où elle est fixée

d = diamètre sur partie lisse

n = nb de tire fonds sollicités axialement dans un assemblage a) Effort ELU appliqué sur les vis ELU total = 16KN

2. Définir et vérifier l’assemblage par tirefonds (assemblage de contreventement). L’effort à reprendre est de 16 KN (effort pondéré)

Classe de service 2 (Kmod = 0,9) 4 vis D12 x 120 avec fuk = 400 N/mm² et lg filetée = 70 mm. Ep tôle = 5 mm

ρ BM = 340 daN/m3



ELU cisaillement = 16 x cos 45° = 11,3 KN ELU arrachement = 16 x cos 45° = 11,3 KN b) Résistance de calcul des vis Rd cisaillement : Pour les tire-fonds d’un ø > à 6 mm, on applique les mêmes règles que pour les boulons. Mode de rupture avec plaque métallique t <0,5ø simple cisaillement

(a) dtf 4,0 1h,1 (b)

4

FdfM 2 1.15 Rk,ax

h,1y +

avec

kk,1,h )d01,01(082,0f ρ−= N/mm², d en mm, ρ en kg/m3

Mmodk,1,h1,h /k.ff γ=

t1 = ep dans le bois, 120 – 5 = 115 mm d = 12 mm

6.2ukk,y d.f3,0M =

l’application numérique donne : t<0.5d, rupture mode 1 (*) a 7412 N t<0.5d, rupture mode 2 (*) b 5155 N Rd cisaillement = 5155 N soit 5.16 KN

Rd arrachement : Rd par tire-fonds est de 11 kN c) Vérification et taux de travail

37,04x113,11

4x16,53,11 22

=

+

Le taux de travail est de 37%



M3-06 ASSEMBLAGES TRADITIONNELS


On vérifiera la compression sur l’about 1f d,,c

d,,c ≤σ

α

α avec

vd,,c t.b

2²cosF

β

≥σ α

On vérifiera le cisaillement du talon 1f d,v

d ≤τ avec

vd l.b

cosF β≥τ

a) Effort ELU appliqué sur l’embrèvement

F (ELU) = 5 kN (issu de G et S) Ø Compression

MPa.35,240.100

240

cos.10000

t.b2

²cosF 2

vd,,c ==

β

=σ α

Ø Cisaillement

lv.10040.cos.10000

l.bcosF

vd

°=

β≤τ soit

d.10040.cos.10000

lvτ

°≥ soit

d

77lv

τ≥ mm

b) Résistance de calcul

Ø Compression

1. Vérifier un assemblage par embrèvement avant Arbalétrier 100 x 175 Entrait 100 x 175 tv = 40 mm lv = à définir L’essence utilisée est de catégorie C18.

Classe de service 2. F (ELU) = 10 kN (issu de G et S)



MPa.8,5K

x²cos²sin

ff

ff

M

mod

k,90,c

k,0,c

k,0,cd,,c =

γα+α=α

Ø Cisaillement

MPa.38,1K

xffM

modk,vd,v =

γ=


On vérifie la compression sur l’about 4,08,535,2

= Le taux de travail est de 40%

On recherche la lg du talon. Pour un taux de travail de 100%, d,vd f=τ , donc 38,177

lv ≥ ,

lv > 56 mm.



M3-07 LIAISONS SOLLICITEES EN FLEXION EFFORT ULTIME DANS UN ELEMENT D’ASSEMBLAGE

Exercice 1: Effort en daN du sol sur la structure QUESTIONS Vérification des boulons aux ELU

- combinaisons des chargements à prendre en compte (EC5) - effort maximum ultime sur un boulon - vérification

Vérification hors EC5 - épaisseur platine - diamètre boulon - cheville dans béton



a) Efforts ELU appliqué sur l’assemblage 1,35 G + 1,5 S 1,35 G + 1,5 W 0,9 G + 1,5 W /x /y C1 1,35 G + 1,5 N 10880 23700 C2 1,35 G + 1,5 W -7130 -4050 C3 0,9 G + 1,5 W -8250 -7200

A B

C

CAS CHARGEMENT /x /y G 250 700 S 500 950 W -700 -900

Nota : On conservera les combinaisons C1 et C3.



Combinaison n°1 Torseur de sollicitations appliqué au centre de gravité de l’assemblage Effort vertical = 0 N (l’effort vertical de cette combinaison ne transite pas par les boulons [*1]) Effort horizontal = -10880 N Moment = (10880 x 0,27) – (23700 x 0,05 [*2]) = 1753 Nm Sollicitations par assembleur Effort vertical /3 = 0 N Effort horizontal / 3 = 3627 N Moment / 2 / 0,1 = 8765 N (sens vertical) ELU = (3627² + 8765²)^0,5 = 9486 N (angle de 22°, par rapport au fil du bois) (*1) Pour pouvoir faire cette supposition, il faut que la contrainte de compression exercée par la

platine sur le pied du poteau soit < résistance de calcul du bois. (*2) L’excentrement de 50 mm de cette platine doit être limité à la largeur de la platine / 6,

condition pour laquelle le pied de poteau reste toujours en compression sur la platine. Combinaison n°2 Torseur de sollicitations appliqué au centre de gravité de l’assemblage Effort vertical = 8250 N (l’effort vertical de cette combinaison ne transite pas par les boulons) Effort horizontal = 7200 N Moment = -(7200 x 0,27) + (8250 x 0,05) = - 1531 Nm Sollicitations par assembleur Effort vertical /3 = 2750 N Effort horizontal / 3 = 2400 N Moment / 2 / 0,1 = 7655 N (sens vertical) ELU = ((2750+7655)² + 7655²)^0,5 = 12917 N (angle de 13°, par rapport au fil du bois) L’ELU sur un boulon sera de 12917 N b) Résistance de calcul d’un boulon Modes de rupture (simple cisaillement)ACIER/BOIS

(a) dtf 4,0 1h,1 (b)

4

FdfM 2 1.15 Rk,ax

h,1y +

Résineux "R" Feuillus "F" Contreplaqué "C" R, F ,C R Indiquer la lettre R, F, CMasse volumique ρk du bois ou du CP ρk 340 daN/m3Epaisseur bois t1 t1 75 mmEpaisseur plaque métallique t t 5 mmAngle effort / fil du bois par rapport à t1 α t1 13 en degréDiamétre du boulon d 16 mmCoef Kmod (selon classe de service) Kmod 0.90Résistance caractéristique du boulon fuk 400 Mpa t<0.5d, rupture mode 1 (*) a 7557 N t<0.5d, rupture mode 2 (*) b 9369 N La résistance de calcul d’un boulon en simple cisaillement sera de 7557 N c) Vérification et taux de travail

2x755712917 ≤ Le taux de travail sera de 86%.



Exercice 2: Efforts intérieurs en daN du poteau au centre de gravité de l’assemblage avec l’arba QUESTIONS Combinaisons des chargements à prendre en compte (EC5) Modifications éventuelles du positionnement des assembleurs Vérification de la ferrure (ø 850) vérification des anneaux + boulon aux ELU vérification de l’effort tranchant de l’assemblage


dELU REffort ≤ (l’effort ELU appliqué sur les assembleurs < la résistance de calcul des

assembleurs). Par assembleurs, on entend deux anneaux UR + un boulon.

Le cisaillement résultant dans l’assembleur) 1f.k d,vv

d ≤τ

A B

C

CAS CHARGEMENT N V Mf G -1200 500 -3200 S -2200 1000 -6500 W 2100 -1400 4000

Arba ep 115

GL24h



avec la contrainte de cisaillement

e

dd bh

V.5,1=τ , et Vd, effort tranchant résultant calculé comme

suit : 2

VnrM

V d,ud −

π= (nota Vu,d , effort tranchant de calcul dans couronne)

a) Efforts ELU appliqués sur l’assemblage 1,35 G + 1,5 S 1,35 G + 1,5 W 0,9 G + 1,5 W

N V MF1,35G + 1,5S -4920 2175 -14070

1,35G + 1,5 W 1530 -1425 16800,9G + 1,5 W 2070 -1650 3120

(efforts en daN) Nota : On conservera pour la vérification, la combinaison 1,35G + 1,5S Selon le tableau 5.7 (espacements dans couronne), la distance entre assembleur est de 2d, soit 2x95 = 190 mm. Il sera possible de positionner 14 assembleurs. (le schéma fait référence à un bâtiment réalisé à une date où les conditions de pince étaient différentes) Sollicitations par assembleur Effort vertical/14 = 3510 N Effort horizontal/14 = 1554 N

calcul de l’inertie de l’assemblage ∑==

=

ni

1ii²rI , ²mm.2528750²425x14I ==

effort créé par le moment dans chaque assembleur , N.236474252528750

140700000FM ==

Effort ELU sur assembleur : Par rapport au fil du bois du poteau Par rapport au fil du bois de la traverse, angle traverse 19°. Effort perpendiculaire à la traverse = 3510 cos 19° - 1554 sin 19° = 2812 N Effort normal à la traverse = 1554 cos 19° + 3510 sin 19° =2612 N L’effort le plus pénalisant est 26587 N, avec un angle de 84° par rapport au fil du bois de la traverse

( ) N.25444²3510155423647F 2 =++=

°=

+

=α 823510

155423647 arctan

( ) N.26587²2612281223647F 2 =++=

°=

+

=α 842612

281223647 arctan



b) Résistance de calcul d’un assembleur (anneaux UR 95)

Ø

=)d.5,31.(h.k.k

)d.35.(k.k.k.kminR

e21

5.14321

k,0,c Rc,0,k = 23576 N (voir coef ci-dessous)

d, diamètre de l’anneau

=

e

2

e

11 h5

t,

h3t

,1mink k1 = 1

he, pénétration anneau

=

c

t32 d2

a,25.1mink

K2, s’applique si l’assemblage est chargé en traction (-30°<a<30°). Dans une couronne, on appliquera par précaution k2 systématiquement, dans notre cas a3,t = 180 (mini 1,5d) donc k2 = 0,95

ρ

=350

,75.1mink k3

k3 = 0,97

4k = 1 pour bois bois et 1.1 pour bois métal

Ø Pour un angle α, α+α

=α ²cos²sin.kR

R90

k,0,ck,,c avec K90 =1.3 + 0.001 d

N.14848R.k

RM

d,,cmodd,,c =

γ= α

α

La résistance de calcul est de 14848 N par plan de cisaillement soit 29696 N c) Vérification et taux de travail

2969626587 ≤ (N) le taux de travail est de 90% d) Vérification spécifique au cisaillement

Effort tranchant résultant dans couronne, N.945572

21750425,0x14,3

1407002

Vr

MV d,u

d =−=−π

=

MPa.24,11000x115

94557x5,1bh

V.5,1

e

dd ===τ

1f.k d,vv

d ≤τ soit 62,0224,1 = le taux de travail est de 62%



Exercice 3 : Ferrure à partir de plaque métallique ep 8mm de dimension 590 x 120 x 150 Maintien sur poutre GL24h (890 x 135) par 8 tirefonds ∅ 12 mm longueur 120 mm. Maintien sur poutre GL24h (700 x 135) par 4 boulons ø16 + 1 boulon sur partie supérieure

ydaN.1000Grr

−= ydaN.3000Prr

−= classe de service 2

Vérification des tirefonds aux ELU Vérification des boulons aux ELU (résolution non effectuée)



M4-01 DEFORMATIONS DES POUTRES FLECHIES


- la flèche instantanée < 1/300 de la portée - la flèche finale (effet instantané + effet différé) < 1/250 de la portée

soit les combinaisons aux ELS : G + Q (effet instantané) G + 0,3 Q (effet différé) a) Calcul des déformations

Pour une poutre sur deux appuis, la déformation est : IE384

pl5

moy,0

4

fléche instantanée sous G, UG = mm2.3225.75.9000.38412.5000.25,0.5

3

4

=

fléche instantanée sous Q, UQ = 9.6 mm Calcul de Uinst = 3.2 + 9.6 = 12.8 mm

(Effet différé en classe de service 1) Recherche du coef Kdef Kdef = 0.6

Combinaison pour effet différé G + 0.3 Q Calcul de la flèche sous G (effet différé) UG x Kdef = 0,6 UG soit 1,9 mm Calcul de la flèche sous Q (effet différé) 0,3 x UQ x Kdef = 0,18 UQ soit 1,7 mm Calcul de Unet,fin (3.2 + 1,9 ) + (9.6 + 1,7) = 16.4 mm (Effet différé en classe de service 3)

Recherche du coef Kdef Kdef = 2 Combinaison pour effet différé G + 0.3 Q Calcul de la flèche sous G (effet différé) UG x Kdef = 2 UG Calcul de la flèche sous Q (effet différé) 0.3 x UQ x Kdef = 0,6UQ

Calcul de Unet,fin (3 UG ) + (1.6 UQ ) = 25 mm b) Vérification et taux de travail Fléche instantanée 12.8 < 5000/300 soit taux de travail 77% Fléche avec effet différée (Classe service 1) 16.4 < 5000/250 soit taux de travail 82% Fléche avec effet différée (Classe service 3) 25.0 < 5000/250 soit taux de travail 125%

1. Vérifier une solive en déformation L’essence utilisée est de catégorie C18. 75 x 225 portée 5 m G = 50 daN/m² Q = 150 daN/m² Entraxe de 0.5m Vérification en classe de service 1 et en classe de service 3.



Exercices d’application : M4/02 (ex 1 : non réalisé)

2. Déformation d’un portique à deux articulations avec couronnes de boulons. GL24h. Classe de service 2. Section traverse 100 x 750 Section poteau 2 fois 100 x 400/750 Couronne boulon n°1 ø 620 et couronne n°2 ø 480 Boulons ø 16 mm, nuance acier E36 G = 100 daN/m (poids propre compris) S = 100 daN/m (altitude < à 500m) W = 320 daN/m (poteau gauche), -60daN/m (arba), -60daN/m (poteau droit)

a) Vérifier les déformations du portique aux ELS. (avec logiciel de RDM) - sans prise en compte des rigidités rotationnelles des encastrements - avec prise en compte des rididités rotationnelles des encastrements b) Analyser la distribution des contraintes et des sollicitations dans les deux cas



a) Vérifier les déformations du portique aux ELS. (avec logiciel de RDM) - sans prise en compte des rigidités rotationnelles des encastrements - avec prise en compte des rididités rotationnelles des encastrements Les combinaisons sont extraites du dossier technique On retiendra donc : C1 Effet instantané (déplacement vertical) G + S < au 1/250 de la portée C2 Effet instantané (déplacement horizontal) G + W < au 1/200 de la hauteur (*) Effet différé G (soit UG,inst x Kdef, avec Kdef = 0.8) C3 Effet final (déplacement vertical) G (1+0.8) + S < au 1/150 de la portée (*) en attente d’évolution (voir tab4.1 et tab4.2 des flèches limites) - sans prise en compte des rigidités rotationnelles des encastrements C1 3.8 mm < 60mm taux de travail 6% C2 6.4 mm < 20mm taux de travail 32% C3 4.9 mm < 75mm taux de travail 7% - avec prise en compte des rigidités rotationnelles des encastrements Kser = 4401.5 x 16 / 23 = 5966 N/mm

Rigidité rotationnelle ∑=n

1ii,serd,ser,r ²r.KK soit ²)rn²rn(KK 2211serd,ser,r +=

5966 ((20*310²)+(15*240²)) = 1.66 1010 Nmm/rd (Cette rigidité rotationnelle sera prise en compte par le logiciel de calcul, attention aux unités) Déplacements C1 9.6 mm < 60mm taux de travail 16% (2,5 fois +) C2 10.3 mm < 20mm taux de travail 51% (1,6 fois +) C3 12.3 mm < 75mm taux de travail 17% (idem C1) b) Analyse des contraintes et des sollicitations La prise en compte des rigidités rotationnelles dans les systèmes hyperstatiques entraîne une distribution des contraintes différentes. Les sollicitations aux nœuds sont très sensiblement différentes.

Sans prise en compte Avec prise en compteMf max dans couronne de boulon 52477 daN.m 34891 daN.mContrainte max dans poteau 3 MPa 2 MPaContrainte max dans poutre 5.8 MPa 5.9 MPa

Mf max dans couronne de boulon 23293 daN.m 21396 daN.mContrainte max dans poteau 2 MPa 2 MpaContrainte max dans poutre 2.6 MPa 2.6 Mpa

RIGIDITE ROTATIONNELLE

1.35G+1.5S

1G+1.5W



On remarque la modification de la distribution des contraintes.

x yz

MAX=5.8 N/mm2 Elément:2

x yz

MAX=5.9 N/mm2 Elément:2

Cas 1: 1.35G+1.5S sans RR

Cas 2: 1.35G+1.5S avec RR

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Ec5 2003 Correction Exercices v1