Formulário de Sistemas e Sinais (07­02­2007 12:35) Edição: MelgaBytes Colaboração especial: Tako, Vador

Gráficos Ordem das operações sobre gráficos:

1. Translação 2. Mudança de sinal e escala

Funções ­ Paridade

Formulas Euler

cos( ) sin( ) j e j Propriedades dos sistemas

Com memória A saída depende da entrada desse instante e/ou de instantes passados e/ou futuros.

Invariante no tempo

Linear

Causal (não antecipativo) A saída depende apenas da entrada desse instante e/ou de instantes passados.

Estável Entradas limitadas produzem saídas limitadas.

Máquinas de Estados

Definição

Composição Para a composição em retroacção ser bem formada cada estado alcançável deve ter um só ponto fixo. Ponto fixo: saída é igual à entrada.

Ver se A é bem formada: a saída de A depende do estado (em cada estado a saída é igual para cada entrada) se não depender não se pode concluir nada. se a máquina A for não determinística a composição não é bem formada

Os estados da máquina composta são os estados com 1 ponto fixo.

Equação de Estado

Equação de Saída

> 1 sistema instável

Modelo de Espaço de estados

N: nº de estados; M: nº de entradas; K: nº de saídas Resposta impulsiva

Nota:

Para condições Nulas pode­se:

Estabilidade

Estável Instável

convergente divergente

Causalidade

Se para então o sistema é causal.

Convolução

Discreto:

Continuo:

Função delta de Kronecker Função escalão unitário

Séries

Finita Infinita

Parcial

Serie de Fourier Geral trocar n por t caso continua

Série Fourier Continua Série Fourier discreta (DFS)

0

1

( ) p

jk n k

k

x n X e

Coeficientes da série de Fourier

Sinal contínuo Sinal discreto (DFT)

Exemplos

A B

Propriedades dos coeficientes

Resposta do sistema / Relação entre os coeficientes de entrada(Xk) e saída(Yk)

Resposta em frequência (H)

(Ver tabela auxiliar de transformação de sinal em frequência) Propriedades dos coeficientes

(Ver tabela auxiliar nº 4) Série de Fourier

Transf. de Fourier Discreta (DTFT)

Transf. de Fourier Continua (CTFT)

Inversa

Ver form. para

Inversa

Transformada de Fourier de sinais periódicos

Composição de máquinas

Ligação em cascata: Ligação em paralelo:

Ligação com retroacção:

Filtragem Filtro com resposta em frequência:

unitária e constante Passa tudo < 1 Passa baixos 1 Passa altos

Exercícios resolvidos

Caracterização de Sistemas

com memória Só depende de instantes passados. é causal

, é estável (por causa A+1)

não é linear é

invariante Máquinas de estados

Resolução:

Assumpções:

Definição da máquina composta:

Exemplo da descrição de uma máquina de estados:

A máquina C é determinística? Apresente a relação de Comportamentos de C.

Resolução A máquina C é determinística porque cada par (estado actual, entrada actual) é mapeado num único elemento (estado seguinte).

Comportamentos_C = (x , y) | y = saídas_C (s , x ) , i.e., os comportamentos da máquina C é o conjunto constituído por todas a sequências possíveis dos pares (entrada , saida).

Comportamentos_C = [(reage , 1) , (reage , 0) , (reage , 1) ,

Coeficientes da série de Fourier Considere o seguinte sinal periódico x(t) . Determine os coeficientes da série de Fourier para o sinal x(t) .

Resolução:

Aplica­se a formula de Euler:

Considere um sinal periódico x(t) com período 4. Sabendo que os coeficientes da série de Fourier são dados por

determine e esboce o sinal x(t). Resolução:

Considere os coeficientes da Série de Fourier representados na forma de exponenciais:

.

Sabendo que o sinal é periódico com período 8 determine o sinal x(n).

Resolução:

Considere um SLIT causal cuja entrada x(t) e saída y(t) estão relacionadas através da equação diferencial

.

Determine a resposta do sistema ao sinal de entrada .

Resolução:

Considerando que o sinal w(t) periódico, com período T=4, tem coef. da série de Fourier bk , relacione­os com os coef. da série de Fourier ck de y(t) , sabendo que y(t) = w(2 t+1) .

Resolução:

Considere um SLIT causal cuja entrada x(n) e saída y(n) estão relacionadas através da equação às diferenças

Determine a representação em série de Fourier da saída y(n) para a entrada .

Resolução:

0

( 1)

1 1 4

1 1 4

2 2 2

2 2 2

. ( )

1 1 ( ). ( ). ( ) 2 1 1 2 1 2 1

8 2 1 1 2 1 2 1

8 2 1 1 2 1 2 1 2 . 8 1 1 2

1 2 1 2 . 8 1 1 2

k k

j n j n j n

j

j

j

j

j

b a H k

H e H e e H e

b a H e

b a H e

b a H j e

b a H j e

Filtragem Considere que a resposta em frequência de um filtro é dada por

Se colocarmos na entrada um sinal ,

em que e determine o sinal que obtém

na saída. Resolução

Considere que um SLIT com resposta impulsiva é ligado em paralelo com outro SLIT

causal com resposta impulsiva h2(n) . A ligação em paralelo resultante tem a resposta em frequência H( ) seguinte. Determine h2(n).

Resolução:

Transformada de Fourier Sabendo que o sinal x(t) tem Transformada de Fourier X ( ), relacione a Transformada de Fourier de y(t) = x(3 t) + x( 2 t) com X ( ).

Resolução:

Resposta Impulsiva

Considere um SLIT estável e causal. Neste caso basta­nos um par entrada/saída para determinar a resposta em frequência do sistema. Considere que ao colocarmos na entrada do sistema o sinal obtemos na saída

. Determine a resposta impulsiva do sistema.

Resolução

Logo

Varios Usando as definições, calcule a CTFT do seguinte sinal

Resolução

Se x(t) for amostrado a uma frequência de 4000 Hz, qual das seguintes frequências pertence ao espectro do sinal amostrado: 2400Hz, 4000Hz, 3.6MHz ?

Resolução A componente contínua 5, a amplitude 8 e o desfasamento 7 são irrelevantes para esta resolução. A frequência do sinal (f=2/w) é de 800 Hz. Se o sinal for amostrado a 4000 Hz surgem réplicas do sinal nas frequências: 4000 800, 2x4000 800, 3x4000 800, ... Assim, as primeiras réplicas do sinal estarão em 4000 ­800 = 3200 Hz e 4000+800 = 4800 Hz. Em 4500 Hz e 3.6 MHz não há replicas do sinal uma vez que não são soluções de 4500800fk . A resposta é portanto nenhuma. 2400 Hz poderá parecer uma réplica (2400 = 4000­1600) mas atenção que a frequência do sinal é de 800 e não 1600 Hz.