Dis Taguchi

  • Published on
    08-Aug-2015

  • View
    37

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<p>DISEO DE EXPERIMENTOS TAGUCHI La parte fundamental de la metodologa ideada por el matemtico japons G. Taguchi es la optimizacin de productos y procesos, a fin de asegurar productos robustos, de alta calidad y bajo costo. La metodologa Taguchi consta de tres etapas: a) Diseo del sistema b) Diseo de parmetros c) Diseo de tolerancias De estas tres etapas, la ms importante es el diseo de parmetros cuyos objetivos son: a) Identificar qu factores afectan la caracterstica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad. b) Definir los niveles ptimos en que debe fijarse cada parmetro o factor, a fin de optimizar la operacin del producto y hacerlo lo ms robusto posible. c) Identificar factores que no afectan substancialmente la caracterstica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas. Para lograr lo anterior se ha manejado una serie de herramientas estadsticas conocida como diseo de experimentos, tratadas anteriormente. Taguchi ha propuesto una alternativa no del todo diferente que se que conoce como: Arreglos Ortogonales y las Grficas Lineales. La herramienta utilizada normalmente son diseos Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el nmero de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, as como la complicaciones para identificar cules son las condiciones especficas a experimentar. Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicacin factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes. Un experimento factorial fraccionado es tambin un arreglo ortogonal . Taguchi desarroll una serie de arreglos particulares que denomin: La (b)C Donde: a = Representa el nmero de pruebas o condiciones experimentales que se tomarn. Esto es el nmero de renglones o lneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomar cada factor. c = Es el nmero de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el nmero de columnas. Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles En esta seccin, se analiza qu son, cmo se usan y cules son los arreglos ortogonales ms importantes para experimentos en los que cada factor toma dos niveles. Un arreglo ortogonal es una tabla de nmeros. Como ejemplo de un arreglo ortogonal tenemos el siguiente:</p> <p>No. (a) 1 2 3 4 1 , 2</p> <p>A 1 1 2 2</p> <p>F A C T O R E S (c) B C 1 1 2 2 1 1 2 1</p> <p>Resultado Y1 Y2 Y3 Y4</p> <p>= Niveles de los Factores (b)</p> <p>De acuerdo con la notacin empleada por Taguchi al arreglo mostrado como ejemplo, se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones. En general, para un arreglo a dos niveles, el nmero de columnas (efectos o factores) que se pueden analizar, es igual al nmero de renglones menos 1. Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles, los ms utilizados y difundidos segn el nmero de factores a analizar son: No. de factores a analizar Entre 1 y 3 Entre 4 y 7 Entre 8 y 11 Entre 12 y 15 Entre 16 y 31 Entre 32 y 63 Arreglo a utilizar L4 L8 L12 L16 L32 L64 No. de condiciones a probar 4 8 12 16 32 64</p> <p>Algunos arreglos ortogonales:</p> <p>Ejemplo: En un proceso de formacin de paneles una caracterstica no deseada es la emisin de formaldehdo en el producto final. Se desea que esta emisin sea lo mnima posible. Actualmente se estima en 0.45 ppm. (partes por milln). Se cree que cinco factores pueden estar afectando la emisin, estos son: tipo de resina, concentracin de la solucin, tiempo de ciclo de prensado, humedad y presin. Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario variarlos, esto es probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada uno de estos valores se les llama nivel. Se requieren de al menos dos niveles o valores distintos para cada factor. A uno de ellos arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel 1, al otro nivel alto o nivel 2. Factor A B C D E Descripcin Tipo de resina Concentracin Tiempo de ciclo de prensado Humedad Presin Nivel I Tipo I 5% 10 seg 3% 800 psi. Nivel 2 Tipo II 10% 15 seg 5% 900 psi.</p> <p>En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 efectos o factores a dos niveles cada uno, por lo tanto, se usar un arreglo ortogonal L8. Esto implica que se ejecutarn 8 pruebas o condiciones experimentales. Por otra parte se disponen de 7 columnas, a cada columna se le puede asignar o asociar un factor. Si en particular, asignamos los factores en orden a las primeras cinco Columnas, dejando libres las ltimas dos columnas, el arreglo queda:</p> <p>No. A B C D E e1 e2 Resina Concen. Tiempo Humedad Presin Yi 1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.49 2 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.42 3 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.38 4 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.30 5 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.21 6 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.24 7 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.32 8 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28TOTAL= 2.64 Observe que en las columnas vacas, 6 y 7, se ha escrito la letra e1,y e2 respectivamente esto para indicar que en ellas se evaluar la variacin natural o error aleatorio. Si no se asigna ningn factor, es de esperar que ah se manifieste la variacin natural. Los resultados de Yi se muestran en ppm. El anlisis de resultados, se puede efectuar de dos maneras diferentes. Una de ellas mediante una serie de grficas, la otra mediante el anlisis de varianza, se muestra en este ejemplo primero el uso del anlisis de varianza, posteriormente se muestra el uso de grficas. Anlisis de varianza 1) como primer paso, se obtienen los totales de la variable de respuesta o lecturas, para cada uno de los niveles de los factores. Para calcular los totales para cada nivel del factor A, observamos que las primeras cuatro pruebas del arreglo se efectuaron con el factor a su nivel 1 (Resina tipo I) y las siguientes cuatro a su nivel 2 (resina tipo II).</p> <p>Los totales son por lo tanto: A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 1 = 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59 A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 2 = 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05 Para el factor D se tiene que las pruebas 1,3,5 y 7 se efectuaron a su nivel 1 (humedad del 5%), por lo tanto los totales son: D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1 = 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40 D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2 = 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24 En resumen se tiene: Factor Nivel 1 Nivel 2 A 1.59 1.05 2.64 B 1.36 1.28 2.64 C 1.51 1.13 2.64 D 1.40 1.24 2.64 E 1.39 1.25 2.64 e 1.28 1.36 2.64 e 1.35 1.29 2.64</p> <p>Observe que la suma de los dos niveles debe dar siempre el total de las ocho lecturas 2.64. 2) En seguida se obtiene una cantidad que llamaremos suma de cuadrados esta se calcula como sigue: Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2 Total nivel 1)2/ n Donde n representa el nmero total de lecturas que se tomaron. As por ejemplo, para el factor A, tendremos que dado que n=8 SSA= (A2 A1) 2/ 8= (1.59-1.05) 2/ 8=0.03645 con 1 g .1 Para el factor B se tiene SSB= (B2 B1) 2/ 8= (1.28-1.36) 2/ 8= 0.00080 con 1 g.1</p> <p>Similarmente SSC= (C2 C1) 2/ 8= (1.13-1.51) 2/ 8= 0.01805 con 1 g.1 SSD= (D2 D1) 2/ 8= (1.24-1.40) 2/ 8= 0.00320 con 1 g.1 SSE= (E2 E1) 2/ 8= (1.25-1.39) 2/ 8= 0.00245 con 1 g.1 SSe= 0.00080 con 1 g.1 SSe= 0.00045 con 1 g.1 La suma de cuadrados de las columnas donde no se asign factor (SSe) se toman como estimaciones del error y se suman. SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1</p> <p>3) Se construye una tabla ANOVA, sta es:</p> <p>Efecto A B C D E Error Total</p> <p>SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00125 0.0622</p> <p>G.l. 1 1 1 1 1 2 7</p> <p>V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.000625 58.32</p> <p>Fexp 1.28 28.88 5.12 3.92</p> <p>Bajo la columna SS se tienen las sumas de cuadrados. Bajo la columna G.l. (grados de libertad), tendremos el nmero de columnas que se usaron para evaluar el factor, en este caso, slo puede ser de uno para cada factor y ms de uno nicamente para el caso del error. La columna V, se obtiene dividiendo el nmero bajo la columna SS, entre el nmero de la columna G.L. As por ejemplo, para el factor A se tiene SSA= 0.03645, G.L. de A=1 V= SSA/G.L.= 0.03645/1= 0.03645 Por ltimo, el valor de Fexp, se obtiene de dividir el valor de V de cada factor, entre el valor de V para la estimacin del error. Fexp de A= V(A) / V(error)= 0.03645/0.000625=58.32 4) Obtenemos las siguientes conclusiones: Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp mayor que 2 se considera que afectan la variable de respuesta, emisin de formaldehdo en este caso. Estos son llamados factores significantes. En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D y E, tipo de resina, tiempo de ciclo, humedad y presin respectivamente. Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio, a fin de obtener una mejor estimacin (con mayor nmero de grados de libertad). En este caso por ejemplo, una mejor estimacin de SSe es: SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205 Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3= 0.00205/3= 0.00068 Las estimaciones que se obtienen de esta manera suelen escribirse entre parntesis.</p> <p>La tabla ANOVA queda ahora Efecto SS G.1 V Fexp</p> <p>A C D E Error Total</p> <p>0.03645 0.01805 0.00320 0.00245 0.00205 0.0622</p> <p>1 1 1 1 3 7</p> <p>0.03645 0.01805 0.00320 0.00245 0.00068</p> <p>53.60 26.54 4.71 3.60</p> <p>Nos resta decidir a que nivel habr de fijar cada factor significante, y qu podremos esperar. Para tomar esta decisin, es de mucha ayuda obtener los promedios de las lecturas que se tomaron a cada nivel para cada uno de los factores significantes. Los promedios de la emisin de formaldehdo para cada nivel se obtienen dividiendo c/u de los totales entre 4, (c/total es la suma de cuatro lecturas). A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975 A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625 El resto de los promedio son: Factor A B C D E Nivel 1 A1= 0.3975 B1= 0.3400 C1= 0.3775 D1= 0.3500 E1= 0.3475 Nivel 2 A2= 0.2625 B2= 0.3200 C2= 0.2825 D2= 0.3100 E2= 0.3125</p> <p>El promedio general denotado como Y es: Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n= 2.64/8= 0.33 Los factores A, C, D y E que afectan emisin de formaldehdo debern fijarse al nivel que minimicen la emisin, esto es, al nivel que se obtenga el promedio menor, en este ejemplo; A 2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15 segundos como tiempo de prensado, 5% de humedad y 900 psi. El factor B juega aqu un papel sumamente importante. Dado que no afecta la emisin de formaldehdo, dentro del intervalo analizado, se utiliza para reducir los costos de produccin. Esto se hace fijndolo a su nivel ms econmico. Cul ser el nivel esperado de emisin bajo las nuevas emisiones propuestas Y est.? Para contestar esta pregunta, para cada efecto significante se calcula una resta, que llamaremos el efecto de cada factor respecto al promedio general, para este caso el efecto es EF A EF C EF D EF E = (promedio bajo la condicin propuesta del factor promedio general) = A2 Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fij a su nivel 2) = C2 Y= 0.2825-0.3300= -0.0475 = D2 Y= 0.3100-0.3300=-0.0200 = E2 Y= 0.3125-0.3300= -0.0175</p> <p>Finalmente, el resultado esperado bajo las condiciones A2, C2, D2, E2, que llamaremos Yest. se calcula sumando al promedio general Y todos los efectos de los factores significantes. Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-0.0475-0.0200-0.0175=0.1775</p> <p>Anlisis utilizando grficas Existe una alternativa al anlisis ANOVA, esta es una serie de grficas que se muestran enseguida. 1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para cada uno de los factores, incluyendo las columnas vacias. Para hacer esto, encontramos los totales para cada nivel y dividimos entre el nmero de lecturas con el que se obtuvo cada total. Para nuestro ejemplo, los totales a cada nivel los tenemos ya en la seccin anterior. Los promedios son: Factor A B C Nivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 Promedio global Y= T/n= 2.64/8 = 0.33 D 0.3500 0.3100 E 0.3475 0.3125 e e 0.3200 0.3325 0.3400 0.3225</p> <p>Observe que para cada factor, uno de los promedios es mayor y el otro menor que el promedio global. Esto siempre debe de ocurrir. 2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para cada factor, y ordnelos de mayor a menor en valor absoluto. Esto es por ejemplo para el factor A A1 A2 = 0.3975 0.2625= 0.1350; para el resto tenemos:</p> <p>Factor Diferencia</p> <p>A 0.1350</p> <p>B 0.0200</p> <p>C 0.0950</p> <p>D 0.0400</p> <p>E 0.0350</p> <p>e 0.0200</p> <p>e 0.0100</p> <p>En la tabla de ANOVA encontramos los resultados obtenidos anteriormente: N 1 2 3 4 5 6 7 8 T1 T2 SS gl V A B C D E e1 e2 Yi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080 0.00045 Ve 1 1 1 1 1 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 .00062 F si 0.3475 0.3125 Y 0.33 0.49 0.42 0.38 0.30 0.21 0.24 0.32 0.28 Tot</p> <p>2 58.32</p> <p>1.28 28.88 5.12 3.92 Sg si no si si P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100</p> <p>Ni Ef</p> <p>2 -0.0675</p> <p>-</p> <p>2 -0.0475</p> <p>2 -0.0200</p> <p>2 -0.0175</p> <p>Yest. = Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2 T1 T2 n SS gl V F Sg P1 P2 Ni Ef Y Yest = Total de lecturas al nivel 1 = Total de lecturas al nivel 2 = Nmero total de lecturas = (T2 - T1 )2 /n = Grados de libertad (columnas) = SS/gl = V/Ve = Efecto significante? = Promedio nivel 1 = Promedio nivel 2 = Nivel seleccionado = Efecto de la variable = Promedio de todos los datos = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas</p> <p>Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo), tenemos: Factor Diferencia A 0.1350 C 0.0950 D 0.0400 0.0350 E 0.0200 B e 0.0200 0.0100 e</p> <p>Se puede observar que el orden en que quedaron los datos anteriores, es tambin el orden de mayor a menor Fexp que se obtiene con la ANOVA. Siguiendo el orden anterior, se obtiene una grfica como se muestra en seguida: .40 .35 .33 .30 .25 A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2</p> <p>Mediante esta grfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre mayor sea la lnea de cada factor, o bien, entre ms vertical se encuentre, mayor ser el efecto de este factor. Observamos un grupo de lneas inclinadas, seguida de un grupo de lneas que sbitamente se acuestan o se hacen horizontales. Es de esperar que las lneas que presentan columnas vacas o error aleatorio, quedan prcticamente horizontales Observe que las conclusiones a que se llegamos en este ejemplo son similares a las de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e, igualmente los niveles recomendados se pueden identificar</p> <p>rpidamente, si deseamos reducir la variable de respuesta, se toma el nivel ms bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos por debajo de la lnea promedio global. En conclusin, el mtodo grfico puede ser utilizado para fines de exposicin o presentacin y el ANOVA para fines de tomar una decis...</p>