Diskretni Sustavi Upravljanja - Pitanja i Odgovori Za Usmeni Ispit

Pitanja i odgovori za usmeni ispit iz kolegija Diskretni sustavi upravljanja

Diskretni sustavi upravljanja - pitanja i odgovori za usmeni ispit

2

1. Što su signali

Signale je moguće definirati kao funkcije koje nose informaciju. Matematički, signale je moguće

prikazati funkcijama jedne ili više nezavisnih varijabli.

2. Ovisno o načinu prijenosa i obrade unutar sustava automatskog upravljanja, signali mogu biti:

o Kontinuirane

Signali kontinuirani po vremenu, kod kojih je nezavisna varijabla (vrijeme t) kontinuirana

veličina, dok amplituda (zavisna varijabla) može biti kontinuirana (analogni signal - slika a) ili

diskretna veličina (kvantizirani signal - slika b),

o Diskretne

Signali diskretni po vremenu, kod kojih je nezavisna varijabla (vrijeme t) diskretna veličina a

zavisna varijabla (amplituda) diskretna veličina (diskretni signal - slika c) ili kvantizirana veličina

(digitalni signal - slika d).

o Hibridne

Hibridni sustav je sustav kod kojega postoje i kontinuirani i diskretni signali npr. sustavi

automatskog upravljanja koji su voĎeni digitalnim računalom. Za takve sustave, umjesto hibridni,

uobičajeno se koristi naziv digitalni sustavi upravljanja.

3. Razlika izmeĎu kontinuiranog i diskretnog signala.

Razlika izmeĎu kontinuiranog i diskretnog signala je u tome što iznosi koje amplituda diskretnog

signala može poprimiti nisu kontinuirani kao kod analognog signala ili kvantizirani kao kod

digitalnog signala. U slučaju kada je perioda uzorkovanja vrlo mala, gubi se u tome smislu

razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala.

4. Razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog signala.

Razlika diskretnog i digitalnog signala je u tome što iznosi koje amplituda diskretnog signala

može poprimiti nisu kvantizirani, kao što je slučaj kod digitalnog signala. U slučaju kada je

perioda uzorkovanja vrlo mala, gubi se u tome smislu razlika izmeĎu diskretnog i digitalnog

signala.


3

5. Što je diskretizacija

Diskretizacija (eng. discretization) je pojam koji označava zamjenu kontinuiranog signala s

njegovim diskretnim iznosima. Diskretizirani signal moguće je prikazati kao:

6. Što je uzorkovanje

Uzorkovanje (eng. sampling) predstavlja diskretiziranje po vremenu, te govorimo o vremenskoj

diskretizaciji ili uzorkovanju po vremenu - slika. Prema tome, uzorkovanje je vremenski ovisan

postupak, dok diskretizacija i ne mora biti vremenski ovisna.

7. Što je kvantizacija

Kvantizacija (eng. quantization) je proces zaokruženja ili ograničavanja amplitude signala na

jedan iznos iz konačnog skupa iznosa. Kvantiziranje predstavlja diskretizaciju signala po razini

(amplitudi) - slika

Uzorkovanje (diskretiziranje po vremenu) kontinuiranog signala daje diskretni

signal

Kvantiziranje (diskretizacija po amplitudi)


4

8. Što je digitalizacija

Digitalizacija (eng. digitization) je pojam koji označava zamjenu kontinuiranog signala sa

signalom kod kojega se obavlja diskretiziranje signala po vremenu (uzorkovanje) i diskretiziranje

po razini (kvantiziranje) - slika. Pod pojmom digitalizacije često se susreće diskretizacija po dva

ili više različitih parametara signala. To i ne mora biti vrijeme, te npr. imamo digitalizacija slike,

digitalizacija zvuka itd.

9. Kako se realiziraju diskretni sustavi

Diskretni sustavi realiziraju se diskretiziranjem signala po vremenu (uzorkovanje), amplitudi

(kvantiziranje) ili po vremenu i amplitudi (digitaliziranje).

Pod diskretnim sustavom automatskog upravljanja razumijeva se sustav s barem jednim

elementom koji obavlja diskretiziranje kontinuiranog signala.

10. Diskretni sustavi mogu se prema načinu diskretizacije podijeliti na

o impulsne sustave kod kojih se diskretiziranje obavlja po vremenu - uzorkovani sustavi

o relejne sustave kod kojih se diskretiziranje obavlja po razini (amplitudi) – kvantizirani sustavi

o digitalne sustave kod kojih se diskretiziranje obavlja po vremenu i amplitudi – digitali zirani

sustavi

11. Linearnu teoriju sustava može se primijeniti na digitalne sustave upravljanja ako je digitalizacija

obavljena uz:

Samo na impulsne sustave moguće je primijeniti linearnu teoriju sustava. Za relejne i digitalne

sustave vrijedi nelinearna teorija sustava. U sustavima automatskog upravljanja od interesa

nam je diskretizacija po vremenu.

Digitalizacija (diskretizacija po vremenu i

amplitudi)


5

12. Diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje), moguće je obavljati:

o periodički s jednom frekvencijom uzorkovanja (eng. uniforrn rate sampling) ili ako se

uzorkuje više od jednog signala s dvije i više frekvencije uzorkovanja (za svaki signal

njegova frekvencija uzorkovanja - slika c1 i c2),

o neperiodički (s preskočenim uzimanjem uzorka (eng. skip sampling) s promjenjivom

učestalošću uzorkovanja (eng. variable sampling), stohastički kada je uzimanje uzoraka

potpuno stohastičko).

13. Objasniti periodičko i neperiodičko uzorkovanje

Kod periodičkog uzorkovanja uzorci kontinuiranog signala uzimaju se u pravilnim vremenskim

razmacima (slika a).

Perioda uzorkovanja (T) je vrijeme izmeĎu uzimanja uzoraka.

Frekvencija uzorkovanja ( ) predstavlja broj uzimanja uzoraka u jedinici vremena. Često se

umjesto frekvencije uzorkovanja koristi kružna frekvencija uzorkovanja

[rad/s], koja se skraćeno takoĎer zove frekvencija uzorkovanja.

Neperiodičko uzorkovanje s preskočenim uzimanjem uzorka je ono pri kojem se uzorci

kontinuiranog signala ne uzimaju u pravilnim vremenskim razmacima. Na primjer, nakon dva

uzimanja uzorka u razmaku od T, čeka se 6T, te se ponovno u razmaku od T uzimaju dva

uzorka (slika b).

Kod stohastičkog uzorkovanja uzimanje uzoraka kontinuiranog signala obavlja se u slučajno

odabranim trenucima.

14. Kako se ostvaruje diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje)

Diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje), ostvaruje se modulacijom signala.

Diskretni element (DE) - ureĎaj koji kontinuirane signale pretvara u slijed impulsa. Diskretni

element je modulator kojim se obavlja uzorkovanje kontinuiranog signala. Uzorkovanje je proces

pomoću kojega se kontinuirani signal mjeri ili predstavlja svojim vrijednostima u odvojenim

fiksiranim trenucima. Ako je uzimanje uzoraka dovoljno često, može se pokazati daje

diskretizirani signal ekvivalentan kontinuiranom signalu y(t).


6

15. Navesti i pojasniti najčešće modulacije signala

Diskretiziranje po vremenu (uzorkovanje), ostvaruje se modulacijom signala. Najčešće su u

upotrebi:

o amplitudno-impulsna modulacija (AIM)

o širinsko-impulsna modulacija (ŠIM)

o vremensko-impulsna modulacija (VIM).

Kod amplitudno-impulsne modulacije visina impulsa proporcionalna je amplitudi kontinuiranog

signala (slika a).

Kod širinsko-impulsne modulacije trajanje impulsa (τ) proporcionalno je amplitudi kontinuiranog

signala, a visina i perioda ponavljanja impulsa su konstantni (slika b).

Vremensko-impulsna modulacija je takva vrsta modulacije kod koje su širina i amplituda impulsa

konstantni, a perioda ponavljanja impulsa se smanjuje proporcionalno s povećanjem amplitude

kontinuiranog signala (slika c). Takva vremensko-impulsna modulacija zove se još i

frekvencijsko-impulsna modulacija, za razliku od fazno-impulsne modulacije koja takoĎer spada

u grupu vremensko-impulsnih modulacija

Linearni diskretni sustavi su sustavi s amplitudno-impulsnim modulatorom (diskretnim

elementom), te linearnim kontinuiranim dijelom

16. Navesti po jedan primjer diskretnog sustava:biološki, tehnički, ekonomski

o biološki - neuroni u mozgu, vožnja automobila, ...

o tehnički – sonar, radar, sustavi za navigaciju, NC sustav, ...

o ekonomski – bankarski izvještaji, podaci za popis stanovništva, ...

17. Objasniti diskretni element

Amplitudno-impulsna modulacija ostvaruje se u diskretnom elementu, ureĎaju koji pretvara

kontinuirani signal u niz uskih impulsa koji se pojavljuju u trenucima t = kT. Na slici dana je

blok-shema diskretnog elementa, te ulazni i izlazni signal tog ureĎaja.

Diskretni element propušta signal s ulaza na izlaz samo u kratkom intervalu vremena τ, dok u

ostalom dijelu periode diskretizacije nema prolaza signala kroz diskretni element. Vrijeme

prolaska signala τ, vrlo je kratko u usporedbi s periodom diskretizacije T.


7

18. Diskretni element kao modulator

Uzorkovanje se može shvatiti kao proces modulacije koji pretvara kontinuirani signal u niz

impulsa, amplitude jednake amplitudi kontinuiranog signala u pripadnim trenucima. Diskretni

element je prema tome modulator kojemu je ulazni signal, - signal modulacije, a niz

jediničnih impulsa, - nositelj modulacije (slika ).

19. Kako se dobije izlazni signal modulatora

20. Pojasniti ponašanje funkcije

Funkcija ima važnu ulogu u procesu diskretizacije. Poznavanje karakteristika te funkcije

bitno je za analizu ponašanja diskretnog elementa i diskretnih sustava. Budući daje funkcija

periodička funkcija, istu se može prikazati u obliku Fourierovog reda

gdje su Fourierovi koeficijenti dani izrazom:

Funkcija unutar periode diskretizacije opisana je izrazom

(20.3)

Iz (20.2) i (20.3) proizlazi:

odnosno


8

za k=0

Iz (20.5) i (20.1) proizlazi:

Jednadžba (20.7) pokazuje da jedinična impulsna funkcija u sebi sadrži jednu istosmjernu

komponentu , kao i beskonačan broj harmonika s opadajućom amplitudom. Amplituda -tog

harmonika jednaka je:

Ona brzo opada s povećanjem " ".

Na osnovi izraza (20.7) može se zaključiti da diskretni element prenosi originalni signal, ali takoĎer

i generira više harmonike dobivene procesom uzorkovanja. Posljedice uzorkovanja mogu se

takoĎer pokazati usporedbom frekvencijskog spektra originalnog signala i uzorkovanog signala.

Jednadžba daje odnos uzorkovanog signala ( ) i kontinuiranog -

originalnog signala ( ). Ako se u jednadžbu uvrsti jednadžba (20.7) dobit

će se izraz:

Najjednostavniji način ispitivanja spektra sastoji se u pretpostavci da originalni signal sadrži

samo jednu frekvencijsku komponentu. Takav signal opisuje se npr. funkcijom:

21. Pojasniti frekvencijski spektar neke funkcije

Frekvencijski spektar neke funkcije prikaz je raspodjele amplituda i faza, komponenata te

funkcije, na odreĎenim frekvencijama.

22. Što prikazuje frekvencijski spektar periodičke funkcije

Spektar periodičke funkcije je krivulja koja pokazuje amplitude sinusoidalnih komponenata u toj

funkciji na pripadnim frekvencijama.


9

23. Amplitudno-frekvencijski spektar za signal koji sadrži samo jednu frekvencijsku komponentu

Amplitudno-frekvencijski spektar originalnog signala danog jednadžbom (20.10), sastoji se od

dviju vertikalnih linija (ako uzmemo u obzir i negativne frekvencije), na frekvencijama ,

duljine jednake amplitudi signala na tim frekvencijama (slika ).

24. Diskretni frekvencijski spektri

Diskretni frekvencijski spektri često se zovu i linijski (slika), jer su sastavljeni od okomitih linija

na odreĎenim frekvencijama. Energija periodičkog signala proporcionalna je duljini linije na

frekvenciji signala. Frekvencijski spektar periodičkog signala, koji opisuje amplitudu i fazu

frekvencijskih komponenata signala, daje prikladan pregled informacije koja je sadržana u

signalu

25. Spektar uzorkovanog monoharmoničnog signala

Slika u predhodnom pitanju.

26. Spektar kontinuiranog signala s m harmoničkih komponenti

U slučaju kada se originalni signal sastoji od frekvencijskih komponenata u području

frekvencija izmeĎu 0 i [1/s], amplitudni frekvencijski spektar sastojat će se od okomitih

linija, kao stoje prikazano na slici . Duljina pojedine linije jednaka je amplitudi pripadne

frekvencijske komponente.

Spektar monoharmoničkog signala

Spektar uzorkovanog monoharmoničkog

signala


10

27. Spektar uzorkovanog signala s m harmoničkih komponenti

Na isti način kao u slučaju s jednom frekvencijskom komponentom, može se pokazati da će

amplitudno-frekvencijski spektar diskretnog signala sadržavati ne samo prigušene komponente

originalnog signala, već i komponente originalnog signala pomaknute za ., (slika)

28. Spektar kontinuiranog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata

Ako originalni signal sadrži beskonačan broj frekvencijskih komponenata unutar frekvencijskog

područja 0 − [1/s], tada se spektar može prikazati kontinuiranom krivuljom (slika )

29. Spektar uzorkovanog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata

Signal koji sadrži beskonačan broj komponenata može se smatrati neperiodičkim, a to znači da

se frekvencijski spektar takvog signala može odrediti iz frekvencijskog prikaza njegove

Fourierove transformacije. Ovaj prikaz je kontinuirana funkcija frekvencije. Spektralna funkcija

diskretiziranog signala dana je Fourierovim integralom jednadžbe (20.10)

Spektar uzorkovanog signala s harmoničnih

komponenti

Spektar kontinuiranog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata

Spektar uzorkovanog signala s beskonačnim brojem frekvencijskih komponenata


11

30. Utjecaj diskretnog elementa na signal

o proširuje spektar originalnog signala na čitavo frekvencijsko područje, unoseći u uzorkovani

signal komplementarne spektre na , (k = 1, 2,...)

o prigušuje originalni signal (gušenje se povećava s povećanjem frekvencije)

o umanjuje energetski sadržaj originalnog signala, jer uzorkovani signal ima

Proširenje spektra nepovoljno djeluje na prijenos signala. Naime, na izlazu sustava automatskog

upravljanja pojavljuju se nepoželjne oscilacije malih amplituda, što daje isti efekt kao da na

sustav djeluje šum. Te oscilacije rezultat su prolaza visokofrekvencijskih komponenata

uzorkovanog signala kroz preostali dio sustava (koji je u većini slučajeva niskofrekvencijski

filter).

Diskretni element koristi se u sustavima automatskog upravljanja, a njegov izlazni signal

može se koristiti za upravljanje. MeĎutim, njegova slaba energija to onemogućava. Kada ,

tada je površina ispod impulsa jednaka amplitudi kontinuiranog signala, a to znači da impulsi

nose samo informaciju o kontinuiranom signalu u trenucima uzimanja uzoraka

31. Element za formiranje

Diskretni element koristi se u sustavima automatskog upravljanja, a njegov izlazni signal

može se koristiti za upravljanje. MeĎutim, njegova slaba energija to onemogućava. Kada ,

tada je površina ispod impulsa jednaka amplitudi kontinuiranog signala, a to znači da impulsi

nose samo informaciju o kontinuiranom signalu u trenucima uzimanja uzoraka.

Diskretni element se u sustavima automatskog upravljanja, zbog navedenih razloga, mora

proširiti s ureĎajem koji će restaurirati originalni signal iz uzorkovanog signala. To drugim

riječima znači da će taj ureĎaj filtrirati visokofrekvencijske komponente u uzorkovanom signalu,

dajući ujedno dovoljnu energetsku razinu dobivenom signalu. Takav ureĎaj zove se element za

formiranje (slika )

Općenito, element za formiranje može na svom izlazu dati bilo kakav oblik signala. Na slici

prikazan je pravokutni oblik signala. Element za formiranje je demodulator, a najčešća vrsta

demodulatora koji se pojavljuju u sustavima automatskog upravljanja su oni kod kojih je

memoriranje signala protegnuto na čitav period uzorkovanja. Takvi elementi ekstrapoliraju

(interpoliraju) signal izmeĎu dva susjedna uzimanja uzoraka s konstantom jednakom iznosu

signala u prethodnom uzorku i imaju naziv ekstrapolatori nultog reda (ZOH elementi, eng. Zero

Order Hold), odnosno elementi sa zadrškom nultog reda.

Diskretni element i element za formiranje


12

32. Idealni diskretni element zove se

Impulsni element.

33. Razlika diskretni element-impulsni element

Impulsni element razlikuje se od diskretnog elementa u tome što nema inerciju, tj. kod njega je

. On za razliku od diskretnog elementa ne smanjuje amplitude originalnog spektra s

povećanjem frekvencije.

34. Različito označavanje impulsnog elementa u blok shemama

35. Da li je izlazni signal iz impulsnog elementa primjenjiv za upravljanje fizikalnog sustava i zašto

S energetskog stajališta širina impulsa proporcionalna je energiji koju impuls nosi. U graničnom

slučaju, kada trajanje impulsa teži nuli, izlazni signal iz impulsnog elementa ne sadrži energiju

već samo informaciju, tj. nije primjenjiv za upravljanje fizikalnog sustava. Da bi se neki proces

pokrenuo nužno je da signal koji ga pobuĎuje ima pored informacijskog i energetski sadržaj. To

znači da će se iza impulsnog elementa, a prije aktuatora morati u sustavu upravljanja ugraditi

sklop kojim će se rekonstruirati energetski sadržaj signala - rekonstruktor odnosno element za

formiranje.

36. δ funkcija

Fizikalno, δ funkcija odgovara impulsu beskonačne amplitude i beskonačno male širine s

površinom impulsa jednakoj 1.

37. Impulsni element može se promatrati kao modulator koje funkcije

Impulsni element moguće je promatrati kao modulator δ funkcije (slika), jer je izlazni signal

niz moduliranih δ funkcija.

Idealni diskretni element i ekstrapolator nultog reda (ZOH)

Idealizirani diskretni element kao impulsni modulator


13

38. Objasniti rekonstruktor

Element za formiranje (rekonstruktor) je sklop koji rekonstruira kontinuirani signal (s ulaza

impulsnog elementa) iz uzorkovanog signala (na izlazu impulsnog elementa) (slika)

39. U sustav upravljanja koji sadrži i impulsni element i aktuator, rekonstruktor se ugraĎuje:

U sustav upravljanja koji sadrži i impulsni element i aktuator, rekonstruktor se ugraĎuje iza

impulsnog elementa, a prije aktuatora jer se mora rekonstruirati energetski sadržaj signala.

40. Što predstavlja funkcija

Funkcija je idealna funkcija diskretiziranja predstavljena nizom jediničnih impulsa (slika b),

odnosno „nositelj― modulacije.


Funkcija je zakašnjela impulsna funkcija koja se pojavljuje u trenutku .


je izlazni signal impulsnog modulatora.



14

43. Kako se formira signal

Signal formira se množenjem i

44. Laplaceova transformacija signala

Primjenom Laplaceove transformacije na izlazni signal impulsnog elementa

proizlazi diskretna Laplaceova trasformacija:

odnosno

Gornji izraz pokazuje da je Laplaceova transformacija signala periodička funkcija s

periodom . Općenito se može ustvrditi da periodička kontinuirana vremenska funkcija ima

diskretne frekvencijske spektre, a diskretna vremenska funkcija, dobivena periodičkim

diskretiziranjem, ima periodičke frekvencijske spektre. Poznavanje frekvencijskog spektra u

osnovi je ekvivalentno poznavanju vremenske funkcije.

45. Da li impulsni element sadrži inerciju

Za razliku od diskretnog elementa, impulsni element ne sadrži inerciju, pa zbog toga ne

povećava gušenje s povećanjem frekvencije.

46. Da li impulsni element povećava gušenje s povećanjem frekvencije

Ne, jer ne sadrži inerciju.

47. Spektar ulaznog (kontinuiranog) i izlaznog signala impulsnog elementa

Spektar ulaznog a) i izlaznog

signala impulsnog elementa b)


15

48. Slika prikazuje spektar originalnog signala:

Skicirati spektar

49. Slika prikazuje spektar originalnog signala:

Skicirati spektar

50. Za spektar uzorkovanog signala

Prikazati restauraciju originalnog spektra iz uzorkovanog signala


16

51. Uključivanje impulsnog elementa u regulacijski krug ima za posljedicu:

o deformaciju kontinuiranog signala, tj. gubitak jednog dijela korisne informacije sadržane u

kontinuiranom signalu

o generiranje visokofrekvencijskih komponenata u diskretnom signalu

o proširenje spektra na čitavo frekvencijsko područje zbog pomicanja originalnog spektra za

( ,...)- učinak šuma

o omogućuje "time sharing"

o gubitak energetske razine kontinuiranog signala

52. Kako često treba uzimati uzorke da bi uzorkovani signal bio ekvivalentan kontinuiranom

Teorem (Impulsni teorem). Ako je srednja frekvencija uzorkovanja ( ) veća od dvostruke

najviše frekvencije u kontinuiranom signalu ( ), uzorkovani signal potpuno će vjerno prenositi

svojstva kontinuiranog signala.

53. Objasniti kako se istovremeno jednim kabelom može prenijeti više signala

Tako da se uzimaju uzorci u različitim vremenskim trenucima.

54. Što je element za formiranje (rekonstruktor)

Element za formiranje (rekonstruktor) je sklop koji rekonstruira kontinuirani signal (s ulaza

impulsnog elementa) iz uzorkovanog signala (na izlazu impulsnog elementa) (slika)

55. Frekvencijska karakteristika elementa za formiranje

Frekvencijska karakteristika elementa

za formiranje mora prema tome imati

oblik nisko-frekvencijskog filtera, kako

bi se odstranile neželjene

visokofrekvencijske komponente,

(slika)



17

56. Ekstrapolator nultog reda - skicirati signal na ulazu i izlazu

Kada se element za formiranje projektira tako da u intervalu izmeĎu dva uzimanja uzorka

funkciju aproksimira s polinomom nultog reda, tj.konstantom jednakoj vrijednosti funkcije na

početku intervala,

tada se takav element zove ekstrapolator nultog reda odnosno sklop sa zadrškom nultog reda

(ZOH element). Na slici prikazan je izlazni signal ZOH elementa (eng. Zero Order Hold)

57. Ekstrapolator prvog reda-skicirati signal na ulazu i izlazu

Ako element za formiranje aproksimira kontinuiranu funkciju polinomom prvog reda u intervalu

izmeĎu dva uzimanja uzorka

tada se takav element zove ekstrapolator prvog reda odnosno element sa zadrškom prvog reda

(FOH element). Na slici se prikazanje oblik izlaznog signala ekstrapolatora prvog reda (eng. First

Order Hold).

58. Ekstrapolator drugog reda – koliko podataka o funkciji treba za aproksimaciju funkcije u

Za ekstrapolator drugog reda potrebna su tri podatka o funkciji u trenutku i u dva

prethodna trenutka .


18

59. Ekstrapolatori višeg reda – koliko podataka o funkciji treba za aproksimaciju funkcije u

Za odreĎivanje derivacije funkcije u nekoj točci potrebno je to više podataka, što je veći red

derivacije koja se traži. Ekstrapolatori višeg reda točnije aproksimiraju kontinuirani signal,

nepovoljno utječu na stabilnost, jer unose u sustav veće kašnjenje i učinkovitije filtriraju

visokofrekvencijske komponente sadržane u uzorkovanom signalu. Pri projektiranju

ekstrapolatora treba imati na umu dva kontradiktorna zahtjeva, a to su dozvoljene količine

visokofrekvencijskih komponenti u izlaznom signalu ekstrapolatora, te potrebna stabilnost, tj.

dinamička svojstva sustava. Rješenje je očito u kompromisu meĎu tim zahtjevima.

60. Najčešći ekstrapolatori

Zbog visokih troškova i konstrukcijskih problema koji se javljaju pri projektiranju ekstrapolatora

viših redova, kao i zbog faznih pomaka koje oni unose u sustav, najčešće se susreću

ekstrapolatori nultog reda a ponekad i ekstrapolatori prvog reda. Oni u praksi potpuno

zadovoljavaju, pogotovo kada su frekvencije diskretiziranja veće, što je skoro uvijek slučaj kod

sustava voĎenih digitalnim računalom.

61. Navesti primjer sklopa koji vrši funkciju ekstrapolatora nultog reda

D/A pretvornici koji se mogu naći na tržištu su ekstrapolatori nultog reda.

62. Da li idealni rekonstruktor može biti idealni ekstrapoplator nultog reda?

Ne, osim ako ne uzorkujemo po odsječcima konstantan signal s trajanjem odsječka jednakim

periodi uzorkovanja.

63. Amplitudno-frekvencijska karakteristika ekstrapolatora nultog reda

Na slici je vidljivo da se ovdje radi o niskofrekvencijskom filteru koji propušta niskofrekvencijske

osnovne komponente, a guši pomaknute visokofrekvencijske komponente dobivene

uzorkovanjem kontinuiranog signala.

Amplitudna a) i fazna frekvencijska karakteristika b) ZOH elementa


19

64. Fazno-frekvencijska karakteristika ekstrapolatora nultog reda

Na slici je dana frekvencijska karakteristika ekstrapolatora nultog reda podijeljena s periodom

uzorkovanja u polarnom koordinatnom sustavu.

65. Prednosti ZOH elementa

o jednostavnost izvedbe zbog čega je vrlo čest u praksi (A/D pretvornik)

o moguće gaje koristiti i kod neperiodičkog uzorkovanja

66. Nedostaci ZOH elementa

o točno rekonstruira samo stepeničaste signale koji su konstantni tijekom periode uzorkovanja

o za sve ostale signale rekonstrukcija daje pogrešku

o filtriranje VF komponenti je daleko od idealnog

o fazno zaostajanje na frekvencijama ( ,...) iznosi -180°, te destabilizira sustav.

Ekstrapolator nultog reda može se promatrati i kao sustav s usporenjem (slika pitanje 64.). Uz

pravilno odreĎen period uzorkovanja, prema vremenskim konstantama u sustavu, on može i

poboljšati stabilnost, pogotovo ako stabilizacija zahtijeva korekciju s faznim zaostajanjem

o smanjenje periode uzorkovanja T ima za posljedicu smanjenje pojačanja i povećanje propusnog

opsega tj. degradaciju VF filterskih sposobnosti ZOH elementa. Ako se želi dobiti idealna

rekonstrukcija (uz pretpostavku da nema preklapanja (aliasing) spektra), tada bi amplitudna

frekvencijska karakteristika unutar frekvencijskog intervala trebala biti

(vidi sliku pitanje 55):

a fazna:

Frekvencijska karakteristika ZOH elementa u polarnom prikazu


20

67. Ako signal ima ograničeni frekvencijski spektar, kakva bi trebala biti amplitudna frekvencijska

karakteristika za idealnu rekonstrukciju signala

68. Ako signal ima ograničeni frekvencijski spektar, kakva bi trebala biti fazno-frekvencijska

karakteristika za idealnu rekonstrukciju signala

69. Ako se signal frekvencije 1Hz i drugi signal frekvencije 5 Hz uzorkuje frekvencijom 4Hz, da li se

na temelju uzorkovanog signala mogu razlučiti uzorkovani originali?

Ne.

70. Ako se signal frekvencije 1Hz uzorkuje frekvencijom 4Hz, da li se prenosi oblik uzorkovanog

originala?

Ne. Za to je potrebno uzorkovati frekvencijom koja je 10 do 20 puta veća od najveće frekvencije

originalnog signala.

71. Ako se želi da uzorkovani signal ima što vjerniji oblik originalu, što treba napraviti s frekvencijom

uzorkovanja?

Ukoliko želimo da nam maksimalna pogreška kod rekonstrukcije amplitude bude unutar 1%

tada treba biti N≥300.

72. Izbor periode uzorkovanja temeljem pokazatelja otvorenog kruga

a) Diskretni sustav moguće je aproksimirati ekstrapolatorom nultog reda serijski povezanog s

procesom (slika).

Za male periode uzorkovanja, ZOH je moguće zamijeniti s kašnjenjem od jer je:

Ako dozvoljavamo da fazno osiguranje uslijed djelovanja ZOH bude pogoršano za najviše

5° do 15°, tada na frekvenciji presjeka treba vrijediti:

ZOH element u seriji s kontinuiranim dijelom sustava


21

odakle:

dok je Nyquistova frekvencija uz

odnosno frekvencija uzorkovanja u tom slučaju:

b) Druga mogućnost jest da se iz amplitudne frekvencijske karakteristike otvorenog

kontinuiranog dijela sustava (LAFK), odredi frekvencija , kod koje gušenje padne na

— . Preporuka je da se period uzorkovanja tada odredi prema:

S takvim izborom pogreška u realizaciji diskretiziranog sustava u odnosu na originalni

kontinuirani sustav ne premašuje posto.

73. Izbor periode uzorkovanja temeljem pokazatelja zatvorenog kruga

Postoji nekoliko preporuka za izbor periode uzorkovanja na temelju nekog od pokazatelja

kvalitete zatvorenog sustava upravljanja.

a) Budući da propusni opseg odnosno vrijeme porasta daju pokazatelj brzine odziva

zatvorenog sustava, to oboje mogu poslužiti kod izbora periode uzorkovanja. Tako je:

odnosno:

Ako se sa označi broj uzimanja uzoraka u vremenu porasta, tada će biti

Katkada je korisno opisati periodu uzorkovanja s bezdimenzijskom varijablom koja ima

dobru fizikalnu interpretaciju. Kod oscilatornih sustava takva varijabla je perioda oscilacija,

dok je kod neoscilatornih sustava to vrijeme porasta. Tako će npr. za sustave prvog reda

bez konačne nule vrijediti daje vrijeme porasta jednako vremenskoj konstanti sustava.

Kada je sustav npr. drugog reda (bez konačnih nula) i oscilatoran tada je

odnosno:

odakle slijedi:


22

Ako je . Gornje preporuke, da se uzorkuje sa

četiri do deset uzimanja uzoraka po vremenu porasta ili pak dvadesetak uzimanja uzoraka

po periodi pokazale su se u praksi najprihvatljivijima.

b) Ako se poznaje vrijeme smirivanja tada je preporuka da se za period diskretizacije

odabere deseti dio tog iznosa

Ako je najmanja vremenska konstanta sustava manja od tako dobivene periode

uzorkovanja , tada se preporučuje da se za periodu uzorkovanja

odabere:

Taj izbor predstavlja procjenu od koje treba poći pri izboru prave periode uzorkovanja, koju je

moguće odrediti naknadnim ispitivanjem sustava simulacijom. Ova preporuka dobra je za

spore sustave s velikom inercijom i pokazala se dobra za izbor integracijskog intervala kod

numeričke integracije u simulacijama na digitalnom računalu.

c) Treća mogućnost izbora periode uzorkovanja osniva se na frekvencijskom prikazu odziva

sustava na skokovitu pobudu. Ako se iz dobivene frekvencijske krivulje odredi

frekvencija kod koje je gušenje u sustavu veliko, na primjer

ili tada se temeljem te frekvencije perioda uzorkovanja može po

impulsnom teoremu odrediti kao:

d) Za pokretne objekte moguće je izbor periode uzorkovanja vezati uz brzinu kojom se kreću. Tako

je npr. za brodove preporučljivo odabrati za periodu uzorkovanja vrijeme koje je potrebno brodu

da prevali deseti dio svoje duljine

Navedene preporuke pri izboru perioda diskretiziranja su početni korak, koji uz naknadna

ispitivanja sustava (na primjer, simulacijom na računalu), mogu olakšati brže i točnije definiranje

odgovarajućeg perioda uzorkovanja . U praksi se pokazalo da je preporuka

najprihvatljivija i u većini slučajeva daje najbolju procjenu periode uzorkovanja.

U procesnoj industriji zbog sličnih procesa koje treba automatizirati, perioda uzorkovanja na neki

način je standardizirana i vezana je uz vrstu glavne fizikalne varijable koja se uzorkuje. Tako je

perioda uzorkovanja obično:

Fizikalna varijabla

Tok fluid

a

Razine

Tlakovi

Temperature

smjese

Perioda uzorkovanj

a [s] 1÷3 5÷10 1÷5 10÷20 10÷20

Komercijalni digitalni regulatori koji se koriste za nekoliko petlji imaju fiksirani period uzorkovanja

od oko 200 [ms]. U petljama s PI regulatorom uzorkuje se s 2 ÷ 6 uzoraka po vremenskoj konstanti,

dok se kod petlji s PID regulatorom uzorkuje s 5 ÷ 10 uzoraka po vremenskoj konstanti.

74. Kakvi su spektri sustava upravljanja

Spektri sustava upravljanja koji se uzorkuju nemaju ograničeni spektar, budući da je u

sustavima automatskog upravljanja preklapanje spektra (aliasing) neizbježno zbog toga će

svako uzorkovanje rezultirati šumom u uzorkovanom signalu.


23

75. Što je aliasing?

Preklapanje spektra.

76. Da li u signalima sustava automatskog upravljanja postoji aliasing?

Da.

77. U sustavima automatskog upravljanja prije uzorkovanja signal se mora kondicionirati-kako?

Takav se signal prethodno filtrira od šumova koji u njemu postoje. Filteri koji to obavljaju

nazivaju se pretfilteri odnosno antialiasingfilteri.

78. Kakvi su to antialiasing filteri?

Budući da su šumovi obično na visokim frekvencijama, antialiasing filteri moraju biti

niskopropusni filteri koji su ugoĎeni na Nyquistovu frekvenciju . Takav bi filter u

idealnom slučaju morao otkloniti sve komponente u signalu koje su više od . Ovi filteri imaju

stoga strmiju amplitudnu frekvencijsku karakteristiku iznad gornje granične frekvencije od

običnih NF filtera, koji se takoĎer koriste za kondicioniranje signala, kao što je npr. filter drugog

reda . Antialiasing filteri se projektiraju ovisno o frekvenciji

uzorkovanja, te za svaki signal koji se uzorkuje mora postojati jedan takav filter.

79. Da li se antialiasing filter stavlja prije ili poslije impulsnog elementa?

Prije (slika pitanje 77.).

80. Prije uzorkovanja iz signala treba izdvojiti poremećajne komponente-kako?

Prvenstveno se treba pozabaviti pravilnim izborom odgovarajućeg perioda uzorkovanja A/D

pretvornika i frekvencijama koje su prisutne u uzorkovanom signalu. Da bi se eliminirao aliasing

treba:

o Postaviti koristan propusni opseg mjerenja,

o Odabrati odgovarajući senzor s dovoljno propusnog opsega,

o Odabrati niskopropusni ili uskopropusni antialiasing analogni filter koji može eliminirati sve

komponente iznad ili izvan frekvencija u propusnom opsegu,

o Uzorkovati s frekvencijom koja je barem dvostruko veća od gornje granične frekvencije filtera.

Ili kraći odgovor:

Ovo se može obaviti s različitim filterima s propusnim opsegom ugoĎenim na frekvenciju

korisnog signala.


24

81. Nabrojiti barem dvije vrste filtera za izdvajanje korisnog signala

Buttenvorth, bessel, filter Chebvsheva, eliptički i drugi filteri.

Eliptički filteri postižu tražene zahtjeve s najmanjim redom filtera u odnosu na ostale.Amplitudna

frekvencijska karakteristika eliptičkog filtera je jednoliko valovita u propusnom i nepropusnom

području.

Buttenvorth filteri daju najbolju aproksimaciju Taylorovim redom idealnog niskopropusnog

filtera.Amplitudna frekvencijska karakteristika butterworth filtera je maksimalno ravna u propusnom i

monotona u ostalom području.

Analogni bessel filteri u svojem propusnom opsegu mogu najbolje sačuvati oblik originalnog signala,

jer im je grupno kašnjenje maksimalno ravno. Oni moraju biti najvišeg reda u odnosu na ostale, jer

im je prigušenje lošije.

Amplitudna karakteristika Chebishevljevog filtera I vrste je jednoliko valovita u propusnom i

monotona u nepropusnom području, dok je za filter II vrste obratno.

82. Primjenom Laplaceove transformacije na diskretnu funkciju proizlazi

diskretna Laplaceova transformacija. Napisati izraz za .

83. Kako se iz dobije

Tako da se u predhodnom izrazu u pitanju 82. zamjeni sa pa se dobije jednostrana

– transformacija.

84. Napisati jednostranu -transformaciju

85. Što je

(eng. Region of Convergence) predstavlja područje iznosa koje može poprimiti

kompleksna varijabla u – ravnini i za koje iznose će beskonaćan red konvergirati.

86. Definicija kompleksne varijable

U kompleksnoj ravnini gore navedeni izraz predstavlja kružnicu radijusa .


25

87. Da li više različitih kontinuiranih funkcija može imati istu -transformaciju?

Da. Ako se želi dobiti jednoznačan odgovor o originalu , tada se mora poznavati , jer

se može dogoditi da dvije potpuno različite sekvence imaju istu – transformaciju. Pored

jednostrane – transformacije postoji i dvostrana dana sa:

88. Skicirati desnu jediničnu skokovitu sekvencu

Kao što se vidi, je područje izvan jedinične kružnice. Ovaj rezultat moguće je loopćiti i

reći da sve desne sekvence imaju izvan kružnice čiji radijus definira najudaljeniji pol od

ishodišta, jer ne smije sadržavati polove funkcije.

89. Skicirati lijevu jediničnu skokovitu sekvencu

Kada god je u unutrašnjosti kružnice čiji radijusje definiran polom, tada je sekvenca lijeva

Kao što se vidi, dvije potpuno različite sekvence desna i lijeva jedinična skokovita sekvenca

imaju iste - transformacije. Jedino što ih razlikuje i po čemu se može zaključiti o kojoj je

sekvenci riječ je njihov .

Desna jedinična skokovita skvenca desne skokovite sekvence je izvan kružnice

Lijeva jedinična skokovita sekvenca lijeve skokovite sekvence je unutar kružnice


26

90. Skicirati konvergirajuću desnu sekvencu

91. Skicirati divergirajuću desnu sekvencu

92. Za desne sekvence -transformacija konvergira ako sadrži ..

Za desne sekvence -transformacija konvergira ako sadržiu sebi jediničnu kružnicu (slika

a), ako to nije slučaj (slika b) obje transformacije divergiraju. Pol mora biti unutar jedinične

kružnice za stabilnost sekvence!

93. Da li -transformacija daje odgovor o ponašanju funkcije izmeĎu trenutaka uzorkovanja

Ne. -transformacija daje vrijednost funkcije samo u trenucima uzorkovanja, a nedaje odgovor

o ponašanju funkcije izmeĎu trenutaka uzorkovanja. trenutaka uzorkovanja. Za to je potrebno

poznavati .


27

94. Za što se koristi -transformacija

Za dobivanje vrijednosti funkcije samo u trenucima uzorkovanja.

95. Navesti barem dva postupka za odreĎivanje -transformacije

o Korištenjem izraza za – transformaciju

o Primjenom teorema o kompleksnoj konvoluciji

o Korištenjem gotovih tablica ili programskih paketa

96. Koja je razlika izmeĎu i modificirane -transformacije

– transformacija odreĎuje ponašanje sustava samo u trenucima uzorkovanja.

–transformacijom moguće je dobiti kompletniju sliku ponašanja sustava, odnosno možemo

dobiti informaciju o signalu i izmeĎu dva uzorka.

– transformacija je samo specijalni slučaj –transformacije.

Osnovna je ideja modifikacije u kašnjenju ili prethoĎenju signala.

Kod kašnjenja signala je definirana izrazom

Kod predhoĎenja signala je definirana izrazom

Dakle proizlazi

97. Za što se koristi inverzna -transformacija

Za odeĎivanje ili , odnosno dobivanje vrijednosti originalne funkcije u

trenucima diskretiziranja i dobivanje približne procjene funkcije originala , te se vrlo često

koristi za odreĎivanje originala.

98. Skicirati blok shemu linearnog diskretnog sustava

99. Skicirati serijsku vezu D/A pretvornika i procesa

100. Skicirati serijsku vezu D/A pretvornika i procesa za potrebe analize i sinteze diskretnih sustava


28

101. Što je strukturna shema nekog sustava

Strukturna shema nekog sustava u stvari je grafički prikaz diferencijalne, odnosno jednadžbe

diferencija sustava. Ona pokazuje protok signala u sustavu i meĎusobnu vezu pojedinih

elemenata sustava. Ako se analiza diskretnog sustava obavlja uz pomoć -transformacije,

tada se sustav predstavlja blok shemom iz koje se može odrediti funkcija prijenosa (ako postoji)

ili izlazna veličina sustava u -području.

102. Što se može odrediti na osnovu prijenosne funkcije sustava

Na osnovu funkcije prijenosa ili moguće je odrediti stabilnost sustava, te ostale pokazatelje

kvalitete sustava.

103. Po čemu se razlikuju strukturne sheme otvorenih i zatvorenih sustava

Strukturne sheme razlikuju se po položaju impulsnog elementa u krugu.

104. Otvoreni diskretni sustav koji sadrži impulsni element na ulazu u kontinuirani dio sustava

105. Otvoreni diskretni sustav sustava koji sadrži serijsku vezu dva linearna kontinuirana sustava s

impulsnim elementom na njihovim ulazima

106. Otvoreni diskretni sustav koji sadrži impulsni element na ulazu dva serijski povezana

kontinuirana sustava

107. Otvoreni diskretni sustav koji sadrži impulsni element izmeĎu dva kontinuiranih sustava

108. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom iza komparatora


29

109. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom na izlazu direktne grane sustava

110. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom iza komparatora i na izlazu sustava

111. Zatvoreni diskretni sustav s impulsnim elementom u povratnoj vezi

112. Preslikavanje imaginarne osi iz u ravninu

Ako je , tada se imaginarna os preslikava u:

Izraz predstavlja jediničnu kružnicu u – ravnini

113. Preslikavanje lijeve poluravnine -ravnine u -ravninu

Preslikava se u unutrašnjost jedinične kružniice u – ravnini


30

114. Preslikavanje desne poluravnine -ravnine u -ravninu

Preslikava se izvan područja jejedinične kružnice u – ravnini

115. Preslikavanje linije konstantnog prigušenja iz s u ravninu

116. Preslikavanje konstantnih frekvencijskih linija ω=konst.

117. Preslikavanje lijeve poluravnine iz -ravnine u -ravninu

Kao i 113.


31

118. Preslikavanje polova iz s-ravnine (kontinuirani sustav) u z-ravninu (diskretni sustav) te ponovno

u s-ravninu (diskretni sustav)

119. Preslikavanje polova iz s-ravnine u z-ravninu

120. Preslikavanje nula iz -ravnine u -ravninu

Za razliku od polova, kod diskretnog sustava ne može se reći po kojem zakonu će se

preslikavati nule. Tako se općenito ne može reći da će minimalno-fazne nule kontinuiranog

sustava biti preslikane u neminimalno-fazne nule diskretnog. Upravo suprotno, kontinuirani

sustavi s polnim viškom — će diskretizacijom uvijek dati neminimalno-fazne

nule, ako je perioda uzorkovanja dovoljno mala, [155]. Kod prebacivanja funkcije prijenosa

kontinuiranog sustava u diskretnu domenu, polova preslikava se po zakonu

dok se konačnih nula kontinuiranog sustava općenito ne preslikava po tom zakonu. Neke od

tih nula, mogu ovisno o periodi uzorkovanja otići u ili mogu biti pokraćene s polom

(tada imamo skrivene oscilacije), ili se preslikati takoĎer po približno istom zakonu kao i polovi

( ). Kako će se diskretizacijom kontinuiranog (analognog) filtera dobiti polova i

nula, to se zbog diskretizacije pojavljuje — nula kojih originalni kontinuirani sustav nije imao,

gdje je — . Prema tome, diskretni sustav imat će polova, preslikanih nula, te još

— nula koje su posljedica diskretizacije. Ako je tih — nula uslijed diskretizacije,

neće biti.


32

Ako je tada će se konačnih nula kontinuiranog sustava preslikavati po:

Kada nula teži 1. Ako je tada će — nula generiranih

diskretizacijom biti tim bliže korijenima polinoma danog u tabeli, kako T → 0. Naime,

za velike funkcije prijenosa kontinuiranih sustava približno će biti dane sa:

Za ovakve procese (integratore) diskretizacijom će se dobiti

odnosno nule kako slijedi u tabeli [155]:

Tabela pokazuje daje kod diskretizacije pojava neminimalno-faznih nula više pravilo

nego iznimka. Iako originalni sustav nije imao neminimalno-faznih nula, diskretizirani

sustav posjeduje takve nule. O tome moramo voditi računa kod projektiranja sustava

upravljanja.

Ako je , striktno pravilna funkcija prijenosa kontinuiranog sustava, koja k tome

zadovoljava:

1.

2.

imat će diskretiziranu funkciju prijenosa kod koje će sve nule težiti 0 kako .

121. Diskretizacija sustava s očuvanjem težinske funkcije

Diskretizacijom sustava s očuvanjem težinske funkcije kontinuirani i diskretni sustav imaju iste

iznose u trenucima uzimanja uzoraka. Korištenjem tablica na jednostavan način može se

diskretizirati sustav direktnom primjenom transformacije (Tablica Laplaceove i

transformacije).


33

122. Diskretizacija sustava s očuvanjem prijelazne funkcije (ZOH diskretizacija)

Kod ove diskretizacije zadržava se jednakost prijelazne karakteristike analognog i diskretnog

filtera u trenucima uzorkovanja. ZOH diskretizacija koristi se onda kada se sustav upravlja

digitalnim računalom, jer su D/A pretvornici ZOH elementi. Do funkcije prijenosa diskretnog

filtera moguće je doći primjenom tabela —transfomacije s time da se funkcija prijenosa

analognog filtera ( ) pomnoži sa funkcijom prijenosa ZOH elementa (D/A konvertera) i nakon

toga uz pomoć tabele -transformacije prebaci u -područje. Postoje i gotove tabele ZOH

transformacije iz kojih je bez množenja moguće doći direktno do ZOH

diskretiziranog sustava poznavajući

123. Diskretizacija kojom se zadržava impulsni odziv-primjer, integrator

Ovim postupkom dobit će se jednakost impulsnog odziva kontinuiranog sustava (filtera) i

diskretnog sustava (filtera) u trenucima uzorkovanja. Ako se koriste tabele -transformacije

dobit će se diskretizirani sustav istog impulsnog odziva u trenucima uzorkovanja kao i

kontinuirani sustav.

124. Bilinearna transformacija (Tustin) pojasniti kako se provodi

Kod Tustinovog postupka diskretizacije provodi se algebarska supstitucija kompleksne varijable

prema definiciji:

Ono što je dobiveno Tustinovom diskretizacijom je mogućnost korištenja svih postupaka

razvijenih za analizu kontinuiranih sustava (Bodeov dijagram i sl.).

125. Preslikavanja bilinearnom transformacijom-imaginarne osi

Kako će se preslikati imaginarna os -ravnine u -ravninu može se dobiti ako se u izrazu:

zamjeni sa teuvrsti u izraz:

odakle će se dobiti:

Imaginarna os preslikala se u imaginarnu os . Varijabla zove se relativna

pseudofrekvencija i dana je kao:

Budući da relativna pseudofrekvencija nema dimenzije, često je svrsishodnije koristiti apsolutnu

pseudofrekvenciju koja ima dimenziju i dana je sa:


34

TakoĎer se bilinearna transformacija tada definira sa:

odnosno:

126. Preslikavanja bilinearnom transformacijom-lijeve poluravnine

Bilinearna transformacija definirana je sa:

gdje je kompleksna varijabla (kompleksna pseudofrekvencija). Bilinearnom transformacijom

jedinična kružnica iz —ravnine preslikava se na imaginarnu os kompleksne —ravnine,

unutrašnjost jediničnog kruga u —ravnini preslikava se u lijevu poluravninu kompleksne -

ravnine, a područje izvan jedinične kružnice u desnu poluravninu -ravnine (slika).

127. Što se dobilo bilinearnom transformacijom

Ono što se dobilo bilinearnom transformacijom, mogućnost je korištenja svih postupaka

razvijenih za analizu kontinuiranih sustava.

128. Skicirati amplitudno frekvencijsku karakteristiku niskopropusnog filtera preslikanu bilinearnom

transformacijom

Preslikavanje polova iz —ravnine (a) u —ravninu te u —ravninu (c)

Amplitudna frekvencijska karakteristika analognog

niskopropusnog filtera preslikana

bilinearnom transformacijom


35

129. Diskretizacija aproksimacijom derivacije s Euler unaprijednom diferencijom

Ovim postupkom se u diferencijalnoj jednadžbi derivacija zamjenjuje s Eulerovom (unaprijednom)

diferencijom. Prva diferencija definirana je s:

Druga diferencija definirana je sa:

derivacija sa:

Ako se derivacija zamijeni s diferencijom imamo:

Laplaceova transformacija će dati:

Ako je slijedi:

odnosno:

Kod Euler (unaprijedne) diskretizacije imaginarna os —ravnine preslikati će se u os paralelnu

imaginarnoj osi koja prolazi točkom +1 u —ravnini (slika b).

To znači da će doći do degradacije frekvencijske karakteristike, jer se os nije preslikala u

jediničnu kružnicu. Pored toga moguće je da se neki stabilni kontinuirani sustavi preslikaju u

nestabilne diskretne sustave, što nije prihvatljivo. Da bi se ovi učinci umanjili, nužno je

uzorkovati s vrlo malim periodom uzorkovanja, te se ovakva diskretizacija može koristiti za nisko

propusne filtere.

Preslikavanje iz —ravnine (a) u —ravninu Euler unaprijednom (b) i Euler kauzalnom diferencijom (c)


36

130. Diskretizacija aproksimacijom derivacije s Euler kauzalnom diferencijom

Slično kao i kod Euler (unaprijedne) diferencije, ovdje se umjesto unaprijedne treba koristiti

kauzalna diferencija koja je definirana sa:

ta diferencija je:

Derivacija se zamjenjuje sa:

Laplaceova transformacija će dati:

Ako je slijedi:

odnosno:

Preslikavanje iz —ravnine u —ravninu dano je na slici c) u prethodnom pitanju. Kao što se

vidi, imaginarna os -ravnine nije se preslikala u jediničnu kružnicu, već u kružnicu radijusa

centrom na pozitivnoj realnoj osi u točki . Posljedica toga je degradacija frekvencijske

karakteristike koja je to veća što smo dalje od . Područje s najmanje degadacije je

ono oko točke u —ravnini. Da bi se polovi našli grupirani oko točke 1 u —ravnini nužno je

da period uzorkovanja bude čim manji. Lijeva poluravnina —ravnine preslikala se u

unutrašnjost ove male kružnice, što znači da će stabilni kontinuirani sustavi biti preslikani u

stabilne diskretne sustave. Isto tako, može se dogoditi da neki nestabilni kontinuirani sustavi

budu preslikani u stabilne diskretne sustave, što u svakom slučaju nije ono što bi željeli. Zbog

svega navedenog, ovu vrstu diskretizacije može se koristiti samo za sustave (filtere) s niskim

propustom odnosno sustave s velikom inercijom.

131. Navesti dvije osnovne vrste matematičkih modela za diskretne sustave

Kao i kod linearnih vremenski nepromjenjivih sustava postoje dvije osnovne vrste matematičkih

modela za diskretne sustave:

1. Ulazno/izlazni opis preko jednadžbe diferencija ili funkcije prijenosa,

2. Interni opis preko varijabli stanja.

132. Kakve se jednadžbe koriste u teoriji diskretnih sustava

U teoriji diskretnih sustava koriste se jednadžbe diferencija.


37

133. Osnovna razlika u strukturi kontinuiranog i diskretnog sustava

Za razliku od kontinuiranog sustava, diskretni sustav sadrži u svojoj strukturi barem jedan

impulsni element i element za formiranje.

Iz slike vidljivo je da se prikazani diskretni sustav razlikuje od kontinuiranog samo po signalu

razlike koji je uzorkovana veličina.

134. Kakav mora biti period uzorkovanja da bi se kontinuirani sustav dobio iz diskretnog uz

minimalne razlike

Kontinuirani sustav može se dobiti iz diskretnog, ako period uzorkovanja teži nuli.

135. Opisati linearni vremenski nepromjenjiv sustav u matričnom obliku varijablama stanja

Vektorske jednadžbe diferencija vremenski nepromjenjivog diskretnog sustava glase:

gdje su:

— vektor stanja,

—vektor izlaza,

— vektor upravljanja

- matrica sustava (dimenzije x )

- ulazna matrica (dimenzije x )

- izlazna matrica (dimenzije x )

- matrica direktnog preslikavanja ulaza na izlaz (dimenzije x )

gdje je red sustava, broj ulaza, a broj izlaza sustava. Na ovaj način opisuju se i

SISO i MIMO sustavi.

Ako se usporede jednadžbe stanja i izlaza diskretnog sustava s jednadžbama stanja i izlaza

kontinuiranog sustava, uočit će se razlika u tome stoje kontinuirana nezavisna varijabla

zamijenjena varijablom koja može poprimiti cjelobrojne iznose. Matrice i imaju istu

dimenziju kao i matrice i kontinuiranog sustava no, za razliku od kontinuiranog sustava, one

su ovisne o periodi uzorkovanja. Za odreĎeni period uzorkovanja , matrice i su konstantne

za vremenski nepromjenjiv diskretni sustav.

Blok shema kontinuiranog i diskretnog sustava


38

136. Skicirati blok shemu matematičkog modela diskretnog sustava po varijablama stanja

Blok shema matematičkog modela diskretnog sustava po varijablama stanja

137. Sa koliko diferencijskih jednadžbi prvog reda se može opisati sustav opisan diferencijskom

jednadžbom n-tog reda?

Varijable stanja definiramo kao minimalni broj unutrašnjih varijabli sustava kojima možemo u

potpunosti opisati ponašanje sustava. Kod opisa sustava diferencijskim jednadžbama i

prijenosnom funkcijom, red sustava jednak je redu diferencijske jednadžbe ili redu prijenosne

funkcije. Prema tome, broj varijabli stanja jednak je redu diferencijske jednadžbe ili redu

prijenosne funkcije što odgovara broju spremnika energije u sustavu. Opis sustava

jednadžbama varijabli stanja sastoji se u tome da se ponašanje dinamičkog sustava umjesto

diferencijskom jednadžbom n-tog reda, prikaže sustavom od n diferencijskih jednadžbi prvog

reda.

138. Navesti dva postupka koji se koriste u analizi stabilnost diskretnih sustava

Analiza stabilnosti linearnih diskretnih sustava može se provoditi po analogiji s kontinuiranim

sustavima. No, odreĎene razlike postoje i nužno ih je poznavati želi li se pravilno obaviti analiza

stabilnosti. Postupci analize stabilnosti diskretnih linearnih sustava mogu se podijeliti na:

1. algebarske, odnosno analitičke,

2. grafičke, odnosno grafoanalitičke.

139. Kakvi moraju biti polovi po apsolutnoj vrijednosti da bi sustav bio stabilan

140. Kakvi moraju biti polovi u kompleksnoj ravnini da bi sustav bio stabilan

Kod linearnih vremenski nepromjenjivih kontinuranih sustava problem stabilnosti svodi se na

neophodne i dovoljne uvjete da svojstvene vrijednosti sustava leže u lijevoj poluravnini –

ravnine kompleksnih frekvencija, a ona se preslikava u u jediničnu kružnicu kompleksne -

ravnine.

Documents

Diskretni Sustavi Upravljanja - Pitanja i Odgovori Za Usmeni Ispit