DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH WYKŁAD 3dana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/2017/w/w3_Dynamika_20-03... · Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej obracającej się wokół

1 FIZYKA – wykład 3

DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

WYKŁAD 3

Obłok Oorta

Pas Kupiera

Pluton

Neptun

Uran

Saturn

Jowisz

Planetoidy

Mars

Księżyc

Ziemia

Wenus

Merkury

Słońce

Układ planetarny, w którym planety i Słońce można traktować jak układ punktów materialnych

UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH – zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej

konfiguracji przestrzennej.


Załóżmy, że układ jest złożony z n punktów materialnych

o masach: .

Środkiem masy albo środkiem bezwładności

tego układu nazywamy punkt S, którego położenie

dane jest wzorem:

(3.1)

DEFINICJE:

ŚRODEK MASY

n

i

iiS rmM

r1

1

n

i

imM1

gdzie:

Sr

ir

- promień wodzący i-tego punktu materialnego

- promień wodzący środka masy

(3.2)


(3.3)

(3.4)

Środek masy c.d.

Obiekt o ciągłym rozkładzie masy

W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli

na n- małych części o masach , Wzór (4.1)

przyjmuje wtedy postać: nmmm ,...,, 21

n

i

i

n

i

ii

S

m

rm

r

1

1

Gdy liczba części , wtedy n

n

i

i

n

i

ii

nS

m

rm

r

1

1lim

Granice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami oznaczonymi, stąd

PROMIEŃ

WODZĄCY ŚRODKA MASY:

V

M

M

S dVrM

dm

dmr

r0

0

0 1

przy czym oznacza całkowitą masę; a Mdm

M

0

- gęstość ciała.


(3.5)

(3.6)

Środek masy c.d.

3.2. PĘD UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy

obliczyć jako sumę pędów wszystkich n- punktów materialnych ciała:

n

i

iivmp1

Pamiętając o wyrażeniu na prędkość:

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii rmdt

d

dt

rdmvmp

111

Po podstawieniu do wyrażenia (3.6) wzoru (3.1) , otrzymamy:

(przypomnienie)

SS

S vMdt

rdMrM

dt

dp

pęd środka

masy układu

(3.7)

Zatem:

Suma pędów układu

Punktów materialnych = Pędowi jego środka masy

(3.8)


(3.9)

(3.10)

PRĘDKOŚĆ ŚRODKA MASY:

Inna postać równania ruchu środka masy układu: wypSS FaM

dt

vdM

Środek masy układu punktu materialnych porusza się tak, jak punkt materialny, w którym

skupiona jest całkowita masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych

przyłożonych do układu.

3.3 UOGÓLNIONA II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA I RÓWNANIE ŚRODKA MASY UKŁADU:

nn F

dt

pdF

dt

pdF

dt

pdF

dt

pd

,...,,, 33

22

11

Sumując stronami: , oraz uwzględniając zależność

n

i

i

n

i

i Fdt

pd

11

n

i

ism F

dt

pd

1

dt

pd

dt

pd smn

i

i

1

Otrzymujemy równanie

ruchu środka masy układu :

Z powyższego równania wynika, że:

Jest to twierdzenie o ruchu środka masy.

(3.11)


Gdy , to przyspieszenie środka masy jest równe zeru, czyli środek masy albo

porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, albo spoczywa.

(3.13)

(3.12)

Dynamika układu punktów materialnych

Ze wzoru (4.20) wynika, że na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne

)()( z

i

w

iii FFF

dt

pd

Oddziaływania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki),

zatem:

n

i

z

i

n

i

i Fdt

pd

1

)(

1

(3.14)

WNIOSKI:

Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu.

0)( zF


Dynamika punktu materialnego

3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Układ odosobniony (zamknięty, izolowany): jest to układ, na który nie działają

żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego

układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).

Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach .Ciała te mają prędkości

. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: – siła, jaką ciało

k-te działa na ciało i-te.

nmmm ,...,, 21

nvvv ,...,, 21 ikF

Z II zasady dynamiki Newtona:

nFFFvmdt

d1131211 ...

wypFdt

pd

nFFFvmdt

d2232122 ...

nnnnnn FFFvmdt

d ...21

…

112112

1

...

nnnn

n

i

ii FFFFvmdt

d Dodając stronami

powyższe równania: (3.15)


(3.16)

(3.17)

Zasada zachowania pędu c.d.

Z III zasady dynamiki Newtona mamy: kiik FF

Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania (4.25), otrzymujemy:

n

i

ii

n

i

ii vmdt

dvm

dt

d

11

0

Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:

n

i

ii

n

i

i vmpp11

Ostatecznie, otrzymujemy:

0dt

pd

constp

stąd (3.18)

Suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała.

ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU


(3.19)

(3.20)

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D.

Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły zewnętrznej a dokładniej: układ sił

zewnętrznych, których wypadkową jest .

Wtedy druga zasada dynamiki Newtona dla układu N punktów materialnych:

,0)( z

wypF

Jeżeli to

)( z

wypF

constp

Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub oddziałujące siły się równoważą, to pęd układu

pozostaje stały.

Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:

Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał

w dowolnym momencie późniejszym.

(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:


Zasada zachowania pędu - konsekwencje

Przykład: ”rakieta” z butelki

Z butelki plastikowej, w połowie wypełnionej wodą i odwróconą do góry dnem, wypompowujemy

powietrze. Zwolnienie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę.

Pęd układu pozostaje równy zeru.


DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ (Czy istnieje idealna bryła sztywna?)

Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej

masie ciała: M

n

i

imM1

Bryła sztywna ,to takie ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległości

między dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi pozostają stałe.

Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych.

Rodzaje ruchu bryły sztywnej:

Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczony i fizyk -Archimedes (około 287-212 p.n.e.).

W całym antycznym świecie śruba Archimedesa używana była do podnoszenia poziomu wody.

a) ruch postępowy- dowolny odcinek łączący dwa punkty

bryły zachowuje stale położenie do siebie równoległe.

W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły zakreślają takie same tory,

maja jednakowe prędkości i przyspiezenia.

b) ruch obrotowy – wszystkie punkty danego ciała

poruszają się po okręgach, których środki znajdują się

na jednej prostej – osi obrotu.

3.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ


(3.21)

(3.22)

Ruch obrotowy c.d.

Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy (przypomnienie):

Okres, T (1s)- czas, w którym ciało wykonuje jeden pełen

obrót.

Częstotliwość, - liczba obrotów wykonanych

przez ciało w czasie jednej sekundy; odwrotność okresu.

Częstość kołowa - zwana też predkością prędkością

kątową, kąt zakreślony w jednostce czasu przez ciało

będące w ruchu obrotowym.

)11( 1 Hzs

… i ich wzajemne związki:

(3.23)

2

2

dt

d

dt

d (3.24)

przyspieszenie kątowe



MOMENT SIŁY

Rozważmy ruch bryły sztywnej wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu ciała. Umieśćmy w

tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech oznacza wypadkową wszystkich sił

zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.

.

iF

Moment siły względem punktu O: iF

iii FrM

(3.25) (definicja wektorowa)


(4.26)

(3.27)

MOMENT BEZWŁADNOŚCI UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

. 3.5.1 MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI bryły sztywnej względem pewnej osi nazywamy

wyrażenie:

W przypadku ciał rzeczywistych, a więc takich dla których masa

jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji

pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności:

Gdzie: r2- oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.

Momenty bezwładności kilku popularnych brył:

a) rura

b) walec pełny

c) kula

d) pręt

POSTAĆ CAŁKOWA:

(WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY)


d

O O’

m

(3.28)

Dynamika bryły sztywnej

3.5.2. TWIERDZENIE STEINERA (twierdzenie o osiach równoległych)

Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała ( ) względem pewnej

osi obrotu ( ), ale ciało obraca się względem innej osi ( ),

równoległej do niej (rys). O

Jeżeli moment bezwładności bryły o masie M liczony

względem osi przechodzącej przez jej środek masy wynosi I0, to

moment bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do

poprzedniej i oddalonej od niej o d jest równy :

'O

2

0 mdII

WNIOSKI: * Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu.

*Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności

ciała względem tej osi wzrasta.


(3.29)

(3.30)

3.5.3. RÓWNANIE NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO


II Zasada dynamiki Newtona

dla ruchu obrotowego z

z

I

M

Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej obracającej się wokół nieruchomej osi jest wprost

proporcjonalne do wypadkowego momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych

działających na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała.


(3.31)

(3.32)


Momentu pędu

Związek między momentem

pędu a prędkością kątową

def.

Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły sztywnej zawsze są równoległe?


(4.33)


Równanie ruchu obrotowego –c.d.

Równanie Newtona dla ruchu obrotowego wiąże moment siły działającej na punkt materialny

będący w ruchu obrotowym z pochodną po czasie jego momentu pędu.

Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się

wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił zewnętrznych działających na ciało.


(3.34)

3.5.4. ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt

Ld

wynika wprost: tconstLdt

LdM

00

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa

się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.

Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego

punktu nieruchomego jest stały.

Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to

moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)



(3.45)

3.5.5. ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO


2

2IEK

Aby zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu

dużą prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności.

Można to zrealizować zwiększając masę ciała, co nie zawsze jest wygodne w praktyce,

a można też (i to skuteczniej, bo zależność od kwadratu) poprzez rozmieszczenie masy

w możliwie dużej odległości od osi obrotu.

WNIOSEK:

Energia kinetyczna ciała

w ruchu obrotowym


Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej.

Który pierwszy osiągnie podstawę ? Co jest powodem tej różnicy?


Przykład. (Rola momentu bezwładności)


Dziękuję za uwagę !

Documents

DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH WYKŁAD 3dana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2016/2017/w/w3_Dynamika_20-03... · Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej obracającej się wokół