Dyadic Notations

8/3/2019 Dyadic Notations

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Here are some notes on vector and dyadic tensor notation similar towhat I will be using in class, with just a couple of changes innotation.

Notes = Dowling

= British notation for Cross-Product vs. American (Dowlings)

A =

A Notation for Vector vs. Standard (Dowlings).B =

B Notation for Dyadic Tensor vs. Standard (Dowlings).

With these notes you should be able to make sense of the expressionsin the vector identities pages below that involve the dyadic tensor T.

(Notes courtesy of Peter Littlewood, University of Cambridge.)

The vector identity pages are from the NRL Plasma Formulary orderyour very own online or download the entire thing at:

http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/

--JPD


2/22

VECTOR IDENTITIES4

Notation: f, g, are scalars; A, B, etc., are vectors; T is a tensor; I is the unitdyad.

(1) A BC = AB C = B CA = BC A = C AB = CA B

(2) A (B C) = (C B) A = (A C)B (A B)C

(3) A (B C) + B (C A) + C (A B) = 0

(4) (A B) (C D) = (A C)(B D) (A D)(B C)

(5) (A B) (C D) = (A B D)C (A B C)D

(6) (f g) = (gf) = fg + gf

(7) (fA) = f A + A f

(8) (fA) = f A + f A

(9) (A B) = B A A B

(10) (A B) = A( B) B( A) + (B )A (A )B

(11) A ( B) = (B) A (A )B

(12) (A B) = A ( B) + B ( A) + (A )B + (B )A

(13) 2f = f

(14) 2A = ( A) A

(15) f = 0

(16) A = 0

If e1, e2, e3 are orthonormal unit vectors, a second-order tensor T can bewritten in the dyadic form

(17) T =

i,jTijeiej

In cartesian coordinates the divergence of a tensor is a vector with components

(18) (T)i = j(Tji/xj)[This definition is required for consistency with Eq. (29)]. In general

(19) (AB) = ( A)B + (A )B

(20) (fT) = fT+fT

4


3/22

Let r = ix + jy + kz be the radius vector of magnitude r, from the origin tothe point x , y , z. Then

(21) r = 3

(22) r = 0

(23) r = r/r

(24) (1/r) = r/r3

(25) (r/r3) = 4(r)

(26) r = I

If V is a volume enclosed by a surface S and dS = ndS, where n is the unitnormal outward from V,

(27)V

dV

f =S

dSf

(28)

V

dV A =

S

dS A

(29)

V

dVT =

S

dS T

(30) V

dV A = S

dS A

(31)

V

dV(f2g g2f) =

S

dS (fg gf)

(32)

V

dV(A B B A)

=

S

dS (B A A B)

If S is an open surface bounded by the contour C, of which the line element isdl,

(33)

S

dS f =

C

dlf

5


4/22

(34)

S

dS A =

C

dl A

(35)

S

(dS ) A =

C

dl A

(36)

S

dS (fg) =

C

f dg =

C

gdf

6


5/22

E X A M P L E S C L A S S I N M A T H E M A T I C A L P H Y S I C S

V . I n t r o d u c t i o n t o T e n s o r s 3 . 2 . 9 9

C o m m e n t a r y : T h i s i s t h e r s t o f t w o s h e e t s o n t e n s o r s t h e s e c o n d w i l l c o m e i n c l a s s

V I I I . T e n s o r s h a v e m a n y a p p l i c a t i o n s i n t h e o r e t i c a l p h y s i c s , n o t o n l y i n p o l a r i z a t i o n p r o b -

l e m s l i k e t h e o n e s d e s c r i b e d b e l o w , b u t i n d y n a m i c s , e l a s t i c i t y , u i d m e c h a n i c s , q u a n t u m

t h e o r y , e t c . . T h e m a t h e m a t i c a l a p p a r a t u s f o r d e a l i n g w i t h t e n s o r p r o b l e m s m a y n o t y e t

b e f a m i l i a r , s o t h i s s h e e t c o n t a i n s q u i t e a h i g h p r o p o r t i o n o f f o r m a l m a t e r i a l .

S e c t i o n A i n t r o d u c e s t h e c o n c e p t o f a t e n s o r i n t h i s c a s e , a l i n e a r o p e r a t o r t h a t

t r a n s f o r m s o n e v e c t o r i n t o a n o t h e r i n t h e p h y s i c a l c o n t e x t o f s t u d y i n g t h e p o l a r i s a t i o n o f

a n a s p h e r i c a l m o l e c u l e .

S e c t i o n B s u m m a r i z e s v a r i o u s m a t h e m a t i c a l a n d n o t a t i o n a l i d e a s t h a t a r e u s e f u l i n

p h y s i c s t h e s e i n c l u d e s u x n o t a t i o n , a n d c o n c e p t s s u c h a s t h e o u t e r p r o d u c t o f t w o v e c t o r s ,

a n d p r o j e c t i o n o p e r a t o r s . T h e s e a r e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s w h i c h t a k e t h e p r o j e c t i o n o r

c o m p o n e n t o f a v e c t o r a l o n g a p a r t i c u l a r d i r e c t i o n .

S e c t i o n C r e t u r n s t o a p h y s i c a l p r o b l e m a l s o a b o u t p o l a r i z a t i o n a n d l e a d s t o a d i s -

c u s s i o n o f p r i n c i p a l a x e s , e i g e n v e c t o r s a n d e i g e n v a l u e s o f t e n s o r q u a n t i t i e s .

S e c t i o n D i n t r o d u c e s t h e p r o p e r t i e s o f t h e a n t i s y m m e t r i c t h i r d - r a n k t e n s o r

i j k

w h i c h

c a n b e u s e d t o d e r i v e m a n y r e s u l t s i n v e c t o r c a l c u l u s m u c h m o r e r a p i d l y t h a n b y o t h e r

m e t h o d s . T h i s g r o u n d w i l l b e c o v e r e d a g a i n i n s h e e t V I I I s o i t d o e s n ' t m a t t e r i f y o u r u n

o u t o f t i m e .


6/22

A . I n t r o d u c t i o n

W e o f t e n n d v e c t o r s t h a t a r e l i n e a r l y r e l a t e d t o o t h e r v e c t o r s , f o r i n s t a n c e t h e p o l a r -

i s a t i o n P i n d u c e d i n a m e d i u m b y a p p l y i n g a e l d E

P =

0

E 1

H e r e P a n d E a r e p a r a l l e l . T h e i r c a r t e s i a n c o m p o n e n t s a r e r e l a t e d t o e a c h o t h e r b y

t h e s a m e c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y

0

f o r e a c h c o m p o n e n t . H e r e w e h a v e d e n o t e d

v e c t o r s b y u n d e r l i n i n g s a s o n e w o u l d d o i f w r i t i n g t h i s o u t b y h a n d . U s u a l l y b o o k s d e n o t e

v e c t o r s b y b o l d t y p e i n t h e r e s t o f t h i s s h e e t w e t r e a t t h e t w o n o t a t i o n s a s c o m p l e t e l y

i n t e r c h a n g e a b l e .

I t i s p o s s i b l e t o i m a g i n e s i t u a t i o n s w h e r e t h e m e d i u m i s a n i s o t r o p i c a n d t h e r e s p o n s e

f a c t o r

0

i n 1 i s d i e r e n t f o r c o m p o n e n t s i n d i e r e n t d i r e c t i o n s . T h e t w o v e c t o r s P a n d

E a r e n o l o n g e r n e c e s s a r i l y p a r a l l e l a n d w h a t c o n n e c t s t h e m i s c a l l e d a t e n s o r . W e w i l l

u s e s i m p l e m o d e l o f m o l e c u l a r p o l a r i s a b i l i t y t o s h o w t h e u n d e r l y i n g p h y s i c s a n d i n t r o d u c e

t h e i d e a s o f t e n s o r s .

A 1 . A n E l e c t r o s t a t i c s P r o b l e m . T h e d i a c e t y l e n e m o l e c u l e , H - C C - C C - H i s

h i g h l y p o l a r i s a b l e a l o n g i t s l o n g a x i s , p

k

=

k

E

k

b e i n g t h e i n d u c e d d i p o l e f o r a e l d E

k

a p p l i e d a l o n g t h e m o l e c u l e . T h e r e s p o n s e t o p e r p e n d i c u l a r e l d s i s p

?

=

?

E

?

w h e r e

?

k

. L e t t h e c y l i n d r i c a l m o l e c u l e p o i n t i n t h e 1 1 0 d i r e c t i o n a n d a p p l y a e l d i n

t h e x d i r e c t i o n : E = E

x

x

i P r o v e :

p

x

=

k

+

?

E

x

= 2 2

p

y

=

k

?

E

x

= 2 3

p

z

= 0 4

2


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H e n c e o n e s e e s t h a t p a n d E a r e n o t p a r a l l e l a n d i n g e n e r a l w e m u s t w r i t e

p = E 5

w h e r e i s t h e p o l a r i s a b i l i t y t e n s o r . T e n s o r s a r e w r i t t e n w i t h a d o u b l e u n d e r l i n e a s

m a t r i c i e s o f t e n a r e o r i n b o o k s s o m e t i m e s a s d o u b l y b o l d " b o l d s a n s s e r i f t y p e f a c e

c h a r a c t e r s . I n c o m p o n e n t f o r m 5 i s

p

x

=

x x

E

x

+

x y

E

y

+

x z

E

z

6

p

y

=

y x

E

x

+

y y

E

y

+

y z

E

z

7

p

z

=

z x

E

x

+

z y

E

y

+

z z

E

z

8

i i W h a t a r e t h e c o e c i e n t s

i j

e x p l i c i t l y f o r t h e a b o v e e x a m p l e ? W r i t e a s a m a t r i x o f i t s

c o m p o n e n t s . N o t e t h a t , a l t h o u g h t h e t e n s o r i s t h e s a m e p h y s i c a l e n t i t y i n a l l c o o r d i n a t e

s y s t e m s i t r e l a t e s p w i t h E i n w h a t e v e r b a s i s t h e s e a r e e x p r e s s e d , i t s c o m p o n e n t s

i j

d e p e n d o n t h e c o o r d i n a t e s y s t e m u s e d .

R e m a r k : I f m a n y m o l e c u l e s a r e p r e s e n t w i t h t h e s a m e o r i e n t a t i o n , P i s p w h e r e t h e r e

a r e m o l e c u l e s p e r u n i t v o l u m e . A h y p o t h e t i c a l d i a c e t y l e n e s o l i d m i g h t c o n s i s t o f s u c h

r o d s a r r a n g e d i n a n a r r a y , a l l d i r e c t e d a l o n g 1 1 0 . T h e n t h e m a c r o s c o p i c t o r e p l a c e

i n 1 w o u l d n e g l e c t i n g i n t e r n a l e l d c o r r e c t i o n s b e .

B . M i s c e l l a n e o u s I d e a s a n d N o t a t i o n s

B 1 . S u x n o t a t i o n : C o m m o n l y , s u c e s s u c h a s i a n d j a r e d u m m y s y m b o l s a n d

w h e n r e p e a t e d i n a n e x p r e s s i o n t h e y a r e t o b e s u m m e d o v e r t h i s i s t h e E i n s t e i n C o n v e n t i o n .

F o r i n s t a n c e 6 t o 8 c a n b e s u c c i n c t l y w r i t t e n a s

p

i

=

i j

E

j

3


8/22

w h i c h i s E q . 5 r e w r i t t e n i n s u x n o t a t i o n . N o t e t h e o r d e r o f t h e i n d i c e s o n t h e r i g h t .

T h u s w e h a v e w r i t t e n t h e v e c t o r p s i m p l y a s p

i

a n d i t w i l l b e c l e a r f r o m c o n t e x t t h a t a

v e c t o r i s i n t e n d e d a n d n o t s i m p l y o n e o f i t s c o m p o n e n t s . L i k e w i s e c a n b e d e n o t e d

i j

.

I n s u x n o t a t i o n t h e d o t p r o d u c t a l s o c a l l e d s c a l a r p r o d u c t , o r i n n e r p r o d u c t o f t w o

v e c t o r s a b i s w r i t t e n a s a

i

b

i

. T h e o p e r a t i o n o f a t e n s o r o n a v e c t o r a l s o i n v o l v e s a n i n n e r

p r o d u c t s u m o v e r r e p e a t e d i n d i c e s a s d e s c r i b e d a b o v e . T h e u n i t t e n s o r

i j

b y d e n i t i o n

t r a n s f o r m s a n y v e c t o r i n t o i t s e l f :

i j

v

j

= v

i

.

B 2 . T h e o u t e r p r o d u c t : C o n s i d e r t h e o b j e c t Q

i j

d e n e d a s

Q

i j

a

i

b

j

9

w h e r e a a n d b a r e v e c t o r s .

i S h o w u s i n g s u x n o t a t i o n t h a t i f p i s a v e c t o r , Q p i s a l s o a v e c t o r n d i t s m a g n i t u d e

a n d d i r e c t i o n . N o t e t h a t Q p Q

i j

p

j

. W e s e e t h a t Q

i j

i s a l i n e a r o p e r a t o r t h a t t r a n s f o r m s

o n e v e c t o r p i n t o a n o t h e r i t i s t h e r e f o r e a t e n s o r . T h i s d e n e s t h e o u t e r p r o d u c t o r d y a d i c

p r o d u c t o f t w o v e c t o r s .

I n n o n - s u x n o t a t i o n s o m e t i m e s c a l l e d d y a d i c n o t a t i o n , E q . 9 i s w r i t t e n a s

Q = a b 1 0

o r Q = a b , w h e r e t h e r e i s n o d o t b e t w e e n t h e t w o v e c t o r s . I n t h i s n o t a t i o n w e h a v e

a b c = a b c : p r o v e t h i s u s i n g s u x n o t a t i o n i f y o u d i d n o t d o s o a l r e a d y a b o v e .

T h i s n o t a t i o n i s u s e d i n v a r i o u s a r e a s o f m a t h e m a t i c s a n d p h y s i c s , b u t i n g e n e r a l s u x

n o t a t i o n i s m o r e v e r s a t i l e a n d c a n a l w a y s b e u s e d i n s t e a d .

i i W e c a n w r i t e t h e t e n s o r i n Q . A 1 i n t h e f o l l o w i n g f o r m :

=

x x

x x +

x y

x y +

x z

x z + 6 o t h e r t e r m s 1 1

C h e c k t h a t 1 1 i n d e e d a g r e e s w i t h 6 t o 8 b y n d i n g t h e r e s u l t o f a p p l y i n g a e l d i n

t h e x - d i r e c t i o n , E = E

x

x :

p = E

x E

x

=

x x

y x

z x

E

x

:

4


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i i i P r o j e c t i o n o p e r a t o r s : I n d y a d i c n o t a t i o n , t h e i d e n t i t y t e n s o r

i j

i s o f t e n w r i t t e n

a s t h e u n i t o p e r a t o r " 1 . C o n s i d e r t h e a c t i o n o n a v e c t o r v o f t h e o p e r a t o r s

u

u a n d

1

u

u , w h e r e

u i s a u n i t v e c t o r . S h o w t h a t t h e s e p e r f o r m t h e j o b o f r e s o l v i n g t h e v e c t o r

v i n t o v e c t o r s v

k

a n d v

?

, r e s p e c t i v e l y p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a r t o

u . P r o v e t h a t t h e s e

p r o j e c t i o n o p e r a t o r s " a r e i d e m p o t e n t . T h e d e n i t i o n o f a n i d e m p o t e n t o p e r a t o r G i s t h a t

G G = G . S h o w t h a t t h e p o l a r i z a b i l i t y t e n s o r i n p r o b l e m A 1 c a n b e w r i t t e n

=

k

u

u +

?

1

u

u

w h e r e u = 1 1 0 =

p

2 .

C . U s e o f P r i n c i p a l A x e s .

C 1 . A x e d o b j e c t i s p l a c e d i n a u n i f o r m e l e c t r i c e l d o f 1 k V m . W h e n t h e e l d

i s i n t h e x d i r e c t i o n , i t a c q u i r e s a d i p o l e m o m e n t w i t h c o m p o n e n t s 4 , 2 , a n d 1

1 0

1 2

C

m i n t h e x , y , z d i r e c t i o n s . F o r t h e s a m e e l d s t r e n g t h s i n t h e y , z d i r e c t i o n s , t h e d i p o l e

m o m e n t s a r e 2 4 1 1 0

1 2

a n d 1 1 4 1 0

1 2

C m r e s p e c t i v e l y .

i W r i t e d o w n t h e c o m p o n e n t s o f t h e t e n s o r t h a t d e s c r i b e s t h e p o l a r i s a b i l i t y o f t h e o b j e c t

u s i n g t h e x y z c o o r d i n a t e f r a m e .

i i W h a t i s t h e t o r q u e T = p E o n t h e o b j e c t w h e n i t i s p l a c e d i n a n e l e c t r i c e l d o f

p

3

k V m i n t h e 1 , 1 , 1 d i r e c t i o n ? A n s : 1 , - 1 , 0 1 0

9

N m .

i i i S u p p o s e t h e r e a r e e l d d i r e c t i o n s

u ,

v ,

w f o r w h i c h t h e r e i s n o t o r q u e o n t h e o b j e c t

w h a t r e l a t i o n d o E a n d p t h e n h a v e ? S h o w t h a t u , v , a n d w a r e t h e e i g e n v e c t o r s o f .

i v S h o w t h a t , i f w e u s e a s a c o o r d i n a t e s y s t e m t h e u n i t v e c t o r s

u ,

v ,

w t h e r e a r e n o

o - d i a g o n a l e l e m e n t s o f t h e t e n s o r w h e n i t i s w r i t t e n a s a m a t r i x o f c o m p o n e n t s . T h e

t h r e e d i a g o n a l e l e m e n t s ,

1

2

a n d

3

a r e c a l l e d t h e p r i n c i p a l p o l a r i s a b i l i t i e s o f t h e o b j e c t

a n d a r e t h e e i g e n v a l u e s o f . F o r t h i s p r o b l e m , o n e e i g e n v a l u e i s = 2 1 0

1 5

: n d t h e

5


10/22

o t h e r t w o . W h a t a r e t h e v e c t o r s

u ,

v ,

w i n t e r m s o f ^ x , y , z ?

v I n t h i s e x a m p l e , i s s y m m e t r i c a n d h e n c e h a s r e a l e i g e n v a l u e s a n d o r t h o g o n a l e i g e n -

v e c t o r s . A n e n e r g y a r g u m e n t s h o w s t h i s t o b e t r u e f o r t h e p o l a r i z a b i l i t y o f a n y o b j e c t

t h e

u ,

v ,

w c o o r d i n a t e s y s t e m c a n h e n c e a l w a y s b e f o u n d a n d i s c a l l e d t h e p r i n c i p a l f r a m e

- o f t e n a v e r y c o n v e n i e n t f r a m e t o t h i n k a b o u t t h e p h y s i c s i n . T h e s a m e a p p l i e s t o a n y

p r o b l e m i n v o l v i n g a s y m m e t r i c t e n s o r .

v i I n a g e n e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e d e c o m p o s i t i o n o f i n t o p r i n c i p a l d i r e c t i o n s

u ,

v ,

w c a n b e a c c o m p l i s h e d u s i n g p r o j e c t i o n o p e r a t o r s :

=

1

u u +

2

v v +

3

w w 1 2

T h i s i s a r e l a t i o n b e t w e e n t e n s o r s , s o i f i t h o l d s i n o n e c o - o r d i n a t e s y s t e m i t a l s o h o l d s i n

a n y o t h e r . P r o v e i t f o r a c o n v e n i e n t c h o i c e o f c o - o r d i n a t e s s y s t e m a n d h e n c e g e n e r a l l y .

v i i E q . 1 2 e x p r e s s e s i n a v e r y d i r e c t w a y t h e o p e r a t i o n o f a s y m m e t r i c t e n s o r o n a

v e c t o r b . T o n d b , t h e r e c i p e i s : 1 r e s o l v e b i n t o c o m p o n e n t s a l o n g t h e p r i n c i p a l

a x e s 2 m u l t i p l y e a c h c o m p o n e n t b y t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e 3 a d d t o f o r m t h e

r e s u l t a n t . C o n r m f r o m E q . 1 2 t h a t t h i s i s p r e c i s e l y w h a t o p e r a t i n g w i t h o n b d o e s .

C 2 . F o r c e o n a D i p o l e .

i B y u s i n g s u x n o t a t i o n , a n d t h e o r d i n a r y c h a i n r u l e f o r d e r i v a t i v e s , p r o v e t h e v e c t o r

r e l a t i o n

r A = r A + A r

D e r i v e a s i m i l a r r e s u l t f o r r A B . I t ' s b e s t t o l e a v e t h e a n s w e r i n s u x n o t a t i o n .

i i I n a u n i f o r m e l e c t r i c e l d , E , a d i p o l e p e x p e r i e n c e s a c o u p l e p E b u t n o n e t f o r c e .

S h o w t h a t i n a n o n - u n i f o r m e l d , a d i p o l e e x p e r i e n c e s a n e t f o r c e

F

i

=

@ E

i

@ x

j

p

j

1 3

a n d e x p l a i n w h y

@ E

i

@ x

j

i s a t e n s o r . T h i s i s v e r y g e n e r a l t h e g r a d i e n t o f a v e c t o r i s a s e c o n d -

r a n k t e n s o r .

6


11/22

i i i A m o r e g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r t h e f o r c e o n a p e r m a n e n t d i p o l e , d e r i v e d f r o m t h e

e n e r g y , i s F = g r a d p : E , o r :

F

j

=

@

@ x

j

p

i

E

i

:

S h o w t h a t t h i s i s e q u i v a l e n t t o E q 1 3 o n l y i n t h e a b s e n c e o f a t i m e - v a r y i n g m a g n e t i c e l d .

i v A s p e c k o f m a t t e r h a s n o p e r m a n e n t d i p o l e m o m e n t , b u t t h e e l d E i n d u c e s a m o m e n t

p i n i t . U n d e r w h a t c o n d i t i o n s c a n w e w r i t e a p

i

=

i j

E

j

b p

i

= E

i

? W r i t e d o w n

t h e f o r c e i n e a c h c a s e . U n d e r w h a t c o n d i t i o n s c a n t h i s b e w r i t t e n F = g r a d E

2

= 2 ?

D . T h e a n t i s y m m e t r i c t h r e e - t e n s o r

i j k

.

A t e n s o r w i t h t w o i n d i c e s s u c h a s

i j

i s c a l l e d a t e n s o r o f s e c o n d r a n k , a n d i t s l i n e a r

o p e r a t i o n o n a v e c t o r g i v e s a n o t h e r v e c t o r . A v e c t o r i s t e c h n i c a l l y a t e n s o r o f r a n k o n e a

s c a l a r o f r a n k z e r o . T e n s o r s o f h i g h e r r a n k c a n a l s o b e d e n e d . F o r e x a m p l e a t e n s o r o f

r a n k f o u r , Q

i j k l

a c t s o n a r a n k t w o t e n s o r t o g i v e a n o t h e r r a n k t w o t e n s o r , B

i j

= Q

i j k l

A

k l

w i t h s u m m a t i o n o v e r r e p e a t e d i n d i c e s . F o r t e n s o r s h i g h e r t h a n r a n k t w o , d y a d i c n o t a t i o n

b e c o m e s e x t r e m e l y c u m b e r s o m e a n d s u x n o t a t i o n i s e s s e n t i a l .

D 1 . A n i m p o r t a n t a n d u s e f u l t e n s o r o f r a n k t h r e e i s t h e f u l l y a n t i s y m m e t r i c t h r e e

t e n s o r d e n o t e d

i j k

. T h i s o p e r a t e s o n e i t h e r a s e c o n d r a n k t e n s o r o r t w o v e c t o r s t o g i v e a

v e c t o r . F o r i 6= j 6= k i t i s d e n e d a s

i j k

= 1 i f i j k i s a c y c l i c p e r m u t a t i o n o f x y z e . g . ,

y z x a n d = 1 i f t h e o r d e r i s a n t i c y c l i c e . g . , x z y . I f a n y t w o o f i j k a r e t h e s a m e t h e n

i j k

= 0 e . g . ,

x x y

= 0 . T h e t e n s o r

i j k

i s v e r y u s e f u l f o r w r i t i n g d o w n a v e c t o r p r o d u c t

i n s u x n o t a t i o n . S h o w t h a t

A B

i

=

i j k

A

j

B

k

1 4

T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n

i j k

k l m

=

i l

j m

i m

j l

1 5

7


12/22

i s w e l l w o r t h r e m e m b e r i n g y o u s h o u l d c o m e a c r o s s t h i s i n m a t h s l e c t u r e s . I t s a v e s a

g r e a t d e a l o f t i m e w h e n m a n i p u l a t i n g v e c t o r i d e n t i t i e s s u c h a s

A B C =

i j k

A

j

k l m

B

l

C

m

= A

j

B

l

C

m

i l

j m

i m

j l

= B

i

A

j

C

j

C

i

A

j

B

j

= A C B A B C

w h i c h i s a f a m i l i a r r e s u l t n o r m a l l y d e r i v e d b y f a r m o r e t e d i o u s m e a n s .

T h e r e s u l t E q . 1 5 i s e s p e c i a l l y h e l p f u l w h e n d e a l i n g w i t h v e c t o r i d e n t i t i e s i n v o l v i n g

t h e r o p e r a t o r . B e c a u s e

i j k

i s a c o n s t a n t t e n s o r , i t c o m m u t e s w i t h r , a n d e x p r e s s i o n s

c a n b e r e - o r d e r e d a c c o r d i n g l y . F o r e x a m p l e

r E H r

i

i j k

E

j

H

k

1 6

=

i j k

r

i

E

j

H

k

=

i j k

E

j

r

i

H

k

+ H

k

r

i

E

j

1 7

= E

j

j i k

r

i

H

k

+ H

k

k i j

r

i

E

j

1 8

= E r H + H r E 1 9

w h i c h i s a r e s u l t u s e d i n i n c o n n e c t i o n w i t h P o y n t i n g ' s v e c t o r i n e l e c t r o m a g n e t i s m .

i M a k e s u r e y o u u n d e r s t a n d e a c h s t e p o f t h i s d e r i v a t i o n .

i i S h o w , u s i n g s i m i l a r m e t h o d s , t h a t

r r A = r r A r

2

A

r A = r A A ^ r

T h e s e r e l a t i o n s a r e u s e f u l i n e l e c t r o m a g n e t i s m a n d o t h e r t o p i c s i n I B , a n d i n t h e p a r t s I I

a n d I I I c o u r s e s .

8


13/22

E X A M P L E S C L A S S I N M A T H E M A T I C A L P H Y S I C S

V I I I . F u r t h e r A p p l i c a t i o n s o f

T e n s o r a n d V e c t o r C a l c u l u s 2 4 . 2 . 9 9

C o m m e n t a r y : T h i s i s t h e s e c o n d s h e e t o n t e n s o r s . I t f o l l o w s o n f r o m S h e e t 5 . S e c t i o n D

o f t h a t s h e e t o n u s e s o f t h e a n t i s y m m e t r i c 3 - t e n s o r ,

i j k

i s r e p r i n t e d h e r e a s a n a p p e n d i x ,

a n d y o u s h o u l d c o m p l e t e i t b e f o r e s t a r t i n g t h e m a i n p a r t o f t h i s s h e e t , i f y o u d i d n ' t d o s o

l a s t t i m e .

A s o n s h e e t 5 w e u s e u n d e r l i n i n g a n d b o l d n o t a t i o n i n t e r c h a n g e a b l y . S u x n o t a t i o n

a n d t h e s u m m a t i o n c o n v e n t i o n a r e a l s o u s e d . C a r e t s ^ d e n o t e u n i t v e c t o r s .

I n S e c t i o n s A a n d B t e n s o r i d e a s a r e u s e d t o w o r k t h r o u g h s o m e r e s u l t s i n r i g i d

b o d y d y n a m i c s . Y o u s h o u l d h a v e c o v e r e d t h i s m a t e r i a l i n I B d y n a m i c s c o u r s e s , a n d t h e

f o r m a l d e v e l o p m e n t g i v e n h e r e i s g o o d p r a c t i c e a n d w i l l h e l p d e e p e n y o u r u n d e r s t a n d i n g

o f m o m e n t s o f i n e r t i a , e t c . , a s w e l l a s o f t e n s o r s .

S e c t i o n C i n t r o d u c e s t h e c o n c e p t s o f s t r e s s a n d s t r a i n t e n s o r s i n a s o l i d . T h e l i n e a r

r e l a t i o n b e t w e e n t h e s e i s g o v e r n e d b y a f o u r t h r a n k t e n s o r , w h o s e p r o p e r t i e s a r e i n v e s t i -

g a t e d .

S e c t i o n D c o n t a i n s p r o b l e m s o n t h e t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s o f t e n s o r s : i n m a t h e m a t -

i c a l c o u r s e s , y o u m a y h a v e s e e n t e n s o r s d e n e d i n t e r m s o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s .


14/22

A . R i g i d B o d y R o t a t i o n s

A r i g i d b o d y r o t a t e s w i t h a n g u l a r v e l o c i t y ! a b o u t a n a x i s t h r o u g h i t s c e n t r e o f m a s s

a t t h e o r i g i n , 0 . T h e v e c t o r ! p o i n t s a l o n g t h e a x i s o f r o t a t i o n a n d d e t e r m i n e s t h e v e l o c i t y

o f r o t a t i o n a t r a c c o r d i n g t o v = ! r . M a k e s u r e y o u c a n d e r i v e t h i s i f y o u a r e n o t s u r e

w h e r e i t c o m e s f r o m .

i C o n s i d e r t h e b o d y a s a c o l l e c t i o n o f p o i n t m a s s e s m

r

w i t h p o s i t i o n v e c t o r s r r e l a t i v e

t o t h e c e n t r e o f m a s s 0 .

T h e t e n s o r I i s c a l l e d t h e i n e r t i a t e n s o r o f t h e b o d y . I t i s g i v e n b y :

I =

X

r

r

2

1 ^ r ^ r

m

r

1

S h o w , u s i n g E q . 1 , t h a t t h e a n g u l a r m o m e n t u m L a n d t h e k i n e t i c e n e r g y T o f t h e b o d y

a r e :

L = I ! 2

T =

1

2

! I !

1

2

!

i

I

i j

!

j

3

Y o u w i l l n e e d t o e x p a n d t h e v e c t o r t r i p l e p r o d u c t f g h s e e A p p e n d i x .

T h u s I s p e c i e s t h e l i n e a r d e p e n d e n c e o f a n g u l a r m o m e n t u m L

i

o n t h e a n g u l a r v e l o c i t y

!

j

v i a L

i

= I

i j

!

j

, E q . 2 a n d r e p l a c e s t h e s i n g l e n u m b e r , t h e m o m e n t o f i n e r t i a , t h a t

w o u l d b e e n o u g h f o r a v e r y s y m m e t r i c a l b o d y , s u c h a s a s p h e r e .

i i F i n d t h e c o m p o n e n t s o f I

i j

i n a C a r t e s i a n s y s t e m , t h a t i s t h e u s u a l b a s i s s e t ^ x , y , z .

A n s w e r : I

x x

=

P

r

y

2

+ z

2

m

r

, I

x y

=

P

r

x y m

r

, e t c . .

i i i I

i j

i s a s y m m e t r i c t e n s o r , t h a t i s I : v = v : I f o r a n y v e c t o r v , w h i c h s h o u l d b e c l e a r

f r o m t h e d e n i t i o n 1 . D e d u c e i t a l s o f r o m t h e m a t r i x o f c o m p o n e n t s o f I

i j

f o u n d i n i i .

i v T a k e t h e c o n t i n u u m l i m i t i n E q . 1 t o o b t a i n f o r m a l l y , a s a n i n t e g r a l , t h e i n e r t i a t e n s o r

o f a b o d y o f v a r i a b l e d e n s i t y r .

v W r i t e d o w n t h e i n e r t i a t e n s o r o f a b o d y c o n s i s t i n g o f e i g h t m a s s e s M a t t h e c o r n e r s o f

2


15/22

a l i g h t c u b i c f r a m e o f s i d e a . C h o o s e t h e c o o r d i n a t e s y s t e m m o s t c o n v e n i e n t t o y o u . W h a t

i s t h e m o m e n t o f i n e r t i a o f t h i s c u b e ? W h y c a n w e t a l k o f t h e m o m e n t o f i n e r t i a w h e n w e

s t r i c t l y s p e a k i n g h a v e a t e n s o r ?

I n f a c t , e v e n f o r a n a s y m m e t r i c b o d y o n e s o m e t i m e s s p e a k s o f t h e m o m e n t o f i n e r t i a a b o u t

s o m e s p e c i c a x i s ,

n , s a y . T h i s i s w r i t t e n a s

n : I :

n a n d g i v e s t h e r a t i o o f t h e

n c o m p o n e n t

o f a n g u l a r m o m e n t u m L :

n t o t h e

n c o m p o n e n t o f a n g u l a r v e l o c i t y ! :

n . S i n c e i n g e n e r a l

L h a s c o m p o n e n t s w h i c h a r e n o t p a r a l l e l t o

n , t h i s d o e s n o t o e r a c o m p l e t e d e s c r i p t i o n .

v i A n g u l a r v e l o c i t y : A b o d y r o t a t e s a b o u t a n a x i s t h r o u g h i t s c e n t r e o f m a s s w i t h a n

a n g u l a r v e l o c i t y ! . T h e v e l o c i t y o f a p o i n t i n t h e b o d y i s v = ! r . S h o w t h a t o n e c a n

e q u a l l y w e l l e x p r e s s i t a s v = ! r w h e r e ! i s a n a n t i s y m m e t r i c t e n s o r w i t h c o m p o n e n t s :

0 !

z

!

y

!

z

0 !

x

!

y

!

x

0

!

4

v i i S h o w t h a t a n y v e c t o r W , c o n s t a n t w i t h r e s p e c t t o a x e s x e d i n t h e b o d y , c h a n g e s

w i t h t i m e i n a s p a c e - x e d f r a m e , b y a n a m o u n t d W i n t i m e d t :

d W = ! d t W

a n d h e n c e t h a t i f W i s n o t b o d y - x e d b u t h a s a r a t e o f c h a n g e d W = d t

b o d y

, t h e v e c t o r

W i n t h e s p a c e - x e d f r a m e o b e y s

d W = d t

s p a c e

= d W = d t

b o d y

+ ! W : 5

B . P r i n c i p a l A x e s a n d P r e c e s s i o n

W e n o w u s e t h e a b o v e r e s u l t s t o s o l v e s i m p l y a d i c u l t p r o b l e m , t h e r o t a t i o n a l m o t i o n

o f a n a s y m m e t r i c b o d y .

3


16/22

i W h a t i s t h e i n e r t i a t e n s o r o f f o u r p o i n t m a s s e s M x e d a t t h e c o r n e r s o f a m a s s l e s s

s q u a r e f r a m e o f s i d e a ? W h a t a r e t h e p r i n c i p a l a x e s , a n d p r i n c i p a l m o m e n t s o f i n e r t i a ?

W h y a r e t w o o f t h e a x e s i n d e t e r m i n a t e ?

T h i s i s a n e x a m p l e o f a n o n t r i v i a l b o d y u n l i k e t h e s p h e r e o r c u b e w h e r e t h e p r i n c i p a l

m o m e n t s o f i n e r t i a a r e n o t a l l t h e s a m e . N o w L n e e d n o t b e p a r a l l e l t o ! f o r a b o d y

w h o s e a n g u l a r m o m e n t u m i s c o n s e r v e d t h e r e s u l t i s f r e e p r e c e s s i o n o f t h e a n g u l a r v e l o c i t y

s e e i i i b e l o w .

i i I t i s c l e a r f r o m 1 t h a t i n g e n e r a l I f o r a b o d y i s c o n s t a n t i n b o d y - x e d a x e s , a n d s o

f o r a n a r b i t r a r y m o t i o n t h e i n e r t i a t e n s o r I

s p

i j

i n s p a c e - x e d a x e s i s n o t c o n s t a n t u n l e s s ,

t r i v i a l l y , i t i s p r o p o r t i o n a l t o

i j

. S h o w t h a t i n g e n e r a l t h e m o t i o n o f a n o n t r i v i a l b o d y

w h o s e a n g u l a r m o m e n t u m L

s p

i s c o n s e r v e d i n a s p a c e - x e d f r a m e i n v o l v e s a n a n g u l a r

v e l o c i t y ! w h i c h c h a n g e s i n t i m e . H i n t : c o n s i d e r L

s p

i

= I

s p

i j

!

j

.

i i i T h e p r o b l e m o f n d i n g ! f o r a b o d y o f x e d a n g u l a r m o m e n t u m n o t p a r a l l e l t o a

p r i n c i p a l a x i s i s b e s t s o l v e d b y a d o p t i n g a b o d y f r a m e w h e r e t h e i n e r t i a t e n s o r i s c o n s t a n t .

S h o w f r o m 5 t h a t i n t h e b o d y f r a m e L o b e y s

d L = d t = ! L 6

i v D e d u c e t h a t

I

i j

_!

j

=

i j k

!

j

I

k l

!

l

a n d s h o w t h a t , b y t a k i n g a s t h e b o d y - x e d f r a m e t h e p r i n c i p a l f r a m e o f I

i j

, t h i s c a n b e

s i m p l i e d t o

I

1

_!

1

= !

2

!

3

I

3

I

2

I

2

_!

2

= !

3

!

1

I

1

I

3

I

3

_!

3

= !

1

!

2

I

2

I

1

w h e r e I

1

, I

2

, I

3

a r e t h e p r i n c i p a l m o m e n t s o f i n e r t i a .

v F o r t h e i n e r t i a t e n s o r o f t h e s q u a r e f r a m e f o u n d i n q u e s t i o n i , I

1

= I

2

s u c h a b o d y

4


17/22

i s k n o w n a s a s y m m e t r i c t o p " . P r o v e f o r t h i s c a s e t h a t ! p r e c e s s e s i n t h e b o d y f r a m e

a c c o r d i n g t o

!

3

= c o n s t . !

1

= A c o s t !

2

= A s i n t

w h e r e =

I

3

I

1

I

1

!

3

, a n d s o c o n r m t h a t ! i s n o t a c o n s t a n t v e c t o r u n l e s s i t h a p p e n s t o

p o i n t a l o n g o n e o f t h e p r i n c i p a l a x e s .

C . S t r e s s a n d s t r a i n t e n s o r s .

C 1 . C o n s i d e r a s m a l l a r e a e l e m e n t d S e m b e d d e d a t a p o i n t r i n a n i s o t r o p i c l i q u i d .

I f t h e m a t e r i a l i s s u b j e c t t o p r e s s u r e P , t h e r e i s a n o r m a l f o r c e o n e a c h s i d e o f t h e s u r f a c e

e l e m e n t P d S . T h e s e p o i n t i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s , s o t h e n e t f o r c e o n t h e s u r f a c e e l e m e n t

i s z e r o w h i c h i s a s i t m u s t b e , s i n c e t h e e l e m e n t h a s n o m a s s a n d w o u l d o t h e r w i s e b e

s u b j e c t t o i n n i t e a c c e l e r a t i o n .

I n t h e c a s e o f a s o l i d , t h e r e c a n a l s o b e a s h e a r f o r c e e x e r t e d i n e q u a l a n d o p p o s i t e

d i r e c t i o n s o n t h e t w o s i d e s o f t h e e l e m e n t s u c h a f o r c e l i e s i n t h e p l a n e o f t h e e l e m e n t

r a t h e r t h a n n o r m a l t o i t . I n t h e g e n e r a l c a s e , w e c a n w r i t e

d F = d S 7

w h e r e i s t h e s t r e s s t e n s o r a t t h e p o i n t r . F o r e x a m p l e t h e e l e m e n t

x z

o f d e t e r m i n e s

t h e x - f o r c e p e r u n i t a r e a o n a n e l e m e n t o f s u r f a c e w i t h i t s n o r m a l p o i n t i n g i n t h e z -

d i r e c t i o n : d F

x

=

x z

d S

z

. F o r a s u r f a c e e l e m e n t o f g e n e r a l o r i e n t a t i o n d F

x

=

x x

d S

x

+

x y

d S

y

+

x z

d S

z

.

i S h o w t h a t a s m a l l b o x o f s i d e s d x d y d z e x p e r i e n c e s a c o u p l e

x z

z x

d x d y d z a b o u t

t h e y a x i s . T h e c o r r e s p o n d i n g m o m e n t o f i n e r t i a i s o f o r d e r d x

2

d z

2

d y . E x p l a i n w h y

t h i s m e a n s t h a t m u s t b e s y m m e t r i c . S h o w a l s o t h a t , i f r i s a f u n c t i o n o f p o s i t i o n ,

5


18/22

t h e n t h e n e t f o r c e o n a n i t e p i e c e o f m a t e r i a l i s g i v e n b y

F

i

=

Z

@

i j

@ r

j

d V : 8

w h e r e i n a c o n v e n t i o n a l n o t a t i o n

@

@ r

j

r

j

.

i i S t r a i n : S u p p o s e a s o l i d m a t e r i a l i s s u b j e c t e d t o a s m a l l d e f o r m a t i o n r ! r + u r . S o

l o n g a s t h e d e f o r m a t i o n d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n p o s i t i o n , w e m a y w r i t e

d u

i

=

@ u

i

@ r

j

d r

j

: 9

L e t u s n o w d e c o m p o s e t h e t e n s o r U

i j

@ u

i

@ r

j

i n t o i t s s y m m e t r i c a n d a n t i - s y m m e t r i c p a r t s :

U

i j

= e

i j

+ R

i j

e

i j

=

1

2

U

i j

+ U

j i

R

i j

=

1

2

U

i j

U

j i

S h o w t h a t e i s s y m m e t r i c a n d R a n t i s y m m e t r i c . S h o w a l s o t h a t R c o r r e s p o n d s t o a p u r e

r o t a t i o n i . e . w i t h o u t d i s t o r t i o n o f t h e b i t o f m a t t e r n e a r r . H i n t : c o m p a r e E q . 4 i n

s e c t i o n A . W h a t t y p e o f d e f o r m a t i o n d o e s e r e p r e s e n t ? W h y m a y w e a s s u m e t h a t t h e

s t r e s s t e n s o r d e p e n d s o n t h e s t r a i n t e n s o r e , b u t h a s n o d e p e n d e n c e o n R ?

i i i E l a s t i c i t y : F o r s m a l l d e f o r m a t i o n s , w e e x p e c t t h e s t r e s s a n d s t r a i n t o b e l i n e a r l y

r e l a t e d , b u t s i n c e b o t h a r e d e s c r i b e d b y s e c o n d - r a n k t e n s o r s , t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e m

g e n e r a l l y i n v o l v e s a t e n s o r o f t h e f o u r t h r a n k :

i j

= E

i j k l

e

k l

1 0

w h i c h i s t h e g e n e r a l i z a t i o n o f H o o k e ' s l a w t o a n a r b i t r a r y t h r e e - d i m e n s i o n a l m a t e r i a l .

S i n c e i s s y m m e t r i c , E

i j k l

m u s t b e s y m m e t r i c u n d e r e x c h a n g e o f i a n d j v a r i o u s o t h e r

s y m m e t r i e s c a n b e f o u n d f r o m c o n s i d e r i n g t h e f o r m o f t h e s t o r e d e l a s t i c e n e r g y , b u t e v e n

w h e n t h e s e a r e t a k e n i n t o a c c o u n t , E

i j k l

h a s 2 1 i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t s .

6


19/22

i v I s o t r o p i c e l a s t i c s o l i d s a r e m u c h s i m p l e r h o w e v e r , a n d h a v e o n l y t w o i n d e p e n d e n t

c o n s t a n t s . T h e s e a r e t h e Y o u n g ' s m o d u l u s Y a n d P o i s s o n ' s r a t i o . T h e d e n i t i o n o f t h e s e

i s t h a t i n t h e p r i n c i p a l a x e s o f

i j

, t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n a p p l i e s

Y e

x x

=

x x

y y

+

z z

1 1

w i t h s i m i l a r r e l a t i o n s f o r e

y y

e

z z

a l l o - d i a g o n a l e l e m e n t s o f e a r e z e r o i n t h i s c o o r d i n a t e

s y s t e m . B y r e a r r a n g i n g E q . 1 1 o b t a i n t h e r e s u l t

Y e

x x

= 1 +

x x

i i

w h e r e x i n d i c i e s a r e n o t s u m m e d o v e r b u t

i i

i s s u m m e d w i t h s i m i l a r r e l a t i o n s f o r y y

a n d z z c o m p o n e n t s . N o t e t h a t

i i

= T r a c e u n d e r t h e s u m m a t i o n c o n v e n t i o n . S h o w

t h a t , b y a d d i n g E q . 1 1 t o i t s a n a l o g u e s ,

i i

=

Y e

i i

1 2

C o m b i n e t h e a b o v e t w o r e s u l t s t o g i v e e x p r e s s i o n s f o r

x x

e t c i n t e r m s o f t h e e l e m e n t s o f

e , a n d h e n c e d e r i v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t i n t h e p r i n c i p a l f r a m e :

i j

=

Y

1 +

e

i j

+

1 2

i j

T r e

:

B e a r i n m i n d t h a t e

i j

= 0 f o r i 6= j , i n t h i s f r a m e . H e n c e , d e r i v e t h e g e n e r a l f r a m e

i n d e p e n d e n t f o r m f o r t h e e l a s t i c i t y t e n s o r i n a n i s o t r o p i c s o l i d :

E

i j k l

=

Y

1 +

i k

j l

+

i l

j k

2

+

1 2

i j

k l

C 2 . i A p p l y E

i j k l

t o s u i t a b l e d e f o r m a t i o n s t o r e c o v e r e x p r e s s i o n s f o r t h e b u l k

m o d u l u s a n d s h e a r m o d u l u s o f a n i s o t r o p i c s o l i d i n t e r m s o f Y a n d .

i i S h o w t h a t t h e d i s p l a c e m e n t u i n s i d e a h o m o g e n e o u s i s o t r o p i c s o l i d , s u b j e c t t o

e x t e r n a l f o r c e s o n l y a t i t s s u r f a c e , o b e y s

g r a d d i v u + 1 2 r

2

u = 0 :

7


20/22

D . T r a n s f o r m a t i o n L a w s .

D 1 . H e r e w e c o n s i d e r t r a n s f o r m a t i o n s o f v e c t o r s a n d t e n s o r s b e t w e e n t w o s e t s o f b a s e

v e c t o r s , e a c h o f w h i c h i s o r t h o n o r m a l . W e c a l l o u r t w o s e t s o f b a s e v e c t o r s e

1

e

2

e

3

a n d

e

0

1

e

0

2

e

0

3

, s o t h a t w e c a n u s e s u x n o t a t i o n , e . g . , t h e f a c t t h a t t h e e b a s i s i s o r t h o n o r m a l

c a n b e w r i t t e n

e

i

e

j

=

i j

1 2

T h e u n i t v e c t o r s e

0

i

a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e e

i

:

e

0

i

= T

i j

e

j

: 1 3

S u p p o s e t h a t x = x

i

e

i

= x

0

i

e

0

i

i s a n y v e c t o r , a n d y = A x . P r o v e t h a t

i e

0

i

e

k

= T

i k

i i T h e i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n e

i

= T

1

i k

e

0

k

h a s T

1

i k

= T

k i

i i i x

0

i

= T

i k

x

k

i v x

i

= T

k i

x

0

k

v y

0

i

= T

i j

T

l k

A

j k

x

0

l

T h i s m e a n s y o u h a v e f o u n d t h e c o m p o n e n t s o f t h e t e n s o r A i n t h e r o t a t e d c o o r d i n a t e

s y s t e m :

A

0

i l

= T

i j

T

l k

A

j k

I n d e e d , t h i s p r o p e r t y u n d e r o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s T i s , m a t h e m a t i c a l l y ,

o f t e n t a k e n a s t h e d e n i n g p r o p e r t y o f a t e n s o r A . F o r t e n s o r s o f h i g h e r r a n k t h a n 2 ,

o n e f a c t o r o f t h e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x T i s n e e d e d f o r e a c h i n d e x . T r a n s f o r m a t i o n s w i t h

d e t T = 1 a r e u s u a l l y c a l l e d p r o p e r r o t a t i o n s a n d t h o s e w i t h d e t T = 1 , i m p r o p e r r o t a -

t i o n s . S h o w t h a t t h e s e a r e t h e o n l y p o s s i b l e v a l u e s o f t h e d e t e r m i n a n t f o r t r a n s f o r m a t i o n s

b e t w e e n o r t h o n o r m a l b a s e s a s d e n e d a b o v e .

8


21/22

A p p e n d i x : T h e a n t i s y m m e t r i c t h r e e - t e n s o r

i j k

.

R e p r i s e o f S h e e t V s e c t i o n D .

A t e n s o r w i t h t w o i n d i c e s s u c h a s

i j

i s c a l l e d a t e n s o r o f s e c o n d r a n k , a n d i t s l i n e a r

o p e r a t i o n o n a v e c t o r g i v e s a n o t h e r v e c t o r . A v e c t o r i s t e c h n i c a l l y a t e n s o r o f r a n k o n e a

s c a l a r o f r a n k z e r o . T e n s o r s o f h i g h e r r a n k c a n a l s o b e d e n e d . F o r e x a m p l e a t e n s o r o f

r a n k f o u r , Q

i j k l

a c t s o n a r a n k t w o t e n s o r t o g i v e a n o t h e r r a n k t w o t e n s o r , B

i j

= Q

i j k l

A

k l

w i t h s u m m a t i o n o v e r r e p e a t e d i n d i c e s . F o r t e n s o r s h i g h e r t h a n r a n k t w o , d y a d i c n o t a t i o n

b e c o m e s e x t r e m e l y c u m b e r s o m e a n d s u x n o t a t i o n i s e s s e n t i a l .

1 . A n i m p o r t a n t a n d u s e f u l t e n s o r o f r a n k t h r e e i s t h e f u l l y a n t i s y m m e t r i c t h r e e t e n s o r

d e n o t e d

i j k

. T h i s o p e r a t e s o n e i t h e r a s e c o n d r a n k t e n s o r o r t w o v e c t o r s t o g i v e a v e c t o r .

F o r i 6= j 6= k i t i s d e n e d a s

i j k

= 1 i f i j k i s a c y c l i c p e r m u t a t i o n o f x y z e . g . , y z x

a n d = 1 i f t h e o r d e r i s a n t i c y c l i c e . g . , x z y . I f a n y t w o o f i j k a r e t h e s a m e t h e n

i j k

= 0

e . g . ,

x x y

= 0 . T h e t e n s o r

i j k

i s v e r y u s e f u l f o r w r i t i n g d o w n a v e c t o r p r o d u c t i n s u x

n o t a t i o n . S h o w t h a t

A B

i

=

i j k

A

j

B

k

1 4

T h e f o l l o w i n g r e l a t i o n

i j k

k l m

=

i l

j m

i m

j l

1 5

i s t e d i o u s t o p r o v e u s i n g c o m p o n e n t s y o u s h o u l d c o m e a c r o s s t h i s i n m a t h s l e c t u r e s b u t

i s w o r t h r e m e m b e r i n g . I t s a v e s a g r e a t d e a l o f t i m e w h e n m a n i p u l a t i n g v e c t o r i d e n t i t i e s

s u c h a s

A B C =

i j k

A

j

k l m

B

l

C

m

= A

j

B

l

C

m

i l

j m

i m

j l

= B

i

A

j

C

j

C

i

A

j

B

j

= A C B A B C

9


22/22

w h i c h i s a f a m i l i a r r e s u l t n o r m a l l y d e r i v e d b y m o r e t e d i o u s m e a n s .

T h e r e s u l t E q . 1 5 i s e s p e c i a l l y h e l p f u l w h e n d e a l i n g w i t h v e c t o r i d e n t i t i e s i n v o l v i n g

t h e r o p e r a t o r . B e c a u s e

i j k

i s a c o n s t a n t t e n s o r , i t c o m m u t e s w i t h r , a n d e x p r e s s i o n s

c a n b e r e - o r d e r e d a c c o r d i n g l y . F o r e x a m p l e

r E H r

i

i j k

E

j

H

k

1 6

=

i j k

r

i

E

j

H

k

=

i j k

E

j

r

i

H

k

+ H

k

r

i

E

j

1 7

= E

j

j i k

r

i

H

k

+ H

k

k i j

r

i

E

j

1 8

= E r H + H r E 1 9

w h i c h i s a r e s u l t u s e d i n i n c o n n e c t i o n w i t h P o y n t i n g ' s v e c t o r i n e l e c t r o m a g n e t i s m .

i M a k e s u r e y o u u n d e r s t a n d e a c h s t e p o f t h i s d e r i v a t i o n .

i i S h o w , u s i n g s i m i l a r m e t h o d s , t h a t

r r A = r r A r

2

A

r A = r A A ^ r

T h e s e r e l a t i o n s a r e u s e f u l i n e l e c t r o m a g n e t i s m a n d o t h e r t o p i c s i n t h e I B a n d p a r t s I I a n d

I I I c o u r s e s .

1 0

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