DISTRIBUCIONES

LA DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como:

- Juegos de azar. - Control de calidad de un producto. - En educación. - En las finanzas.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos si la variable es una variable aleatoria discreta, es decir,sólo puede tomarlos valores 0, 1, 2, 3, 4, ...,n suponiendo que se han realizado n pruebas. En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste,sólo puede ser de éxito o fracaso. Por ejemplo,- en la producción de una pieza, ésta puede salir buena o defectuosa. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial -Al nacer puede ser varón o hembra.-Un equipo de baloncesto puede ganar o perder.- En un test psicotécnico hay peguntas de verdadero o falso, es decirsólo hay dos alternativas.- Un tratamiento médico, como por ejemplo la vacuna de la gripe A, puede ser efectivo o inefectivo.- El objetivo de ventas al año de coches en un concesionario se puede o no lograr.

La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales: 1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos. 2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo. Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin reposición o de una población finita con reposición. 3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩ E' = 0.4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos. 5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.

La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial:

P(x,n,p)=(nx )pxq(n-x)

p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito. q = Probabilidad de fracaso x = Número de éxitos deseados n = Número de ensayos efectuados

Ejemplo 1.- Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento "Número de caras que caen." n = 4 ensayos. p= ½ probabilidad de éxito en un ensayo. q = 1 - p =1- 1/2= 0.5 Para x = 0, 1, 2, 3, 4 S = {lanzar 4 veces la moneda} A = {número de águilas que caen}

Ejemplo 2.- Un cazador tiene una probabilidad de acertar cada disparo que realiza con su escopeta (suceso A) del 40%. ¿Qué probabilidad tiene de derribar a su presa si puede efectuar tres disparos consecutivos?Sea el suceso A: derriba a la presa en el disparo.La probabilidad de A, sería p=0,4.Sea la variable X ~ número de disparos acertados ~ B (n=3, p=0,4).

EJERCICIOS1. ¿Qué probabilidad hay de obtener al menos un seis al realizar seis

lanzamientos consecutivos de un dado?

2. Con el propósito de verificar si se aceptan los lotes de piezas de que se reciben en una determinada fábrica, se lleva a cabo un plan de control consistente en seleccionar 10 artículos al azar de cada lote y determinar el número de piezas defectuosas. Un lote se rechaza si se encuentran dos o más piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar lotes con un 5 % de piezas defectuosas?

3. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o más preguntas. Rpta. 0.03759

4. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces. Rpta. 0.31744

5. Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas? ¿Y menos de 15?Rpta1: 0.1020 Rpta2: 0.0078

DISTRIBUCION NORMAL

Sin duda, la distribución contínua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace-Gauss.

Características Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.Su función de densidad está dada por:En términos de probabilidad, definimos igualmente la variable aleatoria normal, como aquella que tiene por gráfica de su función de densidad la representada a la izquierda. El área bajo la curva será igual a la unidad y, con este criterio se confeccionaron tablas estadísticas que calculan el área para un cierto intervalo de valores de la variable.

En términos de probabilidad, definimos igualmente la variable aleatoria normal, como aquella que tiene por gráfica de su función de densidad siguiente:El área bajo la curva será igual a la unidad y, con este criterio se confeccionaron tablas estadísticas que calculan el área para un cierto intervalo de valores de la variable. Recordemos pues que la curva normal: a) es simétrica respecto a la media b) se establece que el área bajo su gráfica es igual a 1

Ejemplos:

1. Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas a la izquierda de cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes:

a) Pr (z<1,35) b) Pr (z<-0,338) c) Pr (z>2,1)

d) Pr (z>-1) e) Pr (-1,39<z≤-0,44) f) Pr (-1,52≤z≤0,897)

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:

Se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ y σ.

Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar.

Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media µ, dividida por la desviación estándar σ.

Formalmente, si X ∼ N (µ,σ) , entonces la v.a. Z= (x −µ)/σ; Z se distribuye según una normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼ N (0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada.

Ejemplos

La estatura de una población es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 172.2 cm y desviación estándar 6.35 cm. Se desea seleccionar una muestra al azar de 200 personas. ¿Cuántas de ellas se espera que midan?

a. Entre 170 y 172 cm b. Más de 177.8 cm c. Menos de 150 cm d. Al menos 120 cm e. Más de 200 o menos de 120 cm.

EJERCICIOS

1. Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas entre cada valor z y la media 0 de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes:

a) Pr (z≤0,22) b) Pr (z<-1,8) c) Pr (z>1,0092)

d) Pr (z>-1,61) e) Pr (-2,06<z<-0,24) f) Pr (-0,02≤z≤1,7)

2.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.

a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos?

3.- Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.

a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos?

4. Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observó que se distribuían normalmente con media 100 y desviación típica 20.

a) Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94. b) ¿ Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos entre 105 y 130 ?. c) ¿ Cuántas determinaciones fueron superiores a 138?.

5. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo más próximo. ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22?

6. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?

7.- Se llama coeficiente intelectual, C.I., a 100 veces el cociente entre la edad mental y la edad real. Si se tiene un colectivo con 2600 personas en las que el C.I. se distribuye normalmente con media 95 y desviación típica 22, calcule cuántas tendrán un C.I.:

a) Superior a 130 b) Inferior a 70 c) Entre 80 y 115.

DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

La denominada «Distribución Chi Cuadrado» (que usualmente se escribe y se lee como: Ji Cuadrado), es una distribución cuadrática de la probabilidad que utiliza básicamente variables aleatorias continuas. La Distribución Chi Cuadrado de la probabilidad se denota mediante la letra griega minúscula ji elevada al cuadrado (χ2), y consiste en establecer un espacio continuo delimitado por la suma de los cuadrados de n variables aleatorias que son independientes entre sí, espacio dentro del cual la variable X puede asumir cualquiera de los infinitos valores que lo conforman, y por tanto para establecer el valor aproximado de una variable X dentro de ese espacio se procede a incluir una estimación de sus posibles límites que están dados por los distintos «Grados de Libertad» que pueden existir entre las variables aleatorias analizadas que dan origen al referido espacio. En otras palabras, la Distribución Chi Cuadrado en un delimitado espacio conjuga un determinado número de variables aleatorias independientes entre sí, con unos valores de probabilidad ubicados entre 1 y 0 que son atribuibles a esas variables, y con unos límites de la probabilidad para el verdadero valor de X delimitados por los Grados de Libertad atribuibles a las variables aleatorias analizadas.

La Distribución Chi Cuadrado permite calcular la probabilidad existente para que una variable X, que tiene un determinado Grado de Libertad frente a otras variables del mismo conjunto, permanezca dentro de unos «límites ideales» previstos para X cuando tiene ese específico Grado de Libertad o independencia. En otras palabras, la Distribución Chi Cuadrado suministra un modelo ideal sobre los límites probables que deberían regir las fluctuaciones en la aparición de un determinado valor aleatorio X dependiendo del Grado de Libertad que tiene ese valor frente a otras variables similares dentro de un conjunto de datos analizados. La fórmula matemática para calcular la probabilidad de que una variable X permanezca dentro del límite ideal correspondiente al respectivo Grado de Libertad es la siguiente:

«Grados de Libertad» atribuibles a un conjunto de variables equivalen al número de datos independientes entre sí existentes dentro de ese conjunto que es necesario conocer previamente para poder estimar el valor de cualquier otro dato independiente del mismo grupo.

X2 =(n−1)∗sσ ; (n-1) gl

1. Hallar:

a) X20.05 (6) b). X2

0.95 (19) c). X20.975 (28)

d) X20.925 (10) e) X2

0.99 (15) f). X20.10 (42)

2.- Sea x una variable aleatoria X217; Hallar:

a) P(X2 < 7.564) b) P(X2 > 27,59) c) P (6,408 <X2≤ 27.59)

3. Sea x1, x2, x3,…,x10 una muestra aleatoria de tamaño 10, de una variable aleatoria

de distribución X219, . Hallar la probabilidad de que exactamente dos de los 10

valores muestrales exceda a 30,14

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT (N)

La distribución -Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una independiente. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, a la de una v.a. T,

La distribución de Student tiene propiedades parecidas a la normal.

1.- Es de media cero, y simétrica con respecto a la misma;

2.- Es algo más dispersa que la normal, pero la varianza decrece hasta 1 cuando el número de grados de libertad aumenta; Su función de densidad es:

Ejemplo 1. Encontrar P (t ≥ 1,476) para 5 grados de libertad.

Solución:

En la tabla nos ubicamos en la fila de 5 grados de libertad y buscamos el valor de t=1.476.

2. Si el tamaño de la muestra es 11, hallar

a) P (t≥ 1,812) b) P(t≥ 3,581)

Para una muestra de tamaño 21, hallar to ,tal que:

a) P (t> to) = 0.025 b) P(t>to) = 0.05

3. Si T tiene una distribución t con 25 gl. Hallar:

1.- a) P (t≥ 10/9) b) P(-20/9 ≤ T) c) P(-2,787≤T≤ 2,787)