79
Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehniˇ cki odsek Smer E2, 31. januar 2006. 1. Odrediti analitiˇ cku funkciju f (z )= P (x, y)+ iQ(x, y), z = x + yi, ako je P (x, y)=(x + 1)e x cos y - ye x sin y i f (0) = 1. 2. Funkciju f (z )= z+2 z 2 (z 2 -1) razviti u Loranov red po stepenima od z . Izraˇ cunati R |z+1|=r f (z )dz , r> 0, r 6=1, 2. 3. Preslikavanjem w = e zi sin z preslikati oblast G = {z C : Imz < 0, - π 2 < Rez < - π 4 }. 4. Izraˇ cunati 2π R 0 1+sin x 1+cos 2 x dx. 5. Stepena funkcija w = z α , z,α C . 6. Tejlorova teorema (razlaganje funkcije u Tejlorov red). 7. Izolovani singulariteti. KATEDRA ZA MATEMATIKU Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehniˇ cki odsek Smer E2, 31. januar 2006. 1. Odrediti analitiˇ cku funkciju f (z )= P (x, y)+ iQ(x, y), z = x + yi, ako je P (x, y)=(x + 1)e x cos y - ye x sin y i f (0) = 1. 2. Funkciju f (z )= z+2 z 2 (z 2 -1) razviti u Loranov red po stepenima od z . Izraˇ cunati R |z+1|=r f (z )dz , r> 0, r 6=1, 2. 3. Preslikavanjem w = e zi sin z preslikati oblast G = {z C : Imz < 0, - π 2 < Rez < - π 4 }. 4. Izraˇ cunati 2π R 0 1+sin x 1+cos 2 x dx. 5. Stepena funkcija w = z α , z,α C . 6. Tejlorova teorema (razlaganje funkcije u Tejlorov red). 7. Izolovani singulariteti. KATEDRA ZA MATEMATIKU

Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehnicki odsek

Smer E2, 31. januar 2006.

1. Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y)+ iQ(x, y), z = x+yi, ako je P (x, y) = (x+1)ex cos y−yex sin y i f(0) = 1.

2. Funkciju f(z) = z+2z2(z2−1) razviti u Loranov red po stepenima od z.

Izracunati∫

|z+1|=r

f(z)dz, r > 0, r 6= 1, 2.

3. Preslikavanjem w = ezi

sin zpreslikati oblast G = {z ∈ C : Imz < 0,− π

2 < Rez < −π

4}.

4. Izracunati2π∫

0

1+sinx

1+cos2 xdx.

5. Stepena funkcija w = zα, z, α ∈ C.

6. Tejlorova teorema (razlaganje funkcije u Tejlorov red).

7. Izolovani singulariteti.

KATEDRA ZA MATEMATIKU

Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehnicki odsek

Smer E2, 31. januar 2006.

1. Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y)+ iQ(x, y), z = x+yi, ako je P (x, y) = (x+1)ex cos y−yex sin y i f(0) = 1.

2. Funkciju f(z) = z+2z2(z2−1) razviti u Loranov red po stepenima od z.

Izracunati∫

|z+1|=r

f(z)dz, r > 0, r 6= 1, 2.

3. Preslikavanjem w = ezi

sin zpreslikati oblast G = {z ∈ C : Imz < 0,− π

2 < Rez < −π

4}.

4. Izracunati2π∫

0

1+sinx

1+cos2 xdx.

5. Stepena funkcija w = zα, z, α ∈ C.

6. Tejlorova teorema (razlaganje funkcije u Tejlorov red).

7. Izolovani singulariteti.

KATEDRA ZA MATEMATIKU

Page 2: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Treci kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehnicki odsek

Smer E2, 18.1.2006.

1. Funkciju f(x) = x sinx, x ∈ [0, π], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima. (sinα sinβ =1

2(cos(α − β) − cos(α + β))

2. Primenom Laplasove transformacije resiti integralnu jednacinu

y(t) = 2 + et +

t∫

0

(t − u)y(u)du.

KATEDRA ZA MATEMATIKU

Treci kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehnicki odsek

Smer E2, 18.1.2006.

1. Funkciju f(x) = x sinx, x ∈ [0, π], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima. (sinα sinβ =1

2(cos(α − β) − cos(α + β))

2. Primenom Laplasove transformacije resiti integralnu jednacinu

y(t) = 2 + et +

t∫

0

(t − u)y(u)du.

KATEDRA ZA MATEMATIKU

Treci kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehnicki odsek

Smer E2, 18.1.2006.

1. Funkciju f(x) = x sinx, x ∈ [0, π], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima. (sinα sinβ =1

2(cos(α − β) − cos(α + β))

2. Primenom Laplasove transformacije resiti integralnu jednacinu

y(t) = 2 + et +

t∫

0

(t − u)y(u)du.

KATEDRA ZA MATEMATIKU

Treci kolokvijum iz Analize 2 – Elektrotehnicki odsek

Smer E2, 18.1.2006.

1. Funkciju f(x) = x sinx, x ∈ [0, π], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima. (sinα sinβ =1

2(cos(α − β) − cos(α + β))

2. Primenom Laplasove transformacije resiti integralnu jednacinu

y(t) = 2 + et +

t∫

0

(t − u)y(u)du.

KATEDRA ZA MATEMATIKU

Page 3: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

01. decembar 2006.

1. Razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0 funkciju f(x) = x2−3x

(1−x)2(1+x).

2. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑

n=1

n2 + 3n − 2

n2

(

x − 1

x2 + 1

)n

.

3. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, 4 − z ≥ x2 + y2}.

4. Izracunati∫

L

xydx + ydy, gde je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = −2y, x ≥ 0} orijentisana

od tacke O(0, 0)

a) direktno

b) primenom Grinove formule.

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

01. decembar 2006.

1. Razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0 funkciju f(x) = x2−3x

(1−x)2(1+x).

2. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑

n=1

n2 + 3n − 2

n2

(

x − 1

x2 + 1

)n

.

3. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, 4 − z ≥ x2 + y2}.

4. Izracunati∫

L

xydx + ydy, gde je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = −2y, x ≥ 0} orijentisana

od tacke O(0, 0)

a) direktno

b) primenom Grinove formule.

Page 4: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E2Drugi kolokvijum iz Analize 2

22. decembar 2006.

1. Razviti u red u okolini tacke a = −1 funkciju f(z) = z3+2

z2+z.

2. Izracunati∫

L

1z(1+e2z)

dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = 5} pozitivno orijentisana.

3. Preslikavanjem w = ictg π

2zpreslikati oblast

G = {z ∈ C : |z − 1| > 1, Re{z} > 0, Im{z} < 0}.

4. Kosijeva teorema i posledice.

5. Izolovani singulariteti.

6. Jednacina kruznice u kompleksnoj ravni.

Page 5: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek

Matematicka Analiza 2

8. februar 2007.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑

n=1

n2 − 2

n!(n + 1)

(

1

x2 + 1

)n

.

2. Razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0 funkciju f(x) = arccos x (Uputstvo: naci f ′(x)).

3. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, (z − 2)2 ≤ x2 + y2}.

4. Izracunati∫

L

1(z−2)2

e1

z dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 2 pozitivno

orijentisana.

5. Preslikavanjem w =1 − e(1−i)z

1 + e(1−i)zpreslikati oblast

G = {z ∈ C : Rez > −Imz, Rez > Imz, Rez − Imz <π

2}.

6. Primenom Laplaceove transformacije, odrediti jedno partikularno resenje Laguerreove difer-encijalne jednacine

tx′′(t) + (1 − t)x′(t) + nx(t) = 0, t ≥ 0, n ∈ N.

Teorijska pitanja

1. Stepeni redovi.

2. Inverzija.

Studenti smera E1 ne rade zadatak 6., a studenti smera E2 ne rade zadatak 2.Studenti koji su slusali predmet ove godine, koji su polozili ispit preko kolokvijuma i koji zele

da poprave ocenu sa kolokvijuma, rade samo zadatke, i to najvise 3 sata.Studenti koji nemaju polozen ispit preko kolokvijuma, rade i zadatke i teoriju, i to najvise 4

sata.

Page 6: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekDrugi popravni kolokvijum iz Analize 2

8. februar 2007.

1. Funkciju f(z) =sin(z + 1)i

ez+1razviti u red u tacki z = 1.

2. Izracunati∫

L

1z−2

e1

z dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 2 pozitivno orijentisana.

3. Preslikavanjem w =1 − e(1−i)z

1 + e(1−i)zpreslikati oblast

G = {z ∈ C : Rez > −Imz, Rez > Imz, Rez − Imz <π

2}.

4. Napisati teoremu koja daje dovoljan uslov za diferencijabilnost kompleksne funkcije kom-pleksne promenljive.

5. a) Da li je funkcija f(z) = z sin z analiticka u C?

b) Naci∫

L

z sin zdz gde je L polukruznica koja prolazi kroz tacke (0,0), (1,1) i (2,0), ori-

jentisana od tacke (2,0) prema tacki (0,0).

c) Napisati jednacinu polukruznice L u cetiri razlicita oblika. Napisati jednacinu krive L′

u koju se polukruznica L preslikava inverzijom.

6. Bilinearno preslikavanje.

7. Naci Γ(− 32) ako je Γ(1

2) =

√π

8. Izracunati (−1 − i)(−1−i).

9. Data je funkcija f(z) = 1z−i

. Odrediti oblasti u kojima se vrednost funkcije f(z) izracunavapreko Tejlorovog, odnosno Loranovog razvoja u tacki α, u zavisnosti od polozaja tacke α uC.

Page 7: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

21. januar 2007.

1. Funkciju f(z) = sin

(

π

4· z + 1

z − 1

)

razviti u red u tacki 1. (sin(x+y) = sin x cos y+cos x sin y.)

2. Izracunati

L

z

ez − 1dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = 7} pozitivno orijentisana.

3. Preslikavanjem w =e(1+i)z − 1

e(1+i)z + 1preslikati oblast

G = {z ∈ C : Rez < −Imz, Rez < Imz, Rez + Imz > −π

2}.

4. Data je funkcija f(z) =z + 1

|z|2 , i oblast G = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.

a) Da li je funkcija f(z) definisana u oblasti G?

b) Da li postoji izvod funkcije f(z) u oblasti G\{0}?

c) Izracunati

|z|=1

f(z)dz.

5. Data je funkcija f(z) =sin z

z3.

a) U kojoj tacki a ∈ C funkcija f(z) ima singularitet?

b) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u tacki a.

c) Pokazati da f(z) u tacki a ima singularitet odredjenog tipa proveravajuci svaku oddefinicija tog tipa singulariteta.

6. Izracunati (−1 + i)(−1+i).

7. Dokazati da je ez+w = ezew, za sve z, w ∈ C.

8. Neka je K kruznica u kompleksnoj ravni, sa centrom u tacki z0 = −1 + i i poluprecnikoma =

√2.

a) Napisati jednacinu kruznice K u cetiri razlicita oblika.

b) Naci krivu K ′ u koju se kriva K preslikava inverzijom i napisati jednacinu krive K ′ urazlicitim oblicima.

Page 8: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

UNIVERZITET U NOVOM SADU

FAKULTET TEHNICKIH NAUKA

ELEKTROTEHNICKI ODSEK

SMER E2

TRECI KOLOKVIJUM IZ ANALIZE II

-Fourierova i Laplaceova transformacija

8. februar 2007.

1. Razviti funkciju f(x) = ex + x, x ∈ [0, π] u nepotpunFourierov red po sinusima.

2. Primenom Laplaceove transformacije, odrediti jednopartikularno resenje Laguerreove diferencijalne jednacine

tx′′(t) + (1 − t)x′(t) + nx(t) = 0, t ≥ 0, n ∈ N.

TRECI KOLOKVIJUM IZ ANALIZE II

-Fourierova i Laplaceova transformacija

8. februar 2007.

1. Razviti funkciju f(x) = ex + x, x ∈ [0, π] u nepotpunFourierov red po sinusima.

2. Primenom Laplaceove transformacije, odrediti jednopartikularno resenje Laguerreove diferencijalne jednacine

tx′′(t) + (1 − t)x′(t) + nx(t) = 0, t ≥ 0, n ∈ N.

1

Page 9: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

TRECI KOLOKVIJUM IZ ANALIZE II

-Fourierova i Laplaceova transformacija

8. februar 2007.

1. Razviti funkciju f(x) = ex + x, x ∈ [0, π] u nepotpunFourierov red po sinusima.

2. Primenom Laplaceove transformacije, odrediti jednopartikularno resenje Laguerreove diferencijalne jednacine

tx′′(t) + (1 − t)x′(t) + nx(t) = 0, t ≥ 0, n ∈ N.

2

Page 10: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Analiza 25. jul 2007.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda∞∑

n=0

n3+3n2+3n+2n+1

(x+1)2n+2

(x2+1)n+1 .

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ 2x, x2 + y2 ≤ 2y, 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y2}.

3. Primenom Grinove formule izracunati integral∫

L

(1 − x2)ydx + x(1 + y2)dy, ako je L = {(x, y) ∈ R2 : x2

a2 + y2

b2= 1} pozitivno orijentisana

elipsa.

4. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

1(z−2)2

sin 1zdz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

5. Preslikavanjem w = e3z+2e3z+1

preslikati oblast G = {z ∈ C : 0 < Re{z} < 13, 0 < Im{z} < π

3}.

6. Funkciju f(x) = cos x, x ∈ [0, π3], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

7. Stepeni redovi.

8. Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 ne rade zadatak 6, studenti smera E2 ne rade zadatak 3.

Page 11: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Analiza 214. jul 2007.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu funkcionalnog reda∞∑

n=1

n3+n+1

n

(x−1)2n+2

(x2+1)n+2 .

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 2x, x2 + y2 ≤ 2y, 0 ≤ z ≤

4 − x2 − y2}.

3. Primenom Grinove formule izracunati integral∫

L

(ex cos y − y)dx + (1 − ex sin y)dy, ako je

kriva L = L1 ∪ L2, L1 = {(x, y) ∈ R2 : y = a√

2, 0 ≤ x ≤ a√

2, a > 0}, L2 = {(x, y) ∈ R

2 :

x2 + y2 = a2, y ≥ 0, x ≥ y, a > 0}, orijentisana tako da joj je tacka A(a, 0) pocetna tacka.

4. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

1(z−1)2

sin 1z−2

dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

5. Preslikavanjem w = e4zi+2e4zi+1

preslikati oblast G = {z ∈ C : 0 < Re{z} < π

4, 0 < Im{z} < 1

4}.

6. Funkciju f(x) = x cos x, x ∈ [0, π

2], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

7. Alternativni redovi.

8. Inverzija.

Studenti smera E1 ne rade zadatak 6, studenti smera E2 ne rade zadatak 3.

Page 12: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Analiza 2

3. oktobar 2007.

1. Ispitati uniformnu i apsolutnu kovergenciju reda∞∑

n=1

xe−n6x3

za x ≥ 0.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z, x2 + y2 ≤ 8 − z}.

3. Izracunati integral∫

L

y2dx + x2dy, ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0}orijentisana tako da joj je tacka A(0, 2) pocetna tacka

(a) direktno, (b) Primenom Grinove formule.

4. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

1(z−1)2

cos2 12(z−2)

dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

5. Preslikavanjem w = 4i z−2z−1

preslikati oblast G = {z ∈ C : |z| < 1, Re{z} > 0, Im{z} > 0}.

6. Funkciju f(x) =

{

2x 0 < x ≤ 14 − 2x 1 < x < 2

razviti u Furijeov red.

7. Apsolutno konvergentni redovi.

8. Stepena funkcija f(z) = zα, z ∈ C, α ∈ C.

Studenti smera E1 ne rade zadatak 6, studenti smera E2 ne rade zadatak 3.

Elektrotehnicki odsek,Analiza 2

25. septembar 2007.

1. Ispitati uniformnu i apsolutnu kovergenciju reda∞∑

n=1

xe−n4x2

na R.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z, x2 + y2 ≤ 4 − z}.

3. Izracunati integral∫

L

x2dx + y2dy, ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2, x ≥ 0, y ≥ 0}

orijentisana tako da joj je tacka A(√

2, 0) pocetna tacka

(a) direktno, (b) Primenom Grinove formule.

4. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

1(z−1)2

cos2 12(z−2)

dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

5. Preslikavanjem w = 4i z−2z−1

preslikati oblast G = {z ∈ C : |z| > 1, Re{z} > 0, Im{z} > 0}.

6. Funkciju f(x) =

{

x 0 < x ≤ 12 − x 1 < x < 2

razviti u Furijeov red.

7. Nezavisnost krivolinijskog integrala od putanje integracije.

8. Eksponencijalna i logaritamska funkcija u kompleksnoj analizi.

Studenti smera E1 ne rade zadatak 6, studenti smera E2 ne rade zadatak 3.

Page 13: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,

smer E2Prvi kolokvijum iz Analize 2

23. novembar 2007.

Predispitne obaveze

1. (1 poen) Da li red∞∑

n=1

n2 + 1 konvergira?

2. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1

n2+x4 konvergira uniformno na R?

3. (2 poena) Izracunati∞∑

n=3

(1

2)n.

4. (2 poena) Izracunati povrsinu oblasti σ = {(x, y) ∈ R2 : x2

a2 + y2

b2≤ 1, a > 0, b > 0}.

5. (3 poena) Izracunati vrednost integrala∫

L

2ydx + xdy, ako je L duz koja spaja tacke A(0, 1)

i B(2, 1), orijentisana od A prema B.

Deo zavrsnog ispita

1. (5 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda∞∑

n=1

n−1

n+1(x − 1)n.

2. (5 poena) Funkciju f(x) = arcsin x razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0.

3. (5 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

x2+n3x2 , za x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫

L

xydx − 2x2dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2x, y ≥ 0}

orijentisana od tacke A(2, 0)

(a) (5 poena) direktno,

(b) (5 poena) primenom Grinove formule.

Page 14: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,

smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

1. decembar 2007.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1√n3

konvergira?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

sinxn

n2 konvergira uniformno na R?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=1

(−1)n

n!.

4. (3 poena) Izracunati povrsinu oblasti σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2

4≤ 1}.

5. (4 poena) Izracunati vrednost integrala∫

L

ydx− 2xdy, ako je L duz koja spaja tacke A(0, 1)

i B(2, 4), orijentisana od A prema B.

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda∞∑

n=1

n2−n+1n

(x − 2)n+1.

2. (6 poena) Funkciju f(x) = arccos x razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0.

3. (6 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

x2

1+n4x4 , za x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫

L

2dx + (x − 1)(y + 1)dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = −2y, x ≥ 0}

orijentisana od tacke O(0, 0)

(a) (5 poena) direktno,

(b) (7 poena) primenom Grinove formule.

Page 15: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,

smer E2Drugi kolokvijum iz Analize 2

21. 12. 2007.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati (1 − i)i.

2. (2 poena) Da li je funkcija f(z) = |z|2 analiticka funkcija? Zasto?

3. (2 poena) Izracunati∫

L

Rez dz, ako je L duz koja spaja tacke 1 i −i u kompleksnoj ravni,

orijentisana od tacke −i.

4. Izracunati∫

L

(z + 1)dz, ako je L

a) (1 poen) duz koja spaja tacke 1 i i, orijentisana od tacke 1,

b) (1 poen) pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

5. (2 poena) Preslikavanjem w = 1z

preslikati oblast G = {z ∈ C : |z − 1| < 1}.

Deo zavrsnog ispita

1. (7 poena) Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

ez

z2(z−2)dz, ako je L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 2}.

2. (7 poena) Razviti u red funkciju f(z) = i

z2+4u tacki z = −2i.

3. (7 poena) Preslikavanjem w = 2ezi−1

preslikati oblast G = {z ∈ C : 0 < Re z < π

2, Im z > 0}.

Page 16: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

13. 01. 2008.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati i2i.

2. (2 poena) Da li je funkcija f(z) = Rez

zanaliticka funkcija? Zasto?

3. (2 poena) Izracunati∫

L

|z|2dz, ako je kriva L deo centralne jedinicne kruznice koji se nalazi

u drugom kvadrantu, orijentisana od tacke i.

4. Izracunati∫

L

z2dz, ako je L

a) (2 poena) duz koja spaja tacke 1 i i, orijentisana od tacke 1,

b) (2 poena) negativno orijentisana jedinicna kruznica.

5. (2 poena) Kruznica K ima centar u tacki −1 + i, a poluprecnik√

2.

a) (3 poena) Napisati jednacinu kruznice u raznim oblicima.

b) (2 poena) Naci sliku K ′ inverzijom date kruznice. Nacrtati i napisati jednacinu slikeK ′ u jednom obliku.

Deo zavrsnog ispita

1. (10 poena) Izracunti∫

L

cos z

(z−1)(z2−1)

dz, ako je L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1}.

2. (6 poena) Razviti u red funkciju f(z) = i

z2−4

u tacki z = 2.

3. (10 poena) Preslikavanjem w = 2i

e−zi−1

preslikati oblast G = {z ∈ C : −π

2< Re z <

0, Im z < 0}.

Page 17: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E2Treci kolokvijum iz Analize 2

13. 01. 2008.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Funkcija f(x) je neparna ako je f(−x) = , odnosno ako joj je grafik simetricanu odnosu na .

2. (2 poena) U razvoju funkcije f(x) = x2, x ∈ [−a, a] u Furijeov red, figurisu samo .

3. (3 poena) Naci L[t cosh at].

4. (3 poena) Naci L−1[ s+1s2+2s+2

].

Deo zavrsnog ispita

1. (5 poena) Funkciju f(x) =

{

x 0 ≤ x < π

2

0 π

2≤ x < π

razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

2. (5 poena) Primenom Laplasove transformacije resiti integralnu jednacinu

t∫

0

e2(t−u)y(u)du− y(t) = (t − 1)e2t.

Elektrotehnicki odsek, smer E2Treci kolokvijum iz Analize 2

13. 01. 2008.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Funkcija f(x) je neparna ako je f(−x) = , odnosno ako joj je grafik simetricanu odnosu na .

2. (2 poena) U razvoju funkcije f(x) = x2, x ∈ [−a, a] u Furijeov red, figurisu samo .

3. (3 poena) Naci L[t cosh at].

4. (3 poena) Naci L−1[ s+1s2+2s+2

].

Deo zavrsnog ispita

1. (5 poena) Funkciju f(x) =

{

x 0 ≤ x < π

2

0 π

2≤ x < π

razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

2. (5 poena) Primenom Laplasove transformacije resiti integralnu jednacinu

t∫

0

e2(t−u)y(u)du− y(t) = (t − 1)e2t.

Page 18: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek

Analiza 2

1. februar 2008.

1. a) (7 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n(n+2)n+1

(x−12

)n.

b) (3 poena) Izracunati∞∑

n=1

n2−1

2nn.

2. Izracunati∫

L

ydx− x2dy ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2y, x ≥ 0} orijentisana od

tacke O(0, 0)

a) (5 poena) direktno,

b) (5 poena) primenom Grinove formule.

3. (10 poena) Izracunati povrsinu povrsi S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 4 − x2 − y2, z ≥ 0}.

4. (10 poena) Izracunati∫

L

cos zi

z2(z2 + 1), ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

5. (10 poena) Preslikavanjem w =sin 1

z

ei

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 2π| > 2

π, Rez < 0, Imz > 0}.

6. (5 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeQ(x, y) = 2xy + ex cos y, i f(0) = i. (samo E1)

7. (5 poena) Funkciju f(x) = x, x ∈ [−π

2, π

2] razviti u Furijeov red. (samo E2)

8. (10 poena) Apsolutno konvergentni redovi.

9. (10 poena) Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 koji polazu po novom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, i 6.

Studenti smera E2 koji polazu po novom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, i 7.

Studenti smera E1 koji polazu po starom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, i 9.

Studenti smera E2 koji polazu po starom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, i 9.

Page 19: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek

Analiza 2

15. februar 2008.

1. (10 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

1

n!(n2 + 5n + 6)

1

(x − 1)n.

2. Izracunati∫

L

xy2dx + x sin ydy ako je kriva L = L1 ∪ L2,

L1 = {(x, y) ∈ R2 : x = y2, 0 ≤ y ≤ 1}, L2 = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2, 0 ≤ y ≤ 1},orijentisana od tacke O(0, 0)

a) (5 poena) direktno,

b) (5 poena) primenom Grinove formule.

3. (10 poena) Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2,√

x2 + y2 − 4 ≤ z ≤ 8 − x2 − y2}.

4. (4 poena) Ispitati prirodu singulariteta funkcije f(z) =1

sin z − cos z.

(6 poena) Izracunati∫

L

dz

sin z − cos z, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = 2} pozitivno orijenti-

sana.

5. (10 poena) Preslikavanjem w = thz preslikati oblast

G = {z ∈ C : Rez < 0, 0 < Imz < π

4}. (shz = ez

−e−z

2, chz = ez+e−z

2)

6. (5 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = ex cos y + x3 − 3xy2, i f(0) = 1. (samo E1)

7. (5 poena) Funkciju f(x) = x, x ∈ [0, π

2] razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima. (samo

E2)

8. (10 poena) Stepeni redovi.

9. (10 poena) Kompleksne funkcije ez i Lnz.

Studenti smera E1 koji polazu po novom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, i 6.

Studenti smera E2 koji polazu po novom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, i 7.

Studenti smera E1 koji polazu po starom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, i 9.

Studenti smera E2 koji polazu po starom rade zadatke 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, i 9.

Page 20: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 224.04.2008. godine

1. Dat je stepeni red∞∑

n=1

3n + (−2)n

n(x + 1)n.

(a) Odrediti oblast konvergencije datog reda.

(b) Odrediti sumu reda za x = −56.

2. Izracunati krivolinijski integral ∫

L

ydx + zdy + ydz

po pozitivno orijentisanoj krivoj L koja spaja tacke A(a, 0, 1) i B(0, a, 1), a dobija se presekomravni x = 0, y = 0, z = 0, sa onim delom cilindricne povrsi x2+y2 = a2 koji lezi u prvom oktantui za koji je 0 < z < 1.

3. Naci zapreminu tela ogranicenog sa povrsima

x2 + y2 = 1, z =√

x2 + y2, x2 + y2 = 4− z,

pri cemu je x2 + y2 ≤ 1.

4. Neka je u =x

x2 + y2+x realni deo analiticke funkcije w = f(z) za koju je f(i) = 0. Naci funkciju

w = f(z).

5. Data je funkcija

f(z) =ez(z − 1) + 1

zk(z − 1)k ∈ N.

(a) Odrediti k tako da tacka z = 0 bude pol treceg reda funkcije f(z).

(b) Za tako odredeno k izracunati ∫

L

f(z)dz,

gde je L = |z − 12| = 1.

6. Pomocu funkcije w = e

2πz

z − 2a , a > 0 preslikati oblast |z − a| ≥ a, |z| ≤ 2a, Im z ≤ 0.

7. Razviti u Furijerov red funkciju

f(x) ={

3 , 0 ≤ x ≤ 14x− x2 , 1 ≤ x ≤ 2 .

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.

Page 21: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 224.06.2008. godine

1. Ispitati oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=3

1(n− 1)(n− 2)xn

.

2. Izracunati krivolinijski integral∫

L

(x− y − z + 2)dx + (y − x)dy + (x + z − 1)dz

duz pozitivno orijentisane krive L dobijene presekom x2 + y2 = 2− z i x2 + y2 = 2y.

3. Naci zapreminu tela ogranicenog sa povrsima

x2 + y2 = 1, z =√

x2 + y2, x2 + y2 = 4− z,

pri cemu je x2 + y2 ≤ 1.

4. Neka je u = − x

x2 + y2realni deo analiticke funkcije w = f(z) za koju je f(1) = −1 + i. Naci

funkciju w = f(z).

5. Primenom racuna ostataka izracunati integral

2π∫

0

cos x

a + b sin xdx, a > b > 0.

6. Funkcijom w = e

π

22 + i− z

z − i preslikati oblast |z − 2i| < 1, |z − 32| > 1

2, |z − 1− i| < 1.

7. Primenom Laplasovih transformacija resiti sistem diferencijalnih jenacina

x′ + 2x + y = sin t,

y′ − 2y − 4x = cos t,

ako je x(0) = 0, y(0) = 0.

8. Kriterijumi za konvergenciju redova pozitivnim clanovima.

9. Razni oblici jednacine kruznice u kompleksnoj ravni.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 22: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 208.07.2008. godine

1. Ispitati oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑

n=

n2

n + 1

( x

x + 1

)n

.

2. Izracunati integral

L

2(x2 + y2)dx+(x+ y)2dy, gde je L pozitivno orijentisana kriva koja spaja

tacke trougla A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3).

(a) Direktno;

(b) Primenom Grinove formule.

3. Izracunati zapreminu tela ogranicenog sa povrsima

x2 + y2 ≤ z2, x2 + y2 ≤ 2 − z, z ≥ −√

8 − x2 − y2.

4. Neka je v =x

(x2 + y − 1)2imaginarni deo analiticke funkcije w = f(z). Naci funkciju w = f(z).

5. Izracunati vrednost integrala∫

|z|=1

dz

(z − a)4(z − b)5,

za razne vrednosti parametara a i b (1 6= |a| < |b| 6= 1).

6. Pomocu funkcije w = tgz preslikati −π

4≤ Rez ≤

π

4, Imz ≤ 0.

7. Primenom Laplasovih transformacija resiti integro-diferencijalnu jednacinu

6y − y′ = 10 sin t + 10

t∫

0

y(t) cos(t − u)du,

uz uslov y(0) = 0.

8. T1. Nezavisnost od putanje integracije krivolinijskog integrala.

9. T2. Eksponencijalna i logaritamska funkcija kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 23: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 209.09.2008. godine

1. Ispitati oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑

n=1

n3 + 3n2 + 2n − 4

n + 2(x2 − x)n.

2. Izracunati krivolinijski integral

L

(

x+x

x2 + y2 + 1

)

dx+(

y−y

x2 + y2 + 1

)

dy, gde je L kontura

oblasti y2 ≤ x, x2 + y2 ≤ 2, y ≥ 0.

(a) Direktno;

(b) Primenom Grinove formule.

3. Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima

x2 + y2 + z2 ≤ 4, (x − 2)2 + y2 ≤ z2.

4. Razviti u stepeni red po stepenima od z funkciju f(z) =1

z3(z − 2)3.

5. (a) Neka je u =x

x2 + y2+ x realni deo analiticke funkcije w = f(z) za koju je f(i) = 0. Naci

funkciju w = f(z).

(b) Izracunati vrednost integrala

|z− 1

2|=1

z − 1

z2(z + 1

4)e

1

z−2 dz.

6. Pomocu funkcije w = e

2πiz

z − 2 , preslikati oblast |z − 1| ≥ 1, |z| ≤ 2, Im z ≤ 0.

7. Razviti u Furijerov red u intervalu (−2, 2) funkciju

f(x) = |x + 1| − 1.

8. T1. Alternativni red.

9. T2. Izolovani singulariteti kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 24: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 226.9.2008. godine

1. Ispitati oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2

n + 1

( x

x + 1

)n

.

2. Izracunati integral∫

L

2(x2 + y2)dx+(x+ y)2dy, gde je L pozitivno orijentisana kriva koja spaja

tacke trougla A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3).

(a) Direktno;

(b) Primenom Grinove formule.

3. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 8− x2 − y2}.

4. Neka je P =x

x2 + y2− x realni deo analiticke funkcije w = f(z), i f(1) = 0. Naci funkciju

w = f(z).

5. Razviti u stepeni red u tacki z0 = 0 funkciju f(z) = frac1z(z2 + 4).

6. Data je funkcija f(z) = z+1z2(z− 1

2 )sin 1

z−2 .

a) Odrediti singularitete funkcije f(z).

b) Izracunati vrednost integrala ∫

|z|=1

f(z)dz.

7. Razviti u Furijeov red funkciju f(x) = |x− 1|+ 1 na intervalu (−2, 2).

8. T1. Kriterijumi konvergencije realnih redova.

9. T2. Izolovani singulariteti.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 25: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 21.10.2008. godine

1. Ispitati oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=2

n2

n − 1(x2 + x)n.

2. Izracunati integral

L

2(x + y2)dx + (x− y)2dy, gde je L pozitivno orijentisana kriva koja spaja

tacke trougla A(−2,−1), B(1, 1), C(2,−1).

(a) Direktno;

(b) Primenom Grinove formule.

3. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 8 − x2 − y2, x ≥ 0}.

4. Neka je P =x

x2 + y2+ x realni deo analiticke funkcije w = f(z), i f(1) = 0. Naci funkciju

w = f(z).

5. Razviti u stepeni red u tacki z0 = 0 funkciju f(z) = 1z3(z2+3) .

6. Data je funkcija f(z) = z−1z2(z+ 1

3)cos 1

z−2 .

a) Odrediti singularitete funkcije f(z).

b) Izracunati vrednost integrala ∫

|z|=1

f(z)dz.

7. Razviti u Furijeov red funkciju f(x) = |x − 1| − 1 na intervalu (−2, 2).

8. T1. Osnovne definicije i teoreme teorije redova u R.

9. T2. Kosijeve integralne formule.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 26: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Prvi kolokvijum iz Analize 2

30. novembar 2008.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

(−1)n

n2 konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

arctan nx

n2 konvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=2

(−1)n+1

3n.

4. (3 poena) Izracunati∫∫σ

dxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 3, x ≥ 0, y ≤ 0}.

5. (4 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

2dx + xdy, ako je L duz koja spaja tacke A(1, 1)

i B(2, 1), orijentisana od A prema B.

Deo zavrsnog ispita

1. (E1 6 poena, E2 5 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu stepenog reda

∞∑

n=0

n + 2

n + 1(−1)n(x + 1)n.

2. (E1 6 poena, E2 5 poena) Funkciju f(x) = 1x2+3x+2

razviti u stepeni red u okolini tackex0 = 0.

3. (E1 6 poena, E2 5 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

x

n(1+n2x2), za x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

xydx − x2dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2x, y ≥ 0, x ≥ 1}

orijentisana od tacke A(2, 0)

(a) (E1 6 poena, E2 5 poena) direktno,

(b) (E1 6 poena, E2 5 poena) primenom Grinove formule.

Page 27: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

17. 01. 2009.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati (i + 1)2+i.

2. (2 poena) Da li je funkcija f(z) = Rez

zanaliticka funkcija u C\{0}? Zasto?

3. (2 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = x i f(1) = 0.

4. (2 poena) Izracunati∫

L

(Rez + Imz)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke z = i i z = −1,

orijentisana od tacke z = i.

5. Izracunati∫

L

cos zdz, ako je L

a) (2 poena) duz koja spaja tacke z = π

2i z = −π

2, orijentisana od tacke z = −π

2,

b) (2 poena) pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

6. (3 poena) Preslikati inverzijom skupove

G1 = {z ∈ C : Imz = 1} i G2 = {z ∈ C : |z − i| < 1}.

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫

L

ez2

z3+z2 dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 1, pozitivno

orijentisana.

2. (8 poena) Razviti u red funkciju f(z) = (z2 + 1) cos 1

z−1u tacki z = 1.

3. (10 poena) Preslikavanjem w =sin i

z+1

z

ez+1

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 1

2| > 1

2, |z − 2

πi| > 2

π, Im z > 0}.

Page 28: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekDrugi kolokvijum iz Analize 2

30. 01. 2009.

Predispitne obaveze

1. Data je funkcija f(z) = z2 sin z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati∫

L

f(z)dz ako je L pozitivno orijentisana elipsa

L = {z ∈ C : (Re z)2

a2 + (Im z)2

b2= 1}, a, b > 0.

2. Data je funkcija f(z) = zRez.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati∫

L

f(z)dz ako je L pozitivno orijentisan trougao sa temenima z = 0,

z = 2 i z = i.

3. (2 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = −y i f(1) = i.

4. Primenom Kosijevih integralnih formula izracunati∫

|z|=1

ez

2

z − 12

dz.

5. (3 poena) Preslikavanjem w = ez preslikati pravougaonik sa temenima z = 0, z = 1, z = πi

i z = 1 + πi.

6. Odrediti L−1( s+3s2+2s+2

).

7. Da bismo dobili razvoj funkcije f(x) =

{

−x, 0 ≤ x ≤ 22 − x, 2 < x ≤ 3

u nepotpun red po sinusima

potrebno je funkciju f produziti na sledeci nacin

f1(x) =

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫

L

sin(z2+z+1)(z2−1)(z+1)

dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 1,

pozitivno orijentisana.

2. (8 poena) Razviti u red funkciju f(z) = 1z2+z

u tacki z = 1.

3. (10 poena) Preslikavanjem w =sin 1−zi

z

e1−zi

zi

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z − i

2| > 1

2, |z − 2

π| > 2

π, Re z > 0}.

Page 29: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

4. Resiti sistem integralnih jednacina

x(t) = et +

t∫

0

x(u)du −

t∫

0

e(t−u)y(u)du,

y(t) = −t −

t∫

0

(t − u)x(u)du +

t∫

0

y(u)du

5. Razviti u Furijeov red u intervalu (−π, π) funkciju f(x) =

{

3π + 2x, −π < x < 0π + 2x, 0 < x < π

Naci sumu reda za x = π

4.

Page 30: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 213.01.2009. godine

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

n(x + 1)n.

2. Izracunati krivolinijski integral

L

(3y − x2)dx + (2x + y2)dy

ako je kriva L pozitivno orijentisan rub oblasti G = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x, y ≥ x2}.

(a) direktno

(b) primenom Grinove formule.

3. Naci zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z − 1, x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

4. Neka je P = xex cos y − yex sin y realni deo analiticke funkcije w = f(z), z = x + yi, za koju jef(0) = −i. Naci funkciju w = f(z).

5. Data je funkcija

f(z) =ez(z − 1) + 1

z4(z − 1), k ∈ N.

(a) Funkciju f(z) razviti u red u tacki z = 0.

(b) Izracunati ∫

L

f(z)dz,

gde je L = |z −1

2| = 1.

6. Pomocu funkcije w = e

2πz

z − 2i, preslikati oblast G = {z ∈ C : |z − 1| > 1, |z| < 2, Im z > 0}.

7. Razviti u Furijerov red po sinusima funkciju f(x) = x − 2, x ∈ (0, 1).

8. Osnovne definicije i teoreme konvergentnih redova.

9. Inverzija.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 31: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka-Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 222.3.2009. godine

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

n(x − 1

x + 2)n.

2. Izracunati krivolinijski integral

L

(3y − x2)dx + (2x + y2)dy

ako je kriva L pozitivno orijentisan rub oblasti G = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x, y ≥ x

2, x ≤ 2}.

(a) direktno

(b) primenom Grinove formule.

3. Naci zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ 1 − z, x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

4. Neka je P = 1− x2 + y2 realni deo analiticke funkcije w = f(z), z = x + yi, za koju je f(0) = 1.

Naci funkciju w = f(z).

5. Data je funkcija

f(z) =1

z2 − 2z.

(a) Funkciju f(z) razviti u red u oblasti G = {z ∈ C : |z − 1| < 1}.

(b) Izracunati ∫

L

f(z)dz,

gde je L = {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

6. Preslikavanjem w = ( e4z

−1

e4z+1)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : Re{z} < 0, 0 < Im{z} < π

8}.

7. Razviti u Furijerov red po kosinusima funkciju f(x) = x − 2, x ∈ (0, 1).

8. Stepeni redovi.

9. Logaritamska funkcija u C.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 32: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka, Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 222.4.2009. godine

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

nen

x−1

x+2 .

2. Izracunati krivolinijski integral

L

(3y − x2)dx + (2x + y2)dy

ako je kriva L pozitivno orijentisan rub oblasti G = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, y ≤ 2x, y ≤ 2}.

(a) direktno

(b) primenom Grinove formule.

3. Naci zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 2 − z, x2 + y2 ≤ z2, z ≥ 0}.

4. Neka je Q = (2x + 1)y imaginarni deo analiticke funkcije w = f(z), z = x + yi, za koju jef(0) = 0. Naci funkciju w = f(z).

5. Funkciju f(z) = e2z razviti u red u tacki z = 1.

6. Izracunati ∫

L

z2 cos1

z − 2dz,

gde je L = {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

7. Preslikavanjem w = ( e4z

−1

e4z+1)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : Re{z} > 0, 0 < Im{z} < π

8}.

8. Razviti u Furijerov red po kosinusima funkciju f(x) = 2x − 1, x ∈ (0, 1).

9. Alternativni brojni red.

10. Integral kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 33: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Fakultet tehnickih nauka, Elektrotehnicki odsek

Matematicka analiza 24.9.2009. godine

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=0

n2 − 2

n + 1enx.

2. Izracunati krivolinijski integral

L

(3y − x)dx + (2x + y)dy

ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4x, y ≥ 0} orijentisana od tacke (4,0)

(a) direktno

(b) primenom Grinove formule.

3. Naci zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 2 − z, x2 + y2 ≤ 1, z ≥ 0}.

4. Funkciju f(z) = 1

z2+3z+2razviti u red u oblasti G = {z ∈ C : 1 < |z| < 2}.

5. Izracunati ∫

L

(z2 + z + 1) cos1

z − 2dz,

gde je L = {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

6. Preslikavanjem w = ( e4z

−1

e4z+1)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : Re{z} < 0, 0 < Im{z} < π

8}.

7. Primenom Laplasove transformacije resiti pocetni problem y′′−3y′+2y = 4x uz uslove y(0) = 4,y′(0) = 1.

8. T1. Tejlorova formula realne funkcije realne promenljive.

9. T2. Jednacina kruznice u kompleksnoj ravni.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 34: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

29. januar 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n2+1

n+1(x−1)n

(x+2)n+2 .

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 2x, 0 ≤ z ≤√

4 − x2 − y2}.

3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫

L

xydx− 2x2dy, ako je kriva L pozitivno orijen-

tisan trougao sa temenima A(−1, 2), O(0, 0) i B(1, 2)(a) direktno,(b) primenom Grinove formule.

4. Funkciju f(z) = z

z2−4

razviti u red po stepenima od z − 2.

5. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

1(z−1)

cos 1(z−2)

dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w =e

z+1

z

i cos(iz+1z

)preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| > 1

2, |z + 2

πi| > 2

π, Im z < 0}.

7. Funkciju f(x) = x, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

8. Razvoj realne funkcije u stepeni red.

9. Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 35: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

12. februar 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

1(n+1)(n+2)

(x − 1)n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y ≤ 1, x + y + z ≤ 1, x, y, z ≥ 0}.

3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫

L

xydx − 2x2dy − zdz, ako je kriva L duz koja

spaja tacke A(−1, 2, 0) i B(1, 2, 1), orijentisana od tacke A.

4. Da li je funkcija f(z) = z

zanaliticka u C\{0}? Izracunati

|z|=1

f(z)dz.

5. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

1(z−1)

sin 1(z−2)

dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w =e

z+1

z

i cos(iz+1z

)preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| < 1

2, |z + 2

πi| > 2

π, Im z < 0}.

7. Funkciju f(x) = x + 1, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

8. Razvoj realne funkcije u stepeni red.

9. Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 36: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Matematicke analize 2

16. april 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda:∞∑

n=1

3n2 + 1n

(1− x2)n4 .

2. Izracunati zapreminu oblasti

V = { (x, y, z) ∈ R3| y2 + z2 ≤ x ≤ 6− y2 − z2}.

3. Izracunati integral I =∮

L

y2(x− 2) dx− 4yx dy, gde je L pozitivno orijentisana kriva koja je rub oblasti

D = { (x, y) ∈ R2| r2 ≤ x2 + y2 ≤ R2,√

3x ≤ 3y ≤ 3x}, 0 < r < R.

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Razviti funkciju f(z) =z2 + z + 3z3 − 3z − 2

u Loranov red po stepenima od z − 2.

5. a) Odrediti analiticku funkciju f(z) = u + iv ciji je realni deo u(x, y) = ex(x cos y − y sin y) if(0) = 0.

b) Izracunati integral ∮

L

ez − 1z − z5

dz ,

gde je L : |z − i| = 32 .

6. Preslikavanjem w = ictg πz−1 preslikati oblast G = { z ∈ C |Rez < 1, Imz > 0, |z| > 1}.

7. Razviti u Furijeov red funkciju f(x) = |2− x| − 2 na intervalu (−4, 4).

8. Operacije sa redovima.

9. cos z, Arccosz, z ∈ C.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 37: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

30. maj 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

(−1)n 1

4n2 − 1(x + 1)n.

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ (z + 1)2, x2 + y2 ≤ 1− z}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

xydx− 2x2dy − zdz, ako je kriva L pozitivno

orijentisan rub oblasti {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1, x ≤ 1, y ≥ −1}.

4. Da li je funkcija f(z) =z

zanaliticka u C\{0}? Izracunati

∫|z|=1

f(z)dz.

5. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫L

e2z

(z2 − 1)(z − 1)dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w = tgπ

2zpreslikati oblast G = {z ∈ C : |z + 1| > 1, Rez < 0, Imz < 0}.

7. Funkciju f(x) = x + 1, x ∈ [0, 2] razviti u Furijeov red.

8. Alternativni redovi.

9. Analiticko produzenje.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 38: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

22. jun 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

(−1)n1

4n2 − 1(x + 1)n.

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ (z + 1)2, x2 + y2 ≤ 1 − z}.

3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫

L

xydx − 2x2dy − zdz, ako je kriva L pozitivno

orijentisan rub oblasti {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1, x ≤ 1, y ≥ −1}.

4. Da li je funkcija f(z) =z

zanaliticka u C\{0}? Izracunati

|z|=1

f(z)dz.

5. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫

L

e2z

(z2 − 1)(z − 1)dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w = tgπ

2zpreslikati oblast G = {z ∈ C : |z + 1| > 1, Rez < 0, Imz < 0}.

7. Funkciju f(x) = x + 1, x ∈ [0, 2] razviti u Furijeov red.

8. Tejlorov red realne funkcije realne promenljive

9. Konformna preslikavanja.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 39: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

9. jul 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

1

n2 + 5n + 6sinn x.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ (z + 1)2, x2 + y2 ≤ 1− z}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

xydx− 2x2dy, ako je kriva L pozitivno orijen-

tisan rub oblasti {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1, x ≤ 1, y ≤ −1}.4. Da li je funkcija f(z) = zz analiticka u C? Izracunati

∫|z|=1

f(z)dz.

5. Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫L

ez2

(z2 − 1)(z − 1)dz, ako je L proizvoljna zatvorena

pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w = tgπ

2zpreslikati oblast G = {z ∈ C : |z + 1| > 1, Rez < 0, Imz > 0}.

7. Funkciju f(x) = x + 2, x ∈ [0, 2] razviti u Furijeov red.

8. Kriterijumi za ispitivanje konvergencije redova sa pozitivnim clenovima.

9. Kosijeve integralne formule.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 40: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 23. septembar 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n2

4n2 − 1(2x + 1)n.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ (z + 1)2, x2 + y2 ≤ 1− z}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

xydx− 2x2dy, ako je kriva L pozitivno orijen-

tisan rub oblasti {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ x}a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Da li je funkcija f(z) = z analiticka u C\{0}? Izracunati∫L

f(z)dz ako je L pozitivno

orijentisan trougao sa temenima 1, i i 2 + i.

5. Primenom Kosijevih integralnih formula izracunti∫L

e2z−1

(z2 + 1)(z − 1)dz, ako je L proizvoljna

zatvorena pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w = tgπ

2zpreslikati oblast G = {z ∈ C : |z + 1| > 1, Rez > 0, Imz < 0}.

7. Funkciju f(x) = x + 1, x ∈ [0, π2] razviti u Furijeov red.

8. Maklorenov red.

9. Konformna preslikavanja.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 41: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 220. septembar 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n− 1

n + 1(x− 1

x + 1)n.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ (z − 1)2, x2 + y2 ≤ 1 + z}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

xydx− 2x2dy, ako je kriva L pozitivno orijen-

tisan rub oblasti {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≤ y, y ≥ 0}a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Da li je funkcija f(z) = z analiticka u C\{0}? Izracunati∫L

f(z)dz ako je L pozitivno

orijentisan trougao sa temenima 1, i− 1 i 2 + i.

5. Primenom Kosijevih integralnih formula izracunti∫L

ez−12

(z2 + 1)(z + 1)dz, ako je L proizvoljna

zatvorena pozitivno orijentisana kriva u kompleksnoj ravni.

6. Preslikavanjem w = tgπ

2zpreslikati oblast G = {z ∈ C : |z + 1| > 1, Rez < 0, Imz < 0}.

7. Funkciju f(x) = x + 1, x ∈ [0, π3] razviti u Furijeov red.

8. Redovi sa pozitivnim clanovima.

9. Integracija u kompleksnoj analizi.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 42: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 229. septembar 2010.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=2

n + 1

n− 1(2x− 1

x + 1)n.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 +√

x2 + y2 ≥ z, x2 + y2 ≤ 1 + z}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

xydx− 2x2dy, ako je kriva L pozitivno orijen-

tisan rub oblasti {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x}a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Primenom Kosijevih integralnih formula izracunti∫L

ez

zdz ako je L pozitivno orijentisan

trougao sa temenima 1, i− 1 i −i.

5. Izracunti∫

|z|=2

cos 1z

z + 1dz.

6. Preslikavanjem w = ctgπ

2zipreslikati oblast G = {z ∈ C : |z − i| > 1, Rez > 0, Imz > 0}.

7. Primenom Laplasove transformacije naci ono resenje diferencijalne jednacine y′′+2y′+y = xkoje zadovoljava uslove y(0) = y′(0) = 0.

8. Redovi sa pozitivnim clanovima.

9. Integracija u kompleksnoj analizi.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 43: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

7. decembar 2010.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1n!

konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

cos n2x3n konvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=2

(−1)n−1

2n+1 .

4. (3 poena) Izracunati∫∫σ

dxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 3, x ≤ 0, y ≥ 0}.

5. (4 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

dx+ydy, ako je L duz koja spaja tacke A(−1,−1)

i B(−1, 2), orijentisana od A prema B.

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

n(2x + 3)n.

2. (E1 6 poena, E2 5 poena) Funkciju f(x) = ln(1 + 2x) razviti u stepeni red u okolini tackex0 = 1.

3. (6 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

lnn2x2 + n2 + n4

(n2 + 1)x2 + n2 + n4, za x ∈ R.

(Napomena: (ln x)′ = 1x, lim

n→∞n2 ln(1 + 1

n2 ) = 1)

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

xydx− x2dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 6x, y ≥ 0}

orijentisana od tacke A(0, 0)

(a) (6 poena) direktno,

(b) (6 poena) primenom Grinove formule.

Page 44: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

7. decembar 2010.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1n!

konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

cos n2x3n konvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=2

(−1)n−1

2n+1 .

4. (3 poena) Izracunati∫∫σ

dxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 3, x ≤ 0, y ≥ 0}.

5. (4 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

dx+ydy, ako je L duz koja spaja tacke A(−1,−1)

i B(−1, 2), orijentisana od A prema B.

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

n(2x + 3)n.

2. (E1 6 poena, E2 5 poena) Funkciju f(x) = ln(1 + 2x) razviti u stepeni red u okolini tackex0 = 1.

3. (6 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

lnn2x2 + n2 + n4

(n2 + 1)x2 + n2 + n4, za x ∈ R.

(Napomena: (ln x)′ = 1x, lim

n→∞n2 ln(1 + 1

n2 ) = 1)

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

xydx− x2dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 6x, y ≥ 0}

orijentisana od tacke A(0, 0)

(a) (6 poena) direktno,

(b) (6 poena) primenom Grinove formule.

Page 45: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

29. 12. 2010.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati Ln(−i).

2. Data je funkcija f(z) = zRe z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke A = i i B = 1,

orijentisana od tacke A.

3. (2 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = x2 − y2 i f(1) = 0.

4. Izracunati I =∫L

e2zdz, ako je L

a) (2 poena) duz koja spaja tacke A = 0 i B = 1, orijentisana od tacke B,

b) (2 poena) pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

5. (3 poena) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skupove G1 = {z ∈ C : Re z = −1} i G2 = {z ∈

C : |z + i| > 1}.

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫L

sin(z + 2)

z3 − z2dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 1,

pozitivno orijentisana.

2. (8 poena) Razviti u red funkciju f(z) = (z − 2) cos1

z − 1u tacki z = 1. Koliki je ostatak

funkcije f(z) u tacki z = 1?

3. (10 poena) Preslikavanjem w = icos i z+1

z

ez+1

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| > 1

2, |z − 2

πi| > 2

π, Im z > 0}.

Page 46: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

29. 12. 2010.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati Ln(−i).

2. Data je funkcija f(z) = zRe z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke A = i i B = 1,

orijentisana od tacke A.

3. (2 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = x2 − y2 i f(1) = 0.

4. Izracunati I =∫L

e2zdz, ako je L

a) (2 poena) duz koja spaja tacke A = 0 i B = 1, orijentisana od tacke B,

b) (2 poena) pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

5. (3 poena) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skupove G1 = {z ∈ C : Re z = −1} i G2 = {z ∈

C : |z + i| > 1}.

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫L

sin(z + 2)

z3 − z2dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 1,

pozitivno orijentisana.

2. (8 poena) Razviti u red funkciju f(z) = (z − 2) cos1

z − 1u tacki z = 1. Koliki je ostatak

funkcije f(z) u tacki z = 1?

3. (10 poena) Preslikavanjem w = icos i z+1

z

ez+1

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| > 1

2, |z − 2

πi| > 2

π, Im z > 0}.

Page 47: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E2Drugi kolokvijum iz Analize 2

22. 1. 2011.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati (−i)(−i).

2. Data je funkcija f(z) = z2Im z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke A = i i B = 0,

orijentisana od tacke A.

3. (2 poena) Primenom Kosijevih integralnih formula izracunati∫

|z|=1

e2z

z2dz.

4. (2 poena) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skup G = {z ∈ C : |z + 2i| > 1}.

5. (3 poena) Odrediti L−1{ s

s2 + 4s + 8}.

6. (2 poena) Da bismo dobili razvoj funkcije f(x) =

{x, 0 ≤ x ≤ 2x− 2, 2 < x ≤ 3

u nepotpun red po

sinusima potrebno je funkciju f produziti na sledeci nacin: g(x) =

Deo zavrsnog ispita

1. (7 poena) Izracunati∫L

cos2 z

z3 + z2dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 1, pozitivno

orijentisana.

2. (7 poena) Razviti u red funkciju f(z) = (z2 − 2z + 3)e1

z−1 u tacki z = 1. Koliki je ostatakfunkcije f(z) u tacki z = 1?

3. (7 poena) Preslikavanjem w =cos

zi + 1

z

e

zi + 1

zi

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z − 12i| > 1

2, |z + 2

π| > 2

π, Re z < 0}.

4. (5 poena) Funkciju f(x) = x, x ∈ [0, π], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

5. (5 poena) Primenom Laplasove transformacije resiti sistem integralnih jednacina

x(t) = e−t −t∫

0

x(u)du−t∫

0

e−(t−u)y(u)du,

y(t) = −t +

t∫

0

(t− u)x(u)du−t∫

0

y(u)du

Page 48: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

4. februar 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=1

(−1)n n2 − n + 1

n(

x

x + 1)n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y ≤ 4− z, x2 + y2 ≤ 2x, x2 + y2 ≤ 2y, z ≥ 0}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

dx − x2dy, ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 :

x2 + y2 + 4y = 0, x ≥ 0, y ≥ −2} orijentisana od tacke O(0, 0).

4. Primenom Kosijevih integralnih formula izracunati∫L

sin(z2 + z)

z2 − 2z + 1dz ako je L proizvoljna

zatvorena pozitivno orijentisana kriva.

5. Data je funkcija f(z) =z

z − 1e

z

z − 1 .

(a) Razviti funkciju f(z) u red u tacki z0 = 1.

(b) Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫L

f(z)dz, ako je L = {z ∈ C : |z| = r, r >

0, r 6= 1} pozitivno orijentisana kriva.

6. Preslikavanjem w = (1− e

i−zz

1 + ei−z

z

)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : |z − 1π| > 1

π, |z − i

2| >

12, Rez > 0}.

7. Funkciju f(x) = 1− 2x, x ∈ [0, 1] razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

8. Razvoj u Maklorenov red realne funkcije realne promenljive.

9. Jednacina kruznice u kompleksnoj ravni.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 49: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

18. februar 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=1

n2 − n + 1

n(x + 1

x)n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1− z,√

x2 + y2 ≤ 1 + z}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

dx− x2dy, ako je kriva L = L1 ∪L2, gde je L1

duz koja spaja tacke A(3, 1) i B(−1, 1), L2 je duz koja spaja tacke B i C(1,−1), orijentisanaod tacke A

(a) direktno,

(b) primenom Grinove formule.

4. Primenom Kosijevih integralnih formula izracunati∫L

cos(2− z)

(2 + z)2dz ako je L proizvoljna

zatvorena pozitivno orijentisana kriva.

5. Data je funkcija f(z) =z − 1

z + 1cos

z − 1

z + 1.

(a) Razviti funkciju f(z) u red u tacki z0 = −1.

(b) Primenom teoreme o rezidijumu izracunti∫L

f(z)dz, ako je L = {z ∈ C : |z| = r, r >

0, r 6= 1} pozitivno orijentisana kriva.

6. Preslikavanjem w = (1− e

i−zz

1 + ei−z

z

)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : |z − 1π| > 1

π, |z − i

2| >

12, Rez > 0}.

7. Funkciju f(x) = 1 + 2x, x ∈ [0, 1] razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Osnovne definicije i teoreme teorije brojnih redova.

9. Eksponencijalna i logaritamska funkcija kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 50: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

3. maj 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n

n2 + 3n + 2(2x− 1

x + 1)n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ −x2 − y2, x2 + y2 + z2 ≤ 2}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

xydx − xdy, ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 :

2x2 + y2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, orijentisana od tacke A(0, 1)

(a) direktno,

(b) primenom Grinove formule.

4. Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y)+iQ(x, y), z = x+yi, ako je Q(x, y) = yex cos y+xex sin y i f(0) = 0.

5. Izracunati I =

L

1

z + 1e

1z2 ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

6. Preslikavanjem w =(z + 1)2

(z − 1)2 + (z + 1)2preslikati oblast G = {z ∈ C : |z| < 1, Rez >

0, Imz > 0}.7. Funkciju f(x) = 1 + x, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Osnovne definicije i teoreme teorije brojnih redova.

9. Eksponencijalna i logaritamska funkcija kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 51: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

24. jun 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=1

n

(n− 1)!(x + 1)n.

2. Izracunati povrsinu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 ≥ ax, z ≥ 0}.3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

(A, B)(2xyex2 − 1x)dx + ex2

dy − 2zdz, ako L

proizvoljna kriva u prvom kvadrantu koja spaja tacke A(1, 2, 3) i B(2, 1, 4), orijentisana odtacke A.

4. Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y)+iQ(x, y), z = x+yi, ako je Q(x, y) = yex cos y+xex sin y i f(1) = e.

5. Razviti funkciju f(z) =ez

z2(z + 3)u red u tacki z = 0.

6. Preslikavanjem w =z4 + 1

z4 − 1preslikati oblast G = {z ∈ C : |z| < 1, 0 < Argz < π

8}.

7. Primenom Laplasove transformacije resiti sistem diferencijalnih jednacina

x′ = −7xy, y′ = −2x− 5y, x(0) = 3, y(0) = −5.

8. Osnovne definicije i teoreme teorije brojnih redova.

9. Eksponencijalna i logaritamska funkcija kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 52: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Matematicke analize 2

12. jul 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda:∞∑

n=0

2n2 + 1n + 1

(1− x2)n.

2. Izracunati zapreminu oblasti

V = { (x, y, z) ∈ R3| x2 + y2 ≤ z ≤ 3− x2 − y2}.

3. Izracunati integral I =∮

L

(x + y) dx− 2xy dy, gde je L pozitivno orijentisana kriva koja je rub oblasti

G = { (x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x},a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Razviti funkciju f(z) =z + 3z2 − 4

u Loranov red po stepenima od z + 2.

5. a) Odrediti analiticku funkciju f(z) = u + iv ciji je realni deo u(x, y) = ex(x cos y − (y + 1) sin y) if(0) = 0.

b) Izracunati integral ∮

L

ez − 2(z3 − z)(z + 1)2

dz ,

gde je L : |z + 1| = 32 .

6. Preslikavanjem w = itg πz−1 preslikati oblast G = { z ∈ C |Rez < 1, Imz > 0, |z| > 1}.

7. Razviti u Furijeov red funkciju f(x) = x2 + 1 na intervalu (−2, 2).

8. Teorija redova. Osnovne definicije i teoreme.

9. Kosijeva teorema. Kosijeve integralne formule.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 53: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 22. septembar 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

(−1)n n− 1

n!(x + 1)n. Izracunati

∞∑n=1

n− 1

n!2n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 ≥ ax, z ≥ 0}.3. Odrediti realni parametar a tako da vrednost integrala

∫L

(2xyex2− 1x)dx+aex2

dy− 2zdz ne zav-

isi od putanje L u prvom oktantu. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫

L(A,B)

(2xyex2−1x)dx + ex2

dy − 2zdz, ako L proizvoljna kriva u prvom oktantu koja spaja tacke A(1, 1, 3) i

B(2, 2, 4), orijentisana od tacke A.

4. Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y)+ iQ(x, y), z = x+yi, ako je Q(x, y) = 3x2y−y3

i f(1) = 1.

5. Izracunati I =∫L

ez

z2(z + 2)dz, ako je L proizvoljna zatvorena pozitivno orijentisana kriva.

6. Preslikavanjem w = i((z + 1)4 + 1

(z + 1)4 − 1)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : |z + 1| < 1, 0 <

Arg(z + 1) < π8}.

7. Primenom Laplasove transformacije resiti sistem diferencijalnih jednacina

x′ = −7x, y′ = −2x− 5y, x(0) = 1, y(0) = 0.

8. Alternativni red.

9. Analiticka kompleksna funkcija kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 54: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 230. septembar 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n3 − 1

n + 1(x + 1

x− 2)n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 1− z ≥ x2 + y2 ≥ x, z ≥ 0}.3. Izracunati

∫L

(2x− 3y)dx + xydy ako je L = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = x2 − y2 − 2xy i f(0) = 0.

5. Izracunati I =∫L

e1z

z2(2− z2)dz, ako je L proizvoljna zatvorena pozitivno orijentisana kriva.

6. Preslikavanjem w = i((z − 1)3 + 1

(z − 1)3 − 1)2 preslikati oblast G = {z ∈ C : |z − 1| < 1, π <

Arg(z − 1) < 5π6}.

7. Primenom Laplasove transformacije resiti sistem diferencijalnih jednacina

x′ = x, y′ = 3x− 5y, x(0) = 2, y(0) = 0.

8. Stepeni redovi.

9. Kosijeve integralne teoreme.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 55: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek,Ispit iz Analize 2

9. oktobar 2011.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n3 − 1

n2 + 3n + 2(x− 1

x + 2)n.

2. Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 1− z ≥ x2 + y2, x2 + y2 ≥ x, x2 + y2 ≥ y, z ≥ 0}.3. Izracunati

∫L

3ydx + xydy ako je kriva

L = L1 ∪ L2, L1 = {(x, y) ∈ R2 : x + y =√

2, x ≥ 0, y ≥ 0},L2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2, x ≤ 0, y ≥ 0},orijentisana od tacke A(

√2, 0)

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Funkciju f(z) = (z2 + 2z + 1) cos 1z+1

razviti u red u tacki z0 = −1.

5. Izracunati I =∫L

e1

z2

z2(2− z)dz, ako je L proizvoljna zatvorena pozitivno orijentisana kriva.

6. Preslikavanjem w = (1 + i)((z − 1)2 + i

(z − 1)2 − i)2 preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z − 1| < 1, π < Arg(z − 1) < 5π4}.

7. Funkciju f(x) = 1 + x, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Stepeni redovi.

9. Kosijeve integralne teoreme.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 56: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

26. novembar 2011.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1(2n+1)!

konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

(−1)narctg nx

2nkonvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=1

(−1)n

22n−1.

4. (4 poena) Izracunati∫∫σ

xdxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1}.

5. (3 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

ydl, ako je L duz koja spaja tacke A(2, 2) i

B(−1,−1).

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=0

n2 + 1

n + 1(3− 2x)n.

2. (6 poena) Funkciju f(x) =1

(1− 2x)2razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = −1.

3. (6 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

x

2 + n3x2, za x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

y2dx− dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 + 4x = 0, y ≤ 0}

orijentisana od tacke O(0, 0)

(a) (6 poena) direktno,

(b) (6 poena) primenom Grinove formule.

Page 57: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

26. novembar 2011.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1(2n+1)!

konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

(−1)narctg nx

2nkonvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=1

(−1)n

22n−1.

4. (4 poena) Izracunati∫∫σ

xdxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1}.

5. (3 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

ydl, ako je L duz koja spaja tacke A(2, 2) i

B(−1,−1).

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=0

n2 + 1

n + 1(3− 2x)n.

2. (6 poena) Funkciju f(x) =1

(1− 2x)2razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = −1.

3. (6 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

x

2 + n3x2, za x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

y2dx− dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 + 4x = 0, y ≤ 0}

orijentisana od tacke O(0, 0)

(a) (6 poena) direktno,

(b) (6 poena) primenom Grinove formule.

Page 58: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E2Prvi kolokvijum iz Analize 2

20. novembar 2011.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1(2n)!

konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

arccos nx

2nkonvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=2

(−1)n+1

2n−1.

4. (4 poena) Izracunati∫∫σ

xdxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

5. (3 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

ydl, ako je L duz koja spaja tacke A(2,−1) i

B(−1,−1).

Deo zavrsnog ispita

1. (5 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 + 2

n(2− 3x)n.

2. (5 poena) Funkciju f(x) = ln(1− 2x) razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = −1.

3. (5 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

x

2 + n4x2, za x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

xdx− dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 + 4y = 0, x ≥ 0}

orijentisana od tacke O(0, 0)

(a) (5 poena) direktno,

(b) (5 poena) primenom Grinove formule.

Page 59: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

7. decembar 2010.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

1n!

konvergira? Zasto?

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

cos n2x3n konvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=2

(−1)n−1

2n+1 .

4. (3 poena) Izracunati∫∫σ

dxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 3, x ≤ 0, y ≥ 0}.

5. (4 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

dx+ydy, ako je L duz koja spaja tacke A(−1,−1)

i B(−1, 2), orijentisana od A prema B.

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

n(2x + 3)n.

2. (E1 6 poena, E2 5 poena) Funkciju f(x) = ln(1 + 2x) razviti u stepeni red u okolini tackex0 = 1.

3. (6 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

lnn2x2 + n2 + n4

(n2 + 1)x2 + n2 + n4, za x ∈ R.

(Napomena: (ln x)′ = 1x, lim

n→∞n2 ln(1 + 1

n2 ) = 1)

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

xydx− x2dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 6x, y ≥ 0}

orijentisana od tacke A(0, 0)

(a) (6 poena) direktno,

(b) (6 poena) primenom Grinove formule.

Page 60: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

30. 12. 2011.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati (−1)i.

2. Data je funkcija f(z) = z + Im z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke A = i i B = −1,

orijentisana od tacke A.

3. (2 poena) Izracunati I =∫L

ez cos zdz, ako je L pozitivno orijentisan trougao sa temenima

−1, −i i i.

4. Data je funkcija f(z) =e−z

z2

a) (2 poena) Razviti funkciju f(z) u red u tacki z0 = 0.

b) (2 poena) Izracunati Res[f(z),0].

5. (3 poena) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skupove G1 = {z ∈ C : Im z = 1} i G2 = {z ∈

C : |z + i| > 1}.

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫L

ez2

z3 − z2dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1}, pozitivno

orijentisana.

2. (8 poena) Razviti u red funkciju f(z) = z2 cos1

z − 1u tacki z = 1. Koliki je ostatak funkcije

f(z) u tacki z = 1?

3. (10 poena) Preslikavanjem w =i

1 + eπ2i z+1

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| > 1

2, Re z < 0, Im z < 0}.

Page 61: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

29. 12. 2010.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati Ln(−i).

2. Data je funkcija f(z) = zRe z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke A = i i B = 1,

orijentisana od tacke A.

3. (2 poena) Odrediti analiticku funkciju w = f(z) = P (x, y) + iQ(x, y), z = x + yi, ako jeP (x, y) = x2 − y2 i f(1) = 0.

4. Izracunati I =∫L

e2zdz, ako je L

a) (2 poena) duz koja spaja tacke A = 0 i B = 1, orijentisana od tacke B,

b) (2 poena) pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

5. (3 poena) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skupove G1 = {z ∈ C : Re z = −1} i G2 = {z ∈

C : |z + i| > 1}.

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫L

sin(z + 2)

z3 − z2dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r}, r > 0, r 6= 1,

pozitivno orijentisana.

2. (8 poena) Razviti u red funkciju f(z) = (z − 2) cos1

z − 1u tacki z = 1. Koliki je ostatak

funkcije f(z) u tacki z = 1?

3. (10 poena) Preslikavanjem w = icos i z+1

z

ez+1

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| > 1

2, |z − 2

πi| > 2

π, Im z > 0}.

Page 62: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E2Drugi kolokvijum iz Analize 2

14. 1. 2012.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati (−1)(−i).

2. Data je funkcija f(z) = z − Im z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L duz koja spaja tacke −i i 1, orijen-

tisana od tacke −i.

3. (2 poena) Data je funkcija f(z) =ez2

z3. Razviti funkciju u red u tacki z0 = 0. Izracunati

Res[f(z), 0].

4. (2 poena) (a) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skup G = {z ∈ C : |z − i| < 1}.

(1 poen) (b) Preslikavanjem w = ez preslikati skup G2 = {z ∈ C : Re z = 1, 0 < Im z < π2}.

5. (3 poena) Odrediti L−1{ s

s2 + 2s + 3}.

6. (1 poen) Ako je funkcija f(x) na intervalu [−π, π] neparna, koji koeficijenti u razvoju funkcijef(x) u Furijeov red su jednaki nuli?

Deo zavrsnog ispita

1. (7 poena) Izracunati∫L

cos2 z2

z3 + z2dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

2. (7 poena) Razviti u red funkciju f(z) = (z2 + 1) sin1

z − 1u tacki z = 1. Koliki je ostatak

funkcije f(z) u tacki z = 1?

3. (7 poena) Preslikavanjem w =i

1− eπ2i z+1

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + 12| > 1

2, Re z < 0, Im z < 0}.

4. (5 poena) Funkciju f(x) = x, x ∈ [0, π], razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

5. (5 poena) Primenom Laplasove transformacije resiti diferencijalnu jednacinu y′′−2y′+y = tuz uslove y(0) = 1, y′(0) = 2.

Page 63: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

3. februar 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n3 − 1

n + 1(2x− 1)n.

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 :√

x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}.3. Izracunati

∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ y, x + y ≤ 2}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Da li je funkcija f(z) = z · z analiticka u C?

Izracunati∫L

f(z)dz ako je L pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

5. Izracunati∫L

e1−z

z3 + z2 − 2zdz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1, 2} pozitivno

orijentisana.

6. Preslikavanjem w =(1− i)z + i + 1

1 + izpreslikati oblast

G = {z ∈ C : |z| < 1, Re z < 0, Im z < 0}.

7. Funkciju f(x) =

{ −1 x ∈ [0, 1]0 x ∈ [1, 2]

razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Alternativni brojni red.

9. Konformno preslikavanje.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 64: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

17. februar 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=2

n3 + 1

n− 1(2x− 3)n.

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : −√

x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}.3. Izracunati

∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : y − 1 ≤ x ≤ 0, x + y ≥ −1}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Da li je funkcija f(z) = |z| analiticka u C?

Izracunati∫L

f(z)dz ako je L pozitivno orijentisana jedinicna kruznica.

5. Izracunati∫L

e2−z

z3 − z2 − 2zdz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1, 2} pozitivno

orijentisana.

6. Funkciju f(z) = (z3 + z) cos2

zrazviti u red u okolini tacke z0 = 0.

7. Preslikavanjem w =(1 + i)z − i + 1

iz − 1preslikati oblast G = {z ∈ C : |z| < 1, Re z <

0, Im z > 0}.

8. Funkciju f(x) =0 x ∈ [0, 1]1 x ∈ [1, 2]

razviti u nepotpun Furijeov red po sinusima.

Page 65: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

27. april 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n

(n + 1)(n + 2)(x + 1

x + 2)n.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : −√

x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}.3. Izracunati

∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ 3x− 2}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Ispitati vrstu singulariteta funkcije f(z) = cos zz

u tacki z = 0. Izracunati Res[f(z), 0].

5. Izracunati∫L

(z2 + 1)e1z

1− zdz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

6. Preslikavanjem w =1 + i

1 + e−π2

z+2z

preslikati oblast G = {z ∈ C : |z+1| > 1, |z−i| > 1, Im z >

0}.7. Funkciju f(x) = x− 1, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red kosinusima.

8. Alternativni redovi.

9. Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 66: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

22. jun 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n

(n + 1)!(x + 1

x + 2)n.

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : −√

x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2, x2 + y2 ≥ 1}.3. Izracunati

∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : 2πx ≤ y ≤ sin x}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Da li je funkcija f(z) = Im2z + iRez analiticka u C? Izracunati∫L

f(z)dz ako je kriva L duz

koja spaja tacke −1 i 1 + i, orijentisana od tacke 1 + i.

5. Izracunati∫L

z + 1

e2z1− zdz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = 8} pozitivno orijentisana.

6. Preslikavanjem w =cos π

41−z

zi

eπ4

1−zz

preslikati oblast G = {z ∈ C : |z + fraci2| > 1, |z − 12| >

1, Im z < 0}.7. Funkciju f(x) = 2− x, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red kosinusima.

8. Alternativni redovi.

9. Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 67: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

13. jul 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n

(n + 1)!(x + 2

x + 1)n. Izracunati

∞∑n=0

n

(n + 1)!2n

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : 1−√

x2 + y2 ≤ z ≤ 3−x2−y2, x2 +y2 ≥ 1}.3. Izracunati

∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : 2πx ≤ y ≤ sin x, x ≤ 0}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Da li je funkcija f(z) = iIm2z − iRe2z + 2RezImz analiticka u C? Izracunati∫L

f(z)dz ako

je kriva L duz koja spaja tacke −1− i i −1 + i, orijentisana od tacke −1 + i.

5. Izracunati∫L

z − 1

e−z(1 + z2)2dz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

6. Preslikavanjem w =e

π4

1−zz

cos(π4

1−zz

i)preslikati oblast G = {z ∈ C : |z+ i

2| > 1

2, |z− 1

2| > 1

2, Im z <

0}.7. Funkciju f(x) = 1− x, x ∈ [0, 2] razviti u nepotpun Furijeov red kosinusima.

8. Alternativni redovi.

9. Izvod kompleksne funkcije kompleksne promenljive.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 68: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

31. avgust 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=0

n3 − n2 + 2n− 2

n + 1(x + 2

x + 1)n.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2−√

x2 + y2 ≤ z ≤ 4−x2− y2, x2 +y2 ≥ 1}.

3. Izracunati∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ ex, 0 ≥ x ≥ 1}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Izracunati∞∑

n=1

(−1)ni2n+1

(2n− 1)!; e1+πi; Ln(1 + i).

5. Izracunati∫L

z

e1−z(1− z2)2dz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

6. Preslikavanjem w =e

π4

1−zz

sin(π4

1−zz

i)preslikati oblast G = {z ∈ C : |z− i

2| > 1

2, |z− 1

2| > 1

2, Im z >

0}.7. Funkciju f(x) = sin x, x ∈ [0, π] razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Apsolutno konvergentni redovi u R.

9. sin z i Arcsinz, z ∈ C.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 69: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

14. septembar 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=2

n3 − n2 + 2n− 2

n− 1(x + 1

x + 2)n.

2. Izracunati povrsinu omotaca tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2−√

x2 + y2 ≤ z ≤ 4−x2− y2, x2 +y2 ≤ 1}.

3. Izracunati∫L

ydx− xdy, ako je L pozitivno orijentisan rub oblasti

σ = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ ex,−1 ≤ x ≤ 1}

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Izracunati∞∑

n=1

(−1)ni2n+1

(2n− 1)!; e2+π

2i; Ln(1− i).

5. Izracunati∫L

z

e1−z(4− z2)2dz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 2} pozitivno

orijentisana.

6. Preslikavanjem w =e

π4

1−zz

sin(π4

1−zz

i)preslikati oblast G = {z ∈ C : |z+ i

2| > 1

2, |z− 1

2| > 1

2, Im z <

0}.7. Funkciju f(x) = sin x, x ∈ [0, π] razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Apsolutno konvergentni redovi u R.

9. sin z i Arcsinz, z ∈ C.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 70: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekMatematicka Analiza 2

14. oktobar 2012.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=2

1

n!(n− 1)(2x− 1)n.

Izracunati∞∑

n=1

1

(n + 1)!n2n

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 4− x2 − y2, x2 + y2 ≤ 2x, x2 + y2 ≤2y}.

3. Izracunati∫L

(y+1)dx+(1−x)dy, ako je kriva L = {(x, y) ∈ R2 : x2 +4y2 = 1, x ≤ 0, y ≤ 0},orijentisana od tacke (−1, 0)

a) direktno,

b) primenom Grinove formule.

4. Izracunati sin(2 + i).

5. Izracunati∫L

1

z(1− e2z)dz ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = 5} pozitivno orijentisana.

6. Preslikavanjem w =sin(π

41−z

zi)

eπ4

1−zz

preslikati oblast G = {z ∈ C : |z− i2| > 1

2, |z− 1

2| > 1

2, Im z >

0}.

7. Funkciju f(x) =

{x x ∈ [0, π

4]

0 x ∈ (π4, π

4]

razviti u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

8. Apsolutno konvergentni redovi u R.

9. sin z i Arcsinz, z ∈ C.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,8,9.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9.

Page 71: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

24. novembar 2012.

Predispitne obaveze

1. (3 poena) Da li red∞∑

n=3

(−1)n−1(n + 1)

n!konvergira apsolutno? Da li konvergira obicno?

2. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

2−n(1+x2) konvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=1

(−1)n2n

3n−1.

4. (4 poena) Izracunati∫∫σ

ydxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0,√

x ≤ y ≤ 1}.

5. (3 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

dl, ako je L = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 = 1, x ≤ −√

22}.

Deo zavrsnog ispita

1. (5 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 + 2n− 2

n + 1(2x + 1)n.

2. (5 poena) Funkciju f(x) =1

x2 + 3x + 2razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0.

3. (5 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

xe−n4x2

.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

(2x− y)dx + xdy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2y, x ≤ 0}

orijentisana od tacke O(0, 0)

(a) (5 poena) direktno,

(b) (5 poena) primenom Grinove formule.

Page 72: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E2Drugi kolokvijum iz Analize 2

19. 1. 2013.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Resiti jednacinu ez = ch z, gde je ch z =ez + e−z

2.

2. Data je funkcija f(x + iy) = ey2−x2

(cos 2xy − i sin 2xy).

a) (2 poena) Pokazati da je ova funkcija analiticka na C i predstaviti je kao funkcijupromenljive z, gde je z = x + iy.

b) (1 poen) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z − i| = 1} pozitivno

orijentisana kruznica.

3. (2 poena) Data je funkcija f(z) =ez

(z − 1)2. Razviti funkciju u red u tacki z0 = 1. Izracunati

Res[f(z), 1] (ostatak funkcije f u tacki 1).

4. (1 poen) (a) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skup G = {z ∈ C : |z + i| = 1}.

(2 poena) (b) Preslikavanjem w = eiz preslikati skup G2 = {z ∈ C : 0 < Re z < π2, Im z >

0}.

5. (3 poena) Odrediti L−1{ 2s + 7

s2 + 6s + 10}.

6. (2 poena) Neka je data funkcija f(x) = x3 za x ∈ [−π, π]. Koji koeficijenti u razvoju ovefunkcije u Furijeov red su jednaki nuli? Ako je F (x) Furijeov red funkcije f(x), koliko jeF (2π)?

Deo zavrsnog ispita

1. (7 poena) Izracunati∫L

sin z

z3 − z2 − z + 1dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1}

pozitivno orijentisana.

2. (7 poena) Razviti u red funkciju f(z) = z2 cos1

z − iu tacki z = i. Koliki je Res[f(z), i]

(ostatak funkcije f u tacki i)?

3. (7 poena) Preslikavanjem w =i

1− ez−π

z

preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z + i| > 1, |z − π2| < π

2, Im z < 0}.

4. (5 poena) Funkciju f(x) = |x|, x ∈ [−π, π], razviti u Furijeov red.

5. (5 poena) Primenom Laplasove transformacije resiti diferencijalnu jednacinu y′′ + y′ − 2y =3− 2t uz uslove y(0) = 1, y′(0) = 0.

Page 73: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

E lektro tehnički odsek P ism eni deo isp ita iz Analize 2

29. 1. 2013.<X) — 2

1. O drediti oblast konvergencije i naći sumu reda ---------sinrl:r.n=l n

n x2. Isp ita ti uniform nu konvergenciju reda V ------- 7— na R.

n=i 1 + n °x ^

3. Izračunati zaprem inu tela V — {(x, y, z) € M : x 2 + y2 + z 2 < 8 . z 2 < x 2 + y2}

4. Izračunati vrednost krivolinijskog integrala f y 2dx + dy, ako je krivaL

L = {(rr, y) € R 2 : x 2 + y 2 = 2x, y > 0}

orijentisana od tačke 0 (0 , 0).

(a) direktno,

(b) prim enom Grinove formule.

ez5. Isp ita ti v rstu singulariteta funkcije f ( z ) = — u tački 2 = 0. Izračunati R es[ f(z) , 0].

6. Izračunati f —---------------- -d z , ako je kriva L = {z G C : \z\ = r, r > 0, r 4 1} pozitivnoL z 4 — z* — z + 1

orijentisana.

7. R azviti u red funkciju f ( z ) = z 2 sin ~ ~ u tački z0 - - i . Izračunati R es[/(z), — i] (ostatak

funkcije / u tački —i).

2 i8. Preslikavanjem w = —----- —— — preslikati oblast

z 1 — 4 i z — 3G = { z € C : \z — 2i\ < 1, Re z > 0, I m z > 2}.

9. Prim enom Laplasove transform acije rešiti diferencijalnu jednačinu y" + 2y ’ + 4y = 4 co s2 1 uz uslove y (0) = 0, y '(0) = 2.

10. Osnovne definicije i teorem e konvergentnih redova.

11. Eksponencijalna i Logaritam ska funkcija u komplcksnoj analizi.

S tudenti sm era E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7,8.S tudenti sm era E2 radc zadatke 1,2,3,4,6,7,8.9.Stari studenti sm era E l rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11.Stari studenti sm era E2 rade zadatke 1,2,3,4,6,7,8,9,10,11.

Page 74: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekPrvi kolokvijum iz Analize 2

29. 1. 2013.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Da li red∞∑

n=3

(−1)n−1

√n2 + n

konvergira apsolutno? Da li konvergira obicno?

2. (2 poena) Da li red∞∑

n=1

sinn nx

n√

nkonvergira uniformno na R? Zasto?

3. (2 poena) Funkciju f(x) = ln(2 + x) razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = −1.

4. (2 poena) Izracunati∞∑

n=1

(−1)n−1

(n + 1)!.

5. (3 poena) Izracunati∫∫σ

dxdy ako je σ = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ 2− x2}.

6. (2 poena) Izracunati vrednost integrala∫L

dl, ako je L duz koja spaja tacke A(3, 4) i B(−1, 2).

7. (2 poena) Odrediti realne parametre a i b tako da∫L

(ax − y)dx − (bx + y)dy ne zavisi od

putanje L.

Deo zavrsnog ispita

1. (E1 6 poena, E2 5 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=1

n2 − 2

nsinn x.

2. (E1 6 poena, E2 5 poena) Funkciju f(x) =x− 1

x2 − 2x + 2razviti u stepeni red u okolini tacke

x0 = 1.

3. (E1 6 poena, E2 5 poena) Ispitati uniformnu konvergenciju reda∞∑

n=1

nx

1 + n6x2na R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

y2dx + dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2x, y ≥ 0}

orijentisana od tacke O(0, 0).

(a) (E1 6 poena, E2 5 poena) direktno,

(b) (E1 6 poena, E2 5 poena) primenom Grinove formule.

Page 75: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekDrugi kolokvijum iz Analize 2

29. 1. 2013.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Izracunati Ln(i− 1)2 i Ln(−2i). Da li je Lnz2 = 2Lnz?

2. Data je funkcija f(z) = |z|2Rez.

a) (1 poen) Da li je ova funkcija analiticka na C?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = 1} pozitivno

orijentisana.

3. (2 poena) Primenom Kosijevih integralnih formula izracunati∫L

sin z

(z + 1)2dz ako je kriva L =

{z ∈ C : |z| = 2} pozitivno orijentisana.

4. (2 poena) (a) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skup G = {z ∈ C : |z + i| = 1, Rez > 0}.

(2 poena) (b) Preslikavanjem w = ez preslikati skup G = {z ∈ C : −π < Im z < 0, Re z >0}.

5. (2 poena) Odrediti L{t cos t}.

6. (2 poena) Neka je F (x) =a0

2+

∞∑n=1

an cos 3nx+bn sin 3nx Furijeov red funkcije f(x) definisane

za x ∈ [−a, a]. Koliko je a?

Deo zavrsnog ispita

1. (E1 9 poena, E2 7 poena) Izracunati∫L

sin z

z4 − z3 − z + 1dz, ako je kriva

L = {z ∈ C : |z − 1| = 1} pozitivno orijentisana.

2. (E1 9 poena, E2 7 poena) Razviti u red funkciju f(z) = z2 sin1

z + iu tacki z0 = −i.

Izracunati Res[f(z),−i] (ostatak funkcije f u tacki −i).

3. (E1 7 poena, E2 6 poena) Preslikavanjem w =2i

z2 − 4iz − 3preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z − 2i| < 1, Re z > 0, Im z > 2}.4. (E2 5 poena) Funkciju f(x) = x, x ∈ [−π, π], razviti u Furijeov red.

5. (E2 5 poena) Primenom Laplasove transformacije resiti diferencijalnu jednacinuy′′ + 2y′ + 4y = 4 cos 2t uz uslove y(0) = 0, y′(0) = 2.

Page 76: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsekPismeni deo ispita iz Analize 2

28. 3. 2013.

1. Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda∞∑

n=1

n2 − 2

n!(3x− 2)n.

2. Izracunati zapreminu tela V = {(x, y, z) ∈ R : x2 + y2 + z2 ≤ 4, z2 ≤ x2 + y2}3. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala

∫L

y2dx + dy, ako je kriva

L = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 2x, x ≥ 1, y ≥ 0}

orijentisana od tacke A(1, 1).

(a) direktno,

(b) primenom Grinove formule.

4. Ispitati vrstu singulariteta funkcije f(z) =cos z

z3u tacki z = 0. Izracunati Res[f(z), 0].

5. Izracunati∫L

1− cos z

z4 − z3 − z + 1dz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1} pozitivno

orijentisana.

6. Razviti u red funkciju f(z) = (z2 + 1) sin1

z + iu tacki z0 = −i. Izracunati Res[f(z),−i]

(ostatak funkcije f u tacki −i).

7. Preslikavanjem w = (1− i)i− z

i + zpreslikati oblast

G = {z ∈ C : |z| < 1, Re z < 0, Im z < 0}.8. Primenom Laplasove transformacije resiti diferencijalnu jednacinu

y′′ + 2y′ + 4y = 4 sin 2t uz uslove y(0) = 0, y′(0) = 2.

9. Osnovne definicije i teoreme konvergentnih redova.

10. Eksponencijalna i Logaritamska funkcija u kompleksnoj analizi.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7,8.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,4,6,7,8,9.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,4,6,7,8,9,10,11.

Page 77: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

E lek tro tehn ičk i odsek P ism eni deo isp ita iz A nalize 2

22. 6. 2013.

1. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda -------— (2x - 3)n.n=o n + 1

2. Izračunati zaprerainu tela V = {(a:, y, z) €.,E : x 2 + y2 + z2 < Az, z < 4 — y/x2 + y2}

3. Izračunati \Tednost krivolinijskog integrala / 2dx — x 2dy, ako je kriva.L

L = {(o:, y) G R2 : x 2 + y2 = Ax, x < 2, y < 0}

orijcntisana od koordinatnog početka.

(a) direktno,

(b) primenom Grinove formule.

4. Odrediti analitičku funkciju f ( z ) = P(x,y)-\-iQ(x,y),z. = x + iy ako je P(x,y) = x 2 — y2 — y i /(0 ) = i.

sin z5. lzračunati / ----- dz, ako je kriva. L = {z G C : \z\ = r, r > 0 ,r ^ 1} pozitivno

£ Z + Z + 2 + zorijentisana.

6. Razviti u red funkciju f ( z ) = z2 cos— u tački z0 = 2i. Izračunati Res[/(2), 2i) (ostatakz — 21

funkcije / u tački 2i).

, l - 2 z7. Preslikavanjem w = (1 + i ) -— preslikati oblast.

G = {z € C : \z\ < I m z > 0}.

8. Primenom Laplasove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu y" — by' + 6y = 2el uz uslove y(0) = 4, y'(0) = 7.

9. Stepeni red.

10. Košijeva teorema. Košijeve integralne formule.

Studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7.Studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8.Stari studenti smera E1 rade zadatke 1,2,3,4,5,6,7,9,10.Stari studenti smera E2 rade zadatke 1,2,3,5,6,7,8,9,10.

Page 78: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Prvi kolokvijum iz Analize 2

30. novembar 2013.

Predispitne obaveze

1. (3 poena) Ispitati apsolutnu i obicnu konvergenciju reda∞∑

n=3

(−1)n ln(n2 + 2

n2 + 1).

2. (3 poena) Da li red∞∑

n=1

1

(3 + sin(n2x))nkonvergira uniformno na R? Zasto?

3. (3 poena) Izracunati∞∑

n=2

(−1)n−1 2n+1

(n− 1)!.

4. (3 poena) Odrediti a ∈ R tako da integral∫

L(axy + 1)dx + (x2 + y3)dy ne zavisi od putanje.

Za tako dobijeno a izracunati∫

AB(axy + 1)dx + (x2 + y3)dy gde je A(0, 1) i B(2, 3).

5. (3 poena) Izracunati zapreminu tela

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 4− 2x, y ≤ x + 3, x ≤ −2y, y ≥ 0}.

Deo zavrsnog ispita

1. (6 poena) Odrediti oblast konvergencije i naci sumu reda

∞∑n=2

2n

n2 − 1(2x− 3)n.

2. (6 poena) Funkciju f(x) = ln(x2 + 5x + 6) razviti u stepeni red u okolini tacke x0 = 0.

3. (6 poena) Odrediti oblast uniformne konvergencije reda∞∑

n=1

x3enx, x ∈ R.

4. Izracunati vrednost krivolinijskog integrala∫L

ydx + (x2 − 1 + y)dy, ako je kriva

L = {(x, y) : x2 + y2 = 4y, y ≤ 2 ∨ x ≤ 0}

(duzi luk krive od (2,2) do (0, 4)) orijentisana od tacke (2,2).

(a) (6 poena) direktno,

(b) (6 poena) primenom Grinove formule.

Page 79: Drugi popravni kolokvijum iz Analize 2 { Elektrotehni cki odsekcasovinovisad.yolasite.com/resources/Matematika/rokovi.pdfb) Ispitati tip singulariteta funkcije f(z) u ta cki a. c)

Elektrotehnicki odsek, smer E1Drugi kolokvijum iz Analize 2

28. 12. 2013.

Predispitne obaveze

1. (2 poena) Neka je w kompleksan broj za koji vazi w3 = 1, Re(w) < 0, Im(w) > 0. IzracunatiLn(w).

2. Data je funkcija f(z) = |z|2z.

a) (2 poena) Da li je funkcija f(z) analiticka funkcija u C? Zasto?

b) (2 poena) Izracunati I =∫L

f(z)dz, ako je L pozitivno orijentisan rub kruznog isecka

{z ∈ C : |z| ≤ 1, 0 ≤ arg(z) ≤ π2}.

3. (3 poena) Preslikavanjem w =1

zpreslikati skup G = {z ∈ C : |z−1| < 1, Imz < 0, Rez < 1}.

4. (3 poena) Koristeci Kosijevu integralnu formulu izracunati integral I =∫c

ez

(z−2i)2 (z+1)dz, gde

je c = {z ∈ C : |z| < 3} pozitivno orijentisana kruznica.

5. (3 poena) Odrediti analiticku funkciju f(z) = P (x, y) + iQ(x, y) + c, z = x + yi, ako jeP (x, y) = ex sin y i f(0) = −i.

Deo zavrsnog ispita

1. (8 poena) Izracunati∫L

ez

z3 − 2iz2 − zdz, ako je kriva L = {z ∈ C : |z| = r, r > 0, r 6= 1},

pozitivno orijentisana.

2. (9 poena) Razviti funkciju f(z) =1

(z − i)(z − 2)u red u tacki z0 = 0.

3. (8 poena) Preslikavanjem w = −eiπ2z+1z−1 preslikati oblast

G = {z ∈ C : |z| > 1, Re z < 1, Imz > 0}.