Dipartimento di FisicaCorso di Laurea Triennale in Fisica

Effetti globali di un’equazione di statopolinomiale sulle proprieta delle stelle di

neutroni

Relatore: Prof. Gianluca ColoCorrelatore: Dott. Xavier Roca Maza

Tesi di Laurea di:Giovanni SelvaMatricola n. 797358Codice PACS: 26.60.c

Anno Accademico 2014 - 2015

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Indice

Introduzione 5

1 Stelle di neutroni ed equilibrio idrostatico 71.1 Le stelle di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Le equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Neutroni liberi 112.1 Equazione di stato del gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Neutroni non-relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Neutroni ultra-relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Neutroni relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Neutroni interagenti 213.1 Un semplice modello di equazione di stato . . . . . . . . . . . 213.2 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Discussione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Conclusioni 29

Bibliografia 32

3

4 INDICE

Introduzione

Le stelle di neutroni rappresentano lo stadio finale dell’evoluzione delle stellecon determinati valori della loro massa (piu grande dei valori per cui l’evo-luzione finale e una nana bianca, e piu piccola dei valori per cui si arriva acreare un buco nero). Sono composte da materia ricca di neutroni e sono lestelle piu compatte dell’universo. Non si conosce ancora molto riguardo allastruttura interna di questi corpi celesti, dove la materia vive in condizioni didensita estreme che non possono essere studiate in laboratorio, ma soltan-to attraverso l’elaborazione di modelli teorici. Tuttavia alcune osservazionipermettono di dedurre comunque massa e raggio della stella. Esistono indi-cazioni anche su altre proprieta come il loro raffreddamento, la loro frequenzadi rotazione o il campo magnetico in superficie.

In questa tesi ci occupiamo di risolvere le equazioni di equilibrio idrostati-co per calcolare la massa e il raggio delle stelle di neutroni, effettuando variesemplificazioni, la prima delle quali e che la stella sia sferica e sia composta daun gas di neutroni uniforme che si attrae gravitazionalmente. Quindi voglia-mo trovare una soluzione semplice, senza indagare in dettaglio la strutturainterna della stella, che puo essere complessa. Miriamo ad avere comunqueuna rappresentazione realistica delle proprieta globali.

La risoluzione delle equazioni dipende dal modello nucleare considerato.Dopo una breve introduzione sulle stelle di neutroni e una presentazione delleequazioni di bilancio esposte nel capitolo 1, cominciamo a considerare unmodello semplice, descritto nel capitolo 2: neutroni liberi che costituisconoun gas di Fermi, sia relativistici che non relativistici. Confrontiamo poi inostri risultati con i lavori di R. Silbar e S. Reddy, esposti nel loro articolopedagogico ‘Neutron Stars for Undergraduates’ [1].

Successivamente, nel capitolo 3, sviluppiamo un modello per neutroniinteragenti: ipotizziamo che i neutroni abbiano, oltre all’energia cinetica,un’energia potenziale dovuta alla loro interazione nucleare, espressa comepolinomio della densita. I coefficienti del polinomio si mostrera che sonolegati ad alcune proprieta empiriche della materia nucleare, come la densita disaturazione, l’energia per particella a questa densita, e l’energia di simmetria.

5

6 INDICE

Imponendo dei valori per queste quantita, ricaveremo un’equazione di stato,ovvero una relazione tra pressione e densita di energia, necessaria per risolverele equazioni di equilibrio. Si tratta di una funzione polinomiale implicita,dato che pressione e densita di energia dipendono entrambe dalla densita diparticelle come polinomi, ma non possono essere esplicitate l’una in funzionedell’altra.

Il nostro scopo e, in sostanza, vedere se con valori realistici dei coefficientidella nostra equazione di stato e possibile ricavare valori ragionevoli per lamassa e il raggio delle stelle di neutroni.

Capitolo 1

Stelle di neutroni ed equilibrioidrostatico

1.1 Le stelle di neutroni

Le stelle di neutroni sono degli oggetti compatti caratterizzati da un’elevatis-sima densita, fino a 5-10 volte la densita nucleare, e da valori tipici di massaM ∼ 1.4M� e raggio R ∼ 10km, dove M� e la massa del Sole [2].

Furono scoperte nel 1965 da Jocelyn Bell e A. Hewish, che lavoravano alCavendish Laboratory di Cambridge [3]. Essi scoprirono l’esistenza di unasorgente radio che emetteva radiazioni a intervalli estremamente regolari dicirca 1s, tant’e che si credette inizialmente che fosse un messaggio da parte diextraterrestri. Poi in realta si capı che la sorgente in questione era un corpoceleste circondato da un forte campo magnetico e che ruotava velocissimo,emettendo fasci di radiazione orientati nella direzione dell’asse magnetico,che non coincideva con l’asse di rotazione. Quindi dalla Terra si osservavanoimpulsi regolari, percio le stelle di questo tipo vennero chiamate pulsar.

Le stelle di neutroni si formano in seguito al collasso gravitazionale delnucleo di una stella massiva al termine della sua evoluzione, quando il com-bustibile si esaurisce e non c’e piu pressione che possa sostenere dall’internol’attrazione gravitazionale. Il nucleo collassa fino a raggiungere una posi-zione di equilibrio, alla quale diventa cosı denso che il processo di catturaelettronica risulta energeticamente favorevole. Si forma cosı un mezzo ric-co di neutroni, con una densita media attorno a quella dei nuclei ordinari(∼ 1014g/cm3), mentre la pressione di degenerazione dei neutroni intervienee impedisce che la stella si trasformi in un buco nero. L’arresto del collassoproduce un’onda d’urto che scaglia l’involucro esterno di materia nello spazioa velocita enormi, con un’esplosione chiamata supernova. Il nucleo rimasto

7

8CAPITOLO 1. STELLE DI NEUTRONI ED EQUILIBRIO IDROSTATICO

e una stella con una temperatura superficiale dell’ordine di 106K, un campomagnetico di 1012-1015G [4], con un raggio tipicamente di 10km e una massadi 1.4M�, ma che puo arrivare a 2M� [5]. Dunque il campo gravitaziona-le generato e incredibilmente intenso, e la relativita generale avra un ruoloimportante nello studio di questi corpi celesti.

Le condizioni in cui vengono a trovarsi i neutroni sono estreme e spessonon riproducibili in laboratorio. Per questo motivo conosciamo ancora pocoriguardo alla struttura interna di queste stelle. Tuttavia sono oggetti distudio interessanti perche le osservazioni in certi casi permettono di verificarela validita di modelli teorici che descrivono la materia nucleare [2, 6, 7].

Figura 1.1: Rappresentazione di una pulsar [8]. Sono mostrate le linee di campomagnetico, l’asse di rotazione e il fascio di radiazioni emesse lungo l’asse magnetico

1.2. LE EQUAZIONI DI TOLMAN-OPPENHEIMER-VOLKOFF 9

1.2 Le equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Siamo interessati a determinare l’andamento della massa e della pressioneinterna di una stella in funzione della distanza dal centro.

La stella e stabile se esiste una pressione interna in equilibrio meccanicocon la pressione dovuta alla forza di gravita. Assumendo simmetria sferica emateria uniforme, consideriamo un guscio compreso tra r e r+ dr: esso con-tiene una massa dM = ρ(r)dV = ρ(r)4πr2dr, dove ρ(r) e la densita. Perciola pressione interna a distanza r e pari alla forza di attrazione gravitazionaletra il guscio e la massa M(r) contenuta all’interno diviso la superficie sferica:

dp =dF

A= −GdMM(r)

r2

1

4πr2= −Gρ(r)M(r)

r2dr

Partiamo descrivendo il caso non relativistico. Le equazionidp

dr= −Gρ(r)M(r)

r2

dM

dr= 4πr2ρ(r)

(1.1)

sono chiamate equazioni newtoniane di equilibrio idrostatico. Si tratta di unacoppia di equazioni differenziali al I ordine accoppiate. Per risolverle abbiamobisogno di una relazione tra pressione e densita, ovvero di un’equazione distato (EoS). Se definiamo la densita di energia ε(r) = ρ(r)c2, in accordo conl’equivalenza tra massa e energia, la EoS diventa la relazione p = p(ε).

A seconda del modello nucleare considerato abbiamo diverse espressio-ni per l’energia e di conseguenza diverse pressioni. Come si determina laEoS? Se ci troviamo a temperatura T ∼ 106K ∼ 10−4MeV [9], trascurabilerispetto all’energia cinetica di singola particella (∼ 22MeV attorno alla den-sita nucleare), allora lo scambio di calore e δQ = 0. Dal I principio dellatermodinamica dU = δQ− pdV segue che:

p = −dU

dV|T=0,Ncost. = −d(U/N)

d(V/N)= − de

d(1/n)= n2 d(ε/n)

dn= n

dε

dn− ε

dove e e l’energia per particella, mentre n e la densita di particelle. Dunqueabbiamo bisogno solo di conoscere ε in funzione di n, cosı possiamo calcolarela EoS e risolvere le equazioni (1.1).

Se la massa della stella e molto grande, ovvero quando GM2

R�Mc2, allora

dobbiamo aggiungere delle correzioni di relativita generale. Le equazioni di

10CAPITOLO 1. STELLE DI NEUTRONI ED EQUILIBRIO IDROSTATICO

equilibrio diventano [10]:dp(r)

dr= −Gε(r)M(r)

c2r2

[1 +

p(r)

ε(r)

] [1 +

4πr3p(r)

c2M(r)

] [1− 2GM(r)

c2r

]−1

dM(r)

dr= 4πr2 ε(r)

c2

(1.2)e si chiamano equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV). Le corre-zioni consistono in tre fattori aggiuntivi positivi e maggiori di 1, come se legravita fosse diventata piu forte. L’equazione per la massa resta inalterata.

1.2.1 Integrazione numerica

Un’ equazione di stato che si scrive nella forma p = Kεγ, dove K e γ sonocostanti, viene chiamata politropo. L’uso di un politropo e conveniente perchesi puo esplicitare la pressione in funzione della densita di energia e risolverefacilmente le equazioni di TOV.

Per risolvere comodamente le equazioni di TOV (1.2) apportiamo alcunemodifiche alle variabili di integrazione in modo da renderle adimensionali.Definiamo: M(r) = M(r)M�, p(r) = ε0p(r), ε(r) = ε0ε(r), dove ε0 e unacostante dimensionale che possiamo scegliere in modo conveniente per nondover trattare numeri troppo grandi o piccoli.

Per un politropo vale p = Kεγ, allora ε0p(r) = Kεγ0 εγ(r), da cui p(r) =

Kεγ−10 εγ(r) = Kεγ(r), con K = Kεγ−1

0 . Le equazioni di TOV diventano:

ε0

dp(r)

dr= −GM�ε0ε(r)M(r)

c2r2

[1 + p(r)

ε(r)

][1 + 4πr3ε0p(r)

M�c2M(r)

][1− 2GM�M(r)

c2r

]−1

M�dM(r)

dr= 4πr2ε0

ε(r)c2

dp(r)

dr= −αp

1γ (r)M(r)

r2

[1 + K

1γ p1− 1

γ (r)][

1 + 4πε0r3

M�c2p(r)

M(r)

][1− 2R0

M(r)r

]−1

dM(r)

dr= βr2p

1γ (r)

(1.3)

dove R0 = GM�c2

= 1.473km, α = R0K1γ , β = 4πε0

M�c2K1γ

. Possiamo scegliere un

valore arbitrario per α, dal quale ricaviamo ε0 e quindi β.Come risolviamo le equazioni di TOV?Abbiamo trovato la soluzione numericamente, implementando un pro-

gramma che integra le equazioni con un metodo di Runge Kutta di ordineIV. Considerato uno step di integrazione di 2 · 10−2km, l’errore per calcolare

1.2. LE EQUAZIONI DI TOLMAN-OPPENHEIMER-VOLKOFF 11

un punto da parte del metodo e dell’ordine di 32 ·10−10, che si propaga su unintervallo di circa 10km (il raggio della stella), quindi di 500 punti, con unerrore finale di 500·32·10−10 ≈ 10−6. Tuttavia, date le tante approssimazionieffettuate nei vari modelli per le equazioni di stato, i risultati sono espostiad incertezze piu grandi.

Il raggio della stella e definito come il punto in cui la pressione si azzera.Percio il programma valuta anche la pressione ad ogni ciclo: quando questaassume un valore negativo abbiamo trovato il raggio, e quindi la massa totale,dunque interrompiamo l’integrazione. Si puo poi riportare ogni punto su ungrafico per osservare l’andamento della pressione e della massa.

Per integrare le equazioni abbiamo bisogno delle condizioni iniziali dipressione e massa: la massa a raggio zero e ovviamente nulla e non puoche aumentare con il raggio. La pressione centrale non la si conosce: percioandiamo a studiare quali soluzioni si ottengono per diversi valori di questa,costruendo cosı anche un grafico massa-raggio [8].

12CAPITOLO 1. STELLE DI NEUTRONI ED EQUILIBRIO IDROSTATICO

Capitolo 2

Neutroni liberi

2.1 Equazione di stato del gas di Fermi

Consideriamo innanzitutto il modello di particelle piu semplice, ovvero quellodi neutroni liberi che costituiscono un gas di Fermi. E chiaro che non si trattadi un modello molto realistico, perche non tiene in considerazione fattori,come l’interazione nucleare o il fatto che nelle stelle di neutroni e presenteanche una frazione di protoni ed elettroni. Tuttavia ha valore pedagogicopoiche e il caso piu semplice da cui possiamo ottenere risultati ragionevolie perche abbiamo potuto confermare i risultati confrontandoli con il lavorogia svolto da altri autori. Vogliamo trovare un’espressione per la densita dienergia da inserire nelle equazioni di TOV.

A temperatura nulla, il gas di Fermi e completamente degenere, ed ecostituito da particelle che occupano gli stati disponibili meno energetici.Dal principio di indeterminazione di Heisenberg ∆x∆k ∼ h, dove indichiamocon k il momento, segue che il numero di particelle nell’unita di volume chepossiedono un certo momento k e dato da:

dn =g

(∆x)3= g

(∆k)3

h3= g

4πk2dk

(2π)3~3=

k2

π2~3dk

dove g = 2 e il fattore di degenerazione dovuta allo spin. Dunque:

n =

∫ kF

0

k2

π2~3dk =

k3F

3π2~3

dove kF e il momento di Fermi, ovvero il momento massimo permesso atemperatura zero. Invertendo troviamo kF = ~(3π2n)

13 .

La densita di energia e dε = Edn, con E =√k2c2 +m2c4, ovvero l’energia

relativistica di un neutrone libero, di massa m, con un certo momento k.

13

14 CAPITOLO 2. NEUTRONI LIBERI

Dunque:

ε =1

π2~3

∫ kF

0

√k2c2 +m2c4 k2 dk =

m4c5

π2~3

∫ kFmc

0

√u2 + 1u2 du =

=m4c5

8π2~3

[(2x3 + x)

√x2 + 1− sinh−1(x)

]dove x = kF

mce il parametro relativistico (o momento di Fermi adimensionale).

Cosı troviamo la pressione:

p = ndε

dn− ε = n

√k2F c

2 +m2c4 − ε =m4c5

3π2~3x3√x2 + 1− ε =

=m4c5

8π2~3

[(2

3x3 − x)

√x2 + 1 + sinh−1(x)

]In questo caso la pressione e la cosiddetta pressione di degenerazione

dovuta al principio di esclusione di Pauli, che non permette a due fermioniidentici di occupare lo stesso stato quantistico. L’equazione di stato che siottiene e la relazione implicita data dal sistema:{

ε(x) = ε[(2x3 + x)

√x2 + 1− sinh−1(x)

]p(x) = ε

[(2

3x3 − x)

√x2 + 1 + sinh−1(x)

] (2.1)

dove ε = m4c5

8π2~3 = 1.15 · 10−3M�c2km−3, e M� e l’unita di massa solare.

Consideriamo prima i casi limite di neutroni non-relativistici e ultra-relativistici, e successivamente neutroni con parametro relativistico arbitra-rio.

2.1.1 Neutroni non-relativistici

I neutroni non-relativistici possiedono momento molto piccolo rispetto allaloro massa a riposo, percio e valida l’approssimazione

ε =1

π2~3

∫ kF

0

√k2c2 +m2c4 k2 dk =

1

π2~3

∫ kF

0

mc2

√k2c2

m2c4+ 1 k2 dk ≈

≈ 1

π2~3

∫ kF

0

mc2(1 +k2

2m2c2)k2 dk =

1

π2~3

∫ kF

0

(mc2 +k2

2m)k2 dk =

=1

π2~3(mc2k

3F

3+

k5F

10m)

(2.2)

2.1. EQUAZIONE DI STATO DEL GAS DI FERMI 15

Quindi

p = ndε

dn− ε =

k3F

3π2~3(mc2 +

k2F

2m)− 1

π2~3(mc2k

3F

3+

k5F

10m) =

k5F

15π2~3m= Kε

53

con K =~2

15π2m(

3π2

mc2)53 = 9.55km2(M�c2)−

23 .

Abbiamo trovato l’equazione di stato di un politropo con γ = 53, quindi

ora possiamo risolvere le equazioni di TOV. Scelgiamo α = 1km, da cuiε0 = 0.08969M�c2km−3 e β = 0.7636km−3.

I risultati ottenuti sono in accordo con quelli esposti nell’articolo di R.Silbar e S. Reddy [1]. Mostriamo in tabella 2.1 i risultati per qualche valoreindicativo della pressione centrale p0. Troviamo il raggio della stella quandola pressione cambia segno nel processo di integrazione; osserviamo che questoavviene circa a p = 10−13. A destra ci sono i risultati delle equazioni di TOV(1.2), a sinistra delle equazioni di equilibrio newtoniane (1.1), ossia senza lecorrezioni di relativita generale.

p0 raggio massa p0 raggio massa10−2 10.4 3.08 10−2 7.5 0.9710−3 13.2 1.55 10−3 11.1 0.8810−4 16.6 0.77 10−4 15.3 0.6010−5 20.9 0.39 10−5 20.2 0.3510−6 26.4 0.19 10−6 25.9 0.19

Tabella 2.1: Tabella di massa e raggio delle stelle di neutroni per qualche valoredella pressione centrale. Nella colonna di destra ci sono i risultati delle equazionidi TOV, in quella di sinistra delle equazioni di equilibrio newtoniane. La pressionee espressa in unita ε0 = 0.08969M�c2km−3, il raggio in km e la massa in M�.

Mostriamo ora in figura 2.1 i grafici della pressione e della massa per ilvalore della pressione centrale p0 = 10−4. La curva piu sottile corrisponde allasoluzione per le equazioni newtoniane 1.1, la curva piu spessa per le equazionidi TOV 1.2. Notiamo che le correzioni relativistiche non sono trascurabili,poiche hanno l’effetto di diminuire la massa della stella.

16 CAPITOLO 2. NEUTRONI LIBERI

r (km)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

m(r

) [M

o]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

r [km]0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

p(r

)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

3−

10×

Figura 2.1: Andamento della massa (in alto) e della pressione (in basso) infunzione del raggio. La massa e espressa in M�, la pressione in 0.08969M�c2km−3

e il raggio in km. Con le correzioni relativistiche (linea scura) troviamo una massapiu piccola, visto che il loro contributo alle equazioni di TOV e quello di aumentarela gravita

2.1. EQUAZIONE DI STATO DEL GAS DI FERMI 17

Infine mostriamo il grafico massa su raggio in figura 2.2, per valori dipressione centrale p0 compresi tra 10−6 e 102, per le equazioni di TOV.Dal momento che abbiamo constatato che le correzioni relativistiche sonofondamentali, ora omettiamo il grafico per il caso newtoniano.

Osserviamo che a basse pressioni la massa e piccola e il raggio e grande.Aumentando la pressione la massa deve aumentare per mantenere la stabilita,quindi la gravita aumenta, la stella si comprime e il raggio diminuisce. Tut-tavia la massa della stella non puo aumentare indefinitamente, ma si osservaun punto di massimo nel grafico. La spiegazione della presenza di questolimite di massa massima richiede delle conoscenze di relativita generale, e sipuo trovare nella referenza [11].

R [km]5 10 15 20 25

M(R

) [M

o]

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 2.2: Grafico massa e raggio per stelle di neutroni non interagenti

18 CAPITOLO 2. NEUTRONI LIBERI

2.1.2 Neutroni ultra-relativistici

Consideriamo ora neutroni ultra-relativistici, ovvero neutroni con momentokF � mc. La densita puo essere approssimata a:

ε =1

π2~3

∫ kF

0

√k2c2 +m2c4 k2 dk ≈ 1

π2~3

∫ kF

0

ck3 dk =

=c

π2~3

k4F

4

(2.3)

Dunque:

p(ε) = ndε

dn− ε =

k3F

3π2~3ckF − ε =

4

3ε− ε =

1

3ε

Anche questa volta ci troviamo di fronte all’equazione di stato di un politropo,con K = 1

3e γ = 1, percio possiamo risolvere le equazioni di TOV (1.3), come

per i neutroni non-relativistici, riscritte in questo modo:

dp(r)

dr= −αp(r)M(r)

r243

[1 + 4πε0r3

M�c2p(r)

M(r)

] [1− 2R0

M(r)r

]−1

dM(r)

dr= βr2p(r)

(2.4)

Infatti se p = 13ε allora p = 1

3ε, quindi K = K = 1

3e α = 3R0 = 4.428km. Sce-

gliamo di nuovo la stessa unita di pressione e densita ε0 = 0.08969M�c2km−3,da cui otteniamo β = 3.374km−3.

Ci accorgiamo che i risultati sono assurdi: nel processo di integrazione lapressione non si annulla mai in un intervallo ragionevole, quindi il programmacalcola raggi ben maggiori di 100 km, totalmente in disaccordo con ogniosservazione. D’altronde le premesse stesse erano assurde, infatti si trattadi un caso limite non realistico, perche le particelle non possono essere tutteultra-relativistiche a qualunque densita.

2.2. NEUTRONI RELATIVISTICI 19

2.2 Neutroni relativistici

Riprendiamo ora l’equazione di stato (2.1) valida per qualsiasi valore delparametro relativistico x = kF

mc:{

ε(x) = ε[(2x3 + x)

√x2 + 1− sinh−1(x)

]p(x) = ε

[(2

3x3 − x)

√x2 + 1 + sinh−1(x)

] (2.5)

In questo caso generale non e possibile esplicitare p in funzione di ε o vice-versa. Cosa hanno fatto Silbar e Reddy?

Innanzitutto hanno diviso pressione e densita di energia per l’unita dimisura ε0 = 0.003006M�c2km−3, per considerare variabili adimensionali; poihanno messo in un grafico l’equazione di stato e ne hanno fatto un fit, conun’espressione che fosse in accordo con i casi limite visti in precedenza:

ε(p) = ap35 + bp (2.6)

Infatti se i neutroni sono non-relativistici, allora la pressione e piccola eprevale il primo termine; se i neutroni sono ultra-relativistici, la pressionee grande e prevale il secondo termine. I valori che sono stati ottenuti dalfit sono a = 2.4216 e b = 2.8663; con tali valori gli autori hanno risolto leequazioni di TOV, e ottenuto dei risultati per massa e raggio delle stelle dineutroni.

Cosa facciamo noi? Per prima cosa confrontiamo l’EoS con questo fit,rappresentandoli nello stesso grafico. Ci accorgiamo che non coincidono per-fettamente, anzi, l’errore relativo tra i due parte dall’ 8% a piccole pressionie scende verso lo zero a grandi pressioni, restando significativo a pressionimedie che interessano a noi. Quindi non si tratta di un fit abbastanza precisoper i nostri scopi.

Percio decidiamo di seguire un’altra strada: conoscendo una pressionep, possiamo ricavare numericamente il valore di x corrispondente, dal qualecalcoliamo la densita. Per fare questo utilizziamo il metodo di bisezione, checalcola la soluzione dell’equazione p(x) − p = 0. Questo metodo deve cono-scere gli estremi dell’intervallo in cui cercare la soluzione, e la precisione sux con cui trovarla. Ad ogni iterazione viene valutata l’equazione nel puntomedio dell’intervallo, e prosegue la ricerca nel semi-intervallo in cui l’equa-zione valutata agli estremi ha ancora segno diverso. Si interrompe quandol’intervallo considerato e minore della precisione indicata. Impostando unaprecisione di 10−12, molto piccola rispetto a qualunque x che ci interessa,scopriamo che il metodo funziona molto bene a qualunque pressione, quindie molto piu preciso del fit appena discusso.

20 CAPITOLO 2. NEUTRONI LIBERI

2.2.1 Risultati

Mostriamo una tabella 2.2 i risultati per le equazioni di TOV, ottenuti conil metodo di bisezione (colonna sinistra) e con l’equazione di stato fittata(2.6)(colonna destra).

p0 raggio massa p0 raggio massa1 5.8 0.58 1 6.3 0.6110−1 8.5 0.71 10−1 9.1 0.7710−2 12.5 0.64 10−2 13.4 0.7210−3 17.2 0.44 10−3 18.6 0.50

Tabella 2.2: Tabella di massa e raggio. Nella colonna di sinistra ci sono i risultatiper l’equazione di stato calcolata con il metodo di bisezione, in quella di destraper l’equazione fittata. La pressione e espressa in unita ε0 = 0.003006M�c2km−3,il raggio in km e la massa in M�.

Mostriamo ora in figura 2.3 i grafici per la massa e la pressione in funzionedella distanza dal centro della stella, calcolati con l’EoS esatta, per unapressione iniziale di 10−2.

2.2. NEUTRONI RELATIVISTICI 21

r (km)0 2 4 6 8 10 12

m(r

) [M

o]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

r [km]0 2 4 6 8 10 12

p(r

)

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Figura 2.3: Massa (in M�) e pressione (0.003006M�c2km−3) in funzione delraggio (km)

22 CAPITOLO 2. NEUTRONI LIBERI

In figura 2.4 mostriamo le curve di stabilita, per un range di pressioniiniziali tra 10−6 a 100, ottenute con l’equazione di stato esatta e con il fit.Confrontandole, notiamo come l’errore del fit si trasmette sulla massa, re-stando in media attorno a 6%. Osserviamo che rispetto al caso di neutroninon-relativistici (figura 2.2) la massa massima diminuisce, e non raggiungenemmeno i valori standard per le stelle di neutroni. Nel capitolo seguentescopriremo come questi vengano raggiunti se consideriamo nell’EoS anchel’interazione nucleare che agisce sui neutroni.

R [km]5 10 15 20 25 30 35 40

M(R

) [M

o]

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Figura 2.4: Curve di stabilita delle stelle di neutroni liberi relativistici. La piusottile e ottenuta con il fit, quella piu spessa con l’equazione di stato esatta

Capitolo 3

Neutroni interagenti

3.1 Un semplice modello di equazione di sta-

to

Prendiamo in considerazione un modello nucleare differente da quanto vistoprima, e piu realistico: supponiamo che esista una piccola frazione di protonied elettroni all’interno della stella, che garantisca la neutralita di carica. Sup-poniamo anche che ci sia equilibrio beta e che i neutroni e i protoni non sianoliberi, ma abbiano una certa energia potenziale dovuta alla forte interazionenucleare, che dipende dalla densita totale di particelle n e dal parametrodi asimmetria I = nN−nP

n, dove nN e nP sono rispettivamente la densita di

neutroni e di protoni. Consideriamo materia nucleare uniforme, trascurandol’interazione coulombiana e il contributo all’energia degli elettroni [7].

L’ipotesi piu semplice che possiamo fare e che questa energia per particellasia una serie di potenze della densita:

v(n, I) =N∑i=1

(aNi,0 + aNi,2I2)ni

dove i coefficienti sono a loro volta serie di potenze di I, e dipendono dall’or-dine di arresto N . Il motivo per cui inseriamo soltanto le potenze pari di I eil fatto che l’energia deve essere pari sotto lo scambio di protoni e neutroni,siccome l’interazione nucleare non dipende dallo stato di carica delle parti-celle [12]. Questa proprieta e chiamata indipendenza di carica. Arrestiamoquesta serie al II ordine con buona precisione [7].

Inoltre l’energia per particella conterra anche un termine cinetico, cheprendiamo uguale a quello dei neutroni liberi non-relativistici. La densita

23

24 CAPITOLO 3. NEUTRONI INTERAGENTI

totale di energia cinetica e:

n t(n, I) =3~2

10m(3π2)

23 (n

53N + n

53P ) =

3~2(3π2)23

10m(n

2)53 ((1 + I)

53 + (1− I)

53 )

dove m e la massa media di protone e neutrone. Dunque:

t(n, I) =3~2

10m(3π2

2)23 (n

2)23 ((1+I)

53 +(1−I)

53 ) =

t02

(n

n0

)23 ((1+I)

53 +(1−I)

53 )

dove n0 = 0.16fm−3 e la densita di saturazione dei nuclei e t0 = 3~210m

(3π2

2)23 (n0)

23

e l’energia cinetica di un neutrone libero alla densita n0 nella materia sim-metrica (ovvero quando I = 0), e vale circa 22 MeV. Percio l’energia perparticella e:

e(n, t) = t(n, I) + v(n, I) =t02

(n

n0

)23 ((1 + I)

53 + (1− I)

53 ) +

N∑i=1

(aNi,0 +aNi,2I2)ni

(3.1)Prima di ricavare l’EoS, dobbiamo studiare un modo per calcolare i coef-

ficienti aNi,0 e aNi,2. All’interno di una stella di neutroni si esplorano svariatiordini di grandezza di densita, cosı elevati che sono impossibili da studiare inlaboratorio. Conosciamo le proprieta della materia simmetrica solo attornoalla densita di saturazione dei nuclei, percio sviluppiamo la funzione e(n, I)attorno a I = 0 al II ordine e successivamente attorno a n = n0 al I ordine:

e(n, I) = e(n, I = 0) + esym(n)I2 = e0 + (J +desym(n)

dn|n=n0(n− n0))I2 =

= e0 + (J +L

3n0

(n− n0))I2

dove esym(n) = 12∂2

∂I2e(n, I)|I=0 e chiamata energia di simmetria, e0 e l’e-

nergia per particella a n = n0 e I = 0, ∂∂ne(n, I = 0)|n=0 = 0 perche la

materia simmetrica, o l’interno dei nuclei con N circa uguale a Z, han-no una densita di equilibrio (in cui l’energia e minima) pari a n0. InoltreJ ≡ esym(n0) e L ≡ 3n0

desymdn

(n)|n=n0 sono grandezze molto studiate in lette-ratura perche caratterizzano l’energia della materia nucleare non simmetricae hanno particolare impatto nello studio di materia neutronica uniforme.

Sviluppando allo stesso modo l’espressione (3.1) otteniamo:

e(n, I) = t0(n

n0

)23 +

2∑i=0

a2i,0n

i + (5

9t0(

n

n0

)23 + a1,2n+ a2,2n

2)I2 =

= t0 + a1,0n0 + a2,0n20 +

[(5

9t0 + a1,2n0 + a2,2n

20) + (

10

27

t0n0

+ a1,2 + 2a2,2n0)(n− n0)

]I2

3.2. RISULTATI 25

Uguagliando i rispettivi termini dell’equazione precedente, troviamo leseguenti relazioni:

a1,0 =1

n0

(−4

3t0 + 2e0)

a2,0 =1

n20

(1

3t0 − e0)

a1,2 =1

n0

(−20

27t0 + 2J − 1

3L)

a2,2 =1

n20

(5

27t0 − J +

1

3L)

(3.2)

Abbiamo capito che i coefficienti nell’espressione dell’energia per particel-la sono legati a grandezze fisiche semi-empiriche. Aggiungiamo ora il termineper l’energia di massa e troviamo l’equazione di stato:

e(n, t) =t02

(n

n0

)23 ((1 + I)

53 + (1− I)

53 ) +

N∑i=1

(aNi,0 + aNi,2I2)ni +mc2

ε(n, I) =

t02

n5/3

n2/30

((1 + I)53 + (1− I)

53 ) +

2∑i=1

(ai,0 + ai,2I2)ni+1 + nmc2

p(n, I) =t03

n5/3

n2/30

((1 + I)53 + (1− I)

53 ) +

2∑i=1

(ai,0 + ai,2I2)i ni+1

(3.3)L’equazione di stato e la relazione implicita tra p e ε data dal sistema.

3.2 Risultati

Fissiamo i parametri [13] e0 = −16.0MeV, n0 = 0.16fm−3, J = 31.5MeV,L = 60MeV e otteniamo t0 = 22.10MeV, a1,0 = −384.17MeVfm3, a1,2 =166.43MeVfm3, a2,0 = 912.76MeVfm6, a2,2 = −289.35MeVfm6. Approssia-miamo il parametro di asimmetria a I = 1, cioe consideriamo materia neutro-nica, e scegliamo di nuovo come unita di pressione ε0 = 0.003006M�c2km−3.Ora abbiamo tutte le informazioni necessarie per ricavare la EoS (con ilmetodo di bisezione) e risolvere le equazioni di TOV (1.2).

Mostriamo in tabella 3.1 i risultati ottenuti per qualche valore indicativodei valori centrali di densita e pressione, mentre la figura 3.1 mostra il graficomassa e raggio per valori della pressione centrale p0 compresi tra 10−6 e 102.Confrontando con la figura 2.4, osserviamo quanto sia importante considerareanche l’energia di interazione nucleare nell’equazione di stato, visto che orala massa raggiunge i valori standard per le stelle di neutroni.

26 CAPITOLO 3. NEUTRONI INTERAGENTI

n p0 raggio massa0.16 9.3 · 10−4 11.1 0.250.30 7.2 · 10−3 12.1 0.940.50 3.7 · 10−2 11.9 1.670.70 1.1 · 10−1 10.8 1.841.00 3.3 · 10−1 9.5 1.742.00 2.8 7.9 1.31

Tabella 3.1: Tabella di massa e raggio. La densita e espressa in fm−3, la pressionein ε0 = 0.003006M�c2km−3, il raggio in km e la massa in M�.

R [km]8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

M(R

) [M

o]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figura 3.1: Grafico massa e raggio per neutroni interagenti

3.2. RISULTATI 27

3.2.1 Discussione dei risultati

Le grandezze e0 e n0 sono conosciute con buona precisione, mentre J e Lhanno un largo margine di incertezza. Infatti l’attuale conoscenza sperimen-tale e teorica ci porta a stimare J tra 28 e 34 MeV e L tra 30 e 90 MeV [13].Osserviamo allora in figura 3.2 qual e la regione nel piano massa e raggioche puo essere prodotta dal nostro modello, combinando i valori massimi eminimi di questi due parametri.

R [km]6 8 10 12 14 16 18 20

M(R

) [M

o]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Esym= 33, Lsym= 30

Esym= 28, Lsym= 30

Esym= 33, Lsym= 90

Esym= 28, Lsym= 90

Figura 3.2: Massa e raggio per diversi valori dell’energia di simmetria (in MeV):J = 28, L = 30 (curva rossa); J = 28, L = 90 (verde); J = 34, L = 30 (gialla);J = 34, L = 90 (blu)

Sappiamo tuttavia che i parametri J e L non sono indipendenti, ma esisteuna correlazione tra i due, infatti diversi modelli nucleari convengono cheesym(0.1fm−3) = 23± 1MeV [14]. Ricordando che vicino alla densita n0 valel’approssimazione: esym(n) = J + n−n0

3n0L, troviamo:

J = 23MeV +1

8L (3.4)

28 CAPITOLO 3. NEUTRONI INTERAGENTI

R [km]6 8 10 12 14 16 18 20

M(R

) [M

o]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Esym= 33, Lsym= 80

Esym= 27, Lsym= 30

Esym= 34, Lsym= 90

Esym= 28, Lsym= 40

Figura 3.3: Massa e raggio per diversi valori dell’energia di simmetria (in MeV):J = 27, L = 30 (curva rossa); J = 28, L = 40 (verde); J = 33, L = 80 (gialla);J = 34, L = 90 (blu). Soltanto le ultime due raggiungono la massa di 2M�. Iparametri sono correlati tramite la relazione (3.4)

Mostriamo percio in figura 3.3 i risultati con i valori correlati dati da que-sta relazione. Notiamo che a parita di massa, aumentando i due parametri,aumenta il raggio della stella. Cerchiamo di dare una spiegazione qualitativadi questo fatto.

Studiamo il grafico dell’energia di simmetria esym(n) = 59t0( n

n0)23 + a1,2 +

a2,2n2, dove ricordiamo che i coefficienti a1,2 e a2,2 dipendono da J e L. Per

diversi valori di J avremmo tante possibili curve al variare di L, ma datala relazione precedente (3.4) tra i due, quest’ultimo e determinato una voltafissato J . Quindi ci troviamo di fronte a un set di curve passanti per un punto(figura 3.4), che crescono piu rapidamente per alti valori dei due parametri,e piu lentamente per valori bassi.

Notiamo dallo stesso grafico che a densita superiori di 0.1fm−3 la pen-denza dell’energia e maggiore per le curve con L maggiore, mentre a piccoledensita e maggiore se L e piccolo. Ricordiamo che la pressione e propor-zionale alla derivata dell’energia per particella. Valutiamo qual e il range didensita predominante in una stella di neutroni standard, con una massa circa

3.2. RISULTATI 29

n [fm^­3]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

e_sym

[M

eV

]

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Figura 3.4: Energia di simmetria in funzione della densita. Sono rappresentatele curve limite, quelle con i valori (in MeV): J = 27, L = 30 (piu bassa) e J =34, L = 90 (piu ripida)

r [km]0 2 4 6 8 10 12

n(r

) [fm

^­3]

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Figura 3.5: Densita di particelle interna a una stella di neutroni con massastandard di 1.4M�. In quasi tutta la stella questa e maggiore della densita mediadei nuclei ordinari (linea tratteggiata)

30 CAPITOLO 3. NEUTRONI INTERAGENTI

M = 1.4M�.In figura 3.5 vediamo subito che contribuiscono maggiormente le densita

piu grandi di 0.1fm−3, quindi in media la pressione aumenta all’aumentaredi L. Percio i neutroni sono soggetti a una forza piu intensa provenientedall’interno e, a parita di massa, il raggio aumenta.

Ci chiediamo infine se le curve disegnate in figura 3.3 riflettono le osser-vazioni sperimentali: tutte attraversano valori standard di massa e raggio,tuttavia solo quelle con valori massimi dei parametri J e L raggiungono unamassa M = 2M�, che e la piu grande massa osservata per una stella dineutroni [3]. Dunque il modello di equazione di stato da noi presentato ecompatibile con i risultati sperimentali per J ∼ 33-34MeV e L ∼ 80-90MeV.

Conclusioni

L’obiettivo del lavoro di tesi era risolvere le equazioni di TOV per model-li nucleari molto semplici. I risultati per neutroni liberi sono gia noti inletteratura [1], per cui abbiamo potuto trovare conferma dei nostri calco-li. Successivamente abbiamo preso in considerazione un’equazione di statopolinomiale, che e stata costruita supponendo che l’energia potenziale peri neutroni fosse espressa come serie di potenze della densita. Conoscendoal punto di saturazione n0 = 0.16fm−3 l’energia di saturazione e0, l’energiadi simmetria J = 31 ± 3MeV e la sua derivata L = 60 ± 30MeV, abbiamotrovato dei legami tra queste grandezze e i parametri dell’EoS, sviluppandol’energia per particella e(n, I) in serie di Taylor al I ordine in n e al II ordinein I, centrata in n0 e I = 1.

Abbiamo trovato cosı risultati soddisfacenti per densita centrali compresetra 3 e 5 volte n0, corrispondenti a pressioni centrali di circa 1034Pa. Studian-do quindi il variare delle soluzioni delle equazioni di TOV per diversi valoriaccettabili dei parametri J e L, abbiamo scoperto che a parita di massa ilraggio della stella di neutroni aumenta all’aumentare di questi due parame-tri. E noto che tali parametri non sono indipendenti ma correlati tra loro,ed e stata utilizzata questa correlazione.

Inoltre, confrontando le osservazioni con il nostro modello, abbiamo sco-perto che questo, nonostante sia semplificato, e valido per alcuni valori dei pa-rametri che sono compatibili con gli esperimenti. Infatti riproduce le osserva-zioni di 2 masse solari, che e la piu grande massa misurata, per J ∼ 33-34MeVe L ∼ 80-90MeV.

Infine, ribadiamo che questo modello non e troppo realistico perche nontiene in considerazione il fatto che le stelle di neutroni non sono composte damateria uniforme, ma presentano in realta una struttura piu complessa. Tut-tavia e adatto a descriverne le proprieta generali, e lo si potrebbe miglioraresviluppando l’equazione di stato polinomiale ad ordini successivi, trovandocosı risultati piu affidabili.

Naturalmente non esiste alcuna garanzia che la vera equazione di statoper la materia neutronica abbia una forma polinomiale. Tuttavia tale for-

31

32 CAPITOLO 3. NEUTRONI INTERAGENTI

ma permette di legare in maniera molto semplice i parametri calcolati conle proprieta della materia nucleare. In una prospettiva piu vasta, e possi-bile pensare in che misura tale equazione di stato riproduca o meno calcolirealistici della materia neutronica.

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