Download - Startseite · Auer Verlag · Markiere die Endstelle der Zahlen jeweils grün. Wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, umkreise sie. 3. Schreibe alle Zahlen zwischen 20 und

A. Barth, M. Grünzig, S. Ruhm, H. SeifertMathematik üben Klasse 6Teilbarkeit von natürlichen Zahlen

Üben, üben, üben! Umfassendes Material zu allen

Themen des Lehrplans

Damit der Lernstoff bei den Schülern richtig „sitzt“, ist ständiges Üben und Wieder-

holen unerlässlich. Dieser Band bietet Ihnen eine Fülle an Übungs materialien zu den

wichtigsten Lehrplanthemen der Klasse 6, die übersichtlich in Unterthemen geglie-

dert sind. Zu jedem Unterthema finden Sie zunächst eine kompakte, leicht verständ-

liche Zusammenfassung der wichtigsten Lerninhalte auf einer Seite, die Sie als Kopier-

vorlage austeilen oder als OHP-Folie präsentieren können. Im Anschluss daran folgen

jeweils zwei Arbeitsblätter zu dem jeweiligen Thema, von denen eines eher leichte,

das andere eher schwere Aufgaben enthält. So können Sie Ihre Schüler entsprechend

ihres Leistungsstandes fördern. Die Aufgaben auf jedem Arbeitsblatt entsprechen

den drei Anforderungsbereichen der Bildungsstandards und wurden nach dem Prinzip

„vom Leichten zum Schweren“ erstellt.

Die Themen:

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen – Einführung in die Bruchrechnung – Mit Brüchen

rechnen – Einführung in das Rechnen mit Dezimalbrüchen – Mit Dezimalbrüchen

rechnen – Daten und Zufall

Der Band enthält:

kompakte Übersichtsblätter

insgesamt 58 Übungsblätter in 2 Differenzierungsstufen

alle Kopiervorlagen und Lösungen veränderbar auf CD-ROM

Die Autoren:

Antje Barth – Gymnasiallehrerin für Mathematik und Physik

Melanie Grünzig – Haupt- und Realschullehrerin für Mathematik und Evangelische Religion

Simone Ruhm – Haupt- und Realschullehrerin für Mathematik und Erdkunde

Dr. Hardy Seifert – Fachlehrer für Physik, Mathematik und Informatik, Ausbildungsbeauf-

tragter am Seminar in Friedberg, Promotion in Physik

Weitere Titel aus dieser Reihe:

Auer Führerscheine Mathematik 6 Klassenarbeiten Mathematik 6

Bestell-Nr. 07140

Bestell-Nr. 07141

Auer macht Schulewww.auer-verlag.de

ISBN 978-3-403-07142-6 6Mathematik

übenDifferenzierte Materialien

für das ganze Schuljahr

Antje Barth/Melanie Grünzig/

Simone Ruhm/Hardy Seifert

Sekundarstufe I

Alle Kopiervorlagen

editierbar

7142_Mathematik üben_6.indd 1

14.02.13 13:04

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download

Mathematik üben Klasse 6

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen

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Dieser Download ist ein Auszug aus dem OriginaltitelMathematik üben Klasse 6

Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr

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Teiler und Vielfache

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen 5

Teiler Wenn du eine Zahl durch eine kleinere Zahl teilen kannst, ohne dass ein Rest übrig bleibt, so ist die kleinere Zahl ein Teiler der größeren Zahl.

Beispiel: 24 : 6 = 4 24 ist ohne Rest durch 6 teilbar. 6 ist daher Teiler

von 24.

Wir verkürzen die Schreibweise so:

6 | 24 (gesprochen: 6 ist Teiler von 24)

Gegenbeispiel: 24 : 7 = 3 Rest 3 24 ist mit Rest 3 durch 7 teilbar. 7 ist daher kein

Teiler von 24.

Wir verkürzen die Schreibweise so:

7 24 (gesprochen: 7 ist kein Teiler von 24)

Alle Zahlen haben aber mehr als einen Teiler. Alle Teiler schreibt man der Größe nach in einer Mengenklammer auf:

T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Vielfache Wenn 6 ein Teiler von 24 ist, bedeutet das gleichzeitig, dass 24 ein Vielfaches von 6 ist. 6, 12, 18, 24, 30, … sind Vielfache von 6. Es handelt sich also um die 6er-Reihe.

Hier gibt es keine verkürzte Schreibweise. Die Schreibweise lautet also:

24 ist Vielfaches von 6. 24 ist kein Vielfaches von 7.

Die Vielfachen einer Zahl schreibt man der Größe nach in einer Mengenklammer auf:

V6 = {6, 12, 18, 24, 30, …}

Die Punkte am Ende der Klammer sind ganz wichtig, da es unendlich viele Vielfache der Zahlen gibt.

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6 Teilbarkeit von natürlichen Zahlen

1. Ergänze die Lücken.

a) T8 = {1, 2, , 8} b) T12 = {1, 2, , 4, , 12} c) T = { , 3, 5, } d) T = {1, 2, , 4 , 6 , , 12, }

2. Richtig oder falsch? Begründe deine Antwort.

7 | 63

8 58

4 24

12 | 124

13 | 143

7 84

3. Kontrolliere die Teilermengen. Es ist in jeder Teilermenge ein Fehler versteckt. Finde ihn.

a) T31 = {1, 13, 31} b) T18 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18}

c) T72 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} d) T41 = {1, 2, 7, 14}

4. Gib die ersten fünf Elemente der Vielfachenmengen an.

a) V7 = { } b) V12 = { }

c) V23 = { } d) V15 = { }

5. Kontrolliere Florians Hausaufgaben. Insgesamt hat er sechs Fehler gemacht.

a) V6 = {6, 12, 18, 26, 32, …} b) V = {10, 15, 20, 25, 30, …}

c) V17 = {17, 24, 51, 58, 85, …} d) V1 = {1, 2, 3, 4, 5}

Nein! 8 ist kein Teiler von 188, weil bei 188 geteilt durch 8 ein Rest bleibt.

8 ist ein Teiler von 188, weil hinten doch

eine 8 steht!

Ach, stimmt ja!

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a) T = {1, 2, , 4, , 8, , 24} b) T = {1, 2, , 4, , , 12, , 36} c) T = {1, 2, 4, 8, } d) T = {1, 3, , 9, 15, }

2. Setze das richtige Zeichen ein (| oder ).

a) 9 63 b) 12 144 c) 49 7 d) 41 244

5 41 13 82 21 189 17 1887

8 44 16 96 25 720 14 216

3 21 19 199 17 59 27 3

3. Gib die Teilermengen an.

a) T19 = { } b) T35 = { }

c) T84 = { } d) T26 = { }


a) V8 = {8, , , 32, , …} b) V = {11, , , , 55, …} c) V = { , , 39, 52, , …} d) V = { , , 72, , , …}

5. Handelt es sich um ein Vielfaches? Trage in die Zeile „Antwort“ ja oder nein ein.

Zahl 6 15 12 14 7 23 Vielfaches? 72 51 96 84 239 2330

Antwort

6. Gib die ersten fünf Elemente der Vielfachenmengen an.

a) V9 = { } b) V52 = { }

c) V36 = { } d) V101 = { }

7. Erfinde zu den folgenden Informationen eine Textaufgaben, in der Teiler- oder Vielfachenmengen eine Rolle spielen. Löse deine Aufgabe.

Cedric: „Leon, hast du die Hausaufgaben für Kunst schon gemacht?“ Leon: „Welche Hausaufgaben?“ Cedric: „Wir sollen eine rechteckige Fläche rot malen.

Die soll aber 24 cm² groß sein.“ Leon: „Und wo ist das Problem?“ Cedric: „Es gibt mehrere Möglichkeiten …“

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Teilbarkeit durch 2, 5 und 10



Eine natürliche Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Jede gerade Zahl ist somit durch 2 teilbar. Beispiel: 2 | 17 064 2 17 065 Eine natürliche Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0 oder 5 ist. Beispiel: 5 | 56 410 5 56 419 Eine natürliche Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0 ist. Beispiel: 10 | 44 460 10 44 467 Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, muss man sich nur die letzte Ziffer der Zahl ansehen (Endstellen-regel).

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a) Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn . b) Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn . c) Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn .

2. Markiere die Endstelle der Zahlen jeweils grün. Wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, umkreise sie.

3. Schreibe alle Zahlen zwischen 20 und 100 auf, die durch 5 teilbar sind. Unterstreiche die Zahlen in Rot, die auch durch 10 teilbar sind.

4. Füge | oder | in die Tabelle ein.

Zahl 6 482 18 643 925 3 460 856 724 690

durch 2

durch 5

durch 10

756 483 96 2 349 284

560 128 379 94 7 896 9 658

74 569 421 35 53 654

123 715 45 532 168 23 379

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1. Bestimme die Zahlen zwischen 1 und 20, die

a) durch 2 teilbar sind; b) durch 5 teilbar sind; c) durch 10 teilbar sind.

a)

b)

c)

2. Ergänze die Zahlen so, dass sie durch die angegebene Zahl teilbar ist.

90 57 84 478 96 243 56 78 89

durch 5 teilbar

durch 2 teilbar

durch 10 teilbar

3. Ergänze den Satz sinnvoll.

Eine Zahl ist durch 2 und 5 teilbar, wenn .

4. Michael wirft in sein Sparschwein nur 5-€-Scheine und 2-€-Münzen. Am Ende eines Jahres befinden sich 101 € im Sparschwein. Gib mindestens zwei Möglichkeiten an, wie sich der Betrag aus Scheinen und Münzen zusammensetzt.


Zahl 3 564 2 560 3 245 8 546 95 710 783 34 710

durch 2

durch 5

durch 10

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Teilbarkeit durch 25

Eine natürliche Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 25 teilbar sind, das heißt 00, 25, 50 oder 75 sind. Beispiel: 25 | 64 150 25 64 195

Teilbarkeit durch 4 und 8

Eine natürliche Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind. Beispiel: 4 | 17 024 4 17 034 Bei der Teilbarkeit durch 8 musst du nicht die letzten zwei, sondern die letzten drei Stellen der Zahl betrachten. Beispiel: 8 | 61 128 8 61 138 Du siehst die Regelmäßigkeit bei der Überprüfung der Teilbarkeit: Bei 2 schaust du dir die letzte Stelle an. Bei 4 schaust du dir die letzten zwei Stellen an. Bei 8 schaust du dir die letzten drei Stellen an.

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Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn .

2. Markiere die 2 Endstellen der Zahlen jeweils grün. Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, umkreise sie.

3. Ergänze die Zahlen so, dass sie durch 8 teilbar sind. Es kann auch mehrere Möglichkeiten geben.

a) 45 08 b) 129 64 c) 213 32 d) 115 8 e) 129 4 f) 895


Zahl 480 100 625 7 818 85 7 200 2 775

durch 4

durch 25

durch 8

5. Die Firma Balibo schenkt der Philipp-Reis-Schule für jede Jahrgangsstufe 2 356 Bonbons. Jede Jahrgangsstufe hat 4 Klassen. Überprüfe, ob sich 2 356 Bonbons gleichmäßig auf vier Klassen verteilen lassen. Begründe deine Antwort mithilfe der Regel für die Teilbarkeit durch 4.

1 956 278 58 96 753 284

590 128 400 638 7 896 9 658

76 548 65 56 73 904

123 456 11 223 344 56 762

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1. Ergänze die Zahlen so, dass sie durch 25 teilbar sind.

a) 78 4 b) 25 6 c) 367 7 d) 5 673 e) 16 45


a) 36 72 b) 5 42 c) 96 43 d) 7 e) 333 4


a) 72 b) 34 67 c) 56 72 d) 93 41 e) 6 88


Zahl 326 1 575 6 498 1 000 7 464 2 650 6 529

durch 4

durch 25

durch 8

5. Gib je drei fünfstellige Zahlen an, die …

a) … durch 4 b) … durch 25 c) … durch 4 und 25 d) … durch 25, aber nicht durch 4 teilbar sind.

6. Der Eintritt ins Multiplex-Kino kostet 8 €. Ali, Benni und Claudia sitzen an den Kassen. Nach der letzten Vorstellung zählen sie den Inhalt. Prüfe, ob ihre Tageseinnahmen stimmen können.

Kasse A (Alis Kasse): 2652,00 € Kasse B (Bennis Kasse): 3184,00 € Kasse C (Claudias Kasse): 2975,50 €

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Quersumme

Die Quersumme brauchen wir, um die Teilbarkeit durch 3 und 9 zu überprüfen. Dabei handelt es sich um die Summe aller Ziffern einer Zahl. Beispiel: Die Quersumme der Zahl 7 385 bildet sich so: 7 + 3 + 8 + 5 = 23.


Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Beispiel:

3 | 7 242 , denn 7 + 2 + 4 + 2 = 15 und 15 ist durch 3 teilbar. 3 7 433 , denn 7 + 4 + 3 + 3 = 17 und 17 ist nicht durch 3

teilbar. Eine natürliche Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Beispiel:

9 | 15 138 , denn 1 + 5 + 1 + 3 + 8 = 18 und 18 ist durch 9 teilbar.

9 15 135 , 1 + 5 + 1 + 3 + 5 = 15 und 15 ist nicht durch 9

teilbar.

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1. Bilde zunächst die Quersumme der Zahlen. Entscheide dann, ob die Zahl durch 3 oder / und 9 teilbar ist.

Zahl 54 117 313 243 105 822 605 333

Quersumme 9

durch 3 ja

durch 9 ja

2. Färbe nur die Sterne ein, die durch 3 teilbar sind.

3. Maya sollte mithilfe der Quersumme überprüfen, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist. Kontrolliere ihre Aufgaben.

4. Ergänze die Zahlen so, dass sie durch 3 und 9 teilbar sind.

a) 2 3 7 b) 53 176 c) 1 212 28 d) 8 543

a) 1 223 Quersumme: 1 + 2 + 2 + 3 = 8 ist nicht durch 9 teilbar. b) 7 308 Quersumme: 7 + 3 + 0 + 8 = 81 ist durch 9 teilbar. c) 99 908 145 Quersumme: 9 + 9 + 9 + 0 + 1 + 4 + 5 = 37 ist nicht durch 9 teilbar. d) 99 027 Quersumme: 9 + 9 + 0 + 2 + 7 = 27 ist durch 9 teilbar.

94 311 7 401

369

55 551

621

2 031

54 771

1 710

88 842

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1. Bilde zunächst die Quersumme der Zahlen. Entscheide dann, ob die Zahl durch 3 oder / und 9 teilbar ist.

Zahl 647 11 091 34 974 872 299 11 111 52 830 34 567 3 535

Quersumme

durch 3

durch 9


a) 56 41 b) 587 41 c) 8 14 d) 6 223 14


a) 111 1 b) 24 67 c) 3234 d) 7 719 8

4. Antonio hat ähnliche Aufgaben gestellt bekommen. Leider haben sich Fehler eingeschlichen. Finde sie.

5. Sebastian und Pauline sind sich uneinig. Kannst du helfen?

a) 6 510 Quersumme: 6 + 5 + 10 = 21 ist durch 3 teilbar. b) 2 457 Quersumme: 2 + 4 + 5 + 7 = 19 ist nicht durch 3 teilbar. c) 64 233 Quersumme: 6 + 4 + 2 + 3 + 3 = 18 ist durch 3 und 9 teilbar. d) 99 027 Quersumme: 9 + 9 + 0 + 2 + 7 = 27 ist durch 9 teilbar.

Nein, das stimmt nicht! Es gibt genügend Gegenbeispiele,

es kommt doch auf was ganz Anderes an …

Wenn du gucken willst, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist, musst du auch einfach die

Quersumme bilden. z. B. 24 2 + 4 = 6

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Primzahlen


Primzahlen Lässt sich eine Zahl nur durch 1 und sich selbst teilen, so handelt es sich um eine Primzahl. Die Primzahlen von 1 bis 20 sind demnach:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Die Zahl 2 ist dabei die einzige gerade Primzahl.

Primfaktorzerlegung Jede Zahl lässt sich in Form eines Produktes darstellen, das nur aus Primzahlen besteht. Das heißt, die Zahl 10 wird in die Primzahlen 2 und 5 zerlegt, denn 2 · 5 = 10. 24 lässt sich in die Zahlen 4 und 6 zerlegen, da 4 · 6 = 24. Es handelt sich aber nicht um Primzahlen. Deshalb muss man die 4 in 2 · 2 zerlegen und die 6 in 2 · 3.

2 · 2 · 2 · 3

4

24

6·

2 · 2 · 2 · 3 = 24. Dieses Produkt besteht nun tatsächlich nur aus Primzahlen.

Ein weiteres Beispiel ist 12. 12 lässt sich in 2 · 6 zerlegen. Die 6 wiederum in 2 · 3. Somit: 12 = 2 · 2 · 3.

Teilbarkeitsregeln auf einen Blick

Zahl Regel 2 Endstelle = 0, 2, 4, 6 oder 8 4 Letzte 2 Ziffern durch 4 teilbar 8 Letzte 3 Ziffern durch 8 teilbar 5 Endstelle = 0 oder 5

10 Endstelle = 0 25 Letzte 2 Ziffern = 00, 25, 50 oder 75 3 Quersumme durch 3 teilbar 9 Quersumme durch 9 teilbar

2 · 5

10

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1. Schreibe alle Primzahlen auf, die zwischen den Zahlenbereichen liegen.

a) 1 bis 20 b) 20 bis 40

2. Suche die Primzahlen heraus und kreise sie ein. Hier helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Tipp: In jedem Block sind vier Primzahlen.


a) 14 = 2 · b) 62 = 2 · c) 39 = · 13 d) 42 = 2 · · 7 e) 28 = 2 · · 7 f) 60 = 2 · · 3 ·

4. Zerlege in Primfaktoren. Tipp: Zeichne Bäumchen.

a) 40 b) 63 c) 153 d) 100

27 43 1 2

49 39 15

53 63 41

7 57 21 51

97 81 24

9 35 23 47

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Primzahlen


1. Schreibe alle Primzahlen auf, die zwischen den Zahlenbereichen liegen.

a) 1 bis 40 b) 40 bis 100

2. Suche die Primzahlen heraus und kreise sie ein. Hier helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Tipp: In jedem Block sind vier Primzahlen.

3. Ermittle die Primfaktoren.

a) 64 = · · · · · b) 61 = c) 102 = d) 55 = e) 49 = f ) 169 =

4. Harald, Vanessa und Timo haben ihre Hausaufgaben gemacht und die Zahl 52 in Primfaktoren zerlegt.

Alle sind der Meinung, recht zu haben und melden sich bei der Hausaufgabenbesprechung. Wer hat die Hausaufgabe richtig? Begründe.

27 43 101

73 91 15

55 63 41

29 57 21 51

97 81 24

9 35 23 47

Haralds Ergebnis: 4 · 13

Vanessas Ergebnis: 13 · 2 · 2

Timos Ergebnis: 2 · 2 · 13Muster z

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Größter gemeinsamer Teiler (ggT)


Gemeinsamer Teiler

Um gemeinsame Teiler zweier Zahlen zu finden, musst du zunächst die Teilermengen bestimmen. Beispiel: Wir suchen die gemeinsamen Teiler von 12 und 32. T12 = { 1 , 2 , 3, 4 , 6, 12} T32 = { 1 , 2 , 4 , 8, 16, 32} Wie du siehst, haben 12 und 32 drei gemeinsame Teiler: 1, 2 und 4. Wenn zwei Zahlen nur die 1 als Teiler haben, sagt man, sie sind teilerfremd.


Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, musst du wieder zunächst die Teilermengen bestimmen. Beispiel: Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler von 30 und 45. Geschrieben: ggT (30; 45) = T30 = { 1 , 2, 3 , 5 , 6, 10, 15 , 30} T45 = { 1 , 3 , 5 , 9, 15 , 45} Du siehst: 1, 3, 5 und 15 sind die gemeinsamen Teiler von 30 und 45. Der größte ist 15. ggT (30; 45) = 15

Muster z

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1. Bestimme die Teilermengen der jeweils angegebenen Zahlen und umkreise die gemeinsamen Teiler im Anschluss. Markiere den größten gemeinsamen Teiler rot.

a) T8 = { } b) T18 = { } T12 = { } T27 = { }

2. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler, indem du die Teilermengen notierst und vergleichst.

a) ggT (21; 28) = b) ggT (13; 39) = c) ggT (8; 17) =

3. Sind die beiden Zahlen teilerfremd zueinander? Schreibe ja bzw. nein dahinter.

a) 12 und 15 b) 8 und 19 c) 35 und 56 d) 1 und 14 e) 10 und 32 f) 27 und 81

4. Auf den ersten Blick erkennst du hier bereits den ggT. Schreibe jeweils dahinter, ohne zu rechnen.

a) ggT(4; 16) = b) ggT (5; 13) = c) ggT (20; 40) = d) ggT (6; 24) = e) ggT (84; 86) = f) ggT (9; 72) =

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1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler, indem du die Teilermengen notierst und vergleichst.

a) ggT (12; 54) = b) ggT (25; 60) = c) ggT (27; 72) =

2. Gib alle Zahlen bis 40 an, die zu 15 teilerfremd sind.

3. Bestimme jeweils die Teilermengen der drei Zahlen. Bestimme dann den ggT.

a) ggT (14; 18; 22)

T14 = { }

T18 = { }

T22 = { } b) ggT (24; 58; 96) c) ggT (12; 60; 84)

Muster z

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Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)


Gemeinsames Vielfaches Um gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden, musst du zunächst die ersten Vielfachen bestimmen. Beispiel: Wir suchen die gemeinsamen Vielfachen von 6 und 8. V6 = {6, 12, 18, 24 , 30, 36, 42, 48 , …} V8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …} Wie du siehst, sind die ersten gemeinsamen Vielfachen von 6 und 8: 24 und 48.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden, musst du wieder zunächst die Vielfachmengen bestimmen. Beispiel: Wir suchen das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 12. Geschrieben: kgV (4; 12) = V4 = {4, 8, 12 , 16, 20, 24, 28, 32, ...} V12 = { 12 , 24, 36, 48, 60, 72, …} Du siehst: 12 ist die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachmengen enthalten ist. Die 12 ist also das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 12. kgV (4; 12) = 12 Natürlich haben 4 und 12 noch weitere Vielfache, wie z. B. 24, 36, 48, … – gefragt ist aber nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

Muster z

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1. Bestimme die ersten fünf Elemente der Vielfachenmengen und umkreise die gemeinsamen Vielfache. Markiere das kleinste gemeinsame Vielfache rot.

a) V4 = { ...} b) V6 = { ...}

V16 = { ...} V8 = { ...}

2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache, indem du die Vielfachmengen notierst und vergleichst. Tipp: Du musst die Vielfachen so weit bilden, dass eine Zahl in beiden Mengen vorkommt.

a) kgV (4; 15) = b) kgV (7; 21) = c) kgV (18; 45) =

3. Fatma hat die nächsten Aufgaben bereits gerechnet und ist sich unsicher. Marco meint, dass sie insgesamt drei Fehler gemacht habe. Finde und verbessere die Fehler.

a) V6 = {12, 18, 24, 30, 36, …} b) V8 = {1, 2, 4, 8, …} V15 = {15, 30, 45, 60, 75, …} V2 = {2, 4, 6, 8, …} kgV (6; 15) = 30 kgV (8; 2) = 4

4. Auf den ersten Blick. Bestimme das kgV.

a) kgV (10; 15) = b) kgV (7; 21) = c) kgV (35; 105) =

d) kgV (12; 18) = e) kgV (27; 36) = f ) kgV (5; 11) =

Muster z

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1. Bestimme das kgV.

a) 22 und 55 b) 16 und 24 c) 14 und 35 d) 12 und 16


a) kgV (4; ) = 28 b) kgV ( ; 5) = 5 c) kgV (6; ) = 24

3. Auf den ersten Blick. Bestimme das kgV.

a) kgV (4; 20) = b) kgV (13; 52) = c) kgV (12; 18) d) kgV (55; 110) = e) kgV (10; 17) = f) kgV (9; 24) =

4. Löse die Aufgabe schriftlich.

Schnecke Gino und Schnecke Angelika schnecken vor sich hin. Sie umrunden das Gartenhaus von Herrn Flasch unterschiedlich schnell. Sie starten gemeinsam an einer Ecke. Schnecke Gino benötigt 48 min für eine Runde, während Schnecke Angelika 52 min braucht. Nach wie vielen Stunden treffen beide Schecken am Startpunkt wieder aufeinander?

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Lösungen: Teiler und Vielfache

1.

a) T8 = {1, 2, 4 , 8} b) T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

c) T15 = {1, 3, 5, 15} d) T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

2.

7 | 63 richtig, 63 : 7 = 9

8 58 richtig, 58 ist nicht in der 8er-Reihe

4 24 falsch, 24 : 4 = 6

12 |124 falsch, 124 : 12 = 10 Rest 4

13 |143 richtig, 143 : 13 = 11

7 84 falsch, 84 : 7 = 12

3.

a) T31 = {1, 13, 31} b) T18 = {1, 2, 3, 4 , 6, 9, 18}

c) T72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} d) T41 = {1, 2, 7, 14}

4.

a) V7 = {7, 14, 21, 28, 35, …} b) V12 = {12, 24, 36, 48, 60, …}

c) V23 = {23, 46, 69, 92, 115, …} d) V15 = {15, 30, 45, 60, 75, …}

5.

a) V6 = {6, 12, 18, 26, 32, …} b) V5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, …}

c) V17 = {17, 24, 51, 58, 85, …} d) V1 = {1, 2, 3, 4, 5, …}


Muster z

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Lösungen: Teiler und Vielfache

1.

a) T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} b) T36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

c) T16 = {1, 2, 4, 8, 16} d) T45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

2.

a) 9 | 63 b) 12 | 144 c) 49 7 d) 41 244

5 41 13 82 21 | 189 17 | 1887

8 44 16 | 96 25 720 14 216

3 | 21 19 199 17 59 27 3

3.

a) T19 = {1, 19} b) T35 = {1, 5, 7, 35}

c) T84 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84} d) T26 = {1, 2, 13, 26}

4.

a) V8 = {8, 16, 24, 32, 40, …} b) V11 = {11, 22, 33, 44, 55, …}

c) V13 = {13, 26, 39, 52, 65, …} d) V24 = {24, 48, 72, 96, 120, …}

5.

Zahl 6 15 12 14 7 23

Vielfaches? 72 51 96 84 239 2 330

Antwort ja nein ja ja nein nein

6.

a) V9 = {9, 18, 27, 36, 45, …} b) V52 = {52, 104, 156, 208, 260, …}

c) V36 = {36, 72, 108, 144, 180, …} d) V101 = {101, 202, 303, 404, 505, …}

7.

T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}

1) a = 6 cm; b = 4 cm (oder umgekehrt)

2) a = 2 cm; b = 12 cm (s. o.)

3) a = 3 cm; b = 8 cm (s. o.)

4) a = 1 cm; b = 24 cm (s. o.)

Cedric hat 4 Möglichkeiten gefunden, wie das Rechteck aussehen kann.


Muster z

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Lösungen: Teilbarkeit durch 2, 5 und 10

1.

a) Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie mit 2, 4, 6, 8 oder 0 endet bzw. gerade ist.

b) Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie mit 0 oder 5 endet.

c) Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie mit einer 0 endet.

2.

3.

20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100

4.

Zahl 6 482 18 643 925 3 460 856 724 690

durch 2 | | | | | | |

durch 5 | | | | | | |

durch 10 | | | | | | |


756 483 96 2 349 284

560 128 379 94 7 896 9 658

74 569 421 35 53 654

123 715 45 532 168 23 379

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1.

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

b) 5, 10, 15, 20

c) 10, 20

2.

90 57 84 478 96 243 56 78 89

durch 5 teilbar905; 900 57 845;

57 840,

478 965;

478 960,

243 560;

243 565,

78 895;

78 890,

durch 2 teilbar

900; 902; 904;

906; 908

57 842;

57 844;

57 846;

57 848;

57 840,

478 962;

478 964;

478 966;

478 968;

478 960,

243 560;

243 562;

243 564;

243 566;

243 568,

78 890;

78 892;

78 894;

78 896;

78 898,

durch 10 teilbar 900 57 840, 478 960, 243 560 78 890,

3.

Eine Zahl ist durch 2 und 5 teilbar, wenn sie am Ende eine 0 hat bzw. sie durch 10 teilbar ist.

4.

101 € = 13 · 5 € + 18 · 2 €

101 € = 19 · 5 € + 3 · 2 €

5.

Zahl 3 564 2 560 3 245 8 546 95 710 783 34 710

durch 2 | | | | | | |

durch 5 | | | | | | |

durch 10 | | | | | | |


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1.

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.

2.

3.

Eingesetzt werden können:

a) 0; 2; 4; 6; 8

b) 0; 2; 4; 6; 8

c) 0; 2; 4; 6; 8

d) 2; 6

e) 0; 4; 8

f) 2

4.

Zahl 480 100 625 7 818 85 7 200 2 775

durch 4 | | | | | | |

durch 25 | | | | | | |

durch 8 | | | | | | |

5.

Die Frage ist, ob 2 356 durch 4 teilbar ist.

Entweder rechnet man 2 356 : 4 = 589. Bei dem Ergebnis gibt es keinen Rest. Somit ist die Zahl an

Bonbons auf alle 4 Klassen aufteilbar.

Die andere Möglichkeit ist, die Teilbarkeitsregel für 4 anzuwenden:

56 ist durch 4 teilbar, weshalb 2 356 durch 4 teilbar ist.


1 956 278 58 96 753 284

590 128 400 638 7 896 9 658

76 548 65 56 73 904

123 456 11 223 344 56 762

Muster z

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1.

Ergänzt werden können:

a) 25; 50; 75; 00

b) 25; 50; 75; 00

c) 1. Lücke: alle Ziffern von 0 bis 9; 2. Lücke: 5

d) 1. Lücke: alle Ziffern von 0 bis 9; 2. und 3. Lücke: 25; 50; 75; 00

e) 0

2.

a) 0; 4; 8

b) 0; 4; 8

c) 2; 6

d) 2; 6

e) 1. Lücke: alle Ziffern von 0 bis 9; 2. Lücke: 0; 4; 8

3.

a) 0; 8

b) 2

c) 0; 8

d) 6

e) 0; 8

4.

Zahl 326 1 575 6 498 1 000 7 464 2 650 6 529

durch 4 | | | | | | |

durch 25 | | | | | | |

durch 8 | | | | | | |

5.

a) Die letzten beiden Stellen müssen durch 4 teilbar sein. Beispiel: 12 344

b) Die letzten beiden Stellen müssen 25, 50, 75 oder 00 sein. Beispiel: 12 325

c) Die letzten beiden Stellen müssen 00 sein. Beispiel: 12 300

d) Die letzten beiden Stellen müssen 25, 50 oder 75 sein. Beispiel: 12 325

6.

Kasse A (Alis Kasse): 2 652,00 € kann nicht stimmen, denn 652 ist nicht ohne Rest durch

8 teilbar. 648 € Rest 4 €.

Kasse B (Bennis Kasse): 3 184,00 € stimmt, da 184 durch 8 teilbar ist.

Kasse C (Claudias Kasse): 2 975,50 € kann nicht stimmen, da ein Cent-Betrag bei ganzen

Zahlen nicht möglich ist.


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Lösungen: Teilbarkeit durch 3 und 9

1.

Zahl 54 117 313 243 105 822 605 333

Quersumme 9 9 7 9 6 12 11 9

durch 3 ja ja nein ja ja ja nein ja

durch 9 ja ja nein ja nein nein nein ja

2.

3.

4.

Ergänzt werden kann:

a) 6 b) 5 c) 2 d) 7


94 3117 401

369

55 551

621

2 031

54 771

1 710

88 842

a) 1 223 Quersumme: 1 + 2 + 2 + 3 = 8 ist nicht durch 9 teilbar.b) 7 308 Quersumme: 7 + 3 + 0 + 8 = 18 ist durch 9 teilbar.c) 99 908 145 Quersumme:

9 + 9 + 9 + 0 + 8 + 1 + 4 + 5 = 45 ist nicht durch 9 teilbar.d) 99 027 Quersumme: 9 + 9 + 0 + 2 + 7 = 27 ist durch 9 teilbar.

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Lösungen: Teilbarkeit durch 3 und 9

1.

Zahl 647 11 091 34 974 872 299 11 111 52 830 34 567 3 535

Quersumme 17 12 27 37 5 18 25 16

durch 3 nein ja ja nein nein ja nein nein

durch 9 nein nein ja nein nein ja nein nein

2.


a) 2; 5; 8 b) 2; 5; 8 c) 2; 5; 8 d) 0; 3; 6; 9

3.


a) 5 b) 8 c) 6 d) 4

4.

5.

Gegenbeispiel: 15 ist nicht durch 6 teilbar, aber ergibt in der Quersumme 6 = 1 + 5.

Will man wissen, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist, muss man prüfen, ob diese Zahl durch 2 und 3

teilbar ist, d. h., die Zahl muss gerade sein und in der Quersumme durch 3 teilbar sein.


a) 6 510 Quersumme: 6 + 5 + 1 + 0 = 12 ist durch 3 teilbar.b) 2 457 Quersumme: 2 + 4 + 5 + 7 = 18 ist nicht durch 3 und 9

teilbar.c) 64 233 Quersumme: 6 + 4 + 2 + 3 + 3 = 18 ist durch 3 und 9

teilbar.d) 99 027 Quersumme: 9 + 9 + 0 + 2 + 7 = 27 ist durch 9 und 3

teilbar.Muster z

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Leh

rerf

achv

erla

ge

Gm

bH

, Don

auw

ört

h

Lösungen: Primzahlen

1.

a) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 b) 23; 29; 31; 37

2.

3.

a) 14 = 2 · 7 b) 62 = 2 · 31 c) 39 = 3 · 13

d) 42 = 2 · 3 · 7 e) 28 = 2 · 2 · 7 f) 60 = 2 · 2 · 3 · 5

4.

a) 40 = 2 · 2 · 2 · 5 b) 63 = 3 · 3 · 7

2 · 2 · 2 · 5

· 5

· 5

4 · 2

8

40

· 3

· 3

3 · 7

21

63

c) 153 = 3 · 3 · 17 d) 100 = 2 · 2 · 5 · 5

· 17

· 17

3 · 3

9

153

2 · 2 ·

·

5 · 5

25

· 50

2 · 2

2

100


27 43 1 2

49 39 15

53 63 41

7 57 21 51

97 81 24

9 35 23 47

Muster z

ur

Ansicht

A. B

arth

/M. G

rün

zig/

S. R

uhm

/H.

Sei

fert

: Ma

them

atik

üb

en K

lass

e 6

© A

uer

Ver

lag

– A

AP

Leh

rerf

achv

erla

ge

Gm

bH

, Don

auw

ört

h

Lösungen: Primzahlen

1.

a) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19.; 23; 29; 31; 37

b) 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97

2.

3.

a) 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 b) 61 = 61

c) 102 = 2 · 3 · 17 d) 55 = 5 · 11

e) 49 = 7 · 7 f) 169 = 13 · 13

4.

Timos Ergebnis ist richtig und der Größe nach geordnet.

Vanessas Ergebnis ist auch richtig, allerdings nicht der Größe nach geordnet.

Harald hat übersehen, dass 4 keine Primzahl ist und noch in 2 · 2 zerlegt werden kann.


27 43 101

73 91 15

55 63 41

29 57 21 51

97 81 24

9 35 23 47

Muster z

ur

Ansicht

A. B

arth

/M. G

rün

zig/

S. R

uhm

/H.

Sei

fert

: Ma

them

atik

üb

en K

lass

e 6

© A

uer

Ver

lag

– A

AP

Leh

rerf

achv

erla

ge

Gm

bH

, Don

auw

ört

h

Lösungen: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

1.

Der ggT ist fett dargestellt:

a) T8 = { 1 , 2 , 4 , 8} b) T18 = { 1 , 2, 3 , 6, 9 , 18}

T12 = { 1 , 2 , 3, 4 , 6, 12} T27 = { 1 , 3 , 9 , 27}

2.

a) ggT (21; 28) = 7

T21 = { 1 , 3, 7 , 21} T28 = { 1 , 2, 4, 7 , 14, 28}

b) ggT (13; 39) = 13

T13 = { 1 , 13 } T39 = { 1 , 3, 13 , 39}

c) ggT (8; 17) = 1

T8 = { 1 , 2, 4, 8} T17 = { 1 , 17}

3.

a) nein b) ja c) nein

d) ja e) nein f) nein

4.

a) ggT (4; 16) = 4 b) ggT (5; 13) = 1 c) ggT (20; 40) = 20

d) ggT (6; 24) = 6 e) ggT (84; 86) = 2 f) ggT (9; 72) = 9


Muster z

ur

Ansicht

A. B

arth

/M. G

rün

zig/

S. R

uhm

/H.

Sei

fert

: Ma

them

atik

üb

en K

lass

e 6

© A

uer

Ver

lag

– A

AP

Leh

rerf

achv

erla

ge

Gm

bH

, Don

auw

ört

h

Lösungen: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

1.

a) ggT (12; 54) = 6

T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

T54 = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}

b) ggT (25; 60) = 5

T25 = {1, 5, 25 }

T60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

c) ggT (27; 72) = 9

T27 = {1, 3, 9, 27 }

T72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

2.

1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 37, 38

3.

a) ggT (14; 18; 22) = 2

T14 = {1, 2, 7, 14}

T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

T22 = {1, 2, 11, 22}

b) ggT (24; 58; 96) = 2

T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

T58 = {1, 2, 29, 58}

T96 = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 32, 48, 96}

c) ggT (12; 60; 84) = 12

T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

T60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

T84 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}


Muster z

ur

Ansicht

A. B

arth

/M. G

rün

zig/

S. R

uhm

/H.

Sei

fert

: Ma

them

atik

üb

en K

lass

e 6

© A

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Ver

lag

– A

AP

Leh

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achv

erla

ge

Gm

bH

, Don

auw

ört

h

Lösungen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

1.

Das kgV ist fett dargestellt:

a) V4 = {4, 8, 12, 16, 20, ...} b) V6 = {6, 12, 18, 24, 30, ...}

V16 = { 16, 32, 48, 64, 80, ...} V8 = {8, 16, 24, 32, 40, ...}

2.

a) kgV (4; 15) = 60

V4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, ...}

V15 = {15, 30, 45, 60, ...}

b) kgV (7; 21) = 21

V7 = {7, 14, 21, 28, 35, ...}

V21 = {21, 42, ...}

c) kgV (18; 45) = 90

V18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...}

V45 = {45, 90, 135, ...}

3.

a) V6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, …} b) V8 = {1, 2, 4, 8,…..} das ist die Teilermenge

V15= {15, 30, 45, 60, 75, …} V8 = {8, 16, 24, 32, ...}

V2 = {2, 4, 6, 8, …}

kgV (6; 15) = 30 kgV (8; 2) = 4 8

4.

a) kgV (10; 15) = 30 b) kgV (7; 21) = 21 c) kgV (35; 105) = 105

d) kgV (12; 18) = 36 e) kgV (27; 36) = 108 f) kgV (5; 11) = 55


Muster z

ur

Ansicht

A. B

arth

/M. G

rün

zig/

S. R

uhm

/H.

Sei

fert

: Ma

them

atik

üb

en K

lass

e 6

© A

uer

Ver

lag

– A

AP

Leh

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achv

erla

ge

Gm

bH

, Don

auw

ört

h

Lösungen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

1.

a) kgV (22; 55) = 110 b) kgV (16; 24) = 48

c) kgV (14; 35) = 70 d) kgV (12; 16) = 48

2.

a) kgV (4; 7) = 28 b) kgV (1; 5) = 5 c) kgV (6; 24) = 24

3.

a) kgV (4; 20) = 20 b) kgV (13; 52) = 52 c) kgV (12; 18) = 36

d) kgV (55; 110) = 110 e) kgV (10; 17) = 170 f) kgV (9; 24) = 72

4.

Vielfachenmenge von Ginos Zeit

V48 = {48, 96, 144, 192, 240, 288, ...}

Vielfachenmenge von Angelikas Zeit

V72 = {72, 144, 216, 288, 360, 432, …}

kgV (48; 72) = 144

Antwort: Gino und Angelika treffen sich nach 2 Stunden und 24 Minuten wieder am Startpunkt.


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Autor: A. Barth, M. Grünzig, S. Ruhm, H. Seifert Illustrationen: Steffen Jähde, Sundhagen

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