DİNAMİKkisi.deu.edu.tr/serkan.misir/Ders_Notlari/Dinamik/Ders... · 2019-10-03 · 2 1. İki farklı eksen takımı içeren rölatif hareket analizi kullanıldığında, x’ -y’koordinat

1

DİNAMİK

Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIRDEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü

Ders notları için:http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/

2018-2019 GÜZ

Ders_10

Bugünün Hedefleri:1. Ötelenme ve dönme bileşenleri

cinsinden rijit cismin hızını tanımlama.

2. Cisim üzerindeki bir noktanın rölatif hız analizini gerçekleştirme.

Ders Etkinliği:• Sözel yoklama• Uygulamalar• Hızın Ötelenme ve

Dönme Bileşenleri• Rölatif Hız Analizi• Kavramsal Yoklama• Örnek Problem Çözümü• Dikkat Yoklaması

RÖLATİF DÖNME ANALİZİ:HIZ

210.1 - / 29Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR

2

1. İki farklı eksen takımı içeren rölatif hareket analizi kullanıldığında, x’ - y’ koordinat sistemi________.

A) analiz için seçilen noktaya iliştirilir

B) cisimle birlikte döner

C) ‘nin sabit eksene göre ötelenmesine izin verilmez.

D) yukarıdakilerin hiçbiri.

2. Rölatif hız denkleminde vB/A ___________.

A) B’nin A’ya göre rölatif hızıdır

B) dönme hareketi sebebiyle oluşur

C) × rB/A

D) yukarıdakilerin hepsi.

SÖZEL YOKLAMA


A kayan bloğu yatay olarak sola doğru vA hızı ile hareket ettiğinde, bu CB kolunun saatin tersi yönde dönmesini sağlar. Buna göre vB

kendi dairesel yörüngesine teğettir .

Hangi kol genel düzlemsel hareket yapıyor?AB kolu mu, BC kolu mu?

AB kolunun açısal hızı, , nasıl bulunur?

UYGULAMALAR


3

Düzlemsel dişli sistemleri birçok otomobilin otomatik vitesinde kullanılır.Bu sistem; farklı dişlileri kilitleyip veya serbest bırakarak değişik hızlarda aracı kontrol edebilir.

Peki, sistemdeki çeşitli dişlilerin açısal hızlarını birbirleriyle nasıl ilişkilendirebiliriz?

UYGULAMALAR (devam)


drB = drA + drB/A

Dönme ve ötelenme sonrası yerdeğş.

Ötelenmenin sebep olduğu yerdğş.

Dönmenin sebep olduğu yerdeğş.

Bu analizde A noktası temel nokta olarak adlandırılır. Genellikle bilinen bir hareketi vardır. x’- y’ çerçevesi cisimle birlikte ötelenir fakat dönmez. B noktasının yer değiştirmesi şöyle yazılabilir:

Genel düzlemsel hareket yapan bir rijit cisim, dönme ve ötelemehareketlerinin bir kombinasyonu gerçekleştirir.

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ (Kısım 16.5)


4

B’deki hız: (drB/dt) = (drA/dt) + (drB/A/dt) ya da

vB = vA + vB/A

Cisim A etrafında döndüğünden,

vB/A = drB/A/dt = × rB/A

Burada dönme ekseni ötelenme düzlemine dik olduğundan, sadece k bileşenine sahiptir.

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: HIZ


Rölatif hız denklemi genellikle rijit cisim üzerinde bulunan ve hareketi (yönleri) bilinen A ve B noktaları için kullanılır.Bu noktalar çoğunlukla mafsallı mekanizmalardaki pimlerdir.

vB = vA + × rB/A

Bu örnekte, AB çubuğu üzerindeki B noktası dairesel bir yörünge izleyecek,A noktası ise yatay bir yörünge izleyecektir.

Hareket yörüngelerine her zaman teğet olduklarından, vA ve vB’nin yönü bilinmektedir.

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: HIZ (devam)


5

Ayrıca, tekerin merkezindeki B noktası yatay bir yörünge izler. Bu sebeple, vB bilinen bir doğrultuya sahiptir, yani yer yüzeyine paraleldir.(yuvarlandığı yüzey eğik olsaydı??)

vB = vA + × rB/A

Bir tekerlek kaymadan yuvarlandığında, A noktası yerle temas (değme) noktası olarak seçilir.

Kayma olmadığından A noktasının hızı sıfırdır.

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: HIZ (devam)


3. Vektörlerin bu grafik gösterimindeki x ve y bileşenlerini kullanarak skaler denklemleri yazın ve bilinmeyenler için çözün.

1. Sabit x-y koordinatının yönlerini seçin ve cismin kinematik diyagramını çizin. Sonra vB/A rölatif hız vektörünün yönünü ve şiddetini belirleyin.

Skaler Analiz:

2. vB = vA + vB/A denklemini yazın. Kinematik diyagramdavektörleri şiddet ve doğrultularını belirterek grafiksel olarak gösterin.

Skaler x ve y bileşen denklemleri veya bir Kartezyen vektör analizi kullanılarak rölatif hız denklemi ilgili probleme uygulanabilir.

ANALİZ PROSEDÜRÜ


6

Vektör Analizi:

3. Eğer sonuç negatif çıkarsa başlangıçta kabul edilen yönün tersi yönde olduğu anlaşılır.

2. Vektörleri Kartezyen vektör formunda (KVF) ifade edin vevB = vA + × rB/A denkleminde yerine yerleştirin. Vektörel çarpım sonucundaki i ve j bileşenlerine eşitleyerek iki skaler denklemi elde edin.

1. Sabit x-y koordinatının yönlerini seçin, vA, vB, rB/A ve ’yıgöstererek rijit cismin kinematik diyagramını çizin. Büyüklükler bilinmiyorsa başlangıç için bir yön kabulü yapılabilir.

ANALİZ PROSEDÜRÜ (devam)


Verilen: A tekeri sağa doğru 3 m/sile hareket etmektedir.

İstenen: = 30 anında B’nin hızı.

Plan:1. Sabit bir x-y koordinatı kabul edin ve çubukla tekerlerin

kinematik diyagramını çizin.

2. A ve B için hız vektörlerini i, j, k bileşenleri cinsinden yazın ve vB = vA + × rB/A denklemini çözün.

ÖRNEK I


7

i ve j bileşenlerini birbirine eşitlersek:0 = 3 – 0.75

-vB = – 1.299

Çözüm:

sonuç: = 4 rad/s veya = 4 rad/s kvB = 5.2 m/s veya vB = -5.2 m/s j

Kinematik diyagram:

y

ÖRNEK I (devam)

13

Hız vektörlerini Kartezyen formunda (KVF) ifade edin:vB = vA + × rB/A

-vB j = 3 i + [ k ×(-1.5cos30i +1.5sin 30j )]

-vB j = 3 i – 1.299 j – 0.75 i

v 30° v 30°


Verilen: OA krank kolu 12 rad/s açısal hızla dönmektedir.

İstenen: B pistonunun hızı ve AB çubuğunun açısal hızı.

Plan:

A noktası dairesel bir yörünge izlemektedir. vA‘nın yönü bu yörüngeye teğettir.AB çubuğunun kinematik diyagramını çizin ve aşağıdaki denklemi kullanın.

vB = vA + AB × rB/A.

ÖRNEK II


8

i, j bileşenleri kullanılarak:i: 0 = -3.6 + 0.3 AB AB = 12 rad/sj: vB = 0.5196 AB vB = 6.24 m/s

AB Çubuğu. Bağıl hız denklemini yazın.

vB = vA + AB × rB/A

Çözüm:

OA kolu 12 rad/s açısal hız ile döndüğünden A’daki hız: vA = -0.3(12) i = -3.6 i m/s olacaktır.

AB’nin kinematik diyagramı :

vB j = -3.6 i + AB k × (0.6cos30 i − 0.6sin30 j )

vB j = -3.6 i + 0.5196 AB j + 0.3 AB i

ÖRNEK II (devam)


1. Eğer disk O noktasında 15 m/s hıza sahipse ve = 2 rad/s ise A’daki hızı hesaplayın.

A) 0 m/s B) 4 m/s

C) 15 m/s D) 11 m/s

2. Eğer A’daki hız sıfırsa bu durumda açısal hızını hesaplayın.

A) 30 rad/s B) 0 rad/s

C) 7.5 rad/s D) 15 rad/s

2 m V=15 m/s

A

O

KAVRAMSAL YOKLAMA


9

Verilen: AB çubuğu AB = 60 rad/saçısal hızıyla dönmektedir.

AB çubuğu sabit A noktası etrafında dönmektedir. vB’nindoğrultusu hareketin yörüngesine teğettir. 1) BC çubuğunun kinematik diyagramını çizin.2) Bağıl hız denklemlerini çubuğa uygulayın ve bilinmeyenler için çözün.

İstenen: = 60° ve = 45°iken C kayan bloğunun hızı ne olur?

Plan:

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ


vB

60°

x

y

Çözüm:AB Çubuğu; AB = 60 rad/s açısal hızı ile döndüğünden, B’deki hız:

vB = AB × rAB (= AB × rB/A )

= 60° için, vB = 60 k × ( 0.3 sin 60 i + 0.3 cos 60 j )

= (-9 i 15.59 j) m/s

Dikkat! Kayan C bloğudüşey hareket yapmaktadır.

(Eğik düzlemde hareket yapsaydı??)

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ(devam)

xy

vB

vC

45°

rC/B

BC

BC Çubuğu : BC’nin kinematik diyagramını çizin.


10

BC = 21.2 rad/s vC = 24.59 m/s = 24.6 m/s

i ve j bileşenlerinin eşitliğinden:0 = - 9 + BC (0.6) cos 45

- vC = - 15.59 BC (0.6) sin 45

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ(devam)

vB

vC

45°

rC/B

BC

xy

- vC j = (-9 i 15.59 j) + BC k × (-0.6 sin 45 i 0.6 cos 45 j)

C’deki hızı bulmak için bağıl hız denklemini kullanın.

vC = vB + BC × rC/B


vA1. vA hızı biliniyorsa dişlinin merkezi olan C’nin hızını bulmak için hangi denklem kullanılmalıdır?

A) vB = vA + dişli × rB/A B) vA = vC + dişli × rA/C

C) vB = vC + dişli × rC/B D) vA = vC + dişli × rC/A

2. Çubuğun A noktasındaki hızı 3 m/s ise = 60º’de çubuğun açısal hızını basitçe bulabilmek için “temel nokta”nın hangi nokta olarak seçilmesi en uygun olur?

A) A B) B

C) C D) Fark yaratmaz.

A

4 m

B

C

DİKKAT YOKLAMASI


11

Örnek:

10.1 - / 2921

Şekiller

Kinematik Diyagram

10.1 - / 2922

12

Kinematik Diyagram

10.1 - / 2923

10.1 - / 2924

13

Örnek:

açısal hızını bulunuz. 10.1 - / 2925

Şekiller

Kinematik Diyagram

10.1 - / 2926

14

Kinematik Diyagram

10.1 - / 2927

10.1 - / 2928

15

10.1 - / 2929

26.9.2018

1

Bugünün Hedefleri:

1. Anlık sıfır hız merkezinin seçilmesi

2. Genel hareket yapan rijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hızını hesaplarken anlık hızın sıfır olduğu merkezin kullanılması

Ders Etkinliği:

• Sözel Yoklama

• Uygulamalar

• Anlık Sıfır Hız Merkezinin Seçilmesi

• Hız Analizi

• Kavramsal Yoklama

• Örnek Problem Çözümü

• Kavramsal Yoklama

ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİ

Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 110.2 - / 23

1. Eğer uygulanabilirse, anlık sıfır hız merkezi yöntemirijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın __________ hesaplanmasında kullanılır.

A) hızının B) ivmesinin

C) hız ve ivmesinin D) kuvvetinin

2. Rijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hızı, anlık sıfır hız merkezinden o noktaya uzatılan bağıl konum vektörüne __________.

A) her zaman paraleldir B) her zaman diktir

C) ters yöndedir D) eşit yöndedir

SÖZEL YOKLAMA


26.9.2018

2

Bu bisiklet tekeri için anlık sıfır hız merkezi (IC) yerle temas ettiği noktadır. Jant üzerindeki herhangi bir noktada hızın yönü IC ile noktayı birleştiren çizgiye diktir.

Teker üzerindeki hangi nokta maksimum hıza sahiptir?

Aynı sürücü, daha büyük bir teker kullanarak, daha küçük bir tekere göre daha hızlı mı gider?

UYGULAMALAR


Çubuk duvardan aşağı kayarken(sola doğru), genel düzlemsel hareket yapmaktadır (dönme ve ötelenme birlikte).

A ve B uçlarındaki hızların yönleri bilindiğinden, IC yanda gösterildiği gibi yerleştirilmiştir.

Bu sonuç, diğer durumları analiz etmemizde bize nasıl yardımcı olabilir?

Çubuğun ağırlık merkezinin hızı hangi yöndedir?

UYGULAMALAR (devam)


26.9.2018

3

Düzlemsel hareket yapan herhangi bir cisim için, hareket düzlemi içinde hızın anlık olarak sıfır olduğu bir nokta daima vardır (ilgili nokta cisme rijit olarak bağlı kabul edilecek).

Bu nokta, hızın sıfır olduğu anlık merkez (IC) olarak adlandırılır. IC cisim üzerinde olabilir veya olmayabilir!

Eğer bu noktanın konumu hesaplanabiliyorsa cisim tam o anda, bu noktanın etrafında dönüyor gibi göründüğünden, hız analizi daha basit olarak yapılabilir.

ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİ(Bölüm 16-6)


IC’nin yerini saptarken, cisim üzerindeki bir noktaya ait hızın, IC’den o noktaya uzatılan rölatif konum vektörüne her zaman dik olduğu gerçeğini kullanırız. Çeşitli olasılıklar mevcuttur:

İlk olarak, cisim üzerindeki A noktasına ait vA hızının ve cismin açısal hızının bilindiği durumu değerlendirelim.

Bu durumda IC, A’daki vA hızına dik çizgi üzerinde ve A’dan rA/IC = vA/mesafesindedir.

vA hızı IC etrafında saat yönünde bir açısal hızına sebep olacağından dolayı, IC vA’ya dik olacak şekilde yukarı, sağa doğru yerleştirilmiştir

ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİNİN YERİ

Anlık sıfır hız merkezinin yörüngesi


26.9.2018

4

İkinci durumda, birbirine paralel olmayan iki ayrı noktanın hızlarının etki çizgileribiliniyordur ( vA ve vB ).

Öncelikle A ve B noktalarından vA ve vB hızlarına dik çizgiler çizilir. Bu çizgilerin kesişim noktası bize IC’nin yerini verir .

ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİNİN YERİ(devam)


Üçüncü durumda ise A ve B noktalarındaki birbirine paralel iki hızın büyüklüğü ve yönü biliniyorsa IC’nin yeri benzer üçgenlerden hesaplanır.

Bir özel durum olarak, eğer hızlar eşitse (vA = vB) cisim sadece ötelenme yapıyordur, bu durumda IC’nin yeri sonsuzdadır.Beklenildiği üzere da sıfıra eşittir.

ANLIK SIFIR HIZ MERKEZİNİN YERİ(devam)


26.9.2018

5

Genel düzlemsel harekete maruz cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hızı, cismin anlık sıfır hız merkezinin yeri belirlendikten sonra, çoğunlukla skaler bir yaklaşım kullanılarak basitçe hesaplanabilir.

Cisim yandaki kinematik diyagramda gösterildiği gibi, herhangi bir anda IC etrafında dönme hareketi yapıyor göründüğünden, cisim üzerindeki keyfi bir noktaya ait hızın büyüklüğü v = rolur. Burada r, IC’den ilgili noktaya uzanan radyal mesafedir.

Hızın etki çizgisi, ilgili radyal çizgiye diktir ( v r ).

HIZ ANALİZİ


BD çubuğuna ait anlık sıfır hız merkezinin yerini belirleyip açısal hızları bulun.

Verilen: Hareket halindeki bağlantı şekilde gösterilmiştir.D bloğunun hızı vD = 3 m/s’dir.

İstenen: AB ve BD çubuklarının açısal hızı.

Plan:

ÖRNEK I


26.9.2018

6

Çözüm: D sağa doğru hareket ettiğinden, AB çubuğunun A noktası etrafında saat yönünde dönmesine sebep olur. BD’ninanlık sıfır hız merkezi vB ve vD hızlarına dik uzatılan çizgilerin kesiştiği yerdir. vB , AB çubuğuna diktir. Bu sebeple IC’ninyerinin, AB çubuğunun uzantısı üzerinde olduğu görülebilir.

ÖRNEK I (devam)


vD’nin büyüklüğü bilindiğinden, BD çubuğunun açısal hızı bulunabilir vD = BD rD/IC .

BD = vD/rD/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s

AB çubuğu, A noktası etrafında dönmektedir.

Aşağıdaki değerler kullanılarak, rB/IC = 0.4 tan 45° = 0.4 mrD/IC = 0.4/cos 45° = 0.566 m

ÖRNEK I (devam)

AB = vB/rB/A = (rB/IC)BD/rB/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s


26.9.2018

7

İstenen: Dıştaki dişlinin üzerindeki A noktasının hızı.

Plan: Küçük dişlinin anlık sıfır hız merkezinin yerini belirleyip A’daki hızı hesaplayın.

Verilen: Dişli setinin merkezi vO = 6 m/s ile yuvarlanmaktadır. B dişli yatağı sabittir.

ÖRNEK II


Tekerin açısal hızı; = vO/rO/IC = 6/0.3 = 20 rad/s ( veya CW)

A’daki hız;vA = × rA/IC = k × ( 0.6 i + 0.3j) = (6 i 12 j) m/s

vA = 6 12 = 13.4 m/s

= tan-1(12/6) = 63.4°

ÖRNEK II (devam)

Çözüm: Dişli kaymadan yuvarlanmaktadır. Bu sebeple IC, B dişli yatağı ile temas noktası üzerindedir.


26.9.2018

8

1. Rijit cisim üzerindeki iki noktanın hızı büyüklük olarak eşit, birbirine paralel, fakat farklı yönlerde ise IC’nin yeri _____. A) sonsuzdadırB) bu iki noktadan biridirC) iki noktayı birleştiren çizginin orta noktasındadırD) yukarıdakilerin hiçbiri

2. Rijit cisim üzerindeki iki noktaya ait hızların yönü birbirine dikse IC’nin yeri _____.A) sonsuzdadırB) bu iki noktadan birisidirC) iki noktayı birleştiren çizginin orta noktasındaD) yukarıdakilerin hiçbiri.

KAVRAMSAL YOKLAMA


Verilen: CD çubuğu saatin tersi yönde CD = 4 rad/s açısal hızı ile dönmektedir.

İstenen: AB ve BCçubuklarının açısalhızları.

Bu soru ders notlarında verilen ikinci duruma örnektir.B’deki hızın doğrultusu AB’ye dik olmalıdır. C’deki hız da CD’ye dik olmalıdır. Böylece BC için IC anlık sıfır hız merkezi bulunabilir.

Plan:

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I


26.9.2018

9

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)

Çözüm:

AB çubuğu:

AB

vB

rAB

vB = AB (rAB) m/s vC = CD (rCD)

= 4 (0.5) = 2 m/s

CD = 4 rad/s

vC

CD çubuğu:

rCD

CD ve AB çubuğu için kinematik diyagramı çizin:


Diyagramdan:

vC = BC (rC/IC) 2.0 = BC (0.2309 )

BC = 8.66 rad/s

vB = BC (rB/IC) = AB (rAB) (0.4619 ) = AB (1)

AB = 4.0 rad/s

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)

BC’nin kinematik diyagramı:

vB

vC

IC

BC

30° rC/ICrB/IC

vB ve vC‘nin bulunmasıyla BC çubuğu için IC’yi belirleyebiliriz.

rC/IC = (0.4) tan30rC/IC = 0.2309 m

rB/IC = 0.4 / cos30rB/IC = 0.4619 m


26.9.2018

10

2. Çubuk üzerindeki A noktasının hızı sağa doğru 8 m/s’dir. Çubuğun IC’si nerededir?

A) A noktası

B) B noktası

C) C noktası.

D) D noktası.

• C

D •

1. 30 cm çapa sahip şekildeki teker = 3 rad/s ile saat yönünde dönmektedir. vB ’nin değeri?

A) 5 cm/s B) 15 cm/s

C) 0 cm/s D) 45 cm/s

DİKKAT YOKLAMASI


ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II

2010.2 - / 23

26.9.2018

11

Şekiller

(a)

(b)

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)

2110.2 - / 23


2210.2 - / 23

26.9.2018

12


2310.2 - / 23

1

Bugünün Hedefleri:1. Rijit bir cisim üzerindeki noktanın

ivmesini ötelenme ve dönme birleşenlerine ayırmak,

2. Rijit cisim üzerindeki bir noktanın ivmesini rölatif ivme analizi ile hesaplamak.

Sınıf Etkinliği:• Sözel Yoklama• Uygulamalar• İvmenin Dönme ve

Ötelenme Bileşenleri• Rölatif İvme Analizi• Kaymadan Yuvarlanma

Hareketi• Kavramsal Yoklama• Örnek Problem Çözümü• Dikkat Yoklaması

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME


1. Eğer kaymadan birbirine temas eden iki cisim ve temas noktası farklı yörüngelerde hareket ediyorsa, ivmenin teğetsel bileşeni ______ ve normal bileşeni _______ olacaktır.

A) aynı, aynı B) aynı, farklı

C) farklı, aynı D) farklı, farklı

2. Genel düzlemsel hareket yapan rijit bir cisim üzerindeki bir noktanın,

A) toplam ivmesi hem mutlak hem de rölatif ivme bileşenleri içerir.

B) toplam ivmesi sadece mutlak ivme bileşenleri içerir.

C) rölatif ivme bileşeni her zaman yörüngeye diktir.

D) Hiçbiri.

SÖZEL YOKLAMA


2

UYGULAMALAR

Şekilde gösterilen pencere mekanizmasında, AC çubuğu, C noktasına sabitlenmiş bir eksen etrafında dönmekte ve AB ise genel düzlemsel hareket yapmaktadır. A noktası eğrisel bir yörüngede hareket ettiğine göre, ivmesinin iki bileşeni olacaktır. Bunun yanında B noktası doğrusal bir yuvada harekete zorlandığından ivmesinin tek bileşeni olacaktır.

Bu noktaların ivmeleri bulunabilir, çünkü hareketleri bilinmektedir.

Mekanizmadaki bağlantıların ivmelerini nasıl bulunur?Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 310.3 - / 29

UYGULAMALAR (devam)

Bir otomobil motorunda, krank miline iletilen kuvvetler ve krank milinin ivmesi, pistonun hızına ve ivmesine bağlıdır.

Pistonun, bağlantı milinin ve krank milinin ivmelerini nasıl ilişkilendirebiliriz?


3


Rijit cisim üzerindeki iki noktanın ivmesi, hız denklemini zaman göre türeterek bulunabilir:

Sonuç: aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n

Bunlar A ve B noktalarının mutlak ivmesidir ve sabit bir x-y eksenine göre ölçülmüştür.

Bu terim B noktasının A noktasına göre rölatif ivmesidir ve teğetsel ve normal bileşenleri vardır.

/dt

dv AB

dt

dvA

dt

dvB



Vektörel Toplam aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n


4

(aB/A)n rölatif normal ivme bileşeni (−2 rB/A) ile hesaplanır, yönü her zaman B’den A’ya doğrudur (temel noktaya doğrudur).

Grafik olarak: aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n

(aB/A)t rölatif teğetsel ivme bileşeni ( ×rB/A) ile hesaplanır rB/A’ya diktir.

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam)


Rölatif ivme bileşenleri (aB/A)t = rB/A ve (aB/A)n = - 2 rB/A, şeklinde ifade edilebildiği için rölatif ivme denklemi aşağıdaki hali alır:

aB = aA + rB/A − 2 rB/A

Dikkat edilirse son terim çapraz çarpım değildir. Bu terim açısal hızın şiddetinin karesi (2) ve rB/A vektörünün çarpımına eşittir (her zaman rB/A’nın tersi yönünde).

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam)


5

RÖLATİF İVME DENKLEMİNİN UYGULANMASI (devam)

İvme denklemini uygularken, A ve B gibi kullanılan iki nokta genellikle hareket doğrultusu bilinen noktalar olarak seçilir, örnek olarak mafsallı birleşimler verilebilir.

Piston ve BC bağlantısını birleştiren C noktası ise doğrusal bir yörüngede hareket edecektir ve bu yüzden aC yatay doğrultuda olacaktır.

Bu mekanizmada B noktasının dairesel bir yörüngede hareket ettiği bilinmektedir bu durumda aB normal ve teğetsel birleşenler cinsinden ifade edilebilir. Dikkat edilirse, BC bağlantısı üzerindeki B noktası ile AB bağlantısı üzerindeki B noktası aynı ivme değerine sahip olacaktır.

Kinematik Diyagram


ANALİZ YÖNTEMİ

1. Sabit bir koordinat ekseni belirleyin.

2. Cismin kinematik diyagramını çizin.

3. aA, aB, , , ve rB/A değerlerini diyagram üzerinde gösterin. A ve B noktaları eğrisel bir yörüngede hareket ediyorlarsa, o zaman ivmeleri teğetsel ve normal bileşenler cinsinden gösterilmelidir, örnek aA = (aA)t + (aA)n ve aB = (aB)t + (aB)n.

4. Rölatif ivme denklemini uygulayın:

aB = aA + rB/A − 2 rB/A

5. Bilinmeyen bir şiddet değeri için eğer sonuç negatifse, diyagramda gösterdiğiniz yönün ters olduğu anlamına gelir.


6

Verilen: Şekilde gösterilen an için, AB çubuğu üzerindeki A noktası 5 m/s2 ivme değerine ve 6 m/s’de hıza sahiptir.

Aranan: Çubuğun bu andaki açısal ivmesi ve B noktasının yine bu andaki ivmesi bulunuz.

Plan: Analiz yöntemini takip edin!

ÖRNEK 1

Çözüm: Önce, çubuğun bu andaki açısal hızını bulmamız gerekmekte. AB çubuğu için anlık sıfır hız merkezi (IC)kullanılarak bulunur: = vA/rA/IC = vA / (3) = 2 rad/s

IC


ÖRNEK 1 (devam)

A ve B noktalarının ikisi de doğrusal hareket etmekteler:

aA = -5 j m/s2

aB = aB i m/s2

Rölatif ivme denklemini uygularsak (A temel noktadır):aB = aA + × rB/A – 2rB/A

aB i = - 5 j + k × (3 i – 4 j) – 22 (3 i – 4 j)aB i = - 5 j + 4 i + 3 j – (12 i – 16 j)

Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 12

rB/A

10.3 - / 29

7

i, j bileşenleri karşılaştırılırsa:

aB = 4 – 12

0 = 11 + 3

aB i = - 5 j + 4 i + 3 j – (12 i – 16 j) denklemi ile soru çözülür:

ÖRNEK 1 (devam)

Çözüm:

aB = – 26.7 m/s2

= 26.7 m/s2

= – 3.67 rad/s2

= 3.67 rad/s2


TEMAS HALİNDEKİ CİSİMLER

Kaymadan birbirine temas halinde bulunan ve farklı yörüngede hareket eden iki cismi ele alalım:

Bu durumda ivmenin teğetsel bileşenleri aynı olacaktır:(aA)t = (aA’)t (B rB = C rC olduğunu gösterir).

İvmenin normal bileşenleri ise aynı olmayacaktır:(aA)n (aA’)n (bu nedenle aA aA)


8

YUVARLANMA HAREKETİDinamikte çokça karşılaşılan bir diğer problem de kayma olmadan gerçekleşen yuvarlanma hareketidir (top, silindir veya diskin hareketi). Bu durum rölatif hız ve ivme denklemleri ile analiz edilebilir.

Silindir yuvarlanırken G noktası doğrusal hareket eder. ve biliniyorsa, A noktasının yerle temas anı için, A noktasına rölatif hız ve ivme denklemleri uygulanabilir. A noktası anlık sıfır hız noktasıdır (IC), ancak bu nokta anlık sıfır ivme noktası değildir.


Kayma gerçekleşmediği için , A yerle temas ettiği anda vA = 0’dır. Kinematik diyagramdan:

vG = vA + rG/A

vG i = 0 + (-k) (r j)vG = r veya vG = r i

G düz bir yörüngede hareket ettiği için, aG

yataydır. A yere değmeden hemen önce, A’nın hızıaşağı yöndedir, ve değdikten hemen sonra, hızı yukarı yöndedir. Bu sebeple, yerden ayrıldığında yukarı yönde ivmelenmektedir.

Denklemin i ve j bileşenlerini eşitlersek:aG = r ve aA = 2r veya aG = r i ve aA = 2r j

• Hız:

• İvme:

YUVARLANMA HAREKETİ (devam)

Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR16

aG = aA + rG/A – 2rG/A => aG i = aA j + (- k) (r j) – 2(r j)

10.3 - / 29

9

Verilen: Dişli sabit düzlemde hareket etmektedir.

Aranan: A noktasının bu andaki ivmesi.

Plan: Analiz yöntemini uygula!

ÖRNEK 2

Çözüm: Dişli sabit yüzeyde kaymadan hareket ettiğine göre, aO sağa doğrudur ve şiddeti ise aşağıdaki gibi bulunur:

aO = r = (6 rad/s2)(0.3 m)=1.8 m/s2


y

x

aO = 1.8 m/s2

aA = aO + × rA/O – 2 rA/O

aA = 1.8i + (-6k)×(0.3j) –122 (0.3j)

= (3.6 i – 43.2j) m/s2

aO = 1.8 m/s2 bulunduktan sonra, O ve A noktaları için rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz:

ÖRNEK 2 (devam)


10

2. B noktasının G noktasına göre rölatif ivmesinin teğetsel ve normal bileşenleri ________ olur.

A) - 2r i −r j B) - r i + 2r j

C) 2r i −r j D) Sıfır.

1. Eğer bir top kaymadan yuvarlanıyorsa, A noktasının G noktasına göre rölatif ivmesinin teğetsel ve normal bileşenleri ________olur.

A) r i + 2r j B) - r i + 2r j

C) 2r i − r j D) Sıfır.

KAVRAMSAL YOKLAMA


aG = r i ve aA = 2r jaA = aG + aA/G

aB/G = ×rB/G − 2 rB/G = (- k) × (r i ) − 2 (r i)10.3 - / 29

ÖRNEK 3

Verilen: AB çubuğu gösterilen anda AB=3 rad/s, AB=2 rad/s2

değerleri ile dönmektedir..

Aranan: C bloğunun hız ve ivmesi istenmekte.


7 cm

5 cm

5 cm

B noktasının, A’nın etrafında döndüğüne dikkat edin. Dolayısıyla ivmenin hangi bileşenlerine maruz kalacaktır?


11

vB = (AB) rB/A = (3) 7 = 21 cm/s

aBn = (AB)2 rB/A= (3)2 7 = 63 cm/s2

aBt = (AB) rB/A = (2) 7 = 14 cm/s2

Çözüm:B noktası döndüğüne göre, bu noktanın hız ve ivmesi :

vB = (-21 i ) cm/s

aB = (-14 i −63 j ) cm/s2

7 cm

5 cm

5 cm

Kartezyen formda ifade

edildi.

ÖRNEK 3 (devam)


7 cm

5 cm

5 cm

Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif hız denklemini uygulayarak, BC bağlantısının açısal hızını bulabiliriz:

vC = vB + BC× rC/B

(-0.8 vC i −0.6 vC j ) = (-21 i ) + BC k × (-5 i −12 j )

= (-21 + 12 BC) i − 5 BC j )

i ve j bileşenlerini karşılaştırarak:

-0.8 vC = - 21 + 12 BC

-0.6 vC = - 5 BC

Bilinmeyen değerler bulunur:

BC = 1.125 rad/s

vC = 9.375 cm/s

ÖRNEK 3 (devam)


12

Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz:

aC = aB + BC × rC/B – 2BC rC/B

(-0.8 aC i − 0.6 aC j) = (-14 i − 63 j) + BC k × (-5 i −12 j) – (1.125)2 (-5 i −12 j)

(- 0.8 aC i − 0.6 aC j)

= (-14+12 BC + 6.328 ) i

+ (- 63 – 5 BC + 15.19) j

i ve j bileşenleri karşılaştırılırsa;

- 0.8 aC = -7.672 + 12 BC

- 0.6 aC = - 47.81 –5 BC

ÖRNEK 3 (devam)

7 cm

5 cm

5 cm


Bu iki denklem çözülürse:

- 0.8 aC = -7.672 + 12 BC

- 0.6 aC = - 47.81 –5 BC

ÖRNEK 3 (devam)

7 cm

5 cm

5 cm

Bilinmeyenler bulunur:

BC = -3.0 rad/s2 = 3.0 rad/s2

aC = 54.7 cm/s2


13

2. Eğer B dişlisi üzerindeki A noktasının teğetsel ivme bileşeni 100 m/s2 ise, B dişlisinin açısal ivmesini hesaplayın.

A) 50 rad/s2 B) 100 rad/s2

C) 200 rad/s2 D) Hiçbiri.

DİKKAT YOKLAMASI


1. İki cisim kaymadan temas halindedir. Eğer B dişlisi üzerindeki A noktasının teğetsel ivme bileşeni 100 m/s2 ise, C dişlisi üzerindeki A noktasının teğetsel ivme bileşenini hesaplayın.

A) 50 m/s2 B) 100 m/s2

C) 200 m/s2 D) Hiçbiri.

2 m1 m

100 m/s2

10.3 - / 29

ÖRNEK 4 (Ders dışında incelenecektir)

Verilen: AB çubuğu gösterilen anda AB=10 rad/s, AB=20 rad/s2

değerleri ile dönmektedir..

Aranan: Şekilde gösterilen an için, C pistonunun ivmesi istenmekte.


B noktası döndüğüne göre, ivmenin hangi bileşenleri oluşacaktır?

0.75 m

0.25 m


14

ÖRNEK 4 (devam)Aşağıdaki şekilde kinematik diyagram gösterilmiştir. aC

düşey ve doğrusal bir hat üzerindedir.

İki pozisyon vektörünü de kartezyen cinsten ifade edersek: rB = - 0.25sin 45i + 0.25cos 45j

= -0.177i + 0.177jrC/B = 0.75sin 13.6i + 0.75cos 13.6j

= -0.177i + 0.729j

AB mili sabit bir eksen etrafında döndüğüne göre:

aB = AB × rB – 2AB rB

= -20k × (-0.177i + 0.177j) –(10)2 (-0.177i + 0.177j)

= 21.21i – 14.14j m/s2

m

m

rB


ÖRNEK 4 (devam)

Şimdi BC rodunu (genel düzlemsel hareket yapmakta) hareketine geçilebilir. aB için bulduğumuz ifade kullanılır ve dikkat edilirse, aC düşeyde hareket etmektedir.

C için rölatif ivme denklemi:aC = aB + BC × rC/B – 2

BC rC/B

aCj = 21.21i – 14.14j + (BCk) × (-0.177i + 0.729j) –(2.43)2 (-0.177i + 0.729j)

i ve j bileşenlerini karşılaştırarak:

0 = 20.17 + 0.729 BC

aC = 0.177 BC – 18.45

m

m

rB


15

Bilinmeyenler bulunur:

BC = 27.7 rad/s2 (yön doğru)

aC = -13.5 m/s2 (ivme azalma

yönünde)

m

m

ÖRNEK 4 (devam)


Documents

DİNAMİKkisi.deu.edu.tr/serkan.misir/Ders_Notlari/Dinamik/Ders... · 2019-10-03 · 2 1. İki farklı eksen takımı içeren rölatif hareket analizi kullanıldığında, x’ -y’koordinat