Distrbusi Variabel Acak

5/24/2018 Distrbusi Variabel Acak

1/31

Distrbusi Variabel Acak

1. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah

suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri daridua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat,

kepalaekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak

mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial

harus tertentu.

Rumus Distribusi Binomiala). Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan

dengan probabilitas salah satu susunan.

Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu

peristiwa dituliskan.

b). Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari

satu sukses.

Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari

peristiwa berikut :a). Mata dadu 5 muncul 1 kali
http://asmauna.wordpress.com/2012/10/02/distrbusi-variabel-acak/http://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/inomial-komulatif1.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/rumus-distribusi-binomial1.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/inomial-komulatif1.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/rumus-distribusi-binomial1.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/rumus-distribusi-binomial.jpghttp://asmauna.wordpress.com/2012/10/02/distrbusi-variabel-acak/


2/31

b). Mata dadu genap muncul 2 kali

c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.

a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki

probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :

p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali )P(X=1) = C1

4.p1.q3

= 4(1/6)1(5/6)3

= 0,386

b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :

p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2

P(X=2) = C2

4.p2.q2

= 6(1/2)2(1/2)2

= 0,375

c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga :

p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4

P(X=4) = C 4

4.p4.q0 .p .q

= 1(2/6)4(2/3)0

= 0,0123

2. Distribusi Poisson

Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yangmempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu

variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam

suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi

probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.

Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat

menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(Xn.p)untuk X= 1,2,3 n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar(lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau

kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini

adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat

digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil

percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah

Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan

luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat

dan luas daerah yang sempit

Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan

luasan tempat yang sama diabaikan

PENGGUNAAN DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:a). menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi,


3/31

luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari:

Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank

Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji

atau antrian yang panjang bila ke ancol.

banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri

dalam 1 tetes atau 1 liter air.jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik

Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5

menit di suatu ruas jalan.

distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.

Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu

distribusi Poisson.

b). Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n 30) dan p kecil (p 0 menggambarkankan intensitas proses.b. menghitung di daerah terpisah adalah bebas.

c. kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil

adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

RUMUS DISTRIBUSI POISSON

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah

kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada

jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut

satuan waktu.

Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

P(X) = _X . e_ / x!

Keterangan: P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson

= Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana = n . p

e = Bilangan konstan = 2,71828

X = Jumlah nilai sukses

P = Probabilitas sukses suatu kejadian

! = lambang faktorial

Soal 1

Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Probabilitas perusahaan memberikan

deviden pada tahun 2002 hanya 0,1. apabila BEJ meminta laporan dari emitensebanyak 5 perusahaan, berapa probabilitas 5 perusahaan tersebut adalah perusahaan

yang membagikan deviden?

Jawab:

n = 150, X = 5, dan p = 0,1 (ini merupakan cirri distribusi Poisson, n > 50 dan p kecil

yaitu )

= n . p = 150 x 0,1 = 15

Jadi probabilitas 5 perusahaan sample membagikan deviden hanya 0,002 atau 0,2%

3. Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu.

Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :


4/31

Keterangan :

X = nilai data

= rata-rata= 3,14e = 2,71828

= Simpangan baku

Karakteristik Distribusi Normal

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yang menyertainya memiliki

beberapa karakteristik sebagai berikut :

1. Kurva normal berbentuk lonceng

2. Simetris

3. Asimtotis

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva normal berbentuk asimptotis

4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; di sisi kanan nilai

tengah dan di sisi kiri.

Jenis-jenis Distribusi Normal
http://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/gambar-kurva.jpg


5/31

Grafik Pendekatan Distribusi Normal dan Binomial
http://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/5.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/3.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/2.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/5.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/3.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/2.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/5.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/3.jpghttp://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/2.jpg


6/31

4. DISTRIBUSI SAMPLING

(Distribusi Penarikan Sampel)

Bidang Inferensia Statistik membahas generalisasi/penarikan kesimpulan danprediksi/

peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat

jarang

menyangkut populasi.

Sensus = pendataan setiap anggota populasi

Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilansampel

Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:1. mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang

2. populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus

misal : dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika

semua donat dimakan, dan donat tidak tersisa,

tidak ada yang dijual?

Sampel yang baik Sampel yang representatifBesaran/ciri sampel (Statistik Sampel) memberikan

gambaran yang tepat mengenai besaran ukuran populasi

(Parameter Populasi)

Masih ingat beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? perhatikan tabel

berikut:

Sampel yg baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut :
http://blog.ub.ac.id/abuabubaja/files/2012/04/sampling2.jpg


7/31

1. keacakannya (randomness)

2. ukuran

3. teknik penarikan sampel (sampling) yang sesuai dengan

kondisi atau sifat populasi

Sampel Acak = Contoh Random dipilih dari populasi di mana setiap anggotapopulasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota ruang sampel.

By asmauna Posted inMATERI KULIAH Taggedbinomial

MODUL DISTRIBUSI BINOMIAL

DEFINISI

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses

sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping

uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu

pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label berhasil bila kartu yang terambil

adalah kartu merah atau gagal bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut

bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ..(Ronald E.

Walpole)

CIRICIRI DISTRIBUSI BINOMIAL

Percobaan diulang sebanyak n kali.

Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

BERHASIL atau GAGAL;

YA atau TIDAK;

SUCCESS or FAILED.

Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal

dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.

Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.

Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)

Nilai n < 20 dan p > 0.05

RUMUS DISTRIBUSI BINOMIALb(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,,n

n : banyaknya ulangan

x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan

q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana

kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi

pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

Contoh Distribusi Binomial :
http://asmauna.wordpress.com/category/materi-kuliah/http://asmauna.wordpress.com/category/materi-kuliah/http://asmauna.wordpress.com/category/materi-kuliah/http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/http://asmauna.wordpress.com/category/materi-kuliah/


8/31

1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan

wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40%

menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita

bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke

Indonesia, berapakah probabilitas :

a.Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.

b.Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas

c.Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas

Jawab :

a.X 2

Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :

b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau

b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960

b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480

+

Maka hasil x 2 adalah = 0.94208

b.X 1


b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =

0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau

b(x 1; 5, 0.15) = 1 b(x = 0)

15C0 (0.15)0 (0.85)5

10.4437 = 0.5563

c.X = 2

b(2; 5, 0.25) = 0.2637

d.X 2 X 4


b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528

Analisis masingmasing point :

a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan

sangat puas adalah sangat besar.b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang

menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).

c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil

(karena dibawah 50%).

d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan

cukup besar.

Analisis keseluruhan :

A. Persentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di

point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak

turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.


9/31

B. Nilai X

Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1

dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima

(semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.

2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak

setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak

sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?

Jawab : p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4

Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x

b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(42)

= 0,0975

Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata

rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun padakenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak

harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.

RATARATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL

Ratarata = n . p

Ragam 2 = n . p . q

n : ukuran populasi



Contoh Ratarata dan Ragam Distribusi Binomial :

Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20

q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80

maka : =5 x 0.20 = 1

2 =5 x 0.20 x 0.8 = 0.80

0.80= = 0.8944

Distribusi binomialDalamteori probabilitasdanstatistika,distribusi binomialadalah distribusi probabilitas

diskret jumlah keberhasilan dalam npercobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas,

dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga

disebutpercobaan bernoulli.Ketika n= 1, distribusi binomial adalahdistribusi bernoulli.

Distribusi binomial merupakan dasar dariuji binomialdalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah

sampel ndari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan

sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalahdistribusi hipergeometrik,

bukan binomial. Semakin besar Ndaripada n, distribusi binomial merupakan pendekatanyang baik dan banyak digunakan.
http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_probabilitashttp://id.wikipedia.org/wiki/Teori_probabilitashttp://id.wikipedia.org/wiki/Teori_probabilitashttp://id.wikipedia.org/wiki/Statistikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Statistikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Statistikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Percobaan_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Percobaan_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Percobaan_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_hipergeometrik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_hipergeometrik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_hipergeometrik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_hipergeometrik&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji_binomial&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribusi_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Percobaan_bernoulli&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Statistikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Teori_probabilitas


10/31

Contoh

Sebagai contoh, sebuahdadudilempar sepuluh kali dan dihitung berapa jumlah muncul

angka empat. Distribusi jumlah acak ini adalah distribusi binomial dengan n= 10 danp= 1/6.

Contoh lain, sebuahuang logamdilambungkan tiga kali dan dihitung berapa jumlah munculsisi depan. Distribusi jumlah acak ini merupakan distribusi binomial dengan n= 3 dan

p= 1/2.

Distribusi Binomial dan Poisson

Pembahasan1. Distribusi Binomial

A.Definisi Bistribusi Binomial

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu

proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam

perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi

gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi

label berhasil bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau gagal bila yang terambil

adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap

ulangan tetap sama,taitu sebasar ..(Ronald E. Walpole).

B. Syarat Distribusi Binomial

1. jumlah trial merupakan bilangan bulat Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin2

kali.

2. Setiap eksperiman mempunya idua outcome (hasil). Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan,

sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.

3. Peluang sukses sama setiap eksperimen.

Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah , pada

lambungan seterusnya juga . Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima,

maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu

peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga

dilambangkan q, di mana q = 1-p.

C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan

Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendakai,dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)
http://id.wikipedia.org/wiki/Daduhttp://id.wikipedia.org/wiki/Daduhttp://id.wikipedia.org/wiki/Daduhttp://id.wikipedia.org/wiki/Uang_logamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Uang_logamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Uang_logamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Uang_logamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Dadu


11/31

2. Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.

3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita

gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.

4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

D. Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian

pilihan ganda.

2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rumus Distribusi Binomial

b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,,n

n : banyaknya ulangan

x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x




1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani

perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke

Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan

kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara

yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :

a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.

b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas

c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas

Jawab :

a.X 2


b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau

b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768

b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960

b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480

+Maka hasil x 2 adalah = 0.94208


12/31

b.X 1


b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =

0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau

b(x 1; 5, 0.15) = 1 b(x = 0)

15C0 (0.15)0 (0.85)5

10.4437 = 0.5563

c.X = 2

b(2; 5, 0.25) = 0.2637

d.X 2 X 4


b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528

Analisis masingmasing point :

a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang

menyatakan sangat puas adalah sangat besar.

b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang


c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah

kecil (karena dibawah 50%).

d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat

dikatakan cukup besar.


A. Persentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar

ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut

menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

B. Nilai X

Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling

sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas .

Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya

ke Indonesia.

2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi

yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil

secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?

Jawab :


13/31

p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4

Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x

b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(42)

= 0,0975

Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan

rata rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil.

Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang

namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi

kerugian.


Ratarata = n . p

Ragam 2 = n . p . q

n : ukuran populasip : peluang berhasil dalam setiap ulangan


Contoh Ratarata dan Ragam Distribusi Binomial :

Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20

q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80

maka : = 5 x 0.20 = 12 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80= 0.80 = 0.8944.


A .Definisi Distribusi Poisson

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi

ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2,

3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk

peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam

situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan,

misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor.Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.


14/31

B. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk BinomialPendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan

probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi

dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh

kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil,jika n adalah 20atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini

rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Rumus pendekatannya adalah :

P ( x ; ) = e . X

X ! Dimana : e= 2.71828

= rataratakeberhasilan = n . px = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p= probabilitas kelas sukses

Contoh soal :1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika

probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datangadalah 0.01 maka

berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

2. Ratarata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman.

Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )

2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x 3) atau ( 0,1,2,3 )

3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,,15)

Jawab :

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; ) = e . X

X!

= 2.71828 2. 2 3= 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik : = 5

a. x = 0 P ( x ; ) = e . X

X!

P ( 0 ; 5 ) = 2.718285

. 50

= 0.00670!

b. x 3 ; P ( x ;) = e . X

X!

P (x 3 , 5) = P( x 1,) +.+p(x3,)

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; ) = e . X

X!P (X > 3 , 5) = P( X 4, ) +.+p(X15, )


15/31

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1[P ( X 3 , 5 ) ]

= 1[ P ( X 0, ) +.+ p (X3, ) ]

= 1[ P ( 0, 5 ) +.+p ( 3, 5 ) ]

= 1[ 0.2650 ]= 73.5 %

C. Rumus Proses PoissonDistribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai

ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita

tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan

ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam

interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Tingkat kedatangan ratarata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata rata untuk periode jam

adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu

pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata rata yaitu 36 kedatangan

setiap jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di

interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari

sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek,

semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu

kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari

satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Rumus proses poisson :

P ( x ) = e . t. ( . t ) x

X! Dimana := Tingkat ratarata kedatangan tiap unit waktut= Jumlah unit waktu

x= Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

Contoh soal :

Jika ratarata kedatangan = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t

= 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab :

Dik : = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit

waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e . t. ( . t )x

X!

P ( x ) = e 72 . ( 1/ 20 ). ( 72 . 1 / 20 ) 44!= 0.191 atau 19.1 %


16/31

Distribusi Poisson

Mengenai berapa banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval

waktu tertentu akan dipelajari pada Modul Distribusi Poisson. Ada banyak

persoalan-persoalan yang bisa diselesaikan dengan metode Distribusi Poisson.

Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random x (x

diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu

tertentu atau disuatu daerah tertentu (Hassan,2001). Distribusi Poisson disebut juga

distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D.Poisson (17811841),

seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis. Distribusi Poisson termasuk

distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit.

Jenis-jenis distribusi poisson

Ada beberapa jenis dari distrbusi poisson. Distribusi poisson terdiri dari

Probabilitas Poisson, Probabilitas Distribusi Poisson Kumulatif, dan Distribusi

Poisson sebagai Pendekatan Distribusi Binomial. Setiap jenis dari distribusi poisson

memilki karakter masing-masing berikut dengan metode dan fungsi yang berbeda.

Probabilitas Poisson satu peristiwa

Distribusi untuk satu peristiwa yang jarang terjadi didefinisikan sebagai

Probabilitas poisson satu peristiwa.Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi

Poisson dirumuskan sebagai berikut.

..(50)

Keterangan:

= rata-rata terjadinya suatu peristiwa.

e = bilangan alam = 2,71828.

P (x) =
http://thisisfirman.blogspot.com/2012/03/distribusi-poisson.htmlhttp://thisisfirman.blogspot.com/2012/03/distribusi-poisson.html


17/31

Rumus terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson dirumuskan

sebagai berikut.

..(51)

Keterangan:

= tingkat kedatangan rata-rata persatuan waktu.

t = banyaknya satuan waktu.

x = banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu.

2.4.2.2 Probabilitas Distribusi Poisson kumulatif

Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa poisson

lebih dari satu. Probabilitas poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus sebagai

berikut.

....(52)

(53)

Distribusi Poisson sebagai

pendekatan distribusi binomial dirumuskan sebagai berikut.

....(54)

keterangan:

np = rata-rata distribusi binomial.

Ciri-Ciri Distribusi Poisson

Penjelasan mengenai distribusi poisson, baik dari pengertian, dan jenis-jenis,

melahirkan beberapa ciri yang dimiliki oleh distribusi poisson. Distribusi Poisson

memiliki ciri-ciri sebagai berikut (Hassan,2001).

P (x) =

PPK =

PPK =

= P(x =0)+P(x=1)+P(x = 2 + +P(x =

n)

P(x) =


18/31

1) Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.

2) Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat

atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau

besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan

yang terjadi diluar interval waktu atau daerah tersebut.

3) Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang

singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

Rata-rata, varians, dan Simpangan Baku Distribusi Poisson

1) Rata-rata

Untuk mencari nilai rata-rata pada distribusi poisson digunakan rumus sebagai

berikut (Hasan,2001).

....(55)

2)

Varians

Untuk mencari nilai varians pada distribusi poisson digunakan rumus sebagai

berikut (Hasan,2001).

....(56)

3) Simpangan baku

Untuk mencari nilai simpangan baku pada distribusi poisson digunakan rumus

sebagai berikut (Hasan,2001).

....(57)

Sebaran Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak x, yaitu

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau

disuatu daerah tertentu, sering disebut percobaan Poisson. Selang waktu tersebut

E(x) = = = n . p

E(x -)2= 2= n . p

= =


19/31

dapat berapa saja panjangnya, misalnya satu menit, satu hari, satu minggu, satu

bulan atau bahkan satu tahun (Wallpole,1995).

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1) Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2) Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat

sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu

atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil

percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.

3) Peluang lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang

singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

referensi:

Dajan, Anto. 1972. Pengantar Metode Statistika I. Jakarta: LP3ES.

Hasan, M.Iqbal. 2001. Pokok-pokok Materi Statistika 1. Jakarta: Bumi Aksara.

Walpole, Ronald E dan Myers, Raymond H. 1995. Ilmu peluang dan Statistik

untuk Insiyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB.

Sudjana. 1995.Metode Statistik. Bandung: Tarsito.

Sulistiyono. 2006.Matematika SMA dan MA untuk kelas XII Semester 2. Jakarta:

Esis erlangga.

Wirodikromo, Sartono. 1997.Matematika untuk SMA jilid 4 kelas XI.Jakarta:

Erlangga.

MODUL DISTRIBUSI POISSON

1. Pendahuluan


20/31

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D.

Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit

acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah

rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapatdigunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah

kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank

pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas

menurut satuan waktu.

Rumus Pendekatan Peluang Poissonuntuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk

mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan

Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p)

sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n

cukup besar dan p cukup kecil,jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p

adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih

mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.


P ( x ; ) = e . X

X ! Dimana : e= 2.71828

= rataratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel



21/31


Contoh soal :

1.

Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luarnegeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan

datangadalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak

datang.

2. Ratarata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik perhalaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x 3) atau ( 0,1,2,3 )3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,,15)

Jawab :

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, = n . p = 200 . 0.01 = 2P ( x ; ) = e . X

X!

= 2.71828 2. 2 3= 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik : = 5

a. x = 0 P ( x ; ) = e . X


22/31

X!

P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 5. 5 0= 0.0067

0!

b. x 3 ; P ( x ; ) = e . X

X!

P (x 3 , 5) = P( x 1, ) +.+p(x3, )

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; ) = e . X

X!

P (X > 3 , 5) = P( X 4, ) +.+p(X 15, )

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1[P ( X 3 , 5 ) ]

= 1[ P ( X 0, ) +.+ p (X 3, ) ]

= 1[ P ( 0, 5 ) +.+p ( 3, 5 ) ]

= 1[ 0.2650 ]

= 73.5 %


23/31

Rumus Proses Poisson

Distribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi.

Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk padasuatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama

jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval

waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya

mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Tingkat kedatangan ratarata setiap unit waktu adalah konstant.Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan ratarata

untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat

ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang

dapat dirubah kepada ratarata yaitu 36 kedatangan setiap jam atau 1.2

kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apayang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat

berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya

adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalaminterval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah

probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti

bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat

melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.


P ( x ) = e . t. ( . t ) x

X! Dimana := Tingkat ratarata kedatangan tiap unit waktu


24/31

t= Jumlah unit waktu


Contoh soal :

Jika ratarata kedatangan = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4

kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab :

Dik : = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit

adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t

= 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e . t. ( . t ) x

X!

P ( x ) = e 72 . ( 1/ 20 ). ( 72 . 1 / 20 ) 4

4!

= 0.191 atau 19.1 %


25/31

Distribusi Binomial dan Poisson

Pembahasan

1. Distribusi BinomialA.Definisi Bistribusi Binomial

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu

proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam

perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi

gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi

label berhasil bila kartuyang terambil adalah kartu merah atau gagal bila yang terambil

adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap

ulangan tetap sama,taitu sebasar ..(Ronald E. Walpole).

B. Syarat Distribusi Binomial

1. jumlah trial merupakan bilangan bulat Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin2

kali.2. Setiap eksperiman mempunya idua outcome (hasil). Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan,

sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.

3. Peluang sukses sama setiap eksperimen.

Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah , pada

lambungan seterusnya juga . Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima,

maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu

peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga

dilambangkan q, di mana q = 1-p.

C. Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan

Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendakai,

dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)

2. Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.

3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita

gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.

4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

D. Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian

pilihan ganda.

2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.
http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/


26/31

3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rumus Distribusi Binomial

b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,,n

n : banyaknya ulanganx : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x




1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani

perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke

Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan

kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara

yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.

b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas

c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas

Jawab :

a.X 2


b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =

0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau

b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768

b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960

b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480

+Maka hasil x 2 adalah = 0.94208

b.X 1


b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =

0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau

b(x 1; 5, 0.15) = 1 b(x = 0)

15C0 (0.15)0 (0.85)5

10.4437 = 0.5563

c.X = 2

b(2; 5, 0.25) = 0.2637


27/31

d.X 2 X 4


b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528Analisis masingmasing point :

a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang

menyatakan sangat puas adalah sangat besar.

b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang


c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah

kecil (karena dibawah 50%).

d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat

dikatakan cukup besar.


A. Persentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar

ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut

menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

B. Nilai X

Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling

sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas .

Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya

ke Indonesia.

2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi

yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil

secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?

Jawab :

p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4

Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-xb (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(42)

= 0,0975

Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan

rata rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil.

Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang

namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi

kerugian.


Ratarata = n . p


28/31

Ragam 2 = n . p. q

n : ukuran populasi



Contoh Ratarata dan Ragam Distribusi Binomial :Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20

q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80

maka : = 5 x 0.20 = 12 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80= 0.80 = 0.8944.


A .Definisi Distribusi Poisson

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi

ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2,

3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk

peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam

situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan,misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor.

Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

B. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk BinomialPendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan

probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi

dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh

kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil,jika n adalah 20

atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini

rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.


P ( x ; ) = e . X

X ! Dimana : e= 2.71828

= rataratakeberhasilan = n . px = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel



Contoh soal :
http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/http://intanlailiyah98.blogspot.com/


29/31

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika

probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datangadalah 0.01 maka

berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

2. Ratarata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman.

Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :

1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x 3) atau ( 0,1,2,3 )

3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,,15)

Jawab :

1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; ) = e . X

X!

= 2.71828 2. 2 3= 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik : = 5a. x = 0 P ( x ; ) = e . X

X!

P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 5. 5 0= 0.0067

0!

b. x 3 ; P ( x ;) = e . X

X!

P (x 3 , 5) = P( x 1,) +.+p(x3,)

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; ) = e . X

X!

P (X > 3 , 5) = P( X 4, ) +.+p(X15, )

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1[P ( X 3 , 5 ) ]

= 1[ P ( X 0, ) +.+ p (X3, ) ]

= 1[ P ( 0, 5 ) +.+p ( 3, 5 ) ]

= 1[ 0.2650 ]= 73.5 %

C. Rumus Proses PoissonDistribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai

ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita

tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan


30/31

ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam

interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Tingkat kedatangan ratarata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata rata untuk periode jam

adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktupada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata rata yaitu 36 kedatangan

setiap jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di

interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari

sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek,

semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu

kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari

satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.


P ( x ) = e . t. ( . t ) x

X! Dimana := Tingkat ratarata kedatangan tiap unit waktut= Jumlah unit waktu


Contoh soal :

Jika ratarata kedatangan = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t

= 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab :

Dik : = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit

waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e . t. ( . t )x

X!

P ( x ) = e 72 . ( 1/ 20 ). ( 72 . 1 / 20 ) 4

4!= 0.191 atau 19.1 %


31/31

Documents

Distrbusi Variabel Acak