Documento4analisis matematico

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    ANLISIS MATEMTICO(40008) y (40015)

    RESUMEN DE TEORAY ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS

    GRADO DE MATEMTICAS (394)

    Luis A. Tristn VegaDPTO. DE LGEBRA, ANLISIS MAT EM TI CO, GEOMETRA Y TOPOLOGA

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    40008

    VERSIN REVISADA Y CORREGIDA

    VALL ADOLID, MAYO DE 2013LATV

    40015

    2A. EDICIN DEL TEMARIO AMPLIADO

    VALLADOLI D, FEBRERO DE 2013LATV

    ltima compilacin: 12 de junio de 2013

    Ilustracin de portada: edicin original en latnde la obra Introductio in Analysin Infinitorumde Leonhard Euler, del ao 1748 (cita [46] de labibliografa).

    Lisez Euler, lisez Euler, cest notre matre tous

    Leed a Euler, leed a Euler, l es el maestro de todos nosotros(Pierre Simon Laplace)

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    Contenido

    Prlogo a Anlisis Matemtico V

    Prlogo a Ampliacin de Anlisis Matemtico VI I

    1. Espacios eucldeos 11.1. Topologa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.1. Lmites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3.1.Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4.1.Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2. Clculo diferencial 232.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.4.1. Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3. Aplicaciones diferenciables 413.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.2.1. Notas sobre la demostracin del teorema de las funciones inversas . . . . . 433.2.2. Cambios de variables. Aplicacin a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44

    3.3. Funciones implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4. Sucesiones y series funcionales 534.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Aproximacin de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.4.1. Comentarios sobre la generalizacin del teorema de Weierstrass . . . . . . 60Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5. Fundamentos de la integral 695.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.2.1. La locucin casi siempre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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    6. Integral de Lebesgue 796.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    6.2.1. Comentarios sobre la generalizacin del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 826.3. Integracin en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    7. Medibilidad. Integracin iterada 917.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. Integracin en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    7.2.1.Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.2. Conceptos fsicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    7.3. Integracin iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.1.Ejemplos notables de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 02

    8. Integracin por cambio de variables 1098.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    8.1.1.Cambios de variable en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2. Representacin y descomposicin de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110

    8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.1. Notas sobre la demostracin del teorema del cambio de variables . . . . . . 111

    8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 17

    9. Integrales paramtricas 1239.1. Continuidad y derivacin de integrales paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Convolucin de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    9.3.1.Producto de convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    9.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularizacin de funciones . . . . . . . . 1309.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    9.4.1. Transformacin de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.2. Transformacin de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 35

    10. Extremos condicionados 14110.1. Variedades diferenciables en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    10.1.1. Variedades definidas implcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    10.2.1. El mtodo de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 48

    11. Teora de campos 15311.1. Curvas paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.2. Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    11.3.1.Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.3.2.Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.3.3.Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3.4. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 64

    12. Integrales de lnea 16712.1. Integracin de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    12.2. Integracin de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.3. Frmula de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.3.1. Notas sobre la demostracin del teorema de Riemann-Green . . . . . . . . 177

    Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 79

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    13. Integracin en superficies 18513.1. Superficies paramtricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18513.2. Integracin de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18813.3. Integracin de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    13.5.1. Comentarios sobre formas diferenciales y el teorema general de Stokes . 198Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    A. Cnicas y Cudricas 209A.1. Cnicas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.2. Cudricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

    Bibliografa 213

    ndice de notacin 217

    ndice alfabtico 219

    II I

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    Prlogo aAnlisis MatemticoEste manual no tiene otra pretensin que la de proporcionar un guin, ajustado al temario

    de la asignatura, que ayude tanto al desarrollo cotidiano de las lecciones magistrales, comoal estudio particular del alumno.

    Con esto en mente, la estructura es sencilla: en cada uno de los temas en que se dividela materia se relatan los conceptos, propiedades y teoremas correspondientes, de forma con-cisa, pero sin renunciar a la presentacin de ejemplos, observaciones aclaratorias, e inclusoreferencias a temas avanzados, continuacin natural de los que conforman el currculo dela asignatura. Finalmente se proporciona una nutrida coleccin de enunciados de ejercicios,de dificultad variada, desde simples aplicaciones de frmulas hasta problemas que requierenun planteamiento ms concienzudo o una aportacin intelectual que implique una visingeneral de la materia expuesta en la parte terica.

    Los ejercicios se han elegido de manera que, salvo los prerrequisitos obvios del Clculo enuna variable y el lgebra Lineal, no precisen de otra materia que la contemplada en la asig-natura, e intentando que abarquen todas las facetas que sta presenta. No obstante, al igualque en la parte terica, son inevitables algunas referencias a disciplinas afines (Topologa,Ecuaciones Diferenciales, etc.). Algunos ejercicios o problemas sern tratados en las clasesprcticas, que girarn en torno a ellos.

    En general, para el uso de estas notas de la manera ms provechosa, recomendamos queel alumno se anticipe a la presentacin de la teora en las lecciones magistrales, dedicandounos pocos minutos a la lectura somera de la materia que corresponda de forma inminente;esto servir, al menos, para adquirir un primer contacto con la terminologa y notacin, yen muchos casos, en los que se generalizan nociones ya presentadas en un primer curso deClculo Infinitesimal, preparar al lector para una mejor comprensin de las explicacionesdel profesor.

    Es necesario en este punto hacer nfasis en que el documento que presentamos distamucho de ser un libro de texto, y que la correcta asimilacin de los conceptos tericos yla adquisicin de la destreza en los mtodos de Clculo requiere del trabajo personal delalumno: primero, mediante la documentacin entre la bibliografa citada, afianzando o pu-liendo aquellos aspectos tericos que pudieran no haber quedado claros, y despus, perono menos importante, mediante la resolucin de ejercicios y problemas. Los momentneosintentos infructuosos no son necesariamente indicios de fracaso global, al contrario, sir-

    ven para enfocar de una forma ms eficiente futuros problemas similares. Un ejemplo muysignificativo: nadie puede aprender a montar en bicicleta viendo en televisin las grandescompeticiones, solamente cuando se ha experimentado lo suficiente (seguramente sufrien-do varias cadas) se puede alcanzar la destreza; lo mismo que en el desarrollo de cualquieractividad fsica o intelectual.

    En relacin con lo expuesto arriba, se incluye una abundante lista de referencias biblio-grficas, incluyendo tanto de libros de texto como manuales prcticos. Adems, aunque nosea imprescindible, se citan algunas obras de carcter divulgativo o histrico, as como lasdirecciones URL de algunas pginas Web interesantes. Destacaremos luego una pequea co-leccin de textos que pensamos son los ms adecuados al currculo de la asignatura. Entreestas obras, algunas que se pueden considerar ya clsicas y otras de factura ms moderna,se encuentra informacin ms que suficiente para abordar con xito el estudio de esta asig-natura, y nicamente el autor de estas notas aporta sus gustos o preferencias personales encuanto a la organizacin secuencial del temario y el nivel de profundizacin.

    A tenor de lo dicho cabe preguntarse qu sentido tiene elaborar este material didcticosi ya est todo escrito? En primer lugar, no hay un texto que se ajuste exactamente al con-tenido de la asignatura, de manera que tener un guin establecido ayudar al alumno en

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    la programacin de su estudio y en la tarea de documentacin. Tambin, el tener a manolos enunciados fundamentales, permitir al alumno acudir a las lecciones con una actitudalejada de la del mero amanuense que transcribe la verborrea del profesor, y a ste a lo que, ami modo de entender, debe ser su primordial funcin: transmitir el entusiasmo por lo que seensea, fomentar la capacidad de que el alumno adquiera herramientas y hbitos de trabajo

    y aprendizaje individual, y sembrar el espritu crtico que debe acompaar a toda actividad

    intelectual; a esta conviccin he llegado con los aos, independientemente de las sucesivasreformas de la enseanza universitaria, o la vana grandilocuencia con que en nuestro passe han interpretado los acuerdos de Bolonia.

    Adems, he de confesar, la obligacin que me impongo de elaborar por adelantado estematerial me sirve de ayuda en mi labor docente en la primera andadura de la asignatura,entre otras cosas, para decidir de una manera ms eficiente (y por tanto beneficiosa parasus destinatarios, supongo) qu incluir, cmo y en qu orden, optimizando el tiempo que sededicar a cada tema y sin tener que sacrificar nada importante.

    Volviendo a las referencias bibliogrficas, de forma ms explcita:

    El texto de Apostol [1] es una excelente referencia general para la asignatura, a excepcinde una pequea parte: lo que atae a la construccin de la integral de Lebesgue, que

    presenta mediante el mtodo de las funciones superiores, un ligera variante del mtodoque se expone en estas notas.

    El libro de Marsden y Hoffman [25] es otra buena referencia para la primera mitad de laasignatura y responde casi fielmente a la exposicin que hacemos del tema 3 (funcionesinversas e implcitas).

    La coleccin de Fernndez Via, [11], [12] y [13], es otra excelente referencia general. Enparticular, en [13] se desarrolla la construccin de la integral de Lebesgue mediante elmtodo de sucesiones fundamentales, que ser el que seguiremos.

    Los textos de Bombal, Rodrguez y Vera [4] cubren casi por completo todos los aspectosprcticos de la asignatura.

    Tambin los suplementos de Ejercicios y complementos de Fernndez Via y Snchez

    Maes, [14], [15] y [16], que acompaan los textos tericos de Fernndez Via, son unabuena referencia general en lo tocante a la prctica.

    El texto de Galindo, Sanz y Tristn [19], aunque concebido de forma generalista hacia lasenseanzas tcnicas, por lo que adolece de escasez de problemas de ndole ms teri-ca, contiene una abundante coleccin de ejercicios de clculo. Las sucesiones y seriesfuncionales estn contempladas en el tomo dedicado a funciones de una variable [18].

    La edicin de este documento pretende ser lo ms cuidada posible, utilizando el compila-dor de LATEX2e, con formato libro (documentclass[book]), y preparado para imprimir a doblecara (de ah la posible aparicin de pginas en blanco). En particular, para facilitar su usose incluyen: la tabla de contenidos, las referencias bibliogrficas, el ndice de notacin y elndice alfabtico. En ste ltimo se recogen tambin los nombres de los personajes que hancontribuido de alguna forma al desarrollo del Anlisis Matemtico, y que se citan en el texto,

    bien sea indirectamente, o por haber prestado su nombre a algn teorema.No puedo dejar de mencionar (es de bien nacidos ser agradecidos) que el contenido de estas

    notas y su posible vala no son slo fruto de mi trabajo personal; las enseanzas primero,y los consejos y colaboracin luego, por parte de mis maestros y compaeros del rea deAnlisis Matemtico de la Universidad de Valladolid son mucho ms trascendentes que elsimple trabajo de teclear. Si algn defecto se encuentra se deber sin duda a mis limitacioneso despistes.

    Finalmente quiero sealar que, aunque este material est dirigido a mis alumnos, cual-quier persona que desee usarlo para fines no comerciales tiene mi expreso permiso de re-produccin. En este sentido son bienvenidas toda critica o sugerencia, tanto en el aspectoliterario como en el matemtico, que ayuden a mejorar este modesto fruto de mi esfuerzo(contactar en e-mail: [email protected]).

    Valladolid, Junio de 2012 Luis A. Tristn Vega

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    Prlogo aAmpliacin de Anlisis Matemtico

    M o o

    (No entre aqu quien no sepa Geometra)

    Tras meditarlo profundamente me he decidido a continuar en este documento la parterelativa a esta asignatura de tercer curso. Es decir los 8 primeros temas corresponden a laasignatura (40008)-Anlisis Matemtico mientras que los temas 9 a 13 constituyen la materia

    de (40015)-Ampliacin de Anlisis Matemtico.Esta decisin se debe, por una parte, a la necesidad de hacer continuas referencias en stade tercer curso a la de segundo curso; adems, el hecho de que la materia tradicional de uncurso de Anlisis Matemtico en varias variables reales se haya dividido en dos asignaturas,se debe slo a que el plan de estudios se articula en asignaturas de 6, 9 o 12 crditos (no veoimpedimento a que pudiesen ser de 15 o 18, ni le encuentro la ventaja a esa limitacin, perotampoco es este el sitio para discutirlo). Tambin por este motivo mantengo el ttulo, aunqueslo se corresponda con el de la primera asignatura.

    Adems, todas las consideraciones y sugerencias hechas antes sirven, exactamente igual,en este caso. Como novedad, mencionar las referencias bibliogrficas especficas para losnuevos temas:

    Para el primer tema de la asignatura (secciones 9.1 y 9.2 de este documento) son reco-

    mendables las mismas referencias que para los temas 6, 7 y 8. El texto de Mazn [27] nos servir para el tema 10. De hecho, si no fuese por las ligeras

    diferencias en la notacin podramos adoptarlo, tal cual, en estas notas.

    Tambin resultan tiles para el tema 10 los textos [1], [12], [15] y [25].

    En general, la coleccin de Fernndez Via y Snchez Maes es una buena referencia paratodos los temas. No obstante, el clculo vectorial se presenta del modo ms formal en elcontexto de las formas diferenciales.

    Para los temas de Anlisis Vectorial [26] y [31] son dos referencias clsicas. Como reco-mendacin para lecturas posteriores o avanzadas, mencionaremos otros textos excelen-tes, alguno con una merecida reputacin internacional, como [8], [28] o [35], pero en ellosla integracin en variedades se presenta mediante formas diferenciales, lo que excede las

    aspiraciones de nuestro temario. El texto de Galindo, Sanz y Tristn [19], cubre la parte prctica de todos los temas, tanto

    la parte de Extremos Condicionados como las de Clculo Integral y Anlisis Vectorial.

    Adems, he aadido un apndice resumiendo los aspectos bsicos de las cnicas y lascudricas afines. No slo resultar til a la hora de trabajar con los teoremas del Anlisis

    Vectorial (circulaciones o flujos de campos, etc.), tambin aportar una buena herramientaen el manejo y estudio de los conjuntos que aparecen con frecuencia en el Clculo Diferencial

    y en el Clculo Integral.Es evidente que la destreza a la hora de tratar los aspectos geomtricos allana muchas

    dificultades en trabajos como la bsqueda de las secciones de conjuntos en la integraciniterada, la deteccin de cambios de variables ad hoc para problemas concretos, etc. De ah lacita, obviamente sin nimo prohibitivo, a la frase que la tradicin (o la leyenda) cuenta querezaba inscrita en la entrada a la Academia de Platn, en el siglo IV a. de C.

    Valladolid, Junio de 2013 Luis A. Tristn Vega

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    Tema 1Espacios eucldeos

    Hablando en rigor, un espacio eucldeo, generalizando los conceptos de la Geometra cl-sica contemplada en los Elementos de Euclides, es un espacio vectorial real de dimensinfinita dotado de un producto interno, en el que se tienen, por tanto, aparte de las nocioneslineales generales, las relativas a ngulos (ortogonalidad, paralelismo). Ahora bien, eligiendouna base ortonormal de uno de tales espacios (el mtodo de Gram-Schmidt permite cons-truirla partiendo de una base cualquiera) esa fcil establecer un isomorfismo entre l yRn,siendo n la dimensin del espacio. Por esta razn nos limitamos al estudio de estos espacios.

    El objetivo del presente captulo es introducir aquellas propiedades topolgicas de losespacios eucldeos que sern necesarias para abordar posteriormente el Clculo Diferencialen varias variables.

    El punto de partida en el desarrollo de esta materia es el concepto de norma, que generalizael de valor absoluto de los nmeros reales y permite establecer un argumento para medir laproximidad de los puntos de un espacio vectorial. De hecho, la recta real es el caso mssimple de los espacios normados que nos ocupan.

    El lector observar que los resultados que se exponen aqu son generalizaciones, o con-venientes adaptaciones, de los que se presentan, con el mismo objetivo, en el estudio de lacontinuidad de funciones de una variable real.

    1.1. Topologa de Rn

    Definicin 1.1. Para cada nmero natural n, seaRn el conjunto de todas las n-uplas orde-nadas de nmeros reales x = (x1, x2, . . . , xn). A xk se le denomina coordenada k-sima dex.Se definen la suma de elementos de Rn y el producto de un escalar por un elemento de Rn

    como sigue:Parax = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn se define su sumax + y por

    x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

    Parax = (x1, x2, . . . , xn) Rn y R, se define su producto x porx = ( x1, x2, . . . , xn).

    Proposicin 1.2. El conjunto Rn

    con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuer -po de los nmeros reales.

    Observaciones 1.3.

    I) Usamos, por comodidad, la notacin de vectores fila. En lgebra Lineal, atendiendo ala representacin matricial de aplicaciones y ecuaciones lineales, es usual considerar

    vectores columna. Cuando se requiera denotaremos porxt al vector traspuesto de x:

    xt = (x1, x2, . . . , xn)t

    =

    x1...xn

    .II) Es habitual confundir la estructura vectorial as obtenida con la estructura geomtrica

    que se obtiene al considerar un espacio afn con espacio vectorial asociado Rn

    y, abusan-do de la notacin, referirse a puntos de Rn en lugar de vectores, y a x1, x2, . . . , xn comolas coordenadas (cartesianas, en honor a R. Descartes) del puntox = (x1, x2, . . . , xn) Rn.Este ser el criterio que seguiremos en adelante.

    1

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    2 Tema 1. Espacios eucldeos

    Definicin 1.4. Si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn se define su producto escalar ointerno, que se representa porx y o x,y , como

    x y = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn.Para cadax = (x1, x2, . . . , xn) de Rn se define su norma eucldeax por

    x = x x = ni=1

    |xi|21/2.El espacio vectorial Rn dotado del producto interno arriba definido se conoce como el

    espacio eucldeo n-dimensional.

    Proposicin 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si x,y Rn, entonces|x y| x y .

    Adems, la igualdad se alcanza si, y slo si, x e y son linealmente dependientes.

    Proposicin 1.6. La aplicacin x Rn x R verifica las siguientes propiedades:

    I) x 0 para todo x Rn

    .II) x = 0 si, y slo si, x = 0.

    II I) x = || x para todos x Rn, R.IV) x + y x + y para todos x,y Rn. (Desigualdad triangular)

    Corolario 1.7. Si x,y Rn entoncesx y x y . (Segunda desigualdad triangular)

    Corolario 1.8. La aplicacin d:Rn Rn R, definida por d(x,y) = x y , verifica lassiguientes propiedades:

    I) d(x,y)

    0 para todos x,yRn.

    II) d(x,y) = 0 si, y slo si, x = y.

    II I) d(x,y) = d(y,x) para todos x,y Rn.IV) d(x, z) d(x,y) + d(y,z) para todos x,y, z Rn.

    Observacin 1.9. Cualquier aplicacin definida sobre un espacio vectorial V con valoresen R que verifique las propiedades I) a IV) de la proposicin 1.6 se denomina normasobre V.

    Otras normas notables en Rn se definen parax = (x1, x2, . . . , xn) por

    x1 =ni=1

    |xi| o x = sup|xi| : i = 1, 2, . . . , n.

    Cuando n = 1 las tres normas definidas coinciden con el valor absoluto.Asimismo, si X es un conjunto no vaco, cualquier aplicacin d definida en el producto

    cartesiano X X con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) del corolario 1.8 sedice que es unadistancia o mtricasobre X, y se dice que el par (X, d) es un espacio mtrico.

    Definicin 1.10. Sean x Rn yr > 0. Se definen labola abierta de centrox yradio r como elconjunto

    B(x, r) = {y Rn : d(x,y) = x y < r} ;labola cerradade centrox yradio r como el conjunto

    B(x, r) = {y Rn : d(x,y) = x y r} ;laesfera de centrox yradio r como el conjunto

    S(x, r) = B(x, r) \ B(x, r) = {y Rn : d(x,y) = x y = r} ,donde \ denota la diferencia conjuntista.

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    1.1. Topologa de Rn 3

    Lema 1.11. Sean x,y Rn .I) Si dado r > 0 se tiene que y B(x, r) , existe s > 0 tal que B(y, s) B(x, r) .

    II) Si y = x existen r,s > 0 tales que B(x, r) B(y, s) = .II I) Si la sucesin de nmeros reales positivos {rn}n=1 converge hacia 0 (o lo hace alguna

    subsucesin suya), entonces

    n=1B(x, r

    n) =

    {x}

    .

    Definicin 1.12. Si A es un subconjunto no vaco de Rn se denomina dimetro de A ,denotado (A) o diam(A) a

    (A) = sup

    d(x,y) : x,y A(ntese que el dimetro de A puede ser un nmero real no negativo o , dependiendo deque el conjunto {d(x,y) : x,y A} R est acotado o no).

    Se dice que un subconjunto de Rn es acotado si es vaco o si tiene dimetro finito.

    Proposicin 1.13.

    I) Si

    = B

    A

    Rn entonces (B)

    (A) .

    II) Toda bola en Rn es acotada, de hecho,

    B(x, r)

    =

    B(x, r)

    = 2 r .

    III) Un conjunto A Rn es acotado si, y slo si, est contenido en alguna bola.IV) Un conjunto A Rn es acotado si, y slo si, est contenido en una bola centrada en 0, o

    lo que es lo mismo, si existe una constante M > 0 tal que

    x M para todo x E.

    Definicin 1.14. Sean A , B subconjuntos no vacos de Rn. Se define la distancia entre Ay B como el nmero real

    d(A, B) = nfd(x,y) : x A , y B .Si A = {a} es un conjunto unipuntual la distancia entre A y B se denota tambin d(a, B) yse denominadistancia de a a B .

    Proposicin 1.15. Sean A, B subconjuntos de Rn.

    I) Si A y B son acotados entonces A B es acotado. Ms an, si adems A y B son novacos, entonces (A B) (A) + (B) + d(A, B) .

    II) Si A = yx,y Rn entonces d(x, A) d(y, A) d(x,y) .Definicin 1.16. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x Rn es interior a E,o que E es un entorno de x, si existe una bola abierta de centro x contenida en E.

    El conjunto de todos los puntos interiores de E se denomina interior de E y se representapor

    E int(E) (es inmediato comprobar que

    E E).Se dice que el conjunto E es abierto si es entorno de todos sus puntos, es decir, si todos

    sus puntos son interiores, lo que equivale a que E =

    E.

    Propiedades 1.17. Sean A, B y{Ai}iI subconjuntos de Rn.I) Si A B entonces

    A

    B .

    II) int(int(A)) = int(A) .

    III)

    A es el mayor conjunto abierto contenido en A .

    IV) iI

    Ai iIAi.V) iI

    Ai

    iI

    Ai , adems, si I es finito se verifica la igualdad.

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    4 Tema 1. Espacios eucldeos

    Ejemplos 1.18.

    I) Toda bola abierta es un conjunto abierto.

    II) Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos.

    II I) Los intervalos abiertos de Rn, esto es, productos cartesianos de la forma

    (a1, b1) (a2, b2) . . . (an, bn) ,son conjuntos abiertos.

    Proposicin 1.19. Se verifican las siguientes propiedades:

    I) El conjunto vaco y el conjunto total Rn son abiertos.

    II) Si {Gi}iI es una familia de conjuntos abiertos, entonces la unin iI

    Gi es un conjunto

    abierto.

    II I) Si G1, G2, . . . , Gk son conjuntos abiertos, entonces la interseccin G1 G2 . . . Gk es unconjunto abierto.

    Observaciones 1.20.

    I) El lector que posea nociones de Topologa puede reconocer en la proposicin anteriorla afirmacin siguiente: si denotamos por a la familia de todos los conjuntos abiertosde Rn, el par(Rn, ) es un espacio topolgico.

    II) La interseccin de una familia arbitraria de abiertos puede no ser un conjunto abierto,como queda patente con el siguiente ejemplo: si Gn = B(0, 1/n), n N, se tiene quen=1

    Gn = {0}.

    Definicin 1.21. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un puntoadherenteaE si cada bola abierta centrada en x tiene interseccin no vaca con E.

    El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia o clausura de Ey se representa por E, cl(E) adh(E) (es muy sencillo comprobar que E

    E).

    Se dice que un conjunto E de Rn es cerrado si todos sus puntos adherentes estn en E,es decir, si E = E.

    Ejemplos 1.22.

    I) Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Es ms B(x, r) = B(x, r) .

    II) Las bolas abiertas no son conjuntos cerrados.

    II I) Los intervalos cerrados de Rn, de la forma [a1, b1] [a2, b2] . . . [an, bn], son conjuntoscerrados.

    Proposicin 1.23. Sea A un subconjunto de Rn. Se tiene que

    Rn\

    A= Rn \ A y Rn \ A = (Rn \ A).

    Corolario 1.24. Un subconjunto E de Rn es abierto (resp. cerrado) si, y slo si, su comple-mentario Rn \ E es cerrado (resp. abierto).

    Observaciones 1.25.

    I) En la Topologa General suele utilizarse la propiedad anterior para definir la familia decerrados, y luego caracterizar equivalentemente estos conjuntos en trminos de la ad-herencia. En este contexto (en general, en los espacios mtricos) el adjetivo adherentecobra un significado ms intuitivo gracias a la nocin de distancia: x A si, y slo si,d(x, A) = 0.

    II) Pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados (basta pensar en el intervalo[0, 1) de R con la mtrica usual). Aunque la terminologa usada pretende ser lo msdescriptiva posible, no nos debemos dejar influir por el significado etimolgico de laspalabras.

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    1.1. Topologa de Rn 5

    Propiedades 1.26. Sean A, B y{Ai}iI subconjuntos de Rn.I) Si A B entonces A B .

    II) A = A .

    III) A es el cerrado ms pequeo que contiene a A.

    IV) iIAi iIAi , adems, si I es finito se verifica la igualdad.V)

    iIAi

    iIAi .

    Proposicin 1.27. Se verifican las siguientes propiedades:

    I) El conjunto vaco y el conjunto total Rn son cerrados.

    II) Si {Fi}iI es una familia de conjuntos cerrados, entonces la interseccin iI

    Fi es un

    conjunto cerrado.

    III) Si F1, F2, . . . , F k son conjuntos cerrados, entonces la unin F1F2 . . .Fk es un conjuntocerrado.

    Definicin 1.28. SeaE un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto deacumulacin de E si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x, la interseccin B(x, r) Econtiene al menos un punto de E distinto de x, es decir, si para cada r > 0 se tiene que

    B(x, r) (A \ {x}) = .El conjunto de todos los puntos de acumulacin se denomina conjunto derivado de E y se

    representa porE.

    Se dice que un punto x E es un punto aislado de E si no es un punto de acumulacinde E. Se dice que un conjunto E es discreto si todos sus puntos son aislados en l.

    Proposicin 1.29. SeaE un subconjunto de Rn. Entonces:

    I) E = E

    E.

    II) E es cerrado si, y slo si, E E.III) Si x es un punto de acumulacin de E, entonces cualquier bola abiertaB(x, r) de centro

    x contiene infinitos puntos de E.

    IV) Si x E es un punto aislado de E, entonces existe una bola abierta B(x, r) de centro xtal que B(x, r) E = {x}.

    Definicin 1.30. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x Rn es exterior aA si es un punto interior al complementario de A , es decir, si existe una bola abierta B(x, r)de centro x tal que

    B(x, r) A = .El conjunto de puntos exteriores a A se denominaexterior de A .

    Se dice que x Rn es un punto frontera de A si es adherente a A y a Rn \ A simultnea-mente. El conjunto de tales puntos se denomina fronterade A y se denota Fr(A) :

    Fr(A) = A Rn \ A .

    Observaciones 1.31. SeaA un subconjunto de Rn.

    I) Es obvio que Fr(A) es un conjunto cerrado, y que si A es cerrado, entonces Fr(A) A.Igualmente evidente es que Fr(A) = Fr(Rn \ A).

    II) El espacio Rn se expresa, respecto al conjunto A, como unin de tres conjuntos disjuntos(alguno posiblemente vaco): la frontera de A, un cerrado; y dos abiertos, a saber, elinterior y el exterior de A.

    Definicin 1.32. Sean E y D E subconjuntos de Rn. Se dice que D es denso en E siE D .

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    6 Tema 1. Espacios eucldeos

    1.2. Lmites

    Definicin 1.33. Se dice que una sucesin {xk}k=1 de elementos de Rn es convergente siexiste un punto x Rn tal que para cada nmero real > 0 existe un nmero natural k0 (quedepende de ) de manera que

    xk x < para cada nmero natural k k0.En este caso, diremos que {xk}k=1 converge haciax o que x es el lmite de la sucesin{xk}k=1,

    y escribiremoslmk

    xk = x o xk k

    x.

    El lmite de una sucesin, si existe, es nico.

    Observacin 1.34. Es sencillo comprobar a partir de la definicin que una sucesin {xk}k=1converge haciax si, y slo si, lm

    kxk x = 0.

    Definicin 1.35. El conjunto {xk : k N} se denomina rango o conjunto de trminos de lasucesin {xk}

    k=1. El rango de una sucesin puede ser finito o infinito. Se dice que la sucesinestacotada si lo est su rango.

    Proposicin 1.36. Toda sucesin convergente est acotada.

    Si x = (x1, x2, . . . , xn) Rn es inmediato comprobar que se verifica|xi| x , i = 1, 2, . . . , n ,

    desigualdad tambin vlida para las otras dos normas que hemos destacado: 1 y .A partir de las propiedades de sucesiones de nmeros reales se obtienen fcilmente los si-guientes resultados.

    Proposicin 1.37. Sea{xk

    }

    k=1

    una sucesin de elementos de Rn. Escribamos

    xk = (x1,k, x2,k, . . . , xn,k), k N.La sucesin {xk}k=1 converge haciax = (x1, x2, . . . , xn) si, y slo si, las sucesiones de nmerosreales {xj,k}k=1 convergen haciaxj, paraj = 1, 2, . . . , n.

    Corolario 1.38. Toda sucesin acotada de Rn tiene una subsucesin convergente.

    Corolario 1.39. Sean {xk}k=1, {yk}k=1 dos sucesiones de elementos de Rn y{k}k=1 una su-cesin de nmeros reales. Supongamos que {xk}k=1 converge haciax Rn, {yk}k=1 convergehaciay Rn y{k}k=1 converge hacia R. Entonces:

    I) lmk

    (xk + yk) = x + y.

    II) lmk

    kxk = x.

    II I) lmk

    (xk yk) = x y.IV) lm

    kxk = x.

    Proposicin 1.40 (Caracterizacin secuencial de la topologa). Sean E un conjunto de Rn

    yx un punto de Rn.

    I) x es interior a E si, y slo si, toda sucesin {xk}k=1 de elementos de Rn que convergehaciax tiene todos sus trminos en E, a partir de uno en adelante.

    II) x es un punto adherente aE si, y slo si, existe una sucesin

    {xk

    }k=1 de elementos de E

    que converge haciax.II I) x es un punto de acumulacin de E si, y slo si, existe una sucesin {xk}k=1 de elementos

    de E, distintos todos ellos de x, que converge haciax.

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    1.2. Lmites 7

    Como sucede para sucesiones de nmeros reales, el carcter convergente de una sucesinen Rn puede ser determinado sin conocer previamente el valor de su lmite.

    Definicin 1.41. Se dice que una sucesin {xk}k=1 de elementos de Rn es de Cauchysi paracada nmero real > 0 existe un nmero natural k0 tal que

    xk

    xj

    < ,

    para cada par de nmeros naturales j, k k0.

    Teorema 1.42 (Completitud de Rn). Una sucesin de puntos de Rn es convergente si, y slosi, es de Cauchy.

    Definicin 1.43. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de E y f unaaplicacin de E en Rm. Se dice que l Rm es el lmite de la funcin f en a si para cadanmero real > 0 existe > 0 tal que

    f(x) l < para cadax E con 0 < x a < .

    Observacin 1.44. En la definicin anterior intervienen dos normas, una definida en Rn y

    otra en Rm. La distincin entre ambas viene dada por el contexto.

    Proposicin 1.45. Si la aplicacin f tiene lmite en el punto a, ste es nico.

    Notacin: Si la aplicacin f tiene lmite l en el punto a se escribe

    lmxa

    f(x) = l o f(x) l, cuando x a o f(x) xa

    l.

    La nocin de lmite restringida a subconjuntos de uno dado tiene exactamente la mismaaplicacin en este caso que en el de funciones de una variable.

    Definicin 1.46. Sean A un subconjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A yf unaaplicacin de A en Rm. Si B A y a es tambin punto de acumulacin de B, el lmitelmxa

    f

    |B(x) , si existe, se denominalmite de la aplicacinf en el puntoa siguiendo (o a travs

    de) el subespacioB y se denota porlmxaxB

    f(x) .

    Teorema 1.47. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A yf una aplica-cin de A en Rm. Son equivalentes:

    a) f tiene lmite l en el punto a.

    b) Para cada subconjunto B A tal que a B, f tiene lmite en a a travs de B, y ste esprecisamente l.

    Proposicin 1.48 (Criterio secuencial del lmite). Sean A un conjunto de Rn, a un puntode acumulacin de A yf una aplicacin de A en Rm. Son equivalentes:

    a) f tiene lmite en a.b) Para cada sucesin {xk}k=1 de puntos de A con xk = a, k = 1, 2, . . ., y lm

    kxk = a, la

    sucesin {f(xk)}k=1 es convergente.Adems, si lm

    xaf(x) = l, se tiene que lm

    kf(xk) = l para toda sucesin {xk}k=1 de puntos de

    A, distintos de a, y convergente haciaa.

    Proposicin 1.49. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de E. Seanf1, f2, . . . , f m funciones reales definidas en E yf la aplicacin de E en Rm definida por

    f(x) =

    f1(x), f2(x), . . . , f m(x)

    , x E.Entonces

    lmxa

    f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm)Rm

    si, y slo si,lmxa

    fi(x) = li R, i = 1, 2, . . . , m .

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    8 Tema 1. Espacios eucldeos

    Observacin 1.50. Este ltimo resultado permite simplificar el estudio de lmites y los con-ceptos que de ste se derivan, considerando nicamente funciones reales, es decir, aplicacio-nes de la formaf: E R, donde E es un subconjunto de Rn.

    Definicin 1.51. Sean A un conjunto de Rn yf una aplicacin de A en Rm. Dado B A, sedice que f es acotadaen B si lo es el conjunto imagen f(B), es decir, si existe una constanteM 0 tal que

    f(x) M para todo x B .Cuando f es una funcin real (es decir, cuando m = 1) y acotada, los valores reales

    m = nf{f(x) : x A} y M = sup{f(x) : x A}se denominan, respectivamente, el extremo inferior absoluto y el extremo superior absoluto def en A. Si dichos valores se alcanzan, es decir, si existe x1 A (resp. x2 A) tal que

    m = f(x1) f(x) para todo x A (resp. f(x) f(x2) = M para todo x A),se dice que f tiene mnimo absoluto en A igual am, y que ste se alcanza en x1 (resp. f tienemximo absoluto en A igual aM, y ste se alcanza en x2).

    Proposicin 1.52. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A y f unaaplicacin de A en Rm. Si f tiene lmite en a, existe un nmero real > 0 tal que f estacotada en A B(a, ).

    Proposicin 1.53. Sean A un subconjunto de Rn y a un punto de acumulacin de A. Sif: A R y g: A Rm son aplicaciones tales que lm

    xaf(x) = 0 yg est acotada en A B(a, )

    para algn nmero real > 0, entonces

    lmxa

    f(x) g(x) = 0 .

    Proposicin 1.54. Sean E un conjunto de Rn ya un punto de acumulacin de E. Suponga-mos que f, g son dos aplicaciones de E en Rm y es una funcin de E en R tales que

    lmxa

    f(x) = , lmxa

    g(x) = y lmxa

    (x) = .

    Entonces:

    I) lmxa

    (f+ g)(x) = + .

    II) lmxa

    (f)(x) = .

    II I) lmxa

    (f g)(x) = .

    IV) lmxa

    1

    (x)=

    1

    , si

    = 0 y(x)

    = 0 para todo x.

    Aparte de las propiedades aritmticas, las funciones reales verifican, respecto al orden,propiedades similares a las de las funciones de una variable. Suponemos al lector familia-rizado con stas y para no abundar en detalles enunciaremos una de ellas, dejndole queadapte el resto (como el criterio del Sndwich) al caso de funciones de varias variables.

    Proposicin 1.55. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulacin de A y f unafuncin de A en R. Si existe lm

    xaf(x) = = 0, se tiene que:

    I) Si > 0, dados nmeros reales y con 0 < < < , existe un nmero real > 0 talque para cadax A B(a, ) con x = a, se verifica que < f(x) < .

    II) Si < 0, dados nmeros reales y con < < < 0, existe un nmero real > 0 talque para cadax

    A

    B(a, ) con x

    = a, se verifica que < f(x) < .

    Es decir, f toma valores con el mismo signo que el del lmite en los puntos de un entornoadecuado de a distintos de l.

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    1.3. Continuidad 9

    1.2.1. Lmites iterados

    A la hora de abordar el estudio de la existencia de lmites para funciones definidas enconjuntos de Rn, con n 2, puede parecer tentador proceder reduciendo el problema alestudio de lmites en una sola variable, concretamente: fijando n 1 coordenadas en unprimer paso, se pasa al lmite en la restante, obteniendo valores que dependen de n 1

    variables; se fijan ahora n 2 de ellas, y se reitera el proceso, obteniendo los denominadoslmites iterados. Lamentablemente, la existencia de dichos lmites no garantiza la existenciadel lmite; ahora bien, en caso de que existan todos los lmites, deben coincidir. Para fijarideas y atendiendo a una mayor simplicidad, enunciaremos el resultado para el caso de unafuncin real definida en un subconjunto de R2.

    Teorema 1.56. Sean f una funcin real definida en un conjunto A de R2 y (, ) A. Sesupone que existe

    lm(x,y)(,)

    f(x, y) = ,

    y que, para cadax fijo, existe lmy

    f(x, y) = (x) .

    Si existe el lmite iterado

    lmx(x) = lmx lmy f(x, y),su valor coincide con .

    En consecuencia, si existen los dos lmites iterados, pero

    lmx

    lmy

    f(x, y)

    = lmy

    lmx

    f(x, y)

    ,

    la funcin f no puede tener lmite en el punto (, ).

    Observaciones 1.57.

    I) La existencia del lmite de una funcin en un punto no garantiza que existan los lmitesiterados, como pone de manifiesto el ejercicio 1.19.V.

    II) Puede ocurrir que alguno de los lmites iterados sea infinito, en este caso no es difcilprobar que el lmite de la funcin no existe.

    1.3. Continuidad

    Definicin 1.58. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E yf una aplicacin de E en Rm.Se dice que f es continua en a si para cada nmero real > 0 existe > 0 tal que

    f(x) f(a) < para cadax E con x a < .

    Si f es continua en todos los puntos de E, se dice que f es continua en E.

    Proposicin 1.59. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicacin de Een Rm.

    I) Si a es un punto aislado de E, entonces f es continua en a.

    II) Si a es un punto de acumulacin de E, entonces f es continua en a si, y slo si, existelmxa

    f(x) y es igual af(a).

    Corolario 1.60 (Criterio secuencial de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn, a unpunto de E yf una aplicacin de E en Rm. Son equivalentes:

    a) f es continua en a.

    b) Para cada sucesin {xk}k=1 de puntos de E que converge haciaa, la sucesin {f(xk)}k=1converge haciaf(a) .

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    10 Tema 1. Espacios eucldeos

    Teorema 1.61. Sean E un subconjunto de Rn ya un punto de E. Sean f1, f2, . . . , f m, funcio-nes reales definidas en E yf la aplicacin de E en Rm dada por

    f(x) =

    f1(x), f2(x), . . . , f m(x)

    , x E.Entonces f es continua en a si, y slo si, cada una de las funciones f1, f2, . . . , f m, es continuaen a.

    Proposicin 1.62. Sean E un conjunto de Rn ya un punto de E. Sean f, g aplicaciones deE en Rm y una funcin de E en R. Supongamos que f, g y son continuas en a. Entonceslas funciones

    f+ g; f; f g; 1

    , si (x) = 0 para todo x E;son continuas en a.

    Teorema 1.63. Sean E y F subconjuntos de Rn y Rm, respectivamente. Sean f: E Fcontinua en a E yg: F Rp continua en f(a) F, respectivamente. Entonces la funcincompuestag f es continua en a E.

    Definicin 1.64 (Topologa de subespacio). Sea E un conjunto de Rn

    . Se dice que un sub-conjunto A de E es abierto (resp. cerrado) enE si existe un conjunto U abierto (resp. cerrado)en Rn tal que

    A = E U.

    Observacin 1.65. Cuando E es abierto los abiertos en E son abiertos de Rn, y cuando E escerrado los cerrados en E son cerrados en Rn.

    Proposicin 1.66 (Caracterizacin topolgica de la continuidad). Sean E un conjunto deRn yf una aplicacin de E en Rm. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

    a) La aplicacin f es continua en E.

    b) Para cualquier abierto A de Rm, el conjunto f1(A) es abierto en E.

    c) Para cualquier cerrado C de Rm, el conjunto f1(C) es cerrado en E.

    Ejemplos 1.67.

    I) La norma eucldea es una funcin continua en Rn.

    II) Laproyeccin i-sima i:Rn R, definida pori(x1, x2, . . . , xn) = xi,

    es una funcin continua en Rn.

    II I) En general, cualquier aplicacin lineal L:Rn Rm es continua (sobre este punto sevolver ms adelante).

    IV) El conjunto {(x, y) R2 : x sen(y) > 0} es abierto en R2, pues es la imagen inversa del

    intervalo (0, ), abierto de R, por la funcin f:R2

    R dada por f(x, y) = x sen(y), que escontinua.V) El conjunto {(x,y,z) R3 : x2 + y2 z2 = 0} es cerrado en R3.

    Definicin 1.68. Sean E un conjunto de Rn yf una aplicacin de E en Rm. Se dice que f esuniformemente continua en E si para cada nmero real > 0 existe > 0 tal que

    f(x) f(y) < para todos x, y E con x y < .

    Observacin 1.69. Es claro que cualquier aplicacin uniformemente continua en un con-junto E es continua en E, pero no recprocamente.

    Proposicin 1.70. Sean E un subconjunto de Rn y f: E Rm uniformemente continua.Entonces, para cada sucesin {xk}k=1 de Cauchy en E, la sucesin {f(xk)}k=1 es de Cauchyen Rm.

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    1.3. Continuidad 11

    1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales

    En el Clculo Diferencial juegan un papel fundamental el tipo de aplicaciones de cuyacontinuidad nos ocupamos ahora; las primeras, en la propia definicin de diferenciabilidad,

    y las segundas, a la hora de estudiar los problemas de extremos relativos.

    Definicin 1.71. Se dice que una aplicacin L:Rn

    Rm es lineal si

    L(x + y) = L(x) + L(y) para todos x,y Rn y, R .

    Observaciones 1.72.

    I) Las proyecciones j, j = 1, 2, . . . , n, son aplicaciones lineales en Rn.

    II) Fijadas las bases estndar en Rn yRm, respectivamente, toda aplicacin lineal L:Rn Rmse representa respecto a dichas bases, de forma nica, mediante una matriz A Mm,n(R),donde Mm,n(R) representa el espacio de las matrices de nmeros reales formadas por mfilas yn columnas. Concretamente,

    L(x) = Axt

    = a11 a12 a1na21 a22

    a2n

    ... ... . . . ...am1 am2 amn

    x1x2

    ...xn

    .Teorema 1.73. SeaL:Rn Rm una aplicacin lineal. Existe una constante M 0 tal que

    L(x) M x para todo x Rn .En particular, L es uniformemente continua en todo Rn.

    Definicin 1.74. Se dice que una aplicacin B:Rn Rn Rm es bilineal si es lineal en cadacomponente, es decir, si

    B(x1 + x2,y) = B(x1,y) + B(x2,y) para todos x1,x2,yRn y,

    R ,

    B(x, y1 + y2) = B(x,y1) + B(x,y2) para todos x,y1,y2 Rn y, R .Una aplicacin bilineal B se dice simtrica si

    B(x,y) = B(y,x) para todos x,y Rn .

    Observaciones 1.75.

    I) El producto interno en Rn, B(x,y) = x,y, es una aplicacin bilineal simtrica.II) Fijada la base estndar de Rn, toda aplicacin bilineal B:Rn Rn R se representa de

    forma nica mediante una matriz A Mn,n(R), concretamenteB(x,y) = xAyt .

    Teorema 1.76. Sea B:Rn Rn Rm una aplicacin bilineal. Existe una constante M 0tal que

    B(x,y) M x y para todos x,y Rn .En particular, B es continua en todo Rn Rn.

    Observacin 1.77. Unaforma cuadrtica en Rn, que es una funcin definida por un polino-mio homogneo de grado 2, es decir, de la forma

    Q(x1, x2, . . . , xn) =1ijn

    cij xi xj , cij R ,

    se puede interpretar como la actuacin de una aplicacin bilineal simtricaB sobre el punto(x,x) RnRn: Q(x) = B(x,x) = xAxt. Los coeficientes de la matriz A = aij1i,jn vienendados por aii = cii y aij = aji = cij/2 si i < j .

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    12 Tema 1. Espacios eucldeos

    1.4. Compacidad

    Definicin 1.78. Una familia {Ai}iI de subconjuntos de Rn se denomina recubrimiento deun conjunto E de Rn si

    E iI

    Ai .

    Si todos los conjuntos Ai , i I, son abiertos se dice que {Ai}iI es un recubrimiento abiertode E.

    Se dice que un conjunto K de Rn es compacto si todo recubrimiento abierto de K admiteun subrecubrimiento finito, es decir, si para cada recubrimiento abierto {Gi}iI de K existeuna subfamilia finita {Gi1 , Gi2 , . . . , Gim} tal que

    K Gi1 Gi2 . . . Gim .

    Ejemplos 1.79.

    I) Los conjuntos finitos son conjuntos compactos.

    II) Si {xk}k=1 converge hacia x , el conjunto {xk : k N} {x} es compacto.

    Proposicin 1.80. Sean F, K dos conjuntos de Rn. Supongamos que F es cerrado, K escompacto y F K. Entonces F es compacto. En otras palabras, los subconjuntos cerradosde conjuntos compactos son compactos.

    Proposicin 1.81. Todo intervalo cerrado y acotado de Rn es compacto.

    Teorema 1.82. Sea K un subconjunto de Rn. Son equivalentes las siguientes propiedades:

    a) K es cerrado y acotado.

    b) K es compacto.

    c) Todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulacin en K.

    d) Cada sucesin {xk}k=1 de elementos de K admite una subsucesin {xkj}j=1 que con-verge hacia un punto de K.

    Observacin 1.83. La equivalencia de los asertos a) y b) en el teorema anterior se conocecon el nombre de teorema de Heine-Borel. La implicacin a)c) se conoce como teorema deBolzano-Weierstrass.

    Teorema 1.84 (de Weierstrass, versin general). Sean E un conjunto de Rn yf una apli-cacin continua de E en Rm. Si K es un subconjunto compacto de E, entonces f(K) escompacto.

    Teorema 1.85 (de Weierstrass para funciones escalares). Sea f una funcin real definiday continua en un conjunto compacto K de Rn. Entonces f es acotada y alcanza sus extremosabsolutos, es decir, existen dos puntos x e y de K tales que

    f(x) f(z) f(y) para todo z K.

    Proposicin 1.86. SeaK un conjunto compacto de Rn. Supongamos que f es una aplicacininyectiva y continua de K en Rm. Entonces la aplicacin inversa f1 definida en f(K) escontinua.

    Observacin 1.87. Dados A Rn y B Rm, si f: A B es biyectiva y continua, y tambinf1: B A es continua, se dice que f es un homeomorfismo. Esta es una nocin topolgica,es decir, se puede establecer nicamente en trminos de conjuntos abiertos: una biyeccinf: A B es un homeomorfismo si, y slo si, para cada abierto V de A la imagen f(V) esabierta en B.

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    1.4. Compacidad 13

    Teorema 1.88 (de Heine-Cantor). Sean K un conjunto compacto de Rn yf una aplicacincontinua de K en Rm. Entonces f es uniformemente continua en K.

    Proposicin 1.89 (Propiedades de separacin). Sea A, B subconjuntos no vacos de Rn.

    I) x A si, y slo si, d(x, A) = 0 .

    II) La funcin g(x) = d(x, A) es uniformemente continua en Rn

    .III) Si A, B son ambos cerrados y disjuntos entre s, entonces la funcin f:Rn R dada por

    f(x) =d(x, A)

    d(x, A) + d(x, B)es continua en Rn, f(x) = 0 si x A , y f(x) = 1 si x B.

    IV) Si A, B son cerrados y disjuntos entre s, entonces existen dos abiertos disjuntos U, Vde Rn tales que A U yB V .

    V) Ms general, si AB = A B = , existen entonces dos abiertos U y V tales que A U,B V y U V = .

    VI) Si A, B son disjuntos, A cerrado y B compacto, entonces d(A, B) > 0. De hecho, existeun punto b B tal que d(B, A) = d(b, A) .

    Observaciones 1.90.

    I) La propiedad enunciada en 1.89.II I, de separacin de cerrados por funciones continuas,se conoce como Lema de Urysohn en el contexto de la Topologa General.

    II) En Topologa se denomina espacio normal al que verifica la propiedad de separacin decerrados 1.89.IV. En consecuencia, los espacios eucldeos (y, en general, los espaciosmtricos) son normales.

    1.4.1. Comentarios sobre espacios normados

    Los siguientes resultados se presentan como una llamada de atencin, para prevenir allector de la tentacin de generalizar a espacios mtricos cualesquiera las propiedades to-polgicas de Rn. Esta materia es propia de un curso de Anlisis Funcional, por lo que noslimitamos a sealar unos pocos puntos significativos. Como se puede ver, las diferencias sonmotivadas por la dimensin algebraica (infinita) del espacio vectorial.

    Definicin 1.91. Se dice que dos normas 1, 2 definidas sobre el mismo espacio vectorial Vson equivalentessi existen constantes N , M > 0 tales que

    N 1(x) 2(x) M 1(x) para todo x V.

    Teorema 1.92. En Rn (en general, en cualquier espacio vectorial de dimensin finita) todaslas normas son equivalentes.

    Teorema 1.93 (de Riesz). Un espacio vectorial normado es de dimensin finita si, y slo si,todo bola cerrada es compacta.

    Observaciones 1.94.I) El teorema 1.92 implica en particular que las topologas asociadas a las distintas nor-

    mas coinciden, y permite utilizar a todos los efectos, en el estudio de las propiedadestopolgicas (abiertos, cerrados, etc.) y mtricas (acotacin, sucesiones de Cauchy, etc.),cualquier norma; es decir, en todos los resultados enunciados anteriormente la normaeucldea puede ser sustituida por otra cualquiera (ver ejercicio 1.9).

    II) De hecho esta propiedad caracteriza los espacios de dimensin finita; es decir, en un es-pacio normado de dimensin infinita es posible definir una nueva norma no equivalentea la original.

    III) Es inmediato que si toda bola cerrada es compacta tambin lo es todo cerrado y acotado.El teorema de Riesz establece que en un espacio normado de dimensin infinita existen

    conjuntos cerrados y acotados, pero no compactos.IV) El teorema 1.73 no es vlido en espacios normados X de dimensin infinita; esto es,

    existen aplicaciones lineales : X R no continuas.

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    14 Tema 1. Espacios eucldeos

    1.5. Conexin

    El concepto que tratamos ahora generaliza la nocin de intervalo en el sentido de conjuntosin componentes aisladas. Para ilustrar su importancia haremos notar que el hecho de queuna funcin real de variable real tenga derivada nula en todo punto de un abierto no implicaque la funcin sea constante, a menos que su dominio de definicin sea un intervalo.

    En el caso de la recta este concepto tiene una fcil interpretacin geomtrica a partir de larelacin de orden all definida, pero si n > 1, la imposibilidad de definir una relacin de ordenen Rn que goce de las mismas propiedades hace necesario un tratamiento ms minucioso.En todo caso, en las aplicaciones usuales, es suficiente considerar conjuntos convexos oestrellados, que definimos ms adelante.

    Definicin 1.95. Se dice que un conjunto A de Rn es no conexo si existen dos conjuntosabiertos U yV que verifican las siguientes propiedades:

    I) A U V.II) A U = , A V = .

    II I) A U V = .En caso contrario, se dice que A es conexo.

    Proposicin 1.96. Un conjunto A de Rn es no conexo si, y slo si, existen dos conjuntoscerrados E yF que verifican las siguientes propiedades:

    I) A E F.II) A E= , A F = .

    II I) A E F = .

    Ejemplo 1.97. Los intervalos (incluyendo en este concepto al conjunto vaco y a los conjuntosunipuntuales) son los nicos conjuntos conexos de R. En este sentido, es til convenir queun intervalo de la recta es un conjunto I R que verifica la siguiente propiedad:

    Si x, y

    I y x

    z

    y , entonces tambin z

    I,

    o dicho de forma ms coloquial, si I contiene a dos puntos, tambin contiene a todos lospuntos intermedios a ellos.

    Proposicin 1.98. Sean E un conjunto de Rn yf una aplicacin continua de E en Rm. Si Aes un subconjunto conexo de E, entonces f(A) es conexo.

    Observacin 1.99. Cuando el resultado anterior se aplica a funciones reales de variable reallo que se obtiene no es otra cosa que la propiedad de Darboux.

    Proposicin 1.100. Sea{Ai}iI una familia de conjuntos conexos de Rn tales que AiAj = para cada par de ndices i, j I. Entonces la unin

    iIAi es un conjunto conexo.

    Corolario 1.101. Sea{Ai}iI una familia de conjuntos conexos de Rn tal que la intersecciniI

    Ai es no vaca. Entonces la unin iI

    Ai es un conjunto conexo.

    Corolario 1.102. Sean A Rn y a A . Si para cada x A existe un conexo Cx tal que{a,x} Cx A , entonces A es conexo.

    Corolario 1.103. Sea {Ak}k=1 una sucesin de conjuntos conexos de Rn tales queAk Ak+1 = para todo k N .

    Entonces la unink=1

    Ak es un conjunto conexo.

    Proposicin 1.104. SeaA un conjunto conexo de Rn

    . Si B es un conjunto de Rn

    tal queA B A,

    entonces B es conexo. Por tanto, A es conexo si lo es A.

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    1.5. Conexin 15

    Definicin 1.105. Sean E un conjunto de Rn yx un punto de E. Llamaremos componenteconexa deEque contiene ax a la unin de todos los subconjuntos conexos de Eque contienenax. En otras palabras, la componente conexa de E que contiene ax es el mayor conjuntoconexo contenido en E y que contiene ax.

    Si A es una componente conexa de E que contiene a algn punto de E, diremos que A esunacomponente conexa de E.

    Proposicin 1.106. Todo conjunto E Rn es unin disjunta de sus componentes conexas.

    Proposicin 1.107. Si A es un subconjunto abierto de Rn las componentes conexas de Ason conjuntos abiertos.

    Observacin 1.108. Los dos resultados anteriores tienen una lectura muy sencilla en R:cada abierto de la recta real es unin disjunta de intervalos abiertos.

    Definicin 1.109. Se dice que un subconjunto A de Rn es arco-conexo o conexo por caminossi para cada par de puntos x, y de A, existe una aplicacin continua de un intervalo compactode R en A, : [a, b] A, tal que

    (a) = x y (b) = y.

    En las condiciones anteriores, la aplicacin recibe el nombre de arco o camino, lospuntos (a) y(b) se denominan extremosdel arco, y se dice que une los puntosx ey.

    Ejemplos 1.110.

    I) Se dice que un conjunto A Rn es estrellado respecto de un punto a A si para cadax de A el segmento de extremos a y x est totalmente contenido en A , es decir, si setiene que

    ta + (1 t)x A para todo t [0, 1] .Los conjuntos estrellados son arco-conexos.

    II) Se dice que un conjunto A Rn es convexo si para cada par de puntos x,y de A elsegmento de extremos x e y est totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que

    tx + (1 t)y A para todo t [0, 1] .Los conjuntos convexos son estrellados respecto de cada uno de sus puntos y, por tanto,arco-conexos. En particular, los siguientes conjuntos son arco-conexos: Rn, los subespa-cios afines de Rn (como rectas y planos), las bolas abiertas y las bolas cerradas (relativasa cualquier norma).

    Proposicin 1.111. Todo subconjunto arco-conexo de Rn es conexo.

    Observacin 1.112. El recproco de la proposicin anterior no es cierto. Por ejemplo, el grafode la funcin f:R R dada por

    f(x) =

    sen

    1/x

    , x > 0,

    0 , x 0,es un conjunto conexo de R2 que no es arco-conexo.

    No obstante, cuando se consideran conjuntos abiertos, se verifica la equivalencia de am-

    bos conceptos, lo que proporciona una herramienta deductiva muy til:

    Proposicin 1.113. Si A es un conjunto abierto y conexo de Rn, entonces A es arco-conexo.

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    16 Tema 1. Espacios eucldeos

    Ejercicios

    1.1 Determinar los subconjuntos de R2 tales que las relaciones:

    I) z = log y

    x2 + y2 1

    II) z = log(1 x y)II I) z =

    x cos(y)

    IV) z =

    sen

    x2 + y2

    V) z = log

    x + y2

    VI) z =

    1 (x2 + y2)definen funciones (x, y) z de dichos conjuntos en R (es decir, determinar los dominios msgenerales de las funciones definidas por estas expresiones).

    1.2 Demostrar que el conjunto A = {(x,y,z) R3 : y2 z2 9, x2 + y2 25} es acotado. Loes el conjunto B = {(x,y,z) R3 : y2 z2 9}?1.3 Probar que:

    I) El conjunto A = {(x, y) R2 : x y > 1} es un abierto de R2.II) El conjunto B = {(x, y) R2 : x y 1} es un cerrado de R2.

    II I) El conjunto C = {(x,y,z) R3 : 0 z x2 + y2 4} es un cerrado y acotado de R3.

    1.4 SeaM un subespacio lineal de Rn. Probar que:

    I) Si M = {0}, entonces M es un conjunto no acotado.II) Si M tiene interior no vaco, entonces M = Rn.

    1.5 Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de los siguientes subcon-

    juntos de R3:I) A = {(x,y,z) R3 : x + y + z = 0}.

    II) B = {(x,y,z) R3 : z > 0 , x2 + y2 < 1 , x2 + y2 + z2 5}.

    1.6 SeaA un subconjunto numerable de Rn.

    I) Probar que el interior de A es vaco.

    II) Es cierto que la adherencia de A es numerable?

    1.7 Sean n un nmero natural y un nmero real estrictamente positivo. Para cada k Nse considera el conjunto

    Ak = (x1, x2, . . . , xn) Rn : nj=1

    xj 1k2 2

    k2.

    I) Probar que, si

    n , entonces para cadak = 1, 2, . . . se tiene que Ak A1.II) Determinar los valores de para los cuales el conjunto

    k=1

    Ak no es un cerrado de Rn.

    1.8 Sean A Rn, B Rm . Probar que la frontera de A B en Rn Rm esFr(A B) =

    Fr(A) B

    A Fr(B)

    .

    1.9 Determinar las mnimas constantes A, B, C y D para las que se verifican las siguientes

    desigualdades para todo x Rn

    :x A x1 , x1 B x , x C x , x D x .

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    Ejercicios 17

    1.10 SeaBQ la familia de todas las bolas abiertas de Rn centradas en puntos de coordenadasracionales y de radio racional.

    I) Probar que para todo abierto A de Rn, existe una subfamilia{Bi : i IA} de elementos deBQ tal que A =

    iIABi.

    II) Deducir que todo conjunto ERn posee un subconjunto D numerable y denso en E.

    III) Deducir que todo subconjunto discreto de Rn es numerable.

    IV) Sea {U : L} una familia de abiertos no vacos de Rn tales que UU = si = .Probar que L es numerable.

    1.11 Sea F un subconjunto cerrado de Rn. Demostrar que existe un conjunto K tal queFr(K) = F .

    Sugerencia: Considerar un subconjunto numerable y denso en F.

    1.12 Sean E Rn y f: E R . Demostrar que el conjunto de puntos donde f alcanza unmximo relativo estricto es numerable.

    Nota: Se dice que f tiene en x0 E un mximo relativo estricto si existe un entorno V de x0 talque f(x) < f(x0) para cada x V E con x = x0 .

    1.13 Sea A un subconjunto no numerable de Rn. Mediante un razonamiento secuencial,probar que A tiene al menos un punto de acumulacin.

    Sugerencia: Para algn n N ha de ser infinita la interseccin A B(0, n).

    1.14 Sea f una funcin real definida en una bola B(x0, r) R2. Probar que f tiene lmite en el punto x0 = (x0, y0) si, y slo si, existe un nmero real R, 0 < R < r, tal que para todo (0, R) se tiene que

    g() = supfx0 + cos(), y0 + sen() : [0, 2 ] < ,

    y la funcin g: (0, R) [0, ) as definida verifica que lm0

    g() = 0 .

    1.15 Determinar, si existen, los lmites de las siguientes aplicaciones en los puntos que se

    indican:

    I) f(x, y) =(x 1) + y

    (x 1)2 + (y 1)2 , (x, y) = (1, 1), en el punto (1, 1).

    II) f(x, y) =(1 + x2 + y2)sen(y)

    y, y = 0, en el punto (0, 0).

    III) f(x, y) =|y|x2

    e|y|/x2 , x = 0, en el punto (0, 0).

    IV) f(x, y) =1 cos x y

    y, x, y > 0, en el punto (0, 0).

    V) f(x, y) =1

    cos x2 + y2x2 + y2 , (x, y) = (0, 0), en el punto (0, 0).

    VI) f(x, y) =e|x+y| 1

    |x + y| , x + y = 0, en el punto (0, 0).

    VII) f(x, y) =

    x2 + y2x2y2

    , (x, y) = (0, 0), en el punto (0, 0).

    VI II) f(x, y) =x y

    |x| + |y| , (x, y) = (0, 0), en el punto (0, 0).

    IX) f(x, y) = x2y

    x2 + y2, cos(x + y)

    , (x, y) = (0, 0), en el punto (0, 0).

    X) f(x, y) = y 11 + (x 1)2 + (y 1)2 , (x 1)(y 1)(x 1)2 + (y 1)2, (x, y) = (1, 1), en el punto (1, 1).XI) f(x, y) =

    exy 1

    x, log1 + xy

    x

    , x, y > 0, en el punto (0, 0).

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    18 Tema 1. Espacios eucldeos

    1.16 Estudiar la existencia del lmite en 0 Rn de las siguientes funciones:I) f(x) =

    sen(x)2x2 , x = 0.

    II) f(x) =log(1 x)

    x

    2 , 0 < x < 1.

    II I) f(x) =log(1 + x1x2 xn)

    x1x2 xn , xi > 0, i = 1, 2, . . . , n.

    1.17 Para cada uno de los siguientes subconjuntos S R2:a) S =

    (x, y) : y = ax

    , b) S =

    (x, y) : y = ax2

    , c) S = {(x, y) : y2 = ax}, d) S = R2,

    hllense los siguientes lmites a travs del subespacio S:

    lm(x,y)(0,0)(x,y)S

    xy

    x2 + y2, lm

    (x,y)(0,0)(x,y)S

    x2 y2x2 + y2

    .

    1.18 Si una funcin de Rn en R tiene el mismo lmite en un punto a lo largo de cada rectaque pasa por l, tiene la funcin lmite en dicho punto?

    1.19 Para las siguientes funciones f:R2 \ {(0, 0)} R:I) f(x, y) =

    x2 + y2

    x2 + y2 + (x y)2

    II) f(x, y) =x2y2

    x2 + y2 + (x y)2

    II I) f(x, y) =x2y2

    x2y2 + (x y)2

    IV) f(x, y) =

    sen(xy)

    xsi x = 0,

    y si x = 0

    V) f(x, y) = (x + y)sen(1/x)sen(1/y) si x = 0 e y = 0,

    0 si x = 0 o y = 0

    VI) f(x, y) =

    sen(x) sen(y)

    tg(x) tg(y) si tg(x) = tg(y),

    0 si tg(x) = tg(y)

    VI I) f(x, y) =x2 + y2

    x2 + y4,

    VI II) f(x, y) =

    sen(x) sen(y)tg(x) tg(y) si tg(x) = tg(y),

    0 si tg(x) = tg(y)

    determinar si existen los siguientes lmites, y calcular su valor cuando proceda:

    lmx0

    lmy0

    f(x, y)

    , lmy0

    lmx0

    f(x, y)

    , lm(x,y)(0,0)

    f(x, y).

    1.20 Estudiar la continuidad en (0, 0) de la funcin f:R2 R definida por

    f(x, y) =

    x4 + y4

    xsi x = 0,

    0 si x = 0.

    1.21 Determinar para qu valores de p es continua en (0, 0) la funcin f:R2 R definida por

    f(x, y) =x2y2

    (x2 + y2)p si (x, y) = (0, 0),0 si (x, y) = (0, 0).

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    Ejercicios 19

    1.22 Estudiar la continuidad en R3 de la funcin definida por

    f(x,y,z) =

    x2 y2 zx6 + y6 + z4

    si (x,y,z) = (0, 0, 0);

    0 si (x,y,z) = (0, 0, 0).

    1.23 Una funcin f:Rn R se dice que es separadamente continuasi para cadai = 1, 2, . . . , n,al fijar(a1, a2, . . . , an1) Rn1, la funcin

    t f(a1, . . . , ai1,i)

    t , ai, . . . , an1)

    es continua en R.Prubese que la funcin f:R2 R, dada por

    f(x, y) =

    xy

    x2 + y2si (x, y) = (0, 0),

    0 si (x, y) = (0, 0),

    es separadamente continua pero no es continua.

    1.24 Estudiar la continuidad en Rn de las siguientes funciones:

    I) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

    x1n+1 x2 . . . xn

    x2n si x = 0;

    0 si x = 0.

    II) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

    x1 x2 xn

    xn1 si x = 0;

    0 si x = 0.

    III) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

    (x1 + x2 + + xn)nxn1 si x = 0;

    0 si x = 0.

    1.25 Sean b R yf:R2 R la funcin dada por

    f(x, y) =

    x3 y2x2 y si x

    2 = y;

    b si x2 = y.

    I) En qu puntos es discontinua f?

    II) Determinar el valor que debe atribuirse a b para que la restriccin de f a la recta deecuacin x + y = 2 tenga el menor nmero de discontinuidades.

    III) Si g denota la restriccin de f al segmento que une los puntos (0, 2) y (2, 0), para el valorde b hallado en ii), es g una funcin acotada?

    1.26 Demostrar que, si f = (f1, f2, . . . , f m) es una aplicacin continua de un conjunto A Rnen Rm, entonces la funcin g: A R definida por

    g(x) = mn

    f1(x), f2(x), . . . , f m(x)

    es continua en A.

    1.27 Sean E un subconjunto de Rn, x0 Rn y B1, B2, . . . , Bm subespacios de E tales quemi=1

    Bi = E y el punto x0 es de acumulacin de todos los Bi, 1 i m. Sea tambin f: E R.Se supone que existe y0 R tal que

    lmxx0xBi

    f(x) = y0 para cada i = 1, 2, . . . , m .

    Demostrar que lmxx0 f(x) = y0.Comprobar con un contraejemplo que la conclusin del apartado anterior es falsa si se

    aplica a una familia infinita de subespacios {Bi : i I} que recubraE.

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    20 Tema 1. Espacios eucldeos

    1.28 Sea K un compacto de Rn contenido en la bola abierta B(0, 1). Probar que existe unnmero real r, con 0 < r < 1, tal que K B(0, r).

    1.29 Sea K un compacto de Rn. Se supone que existe un nmero real r > 0 tal que paracada par de elementos distintos, x e y, de K se tiene que

    x y r.Demostrar que K es un conjunto finito.

    1.30 Demostrar que, si B es un subconjunto no compacto de Rn, existe una funcin continuay no acotadaf: B R.

    1.31 Sean A compacto de Rn, r > 0 y

    B = xA

    B(x, r).

    Demostrar que B es compacto.

    1.32 Sea A un subconjunto abierto de Rn, A

    = Rn. Fijada cualquier norma

    en Rn, y la

    mtricad asociada, se considera, para cadam N, el conjuntoKm =

    x A : x m, d(x,Rn \ A) 1/m

    .

    Probar que {Km}m=1 es unasucesin expansiva de compactos para A, es decir, que verificalas siguientes propiedades:

    I) Km es compacto.

    II) Km

    Km+1 para todo m N.II I)

    m=1

    Km = A.

    1.33 Es la interseccin de dos conexos de Rn un conjunto conexo?

    1.34 Sean A un subconjunto no vaco de Rn con A = Rn, a un elemento de A yb un elementode Rn \ A. Si es una aplicacin continua de [0, 1] en Rn con (0) = a y (1) = b, probar queexiste un elemento t [0, 1] tal que

    (t) Fr(A).

    1.35 Sea f:R2 R una funcin continua tal que f(1, 0) > 0 y f(1, 0) < 0. Demostrar queexisten infinitos puntos de R2 donde la funcin se anula.

    1.36 Sea f una funcin continua de [0, 1] en Rn tal que f(0) = 1 y f(1) = 3. Probar queexiste un punto (0, 1) tal que f() = 2.1.37 Sea : [0, 1]

    R2, = (1, 2), continua y tal que

    (0) B(5, 0), 1 y (1) B(5, 0), 1.Probar que existe un punto t0 [0, 1] tal que 1(t0) = 2(t0).1.38 Demostrar que el conjunto de componentes conexas de un abierto de Rn es numerable.

    1.39 Sean 2.I) Probar que un hiperplano de Rn es cerrado y conexo, pero no compacto.

    II) Demostrar que los subespacios vectoriales de Rn son cerrados y conexos.

    Sugerencia: Escribir el subespacio como interseccin finita de hiperplanos.

    1.40 Seaf : Rn

    Rm una aplicacin continua. Demostrar que su grafo

    G(f) = x,f(x) Rn+m : x Rnes un subconjunto cerrado y conexo de Rn+m.

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    Ejercicios 21

    1.41 Sea L una aplicacin lineal de Rn en R no idnticamente nula.

    I) Probar que no es conexo el conjunto Rn \ Ker(L).II) Cuntas componentes conexas tiene este conjunto?

    1.42 Sean A un conjunto conexo de Rn

    ya, b dos elementos distintos de A. Si r = a b,demostrar que para cada nmero real , con 0 < < r, el conjuntoA {x Rn : x a = }

    es no vaco. Deducir que los subconjuntos conexos de Rn que constan de ms de un puntoson no numerables.

    1.43 Sea

    rxxR

    una familia de nmeros reales estrictamente positivos. Demostrar que elconjunto

    A = xR

    B

    (x, 0), rx

    es conexo en R2. Es compacto?

    Estdiese la misma cuestin para el conjuntoB =

    nZB

    (n, 0), rn

    .

    1.44 Sea f un homeomorfismo de [0, 1] en s mismo. Probar que f, o bien deja fijos losextremos, o bien los intercambia.

    1.45 Sean A Rn, B Rm . Probar que el complementario de A B en Rn Rm es conexo.

    1.46 Sea A un subconjunto denso de la recta real. Probar que el conjunto

    B = {(x, y) R2 : x A y A}es un subconjunto denso y conexo de R2.

    1.47 Demostrar que no son homeomorfos entre s dos cualesquiera de los siguientes con-juntos (en todos que se considera la topologa usual):

    1) R 2) [0, 1] 3) {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}4) R2 5) [0, 1] [0, 1] .

    Sugerencia: Comparar las propiedades de compacidad y conexin de estos conjuntos o de alguno desus subconjuntos.

    1.48 Sean A Rn, B Rm conjuntos no vacos. Probar que es condicin necesaria y sufi-ciente para que A

    B sea, respectivamente:

    I) abierto,

    II) cerrado,

    III) acotado,

    IV) compacto,

    V) conexo,

    en Rn Rm Rm+n, que as lo sean cada uno de los factores A y B.

    1.49 Sean A Rn, B Rm conjuntos no vacos, f: A R, g: B R . El producto tensorialde las funciones f yg es la funcin, denotada por f g, y definida en A B por

    f

    g x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym = f(x1, x2, . . . , xn) g(y1, y2, . . . , ym) ,Si f es continua en a A y g es continua en b B, probar que f g es continua en el puntoc =

    a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm) A B.

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    22 Tema 1. Espacios eucldeos

    Nota: Anlogamente se define el producto tensorial de una cantidad finita funciones. As, porejemplo, si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene definida fi: Ai R, donde Ai es un subconjuntodeR, el producto tensorial de las funciones fi es la funcin g = f1 f2 fn, definida enA1 A2 An por g(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) f2(x2) fn(xn), i.e.,

    (f1

    f2

    fn)(x) =n

    i=1(fi i)(x)(en esta situacin tambin se dice que la funcin g es de variables separadas). Aplicando re-currentemente el resultado anterior se deduce que si fi es continua en ci Ai, i = 1, 2, . . . , n,entoncesg es continua en el puntoc = (c1, c2, . . . , cn) A.

    1.50 Sean A Rn, B Rm conjuntos no vacos, f: A R, g: B R .I) Si f y g son uniformemente continuas en sus respectivos dominios se puede asegurar

    que f g es uniformemente continua en A B?II) Pongamos que f y g alcanzan un extremo local en x0 A, y0 B, respectivamente. se

    puede asegurar que f g alcanza un extremo local en (x0,y0)?

    II I) Supongamos que A y B son compactos y f y g continuas. existe alguna relacin entrelos extremos absolutos de f g y los de f yg?

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    Tema 2Clculo diferencial

    La idea fundamental de todo el Clculo Diferencial es sencilla: tratar de obtener propieda-des sobre objetos (en la prctica, funciones) que, sin ser lineales, admiten una cierta apro-

    ximacin lineal. Esta idea queda diluida en el caso de funciones de una variable real por elhecho de que la existencia de tal aproximacin equivale a que los cocientes incrementales dela funcin tengan lmite, esto es, que se pueda hablar de velocidad, tasa de crecimiento,etc., segn el contexto o la disciplina cientfica en que se use.

    La presentacin actual de esta materia difiere bastante de su desarrollo histrico, paraleloal de la Fsica Matemtica, y cuyo germen se puede situar en el uso de derivadas parcialespor Euler, DAlembert, etc. en el siglo XVIII, en el que la continuidad era concebida comouna propiedad mucho ms fuerte que como se entiende hoy en da, implicando entonces laderivabilidad. Este fundamento casi filosfico, y que prevaleci durante largo tiempo, estrecogido en la frase de Leibniz Natura non facit saltus (la Naturaleza no da saltos).

    A pesar de que el tratamiento es el mismo para cualquier dimensin n del espacio eucldeo,para la correcta asimilacin y mejor aprovechamiento de la materia que se contempla en estetema, ser necesario haber adquirido un slido conocimiento de los conceptos bsicos sobrefunciones de una variable real y cierta destreza en su clculo. Por supuesto, todo lo quese afirme en general (para dimensin arbitraria n) tiene su correspondiente versin en una

    variable, con la que ya debe estar familiarizado el lector. Pero no recprocamente; por ejemplo,cuando n > 1 hemos de distinguir entre las nociones de derivabilidad y diferenciabilidad,coincidentes en el caso n = 1.

    2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad

    Cuando se consideran aplicaciones definidas en abiertos de Rn, n > 1, carece de sentidoconsiderar cocientes incrementales de tales aplicaciones y, por tanto, es imposible generalizarel concepto de derivabilidad en esos trminos. Lo que s es posible es generalizar el conceptode derivada a subespacios de dimensin uno. Aparece as el concepto de derivada direccional

    y, como caso particular, el de derivada parcial.

    Definicin 2.1. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A yf una aplicacin de A en Rm.Dado un elemento v de Rn

    \ {0

    }, se dice que f admite derivada direccional en el punto x0

    segn la direccin dev si existe y es finito el lmite

    lmh0

    1

    h

    f(x0 + hv) f(x0)

    ;

    dicha derivada direccional, que es el lmite anterior, se denota por

    dvf(x0) o Dvf(x0).

    Cuando se considera el vector ei = (0, . . . ,i)

    1, . . . , 0) de la base estndar de Rn, la corres-pondiente derivada direccional recibe el nombre de derivada parcial de f respecto de xi oderivada parcial i-sima def en el punto x0, y se denota por

    Dif(x0) of

    xi(x0).

    Si la aplicacin f admite derivadas parciales respecto de todas las variables en el puntox0 se dice que es derivable en dicho punto.

    Cuando f es derivable en todos los puntos de A se dice que es derivable enA.

    23

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    24 Tema 2. Clculo diferencial

    Observaciones 2.2.

    I) A la hora de definir las derivadas direccionales algunos autores consideran exclusiva-mente vectores unitarios (de norma eucldea1). Esto no aporta ventajas ni desventajas ala definicin y optar por una u otra forma es cuestin de gusto personal.

    II) La segunda notacin para las derivadas parciales f/xi , introducida por Leibniz, es sin

    duda la de uso ms extendido. Al igual que sucede para las funciones de una variable,tal expresin no denota el cociente de dos nmeros; es simplemente, como se ha dicho,una notacin.

    A pesar de su uso corriente en todas las ramas de la Ciencia y su utilidad a la hora deestablecer modelos matemticos (como en f/t para significar una derivacin respectode la variable tiempo) debemos tener precaucin en su uso; por ejemplo, para una funcin

    de dos variables, en los puntos de la diagonal, cmo debemos entenderf

    x(x, x)? A lo

    largo de estas notas, con el nimo de que el lector se familiarice con ambas, usaremos lanotacin de Leibniz y la de los operadores Di, debida a Cauchy.

    II I) Las derivadas direccionales, como derivadas de funciones de una variable que son, gozande las propiedades aritmticas de stas; por ejemplo, si dos aplicaciones definidas en un

    mismo abierto de Rn admiten derivada parcial respecto de xj en un punto del abierto,entonces la aplicacin suma admite derivada parcial respecto de xj en dicho punto yresulta ser la suma de las derivadas parciales de las dos aplicaciones en ese punto:

    (f+ g)

    xi(x0) =

    f

    xi(x0) +

    g

    xi(x0) ,

    o para funciones reales f yg

    Di(f g )(x0) = Dif(x0) g(x0) + f(x0) Dig(x0) , . . .

    Dejamos que el lector deduzca el resto de las propiedades que procedan.

    IV) En la prctica y como se comprobar a lo largo de los ejercicios, la anterior observacinpermite resolver el clculo de las derivadas parciales mediante la aplicacin de las reglas

    de derivacin en una variable a la funcin que se obtiene al fijar todas las variablesmenos aqulla respecto de la cual se pretende derivar. Por ejemplo, si f es la funcin realdefinida en R2 por f(x, y) = x cos(x y), entonces

    D1f(x, y) =f

    x(x, y) = cos(x y) x sen(x y) ,

    D2f(x, y) =f

    y(x, y) = x

    sen(x y)(1) = x sen(x y) .Ejemplos sencillos, como el que se puede ver en el ejercicio 2.2. III, muestran que el hecho

    de que una aplicacin f sea derivable en un punto no implica la continuidad de f en esepunto; ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales implica la continuidad. Se

    presenta as la primera diferencia relevante con las funciones de una variable. No obstante, elconcepto de diferenciabilidad, que en el caso unidimensional es equivalente a la derivabilidad,se generaliza en trminos anlogos al caso de aplicaciones de varias variables.

    Definicin 2.3. Sean A un abierto de Rn, x0 un punto de A yf una aplicacin de A en Rm.Se dice que f es diferenciable en el puntox0 si existen una aplicacin lineal L de Rn en Rm yuna funcin de A en Rm con

    lmxx0

    (x) = 0,de manera que

    f(x) f(x0) = L(x x0) + (x) x x0 para cadax A.La aplicacin lineal L, si existe, es nica y recibe el nombre de diferencial def en el puntox0.

    Esta aplicacin se denota por(df)x0 , Df(x0), df(x0) o f

    (x0).

    Si f es diferenciable en todo punto de A se dice que es diferenciable en A.

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    2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad 25

    Observaciones 2.4.

    I) Las notaciones indicadas arriba para la diferencial de una funcin en un punto son lasms frecuentes. En estas notas utilizaremos habitualmente la ltima, f, introducida porLagrange.

    II) En las ciencias aplicadas, como la Fsica, y sobre todo en los razonamientos heursticos

    que conducen al modelado de ciertos fenmenos (generalmente mediante ecuaciones dife-renciales) es habitual usar el trmino diferencial para referirse a un incremento peque-o de las magnitudes, esto es a cantidades cuyos cocientes incrementales se aproximana la derivada, que es un lmite. Hacemos nfasis en que, en Matemticas, una diferenciales una aplicacin lineal, perfectamente definida y sin la subjetividad de lo pequeo (unmetro puede considerarse pequeo en Astronoma, pero no en Arquitectura).

    III) Una forma equivalente de definir la diferenciabilidad, que puede encontrarse en nume-rosos textos, es la siguiente: la funcin f es diferenciable en x0 si, y slo si, existe unaaplicacin lineal L de Rn en Rm tal que

    lmxx0

    f(x) f(x0) L(x x0)x x0 = 0 R

    m,

    o, lo que es lo mismo,

    lmxx0

    f(x) f(x0) L(x x0)x x0 = 0 R.

    De nuevo, al igual que sucede respecto a la continuidad, estos conceptos admiten unalectura en trminos de aplicaciones a valores reales:

    Teorema 2.5. Es condicin necesaria y suficiente para que una aplicacin f de un abiertoA de Rn en Rm admita derivada direccional en un punto x0 A segn el vectorv (resp. seadiferenciable en el punto x0) que as