Dogovorene teme

Sveuilite u Zagrebu

Prirodoslovno-matematiki fakultet

Matematiki odsjek

Teme diplomskih radova u 2016. godini

- Dogovorene teme -

Mentor: Nenad Antoni

Naelo kompaktnosti i koncentracije u varijacijskom raunu

Student: Mia Juki

Podruje: matematika analiza, parcijalne diferencijalne jednadbe

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral

Opis: Naelo koje je uveo Pierre-Louis Lions (dobitnik Fieldsove medalje 1994.) osam-desetih godina slui izbjegavanju potekoe uzrokovane nepostojanjem predkompaktnostiomeenih skupova u beskonanodimenzionalnim Banachovim prostorima. Ideja se sastojiu tome da se dani niz (na podnizu) rastavi u zbroj konvergentnih nizova koji su pomak-nuti asimptotiki ortogonalnim skupom grupovnih djelovanja, uz lan pogreke koji teik nuli u slabijoj normi (ali i dalje jaoj od slabe topologije).

Literatura:

Kyril Tintarev, Karl-Heinz Fieseler: Concentration compactness - functional-analytic gro-unds and applications, Imperial College Press, 2007.Michael Struwe: Variational methods - Applications to nonlinear partial dierential equ-ations and Hamiltonian systems, Springer, 2008.Pierre-Louis Lions: The concentration compactness principle in the calculus of variations:The locally compact case 1,2 ; Ann. Inst. H. Poincar Sect. A 1 (1984) no. 2,pp. 109145;no. 4, 223-283.Pierre-Louis Lions: The concentration compactness principle in the calculus of variations:The limit case 1,2 ; Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985) no.1, pp. 145201; no.2, pp45-121.

1

Mentor: Ljiljana Arambai

Nizovi i redovi funkcija

Student: Danijela Pikor

Podruje: matematika analiza

Prikladno za studij: svi studiji

Opis: U ovom diplomskom radu prouavat e se nizovi i redovi funkcija, te njihova ko-nvergencija po tokama, odnosno uniformna konvergencija. Prouavat e se razni kriterijikonvergencije, kao i svojstva funkcija koje uniformna konvergencija uva.

Literatura:

W. F. Trench, Introduction to real analysis, (2013). Faculty Authored Books. Book 7.http://digitalcommons.trinity.edu/mono/7

M. H. Protter, C. B. Morrey, A rst course in real analysis, New York, Springer, 1991.

2

Mentor: Damir Baki

Multirezolucijski valii i diskretne transformacije

Student: Toni Vidovi

Podruje: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Opis: Vali je kvadratno integrabilna funkcija koja pod djelovanjem cjelobrojnih transla-cija i (dijadskih) dilatacija tvori ortonormiranu bazu ili, openitije, Parsevalov bazni okvirHilbertovog prostora kompleksnih kvadratno integrabilnih funkcija na realnom pravcu. Uradu e se u prvom redu opisati osnovna svojstva valia te multirezolucijska struktura kaonajjednostavnija i osnovna tehnika konstrukcije valia. U drugom dijelu rada diskutirate se neke primjene, posebno, diskretne transformacije signala koje se temelje na multi-rezolucijskoj tehnici.

Literatura:

E. Hernandez, g. Weiss, A rst course on wavelets, CRC Press, 1996.D.F. Walnut, Wavelet analysis, Birkhuser, 2002.

3

Mentor: Damir Baki

Model izglaivanja empirijskih podataka

Student: Matea Galovi

Podruje: matematika statistika

Prikladno za studij: Matematika statistika, Financijska i poslovna matematika

Opis: U radu e se najprije opisati tehnike neparametarske regresije i, posebno, lokalnopolinomijalne regresije, koje se koriste pri izglaivanju empirijskih podataka. U drugomdijelu opisat e se primjena na modelu izglaivanja empirijskih vjerojatnosti smrti korite-nom za generiranje tablica smrtnosti koje su u slubenoj upotrebi u Republici Hrvatskoj.

Literatura:

J.S. Simono, Smoothing methods in statistics, Springer, 1996.Actuariel Genootschap (2007) On mortality and life expectancy. English version of AGreport "Over sterfte en Overleven", April 2007.D. Baki, Tablice aktuarske matematike, prosinac 2012., struni elaborat izraen po na-rudbi HZMO.

4

Mentor: Bojan Basrak

Repni indeks i zavisnost

Student: Ognjen Stipeti

Podruje: vjerojatnost, sluajni procesi

Prikladno za studij: svi studiji

Opis: Razni podaci u mnogim znanostima i primjenama, mogu se dobro opisati razdi-obama regularno varirajueg repa, odn. razdiobama za koje vrijedi P (X > x) = L(x)x

za x, gdje je L neka sporo promjenjiva funkcija, a X oznaava sluajnu vrijednost uuzorku. U takvim sluajevima, od iznimnog je znaaja odrediti parametar koji odreujeoblik repa razdiobe. Najznaajniji procjenitelj u ovom podruju je tzv. Hillov procjenitelj.Glavi cilj diplomskog rada je prikazati teorijska svojstva ovog procjenitelja, ali i upozoritina probleme u njegovoj primjeni. Nadalje, u sluaju viedimenzionalnih podataka od in-teresa je procjeniti i tzv. indeks repne zavisnosti. I u ovom sluaju, praktina primjenastandardnih procjenitelja nije jednostavna. Stoga bi diplomski rad trebao na stvarnim isimuliranim podacima ilustrirati dobre, ali i loe karakteristike ovih procjenitelja.

Literatura:

Embrechts, P., Klppelberg, C. i Mikosch, T. (2008). Modelling Extremal Events: forInsurance and Finance, corr. 4th printing. Springer-Verlag, Berlin.Resnick, S. (2007). Heavy Tailed Phenomena. Springer.Schmidt, R. i Stadtmller, U. (2006). Non-parametric estimation of tail dependence.Scandinavian Journal of Statistics, 307-335.

5

Mentor: Bojan Basrak

MCMC metoda i primjene

Student: Elio Barto

Podruje: vjerojatnost, sluajni procesi

Prikladno za studij: svi studiji

Opis: U mnogim podrujima statistike ali i drugih znanosti, raunalne simulacijskemetode imaju veliku vanost. To je posebice sluaj u bayesovskoj statistici. Mnogemoderne metode ovog tipa zasnivaju se na ideji koritenja Markovljevih lanaca u MonteCarlo algoritmima ili Markov Chain Monte Carlo MCMC metoda. Cilj diplomskog radaje prikazati osnovne pojmove teorije Markovljevih lanaca na openitom skupu stanja, kaoi dva osnovna algoritma u ovom podruju: MetropolisHastingsovog, odn. Gibbsovogalgoritma. Diplomski rad bi trebao objasniti i osnovna teorijska svojstva ovih algoritama,no prije svega ilustrirati prednosti i primjenu ovih metoda na primjerima iz primjene, aposebno na problemu procjene u bayesovskoj statistici.

Literatura:

Robert, C. i Casella, G. (2013). Monte Carlo statistical methods. Springer.Robert, C. i Casella, G. (2009). Introducing Monte Carlo Methods with R. Springer.

6

Mentor: Bojan Basrak

Simulacija rijetkih dogaaja

Student: Vedrana Vazdar

Podruje: vjerojatnost, sluajni procesi

Prikladno za studij: svi studiji

Opis: Poznato je da je standardnim Monte Carlo algoritmom vrlo teko precizno proci-jeniti vjerojatnosti iznimno rijetkih dogaaja. Problem se krije u velikoj relativnoj grecitakvih procjenitelja. U tu svrhu u literaturi postoji vie simulacijskih tehnika koje sebave upravo ovim problemom. Cilj rada je prikazati neke od ovih tehnika, a prije svegauzorkovanje po vanosti (importance sampling) i tzv. uvjetne Monte Carlo metode. Bilobi poeljno i diskutirati razlike u pristupu ovom problemu u sluaju razdioba lakog odn.tekog repa. Na nizu primjera, rad bi trebao ilustrirati prednosti i nedostatke ovih me-toda. Rad bi precizno trebao uvesti i pojmove relativne greke te logaritamske ekasnostiu ovom kontekstu.

Literatura:

Asmussen, S. i Glynn, P. W. (2007). Stochastic simulation: Algorithms and analysis.Springer.Blanchet, J. i Lam, H. (2011). Rare event simulation techniques. Proceedings of theWinter Simulation Conference, 146160.

7

Mentor: Mea Bombardelli

Lemoineova toka

Student: Keti Stepi

Podruje: geometrija

Prikladno za studij: nastavniki studiji

Opis: Cilj je rada prouiti svojstva simedijana u trokutu.

Literatura:

Darij Grinberg: Three properties of the symmedian point(http://web.mit.edu/~darij/www/TPSymmedian.pdf)

8

Mentor: Mea Bombardelli

Metoda invarijanti

Student: Maja Trbui

Podruje: kombinatorika

Prikladno za studij: nastavniki studiji

Opis: Cilj je rada objasniti i na primjerima ilustrirati metodu invarijanti za rjeavanjelogiko-kombinatornih problema.

Literatura:

Arthur Engel: Problem solving strategiesZadaci s natjecanja.

9

Mentor: Nela Bosner

Numeriko rjeavanje problema vibracija grede

Student: Matija Miak

Podruje: primjenjena matematika, numerika linearna algebra, numerika analiza;

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Preduvjeti: poeljno znanje iz kolegija Numerika analiza 1 i 2, te Znanstveno raunanje1 i 2

Opis: Radnja bi obuhvatila tri osnovne cjeline vezane uz problem vibracija greda, a tosu: postavljanje matematikog modela, svoenje na svojstveni problem, i numeriko rje-avanje svojstvenog problema. Na poetku bi se postavile zikalne osnove matematinkogmodela koje opisuju progib grede i njene karakteristine frekvencije (modove). Posebnimodabirom oblika rjeenja, problem se openito svodi na generalizirani svojstveni problem.Zato bi se prezentirale osnovne metode za rjeavanje takvog svojstvenog problema, i nji-hova naliza. Za kraj, bi se napravili MATLAB programi koji bi implementirali opisanemetode i ilustrirali rjeavanje opisanih problema iz primjene.

Literatura:

I. P. Vatz, A general mathematical model for beam and plate vibration in bending modesusing lumped parameters, NASA Technical Note, TN D-3387, Washington D. C., 1966.I. Aganovi i K. Veseli, Jednadbe matematike zike, kolska knjiga, Zagreb, 1985.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. JohnsHopkins University Press, Baltimore, 1996

10