Embed Size (px)
DESCRIPTION
dr hab. Ewa Popko. pok. 231a. www.if.pwr.wroc.pl/~popko e-mail:. [email protected]. Podręczniki. D.Halliday, R.Resnick, J.Walker; Podstawy Fizyki tom 1 i 2 W.I Sawieliew; Wykłady z Fizyki tom I H.D. Young, R.A. Freedman; University Physics, - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Podręczniki
D.Halliday, R.Resnick, J.Walker; Podstawy Fizyki tom 1 i 2
W.I Sawieliew; Wykłady z Fizyki tom I
H.D. Young, R.A. Freedman; University Physics,
K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański; Wzory i Prawa z Objaśnieniami, część I
K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański; Zadania z Rozwiązaniami, część I
l i c z b yw e k t o r yt e n s o r yfu n k c j e
o p e r a to r y
5 5 k m / h
1 2 0 k J
[ 5 ,4 , 3 ] N
x x x y x z y x y y y z z x z y z z y ( t ) = A s i n ( t )
xpx
i
1.Modele matematyczne wielkości fizycznych :
2. Pomiar
Jest to procedura przypisująca wielkość matematyczną wielkości fizycznej. Polega on na porównaniu pewnej wielkości z wielkością standardową.
3. Jednostki
Układ jednostek SI: m, kg, s, mol
femto- 10-15
pico- 10-12
nano- 10-9
micro- 10-6
mili- 10-3
kilo- 103
mega- 106
giga- 109centi- 10-2
4. SkalaryWielkość skalarna podlega tym samym
zasadom, co kombinacja liczb.Każdy skalar jest reprezentowany przez pewną liczbę
3 + 2 = 5
Czas
- wielkość skalarna związana ze zmianami we wszechświecie.(W SI jedna sekunda jest zdefiniowana jako okres oscylacji określonej linii spektralnej atomu Cs133
Odległość
- skalar związany ze względnym położeniem dwóch punktów. (W SI jeden metr jest zdefiniowany jako odległość jaką przebywa światło w próżni w czasie 1/299,792,458 sekundy)
s 0
10-36 10-32 10-28 10-24 10-20 10-16 10-12 10-8 0.0001 1 104 108 1012 1016 1020 1024 1028
Planck LengthQuarksProton
NucleusAtom
MoleculeCell Nucleus
ProtozoaHuman
Tallest MountainEarth
Earth - SunSolar SystemNearest Star
100 ly marconiMilky Way
Galaxy ClustersVisible Universe
THE SCALE OF THE UNIVERSE
size (m)
10-3510-18
10-1510-12
10-1010-9
10-610-3
100104
1081011
10131016
10181021
10241026
10-3510-18
10-1510-12
10-1010-9
10-610-3
100104
1081011
10131016
10181021
10241026
Masa
- skalar określający bezwładność ciała, czyli ‘opór' na zmianę ruchu.(W SI jeden kilogram = masie wzorca ze stopu platyny i irydu, przechowywanym w International Bureau of Weights and Measures w Sevres
Długość
- skalar związany z rozmiarami obiektów
i
ikrzywa 0s
s ds l limi
AAB
WEKTORY
Elementy zbioru V dla którego zdefiniowano 2 operacje: wewnętrzną i zewnętrzną (mnożenie przez liczbę),
1- geometrycznie:element zorientowany
AB
2- algebraicznie: zbiór liczb Rn
A = [A1, A2, A3]
B = [B1, B2, B3]
AB = [A1+B1, A2+ B2, A3+ B3]
A = [A1, A2, A3]
są zwane wektorami wszystkie osiem warunków jest spełnione:
Prawo łączności dodawania
jeśli a,b,c V to a ( b c ) = ( a b) c
A
B
C
BCAB
A(BC)A(BC)(AB)C
Element zerowy
[A1,A2,A3] [0,0,0] =
= [(A1+0), (A2+0), (A3+0)] =
= [A1,A2,A3]
1 2
Istnieje taki element 0 V że dla każdego a V, a 0 = a.
Element odwrotny
[A1,A2,A3] [-A1,-A2,-A3] =
= [A1+(-A1), A2+(-A2), A3+(- A3)] =
= [0,0,0]
Dla każdego aV istnieje (-a) V taki że a (-a)=0
1
2
A-A
0
Prawo przemienności dodawania
[A1,A2,A3][B1,B2,B3]=
= [(A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)] =
= [(B1+A1), (B2+A2), (B3+A3)] =
= [B1,B2,B3] [A1,A2,A3]
1
AB
AB
ABBA
jeśli a, b V to a b = b a
2
Prawo łączności mnożenia
([A1,A2,A3]) =
= [(A1), (A2), (A3)]=
= [(A1), (A2), (A3)]=
=[()A1, ()A2, ()A3)]=
=() [A1,A2,A3]
jeśli R i a V to ( a ) = () a
1
AA
(A)(A)()A)
2
Element jednostkowy
1 [A1,A2,A3] =
= [1A1,1A2,1A3] =
= [A1,A2,A3]
Dla każdego a V, 1 a = a
1
A
1A
2
(AB)(AB)
Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania
([A1,A2,A3][B1,B2,B3]) =
= [(A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)] =
= [(A1+B1), (A2+B2), (A3+B3)] =
= [A1+B1, A2+B2, A3+B3] =
= ([A1, A2, A3][B1, B2, B3])=
= [A1,A2,A3] [B1,B2,B3]
jeśli R, a,b V to (a b) = ( a) ( b)
1
A
B
( A)( B)2
( A)
( B)
( a) ( a)( a) ( a)
Prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia
(+)[A1,A2,A3] =
= [(+)A1,(+)A2,(+)A3] =
= [(A1+A1),(A2+A2),(A3+A3)]=
= [A1,A2,A3] [A1,A2,A3] =
= [A1,A2,A3] [A1,A2,A3]
if ,R, aV then (+) a = ( a) ( a)
1
A A
A
(+) a
2
Wielkości wektorowe
• Wielkość która spełnia ww. jest wielkością wektorową.
• Każda wielkość wektorowa może być reprezentowana przez wektor, ale nie może być reprezentowana przez liczbę.
Baza Najmniejszy zbiór wektorów {e1,… en}V nazywa się bazą przestrzeni wektorowej, wtedy i tylko wtedy gdy każdy wektor x może być reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów bazy:
n
1iiix ex
Wymiar przestrzeni = liczbie elementów bazy.
Moduł wektora składowego
Wektor skladowy
A = [ , , ]
A
i j
k
x
y
z
Ax = Ax i
Ay = Ay j
Az = Az k
A = (Ax i) (Ay j) (Az k )
Ax Ay Az
Element zorientowany trójce liczb(Układ Kartezjański)
Iloczyn skalarny wielkości wektorowych
Iloczyn skalarny wielkości wektorowych definiuje się poprzez iloczyn skalarny wektorów je reprezentujących.
Iloczyn skalarny - geometrycznie
gdzie a i b są długościami wektorów a jest kątem miedzy nimi
A
B
a
b
cos abBA
Np: iloczyn skalarny dwóch wersorów prostopadłych;
090cos11 BA
Kąt między wektorami
cos 1
a ba b
Kąt miedzy dwoma wektorami jest zdefiniowany przez iloczyn skalarny
A
B
np:Znajdź kąt między [2,0] and [1,1].
cos 12 2 2 2
2 1 0 12 0 1 1
45
ij
]0,2[A]1,1[B
x
y
= 45
Iloczyn skalarny w Rn
][ ,...a,a 21A ][ ,...b,b 21B
n
1iiibaBA
np:
[1,-1,2] ○ [2,3,0] = 1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1
ba
kjikjiba
332211
332313
322212
312111
321321
0cos90cos90cos
90cos0cos90cos
90cos90cos0cos
babababababa
bababa
bababa
bbbaaa
Długość wektora=moduł=wartość bezwzględna
Jest to liczba zdefiniowana przez iloczyn skalarny:
2aaaa
np: geometrycznie A
aaa 0cosA 22AA
Iloczyn skalarny - właściwości
• a ○ b = b ○ a (przemienność)• ( a) ○ b = (a ○ b) (łączność)• (a b) ○ c = (a ○ c) + (b ○ c) (rozdzielność)• a ○ a 0; a ○ a = 0 a = 0
Rzut wektora Dla dowolnego wektora i wektora jednostk. , wektor A
ie
iii eeAA )(
Jest zwany rzutem wektora na kierunek wektora A ie
A
ix
Ax
Ax = ( a ·1· cos ) • i
Ax = ( a cos ) np a
Ax
Twierdzenie
Suma rzutów wektora we wszystkich kierunkach prostopadłych jest równa wektorowi.
Rzuty stanowią składowe wektora
n
i 1ii eeAA
n
i
n
iiA
11ii AeA
Składowe
Np.: przestrzeń 2D
A
x
y
Ax Ax
Ay
Ay
Ax = A ○ i = = A 1 cos = A cos Ax = A cos i
Ay = A cos = A sin
Ay = A sin j
Dodawanie wektorów
Iloczyn wektorowyIloczynem wektorowym A x B jest wektor C, którego moduł jest równy
C = ABsin
i który jest prostopadły do płaszczyzny na której leżą A i B. Zwrot wektora C określa reguła prawej dłoni ( śruby prawoskrętnej)
A B
C
Można go obliczyć metodą wyznacznika:
321
321
bbbaaakji
ba
][][ ][
12213113
2332
babababababa
kjiba
Iloczyn wektorowy
Twierdzenia
A Bi j k
A A AB B B
x y z
x y z
A B A B A B A B A B A B A By z z y z x x z x y y x, ,
ABBA
CABACBA
d
ddd
dd BABABA
CBABCACBA
nieprzemienny
Rozdzielność ze względu na dodawanie
różniczkowanie
Użyteczna tożsamość
Transformacja wektora przy obrocie układu współrzędnych.
zAyAA zy ˆˆ
zAyAA zy ˆˆ
2
1
2221
1211
2
1
AA
aaaa
AA
cossinsincos
R4
y
x
y
x
BB
BB
cossinsincos
BRB4
y
x
y
x
AA
AA
cossinsincos
ARA4
Transormacjawektora
jiji ARA
