1

Факултет техничких наука

Нови Сад

ДИНАМИКА ГАСОВА

Одабрана поглавља

Џон Д. Андерсон

Нови Сад, 2009.

2

3

Садржај

ПРЕДГОВОР .........................................................................................................................................................5 КОМПРЕСИБИЛНО СТРУЈАЊЕ - ИСТОРИЈАТ И УВОДНА РЕЧ ........................................................7

1.1 ИСТОРИЈСКЕ ПРЕКРЕТНИЦЕ .................................................................................................................7 1.2 ДЕФИНИСАЊЕ КОМПРЕСИБИЛНОГ СТРУЈАЊА...............................................................................9 1.3 РЕЖИМИ СТРУЈАЊА...............................................................................................................................11

Субсонично струјање – подзвучно струјање .............................................................................................12 Трансонично струјање – околозвучно струјање ........................................................................................12 Суперсонично струјање – надзвучно струјање..........................................................................................12 Хиперсонично струјање ...............................................................................................................................13

1.4 КРАТАК ПРЕГЛЕД ТЕРМОДИНАМИКЕ ..............................................................................................14 Идеалан гас....................................................................................................................................................14 Унутрашња енергија и енталпија ................................................................................................................16 Први закон термодинамике .........................................................................................................................18 Ентропија и други закон термодинамике ...................................................................................................19 Израчунавање ентропије ..............................................................................................................................20

1.5 АЕРОДИНАМИЧКЕ СИЛЕ НА ТЕЛУ ....................................................................................................22 1.6 МОДЕРНО КОМПРЕСИБИЛНO СТРУЈАЊЕ ........................................................................................24

ИНТЕГРАЛНИ ОБЛИЦИ ЈЕДНАЧИНА КОНЗЕРВАЦИЈЕ ЗА НЕВИСКОЗНА СТРУЈАЊА .........26 2.1 ФИЛОЗОФСКИ АСПЕКТ .........................................................................................................................26 2.2 АПРОКСИМАЦИЈЕ.................................................................................................................................26 2.3 ЈЕДНАЧИНА КОНТИНУИТЕТА...........................................................................................................28 2.4 ЈЕДНАЧИНА О ПРОМЕНИ КОЛИЧИНЕ КРЕТАЊА .........................................................................29 2.5 КОМЕНТАР ..............................................................................................................................................31 2.6 ЕНЕРГИЈСКА ЈЕДНАЧИНА ..................................................................................................................32 2.7 КОНАЧАН ЗАКЉУЧАК ...........................................................................................................................34

ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ ....................................................................................................36 3.1 УВОД ...........................................................................................................................................................36 3.2 ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНОГ СТРУЈАЊА.....................................................................38 3.3 БРЗИНА ЗВУКА И МАХОВ БРОЈ ...........................................................................................................40 3.4 ДЕФИНИЦИЈЕ НЕКИХ ПАРАМЕТАРА СТРУЈАЊА ..........................................................................43 3.5 АЛТЕРНАТИВНЕ ФОРМЕ ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНЕ ЕНЕРГИЈСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ ....................44 3.6 ЈЕДНАЧИНЕ НОРМАЛНОГ УДАРА ......................................................................................................47 3.7 ИГОНИООВА ЈЕДНАЧИНА ....................................................................................................................54 3.8 ЈЕДНOДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ СА ДОВОЂЕЊЕМ ТОПЛОТЕ ..........................................57 3.9 ЈЕДНOДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ СА ТРЕЊЕМ........................................................................61 3.10 ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ: ЗВУЧНИ И УДАРНИ ТАЛАСИ ....................................................................66

КОСИ УДАР И ЕКСПАНЗИОНИ ТАЛАСИ.................................................................................................71 4.1 УВОД ...........................................................................................................................................................71 4.2 ПОРЕКЛО КОСИХ ТАЛАСА ...................................................................................................................72 4.3 РЕЛАЦИЈЕ ЗА КОСИ УДАР ....................................................................................................................73 4.4 СУПЕРСОНИЧНО СТРУЈАЊЕ ПРЕКО КЛИНОВА И КОНУСА........................................................78 4.5 ПОЛАРA УДАРА................................................................................................................................79 4.6 ПРАВИЛНА РЕФЛЕКСИЈА СА ЧВРСТЕ ПОВРШИ ............................................................................81 4.7 ДИЈАГРАМИ ПРИТИСАК – ЗАНОШЕЊЕ.............................................................................................82 4.8 ПРЕСЕК УДАРА СУПРОТНИХ ФАМИЛИЈА .......................................................................................83 4.9 ПРЕСЕК УДАРА ИСТЕ ФАМИЛИЈЕ......................................................................................................85 4.10 МАХОВА РЕФЛЕКСИЈА........................................................................................................................87 4.11 ОДВОЈЕНИ УДАРНИ ТАЛАС ИСПРЕД ЗАОБЉЕНИХ ТЕЛА .........................................................88 4.12 ТРОДИМЕНЗИОНАЛНИ УДАРНИ ТАЛАСИ .....................................................................................89 4.13 ПРАНТЛ – МАЈЕРОВИ ЕКСПАНЗИОНИ ТАЛАСИ...........................................................................90 4.14 УДАРНО-ЕКСПАНЗИОНА ТЕОРИЈА ..................................................................................................94

4

4.15 ИСТОРИЈСКА БЕЛЕШКА: ПРАНТЛОВА РАНА ИСТРАЖИВАЊА НА НАДЗВУЧНИМ

СТРУЈАЊИМА И НАСТАНАК ПРАНТЛ-МАЈЕРОВЕ ТЕОРИЈЕ .............................................................96 КВАЗИ ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ....................................................................................100

5.1 УВОД .........................................................................................................................................................100 5.2 ВАЖЕЋЕ ЈЕДНАЧИНЕ ...........................................................................................................................100 5.3 ОДНОС ПРЕСЕКА И БРЗИНЕ ...............................................................................................................103 5.4 ИЗЕНТРОПСКО СТРУЈАЊЕ ЕНЕРГИЈСКИ САВРШЕНОГ ГАСА КРОЗ КАНАЛЕ

ПРОМЕНЉИВОГ ПРЕСЕКА........................................................................................................................105 5.5 ДИФУЗОРИ ..............................................................................................................................................114 5.6 ОДБИЈАЊЕ ТАЛАСА ОД СЛОБОДНЕ ГРАНИЦЕ .............................................................................119 5.7 ЗАКЉУЧАК ..............................................................................................................................................121 5.8 ИСТОРИJСКИ ЗАПИС: КРАТАК ПРЕГЛЕД БИОГРАФИЈЕ ДЕ ЛАВАЛА .....................................121 5.9 ИСТОРИJСКИ ЗАПИС: СТОДОЛА И ПРВИ ЕКСПЕРИМЕНТИ СА СУПЕРСОНИЧНИМ

МЛАЗНИКОМ ................................................................................................................................................122 ЗАДАЦИ......................................................................................................................................................124

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ ОДРЖАЊА ЗА НЕВИСКОЗНО СТРУЈАЊЕ..........................127 6.1 УВОД .........................................................................................................................................................127 6.2 ЗАКОНИ КОНЗЕРВАЦИЈЕ У ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОМ ОБЛИКУ......................................................127

Једначина континуитета.............................................................................................................................127 6.3 ТОТАЛНИ ИЗВОД...................................................................................................................................129 6.4. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ НЕКОНЗЕРВАТИВНОГ ТИПА ...............................................132 6.5 ЈЕДНАЧИНА ЕНТРОПИЈЕ....................................................................................................................136 6.6 КРОКОВА ТЕОРЕМА: РЕЛАЦИЈА ИЗМЕЂУ ТЕРМОДИНАМИКЕ И КИНЕМАТИКЕ ФЛУИДА

КОМПРЕСИБИЛНОГ ТОКА ........................................................................................................................137 6.7 РЕЗИМЕ.....................................................................................................................................................138 6.8 ИСТОРИЈСКИ ЗАПИС: РАНО ИСТРАЖИВАЊЕ КОНЗЕРВАТИВНИХ ЈЕДНАЧИНА ................139 6.9 ИСТОРИЈСКА БЕЛЕШКА: ЛЕОНАРД ОЈЛЕР - ЧОВЕК...................................................................140

5

ПРЕДГОВОР

Ова књига је осмишљена са намером да буде уџбеник, односно инструмент за подучавање, за рад у

учионици или за самосталaн рад, а у циљу стицања знања о струјању компресибилних флуида. Уџбеник

је намерно писан једноставним језиком, како би се остварио неформалан и ненаметљив контакт са

читаоцем и како би се пробудила знатижеља и да би се сама материја "упила" од корица до корица.

Првенствено је намењен студентима завршних година и прве године постдипломских студија

аерокосмичког инжењеринга, машинског инжењерства и инжењерства механике; али исто тако је

користан за инжењера у пракси, који желе да добију разумљиву слику о компресибилним струјањима,

гледано са модерног становишта. Мора се додати да, пошто принципи и резултати компресибилних

струјања прожимају практично сва поља физичких наука, ова књига би требало да послужи свим

инжењерима, као и физичарима и хемичарима.

Ово је уџбеник о модерним компресибилним струјањима. Опсежна дефиниција речи "модерни" у овом

контексту дата је у поглављу 1.6. Овај уџбеник у суштини представља основе класичног компресибилног

струјања и о развитак ове области током последња два века, али са додатним наглашавањем две нове

димензије, које су постале важне у последње две декаде. То су:

Модерни прорачуни динамике флуида. Брзи дигитални рачунар унео је револуцију у аналитичку

механику флуида и омогућио решавање проблема, до тада нерешивих. Учење о компресибилном

струјању данас треба да третира овакве нумеричке приступе као саставни део проучавања; то је један

аспект ове књиге. Нпр., читалац ће наићи на подугачке дискусије о различитим техникама и приступима

укључујући и временске зависности, које су начиниле чуда у неким применама.

Високотемпературна струјања. Проблеми модерног компресибилног струјања често укључују

великобрзинску аеродинамику, сагоревање и конверзију енергије, све оно што потпада под утицај

струјања гасова на високим температурама. Због тога, такви високотемпературни ефекти морају бити

укључени у свакој студији компресибилног струјања, што је други аспект ове књиге. Нпр, читалац ће

пронаћи обиман приказ, како уравнотежених, тако и неуравнотежених струјања, са применом за неке

основне проблеме као што су ударни таласи и млазна струјања.

Укратко, данашње модерно компресибилно струјање представља спој класичних анализа и рачунарских

техника, које се допуњују; при чему се однос према високотемпературним ефектима скоро сматра

рутином. Једна сврха ове књиге је да се компресибилно струјање учини разумљивијим са ове модерне

тачке гледишта. Намера је да се сагледају важни аспекти класичног компресибилног струјања са

савременим техникама рачунања динамике флуида и високотемпературне динамике гасова. У том

смислу, овај приступ је у неку руку јединствен; представља суштински удео постојећих текстова о

класичном компресибилном струјању. Истовремено, нашироко су описане класичне основе заједно са

својим важним физичким импликацијама. И заиста, прва половина књиге, као што се може видети при

првом погледу на садржај, врло је класична у обиму. Поглавља од 1 до 7, уз одабране делове из других

поглавља, чине солидан курс у трајању од једног семестра - завршне године студија. Други део књиге

пружа "модеран" приступ. Цела књига садржи комплетан једногодишњи курс за завршну годину

основних и прву годину постдипломских студија.

Још један посебан аспект ове књиге је и обухватање историјске перспективе компресибилног струјања.

Аутор дубоко верује да би управо одлука да се историјска позадина и традиција споје са модерном

технологијом морала бити интегрални део образовања сваког инжењера. Већина стручњака - инжењера и

студената поседује веома скромна знања о таквој историји; ова књига треба да попуни ту празнину. Нпр.,

у књизи се постављају питања о томе ко је развио суперсоничне млазнике и под којим условима; како су

се модерне једначине компресибилних флуида развијале током векова; ко су били Бернули, Ојлер,

6

Хелмхолц, Ренкин, Прантл, Бусеман, Глауерт, итд, и који је њихов допринос модерној науци о

компресибилном струјању. У том смислу, ова књига наставља са традицијом започетом у једној од

ранијих књига истог аутора (Introduction to Flight: Engineering and History, прим.пр."Увод у летење.

инжењерство и историја", McGraw-Hill, New York, 1978), у којој су историјске белешке представљене

заједно са техничким материјалом.

Домаћи задаци дати су на крају већине поглавља. Ови проблеми углавном су решени и начињени тако да

студенту омогуће практично разумевање материје.

У намери да се књига задржи на разумном и прихватљивом обиму, трансонично струјање и вискозно

струјање нису укључени. Ипак, то су теме, које се најбоље савладавају после утврђивања основне

материје ове књиге.

Ова књига је плод предавања на курсевима прве године, предмет: компресибилно струјање, на

Универзитету Мериленд почев од 1973. године. Током година, велики број студената је указало аутору

на то да забелешке са предавања преточи у књигу. Такво охрабривање није се могло игнорисати и ова

књига је резултат тога. Зато је књига посвећена свим мојим студентима, којима ми је било задовољство

да предајем и са којима ми је било лепо да радим.

Књига је исто тако посвећена мојој супрузи Сари-Ален и мојим двема кћерима, Катарини и Елизабет,

које су небројене сате провеле са мном. Захвалан сам за њихово разумевање, и зато их овом приликом

још једном поздрављам. Исто тако, у позадини, али истовремено у првом реду су браћа Една и Су

Озборн, који су рукопис куцали са пуно посвећености. У наставку аутор жели да се захвали др Ричарду

Халиону, управнику Националног музеја ваздухопловства и космичког летења Смитсонске Институције,

на вредним коментарима и на континуираном увиду у огромну архиву музеја, потребну за ауторово

историјско истраживање. На крају, желим да се захвалим многобројним колегама на корисним стручним

дискусијама о компресибилном струјању и о томе шта представља модеран приступ његовом предавању.

Надам се да ова књига даје разуман одговор на та питања.

Џон Д. Андерсон, млађи

(John D. Anderson, Jr.)

7

ПРВО ПОГЛАВЉЕ

КОМПРЕСИБИЛНО СТРУЈАЊЕ - ИСТОРИЈАТ И УВОДНА РЕЧ

Потребна је одлучност и смелост да се крене у авантуру, да би неке замисли успеле да се

реализују, и скоро неустрашив ентузијазам да се пређу многе препреке и непознато, али пре свега

је потребна имагинација, потпуно ослобођена предрасуда да би се човек одвојио од устаљеног

пута.

Ј. ван Лонкузен (J. van Lonkhuyzen), 1951, у расправи о проблемима, насталим при

пројектовању Бел Икс Ес 1 (Bell XS-1), првог суперсоничног авиона

1.1 ИСТОРИЈСКЕ ПРЕКРЕТНИЦЕ

Година је 1893. У Чикагу председник Гровер Кливленд отвара Светску Колумбову (The World's

Columbian Exposition) изложбу. Током исте године више од 27 милиона људи посетиће ову изложбу, која

се простире на преко 2,5 km2 изложбеног простора: сјајне беле зграде, специјално конструисане за ову

прилику, од мешавине гипса и јутаних влакана као симулација белог мермера. Смештена у непосредној

близини тада скоро основаног Универзитета у Чикагу, изложба тематски подсећа на Колумбово откриће

Америке 400 година раније. Изложбе из области инжењерства, архитектуре, домаће радиности и

слободних уметности, као и поставке свих постојећих саобраћајних средстава распоређене су у преко 150

зграда. У највећој згради, згради произвођача и слободних уметности, излагачи инжењери из целог света,

весници су све бржег развоја и употребе технологије, која ће у 20. веку достићи невероватне размере.

Скоро сакривено у масивној згради од 12,5 хектара, под кровом од гвожђа и стакла налази се мала

машина од великог значаја. Шведски инжењер Карл Г. П. де Лавал приказује на том месту једнофазну

парну турбину. Машина има дужину мању од 1,8 m, пројектована је за употребу у поморству, има 2

независна турбинска кола, једно за ход напред, а друго за супротан смер. Али оно што је ново код овог

уређаја је то да се лопатице турбине покрећу паром велике брзине, а све преко јединствено

конструисаних ковергентно-дивергентних млазника. Као што је приказано на слици 1.1 ти млазници

представљају потпуну новину у односу на раније техничке примене, доводе високобрзинску струју паре

до лопатица кола турбине. Скретање струје, а тиме и промена количине кретања паре, док пролази кроз

лопатице турбине, изазива количина кретања који покреће коло до брзине, до тада неостварљиве - преко

30.000 min-1

. Де Лавал у том тренутку и не схвата да ће његов конвергентно-дивергентни парни млазник

отворити пут суперсоничним ваздушним тунелима и ракетним моторима у наступајућем 20. веку.

Година је 1947., 14. октобар. Свиће изнад Мурок Дрyа, пространог, равног језерског корита у пустињи

Мохава у Калифорнији. Почевши од 6:00 часова ујутро, тимови инжењера и техничара ваздухопловне

јединице "Мурок" припремају малу летилицу на ракетни погон за лет. Обојено у наранџасто, подсећајући

на метак 50-то калибарског митраљеза спојеног са паром равних, кратких крила, Бел Икс Ес 1 (Bell XS-1)

истраживачко возило, пажљиво је инсталиран у одељак за бомбе четворомоторног Б-29 авиона

бомбардера из Другог светског рата. У 10:00 Б-29, који ће ускоро постати историја, са својим товаром

полеће и пење се на висину од 6000 m. У кокпиту Икс Ес 1 налази се Капетан Чарлс (Чак) Jегер, ветеран

и пилот П-51 на подручју Европе, током Дугог светског рата. Тог јутра Jегер је у боловима од два

сломљена ребра, повреде настале током јахања претходног викенда. Не желећи да омета распоред за тај

дан, Јегер никога не обавештава у Муроку о свом здравственом стању. У 10:26, при брзини од 400

километара на сат (112 m/s), лепо офарбан Икс Ес 1 напушта одељак за бомбе авиона Б-29. Јегер

укључује ракетни мотор Икс Ел Ер 11 (XLR-11) и, са потисном силом од 26,7 kN, авион убрзава и брзо

добија на висини. Иза себе оставља траг ударних таласа издувног млаза у облику ромбоида из 4

8

конвергентно-дивергентна ракетнa млазника мотора; Икс Ес 1 ускоро постиже брзину већу од 0,85 Маха,

брзину изнад које не постоје подаци из ваздушног тунела при проблемима трансоничних летова у 1947.

години. Уласком у непознат режим, Јегер моментално искључује две од четири ракетне коморе и

пажљиво тестира контроле Икс Ес 1. Махометар у кокпиту региструје 0,95 М и даљи раст. Мали ударни

таласи играју напред-назад преко горње површине крила. При висини од 12.000 m, Икс Ес 1 коначно

почиње да пропада, и Јегер пали једну од две угашене ракетне коморе. Махометар се глатко помера на

0,98, 0,99 све до 1,02. На тој вредности, апаратура застаје, а затим скаче на 1,06. Јачи коси ударни талас

сада се формира у ваздуху испред врха Икс Ес 1, који је у облику чиоде, када Јегер достиже брзину од

1129 километара на сат (313,6 m/s), 1,06 М на висини од 13.000 m. Лет протиче глатко, нема наглог

померања летилице нити губитка контроле, од чега су страховали поједини инжењери. У том тренутку

Чак Јегер постаје први пилот који успешно лети брже од брзине звука, а иако мали, одлични Икс Ес 1,

приказан на слици 1.2, постаје први успешни, суперсонични авион у историји летења. (За више детаља

погледати референце 1 и 2 на крају ове књиге.)

Слика 1.1 Шематски приказ Лавалове турбине са конвергентно-дивергентним млазником

Данас, обе Лавалове турбине, снаге 10 ks, са Светске Колумбове изложбе и наранџасти Бел Икс Ес 1 део

су колекције Смитсонске Институције у Вашингтону, раније изложени у згради Историјe Технологије, а

касније постављени на кров Националног ваздухопловног и космичког музеја. Оно што је заједничко

овим двема машинама, раздвојеним више од пола века, јесте да оне представљају врхунце у производној

примени принципа компресибилног струјања - где густина струјања није константна. У оба случаја, они

представљају значајна поглавља у развоју динамике флуида.

Проблеми инжењерства динамике флуида у 80-тим, 90-тим годинама 19. века и почетком 20. века скоро

увек укључују или струјање течности или споро струјање гасова; у оба случаја узимање константне

густине прилично је оправдано. Зато је позната Бернулијева једначина

21.

2p v constρ+ = (1.1)

коришћена врло успешно. Међутим при струјању великим брзинама, потврђеним Лаваловим

конвергентно-дивергетним млазником и суперсоничним летом Бел Икс Ес 1, густина више не може да се

узме као константа кроз стујно поље. Заиста, за оваква струјања, густина некада може да варира

неколико редова величина. Самим тим, једначина (1.1) више не важи. У том смислу, овакви догађаји су

заиста значајна одступања од претходних искустава у домену динамике флуида.

Ова књига бави се тим "значајним одступањима", бави се компресибилним струјањима, код којих

густина није константна. У модерном инжењерству, таква струјања су пре правило, него изузетак. Неки

важни примери су унутрашња струјања кроз ракетне моторе и моторе са гасним турбинама,

високобрзински подзвучни (субсонични), околозвучни (трансонични), надзвучни (суперсонични) и

хиперзвучни (хиперсонични) ваздушни тунели, спољашње струјање око модерних летилица,

пројектованих да лете брже од 0,3 брзине звука, и струјање унутар уобичајеног мотора са унутрашњим

9

сагоревањем. Сврха ове књиге је да развије основне концепте компресибилних струјања, и да илуструје

њихову употребу.

Слика 1.2 Бел Икс Ес 1 (Bell XS-1) први суперсонични авион којим је управљао човек. (Знаменитост

Националног ваздухопловног и космичког музеја.)

1.2 ДЕФИНИСАЊЕ КОМПРЕСИБИЛНОГ СТРУЈАЊА

Компресибилно струјање дефинише се као струјање са променљивом густином, за разлику од

некомпресибилног струјања. Очигледно, у стварном животу, струјање флуида је компресибилно у мањој

или већој мери; зато некомпресибилно струјање (тј. струјање са константном густином) представља

идеализацију. Ипак, као што је претходно већ поменуто, за скоро сва струјања течности као и за струјања

неких гасова под одређеним околностима, густина се мења незнатно, тако мало, да се и поред усвајања

да је густина константна добијају резултати велике тачности. У таквим случајевима, Бернулијева

једначина, једначина (1.1), може поуздано да се примени. За предмет разматрања ове књиге, а то је

компресибилно струјање - једначина (1.1) не важи, и за даље проучавање, читалац би требало да је

остави по страни.

Проста дефиниција компресибилног струјања као струјања код којег је густина променљива, захтева

више разматрања. Разматра се мали елемент флуида запремине υ. Притисак на странама флуидног

делића, услед дејства суседних делића, је p. Претпоставимо да се притисак сада повећава за

инфинитезималну вредност dp. Запремина елемента биће сабијена за вредност dυ. Како је запремина

редукована, dυ је негативна вредност. Компресибилност флуида представљена коефицијентом

стишљивости s дефинисана је са (1.2)

1 d

ds

p

υ

υ= − (1.2)

Физички, компресибилност је делимична промена запремине флуидног делића по јединици промене

притиска. Ова једначина није у потпуности прецизна. Из искуства је познато да када је гас сабијен,

његова температура тежи да порасте (нпр. пумпа за бицикл), зависно од количине топлоте пренете у гас

или из њега, кроз границе система. Зато, ако се температура флуидног елемента држи константном

(прикладно за неке механизме преноса топлоте), онда се изотермна компресибилност дефинише као

(1.3)

1

T

T

sp

υ

υ

∂= −

∂ (1.3)

С друге стране, ако се топлота нити додаје нити одузима од флуидног делића (ако је компресија

адијабатска), и ако ниједан дисипативни механизам, као што су вискозност и дифузија, није важан (ако је

10

компресија реверзибилна), тада се компресија флуидног елемента дешава изентропски, и изентропска

компресибилност дефинише се као (1.4)

1

S

S

sp

υ

υ

∂= −

∂ (1.4)

при чему индекс S означава да је парцијални извод узет при константној ентропији.

Компресибилност је својство флуида. Течности имају врло мале вредности компресибилности (s за воду

је 5⋅10-10

m²/N при 101325 Pa), док гасови имају високу компресибилност (s за ваздух је 10-5

m²/N при

101325 Pa, више од четири реда величине већа него вода). Ако претпоставимо да флуидни елемент има

јединичну масу, υ је специфична запремина (запремина по јединици масе), и густина је ρ=1/υ. У

функцији густине, једначина (1.2) постаје (1.5)

1 d

ds

p

ρ

ρ= . (1.5)

Зато, увек када се промени притисак који делује на флуид, dp, одговарајућа промена у густини биће dρ,

где је из једначина (1.5)

d ds pρ ρ= . (1.6)

До сада се разматрао сам флуид, са компресибилношћу као једном карактеристиком. Сада се

претпоставља да је флуид у покрету. Таква струјања су иницирана и вођена од стране сила које делују на

флуид, обично изазване од, или бар удружене са, променом притиска. Видеће се да струјања великим

брзинама у општем случају укључују велике градијенте притиска. За дату промену притиску, dp, услед

струјања, једначина (1.6) показује да ће резултујућа промена густине код течности бити мала (за

течности које имају мале вредности s), а велика за гасове (високе вредности s). Зато, за струјање

течности, релативно велики градијенти притиска могу произвести велике брзине без велике промене

густине. За оваква струјања се обично претпоставља да су некомпресибилна, где је ρ константно. С друге

стране, за струјање гасова уз велико s, умерени до јаки градијенти притиска доводе до битних промена

густине преко једначине (1.6). Истовремено, такви градијенти притиска стварају велике разлике брзине у

гасу. Таква струјања су дефинисана као компресибилна струјања, где је ρ променљиво.

Касније ће се доказати да је за гасове код којих је брзина мања од 0,3 брзине звука, промена притиска

мала, и чак иако је s велико за гасове; dp у једначини (1.6) биће и даље довољно мало да диктира малу

промену густине dρ. Из тог разлога може да се претпостави да су струјања малим брзинама

некомпресибилна. На пример, брзине летења већине авиона из времена браће Рајт 1903, па све до

почетка Другог светског рата 1939, уопштено гледано, биле су мање од 400 километара на час (112 m/s),

што је мање од 0,3 брзине звука у ваздуху (c=341 m/s, t=15°C, p=101325 Pa)). Као резултат, већина ране

литературе о аеродинамици бави се некомпресибилним струјањима. С друге стране, брзине струјања

веће од 0,3 брзине звука повезане су са релативно великим променама притиска, праћене одговарајућим

великим променама густине. Зато је утицај компресибилности на аеродинамику авиона важна од

тренутка појаве летелица великих перформанси 1940. И заиста, за модерно високобрзинско подзвучно и

надзвучно ваздухопловство данас, старе теорије о некомпресибилности су у потпуности неадекватне, и

морају се користити анализе компресибилних струјања.

Дакле, у овој књизи ће се размотрити компресибилно струјање као струјање код којег промена притиска,

dp, преко карактеристичне дужине струјања, помножена са компресибилношћу из једначине (1.6),

доводи до промене густине, dρ/ρ, која је сувише велика да би могла да се занемари. За већину

практичних проблема, ако се густина мења за 5 % или више, сматра се да је струјање компресибилно.

11

1.3 РЕЖИМИ СТРУЈАЊА

Слика 1.3 Илустрација различитих режима струјања

Ера успешних летова са људском посадом почела је 17. децембра 1903. године, када су браћа Орвил и

Вилбур Рајт полетели, у свом историјском авиону Флајер 1 (Flyer 1), и винули се изнад пешчаних дина

Кил Девил Хилса у Северној Каролини. Ова ера настављена је све до данашњих дана модерним

субсоничним и суперсоничним авионима високих перформанси, као и хиперсоничним летовима

свемирских летилица кроз атмосферу. У 20. веку, летови са људском посадом, били су главна област

примене динамике флуида, док је компресибилно струјање било по страни. Стога, иако се основе

компресибилног струјања употребљавају у читавом низу модерних инжењерских проблема, њихова

примена у аеродинамици и пропулзивном погону код авиона и пројектила често је потцењена. У том

смислу, корисно је илустровати различите режиме компресибилног струјања, узимајући у обзир неке

12

дефиниције. Далеко узструјно од тела, струјање је униформно са брзином неузнемирене струје v∞.

Струјница је крива у струјном пољу, чија је тангента локални вектор брзине v у свакој тачки дуж криве.

Слика 1.3 илуструје само неке од безброј струјница око тела. Посматра се произвољна тачка у струјном

пољу, где су p, Т, ρ, и v�

- локални притисак, температура, густина и вектор брзине у истој тачки.

Све горе наведене величине карактеристике су тачке и варирају од једне до друге тачке у струјном пољу.

У поглављу 3 показаће се да је брзина звука c термодинамичка особина гаса; те и c исто тако варира од

тачке до тачке у струјном пољу. Ако је c∞ брзина звука у униформној слободној струји, онда се количник

v∞/c∞ дефинише као Махов број М∞ слободне струје. Локални Махов број М дефинисан је као М=v/c, и

варира од тачке до тачке у струјном пољу. Даље физичке ознаке Маховог броја биће размотрене у

поглављу 3. У овом поглављу Махов број искористиће се за дефинисање четири различита режима

струјања у динамици флуида.

Субсонично струјање – подзвучно струјање

Разматра се опструјавање аеропрофила, скицирано на слици 1.3 а. Овде је локални Махов број свуда

мањи од један. Такво струјање, где је М<1 у свакој тачки и где је брзина струјања свуда мања од брзине

звука, дефинише се као подзвучно (субсонично) струјање. Ово струјање карактеришу глатке струјнице и

континуална промена струјних карактеристика. Запажа се да почетне праве и паралелне струјнице у

слободној струји почињу да скрећу далеко уструјно од тела; струјање је упозорено на постојање тела. То

је значајна одлика подзвучног струјања и биће разматрана даље у поглављу 4. Исто тако, како струјање

прелази преко аеропрофила, локална брзина и Махов број на горњој површини расту изнад њихових

вредности у неузнемиреној струји. Aко је М∞ мањи од 1, локални Махов број ће остати свуда подзвучан.

За аеропрофил, који је обично у употреби, ако је 0,8M∞ ≤ , струјно поље је у општем случају у

потпуности подзвучно. Зато је, за аеродинамичаре који раде са авионима, подзвучни режим слободно

одређен неузнемиреном струјом са 0,8M∞ ≤ .

Трансонично струјање – околозвучно струјање

Ако М∞ остаје подзвучно, али је довољно близу 1, експанзија струјања изнад горње површине

аеропрофила може да резултира локалним суперсоничним регијама, као што је приказано на слици 1.3 б.

Такво струјање у измешаној средини дефинише се као трансонично струјање. На слици 1.3 б, М∞ мањи

је од 1, али је довољно велик да произведе џеп локалног суперсоничног струјања. У већини случајева,

као што је приказано на слици 1.3 б, овај џеп резултира ударним таласом који представља

дисконтинуалну промену струјних карактеристика. О ударним таласима ће се дискутовати у поглављу 4.

Ако М∞ расте мало преко јединице, ударни талас помериће се до ивице аеропрофила, а други ударни

талас јавља се уструјно од водеће ивице. Овај други ударни талас назива се лучни удар, и приказан је на

слици 1.3 в. (Према поглављу 1.1, ово је тип обрасца струјања, који постоји око крила Бел Икс Ес 1 у

моменту "пробијања звучног зида" при М∞=1,06.) Испред лучног удара, струјнице су праве и паралелне,

са Маховим бројем који одговара суперсоничној неузнемиреној струји. При проласку кроз лучни удар,

који је скоро нормалан у односу на слободну струју, струјање постаје субсонично - дозвучно. Међутим,

суперсонична регија поново се формира када се струјање шири преко површине аеропрофила и поново

престаје са појавом удара на крајњој ивици. Оба обрасца струјања приказана су на слици 1.3 б и в и

карактеришу их измешане области локалних субсоничних и суперсоничних струјања. Таква мешана

струјања дефинишу се као трансонична струјања, а 0,8 1,2M∞< ≤ дефинише се као трансонични

режим.

Суперсонично струјање – надзвучно струјање

Струјно поље где је свуда М>1 дефинисано је као суперсонично. Разматра се суперсонично струјање око

клинасто обликованог тела на слици 1.3 г. Коси ударни талас настаје на оштром врху профила. Кроз

ударни талас, правац струјница мења се дисконтинуално. Испред удара, струјнице су паралелне и

13

хоризонталне, иза удара оне остају паралелне, али у правцу закошене површине. Насупрот субсоничном

струјању на слици 1.3 а, суперсонична, униформна слободна струја није упозорена на присуство тела све

док се ударни талас не догоди. Струјање је суперсонично и уструјно и (обично, али не увек) ниструјно од

косог ударног таласа. Постоје драстичне физичке и математичке разлике између субсоничних и

суперсоничних струјања, што ће бити обрађено у следећим поглављима.

Хиперсонично струјање

Температура, притисак и густина струјања расту скоро експлозивно кроз ударни талас, приказан на слици

1.3 г. Како се М∞ повећава до већих суперсоничних брзина, овај раст постаје све више изражен.

Истовремено, коси ударни талас приближава се површини, као што је приказано на слици 1.3 д. За

вредности М∞>5, ударни талас је врло близу површини и у струјном пољу између удара и тела (гранични

слој) температура расте, толико да гас дисосује или се чак јонизује. Аспекти оваквих струјања са

високим температурама и хемијским реакцијама разматраће се у поглављима 13 и 14. Ови ефекти - танки

ударни слојеви и врели гасови који ступају у хемијске реакције - чине анализу оваквих струјања

комплекснијом. Из тог разлога, струјни режим за М∞>5 дат је специјални назив - хиперсонично струјање.

Усваја се да је М∞=5 гранична вредност између суперсоничног и хиперсоничног струјања. У реалности,

посебне карактеристике повезане са хиперсоничним струјањем појављују се постепено, са порастом М∞,

а Махов број, при којем ове карактеристике постају битне, у многоме зависи од облика самог тела и

густине слободне струје.

Занимљиво је да се забележи да некомпресибилно струјање јесте специјални случај субсоничног

струјања; наиме, то је гранични случај, где 0M ∞ → . Како је /M v c∞ ∞ ∞= постоје два случаја:

1) 0 јер 0

2) 0 јер .

M v

M c

∞ ∞

∞ ∞

→ →

→ → ∞

Први случај не одговара ниједном струјању и тривијалан је. Други доказује да би брзина звука у заиста

некомпресибилном струјању морала бити бесконачно велика. Ово је у складу са једначином (1.6), што

потврђује да за заиста некомпресибилно струјање где је dρ = 0, s мора бити нула, односно нулта

компресибилност. У поглављу 3 види се да је брзина звука обрнуто пропорционална квадратном корену

од s; дакле, s = 0 указује на бесконачну брзину звука.

Постоје други начини класификације струјних поља. На пример, струјања код којих су ефекти

вискозности, топлотне проводљивости и дифузија масе важни, називају се вискозним струјањима. То су

дисипативни ефекти који мењају ентропију струјања, и битни су у подручјима са великим градијентом

брзине, температуре и хемијским реакцијама. Примери су: струјања у граничном слоју, струјања у

дугачким цевима и танки ударни слој на хиперсоничним летилицама на великим висинама. Отпорна сила

услед трења, сепарација струјног поља и пренос топлоте, сви уључују вискозне ефекте. Зато су вискозна

струјања од огромне важности у проучавању динамике флуида. За разлику од њих, струјања код којих су

вискозност, топлотна проводљивост и дифузија занемарене називају се невискозна струјања. На први

поглед невискозна струјања јављају се ретко; међутим постоје бројне важне примене, које не укључују

струјања са високим градијентима и за које се може претпоставити да су невискозна. Примери су: велики

струјни простор при опстујавању крила и тела изван танког граничног слоја на површини, струјања кроз

ваздушне тунеле и млазнике ракетних мотора и струјања преко лопатица компресора и турбина млазних

мотора. Расподела површинског притиска као и аеродинамични потисак и моменти на нека тела могу се

појавити и под претпоставком невискозних струјања. У овој књизи вискозни ефекти ће бити занемарени

осим при указивању на њихову улогу у формирању интерне струкуре и дебљине ударних таласа. Значи,

ова књига бави се компресибилним, невискозним струјањима.

Сматра се да је гас континуум. Наравно, гас чини велики број атома и молекула, и сви они крећу се мање

или више хаотично, често се међусобно сударајући. Ова микроскопска слика гаса је есенцијална за

разумевање термодинамичких и хемијских својстава гаса на високим температурама, описаних у

14

поглављима 13 и 14. Међутим, при извођењу фундаменталних једначина и концепта струјања флуида,

има се на уму чињеница да гас обично садржи велики број молекула (преко 2⋅1019

молекула/cm3 за ваздух

при нормалним собним условима), и зато се флуид на макроскопској основи понаша као да се ради о

континууму. Ова претпоставка о континууму једино је нарушена када је растојање које атом или молекул

пређе између два судара (средња слободна путања) тако велико да је истог реда величина као

карактеристична димензија струјања. Ово указује на малу густину или разређено струјање. Екстремна

ситуација када је средња слободна путања много већа од карактеристичне дужине и где се практично не

дешавају судари, назива се слободно молекуларно струјање. У том случају струјање је уствари струјање

врло удаљених делића. Струјања са малом густином и слободна молекуларна струјања су пре специјални

случајеви у целој динамици флуида, и јављују се само током лета на врло великим висинама (изнад

60.000 m) и у специјалним лабораторијским условима као што су снопови електрона и гасни ласери

ниског притиска. Овакви ретки ефекти гаса су изван интересовања ове књиге.

1.4 КРАТАК ПРЕГЛЕД ТЕРМОДИНАМИКЕ

Флуид који се креће великом брзином има велику кинетичку енергију по јединици масе, v

2/2. При

струјању флуида преко чврстих тела или кроз канале, као што су млазница и дифузори, мења се и

локална брзина, дакле и локална кинетичка енергија. За разлику од струјања малим брзинама или

некомпресибилног струјања, ове промене енергије довољно су велике да веома утичу на друге

карактеристике струјања. Пошто су струјања великом брзином и компресибилна струјања у већини

случајева једно те исто, енергијски закони играју примарну улогу у проучавању и разумевању овог

струјања. С друге стране, наука о енергији (и ентропији) је термодинамика, па је стога термодинамика

неопходан чинилац у изучавању компресибилног струјања.

Ово поглавље даје кратак извод термодинамичких појмова и релација неопходних за даље проучавање.

Ово никако не представља излагање о термодинамици већ даје кратак преглед само оних основних идеја

и једначина које ће бити директно употребљене у предстојећим поглављима.

Идеалан гас

Гас је скуп честица (молекула, атома, јона, електрона итд.) који се, више или мање, крећу хаотично. У

складу са структуром електрона ових честица, поље сила испуњава простор око њих. Поље сила једне

честица досеже и реагује са суседним честицама и обрнуто. С тога су ова поља названа међумолекулске

силе. Интензитет међумолекулских сила зависи од растојања између честица. За већину атома и молекула

то је слаба привлачна сила када су честице на великој удаљености, која се брзо мења у снажну одбојну

силу, када су честице близу. Уопштено говорећи, међумолекулске силе утичу на кретање честица, а тиме

и на термодинамичке карактеристике гаса које су макроскопски одраз кретања честица.

За многе случајеве компресибилног струјања карактеристично је да су на различитим температурама и

притисцима честице гаса, у просеку, веома удаљене. Просечно растојање између честица обично је веће

од 10 пречника молекула што доводи до формирања веома слабе привлачне силе. Као резултат овога, за

велики број инжињерских проблема утицај међумолекулских сила на карактеристике гаса је занемарив.

По дефиницији, идеалан гас је онај у коме су међумолекулске силе занемарљиве. Занемарујући

међумолекулске силе, једначина стања за идеалан гас може да се изведе из теоријских принципа

савремене статистичке механике или кинетичке теорије. Историјски посматрано, једначина стања

идеалног гаса први пут је изведена помоћу лабораторијских мерења Роберта Бојла у седамнаестом веку,

Жака Чарлса у осамнаестом и Жозефа Геј-Лисака и Џона Далтона око 1800. Емпиријски резултат изведен

из ових огледа био је

pV mRT= (1.7)

15

где су: p притисак [N/m2], V запремина система [m

3], m маса система [kg], R специфична гасна константа

[Ј/(kg K)] која је различита за различите гасове и Т температура [K]. Ова једначина стања може бити

написана у различитим облицима, од којих је већина сумирана у наставку као олакшица читаоцу. На

пример, ако се једначина (1.7) подели са масом система следи

p RTυ = (1.8)

где је υ специфична запремина [m3/kg].

Како је густина ρ = 1/υ, једначина (1.8) постаје

p

RTρ

= (1.9)

Ако се крене другим путем, који делимично може да се користи у системима хемијских реакција, рани

фундаментални емпиријски оглед такође је довео до следећег облика једначине стања

upV nR T= (1.10)

где је n [mol] број молова гаса у систему, а Ru [J/mol K] је универзална гасна константа која је иста за све

гасове. Подсећања ради, мол супстанце је она количина материје која садржи масу бројно једнаку

моларној маси гаса. На пример, за чист двоатомни кисеоник (О2), 1 mol има масу од 32 g. Пошто су масе

различитих молекула у истом односу са њиховим молекуларним масама, 1 mol различитих гасова увек

садржи исти број молекула тј. 1 mol увек садржи 6,022⋅1023

молекула, независно од врсте гаса. Ако се

једначина (1.10), подели са бројем молова система следи:

' upV R T= (1.11)

где је V' моларна запремина [m3/mol]. Једначина која је више у употреби у динамици гасова се добија

када једначину (1.10) поделимо са масом система:

up R Tυ η= (1.12)

где је υ и даље специфична запремина, а η представља однос броја молова и масе [mol/kg]. Такође,

једначина (1.10) може да се подели са специфичном запремином система, дајући

up CR T= (1.13)

где C представља концентрацију [mol/m3].

Коначно, једначина стања може да се представи у односу на честице. Нека NА буде број честица у молу

(Авогадров број, који износи 6,022⋅1023

mol-1

). Множећи и делећи једначину (1.13) са NА добија се

( ) uA

A

Rp N C T

N

=

(1.14)

Посматрајући јединице мере, NАC представља бројну густину (број честица по јединици запремине), а

Ru/NА је гасна константа по броју честица, што је заправо Болцманова константа k (k=1,38⋅10-23

J/K).

Дакле, једначина (1.14) постаје

p NkT= (1.15)

где N [m-3

] означава бројну густину.

16

Све у свему, читалац ће се повремено сусретати са различитим, горе наведеним, облицима једначине

стања идеалног гаса. Све оне представљају исто и потребно је да се упознају сви њени облици. У овој

књизи, нарочито ће се употрбљавати једначине (1.8), (1.9) и (1.12). Такође, влада и разноликост гасних

константи. Могу се разликовати на следећи начин:

Када се у једначини користе молови, употребљава се универзална гасна константа, која је „гасна

константа по молу“. Иста је за све гасове и има вреденост

Ru= 8,314 Ј/(mol⋅K)

Када се у једначини користи маса, употребљава се специфична гасна константа, која је „гасна константа

по јединици масе“. Различита је за различите гасове и повезана је са универзалном гасном константом

релацијом R=Ru/M, где је M моларна маса. За ваздух при стандардним условима

R=287 Ј/(kgK)

Kада се у једначини ради о честицама, користи се Болцманова константа k, која је „гасна константа по

броју честица“

k=1,38⋅10-23

J/K

Колико је прецизна претпоставка о идеалности гаса? Експериментално је потврђено да, на ниским

притисцима (око и испод 1 bar) и на високим температурама (нормална температура, 273 К, и вишим),

вредност pυ/RT за већину чистих гасова одступа од јединице мање од 1 %. Ипак, на ниским

температурама и високим притисцима, молекули гаса су више збијени па међумолекулске силе добијају

на важности. Под овим условима, гас је дефинисан као реалан гас. У оваквим случајевима, једначина

стања идеалног гаса мора бити замењена прикладнијом једначином каква је Вандервалсова

( )a

p b RTυυ

+ − =

(1.16)

где су а и b константе које зависе од врсте гаса. По слободној процени, одступање од једначине стања

идеалног гаса је приближно p/Т3. У већини случајева, у примењеној динамици флуида, температуре и

притисци су такви да се једначина p=ρRТ може користити са приличном поузданошћу. То ће бити случај

и са проблемима у овој књизи.

Почетком 50-тих, аеродинамичари су се изненада суочили са хиперсоничним летелицама које су се

кретале брзинама од око 8 km/s. Ударни слојеви око ових летелица били су довољно врели да

проузрокују хемијске реакције у ваздушној струји (дисоцијацију, јонизацију итд). У то време, постало је

модерно да се, у аеродинамичкој литератури, овакве појаве дефинишу као „ефекти реалног гаса“. Ипак, у

класичној хемији, реалан гас је онај у коме су међумолекулске силе веома значајне, дефиниција је

потпуно независна од идеје о хемијским реакцијама. У наредним поглављима користиће се класична

дефиниција. За хемијски реактивне гасове, као што ће се видети у поглављу 13, већина проблема може се

решавати под претпоставком да су мешавина идеалних гасова за које важи релација p= ρRТ. Али, пошто

је R=Ru/M, а M се мења у зависности од хемијских реакција, R је променљиво током струјања. Стога би

било добро не поистовећивати ове појаве са „ефектима реалног гаса“ и овај термин се неће користити у

овој књизи. Уместо тога, говориће се о „хемијским реакцијама мешавине идеалних гасова“ који ће бити

предмет расправе у поглављима 13 и 14.

Унутрашња енергија и енталпија

Посматра се поново микроскопски ниво гаса као скуп честица у хаотичном кретању. Појединачна

кинетичка енергија сваке честице доприноси повећању укупне енергије гаса. Осим тога, ако је

посматрана честица молекул, његово ротационо и осцилаторно кретање (поглавље 13) такође доприноси

повећању енергије гаса. На послетку, кретање електрона и у атомима и у молекулима представља извор

17

енергије. О атомским и молекуларним енергијама биће више речи у поглављу 13. Довољно је да се каже

да енергија честице може да се састоји од енергија различитих облика кретања. С друге стране, збир

енергија свих честица гаса чини унутрашњу енергију, u, гаса. Осим тога, ако се честице гаса (названих

систем) налазе у стању „максималне неуређености“ (поглавље 13), систем честица налази се у

равнотежи.

Сада се разматра макроскопски ниво гаса као континуума. Овде се равнотежа показује тиме што нема

промене брзине, притиска, температуре, хемијске концентрације у систему тј. систем има јединствене

карактеристике. За равнотежни систем реалног гаса, где се међумолекулске силе не могу занемарити, као

и за равнотежну хемијски реактивну мешавину идеалних гасова, унутрашња енергија је функција и

температуре и запремине. Ако се са u обележи специфична унутрашња енергија (унутрашњу енергију по

јединици масе), тада је енталпија, h, по јединици масе, дефинисана као h=u+pυ, па следи

u=u(Т,υ) и h=h(Т,p) (1.17)

и за реалне гасове и за хемијски реактивне мешавине идеалних гасова.

Ако гас није хемијски реактиван и ако се занемаре међумолекулске силе, добија се систем назван

термички идеалан гас или разређен гас или полуидеалан гас, коме су унутрашња енергија и енталпија

функције само температуре и коме су специфичне топлоте на константном притиску и константној

запремини, cp [J/kgK] и cv [J/kgK], такође функције једино температуре:

( )

( )d d

d d

v

p

u u T

h h T

u c T

h c T

=

=

=

=

(1.18)

Зависност cv и cp од температуре повезана је са осцилацијама и кретањима електрона у честицама и биће

објашњенa у поглављу 13.

Коначно, ако су специфичне топлоте константе, систем је енергијски идеалан гас или само идеалан гас,

код кога важи

v

p

u c T

h c T

=

= (1.19)

у једначини (1.19) претпостављено је да је h=u=0 на Т=0 К.

У многим случајевима компресибилних струјања, притисци и температуре довољно су уједначени да гас

може да се сматра идеалним. Бројна литература из струјања даје константне специфичне топлоте. У

првој половини ове књиге радиће се под претпоставком да је гас идеалнан. Ово је случај за атмосферски

ваздух на температурама испод 1000 К. Ипак, на вишим температурама осцилаторна кретања молекула

О2 и N2 постају утицајна и ваздух постаје идеалан гас са специфичним топлотама које зависе од

температуре. Коначно, када температура порасте на 2500 К молекули О2 дисосују у О атоме и ваздух

постаје хемијски реактиван. Преко 4000 К молекули N2 почињу да дисосују. За ове хемијски реактивне

случајеве, из једначине (1.17), u зависи и од Т и од υ, а h зависи и од Т и од p. (У ствари, у

термодинамици равнотеже, свака величина стања једнозначно је одређена другим двема величинама

стања стога је потребно повезати Т и υ са u; и Т и p са h). У поглављима 13 и 14 биће обрађена

термодинамика и динамика и разређених и хемијски реактивних гасова.

У складу са једначином (1.9) и дефиницијом енталпије добија се релација

cp-cv=R (1.20)

где су специфичне топлоте при константном притиску и при константној температури дефинисане као

18

p

p

hc

T

∂ =

∂

v

v

uc

T

∂ = ∂.

Једначина (1.20) важи за идеалан и за разређен гас. Она не важи за хемијски реактивне или реалне гасове.

Два употребљива облика једначине (1.20) могу се добити на следећи начин. Једначина (1.20) подели се са

cp:

1 v

p p

c R

c c− = . (1.21)

Дефинише се експонент изентропе κ=cp/cv. За ваздух при стандардним условима κ=1,4. Тада једначина

(1.21) постаје

1

1p

R

cκ− = .

Решавајући по cp добија се

1

p

Rc

κ

κ=

−. (1.22)

Слично томе, ако се једначина (1.20) подели са cv добија се да је

-1

v

Rc

κ= . (1.23)

Једначине (1.22) и (1.23) важе за топлотно и енергијски идеалан гас. Користиће се у наредним

проучавањима компресибилног струјања.

Први закон термодинамике

Посматра се систем, који представља одређену масу гаса издвојену од околине флексибилним

границама. У неком тренутку времена претпостави се да је систем стационаран тј. да нема усмерену

кинетичку енергију. Нека δq [J/kg] буде доведена топлота систему кроз границу (рецимо радијацијом или

кондукцијом). Такође, нека δw [J/kg] означава извршени рад над системом од стране околине (рецимо

померањем граница, смањењем запремине система). У складу са кретањем молекула гаса, систем има

унутрашњу енергију u [J/kg]. (То је специфична унутрашња енергија ако се претпостави да је систем

јединичне масе.) Додата топлота и извршен рад над системом проузрокују промену енергије, а пошто је

систем стационаран, ова промена енергије је du

δq + δw = du (1.24)

што представља први закон термодинамике. То је емпиријски резултат потврђен лабораторијским

експериментима и пректичним искуством. У једначини (1.24) u [J/kg] је величина стања. С тога, du је у

ствари диференцијал, а његова вредност зависи само од почетног и крајњег стања система. Са друге

стране, δq и δw зависе од тока процеса од почетног до крајњег стања.

За задато du, у суштини постоји бесконачно много начина (процеса) којима се може додати топлота и

извршити рад на систему. Овде ће се концентрисати на следећа три начина:

Адијабатски процес – онај којим се топлота нити додаје нити одводи из система.

Реверзибилни процес – онај у коме нема дисипације тј. где не постоје утицаји вискозности, термичке

проводљивости и промене масе.

19

Изентропски процес – онај који је и адијабатски и реверзибилан.

За реверзибилне процесе лако се може доказати да је δw=–pdυ, где је dυ пораст специфичне запремине у

складу са померањем границе система. С тога, једначина (1.24) постаје

δq – pdυ =du (1.25)

Ако је, уз то, овај процес такође и адијабатски - дакле изентропски, једначина (1.25) води до неких веома

корисних термодинамичких формула. Ипак, пре упознавања са овим формулама корисно је сагледати

појам ентропије.

Ентропија и други закон термодинамике

Посматра се коцка леда у додиру са усијаном челичном плочом. Искуства кажу да ће се лед загрејати (и

највероватније отопити), а да ће се челична плоча охладити. Ипак, једначина (1.24) не тврди да ће се ово

обавезно десити. У ствари, први закон даје могућност да се лед хлади, а плоча загрева све док се енергија

одржава током процеса. Очигледно је да се ово не дешава. Уместо тога, природа намеће друге услове

процеса, услове који нам казују у ком смеру ће се процес одвијати. Да би се одредио исправан смер,

дефинише се нова величина стања, ентропија, на следећи начин:

d revqs

T

δ=

где су: s [J/kgK] ентропија система, δqrev [J/kg] прираштај топлоте који се реверзибилно додаје систему, а

Т [K] температура система. Малопређашња дефиниција не треба да збуни читаоца. Она показује промену

ентропије у условима повратног додавања топлоте, δqrev. Међутим, ентропија је величина стања и може

бити употребљена заједно са било којом врстом процеса, повратним или неповратним. Количина δqrev је

само фиктивна величина. Ефективна вредност δqrev може се увек доделити да повеже почетне и крајње

тачке неповратног процеса, где је стварна количина додате топлоте δq. Алтернативна и, вероватно,

јаснија релација је

d d irev

qs s

T

δ= + . (1.26)

Најчешће се користи једначина (1.26). Она каже да је промена ентропије у току било ког процеса са

прираштајем енергије једнака стварној доведеној топлоти подељеној са температуром, δq/Т, плус

допринос феномена неповратне дисипације од вискозности, термичке проводљивости и преноса масе

остварених унутар система, dsirev. Ови феномени дисипације већ повећавају ентропију:

dsirev≥0. (1.27)

Знак једнакости означава реверзибилан процес, где по дефиницији нема дисипације. Стога, комбинација

једначина (1.26) и (1.27) доводи до

dq

sT

δ≥ (1.28)

Осим тога, ако је процес адијабатски, δq=0, једначина (1.28) постаје

ds≥0 (1.29)

Једначине (1.28) и (1.29) су облици другог закона термодинамике. Други закон нам казује у ком смеру ће

се процес одвијати. Процес ће наставити у смеру у коме ће се ентропија система и околине увек

повећавати, или у крајњем случају остати иста. У приказаном примеру са почетка лекције, потребно је да

се замисли да систем сачињавају и лед и челична плоча. Истовремено грејање леда и хлађења плоче

доводи до повећавања ентропије система без губитака. Са друге стране, немогућа ситуација хлађења леда

и грејања плоче доводи до чистог смањивања ентропије, ситуације коју не дозвољава други закон

термодинамике. Све у свему, појам ентропије у комбинацији са другим законом дозвољава да се

претпостави смер који ће природа наметнути.

20

Израчунавање ентропије

С обзиром на први закон термодинамике изражен једначином (1.25), ако се претпостави да је размена

топлоте реверзибилан процес онда се користи дефиниција ентропије у следећем облику drevq T sδ = , тада

једначина (1.25) постаје:

d d dT s p uυ− =

d d dT s u p υ= + (1.30)

Други израз за први закон термодинамике може се добити помоћу енталпије:

h u pυ= + .

Диференцирањем, добија се

d d d dh u p pυ υ= + + . (1.31)

Комбиновањем једначина (1.30) и (1.31), следи:

d d dT s h pυ= − . (1.32)

Једначине (1.30) и (1.32) су значајне, и треба их познавати као и оригинални облик првог закона,

једначину (1.24).

За разређен гас, из једначине (1.18), следи d dph c T= . Заменом у једначину (1.32) добија се:

d d

dp

T ps c

T Tυ= − (1.33)

Заменом једначине стања идеалног гаса p RTυ = у једначину (1.33), добија се једначина

d d

d p

T ps c R

T p= − (1.34)

чијим се интеграљењем од стања 1 до стања 2 добија

2

1

22 1

1

dln

T

p

T

pTs s c R

T p− = −∫ . (1.35)

Једначина (1.35) важи за разређен гас. Формула је важећа ако је cp функција температуре Т. Једначина

може даље да се упрости уз претроставку да је cp=const. за идеалан гас.

Једначина (1.35) је даље

2 22 1

1 1

ln lnp

T ps s c R

T p− = − . (1.36)

Ако се на сличан начин почене од једначине (1.30) уз коришћење d dv

u c T= , промена ентропије такође

може да се изрази на следећи начин:

2 22 1

1 1

ln lnv

Ts s c R

T

υ

υ− = + (1.37)

За вежбу, доказати претходну једначину. Једначине (1.36) и (1.37) омогућавају израчунавање промене

ентропије између два стања за идеалне гасове, користећи притисак и температуру, или специфичну

запремину и температуру. Обратити пажњу да је ентропија функција притиска p и температуре T, или

специфичне запремине υ и температуре T, чак и за најједноставнији случај идеалног гаса.

21

Релације за изентропске промене

Изентропски процес раније је дефинисан као адијабатски и реверзибилан. За адијабатски процес важи

0qδ = , а за реверзибилан процес да је d 0irev

s = . Стога се из једначине (1.26) добија да је за изентропски

процес ds=0, што значи да је s=const.

Важне релације за изентропски процес могу да се добију директно из једначина (1.36) и (1.37) за s2=s1. На

пример из једначине (1.36) следи

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

0 ln ln

ln ln

.

p

p

p

c

R

T pc R

T p

cp T

p R T

p T

p T

= −

=

=

(1.38)

Коришћењем једначине (1.22):

1

pc

R

κ

κ=

−

и заменом у једначину (1.38) добија се

1

2 2

1 1

p T

p T

κ

κ − =

(1.39)

Слично за једначину (1.37) следи

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

0 ln ln

ln ln

.

v

v

v

c

R

Tc R

T

c T

R T

T

T

υ

υ

υ

υ

υ

υ

−

= +

= −

=

(1.40)

Из једначине (1.23) је

1

1

vc

R κ=

−.

Заменом у једначину (1.40), добија се

1

12 2

1 1

.T

T

κυ

υ

−−

=

(1.41)

Имајући у виду да је

2 2

1 1

ρ υ

ρ υ= ,

једначина (1.41) постаје

22

1

12 2

1 1

.T

T

κρ

ρ

− =

(1.42)

Сумирањем једначина (1.39) и (1.42) добија се:

1

2 2 2

1 1 1

.p T

p T

κκ

κρ

ρ

− = =

(1.43)

Једнакост (1.43) је веома значајна. Она повезује притисак, густину и температуру за изентропски процес.

Веома често се користи у анализама компресибилног струјања.

Могло би се са правом поставити питање зашто је једначина (1.43) тако важна и зашто се често користи.

Јер на први поглед, изентропски процес изгледа врло рестриктиван - адијабатски и реверзибилан - тако

да му је примена врло ограничена. Међутим, то није тачно, што може да се види при разматрања

струјања ваздуха преко авионског крила или кроз ракетни мотор. У близини површине авионског крила и

зидова млазника ракетног мотора, формира се гранични слој унутар кога дисипативни механизми

вискозности, топлотне проводљивости и дифузије имају јак утицај. Стога, ентропија расте унутар

граничног слоја. Са друге стране сматра се да је у флуидном делу изван граничног слоја дисипација

незнатна. Осим тога, ако нема довођења или одвођења топлоте флуиду изван граничног слоја - струјање

је и адијабатско. Као резултат, струјање флуида изван граничног слоја може да се сматра изентропским.

Осим тога, вискозни гранични слој је обично танак, тако да је велика област струјног поља изентропска.

Теорија изентропских струјања директно је применљива на многе типове практичних струјних проблема.

Једначина (1.43) јако је добра релација за такво струјање, важи за идеалан гас.

Овим се завршава кратак преглед термодинамике. Сврха је била да пружи суму идеја које ће бити

искориштене у даљој дискусији. Неопходни аспекти термодинамике у вези са високо температурним

хемијски реактивним гасовима биће развијени у поглављу 13.

1.5 АЕРОДИНАМИЧКЕ СИЛЕ НА ТЕЛУ

Историјатом динамике флуида доминирало је проучавање сила на телима која се крећу кроз флуид – као

на пример, кретање бродова кроз воду, а у деветнаестом и двадесетом веку кретање летелица кроз

ваздух. Њутново проучавање струје флуида у његовом делу Principia (1687) делом је било оријентисано

према предвиђању понашања сила на опструјаваној нагнутој површини. Прорачун аеродинамичких и

хидродинамичких сила и даље остаје центар проучавања динамике флуида. Ово је посебно тачно за

компресибилно струјање, којим управљају аеродинамичка сила потиска и сила отпора на високо-

брзинским субсоничним, трансоничним, суперсоничним и хиперсоничним авионима и ракетама. Стога, у

неколико делова ове књиге, основи компресибилног струјања биће примењени у практичним

прорачунима аеродинамичких сила на високо-брзинским телима.

Механизам којим природа преноси аеродинамичку силу на површину је јасан. Ова сила потиче из само

два основна извора: притисак на површину и тангенцијални напон. Посматра се као пример профил

авионског крила јединичне ширине дат на слици 1.4. Нека је s растојање мерено дуж крила од његовог

врха. У општем случају притисак p и тангенцијални напон τ у функцији су од s; ( )p p s= и ( )sτ τ= . Ове

расподеле притисака и тангенцијалног напона једини су начин којим природа комуницира са

аеродинамичком силом на крилу. Ради прецизности, размотриће се елементарна површина dA на коју

делује притисак p, нормално на њу, и тангенцијални напон τ, тангенцијално на њу, као што је дато на

слици 1.4. Нека су n�

и m�

јединични вектори нормално и паралелно на елементарну површину dA. За

будуће потребе погодно је да се дефинише вектор d dA n A=� �

; тако да је dA�

вектор нормале површине dA.

На слици 1.4 елементарна сила dF�

која делује на dA је тада:

23

d d d d dF pn A m A p A m Aτ τ= − + = − +�� � � �

(1.44)

На слици 1.4 види се да p делује према површини док dA�

делује од површине. Због тога у једначини

(1.44) фигурише предзнак минус. Укупна аеродинамичка сила F�

која делује на цело тело сума је свих

елементарних сила које делују на елементе површине. Ово се може изразити као површински интеграл из

(1.44):

d d dA A A

F F p A m Aτ= = − +∫ ∫ ∫�� � �

(1.45)

Слика 1.4 Врсте аеродинамичких сила; резултантна сила и њено

разлагање на узгонску и отпорну компоненту

На десној страни једначине (1.45), први интеграл представља силе притиска, а други интеграл

представља силе трења. Интеграција се врши на целој површини тела.

Сматра се да су x, y, z ортогоналне кординате као што је приказано на слици 1.4. Узима се да су x и y осе

паралелне и нормалне на v∞. Ако је F�

сума аеродинамичких сила из једначине (1.45), онда су сила

узгона L

F�

и сила отпора D

F�

дефинисане као компоненте силе F�

у y и x правцима. У аеродинамици се са

v∞ обележава брзина неузнемирене струје, а силе узгона и отпора су увек нормалне тј. паралелне у

односу на њу. За многе практичне примере у аеродинамици, L

F�

се обично јавља због расподеле притиска

по површини; расподела тангенцијалног напона има мали удео. Стога, из једначине (1.45) и са слике 1.4

сила узгона може бити приказана као:

компонента од dL

A

F y p A

≈ − ∫��

(1.46)

а сила отпора:

A

компонента од d компонента од dD

A

сила притиска сила трења

F x p A x m Aτ

= − + ∫ ∫�� �

����������� �������������

(1.47)

Ова књига бави се искључиво невискозним струјањем, као што је речено у поглављу 1.3. За многа тела

невискозно струјање тачно је одређено расподелом притиска по површини. За таква тела резултати

добијени у овој књизи у вези су са једначином (1.46) и омогућавају одређивање силе узгона. Са друге

стране сила отпора настаје и услед расподеле притиска и расподеле тангенцијалног напона као што се

види из једначине (1.47). Пошто се неће разматрати вискозна струјања, сила отпора услед трења неће

моћи да се одреди. Шта више, отпорна сила услед притиска у једначини (1.47) често је под утицајем

одвајања флуидне струје од тела што је такође вискозни ефекат. Стога, основе невискозног

компресибилног струјања у многим ситуацијама не дају тачну силу отпора. Међутим за силу отпора

24

услед ударних таласа на витким суперсоничним профилима, такозвани отпорни талас, обично су сасвим

довољне технике за невискозно струјање, као што ће се видети у наредним поглављима.

1.6 МОДЕРНО КОМПРЕСИБИЛНO СТРУЈАЊЕ

У поглављу 1.1 видело се како је конвергентно-дивергентни Лавалов млазник за пару помогао да се

уведе компресибилно струјање у свет практичних инжињерских примена. Међутим, компресибилно

струјање није привлачило већу пажњу до појаве млазног погона и летова великим брзинама током другог

светског рата. Заиста између 1945. и 1960. основе и примене компресибилног струјања постали су

''класика'', генерално окарактерисани са:

• Бављењем идеалним гасом (са константним специфичним топлотама).

• Тачним решењима струјања у једној димензији, али често и апроксимативним решењима

(базираним на линеаризовању једначина) за дво и тро димензионална струјања. Ова решења

била су у затвореном облику и захтевала су једначине или формуле у циљу добијања жељених

информација. Изузеци су били: метод карактеристика (тачан нумерички приступ) применљив на

извесне класе компресибилног струјања (видети поглавље 11), и тачно Тејлор-Меколи решење

струјања преко оштрог конуса са нултим нападним углом (поглавље 10). Оба ова решења

захтевала су нумеричко решавање које је било скопчано са великим потешкоћама пре појаве

модерних брзих дигиталних рачунара.

Од 1945. године написано је много добрих књига о класичном компресибилном струјању. Неке од њих

набројане су у списку литературе на крају ове књиге. Препоручљиво је да се ова литература проучи јер је

темељно разумевање класичног компресибилног струјања битно за модерну примену.

Од приближно 1960., компресибилно струјање улази у ''модеран'' период окарактерисан са:

• Потребом за проучавањем високотемпературних, хемијски реактивних гасова који су у вези са

хиперсоничним летовима и ракетним моторима. Ова проучавања захтевају обимно проширење

и модификовање класичне литературе засноване на идеалним гасовима.

• Развојем гране динамике флуида базиране на примени рачунара (CFD – Computational Fluid

Dynamics) што представља нову трећу димензију у динамици флуида, допуњују се друге

димензије, чистог експеримента и чисте теорије. Појавом модерних брзих дигиталних рачунара,

а тиме и развојем ЦФД-а као посебне дисциплине, практична решења егзактних једначина за

велики број проблема сложеног компресибилног струјања сада су на дохват руке. Укратко ЦФД

је уметност замењивања важећих парцијалних диференцијалних једначина струјања флуида

бројевима, и унапређења ових бројева у простору и/или времену у циљу добијања коначног

нумеричког описа целокупног посматраног струјног поља. Коначан резултат ЦФД -а је заиста

скуп бројева, за разлику од аналитичких решења у затвореном облику. Међутим циљ већине

инжињерских анализа у затвореном или неком другом облику је на крају крајева квантитативни

опис проблема, тј. бројеви (видети на пример литературу 18).

Савремено компресибилно струјање је мешавина класичне анализе и рачунарских техника, при

проучавању неидеалних гасова. Циљ ове књиге је да се пружи разумевање компресибилног струјања са

ове тачке гледишта. Њена намера је да обједини важне аспекте класичног компресибилног струјања са

савременим техникама ЦФД-а. Први део књиге бави се углавном идеалним гасом. Други део садржи

логичка проширења у области високо температурних гасова, као и суочавањем ових резултата са

резултатима из класичне анализе. Осим тога различити историјски аспекти развоја компресибилног

струјања, класични и модерни, приложени су заједно са техничким материјалом. На овај начин

покушано је да се читаоцу пробуди поштовање према наслеђу ове дисциплине. Аутор снажно верује да је

25

знање ових историјских традиција и открића важно за потпуно фундаментално разумевање ове

дисциплине.

ПРОБЛЕМИ

1. На врху ракете у лету, притисак и температура су 5,6 bar и 1062,5 °C. Израчунати густину и

специфичну запремину.

2. У резервоару суперсоничног ваздушног тунела, притисак и температура ваздуха су 10 bar и 320

К. Израчунати густину и моларну масу.

3. За енергијски идеалан гас, изведена је једначина p v

c c R− = . Поновити извођење за термички

идеалан гас.

4. Однос притисака и температура за дати ударни талас, за ваздух су 2 1 4,5p p = и 2 1 1,687T T = ,

где су са 1 и 2 обележена стања испред и иза ударног таласа. Израчунати промену ентропије.

5. Претпоставља се да је струјање ваздуха кроз дату цев изентропско. У једној тачки цеви притисак

и температура су 1 86200 Pap = и 1 625T = °С, а у другој тачки температура је 500 °С. Израчунати

притисак и густину у другој тачки.

26

ДРУГО ПОГЛАВЉЕ

ИНТЕГРАЛНИ ОБЛИЦИ ЈЕДНАЧИНА КОНЗЕРВАЦИЈЕ ЗА

НЕВИСКОЗНА СТРУЈАЊА

Математика је до сада била прилично бескорисна што се тиче летења.

Из 14. Годишњег извештаја за аеронаутику

Велике Британије, 1879.

Математичке теорије које су на случајан начин развили чисти

математичари показале су се као погодне за описивање струјања

ваздуха око авиона са таквом тачношћу да могу да се примене

директно за пројектовање авиона.

Теодор фон Карман, 1954.

2.1 ФИЛОЗОФСКИ АСПЕКТ

Разматра се струјно поље око произвољног аеродинамичког тела. Потребно је да се одреде

карактеристике тог струјног поља ( , , , ,...p T vρ�

) унутар свих тачака струје. Зашто? Ако могу да се

израчунају струјне особине кроз струју, тада могу да се поуздано израчунају и струјне особине на

површини тела. Из расподеле , , , ,...p T vρ�

на површини, могуће је да се израчунају аеродинамичке силе

(узгона и отпора), моменти и пренос топлоте на тело. Заиста, израчунавање тих практичних информација

један је од главних задатака теорије механике флуида, било да је у питању суперсонична ракета у лету,

подморница под водом или високоспратна зграда изложена урагану. Да би се дошло до практичних

информација за инжињерске конструкције у флуидној струји, често је неопходно да се нађу теоријска

решења за цело струјно поље.

Како се одређују својства струјног поља? Одговор се налази у алгебарским, диференцијалним или

интегралним једначинама које повезују , , , ,...p T vρ�

међу собом, уз одговарајуће граничне услове за

одређени проблем. Те једначине се добијају из основних природних закона примењених на струјање

флуида. Ови закони и једначине неопходни су за разумевање компресибилног струјања. Зато ће се

наставити са утврђивањем ових фундаменталних резултата.

2.2 АПРОКСИМАЦИЈЕ

За добијање основне једначине кретања флуида, примењује се следећи приступ:

1. корак: Користе се одговарајући основни физички принципи из природних закона, као што су:

- закон одржања масе

- сила = маса ⋅ убрзање

- закон одржања енергије.

2. корак: Примена ових физичких принципа на одговарајући модел струјања.

3. корак: Добијање математичких једначина које обухватају физичке принципе.

27

Прво се разматра наведени корак 2, односно шта сачињава одговарајући модел струјања? Ово је

специфично питање. За разлику од динамике чврстих тела где је обично познат начин деловања сила и

момената, проблеми у динамици флуида компликованији су због самог флуидног карактера материје у

простору. Стога се динамика флуида фокусира на специфичне области струјања и примењује основне

законе на одговарајући модел смањених размера кретања флуида. На овај начин могу да се дефинишу

три модела.

Приступ преко метода коначне запремине

Разматра се опште струјно поље, приказано струјницама на слици 2.1. Замисли се затворена запремина

унутар струјног поља. Она је дефинисана као контролна запремина V са спољном површином A.

Одређена контролна

запремина непомична у

простору док флуид пролази

кроз њу

Одређена контролна запремина

креће се са флуидом тако да се исти

флуидни делићи увек налазе унутар

контролне запремине

Слика 2.1 Приступ преко метода коначне запремине

Инфинитезимални флуидни

делић који се налази

непомичан у простору док

флуид струји кроз њега

Инфинитезимални флуидни делић који се

креће дуж струјнице брзином v која је

једнака брзини струје у свакој тачки

Слика 2.2 Приступ преко инфинитезималног флуидног делића

Контролна запремина може да буде непомична у простору док флуид пролази кроз њу или покретна тако

да се исти флуидни делићи увек налазе унутар ње.

Применом поменутих основних принципа физике на одређену контролну запремину, покретну или

непокретну, могу да се одреде интегралне једначине својстава флуида директно. Даљим операцијама

могу да се изведу диференцијалне једначине својстава флуида.

28

Приступ преко инфинитезималног флуидног делића

Разматра се основно струјно поље приказано стријницама на слици 2.2. Замисли се инфинитезимални

флуидни делић у струји, запремине dV. Флуидни делић је коначно мали у смислу диференцијалног

рачуна; међутим, он је довољно велик да обухвати велики број молекула тако да може да се посматра као

непрекидна материја (погледати дискусију о континууму у делу 1.3). Флуидни делић може да буде

непомичан у простору док флуид пролази кроз њега или покретан дуж струјнице крећући се брзином v�

,

једнакој брзини струје у свакој тачки. Применом основних физичких принципа на овај флуидни делић,

покретан или непокретан, могу се директно одредити диференцијалне једначине својстава флуида.

Молекуларни приступ

У стварности, кретање флуида је хаотично кретање молекула. Према томе, трећи модел струјања

подразумева микроскопски приступ где су основни закони природе примењени директно на молекуле, са

погодном статистичком расподелом. Уз помоћ Болцманових једначина из кинетичке теорије, могу се

добити главне диференцијалне једначине својстава флуида. Ово је елегантнији приступ са многим

погодностима, међутим није у делокругу ове књиге. За више детаља могу се користити књиге

Хирчфелдера, Куртиса или Бирда (Hirchfelder, Curtiss, Bird).

Иако се у различитој литератури срећу различити начини извођења једначина струјања флуида, обично

може да се сматра да струјни модел одговара једном од горе наведених. У даљим разматрањима

примењиваће се модел коначне контролне запремине непокретне у простору.

2.3 ЈЕДНАЧИНА КОНТИНУИТЕТА

Физички принцип

Маса не може ни да се створи нити да се уништити. Овај принцип ће се применити на модел одређене

контролне запремине у струјном пољу, како је приказано на слици 2.3. Запремина је V, а затворена

спољашња површина је А. Прво се разматра тачка B на контролној површини и елемент контролне

површине око тачке B, dА. Нека је n�

јединични вектор нормале на површину у тачки B. Дефинише се

d dA n A=� �

. Такође нека су v�

и ρ локална брзина и густина у тачки B. Масени проток [kg/s] кроз било коју

произвољно оријентисану елементарну површину једнак је производу густине, компоненте брзине

нормале на ту површину и саме површине. Нека се са m� означи масени проток кроз површину dА, као на

слици 2.3,

( cos )d d dn

m v A v A v Aρ θ ρ ρ= = = ⋅��

� (2.1)

Слика 2.3 Одређена контролна запремина за извођење главних једначина

29

(Примедба: Производ ρvn назива се масени флукс и представља проток масе по јединици површине у

јединици времена. Кад год се сретне производ густине и брзине у механици флуида, он може да се

интерпретира као масени проток у секунди по јединици квадратне површине, усмерен као вектор

брзине.) Улазни масени проток кроз улазну контролну површину А представља суму елементарних

масених протока из једначине 2.1, то јест:

dA

v Aρ− ⋅∫��

где минус означава улазни проток (супротан смер од вектора брзине и вектора положаја, слика 2.3). Сада

се замисли инфинитизимална запремина dV у оквиру контролне запремине. Маса ове запремине је ρdV.

Одатле, укупна маса у оквиру контролне запремине представља суму ових елементарних маса, то јест:

dV

Vρ∫ .

Промена масе унутар контролне запремине током времена биће:

dV

Vt

ρ∂

∂ ∫.

Коначно физички принцип конзервације масе (дат на почетку овог поглавља) доводи до закључка да је

улазни масени проток једнак повећању масе материје унутар контролне запремине. Математички

приказано, интегрални израз који осликава овај став изгледа овако:

d dA V

v A Vt

ρ ρ∂

− ⋅ =∂∫ ∫

��. (2.2)

Ова једначина назива се једначина континуитета; она представља интегралну облик принципа

конзервације масе, примењен на струју флуида. Једначина 2.2 у потпуности је општа једначина,

применљива на све флуиде, стишљиве и нестишљиве, вискозне и невискозне.

2.4 ЈЕДНАЧИНА О ПРОМЕНИ КОЛИЧИНЕ КРЕТАЊА

Физички принцип

Временска промена количине кретања тела пропорционална је сили која делује на њега. Приказано у

векторској форми овај принцип гласи:

d

( )d

mv Ft

=��

. (2.3)

Уколико је маса константна, једначина 2.3 добија облик:

d

d

vF m ma

t= =

�� � (2.4)

која представља један од облика другог Њутновог закона. Међутим, горе поменути физички принцип и

једначина 2.3 представљају општији облик другог Њутновог закона него једначина 2.4. У овом поглављу

други Њутнов закон (јед. 2.3) ставиће се у функцију механике флуида користећи исту контролну

запремину из предходног поглавља, са слике 2.3.

Прво се анализирају силе које делују на контролну запремину. Користећи интуитивни осећај за физичке

феномене, ове силе могу да се поделе на две групе:

1. Запреминске силе делују на флуид унутар запремине V. Силе као што су гравитациона или

електромагнетна "делују са дистанце", њихово деловање на флуид унутар контролне запремине остварује

се преко физичког поља кроз простор. Нека f�

представља запреминску силу која делује на јединицу

30

масе флуида. Анализира се елементарна запремина, dV, унутар контролне запремине V; елементарна

запреминска сила која делује на dV једнака је производу те масе и силе која делује на ову јединичну

масу, то јест, ( d )V fρ�

. Сума по целој контролној запремини даје:

[Укупна запреминска сила]= dV

f Vρ∫�

(2.5)

2. Површинске силе које делују по граници контролне запремине. Као што је речено у поглављу 1.5,

површинске силе потичу од притиска и напона насталог услед смицања који делују дуж површине

контролне запремине. Док се разматра невискозно струјање, једина површинска сила која се узима у

обзир је сила притиска. Анализира се елементарна површина dA�

приказана на слици 2.3. Елементарна

површинска сила која делује на ову површину је dp A−�

, где минус означава да сила притиска делује ка

површини, насупрот вектору нормале на ту површину. Одавде, сума по целој контролној површини даје:

[Укупна површинска сила одређена притиском]= dA

p A−∫�

(2.6)

Потребно је да се обрати пажња на то да сума сила из једначина 2.5 и 2.6 представљају силу F�

у

једначини 2.3. Укупна сила која делује на контролну запремину, у сваком тренутку једнака је:

d dV A

F f V p Aρ= −∫ ∫� ��

(2.7)

(Обратити пажњу и на следеће: уколико се неко аеродинамично тело нађе унутар контролне запремине,

јавиће се и додатне силе које делују на флуид, истог интензитета, а супротног смера од силе која делује

на тело. Међутим, код формирања контролне запремине, увек је могуће формирати контролну површину

тако да она обавија тело, односно да се тело увек налази изван контролне запремине. Запреминске силе

које су последица деловања тела на флуид интерпретирају се као део притисних сила распоређених по

контролној површини, што је већ узето у обзир у изразу у једначини 2.7.)

Сада се анализира лева страна једначине 2.3. Како је изражена временска промена количине кретања,

m(d v�

/dt), у посматраном моделу динамике флуида? Да би се добио одговор на ово питање поново ће се

искористити физичка интуиција. Посматра се контролна запремина на слици 2.3. Пошто је она

непокретна у простору, маса утиче у њу са леве стране, док у исто време маса истиче из ње са десне

стране. Маса утиче носећи одређену количину кретања. У исто време маса истиче односећи одређену

количину кретања. Имајући ову слику у виду, означиће се са 1K�

улазна вредност количине кретања

струје кроз површину А. Елементарни масени проток кроз површину dА дат је једначином 2.1 као

dv Aρ ⋅��

. За овај елементарни масени проток везан је проток количине кретања (или флукс) ( )dv A vρ ⋅�� �

.

Са слике 2.3 види се да када је смер брзине v�

усмерен од контролне запремине, долази до истицања

количине кретања, а математички се описује позитивном вредношћу dv A⋅��

. Са друге стране, када је смер

вектора брзине v�

усмерен према контролној запремини, то физички представља утицање, а математички

се описује негативном вредношћу dv A⋅��

. Када се сумира улазна вредност количине кретања струје добија

се релација:

( )1 dA

K v A vρ= ⋅∫�� � �

. (2.8)

На садашњем нивоу знања, могло би да се каже да овај израз представља леву страну једначине 2.3.

Међутим, потребно је да се размотри нестационарно струјање, када је струјна карактеристика у свакој

тачки струјног поља функција времена. Примери би могли бити струјање око тела које осцилује напред

назад током времена и струјање кроз млазницу када се доводни вентил отвара и затвара. Уколико се

контролна запремина са слике 2.3 замисли у нестационарној струји, тада би се количина кретања унутар

контролне запремине мењала током времена, што би изазивало промене густине и брзине. У том случају

израз 1K�

не представља целу леву страну једначине 2.3. Као допуна једначине уводи се временска

промена количине кретања у струји услед нестационарности и прелазних ефеката у струјном пољу

31

унутар контролне запремине V. Нека израз 2K�

представља ову промену количине кретања. Разматра се

елементарна масу флуида, ρdV. Ова маса има количину кретања ( d )V vρ�

. Сумирањем по целој

контролној запремини добија се:

[Укупна количина кретања унутар запремине V] = dV

v Vρ∫�

Следи да је промена количине кретања у контролној запремини током нестационарних промена:

2

( )d d

V V

vK v V V

t t

ρρ

∂ ∂= =

∂ ∂∫ ∫�� �

(2.9)

(Обратити пажњу да у једначини 2.9, парцијални извод интеграла може да се уведе под интеграл јер се

сматра да је запремина над којом се врши интеграција непокретна у простору. Уколико границе

интеграције нису непокретне, тада примењен Лајбницов закон добија другачији облик на десној страни

израза 2.9.)

Коначно, збир 1 2K K+� �

представља укупну тренутну временску промену количине кретања флуида који

струји кроз контролну запремину. На овај начин механика флуида интерпретира леву страну једначине

2.3:

( )1 2

d ( )( ) d d

dA V

vmv K K v A v V

t t

ρρ

∂= + = ⋅ +

∂∫ ∫��� �� � �

(2.10)

Дакле, временска промена количине кретања флуида који струји кроз контролну запремину у сваком

тренутку једнака је збиру спољашњих сила које делују на контролну запремину. На основу овога

формира се једначина која представља комбинацију једначина 2.3, 2.7 и 2.10:

( ) ( )d d d d

A V V A

vv A v V f V p A

t

ρρ ρ

∂⋅ + = −

∂∫ ∫ ∫ ∫� �� �� �

(2.11)

Једначина 2.11 назива се једначина о промени количине кретања; то је интегрални облик Другог

Њутновог закона примењеног на струјање невискозног флуида. Примећује се да једначина 2.11 не узима

у обзир утицај трења. Уколико би се узело у обзир трење, оно би се испољило као допунска површинска

сила, односно као тангенцијални и нормални вискозни напони интеграљени по целој контролној

површини. Уколико vis

F�

представља површински интеграл, тада једначина 2.11 добија облик:

( ) ( )d d d d vis

A V V A

vv A v V f V p A F

t

ρρ ρ

∂⋅ + = − +

∂∫ ∫ ∫ ∫� �� � �� �

(2.11а)

Будући да се ова књига бави невискозним струјањем, пажња ће се задржати на једначини 2.11.

2.5 КОМЕНТАР

Једначина континуитета (2.2) и једначина о промени количине кретања (2.11), у својим компликованим

интегралним облицима, моћно су оружје за анализу и резумевање проблема струјања флуида. Иако то

није очигледно у овом делу анализе, ове билансне једначине добиће свој употребни облик у наредним

поглављима. Важно је схватити блискост између ових једначина и енергијске једначине, која ће бити

разматрана у следећем поглављу, као и физичке принципе који стоје у основи свих њих.

За проучавање нестишљивог струјања, једначина континуитета и једначина о промени количине кретања

представљају довољан алат за решавање проблема. Ове једначине описују механички аспект струјања.

Свакако, код анализе компресибилног (стишљивог) струјања принцип конзервације енергије мора да се

размотри као допуна једначинама континуитета и количине кретања, из разлога који су описани у

32

поглављу 1.4. Енергијска једначина је место где термодинамика узима учешће у решавању проблема

компресибилног струјања, и то је следећи предмет анализе.

2.6 ЕНЕРГИЈСКА ЈЕДНАЧИНА

Физички принцип

Енергија не може ни да се створи, ни да се уништи, она само може да мења свој облик. Овај основни

принцип представља Први закон термодинамике, једначина 1.24. Овај ће се закон применити на флуидну

струју која протиче кроз контролну запремину са слике 2.3. Нека је:

B1 = количина топлоте додата из околине флуидној струји унутар контролне запремине

B2 = извршени рад над флуидом унутар контролне запремине

B3 = промена енергије флуида током његовог струјања кроз контролну запремину.

Из Првог закона термодинамике следи:

1 2 3B B B+ = (2.12)

Прво се разматра количина топлоте додата или одузета од флуида. Ово може да се прикаже као

запреминско загревање флуида унутар контролне запремине настало апсорпцијом зрачења које је

спољашњег порекла или локалном емисијом зрачења самога флуида, уколико је температура унутар

контролне запремине довољно висока. Такође, уколико је струјање вискозно, може доћи до преноса

топлоте кроз границу топлотним провођењем (термалном кондукцијом) или дифузијом; наравно ови

ефекти се неће разматрати. Коначно, уколико је струјање хемијски реактивно, може бити интересантно

размотрити постојање топлотног извора или понора у зависности од реакције. Ово се дешава код многих

струјања код којих долази до хемијске реакције. Међутим, промена енергије, која настаје током

хемијских реакција, третира се као део унутрашње енергије гасне смеше и не представља се као посебан

израз у енергијској једначини. О овој материји ће бити више речи у поглављима 13 и 14. У сваком

случају, може да се дефинише величина q� , као количина топлоте додата јединичној маси, односно може

да се дефинише количина топлоте предата елементарној запремини, ( d )q Vρ� . Сумирањем по целој

контролној запремини добија се:

1 dV

B q Vρ= ∫ � (2.13)

Пре разматрања количине рада предатог флуиду унутар контролне запремине, размотриће се упрошћени

модел чврстог тела у кретању, са силом F�

која делује на тело, као што је приказано на слици 2.4.

Позиција тела мерена је из координатног почетка радијус вектором r�

. Померањем из позиције 1r�

у

позицију 2r�

за временски интервал dt, објекат се помера за dr�

. Према дефиницији рад предат објекту за

време dt је dF r⋅� �

. Према томе, брзина вршења рада, тј. снага је d dF r t⋅�� �

. Како је d dr t v=� �

, што је

брзина објекта који се креће може да се напише

[Брзина вршења рада]= F v⋅� �

.

Речима, количина рада који је предат телу које се креће једнака је производу његове брзине и

компоненте силе у правцу вектора брзине. Овај резултат води ка изразу за B2, као што ће се и видети.

Уочава се елементарна површ dA�

контролне површине на слици 2.3. Сила притиска на ову елементарну

површ је dp A−�

, као што је објашњено у поглављу 2.4. Према горњим извођењима брзина рада (снага)

која је предата флуиду који пролази кроз dA�

брзином v�

је ( )dp A v−� �

. Интеграцијом по целој контролној

површини следи:

33

( )Брзина рада извршеног

над флуидом унутар запремине d

услед сила притиска на A

p A v

V A

= − ⋅

∫� �

(2.14)

Слика 2.4 Брзина вршења рада

Разматра се елементарна запремина унутар контролне запремине. Имајући на уму да је f�

запреминска

сила по јединици масе, а количина рада предата елементарној запремини као последица дејства силе f�

је ( )df V vρ ⋅� �

. Интегралећи по целој контролној запремини следи:

( )Брзина рада извршеног над

флуидом унутар запремине d

услед запреминских сила V

V f V vρ

= ⋅

∫� �

(2.15)

Према томе укупан рад предат флуиду унутар контролне запремине је збир израза (2.14) и (2.15):

( )2 d dA V

B pv A f v Vρ= − ⋅ + ⋅∫ ∫��� �

(2.16)

Да би се боље представила енергија унутар контролне запремине, потребно је подсетити се на поглавље

1.4 у ком је за стационарни систем укупна енергија једнака унутрашњој енергији u (по јединици масе).

Међутим флуид унутар контролне запремине на слици 2.3 није стационаран; креће се локалном брзином

v�

поседујући извесну кинетичку енергију v2/2. Енергија по јединици масе флуида у кретању је сума

унутрашње и кинетичке енергије, u+v2/2.

Треба имати на уму да флуидна маса утиче у контролну запремину (слика 2.3) с лева, док истовремено из

ње истиче с десна. Маса која утиче са собом доноси извесну енергију, као и маса која истиче, која такође

поседује енергију. Елементарни масени проток кроз dA дат је изразом (2.1) као dv Aρ��

и због тога је

елементарни енергетски флукс кроз dA једнак ( )( )2d 2v A u vρ ⋅ +��

. Сумирајући по целокупној контролној

запремини:

( )2Нето проток енергије

dкроз контролну површину 2

A

vv A uρ

= ⋅ +

∫

�� (2.17)

Међутим ово не мора да буде укупна размењена енергија унутар контролне запремине. Уколико је струја

нестационарна такође постоји извесна промена енергије као последица пролазних локалних флуктуација

струјних величина унутар контролне запремине. Енергија елементарне запремине је ( )2 2 du v Vρ + , а

енергија унутар контролне запремине у било ком временском тренутку је зато:

2

d2

V

vu Vρ

+

∫ .

Отуда следи:

34

2

Временска промена енергије

унутар услед пролазних d2

промена величина струјног поља V

vV u V

tρ

∂ = + ∂

∫ (2.18)

Заузврат В3 је сума израза (2.17) и (2.18):

( )2 2

3

V

d d2 2

A

v vB u V v A u

tρ ρ ∂

= + + ⋅ + ∂ ∫ ∫

�� (2.19)

Поновиће се физички принципи наведени на почетку овог поглавља: количина топлоте предата флуиду и

рад извршен над флуидом једнаки су промени енергије флуида док тече кроз контролну запремину тј.

енергија је сачувана. Ове речи могу се превести у једначину комбиновањем израза (2.12), (2.13), (2.16) и

(2.19):

( )2 2

d d d d d2 2

V A V V A

v vq V pv A f v V u V u v A

tρ ρ ρ ρ

∂− ⋅ + ⋅ = + + + ⋅

∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

�� �� � �� (2.20)

Израз (2.20) назива се енергијска једначина; ово је интегрална форма првог закона термодинамике

примењена на струјање невискозних флуида.

Напомиње се да израз (2.20) не укључује следеће феномене:

- рад предат флуиду унутар контролне запремине од стране ротирајуће осовине која пролази кроз

контролну површину os

W� ;

- рад коју врше вискозни напони на контролној површини vis

W� ;

- топлоту предату кроз контролну површину провођењем и дифузијом. У комбинацији са

зрачењем, укупна количина предате топлоте која потиче од наведених феномена означиће се као

Q� ;

- положајну енергију по јединици масе флуида, gz, где је g - гравитационо убрзање, а z - висина у

односу на усвојени референтни ниво. Ако би се урачунала и положајна енергија, онда би енергија

флуида који се креће, по јединичној маси била: (u+v2/2+gz).

Ако би сe укључили сви наведени феномени онда би се израз (2.20) модификовао у:

( )2 2

d d d d2 2

os vis

A V V S

v vQ W W pv A f v V u gz V u gz v A

tρ ρ ρ

∂+ + − ⋅ + ⋅ = + + + + + ⋅

∂ ∫ ∫ ∫ ∫

�� �� � �� � � (2.20а)

За невискозна струјања обрађена у овој књизи не узима се у обзир провођење топлоте или дифузија и

нема рада од стране вискозних напона. Шта више, за основне проблеме струјања о којима ће бити више

речи у следећим поглављима не узима се у обзир рад осовине, а промена потенцијалне енергије је

занемарљива. Зато израз (2.20) има већи значај од израза (2.20а).

2.7 КОНАЧАН ЗАКЉУЧАК

Три горе поменута закона одржања изрази (2.2), (2.11) и (2.20), здружени са једначином стања идеалног

гаса

p RTρ=

и термодинамичком релацијом

u=u(Т,υ)

(која за идеалан гас има поједностављен облик v

u c T= ) довољни су алати за анализу невискозних

стишљивих струјања равнотежног гаса укључујући и равнотежне хемијски реактивне гасове. Много

сложенији случајеви неравнотежних гасова биће обрађени у поглављима 13 и 14. Једначине одржања

изведене су у интегралној форми у овом поглављу, ипак у поглављу 6 извешће се парцијалне

35

диференцијалне једначине континуитета, кретања и енергије из ових интегралних форми. У међувремену

урадиће се нешто једноставније: у проблемима обрађеним у поглављима од 3 до 5 горе наведене

интегралне формуле биће примењене на важне практичне проблеме код којих, на срећу, могу да се

изведу алгебарске једначине из закона одржања.

На крају, може да се примети да су изрази (2.2), (2.11) и (2.20) записани у векторском облику, па стога

нису ограничени на неки посебан кординатни систем: Декартов, цилиндрични, сферни итд. Ове

једначине описују кретање невискозних флуида у простору. Оне говоре о томе да се маса одржава, да је

сила једнака производу масе и убрзања и да је енергија одржана. Никада се не сме дозволити да

математичке формулације сакрију физички смисао ових израза. У њиховом интегралном облику то су

изузетно корисни изрази од којих ће се полазити у свим даљим изразима.

36

ТРЕЋЕ ПОГЛАВЉЕ

ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ

Инжињери аеронаутике снажно лупају на затворена врата

која воде у поље суперсоничног кретања.

Теодор фон Карман, 1941.

3.1 УВОД

Када је 14. октобра 1947. године Чак Јегер постигао у летилици Бел Икс Ес 1 (Bell XS-1) брзину мало

преко једног Маха (поглавље 1.1), ушао је у нови режим летења где ударни таласи доминирају струјним

пољем. При М=1,06, ракетно погоњен истраживачки авион у облику метка створио је лучни ударни талас

који је био одвојен од тела и мало испред носа авиона, како је скицирано на слици 3.1а. Током каснијег

лета, 26. марта 1948., Јегер je потерао Икс Ес 1 до М=1,45 при понирању. При овом лету, Махов број био

је довољно висок да се ударни талас припоји за врх носа летелице, као што је приказано на слици 3.1б.

Разлика између два струјања скицирана на слици 3.1 је у томе да је лучни талас приближно нормалан на

правац слободне струје као на слици 3.1а, док је припојени ударни талас нагнут ка правцу слободне

струје као на слици 3.1б. За тела заобљеног врха при суперсоничном струјању, приказано на слици 3.2а,

лучни талас увек је одвојен од тела. У близини носа удар је проближно нормалан на слободну струју, а са

удаљавањем ка репу, ударни талас постепено се закошава. Ради даље илустрације на слици 3.2, приказане

су фотографије ударних таласа снимљене у суперсоничним ваздушним тунелима за различите

аеродинамичке облике.

Слика 3.1 Припојени и одвојени ударни талас на суперсоничном авиону

Делови ударних таласа, са слике 3.1 и слике 3.2, који су ортогонални на правац слободне струје називају

се нормални удари. Нормални ударни талас илустрован је на слици 3.3 и то је пример класе струјних

поља који се називају једнодимензионална струјања. По дефиницији, једнодимензионално струјање је

оно при којем се карактеристике струјног поља мењају у зависности од само једног координатног правца,

нпр. на слици 3.3, p, ρ, T и брзина vx функције су само правца x. У овом поглављу разматраће се особине

оваквих једнодимензионалних струјања, а као веома важан пример, струјања са нормалним ударима. Као

што приказују слике 3.1 и 3.2, нормални ударни таласи играју битну улогу у многим надзвучним

струјањима.

37

p2

T2

ρ2

vx2

M2 <1

Задани услови

испред ударног

таласа

Непознати

услови иза

ударног таласа

Нормални удар

p1

T1

ρ1

vx1

M1 >1

Слика 3.2а Ударни талас на командном

модулу Апола. Модел при α=33º у НАСА Ленгли

Мах8 ваздушном тунелу са променљивом

густином (извор: НАСА Ленгли Истраживачки

Центар)

Слика 3.2б Ударни талас на шиљатом оштром

конусу под углом (извор: Нарал Центар за копнено

наоружање, Вајт Оук, MД)

Слика 3.2ц Ударни талас на моделу спејс шатла (извор: НАСА

Ленгли Истраживачки Центар)

Слика 3.3 Схема нормалног удара

Лучни ударни таласи су дводимензионални феномен, и биће разматрани у четвртом поглављу.

Размотриће се две струјне цеви као на слици 3.4. На слици 3.4а, приказано је право једнодимензионално

струјање, где су променљиве струјног поља функција само х, а као последица тога, површина попречног

38

пресека цеви мора бити константна (као што ће се касније и доказати). Са друге стране, постоје многа

струјања код којих се попречни пресек цеви мења дуж х осе, као што је приказано на слици 3.4б. За

овакву променљиву површину струјног пресека цеви, природа налаже да струјно поље буде

тродимензионално, где су карактеристике струјања функције x, y и z координата. Ако је промена пресека

А=А(х) постепена, често је погодно, па чак и прилично тачно, занемарити промене струје по y и z оси и

претпоставити да су карактеристике струјања функција само од х, како је наглашено на слици 3.4б. Ово

је еквивалентно претпоставци о униформним својствима струјања у свакој тачки на х оси. Такво струјање

које се мења у зависности од промене струјног пресека А=А(х), али где је претпостављено да су p, ρ, T и

vx и даље функције само од х, дефинисано је као квазиједнодимензионално струјање. Ово ће бити

предмет проучавања у Петом поглављу.

Слика 3.4 Поређење између једнодимензионалног и квазиједнодимензионалног струјања

На крају овог поглавља размотриће се једнодимензионално струјање, дакле струјање кроз константан

струјни пресек. Опште интегралне једначине одржања, изведене у Другом поглављу, биће примењен на

једнодимензионално струјање дајући директне алгебарске релације које ће омогућити да се проучавају

особине и карактеристике оваквих струјања.

3.2 ЈЕДНАЧИНЕ ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНОГ СТРУЈАЊА

Разматра се струјање кроз једнодимензионалну област, шрафирани део са слике 3.5. Ова област може

бити нормални ударни талас или област у коју се додаје топлота. У сваком случају, особине струјања се

мењају у функцији од х у току струјања гаса кроз посматрану област. С леве стране ове области, брзина,

притисак, температура, густина и унутрашња енергија струјног поља су vx1, p1, T1, ρ1 и u1. Са десне

стране, особине струјног поља су промењене и дате су са vx2, p2, T2, ρ2 и u2. Пошто се сада проучава

једнодимензионално струјање, брзина ће се означавати са vx. Касније, када се буде разматрало

мултидимензионално струјање vx ће означавати компоненту брзине у правцу х осе. Да би се изразиле

промене, примениће се интегралне једначине одржања из Другог поглавља на правоугаону контролну

запремину приказану испрекиданим линијама на слици 3.5. Пошто је струјање једнодимензионално, vx1,

p1, T1, ρ1 и u1 су униформне са леве стране контролне запремине, a исто тако vx2, p2, T2, ρ2 и u2 су

униформне са десне стране. Претпоставиће се да и лева и десна страна имају струјни пресек једнак А

(нормално на струјницу). Такође, претпоставиће се да је струјање једнолико, тј. изводи по времену су

једнаки нули, и претпоставиће се да не постоје запреминске силе.

Узимајући све наведено ово у обзир, једначина континуитета (2.2) гласи:

x

А=const.

p=p(x)

ρ=ρ(x)

T=T(x)

vx=vx(x)

a) једнодимензионално струјање

z

y

x

А=А(х).

p=p(x)

ρ=ρ(x)

T=T(x)

vx=vx(x)

б) квазиједнодимензионално струјање

39

2 1

x правац

A

правоугаона контролна запремина

d dA V

v A Vt

ρ ρ∂

− ⋅ =∂∫ ∫

� �.

За стационарно струјање, једначина (2.2) постаје

d 0A

v Aρ ⋅ =∫� �

. (3.1)

vx1 vx2

p1 p2

ρ1 ρ2

T1 T2

u1 u2

Слика 3.5 Правоугаона контролна запремина за једнодимензионално струјање

Решавајући површински интеграл на левој страни контролне запремине са слике 3.5, где су v�

и dA�

паралелни али супротних смерова, добија се –ρ1vx1A и на десној страни контролне запремине, где су v�

и

dA�

паралелни и истих смерова, добија се ρ2vx2A. Горња и доња хоризонтална површина контролне

запремине не доприноси површинском интегралу јер су v�

и dA�

управни један на други на овим

површинама. С тога, из једначине (3.1) следи

1 1 2 2 0x xv A v Aρ ρ− + =

или

1 1 2 2x xv vρ ρ= . (3.2)

Једначина (3.2) је једначина континуитета за једнолико једнодимензионално струјање.

Једначина о промени количине кретања (2.11) за овај случај гласи:

( )

( d ) d d d

A V V A

vv A v V f V p A

t

ρρ ρ

∂⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ −

∂∫ ∫ ∫ ∫�

� � ��� �.

Други чинилац са леве стране једначине једнак је нули јер се разматра стационарно струјање. Пошто

нема запреминских сила, и први чинилац са десне стране једначине једнак је нули. Једначина (2.11)

постаје

( d ) d

A A

v A v p Aρ ⋅ = −∫ ∫� �� �

. (3.3)

Jедначина (3.3) је векторска. Пошто се проучава једнодимензионално струјање, размотриће се само х

компонента једначине (3.3) која је

( d ) ( d )x x

A A

v A v p Aρ ⋅ = −∫ ∫� � �

. (3.4)

У једначини (3.4) израз (pdA)x je х компонента вектора dp A⋅�

. Решавајући површинске интеграле у

једначини (3.4) по левој и десној страни испрекидане контролне запремине са слике 3.5, добија се

1 1 1 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )x x x xv A v v A v p A p Aρ ρ ρ− + = − − +

или

2 21 1 1 2 2 2x xp v p vρ ρ+ = + . (3.5)

Једначина (3.5) је једначина о промени количине кретања за једнолико једнодимензионално струјање.

40

Енергијска једначина (2.20) има следећи облик

2 2

d d ( )d d d2 2

V A V V A

v vq V pv A f v V u V u v A

tρ ρ ρ ρ

∂− ⋅ + ⋅ = + + + ⋅

∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

�� �� � �� .

Први израз са леве стране физички представља укупну количину топлоте доведену гасу унутар

контролне запремине. Ради једноставности, овај запремински интеграл означиће се са Q� . Трећи с леве и

први израз са десне стране једначине једнаки су нули јер нема запреминских сила и струјање је

стационарно. Дакле, једначина (2.20) постаје

2

d d2

A A

vQ pv A u v Aρ

− ⋅ = + ⋅

∫ ∫

� �� �� . (3.6)

Развијањем површинског интеграла по левој и десној површи контролне запремине са слике 3.5, добија

се

2 2

1 21 1 2 2 1 1 1 2 2 2( )

2 2

x xx x x x

v vQ p v A p v A u v A u v Aρ ρ

− − + = − + + +

� .

Прегруписавањем добија се

2 2

1 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2

x xx x x x

v vQp v u v p v u v

Aρ ρ

+ + + = + +

� (3.7)

Дељењем ове једначине једначином (3.2) тј. леве стране са ρ1vx1, a десне са ρ2vx 2, добија се

2 2

1 21 21 2

1 1 1 22 2

x x

x

v vp pQu u

v Aρ ρ ρ+ + + = + +

�. (3.8)

Размотриће се први израз у једначини (3.8). Q� је количина топлоте (енергија у секунди) доведена

контролној запремини, а ρ1vx1A је масени проток (маса по секунди) кроз контролну запремину. Дакле,

однос Q� / 1 1xv Aρ је, у ствари, доведена топлота по јединици масе, q. Увођењем енталпије, h=u+pυ,

једначина (3.8) постаје

2 2

1 21 2

2 2

x xv vh q h+ + = + . (3.9)

Једначина (3.9) је енергијска једначина за једнолико једнодимензионално струјање.

Једначине (3.2), (3.5) и (3.9) су важеће фундаменталне једначине за стационарно једнодимензионално

струјање. Ово су алгебарске једначине које повезују особине два различита положаја, 1 и 2, у

једнодимензионалној струји са константним пресеком. Претпоставка о једнодимензионалности

омогућила је значајна поједностављења при решавању интегралних једначина из другог поглавља.

Такође, и при претпоставци о једноликом струјању, алгебарске једначине (3.2), (3.5) и (3.9) и даље имају

пуну важност и снагу интегралних једначина из којих су изведене, тј. и даље постоји одржање масе

[једначина (3.2)], сила је једнака промени количине кретања током времена [једначина (3.5)] и важи

одржање енергије [једначина (3.9)]. Такође треба имати на уму да једначина (3.5) занемарује запреминске

силе и вискозне напоне и да једначина (3.9) не узима у обзир рад од вратила, рад вискозних напона,

пренос топлоте услед кондукције или дифузије и промене положајне енергије.

3.3 БРЗИНА ЗВУКА И МАХОВ БРОЈ

Ваздух је састављен од молекула који се хаотично крећу различитим тренутним брзинама и енергијама у

различитим тренуцима времена. Након неког периода времена, могу се дефинисати средња брзина и

41

енергија молекула, а за идеалан гас оне су функције само температуре.

Претпоставиће се да у близини експлодира петарда. Енергија коју је ослободила петарда апсорбују

молекули ваздуха што доводи до повећања њихове средње брзине. Бржи молекули сударају се са

суседним предајући део новостечене енергије. С друге стране, суседни молекули се сударају са другима

што доводи до даљег преноса или ширења енергије петарде кроз простор. Овај талас енергије путује кроз

ваздух брзином која, на неки начин, мора бити повезана са средњом молекулском брзином јер су

молекулски судари ти који доводе до ширења таласа. Унутар таласа, повећање енергије доводи до мале

промене притиска (као и густине, температуре итд.). Како талас пролази поред човека, мале варијације

притиска бивају прихваћене бубном опном и преносе се до мозга кроз чуло слуха. Такав слаб талас

дефинисан је као звучни талас, а задатак овог поглавља је да одреди колико се брзо он шири кроз ваздух.

Као што ће се ускоро видети, брзина звука кроз гас је једна од најбитнијих величина у проучавању

компресибилног струјања.

Сматраће се да се звучни талас креће кроз гас брзином с. Уколико се посматрач веже за талас стиче се

утисак да се ваздух испред таласа креће према таласу брзином с, као што је приказано на слици 3.6. Због

постојања промена карактеристика струјања унутар таласа, струјање иза таласа одвија се другом

брзином, али су ове промене незнатне. Звучни талас по дефиницији је слаб талас. (Ако су промене

унутар таласа јаке, назива се ударни талас, који се креће брзинама већим од с као што ће се касније

видети). Дакле, сматра се да је промена брзине унутар таласа бесконачно мала, dс. Због тога, са тачке

гледишта са таласа, слика 3.6, струјање се чини стационарним; струјање испред обавља се брзином с и са

притиском p, густином ρ и температуром T, a струјање иза одлази од таласа брзином с+dс и са притиском

p+dp, густином ρ+ dρ и температуром T+dT.

Слика 3.6 Схема звучног таласа

Струјање кроз звучни талас је једнодимензионално, те могу да се примене једначине из поглавља 3.2 на

слику 3.6. Ако се са 1 и 2 означе површине испред и иза таласа, једначина (3.2) постаје

=( d )( d )c c cρ ρ ρ+ +

d d d dc c c c cρ ρ ρ ρ ρ= + + + . (3.10)

Производ две бесконачно мале величине dpdс је много мањи (другог реда величине) у поређењу са

другим изразима у једначини, те се може занемарити. Према томе, из једначине (3.10) следи

d

d

cc ρ

ρ= − . (3.11)

Једначина (3.5) даје

2 2( d ) ( d )( d )p c p p c cρ ρ ρ+ = + + + + . (3.12)

Занемарујући производе диференцијалних величина, једначина (3.12) постаје

2d 2 d dp c c cρ ρ= − − (3.13)

Једначина (3.13) реши се по dс

Тал

асни

фронт 1 2

с

p

ρ

T

с+dс

p+dp

ρ+dρ

T+dT

42

2

d dd

2

p cc

c

ρ

ρ

+=

−. (3.14)

Заменом једначине (3.14) у (3.11) добија се

2d

d

2

pc

cc

ρρ

ρ

+

= −−

. (3.15)

Решавајући по с2 добија се

2 d

d

pc

ρ= . (3.16)

У овом тренутку размотриће се физички процес који се јавља у звучном таласу. Прво, промене унутар

таласа су незнатне тј. градијенти струјања су мали. То значи да су неповратни, дисипативни, ефекти

трења и топлотне проводљивости веома мали. Осим тога, не постоји довођење топлоте струјању унутар

таласа (гас није изложен радијацији ласера, на пример). Дакле, из поглавља 1.4 следи да процес унутар

таласа мора бити изентропски. С друге стране, однос промене притиска по густини, dp/dρ, који се

појављује у једначини (3.16) је изентропска промена и једначина (3.16) може да се напише као

2

s

pc

ρ

∂=

∂ . (3.17)

Једначина (3.17) је основни израз за брзину звука. Показује да је брзина звука директна мера

компресибилности гаса, као што је дефинисано у поглављу 1.2. Да би се ово разјаснило, треба да се

подсети да је ρ=1/υ, дакле dρ=-dυ/υ2. Према томе, једначина (3.17) може да се напише као

2 2

1ss

s

p pc

p

υυ

ρ υ υ

υ

∂ ∂ = = − ⋅ = −

∂ ∂ ∂

∂

.

Имајући у виду дефиницију изентропске компресибилности, ss , дату једначиним (1.4), налази се да је

ss

pc

s

υ

ρ

∂= =

∂ . (3.18)

Ово потврђује изјаву у поглављу 1.3 да некомпресибилно струјање, (ss = 0), подразумева и бесконачну

брзину звука.

За идеалан гас, једначина (3.18) постаје једноставнија. У овом случају, изентропска релација [види

једначину (1.43)] постаје

pυκ = const.

Диференцирањем, и имајући на уму да је υ=1/ρ, следи

s

p pκ

ρ ρ

∂=

∂

Дакле, једначина (3.18) постаје

p

c κρ

= . (3.19)

43

Ако се узме у обзир и једначина стања, p/ρ = RT једначина (3.19) постаје

c RTκ= (3.20)

Једначина (3.18) даје општу релацију за брзину звука у гасу, а за идеалан гас она се своди на једначине

(3.19) и (3.20). У ствари, у 14. поглављу ће се показати да једначине (3.19) и (3.20) важе и за разређен

(полуидеалан) гас као и за идеалан гас, али су неважеће за хемијски реактивне и реалне гасове. Општа

једначина (3.18) важи за све гасове.

Наглашава се да, за идеалан гас, једначина (3.20) даје брзину звука само у функцији температуре. У

ствари, она је пропорционална квадратном корену из температуре. Ово је у сагласности са претходним

разматрањима повезивања брзине звука и просечне молекуларне брзине, која је кинетичком теоријом

дата као 8 /RT π . Примећује се да је брзина звука око три четвртине од просечне брзине молекула.

Подсећања ради, брзина звука при стандардним условима на нивоу мора износи:

сs= 340,9 m/s.

Коначно, на основу дефинисаног Маховог броја у поглављу 1.3, М=v/с, добија се следећа подела режима

струјања:

M < 1 подзвучно (субсонично) струјање

M = 1 околозвучно (сонично) струјање

M > 1 надзвучно (суперсонично) струјање.

Такође, интересантно је да се размотре нека додатна физичка значења Маховог броја. Размотриће се

кретање флуидног делића дуж струјнице. Нека су v2/2 и u кинетичка и унутрашња енергија по јединици

масе. Оформиће се њихов однос и подсетити на једначине 1.23 и 3.20, одакле се добија:

2 2 22

2

2

( 1)2 2 2 2

2

1 1v

v v vv

MRT cu c T

κκ κ

κ κ

−= = = =

− −

.

За идеалан гас (где је u=cvT), квадрат Маховог броја пропорционалан је односу кинетичке и унутрашње

енергије. Ово је показатељ усмереног кретања гаса у односу на стохастичко термичко кретање молекула.

3.4 ДЕФИНИЦИЈЕ НЕКИХ ПАРАМЕТАРА СТРУЈАЊА

У овом поглављу примениће се основе једнодимензионалне теорије струјања на решавање проблема

нормалних ударних таласа, струјања са одавањем топлоте, као струјања које прати трење о зидове. Пре

решавања ових проблема формираће се списак корисних дефиниција и одговарајућих једначина. Ово је

циљ поглавља 3.4 и 3.5. На почетку, размотриће се тачка А у произвољном струјном пољу, као што је

приказано на слици 2.2. Кроз ову тачку непрестано пролазе флудни делићи с неким Маховим бројем М,

брзине v, статичког притиска p и температуре Т. Замислиће се да овај флуидни елемент може да се

адијабатски успори (ако је М>1) или убрза (ако је М<1) све док Махов број у тачки А не буде 1. При

томе, осећај каже да се температура мења. Када би флуидни делић достигао вредност Маховог броја М=1

из почетног стања Маховог броја М и температуре Т (стварне особине у тачки А), нова температура би

била Т*. У наставку ће се дефинисати брзина звука при хипотетичком Маховом броју 1 и означиће се са

с*, где је:

* *c RTκ= .

Према томе, за било коју струју одређеног Маховог броја и одређене температуре у некој тачки А, могу

се повезати вредности Т* и с

* у тој тачки, на горњи начин. Израчунавање температуре Т

* (а одатле и с

*)

биће размотрено у поглављу 3.5. У истом духу, разматра се флуидни делић у тачки А брзинe v,

44

температурe Т и притискa p. Ако се замисли да се сада овај флуидни делић успорава изентропски до

нулте брзине, односно до заустављања, притисак и температура флуидног делића при v=0 дефинишу се

као тотални притисак p0 и тоталнa температурa Т0 (они се често називају зауставни притисак и

температура; придеви зауставни и тотални су синоними). Уколико се флуидни делић креће брзином v

тада вредности притиска p0 и температуре T0 представљају стварне вредности притиска и температуре

(p,T). Стварни притисак и температура називају се статички притисак и температура и последица су

стохастичког кретања молекула у тачки А.

Користећи горње дефиниције могу се дефинисати следећи параметри:

o Критични Махов број M*=v/с

*.

o Зауставна брзина звука 0 0c RTκ= .

o Тотална (или зауставна) густина 0 0 0/p RTρ = .

3.5 АЛТЕРНАТИВНЕ ФОРМЕ ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНЕ ЕНЕРГИЈСКЕ

ЈЕДНАЧИНЕ

Поново се разматра једначина (3.9). Претпоставља се да нема довођења топлоте, па она постаје

2 2

1 21 2

2 2

x xv vh h+ = + (3.21)

где тачке 1 и 2 одговарају областима 1 и 2 као на слици 3.6. Примењујући ово на идеалан гас, где је

ph c T= , једначина (3.21) постаје:

2 2

1 21 2

2 2

x x

p p

v vc T c T+ = + . (3.22)

Користећи једначину (1.22), горња једначина се мења у:

2 2

1 21 2

1 2 1 2

x xv vRT RTκ κ

κ κ+ = +

− − (3.23)

Како је c RTκ= , једначина (3.23) постаје

2 22 2

1 21 2

1 2 1 2

x xv vc c

κ κ+ = +

− −. (3.24)

Увођењем једначине (3.19), горњи израз може да се напише још као:

2 2

1 21 2

1 21 2 1 2

x xv vp pκ κ

κ ρ κ ρ

+ = +

− − . (3.25)

Будући да је једначина (3.21) написана за услове при којима нема довођења топлоте, она, као и једначине

од (3.22) до (3.25), важи за адијабатско струјање. Имајући ово на уму, могуће је да се врати на

дефиницију која је представљена у поглављу 3.4. Нека тачка 1 у једначини изнад одговара тачки А на

слици 2.2, а тачка 2 замишљеном стању, где је флуидни елемент доведен адијабатски до Маховог броја

М=1 у тачки А. Стварна брзина звука и брзина у тачки А су с и vx. У замишљеном стању где је Махов

број 1 (тачка 2 у једначини изнад) брзина звука је c* и брзина струјања једнака је брзини звука, важи

2xv c

∗= . Из једначине (3.24) следи:

2 222 * *

1 2 1 2

xvc c c

κ κ+ = +

− −

45

или

( )

222 1

1 2 2 1

xvcc

κ

κ κ∗+

+ =− −

. (3.26)

Из једначине (3.26) може да се израчуна дефинисана величина с* за дате стварне вредности с и vx, у било

којој тачки струјног поља. Важно је да се запамти да стварно струјно поље не мора да буде адијабатско

од једне тачке до друге, на пример од тачке А до тачке B као што је представљено на слици 2.2. У

једначини (3.26), адијабатски процес је само замишљен као део дефиниције с* (видети поглавље 3.4.).

Примењена на тачку А на слици 2.2 једначина (3.26) даје вредност за с* која је у вези са тачком А. Ова

вредност обележиће се са A

c∗ . Слично томе, примењена на тачку B једначина (3.26) даје вредност за с

*

која је у вези са тачком B, тј. са B

c∗ . Ако је постојеће струјно поље неадијабатско од А до B, онда је

A Bc c

∗ ∗≠ . С друге стране, ако је цело струјно поље на слици 2.2 потпуно адијабатско, онда је с* константна

вредност у свакој тачки струјнице. Како су практична аеродинамичка струјања скоро адијабатска, онда је

ово треба имати на уму.

Разматрају се поново тоталне величине стања из поглавља 3.4. Нека тачка 1 у једначини (3.22) одговара

тачки А на слици 2.2 и нека тачка 2 у једначини (3.22) одговара замишљеном стању где је флуидни

елемент доведен изентропски у тачку А и умирен. Ако су T и vx стварне вредности температуре и брзине

у тачки А, тада је 1T T= и vx1=vx. Такође је, по дефиницији услова тоталног стања, vx2=0 и T2=T0. Одатле

следи да, једначина (3.22) постаје:

2

02

x

p p

vc T c T+ = . (3.27)

Једначина (3.27) представља формулу која дефинише тоталну температуру T0. Из ње може да се израчуна

тотална температура за постојеће вредности T и vx, у било којој тачки постојећег струјног поља.

Подсећања ради, тотални услови су они при којима је флуидни делић изентропски доведен у стање

мировања. Међутим, при извођењу једначине (3.27), коришћена је само енергијска једначина за

адијабатско струјање, једначина (3.21). Изентропско стање није било досад обрађено. Одатле следи да је

дефиниција T0 као у једначини (3.27) мање ограничена него дефиниција тоталних услова дата у поглављу

3.4. Из поглавља 1.4, изентропско струјање укључује реверзибилне и адијабатске услове; jедначина (3.27)

каже да је за дефинисање T0 потребан само "адијабатски" део изентропске дефиниције. Тако да сада може

да се редефинише T0 као температура која би постојала уколико би флуидни делић био доведен у

мировање адијабатски. Ипак, за дефиницију тоталног притиска, p0 и тоталне густине ρ0, још увек је

неопходан замишљени изентропски процес, као што је дефинисано у поглављу 3.4.

Неколико врло корисних једначина за тотално струјање приказано је у наставку. Из једначина (3.27) и

(1.22), добија се:

( ) ( )

22 2 2 2

0

2

11 1 1 1

2 2 1 2 1 2

x x x x

p

T v v v v

T c T RT c c

κ

κ κ κ

−= + = + = + = +

− − .

Одавде следи,

20 11

2

TM

T

κ −= + (3.28)

Једначина (3.28) приказује однос тоталне и статичке температуре у некој тачки струјног поља у функцији

Маховог броја М у тој тачки. Осим тога, за изентропски процес, једначина (1.43) гласи:

( )1

0 0 0p T

p T

κ κ κρ

ρ

−

= =

. (3.29)

Комбинацијом једначина (3.28) и (3.29), добија се:

46

( )1

20 11

2

pM

p

κ κκ

−−

= +

(3.30)

( )1 1

20 11

2M

κρ κ

ρ

−−

= +

. (3.31)

Једначине (3.30) и (3.31) дају однос тоталног и статичког притиска и густине, у произвољној тачки

струјног поља у функцији Маховог броја М у тој тачки. Једначином (3.28) представља се важна релација

тоталних особина - њихова вредност представљена је у Табели А.1 (видети додатак), у функцији М за

1,4κ = (које одговара за ваздух при стандардним условима).

Требало би поново да се нагласи да једначине (3.27), (3.28), (3.30) и (3.31) дају формуле преко којих

дефинисане величине Т0, p0 и ρ0 могу да се одреде из стварних услова за M, vx, T, p, ρ у датој тачки

струјног поља као што је скицирано на слици 2.2. Стварно струјно поље не мора да буде адијабатско или

изентропско од једне до друге тачке. У овим једначинама, изентропски процес представља замишљену

идеализацију. Горње једначине примењене на тачку A на слици 2.2 дају вредности Т0, p0 и ρ0 које важе за

тачку А. Слично томе, примењене на тачку B горње једначине дају вредности Т0, p0 и ρ0 које важе за

тачку B. Ако је стварно струјање између А и B неадијабатско и неповратно, следи 0 0 0 0

,A B A B

T T p p≠ ≠ и

0 0A Bρ ρ≠ . С друге стране, уколико је струјно поље у потпуности изентропско Т0, p0 и ρ0 су константне

вредности у свакој тачки струјног поља. Идеја о константним тоталним величинама у изентропској

струји биће касније употребљена при разматрању практичних проблема компресибилног струјања.

Неколико додатних једначина биће корисне у даљим поглављима. На пример, из једначине (3.24), следи:

2 22

0

1 2 1

xv cc

κ κ+ =

− − (3.32)

где је с0 зауставна брзина звука дефинисана у поглављу 3.4. Из једначина (3.26) и (3.32) следи

( )

22

01

2 1 1

cc

κ

κ κ∗+

=− −

(3.33)

Решавајући једначину (3.33) по 0c c∗ и уз подршку једначине (3.20),

2

0 0

2

1

c T

c T κ

∗ ∗ = =

+ . (3.34)

Критични притисак и критична густина, p∗ и ρ∗ , дефинисани су за стања где је М=1; односно, једначине

(3.30) и (3.31) за М=1 воде ка:

( )1

0

2

1

p

p

κ κ

κ

−∗

= +

(3.35)

( )1 1

0

2

1

κρ

ρ κ

−∗

= +

(3.36)

За стандардно стање ваздуха, где је κ=1,4, ови односи су:

0

0,833T

T

∗

=

0

0

0,528

0,634

p

p

ρ

ρ

∗

∗

=

=

47

које је згодно запамтити због накнадних разматрања. Дељењем једначине (3.26) са 2

xv добија се:

( )

( )

22

1 1

1 2 2 1

x

x

c v c

v

κ

κ κ

∗ ++ =

− −

( )

( )

2 21 1 1 1

1 2 1 2

M

M

κ

κ κ ∗

+ = −

− −

( ) ( )

2

2 2

[ 1 ] 1M

Mκ κ∗=

+ − − (3.37)

Једначина (3.37) даје директну релацију између стварног Маховог броја М и критичног Маховог броја

M*, дефинисаног у поглављу 3.4. Примећује се из једначине (3.37) да је:

M*=1 за М=1

M*<1 за M<1

M*>1 за M>1

* 1

1M

κ

κ

+→

− за M → ∞ .

Одатле следи да M* делује на исти начин као М, осим када М тежи ка бесконачности. У наредним

разматрањима која ће укључити ударне и експанзионе таласе, M* ће се показати као кориснији фактор

због своје коначности, у односу на М који може тежити бесконачности.

Све једначине у овом поглављу, директно или индиректно, алтернативна су форма оригиналне основне

енергијске једначине за једнодимензионално, адијабатско струјање (једначина (3.21)). Веома је важно

добро разумети ове једначине због њиховог великог значаја.

3.6 ЈЕДНАЧИНЕ НОРМАЛНОГ УДАРА

Претходна сазнања примениће се на реалан проблем нормалног ударног таласа. Као што је већ речено у

поглављу 3.1 нормални удар често се јавља као део надзвучних струјних поља. По дефиницији, нормални

ударни талас јавља се управно на струјање, као што је скицирано на слици 3.3. Удар се манифестује у

веома танкој области (ударни слој је обично реда величине 10-5

cm, за ваздух у стандардним условима).

Струјање је надзвучно испред таласа, а подзвучно после њега, као што је приказано на слици 3.3. Поред

тога, статички притисак, температура и густина расту са друге стране ударне линије, будући да брзина

опада, што ће се укратко приказати.

Природа успоставља ударни талас у надзвучној струји, као решење на компликовани проблем који

настаје при простирању поремећаја у струји. Да би се добио физички осећај ударног таласа размотриће

се ваљак постављен унутар струјања, као што је приказано на слици 3.7. Флуидна струја састоји се

молекула од којих неки ударају у ваљак. Током судара са ваљком долази до промене енергије и количине

кретања молекула. Као и у случају настајања звучног таласа, што је приказано у примеру у поглављу 3.3,

хаотично кретање молекула утиче на промену енергије и количине кретања у осталим деловима струје.

Присуство тела осети се свуда, па тако и уструјно, преко звучних таласа. На слици 3.7 горе, долазећа

струја је подзвучна, v∞<c∞, а звучни таласи могу да наставе свој пут низструјно и упозоре струју о

присуству тела. На овај начин, као што је приказано на слици 3.7 горе, струјнице почињу да се мењају, а

струјне особине се изједначавају тек довољно далеко уструјно (теоријски, низструјно безконачно

далеко). Са друге стране, ако је струјање надзвучно, v∞>c∞, звучни таласи не могу да се шире уструјно.

Уместо тога, они теже да се споје (утопе) непосредно испред тела. Тако радећи, њихов спојени облик је

танак ударни талас, као што је приказано на слици 3.7 доле. Испред ударног таласа у струји се не осећа

присуство тела. Непосредно иза нормалног ударног таласа струјање је подзвучно, а струјнице се

48

прилагођавају облику препреке. Такође ситуација која је приказана на слици 3.7 доле само је једна од

многих могућих које је природа у стању да створи, али физички механизам који је овде описан је

универзалан.

Слика 3.7. Поређење подзвучних и надзвучних струјница које опструјавају гладак цилиндар или плочу

Да би се започело са квантитативном анализом промена које се дешавају кроз нормални ударни талас,

размотриће се поново слика 3.3. За нормални удар претпоставља се да представља дисконтинуитет кроз

који се струјне карактеристике нагло мењају. Ради анализе, сматраће се да су сви параметри испред

ударног таласа познати (пресек 1), а да је потребно да се одреде параметри који владају иза удара (пресек

2). Нема довођења или одвођења топлоте струји док она прелази преко ударне линије (на пример, не

ставља се струју у фрижидер, нити се третира ласером); одатле следи да је струјање дуж ударног таласа

адијабатско. Дакле, основне једначине нормаланог удара следе директно из једначина (3.2), (3.5) и (3.9),

(са q =0) као:

1 1 2 2x xv vρ ρ= (континуитет) (3.38)

2 2

1 1 1 2 2 2x xp v p vρ ρ+ = + (количина кретања) (3.39)

2 2

1 21 2

2 2

x xv vh h+ = + (енергија) (3.40)

Једначине од (3.38) до (3.40) су уопштене - оне важе за све врсте гасова. Такође, оне се решавају

нумерички да би добили особине гаса иза ударног таласа, што ће бити описано у поглављу 14 у

случајевима полуидеалних и хемијски активних гасова. Како било, за идеалне гасове, могу се додати

следеће термодинамичке релације:

p RTρ= (3.41)

ph c T= (3.42)

Једначине од (3.38) до (3.42) представљају пет једначина са пет непознатих: ρ2, vx2, p2, h2 и T2. Отуда

следи да оне могу да се реше алгебарски.

Прво се једначину (3.39) подели са (3.38):

1 22 1

1 1 2 2

x x

x x

p pv v

v vρ ρ− = − (3.43)

Како је c pκ ρ= , једначина (3.43) постаје:

49

2 2

1 22 1

1 2

x x

x x

c cv v

v vκ κ− = − (3.44)

Једначина (3.44) комбинација је једначине континуитета и једначине количине кретања. Енергијска

једначина (3.40), може бити искоришћена у једној од њених алтернативних форми, тј. једначина (3.26)

која гласи:

22 2

1 1

1 1

2 2xc c v

κ κ∗+ −= − (3.45)

22 2

2 2

1 1

2 2xc c v

κ κ∗+ −= − (3.46)

Како је струјање адијабатско дуж ударног таласа, c* у једначинама (3.45) и (3.46) је иста константна

вредност (видети поглавље 3.5). Заменом једначине (3.45) и (3.46) у (3.44) добија се:

*2 *2

1 2 2 1

1 2

1 1 1 1

2 2 2 2x x x x

x x

c cv v v v

v v

κ κ κ κ

κ κ κ κ

+ − + −− − + = −

или

( ) ( )*2

2 1 2 1 2 1

1 2

1 1

2 2x x x x x x

x x

v v c v v v vv v

κ κ

κ κ

+ −− + − = −

Делењем са ( )2 1x xv v− , следи

*2

1 2

1 11

2 2x x

cv v

κ κ

κ κ

+ −+ = .

Решавајући по c*, добија се:

*2

1 2x xc v v= (3.47)

Израз (3.47) зове се Прантлова релација, и користи се за нормалне ударе. На пример, из ове једноставне

једначине директно се добија:

* *1 21 2* *

1 x xv vM M

c c= =

или

*

2 *

1

1M

M= (3.48)

На основу претходних физичких разматрања, струја испред ударног таласа мора бити надзвучна тј. М1>1.

Из поглавља (3.5) ово имплицира да је *

1 1M > . Према томе из израза (3.48) *

2 1M < и стога је и M2<1.

Дакле и Махов број иза нормалног удара увек је дозвучан. Ово је општи резултат, те није ограничен на

идеалне гасове.

Једначина (3.37) решена по M* даје:

2

*2

2

( 1)

2 ( 1)

MM

M

κ

κ

+=

+ − (3.49)

Заменом израза (3.49) у (3.48) добија се:

12 2

2 1

2 2

2 1

( 1) ( 1)

2 ( 1) 2 ( 1)

M M

M M

κ κ

κ κ

− + +

= + − + −

(3.50)

Решавајући израз (3.50) по 2

2M :

50

( )

( )

2

1

2 2

1

1 1 2

1 2

MM

M

κ

κ κ

+ − =− −

(3.51)

Израз (3.51) показује да је код идеалних гасова са константном вредношћу κ Махов број иза удара

функција само Маховог броја испред удара. Такође показује да ако је М1=1 онда је и М2=1. Ово је случај

бесконачно слабог нормалног удара који се назива Махов талас. Насупрот томе када М1 расте изнад 1,

нормални удар постаје јачи и М2 постаје сразмерно мањи од 1. Тако се у граничном случају када

1M → ∞ , М2 приближава коначно малој вредности 2 ( 1) 2M κ κ→ − , а та вредност за ваздух је 0,378.

Уструјни Махов број 1M важан је параметар који одређује особине ударног таласа, што се видело у

изразу (3.51). Односи других параметара удара могу да се представе преко М1. На пример, из израза

(3.38) комбинованог са изразом (3.47) добија се:

2 2

*21 1 1212 2 *2

1 2 2 1

x x x

x x x

v v vM

v v v c

ρ

ρ= = = = . (3.52)

Заменом једначине (3.49) у (3.52) следи:

2

12 1

2

1 2 1

( 1)

2 ( 1)

x

x

v M

v M

ρ κ

ρ κ

+= =

+ −. (3.53)

Да би се одредила вредност притиска користи се једначина о промени количине кретања (3.39)

2 2

2 1 1 1 2 2x xp p v vρ ρ− = −

Која комбинована са изразом (3.38) даје

2 22 1 1 1 1 2 1 1

1

( ) 1 xx x x x

x

vp p v v v v

vρ ρ

− = − = −

. (3.54)

Делећи израз (3.54) са p1 уз подсећање да је 2

1 1 1c pκ ρ= добија се:

2 22 11

1 1

1 x

x

vp pM

p vκ

−= −

. (3.55)

Заменом израза (3.51) за 2 1x x

v v у израз (3.55):

2

22 1 11 2

1 1

2 ( 1)1

( 1)

p p MM

p M

κκ

κ

− + −= −

+ . (3.56)

Поједностављивањем израза (3.56) добија се

221

1

21 ( 1)

1

pM

p

κ

κ= + −

+ (3.57)

Да би се добио однос температура, искористиће се једначина стања p=RTρ. Стога је:

2 2 1

1 1 2

T p

T p

ρ

ρ

=

. (3.58)

Уводећи изразе (3.57) и (3.53) у (3.58) добија се (3.59):

2

22 2 11 2

1 1 1

2 ( 1)21 ( 1)

1 ( 1)

T h MM

T h M

κκ

κ κ

+ − = = + − + +

. (3.59)

Разматрањем једначина (3.51), (3.53), (3.57) и (3.59) за идеалне гасове за познато κ добијају се M2, ρ2/ρ1,

p2/p1 и T2/T1 као функције само једне променљиве: M1. Ово је прва демонстрација важности Маховог

броја за одређивање компресибилног струјања флуида. Насупрот томе, што ће бити показано у

четрнаестом поглављу за разређен гас, промене кроз нормални удар зависе и од M1 и од T1, док за

51

равнотежу хемијски реагујућих гасова, оне зависе од M1, T1 и p1. Шта више, за такве случајеве на високој

температури затворени облик израза као што су једначине од (3.51) до (3.59) генерално нису могући, а

особине нормалног удара морају бити нумерички прорачунате. Према томе, једноставност коју уводи

претпоставка о идеалном гасу, је очигледна. На срећу, резултати у овом поглављу задржавају разумну

тачност до вредности М1=5 за ваздух при нормалним условима. Изнад М1=5 температура иза нормалног

удара постаје довољно висока да κ престаје да буде константно. Међутим, струјни режим са М1<5

присутан је у великом броју свакодневних практичних проблема па су резултати овог поглавља корисни

у пракси.

Гранични случај када М1→∞ може се схватити као vx1→∞, где претпоставке o идеалном гасу постају

неважеће због високе температуре, или када c1→∞, где једначина стања идеалног гаса постаје бескорисна

због јако ниских температура. Ипак занимњиво је испитати варијације параметара кроз нормални удар

када М1→∞ у изразима (3.51), (3.53), (3.57) и (3.59). За κ =1,4 добија се:

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1lim 0,378

2

1lim 6

1

lim

lim

M

M

M

M

M

p

p

T

T

κ

κ

ρ κ

ρ κ

→∞

→∞

→∞

→∞

−= =

+= =

−

= ∞

= ∞

У другом екстремном случају када М1=1, изрази (3.51), (3.53), (3.57) и (3.59) дају да је:

1 2 1 2 1 2 11М p p T Tρ ρ= = = = . Ово је случај бесконачно слабог нормалног удара, који прелази у Махов

талас где се ни једна мерљива промена дуж таласа не појављује. Ово је исто као код звучног таласа

помењеног у поглављу 3.3.

Раније у овом поглављу напоменуто је да струја испред нормалног удара мора бити надзвучна. Ово је

очигледно према претходним анализама о формирању удара. Занимљиво је да се примети да су изрази

(3.51), (3.53), (3.57) и (3.59) математички одрживи за М1<1 као и за М1>1. Према томе, да би се доказало

да ови изрази имају физичко значење само када је М1>1, мора се применити други закон термодинамике

(видети област 1.4). Из израза (1.36)

2 22 1

1 1

ln lnp

T ps s c R

T p− = −

и једначина (3.57) и (3.59) добија се

( )( )

( )2

12 2

2 1 1 12

1

2 12 2ln 1 1 ln 1 1

1 ( 1) 1p

Ms s c M R M

M

κκ κ

κ κ κ

+ − − = + − − + − + + +

(3.60)

Израз (3.60) показује да је промена ентропије кроз нормални удар такође функција само једне промењиве

М1. Шта више, показује да ако је М1=1 онда је s2-s1=0, ако је М1<1 онда је s2-s1<0 и ако је М1>1 онда је s2-

s1>0. С обзиром на други закон термодинамике мора бити s2-s1≥0. Махов број испред удара М1 мора бити

већи или једнак јединици, М1≥1. Још један пример како други закон наводи у ком правцу ће се одвијати

неки физички процес. Ако је М1 дозвучно, онда израз (3.60) показује да се ентропија смањује кроз

нормални удар, што је немогуће. Једини физички могућ случај је М1≥1 што за узврат говори из једначина

(3.51), (3.53), (3.57) и (3.59) да је М2≤1, ρ2/ρ1≥1, p2/p1≥1 и T2/T1≥1. Према томе, разјaшњен је феномен на

слици (3.3): кроз нормални ударни талас густина, притисак и температура расту, док брзина опада, као и

Махов број који се смањује до подзвучне вредности.

52

Шта је разлог да ентропија расте кроз ударни талас? Да би се одговорило на то питање, треба се

подсетити да се промене кроз удар јављају на малим растојањима реда величине 10-5

cm. Због тога су

градијенти брзине и температуре унутар самог удара веома велики. У зонама великих градијената

вискозни ефекти: вискозност и топлотне проводљивост постају важни. Ово су неповратни феномени који

повећавају ентропију. Нето раст ентропије предвиђен у једначинама нормалног удара у спрези са другим

законом термодинамике, остварује се појавом трења и топлотне проводљивости унутар самог ударног

таласа.

На крају у овом поглављу мора се дати одговор на још једно питање: како се тоталне величине мењају

кроз нормални ударни талас? Размотриће се слика 3.8 на којој је приказана дефиниција тоталних

величина пре и после удара. У пресеку 1 испред удара, флуидни делић креће се испред удара са

тренутним величинама p1, T1, M1 и s1. Размотриће се у овој области замишљено стање 1а у ком флуидни

делић изентропски уводи у стање мировања. По дефиницији, притисак и температура у стању 1а су

тоталне величине p01 и T01. Ентропија у стању 1а је још увек s1 пошто је мировање флуидног делића

постигнуто изентропском променом стања. У пресеку 2 иза удара флуидни делић креће се са тренутним

вредностима p2, T2, M2 и s2. У овом пресеку се разматра имагинарно стање 2а у коме флуидни делић

стиже у стање мировања изентропски. И овде је према дефиницији стање 2а тотално стање, те су

притисак и температура тоталне величине стања, p02 и T02. Ентропија у пресеку 2а још увек је s2, по

дефиницији. Поставља се питање у каквом су односу тоталне величине стања пре (p01 и T01) и након

удара (p02 и T02). Да би се одговорило на ово питање размотриће се једначина (3.22)

2 2

1 21 2

2 2

x x

p p

v vc T c T+ = + .

Слика 3.8 Илустрација тоталних (зауставних) величина стања испред и иза нормалног ударног таласа

Из једначине (3.27) тотална температура је дата изразом:

2

02

x

p p

vc T c T= +

Одакле следи

01 02p pc T c T= .

Стога је

53

01 02

T T= . (3.61)

Из израза (3.61) види се да је тотална температура константна кроз стационарни нормални ударни талас.

[Приметити да је израз (3.61) који важи за идеалне гасове специјални случај општијег резултата,

једначина (3.40), који говори да је тотална енталпија константна кроз удар. За стационарни нормални

удар, тотална енталпија увек је константна кроз ударни талас, што се за идеалне и разређене гасове

преводи у константну тоталну температуру кроз удар. Међутим, за хемијски реагујуће гасове тотална

температура није константна кроз удар, као што ће бити показано у четрнаестом поглављу. Осим тога,

ако ударни талас није стационаран, односно ако се креће кроз простор, ни тотална енталпија ни тотална

температура нису константне кроз талас. Ово постаје питање референтних система као што ће бити

објашњено у поглављу 7.]

Слика 3.9 Параметри иза нормалног ударног таласа као функција Маховог броја испред удара

Поново се разматра слика 3.8 и примењује се израз (1.36) између имагинарних стања 1а и 2а :

2 22 1

1 1

ln lna a

a a p

a a

T ps s c R

T p− = − (3.62)

Међутим, s2a=s2, s1a=s1, T2a=T0=T1a, p2a=p02 и p1a=p01. Једначина (3.62) постаје:

022 1

01

lnp

s s Rp

− = − (3.63)

или

54

2 1( ) /02

01

s s Rpe

p

− −= . (3.64)

Из једначина (3.64) и (3.60) види се да однос тоталних притисака кроз нормални удар зависи од М1.

Такође пошто је s2>s1, једначине (3.63) и (3.64) показује да је p02<p01. Тотални притисак се смањује кроз

ударни талас.

Зависности 2 1 2 1 2 1 02 01

, , ,p p T T p pρ ρ и M2 од M1, добијене из наведених релација, приказане су у

Табели А.2 (у додатку на крају књиге за κ =1,4). Да би се још боље дочарали поменути физички процеси

ове зависности приказане су на слици 3.9. Треба нагласити да (као што је већ раније напоменуто) ове

криве показују да са порастом М1 и односи 2 1 2 1иT T p p постају веома велики, док

2 1ρ ρ и М2 достижу

неку коначну вредност.

Пример 3.1: Нормални удар налази се у зони тестирања надзвучног ваздушног тунела. Уструјно од

ударног таласа вредност Маховог броја је М1=3, притисак p1=0,5 bar и температура T1=200 K. Одредити

M2, p2, T2 и vx2 иза удара.

Решење: Из табеле А.2 за М1=3 проналази се да је 2 1

p p =10,33 , 2 1

T T =2,679 и М2=0,475

Према томе добија се:

22 1

1

22 1

1

2 2

2 2 2

10,33 0,5 5,165 bar

2,679 200 535,8 K

1,4 287 535,8 464 m/s

0,4752 464 220 m/sx

pp p

p

TT T

T

c RT

v M c

κ

= = ⋅ =

= = ⋅ =

= = ⋅ ⋅ =

= = ⋅ =

Пример 3.2: Пројектил са заобљеним врхом лети брзином од 2 маха при стандардним условима на нивоу

мора. Одредити температуру и притисак на предњем делу пројектила.

Решење: Врх пројектила је зауставна тачка, а зауставна струјница пролази кроз нормални део заобљеног

ударног таласа. Због тога су температура и притисак на врху пројектила једнаки тоталној температури и

тоталном притиску иза нормалног удара. При стандардним условима, на нивоу мора владају следећи

услови: t1=15 °C, p1=101325 Pa.

Из табеле А.1 за M1=2 добија се 01 1

1,8T T = и 01 1

7,824p p = . За адијабатску струју кроз нормални удар

важи 01 02

T T= , те се добија

0102 01 1

1

1,8 288 518,4 KT

T T TT

= = = ⋅ =

Из табеле А.2 за М1=2: 02 01

0,7209p p = . Добија се

02 0102 1

01 1

0,7109 7,824 101325 563578 Pap p

p pp p

= = ⋅ ⋅ = .

3.7 ИГОНИООВА ЈЕДНАЧИНА

Резултати добијени у поглављу 3.6 за нормалне ударе приказани су у облику брзина и Махових бројева -

вредностима које наглашавају динамичку природу и покретљивост ударних таласа. Пошто статички

притисак увек расте кроз ударни талас, сам талас може се доживети као термодинамички уређај који

сабија гас. Заиста, промене кроз нормални удар могу да се изразе чистим термодинамичким величинама

55

без експлицитног везивања за брзину или Махов број, као што ће се у наставку и видети.

Из једначине континуитета (3.38)

12 1

2

x xv vρ

ρ= (3.65)

Уводећи једначину (3.65) у импулсну једначину (3.39)

2

2 11 1 1 2 2 1

2

x xp v p vρ

ρ ρρ

+ = +

(3.66)

Решавајући једначину (3.66) по 2

1xv следи:

2 2 1 21

2 1 1

x

p pv

ρ

ρ ρ ρ

−=

− (3.67)

Другачије написан израз (3.38) даје:

21 2

1

x xv vρ

ρ=

и поново уводећи у једначину (3.39) и решавајући по 2

2xv , добија се:

2 2 1 12

2 1 2

x

p pv

ρ

ρ ρ ρ

−=

− (3.68)

Из енергијске једначине (3.40)

2 2

1 21 2

2 2

x xv vh h+ = +

и раније дефинисане енталпије као h u p ρ= + , добија се:

2 2

1 21 21 2

1 22 2

x xv vp pu u

ρ ρ+ + = + + . (3.69)

Заменом једначина (3.67) и (3.68) у (3.69) елиминишу се брзине и добија се

1 2 1 2 2 2 1 11 2

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1

2 2

p p p p p pu u

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

− −+ + = + +

− − (3.70)

Након сређивања следи:

1 22 1

1 2

1 1

2

p pu u

ρ ρ

+− = −

(3.71)

или

( )1 22 1 1 2

2

p pu u υ υ

+− = − (3.72)

Израз (3.72) назива се Игониоова (Hugeniot) једначина и има извесне предности пошто повезује само

термодинамичке величине кроз удар. Осим тога, овде нису изнете претпоставке о каквом је гасу реч, тако

да је једначина (3.72) општа релација која важи за идеалне гасове, хемијски реактивне гасове, реалне

гасове итд. Осим тога, примећује се да је израз (3.72) облика sr

u p υ∆ = − ∆ , тј. промена унутрашње

енергије једнака је средњем притиску кроз ударни талас помноженом са променом специфичне

запремине. Ово у великој мери подсећа на први закон термодинамике у облику датом једначином (1.25),

где је δq=0 за адијабатски процес кроз удар.

56

У општем случају при термодинамичкој равнотежи било која величина стања може бити приказана као

функција било које две величине стања, на пример u=u(p, υ). Овај израз би се могао увести у израз (3.72)

при чему би сe добилa релацијa зависности:

2 1 1 2

( , , )p f p υ υ= (3.73)

За дате вредности p1 и υ1 испред нормалног удара израз (3.72) даје p2 у функцији υ2. Приказ ове функције

у pυ дијаграму назива се Игониоова крива која је приказана на слици 3.10. Ова слика представља сва

могућа стања притиска и запремине иза нормалних удара различитих јачина за неку почетну вредност

притиска и брзине испред удара, тачка 1 на слици 3.10. Свака тачка на Игониоовој криви (сл. 3.10) према

томе представља другачији удар са другачијом уструјном брзином vx1.

Сада ће се размотрити одређен удар са одређеном брзином испред удара vx1. Како наћи ону тачку на

Игониоовој кривој (тачка 2) која одговара овом удару? Да би се добио одговор на ово питање потребно је

вратити се на израз (3.67) уводећи смену υ=1/ρ:

2 2 1 11

2 1 21 1

x

p pv

υ

υ υ υ

−=

− (3.74)

Након сређивања израза (3.74) добија се:

2

12 1

2 1 1

xvp p

υ υ υ

−= −

− (3.75)

Примећује се да лева страна једначине геометријски представља нагиб праве кроз тачке 1 и 2 на слици

3.10. Десна страна је позната вредност одређена брзином и специфичном запремином испред удара.

Израчунавањем ( )2

1 1xv υ− из познатог стања испред удара и цртањем праве кроз тачку 1 са овако

одређеним нагибом ова линија ће сећи Игониоову криву у тачки 2 као што је приказано на слици 3.10.

Тачка 2 представља услове иза овог нормалног удара који уструјно има брзину vx1, притисaк p1 и

специфичну запремину υ1.

Компресија ударног таласа веома је ефективан (не обавезно ефикасан, него ефективан) процес. Као

пример дато је поређење изентропске и Игониоове криву нацртане кроз исту почетну тачку (p1, υ1) као

што је приказано на слици 3.10. У овој тачки обе криве имају исти нагиб (доказати имајући у виду да

тачка 1 на Игониоовој криви одговара бесконачно малом удару тј. Маховом таласу). Како υ опада,

Игониоова крива расте изнад изентропске криве. Због тога за дато опадање специфичне запремине,

ударни талас ствара већи пораст притиска него изентропска компресија. Међутим, ударни талас је

„скупљи“ јер долази до пораста ентропије, а тиме и губитка тоталног притиска, тј. ударна компресија је

мање ефикасна од изентропске.

Коначно, имајући у виду да за идеалан гас важи u=cvT и T=pυ/R, једначина (3.72) добија облик

1

2 2

11

2

11

1

1

1

p

p

υκ

κ υ

υκ

κ υ

+ −

− =

+ −

−

.

Доказати.

57

Слика 3.10 Игониоова крива. Поређење са изентропском кривом

3.8 ЈЕДНOДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ СА ДОВОЂЕЊЕМ ТОПЛОТЕ

Поново се разматра слика 3.5, која илуструје контролну запремину за једнодимензионално струјање.

Унутар ове контролне запремине доћи ће до промена које проузрокују да струјне особине у пресеку 2

буду другачије него у пресеку 1. У претходном поглављу, ове промене настале су услед нормалног

ударног таласа, где велики градијенти унутар удара на крају резултују повећањем ентропије преко

ефекта вискозности и топлотне проводљивости. Међутим, ови ефекти дешавају се унутар контролне

запремине на слици 3.5 и зато важеће једначине за нормални удар које се односе на стања у пресецима 1

и 2 нису захтевале експлицитне изразе који узимају у обзир трење и провођење топлоте.

Реакције унутар контролне запремине на слици 3.5 могу бити проузроковане и неким другим ефектима, а

не само ударним таласом. На пример, ако флуидна струја протиче кроз цев, трење између покретног

флуида и непокретних зидова цеви проузроковаће промене у пресецима 1 и 2. То може бити посебно

важно за транспорт гаса кроз дугачке цевоводе. Још један извор промена у једнодимензионалном

струјању је довођење топлоте. Ако је топлота доведена или одведена гасу унутар контролне запремине

на слици 3.5, особине у пресеку 2 биће различите од оних у пресеку 1. Ово је покретачки феномен у

турбо-млазним моторима, где се топлота доводи сагоревањем смеше горива и ваздуха. Ово такође има

важан утицај на суперсонично струјање у коморама у модерној динамици гасова и код хемијских ласера,

где се топлота ефективно доводи хемијским реакцијама и деактивацијом осцилаторне енергије молекула.

Други пример би био довођење топлоте апсорпционом гасу зрачењем; ова идеја предложена је за

ласерско загревање ваздушног тунела. Стога, генерално гледано, промене у једнодимензионалном

струјању могу настати и услед трења и довођењем топлоте без присуства ударног таласа.

Једнодимензијско струјање са довођењем топлоте ће бити анализирано у овом поглављу. Струјање са

трењем, скоро аналогним феноменом, тема је поглавља 3.9.

Једнодимензионално струјање на слици 3.5, са довођењем топлоте (или одвођењем) налази се између

пресека 1 и 2. Важеће једначине су (3.2), (3.5) и (3.9), које се овде понављају:

1 1 2 2x xv vρ ρ= (3.2)

2 2

1 1 1 2 2 2x xp v p vρ ρ+ = + (3.5)

58

2 2

1 21 2

2 2

x xv vh q h+ + = + (3.9)

Ако су особине стања у пресеку 1 познате, онда за одређену количину доведене топлоте по јединици

масе, q, ове једначине, заједно са одређеним једначинама стања, могу бити решене за стања у пресеку 2.

Генерално гледано тражи се нумеричко решење. Међутим, за специјалан случај идеалног гаса,

аналитички изражено решење може бити добијено само за проблем нормалног удара. Дакле, остатак овог

поглавља бавиће се идеалним гасом.

Решење једначине (3.9) по q, користећи да је ph c T= ,

2 2

2 12 1

2 2p p

v vq c T c T

= + − +

(3.76)

Из дефиниције за тоталну температуру, једначина (3.27), и десне стране једначине (3.76) добија се

једноставно решење:

( )02 01 02 01p p pq c T c T c T T= − = − (3.77)

Једначина (3.77) јасно показује да довођење тoплоте директно утиче на промену тоталне температуре

струјног тока. Ако се топлота доводи, T0 расте; a aко се топлота одводи, T0 опада.

У наставку ће се одредити односи струјних карактеристика између пресека 1 и 2 помоћу Махових

бројева М1 и М2. Из једначине (3.5), уз трансформације:

2 2 2 2 2pv c M M pM

κρ ρ ρ κ

ρ= = =

добија се

2 2 2 2

2 1 1 1 2 2 1 1 2 2p p v v p M p Mρ ρ κ κ− = − = −

па је

2

2 1

2

1 2

1

1

p M

p M

κ

κ

+=

+ (3.78)

Такође, из једначине стања идеалног гаса и једначине (3.2),

2 2 1 2 2

1 1 2 1 1

T p p v

T p p v

ρ

ρ= = . (3.79)

Из једначине (3.20) и дефиниције за Махов број, важи

1 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

v M c M T

v M c M T

= =

. (3.80)

Заменом једначина (3.78) и (3.80) у (3.79) следи

2 22

2 1 2

2

1 2 1

1

1

T M M

T M M

κ

κ

+=

+ . (3.81)

Пошто је ( )( )2 1 2 1 1 2p p T Tρ ρ = , једначине (3.78) и (3.81) дају

22

2 2 1

2

1 1 2

1

1

M M

M M

ρ κ

ρ κ

+=

+ (3.82)

Однос тоталних притисака добијен је директно из једначина (3.30) и (3.78),

59

( )1

22 2

02 1

2201 2

1

11

1 211

12

Mp M

p MM

κ κκ

κκκ

−−

+ +=

−+ +

. (3.83)

Однос тоталних температура је добијен директно из једначина (3.28) и (3.81),

22 22 2

02 1 2

2201 2 1

1

11

1 211

12

MT M M

T M MM

κκ

κκ

− + +

= −+ +

. (3.84)

Напокон, промена ентропије може се добити из једначине (1.36) уз 2 1

T T и 2 1

p p који су дати у

једначинама (3.81) и (3.78).

Ради олакшавања израчунавања, користи се сонично струјање као референтно стање. Нека је M1=1;

одговарајућа струјна својства записују се као: * * * *

1 1 1 01 0, , ,p p T T p pρ ρ= = = = и *

01 0 T T= . Струјна

својства за неку другу вредност М добијају се убацивањем M1=1 и M2=М у једначине (3.78) и од (3.81) до

(3.84), и тада се добија:

2*

1

1

p

p M

κ

κ

+=

+ (3.85)

2

2

* 2

1

1

TM

T M

κ

κ

+ =

+ (3.86)

2

* 2

1 1

1

M

M

ρ κ

ρ κ

+=

+ (3.87)

( )

( )12

0

* 2

0

2 11

1 1

Mp

p M

κ κκκ

κ κ

− + −+

= + +

(3.88)

( )

( )( )

20 2

2*2

0

12 1

1

MTM

T M

κκ

κ

+ = + −

+. (3.89)

Једначине (3.85) до (3.89) функције су Маховог броја М и за 1,4κ = приказане су у Табели А.3. За дато

струјање, није важно које су локалне струјне особине, својства референтног соничног стања (величине са

звездицом) су константе.

Пример 3.3 Ваздух улази у цев константног попречног пресека са M1=0,2, p1=1 bar, и T1=273 K. У цев се

доводи топлота по јединици масе; доведена топлота је q=1 MJ/kg. Израчунати следеће струјне

карактеристике на излазу из цеви:2 2 2 2 02, , , ,M p T Tρ и

02p .

Решење: Помоћу табеле А.1: за 1

0,2 :M = 01 1

1,008T T = и 01 1

1,028p p =

01 1

01 1

1,008 1,008 273 275,2 K

1,028 1,028 1 1,028 bar

1,4 2871005 J kgK

1 0,4p

T T

p p

Rc

κ

κ

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

⋅= = =

−

Из једначине (3.77):

6

02 01

1 10275,2 1270 K

1005p

qT T

c

⋅= + = + =

60

Из табеле А.3: за 1

0,2 :M = *

1 0,2066T T = , *

1 2,273p p = , *

01 1,235p p = и *

01 0 0,1736T T = .

02 02 01

* *

0 01 0

12700,1736 0,8013

275,2

T T T

T T T= = ⋅ =

Из табеле А.3, добија се да је 2

0,58M = .

Такође из табеле А.3, за 2

0,58M = : *

2 0,8955T T = , *

2 1,632p p = , *

02 0 1,083p p = .

*

22 1*

1

10,8955 273 1183 K

0,2066

T TT T

T T= = ⋅ ⋅ =

*

22 1*

1

11,632 1 0,718 bar

2,273

p pp p

p p= = ⋅ ⋅ =

*

02 002 01*

0 01

11,083 1,028 0,902 bar

1,235

p pp p

p p= = ⋅ ⋅ =

Густина ρ2 добија се из једначине стања идеалног гаса:

5

322

2

0,718 100,218 kg/m

278 1183

p

RTρ

⋅= = =

⋅

Неке тенденције физичког карактера рефлектују се у добијеним цифрама и сумиране су у даљем тексту:

1. За суперсонично струјање у пресеку 1, т.ј., 1

1M > , кад је доведена топлота

a. Махов број опада, 2 1

M M<

b. Притисак расте, 2 1

p p>

c. Температура расте, 2 1

T T>

d. Tотална температура расте, 02 01

T T>

e. Тотални притисак опада, 02 01

p p<

f. Брзина опада, 2 1

v v<

2. За субсонично струјање у пресеку 1, т.ј., 1

1M < , кад је доведена топлота

а. Махов број расте, 2 1

M M>

b. Притисак опада, 2 1

p p<

c. Температура расте за 1 2

1M κ −< , а опада за 1 2

1M κ −>

d. Тотална температура расте, 02 01

T T>

e. Тотални притисак опада, 02 01

p p<

f. Брзина расте, 2 1

v v>

За одвођење топлоте (хлађење струје), све горе наведене особине су супротне.

Из горе наведеног, важно је да се примети да довођење топлоте увек приближава Махов број ка 1,

успорава суперсонично, а убрзава субсонично струјање. То је истакнуто на слици 3.11, која представља

Молијеров дијаграм (h-s) за једнодимензионалан процес довођења топлоте. Крива на слици 3.11 зове се

Рејлиева крива и нацртана је за одређене почетне услове. Ако су особине стања у области 1 дате тачком

1, слика 3.11, онда одређена Рејлијева крива кроз тачку 1 представља положај свих могућих стања у

пресеку 2. Свакој тачки на криви одговара друга вредност доведене или одведене топлоте q. Тачка а

одговара максималној ентропији; такође, у тачки а струјање је сонично. Доњи део Рејлијеве криве испод

тачке а одговара суперсоничном струјању; горњи део криве изнад тачке а одговара дозвучном струјању.

Ако је струјање у пресеку 1 са слике 3.5 надзвучно и одговара тачки 1 на слици 3.11, онда ће довођење

топлоте узроковати да се стања у пресеку 2 приближе тачки а, са одређеним смањењем Маховог броја

61

према јединици. Како се повећава q, услови у пресеку 2 су све ближи и ближи тачки а. Коначно, за

одређену вредност q, струјање ће постати звучно у пресеку 2. За ове услове, струјање се сматра

пригушеним, јер свако даље повећање q није могуће без драстичне промене почетних стања у пресеку 1.

На пример, ако су почетни надзвучни услови у пресеку 1 добијени експанзијом кроз надзвучни млазник,

и ако је наведеном струјању доведе топлота, која омогућава да се у пресеку 2 постигне Махов број једнак

јединици, онда ће се нормални удар формирати унутар млазника и услови у пресеку 1 ће одједном

постати подзвучни.

Слика 3.11 Рејлијева крива

Сада ће се размотрити алтернативан случај где је почетна струја у пресеку 1 на слици 3.5 подзвучна,

приказана тачком 1’ на слици 3.11. Ако је топлота доведена струјању, стања у низструјном пресеку 2 ће

се приближавати тачки а. Ако се q довољно повећа, тачка а ће бити досегнута и струјање у пресеку 2 ће

бити сонично. Струјање се опет пригушује, и свако даље повећање q је немогуће без промене почетних

стања у пресеку 1. Ако је q изнад ове вредности, онда ће се серија таласа притиска ширити уструјно, и

природа ће подесити услове у пресеку 1 на ниже подзвучне Махове бројеве, на лево од тачке 1’ на слици

3.11.

Примећује се са Рејлијеве криве на слици 3.11 да је теоријски могуће успорити надзвучно струјање до

подзвучног тако што прво загрева струјни ток до звучног струјања (тачка а), а затим хлади. Слично томе

и почетно подзвучно струјање може да се преведе у надзвучно тако што се прво загрева струјни ток до

звучног струјања (тачка а), а затим се хлади до надзвучног.

Коначно, баш као и у случају нормалног ударног таласа, довођење топлоте струјном току – подзвучном

или надзвучном – увек смањује тотални притисак. Овај ефекат има велики утицај при пројектовању

млазних мотора, и у надокнађивању притиска, у динамици гасова и у хемијским ласерима.

3.9 ЈЕДНOДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ СА ТРЕЊЕМ

Разматра се једнодимензионално струјање компресибилног, невискозног флуида у цеви константног

попречног пресека. Ако је струјање стационарно, адијабатско и без ударних таласа, једначине (3.2), (3.5)

и (3.9) дају тривијално решење за струјање константних особина дуж целе цеви. Међутим, у стварности,

сви флуиди су вискозни, зато трење између покретног флуида и непокретних зидова цеви изазива

промену струјних особина дуж цеви. Без обзира што вискозна струјања нису тема ове књиге, ако се

утицај трења моделује као површински напон настао на зиду који делује на флуид са једнаким

62

карактеристикама по сваком попречном пресеку, као што је приказано на слици 3.12, тада једначине

изведене у поглављу 3.2, са једном изменом, описују најважније особине струјања са трењем у цевима

константног попречног пресека. Анализе и резултати су аналогни једнодимензионалном струјању са

довођењем топлоте, обрађеним у претходном поглављу.

Горе наведене модификације додате су у једначину о промени количине кретања. На слици 3.12,

приказан је тангенцијални напони τw који делују на површину цилиндричне контролне запремине; ово је

још једна компонента у интегралном облику једначине о промени количине кретања. Једначина (3.4) је

пројекција једначине о промени количине кретања на x осу за невискозан гас; ако се у ову једначину

укључи и тангенцијални напон, она постаје

( ) ( )d d dx wx

A A A

v A v p A Aρ τ⋅ = − −∫ ∫ ∫��

(3.90)

Слика 3.12 Модел једнодимензионог струјања са трењем

Применом ове једначине на цилиндричну контролну запремину, полупречника D и дужине L, како је

скицирано на слици 3.12, једначина (3.90) постаје

2 2

1 1 2 2 1 2

0

d

L

x x wv A v A p A p A D xρ ρ π τ− + = − − ∫ (3.91)

Пошто је 2 4A Dπ= , једначина (3.91) постаје

( ) ( )2 2

2 1 2 2 1 1

0

4d

L

x x wp p v v xD

ρ ρ τ− + − = − ∫ (3.92)

Тангенцијални напон τw мења се са променом растојања x дуж цеви, што компликује интеграцију десне

стране једначине (3.92). То се може превазићи узимањем dx за дужину уместо L, као на слици 3.12;

резултат је диференцијална релација

( )2 4d d d

x wp v x

Dρ τ+ = − (3.93)

Из једначине (3.2) следи да је ρvx=const. Стога је

( ) ( ) ( )2d d d d 0 dx x x x x x x x x x

v v v v v v v v v vρ ρ ρ ρ ρ= + = + = .

Зато једначина (3.93) постаје

4

d d dx x w

p v v xD

ρ τ+ = − (3.94)

63

Тангенцијални напон може бити исказан помоћу коефицијента трења ƒ, дефинисаног као 21

2w x

v fτ ρ= .

Сада једначина (3.94) постаје

21 4 dd d

2x x x

f xp v v v

Dρ ρ+ = − (3.95)

Враћањем на слику 3.12, види се да је покретачка сила која узрокује да су средње величине по попречном

пресеку својства која се мењају у правцу x-осе, сила трења на зидовима цеви, и ова промена

представљена је једначином (3.95). За практичну примену у случају идеалног гаса, једначина (3.95) може

се комплетно изразити у функцији Маховог броја М. То може бити учињено помоћу раније изведених

релација, 2c pκ ρ= , 2 2 2

xM v c= , p=ρRT, ρvx=const,

2 2 .p xc T v const+ = Поступак се оставља читаоцу као

вежба; резултат је

( ) ( )1

2 2

2

4 d 2 1 d1 1 1

2

f x MM M

D M Mκ

κ

−

= − + − (3.96)

Једначина (3.96) интеграли се за граничне услове: x=x1 (где је М=М1) и x=x2 (где је М=М2),

2

1

2

1

2

22

4 d 1 1ln

121

2

M

x

x

M

f x M

D MM

κκκ κ

+

= − − − +

∫ . (3.97)

Једначина (3.97) даје везу Маховог броја у два различита пресека и интегралног ефекта трења између та

два пресека.

Однос статичке температуре, притиска, густине и тоталног притиска између та два пресека лако сe

добијају. Струјање је адијабатско, према томе Т0=const. Стога, из једначине (3.28), следи

( )( )

2

10 12

2

1 0 2 2

2 1

2 1

MT TT

T T T M

κ

κ

+ −= =

+ − (3.98)

Такође, пошто ја ρ1v1=ρ2v2, и 2c p RTκ ρ κ= = , онда је

2

2 22

2 2 1 1 2 1 2

2 2

1 11 1 2 2 1 2 1

c

p c v M c M T

cp c v M c M T

ρ

κρ

κ

= = = = . (3.99)

Заменом једначине (3.98) у (3.99), добија се

( )( )

1 22

12 1

2

1 2 2

2 1

2 1

Mp M

p M M

κ

κ

+ −=

+ − (3.100)

Заменом једначина (3.98) и (3.100) у једначину стања, ( )( )2 1 2 1 1 2p p T Tρ ρ = , добија се

( )( )

1 22

12 1

2

1 2 2

2 1

2 1

MM

M M

κρ

ρ κ

− + −

= + −

(3.101)

Коначно, из једначина (3.30) и (3.100), однос тоталних притисака је

( )( )

( )( )( )

1 1 22 2

2 102 02 2 2 1

2 2

01 01 1 1 1 2 2

2 1 2 1

2 1 2 1

M Mp p p p M

p p p p M M M

κ κκ κ

κ κ

− + − + −

= = + − + −

64

( )( )

( ) ( )1 2 12

202 1

2

01 2 1

2 1

2 1

Mp M

p M M

κ κκ

κ

+ − + −=

+ − (3.102)

Аналогно претходном разматрању једнодимензионалног струјања са довођењем топлоте, прорачуни

струјања са трењем упрошћавају се коришћењем услова струјања брзином звука, где се струјне особине

записују са p*, ρ

*, T

* и *

0p . Из једначина (3.98) и (3.100) до (3.102), следи

( )* 2

1

2 1

T

T M

κ

κ

+=

+ − (3.103)

( )

1 2

* 2

1 1

2 1

p

p M M

κ

κ

+=

+ − (3.104)

( )

1 22

*

2 11

1

M

M

κρ

ρ κ

+ −=

+ (3.105)

( )

( ) ( )1 2 12

0

*

0

2 11

1

Mp

p M

κ κκ

κ

+ − + −=

+ (3.106)

Такође, ако се дефинише место x=L*, где је М=1, онда једначина (3.97) постаје

*

1

2

220

4 d 1 1ln

121

2

L

M

f x M

D MM

κ

κκ κ

+

= − − − +

∫

Или

( )

( )

2* 2

2 2

14 1 1ln

2 2 1

MfL M

D M M

κκ

κ κ κ

+− += +

+ − (3.107)

где је f средња вреденост коефицијента трења дефинисана као *

*

0

1d

L

f f xL

= ∫ .

Једначине од (3.107) до (3.107) су дате у зависности од Маховог броја у табели А.4 за κ=1,4.

Локални коефицијент трења ƒ зависи од тога да ли је струјање ламинарно или турбулентно, функција је

Маховог броја, Рејнолдсовог броја, храпавости површине и других променљивих. У скоро свим

практичним случајевима, струјање је турбулентно и коефицијент трења ƒ мора се одредити емпиријски.

Вредност коефицијента трења може се добити из Шлихтингове класичне динамике гасова, између

осталих; дакле, у наставку неће бити даљег разрађивања. За потребе на овом нивоу, може се усвојити

приближна вредност ƒ=0,005, који важи за 510Re > и апсолутну храпавост површине 0,001D.

Пример 3.4 Размотриће се струјање ваздуха кроз цев унутрашњег пречника d=0,15 m и дужине L=30 m.

Величине на улазу су М1=0,3 , p1=1 bar и Т=273 K. Уз претпоставку да је ƒ=const.=0,005, израчунати

струјне величине на излазу, М2, р2, Т2 и р02.

Решење: Из табеле А.1: За М1=0,3 , р01/р1=1,064. Према томе је р01=1,064⋅1=1,064 bar

Из табеле А.4: За М1=0,3, *

14 5,299fL D = , р1/р*=3,619 , Т1/Т

*=1,179 и р01/р

*=2,035.

65

Пошто је L=30 m= * *

1 2L L− онда je * *

2 1L L L= − и

*

2 14 4 4 4 0,005 30

5,2993 1,29930,15

fL fL fL

D D D

⋅ ⋅= − = − =

Из табеле А.4: За *4 1,26993fL D = , 2

0,475M = , Т2/Т*=1,148 , р2/р

*=2,258 и *

02 0 1,329p p = . Следи

*

22 1*

1

12,258 1 0,624 bar

1,169

p pp p

p p= = ⋅ ⋅ =

*

22 1*

1

11,148 273 265,8 K

1,179

T TT T

T T= = =

*

0202 01*

01

11,392 1,064 0,728 bar

2,035

p pp p

p p= = =

Извесне физичке законитости које се могу уочити на основу ових резултата, сумиране су у наставку:

1. Када је на улазу суперсонично струјање, т.ј., М1>1, ефекат трења низструјно је такав да

Махов број опада, М2<М1

Притисак расте, р2>р1

Температура расте, Т2>Т1

Тотални притисак опада, р02<р01

Брзина опада, v2< v1

2.Када је на улазу субсонично струјање, т.ј., М1<1, ефекат трења низструјно је такав да

Махов број расте, М2>М1

Притисак опада, р2<р1

Температура опада, Т2<Т1

Тотални притисак опада, р02<р01

Брзина расте, v2>v1

Слика 3.13 Фаноова крива

Из горе наведеног, закључује се да трење увек приближава Махов број ка јединици, успорава

суперсонично, а убрзава субсонично струјање. Ово је наглашено у дијаграму на слици 3.13, који

представља Молијеров дијаграм за једнодимензијско струјање са трењем. Крива на слици 3.13 назива се

Фаноова крива и нацртана је за скуп датих почетних услова. Тачка a одговара максималном садржају

66

ентропије, овде је струјање околозвучно. Ова тачка дели Фаноову криву на подзвучни (горњи) и

надзвучни (доњи) део криве. Уколико је улазно струјање надзвучно, што одговара тачки 1 на слици 3.13,

трење ће условљавати ниструјно померање стања струје према тачки а, уз померање вредности Маховог

броја према јединици. Свакој тачки на криви између тачака 1 и а одговара одређена дужина канала L.

Што је L веће, стање на излазу је ближе тачки а. Коначно, за одређену вредност L, струјање постаје

сонично (звучно). У овом случају, струјање се пригушује, због чега није могуће даље повећање L без

драстичне промене улазних услова. На пример, уколико су услови на улазу надзвучни (тачка 1) при

експанзији кроз суперсонични млазник, и уколико је L довољно велико да се на излазу постигне Махов

број вредности 1, тада ће нормални удар који се формира унутар млазника изазвати промену улазних

услова на подзвучне.

Сада ће се размотрити други случај када је улазно струјање струјање подзвучно, приказано тачком 1′ на

слици 3.13. Повећањем L, излазно стање помера се ближе тачки а. Уколико се L довољно повећа,

струјање постаје звучно. Струјање се пригушује и даље повећање L је немогуће без усаглашавања

улазног стања у правцу смањења Маховог броја, односно померањем улазног стања лево од тачке 1′ на

слици 3.13.

Коначно, познато је да се тотални притисак смањује услед трења, било да се ради о подзвучном или

надзвучном улазном струјању. Такође, за разлику од Рејлијеве криве за струјање које се хлади или греје,

горњи облик Фаноове криве не може бити примењен на једно одређено једнодимензијско струјање.

Односно, у оквиру теорије једнодимензионалног струјања, није могуће прво успорити надзвучну струју

трењем до околозвучних вредности, а затим је даље успоравати према подзвучним брзинама такође

трењем. Овакво подзвучно успоравање није у складу са Другом законом термодинамике.

3.10 ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ: ЗВУЧНИ И УДАРНИ ТАЛАСИ

Ако се погледа историјски развој из поглавља 1.1, постављају се следећа питања: Када је први пут

израчуната и у основи схваћена брзина звука? Одакле потиче теорија нормалног удара? Ко је први

поставио једначина обрађене у овом поглављу? Надаље ће бити дати одговори на ова питања.

До седамнаестог века било је јасно да се звук простире кроз ваздух неком коначном брзином. Заиста, у

време када је Исак Њутн штампао своје прве Принципе 1687, артиљеријски тестови показали су да је

приближна брзина звука од 350 m/s. Ови тестови су били засновани на томе што се посматрач налазио на

познатој удаљености од топа из кога је испаљиван хитац, и мерио временску разлику између светлости

на излазу из цеви и звука испаљивања хица. У Њутновој теореми 50, књига II, Принципи, тачно се

констатује да је брзина звука у везу са еластичном природом ваздуха (обрнуто од компресибилности,

дефинисане у поглављу 1.2). Међутим, он је увео нетачну претпоставку да је кретање звучног таласа

изотерман процес, и добио следећи нетачан израз за брзину звука:

1

T

csρ

=

где је sТ изотермска компресибилност дефинисана у поглављу 1.1. На његово запрепашћење, Њутн је

израчунао вредност брзине звука од 298 m/s што је за само 15 % мање од вредности која је добијена код

експеримента са пуцњем. Неустрашиво, наставио је устаљени посао теоретичара: наставио је покушаје

да објасни разлику између честица прашине и водене паре у атмосфери. Лоша претпоставка исправљена

је један век касније од странее француског математичара Пјера Симона Маркиза Де Лапласа који је у

часопису ''Annales de Chemie et de Physique'' (1816) штампао ''Sur la vitesse du son dans l`air et l`eau'' где

исправно закључује да су звучни таласи адијабатски, а не изотермни. Лаплас је добио следећи тачан

израз:

67

1

S

csρ

=

где је sS изентропска компресибилност дефинисана у поглављу 1.1. Ова једначина је иста као и једначина

3.18 изведена у поглављу 3.2. Према томе, процес и односи код простирања звука кроз гас су од времена

Наполеона потпуно схваћени.

Слика 3.14 В.Џ.М. Ренкин (1820-1872)

Постојање ударних таласа било је такође уочено у ово време, следећи исправне претпоставке Лапласа у

вези са прорачуном брзине звука, немачки математичар Г. Ф. Бернард Риман је 1858. године покушао да

израчуна особине удара користећи претпоставке о изентропском струјању. Наравно, овај покушај је био

осуђен на неуспех. Међутим, 12 година касније, први значајнији напредак у истраживању ударних таласа

направио је шкотски инжењер Вилијем Џон Меккворн Ренкин (1820-1872). (Р) Рођен у Единбургу,

Шкотска, 5. јула 1820, Ренкин је постао један од оснивача термодинамике. Са 25 година се прикључио

Краљевској Катедри за грађевинарство и машинство Универзитета у Глазгову, где је остао до смрти 24.

децембра 1872. Током овог периода, Ренкин је радио са истинским осећајем за инжењерство, применио је

научна сазнања на замор материјала на осовинама вагона, на нове методе механичких конструкција, и

механику тла бавећи се притиском и стабилношћу носећих зидова. Можда најпознатији допринос дао је

на пољу парних машина и развоју кружних термодинамичких циклуса који носе његово име. Такође,

инжењерска јединица за апсолутну температуру носи име њему у част.

Допринос теорији ударних таласа Ренкин даје пред крај свог живота- 2 године пред смрт. У часопису

''Philosophical Transactions of the Royal Society'' штампа чланак под називом ''Ка термодинамичкој теорији

коначних лонгитудиналних таласа''. Ренкин јасно приказује једначине континуитета, количине кретања и

одржања енергије за нормални удар чија је форма слична једначинама од 3.38 до 3.40. (Интересантно је

да Ренкин у овим једначинама користи термин ''количина материје'' што је идентично са данашњим

појмом специфичне запремине.) Шта више, Ренкин правилно претпоставља да унутрашња структура

ударног таласа није изентропска, него да долази до дисипације. Он је размишљао о топлотној

проводљивости као о пратећем ефекту вискозности унутар удара. Ренкин је био способан да успешно

изведе изразе за термодинамичке промене унутар ударног таласа аналогно једначинама које су изведене

у поглављу 3.7. (Интересантно је да се запази да је Ренкин у чланку користио ознаку γ за однос

специфичних топлота, cp/cv, што се и данас, век и по касније користи (у оригиналу ове књиге, користи се

и даље γ, а не κ прим. прев.). Он је такође утврдио да је κ приближно 1,41 за ваздух, кисеоник, азот и

водоник, док је за водену пару 1,3.)

Једначине до којих је дошао Ренкин касније је поново извео француски балистичар Пјер Хенри Игонио

(Hugoniot). Неупознат са Ренкиновим радом, Игонио је 1887. објавио чланак у часопису ''Journal de

l`Ecole Polytechnique'' под називом ''Memoire sur la Propagation du Mouvement dans les Corps et

Specialement dans les Gases Parfaits'' у којем је презентовао термодинамичке једначине нормалног удара,

68

једначине које су изведене у поглављу 3.7. Као резултат пионирског рада Игониоа и Ренкина пре њега,

добијени су општи изрази који се користе за описивање промена дуж ударног таласа, односно Ренкин-

Игониове односе. Овај израз се често јавља у савременој литератури из динамике гасова.

Међутим, радови Ренкина и Игониоа не установљавају правац промена дуж ударног таласа. У оба рада је

дата математичка вероватноћа било компресије (повећања притиска) било разређувања (смањења

притиска) унутар ударног таласа. Ова иста вероватноћа је анализирана у поглављу 3.6. Ова

двосмисленост није решена до 1910. У два скоро истовремена и независна чланка, прво Лорда Рејлија

(слика 3.15) а затим Г.И. Тејлора, позивањем на други закон термодинамике, показали су да је

компресиони удар (са повећањем притиска) једини могућ, тј. Ренкин-Игониови односи важе за случај код

кога је притисак иза удара већи од оног испред. Рејлијев чланак је штампан у тому 84 ''Proceedings of the

Royal Society'' 15. септембра 1910. под насловом ''Равни ваздушни таласи коначних амплитуда''. Овде,

лорд Рејли сабира резултате предходног:

"Јавља се питања које, чини ми се, Ренкин није узео у обзир. У циљу да се обезбеди неопходан пренос

топлоте кондукцијом (провођењем), обавезан је услов да топлота мора са топлијег тела да пређе на

хладније. Ако је одржавање одређене врсте таласа могуће кондукцијом, обрнут ток даће одређену врсту

таласа која се не може одржати. Видели смо разлог за доношење закључка да дисипативни ефекат може

да служи одржавању одређене врсте таласа само када гас прелази из стања мање у стање веће

кондензованости."

Као допуну другог закона термодинамике, Рејли је такође показао да вискозност, као и кондукција, игра

важну улогу у структури удара. (Подсетимо се да је једино Ренкин размотрио провођење, док је Игонио

добио резултате без посебног осврта на дисипативни механизам.)

Месец дана касније, у истом часопису, млади Г.И. Тејлор (који ће касније постати један од

најпризнатијих стручњака из области динамике флуида у двадесетом веку) објавио је кратак текст под

називом ''Непоходне околности прекидног кретања у гасовима'' који се ослањао на Рејлијеве закључке.

Коначно, након 40 година, у другој деценији двадесетог века, теорија ударног таласа је постављена у

коначном облику.

Треба имати у виду да је проучавање ударних таласа које су вршили Ренкин, Игонио, Рејли и Тејлор

сводило на споредно теоријско изучавање у академским круговима. Нагло повећање интересовања за ову

теорију наступило је повећањем интереса за суперсоничне уређаје током Другог светског рата. Међутим,

ово је класичан пример како теоријска истраживања доприносе каснијем развоју праксе, иако се у први

мах чине безначајна. Брз напредак летења у домену суперсоничних брзина током четрдесетих учинио је

да теорија ударног таласа нађе место овде, потпуно истражена и спремна за примену.

Слика 3.15 Лорд Рејли (1842-1919)

69

ЗАДАЦИ

(Напомена: Табеле са краја књиге користити што више да би се решили следећи задаци. Такође, када су

речи ''притисак'' или ''температура'' коришћени без накнадних обележја они се односе на статички

притисак и температуру.)

3.1 У датој тачки у високобрзинској струји изнад авионског крила, локални Махов број, притисак и

температура су 0,7, 0,9 bar и 250 К. Израчунати вредности p0, T0, p*, T

* и c

* у овој тачки.

3.2 У датој тачки у надзвучном ваздушном тунелу притисак и температура су 5⋅104 N/m

2 и 200 K. Тотални

притисак у овој тачки је 1,5⋅106 N/m

2. Израчунати локални Махов број и тоталну температуру.

3.3 У тачки у струји око високобрзинског пројектила локална брзина и температура су 914,4 m/s и 500 К.

Израчунати Махов број М и критични Махов број М* у овој тачки.

3.4 Разматра се нормални ударни талас у ваздуху. Уструјне величине су М1= 3, p1= 1 bar, ρ1= 1,23 kg/m3.

Израчунати ниструјне вредности p2, T2, ρ2, M2, v2, p02, T02.

3.5 Разматра се Питоова сонда монтирану на предњи део експерименталног авиона. Питоова цев мери

тотални притисак на врху сонде. Питоова цев се понекад комбинује са опремом за мерење слободног

статичког притиска. Питоова цев и опрема за мерење статичког притиска нам дају доле приказане три

различите вредности стања летења. Израчунајте Махов број у слободној струји кроз који лети авион за

сваки од добијених резултата:

• Тотални притисак = 1,22⋅105 N/m

2, статички притисак = 1,01⋅10

5 N/m

2

• Тотални притисак = 3,4⋅105 N/m

2, статички притисак = 1,01⋅10

5 N/m

2

• Тотални притисак = 6,3⋅105 N/m

2, статички притисак = 0,5⋅10

5 N/m

2

3.6 Разматра се компресију ваздуха помоћу (а) ударне компресије и (б) изентропске компресије. Почетни

услови, p1 и υ1, су исти у оба случаја. Скицирати график за оба компресиона процеса на истом pυ

дијаграму. Упоредити ефективности ударне у односу на изентропску компресију.

3.7 Током уласка свемирског брода Аполо у Земљину атмосферу, Махов број у датој тачки на

трајекторији је био М=38, а температура атмосфере 270 К. Израчунати температуру у зауставној тачки

брода, претпостављајући да је ваздух енергијски идеалан гас са κ=1,4. Да ли је овај прорачун исправан?

Ако не, зашто? Ако није, да ли је решење прецењено или подцењено?

3.8 Разматра се пролазак ваздуха кроз грејну цев на p1=1 bar, T1=288 K. Трење је занемарено. Израчунати

количину топлоте по јединици масе (у J/kg) неопходну за згушњавање протока на излазу из вода, као и

притисак и температуру на излазу из вода, за улазне вредности Маховог броја:

(а) М1=2,0 (б) М1=0,2.

3.9 Ваздух улази у комору за сагоревање млазног мотора при p1=10 bar, T1=1000 К, M1=0,2. Гориво се

убацује и сагорева, са масеним односом горива и ваздуха од 0,06. Ослобођена топлота током сагоревања

износи 42 MJ/kg. Претпостављајући да се ради о једнодимензионалном струјању без трења са κ= 1,4 за

мешавину ваздуха и горива, израчунати М2, p2, T2 на излазу из цеви.

3.10 За улазне величине у примеру 3.9, израчунати максималан однос горива и ваздуха који ће довести до

пригушења на излазу.

3.11 На улазу у комору за сагоревање суперсоничног млазног мотора (SCRAMjet), Махов број је већи од

1, струјање је надзвучно. За однос горива и ваздуха од 0,03 и излазну температуру на излазу из коморе од

6000 °C, израчунати излазни Махов број до ког излазно струјање неће бити пригушено. Претпоставити

да се ради о једнодимензионалном струјању без трења са κ= 1,4, са топлотом испуштеном по јединици

горива од 42 MJ/kg.

3.12 Ваздух струји кроз цев унутрашњег пречника од 0,02 m и дужине 40 m. Величине стања ваздуха на

излазу из цеви су M2=0,5, p2=1 bar, T2=270 K. Претпостављајући да се ради о адијабатском

једнодимензионалном струјању, са коефицијентом трења од 0,005, израчунати М1, p1 и Т1 на улазу у цев.

70

3.13 Разматра се адијабатско струјање кроз цев унутрашњег пречника 0,06 m и дужине 0,91 m. Струјне

величине на улазу у цев су M1=2,5, p1=0,5 bar, T1=650 °C. Претпостављујући константан коефицијент

трења од 0,005, израчунати струјне величине на излазу из цеви: M2, p2,T2, p02.

3.14 Зауставна комора ваздушног тунела спојена је са боцом ваздуха која се налаз под високим

притиском и смештена је ван лабораторијске просторије. Веза је израђена од дугачке цеви унутрашњег

пречника 0,1 m. Уколико је статичка разлика притисака између боце и коморе 10 bar, а статички

притисак унутар саме боце 100 bar, колико дуго неће доћи до загушења у самој боци? Претпоставити

адијабатско, звучно, једнодимензионално струјање са коефицијентом трења од 0,005. Почети са

једначином 3.95, односно 3.96.

71

ЧЕТВРТО ПОГЛАВЉЕ

КОСИ УДАР И ЕКСПАНЗИОНИ ТАЛАСИ

Верујем да смо сада достигли ниво знања о суперсоничном струјању које нам допушта

изградњу летилица које се могу поредити са уметношћу.

Теодор фон Карман, 1947

4.1 УВОД

Нормални ударни таласи који су размотрени у трећем поглављу представљају специјалан случај много

шире фамилије косих таласа који се јављају у надзвучним струјањима. Коси ударни таласи представљени

су сликама 3.1 и 3.2. Коси удар код кога надзвучна струја ''скреће према себи'', приказан је на слици 4.1а.

Као што се види, надзвучна једнолика струја с једне стране везана је за површину. У тачки А површина

се прелама нагоре за угао θ. Последично, и струјнице ће бити преломљене нагоре, усмерене према

главном струјном току изнад површине. Промена правца струјања дешава се кроз ударни талас који је

нагнут у односу на неузнемирену струју. Све струјнице заузимају исти нападни угао θ у односу на удар.

После удара, ниструјно, поново се успоставља униформна струја са паралелним струјницама које прате

правац зида ниструјно од тачке А. Кроз ударни талас Махов број се смањује, док се притисак,

температура и густина повећавају.

Слика 4.1 Надзвучно струјање поред нагнутог зида

Са друге стране, када надзвучна струја ''скреће од себе'', као што је приказано на слици 4.1б, формира се

експанзиони талас. Овде је ниструјно површина преломљена надоле за угао θ. Према томе и струјнице ће

бити преломљене надоле, ширећи проточни пресек. Ова промена у струји изазваће експанзиони талас, са

центром у тачки А. Даље од површине коси експанзиони талас се шири, као што је показано на слици

4.1б. Струјнице су глатко закривљене кроз експанзионе таласе док не постану паралелне са површином

иза тачке А. Због тога је проток иза експанзионог таласа такође униформан и паралелан, скренут за угао

θ као на слици 4.1б. За разлику од дисконтинуитета који се јавља код ударног таласа, код експанзионог

таласа све величине се мењају глатко и континуално, са изузетком струјнице која се налази поред зида и

која се нагло ломи у тачки А. Иза експанзионог таласа Махов број расте, а притисак, температура и

густина се смањују.

Коси ударни и експанзиони таласи заступљени су код дво- и тродимензионалних надзвучних струјања.

Ови таласи су по својој природи у суштини дводимензионални, за разлику од једнодимензионалног

72

нормалног ударног таласа који је обрађен у поглављу 3. Као што се види, особине струјног поља

функција су координата x и y са слике 4.1. Основни задатак овог поглавља је да размотри особине ових

дводимензионалних таласа.

4.2 ПОРЕКЛО КОСИХ ТАЛАСА

Коси таласи настају по истом физичком механизму који је описан у поглављу 3.6; то су поремећаји који

се шире услед судара молекула при брзини звука и од којих се неки претварају у ударне таласе, а други

се шире у виду експанзионих таласа. Да би се јасније сагледао процес настајања косих таласа,

размотриће се покретни тачкасти извор звука у гасу, као што је показано на слици 4.2. Услед недостатка

бољег израза, овај извор назваће се ''одашиљач''. Одашиљач непрестално емитује звучне таласе док се

креће кроз стационаран гас. Размотриће се прво случај када се одашиљач креће брзином ν која је мања

од брзине звука, слика 4.2а. Када се одашиљач налази у тачки А он емитује звучне таласе који се шире

кроз средину брзином звука c. Након извесног времена t овај звук представља се кругом радијуса (сt) на

слици 4.2а. Међутим одашиљач је у истом временском периоду прешао растојање νt до тачке В. Шта

више, током кретања из тачке А у тачку В, одашиљач је емитовао неколико нових звучних таласа, који су

у временском тренутку t представљени мањим круговима на слици 4.2а. На слици се види да се при

приказаној ситуација у тренутку t, одашиљач налази унутар фамилије кружних звучних таласа, док се

таласи непрестално шире око одашиљача. Ово се дешава јер се одашиљач креће подзвучном брзином,

ν<c.

Слика 4.2 Ширење поремећаја у (а) подзвучној и (б) надзвучној струји

Слика 4.2в) Систем таласа настао надзвучним проласком оловног зрна калибра 22 испод перфориране

плоче. Лучни ударни талас испред зрна, пролазећи кроз рупе у плочи, шаље слабе поремећаје изнад плоче

који се претварају у Махове таласе изнад плоче. Ова фотографија представља илустрацију шеме са

слике 4.2б. (Фотографију начинио Данијел Бершидер, Стенфордски Универзитет)

73

У наставку ће се размотрити случај када се одашиљач креће надзвучним брзинама, v>c. Ово је

илустровано на слици 4.2б. Када је одашиљач у тачки А, он емитује звучни талас. Након временског

интервала t, овај талас је кружница полупречника c·t. Током истог временског интервала, одашиљач је

прешао растојање v·t до тачке B. Осим тога, приликом преласка од А до В, одашиљач је емитовао

неколико других звучних таласа, који су у тренутку t представљени мањим кружницама на слици 4.2б.

Међутим, за разлику од случаја подзвучног кретања, одашиљач је сада константно изван фамилије

кружних звучних таласа тј. креће се испред таласног фронта јер је v>c. Дешава се нешто ново. Ови

таласни фронтови формирају енвелопу поремећаја приказану правом линијом BC, која је тангента на

фамилију кружница. Ова линија поремећаја дефинише се као Махов талас, тј. Махов конус. У наставку,

угао ABC који Махов конус заклапа са правцем кретања одашиљача дефинисан је као Махов угао, µ.

Махов угао лако се израчунава из геометрије са слике 4.2б :

1

sinct c

vt v Mµ = = =

Стога је Махов угао одређен локалним Маховим бројем као

1

arcsinM

µ = (4.1)

Ширење слабијих поремећаја и њихово сједињавање у Махов конус јасно се виде на слици 4.2в.

Ако су поремећаји јачи од звучних таласа које емитује одашиљач, као на пример када клин пробија свој

пут кроз гас при надзвучним брзинама како је приказано на слици 4.3, таласни фронт постаје јачи од

Маховог таласа. Јаки поремећаји сједињавају се у коси талас под углом β у односу на правац слободног

струјања, где је β>µ. Физички механизам стварања косог таласа у суштини је исти као и претходно

описани механизам настајање Маховог таласа. У ствари, Махов талас је гранични случај косог удара тј.

он је бесконачно слаб коси удар.

Слика 4.3 Поређење таласног угла и Маховог угла

4.3 РЕЛАЦИЈЕ ЗА КОСИ УДАР

Геометрија струјања кроз коси удар дата је на слици 4.4. Брзина уструјно од удара је v1 и хоризонтална је.

Оговарајући Махов број је М1. Коси удар заклапа таласни угао β са правцем v1. Иза удара, струја се

заноси према удару за вредност угла заношења струје θ. Брзина и Махов број иза удара су v2 и М2.

Нормална и паралелна компонента v1 у односу на удар су vn1 и vt1. Одговарајуће компоненте брзине v2 су

vn2 и vt2, као што је приказано на слици 4.4. Нормални и тангенцијални Махов број испред удара су Мn1 и

M t1, а иза удара су Мn2 и M t2.

Интегрални облици једначина одржања из Другог поглавља примењени су у поглављу 3.2 на одређену

контролну запремину при једнодимензионалном струјању, доводећи на крају до једначина нормалног

удара датих у поглављу 3.6. И овде ће се применити слична тактика. Разматра се контролна запремина

нацртана између две струјнице кроз коси удар, приказана на врху слике 4.4 испрекиданим линијама.

Површи a и d су паралелне са ударним таласом. Примениће се интегрална једначина континуитета (2.2)

на ову контролну запремину за једнолико струјање. Извод по времену у једначини (2.2) једнак је нули.

74

Површински интеграл развијен по површима а и d контролне запремине са слике 4.4 даје –ρ1v1A1+ρ2v2A2,

где је А1=А2=површина површи а и d. Површи b, c, e и f контролне запремине су паралелне брзини, па

стога не доприносе површинском интегралу (тј. за ове површи d 0v A⋅ =��

). С обзиром на ово, једначина

континуитета за коси ударни талас гласи

1 1 2 2n nv vρ ρ= (4.2)

Слика 4.4 Геометрија косог ударног таласа

Интегрални облик једначине о промени количине кретања (2.11) је векторска једначина. Ова једначина

може да се раздвоји на две компоненте, паралелну (тангенцијалну) и ортогоналну (нормалну) са ударним

таласом са слике 4.4. Поново претпостављајући да је струјање једнолико без запреминских сила,

тангенцијална компонента једначине (2.11) примењена на површине контролне запремине са слике 4.4

(напомињући да је тангенцијална компонента производа dp A�

једнака нули на површима а и d, а да

компоненте са површи b поништавају оне са површи f. Слично је са површима c и е) доводи до

( ) ( )1 1 1 2 2 2 0n t n tv v v vρ ρ− + = (4.3)

Дељењем једначине (4.3) са (4.2) добија се да је

1 2t tv v=

Ово је веома значајан закључак – тангенцијална компонента брзине струјања не мења се кроз коси

ударни талас.

Поново се разматра слика 4.4 и примењује нормална компонента једначине (2.11). Добија се

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2n n n nv v v v p pρ ρ− + = − − +

или

2 21 1 1 2 2 2n np v p vρ ρ+ = + (4.3а)

75

Интегрални облик енергијске једначине је једначина (2.20). Примењена на контролну запремину са слике

4.4 за једнолико адијабатско струјање без запреминских сила, даје

( )2 21 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 22 2

n n n n

v vp v p v u v u vρ ρ

− − + = − + + +

Или

2 21 2

1 1 1 2 2 22 2

n n

v vh v h vρ ρ

+ = +

(4.4)

Дељењем једначине (4.4) са (4.2) добија се

2 21 2

1 22 2

v vh h+ = + . (4.5)

Из геометрије са слике 4.4 види се да је 2 2 2n tv v v= + , а пошто је 1 2t tv v= следи

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2n t n t n nv v v v v v v v− = + − + = − .

Стога, једначина (4.5) постаје

2 21 2

1 22 2

n nv vh h+ = + . (4.6)

Пажљивим разматрањем једначина (4.2), (4.3а) и (4.6) види се да су оне идентичне форме као и једначине

континуитета, промене количине кретања и енергије за нормални удар, (3.38) до (3.40). Шта више, у обе

групе једначина брзине су нормалне на талас. Стога, промене кроз коси ударни талас управљане су

нормалном компонентом брзине слободне струје. Осим тога, када се идентична рачуница, примењена на

једначине нормалног удара у поглављу 3.6, примени на једначине (4.2), (4.3а) и (4.6) добија се идентичан

израз за промене кроз коси удар када је реч о нормалној компоненти уструјног Маховог броја Mn1. То

значи, за коси ударни талас са

1 1 sinnM M β= (4.7)

за идеалан гас важи

( )

( )

212

21 1

1

1 2

n

n

M

M

κρ

ρ κ

+=

− + (4.8)

( )221

1

21 1

1n

pM

p

κ

κ= + −

+ (4.9)

21

22

21

2

12

11

n

n

n

M

M

M

κκ

κ

+−=

−−

(4.10)

2 2 1

1 1 2

T p

T p

ρ

ρ= (4.11)

Махов број иза косог удара, М2, може да се израчуна из Mn2 и геометрије са слике 4.4 као

( )

22

sin

nMM

β θ=

− (4.12)

У поглављу 3.6, наглашено је да су промене кроз нормални удар функција само једне величине –

уструјног Маховог броја. Сада се из једначина (4.7) до (4.11) види да су промене кроз коси удар функције

две величине: М1 и β. Такође се види да су, у ствари, нормални удари специјални случајеви косих удара

где је β=π/2.

76

Једначина (4.12) показује да се М2 не може изразити све док се не добије угао заношења струје θ. Ипак, θ

је такође јединствена функција М1 и β. Из геометрије са слике 4.4

1

1

tg n

t

v

vβ = (4.13)

и ( ) 2

2

n

t

vtg

vβ θ− = (4.14)

Комбинујући једначине (4.13) и (4.14), знајући да је 1 2t tv v= , добија се

( ) 2

1

tg

tg

n

n

v

v

β θ

β

−= . (4.15)

Комбиновањем једначине (4.15) са једначинама (4.2), (4.7) и (4.8), добија се

( ) 2 2

1

2 21

tg 2 ( 1) sin

tg ( 1) sin

M

M

β θ κ β

β κ β

− + −=

+ (4.16)

Тригонометријским трансформацијама, ова једначина може да се преведе у облик

( )

2 21

21

sin 1tg 2ctg

cos 2 2

M

M

βθ β

κ β

−=

+ + (4.17)

Једначина (4.17) назива се θ-β-М релација која одређује θ као јединствену функцију М1 и β.

Ова једначина је од кључног значаја при анализи косих ударних таласа, а резултати добијени њеном

применом дати су на слици 4.5 за κ=1,4. На овој слици приказан је дијаграм угла таласа у функцији од

угла заношења, за различите вредности Махових бројева. Може се донети следећи закључак:

1. За свако М1, постоји максималан угао одбијања θmax. Уколико је геометрија таква да је θ>θmax, тада

не постоји решење за прави коси ударни талас. Уместо тога, удар ће бити закривљен и одвојен, као

што је приказано на слици 4.6, која упоређује струјање преко клина и нагиба у ситуацијама у којима

је θ мање или веће од θmax .

2. За било које θ<θmах, постоје две вредности β предвиђене θ–β–М релацијом за задати Махов број,

приказано на слици 4.7. Пошто промене кроз удар постају оштрије како се β повећава (видети

једначине (4.8) и (4.9)), већа вредност β назива се решење за јак удар, a са друге стране, мања

вредност β назива се решење за слаб удар. У стварности се обично јавља решење за слаб удар. У

карактеристичним ситуацијама које су приказане на слици 4.7 углавном ће се сретати слабији удар.

Да ли ће се јавити решење за слаб или јак удар одређено је притиском иза тела. Разматра се слика 4.7.

Ако се ниструјни притисак повећава неким независним механизмом, онда је могућа појава јаког

удара приказана испрекиданом линијом. У решењу за јак удар М2 је подзвучно. У решењу за слаб

удар М2 је надзвучно изузев у области блиској θmax (видети слику 4.5).

3. Ако је θ=0 тада је β=π/2 (за нормални удар) или β=µ (за Махов талас)

4. За одређен, фиксни угао скретања θ, како Махов број слободне струје опада од великих до малих

надзвучних вредности, таласни угао расте (важи за решење слабог удара). Коначно, постоји Махов

број испод ког не постоји никакво решење. При овом Маховом броју важи да је θ=θmax. За мање

вредности Маховог броја удар постаје одвојен (слика 4.6)

77

Слика 4.5 Дијаграм θ-β-М кривих. Карактеристике косих ударних таласа

Слика 4.6 Припојени и одвојени удари

Ове варијације су веома битне и требале би да се пажљиво проуче. Важно је стећи осећај физичког

понашања косог удара. Узимајући у обзир слику 4.5 и релације за коси удар дате једначинама од (4.7) до

(4.12), може се видети, на пример, да за исти Махов број, како расте θ тако расту и β, p2, T2 и ρ2 а опада

М2. Ипак, ако се θ смањи испод θmax ударни талас постаје одвојен. С друге стране, ако се за исто θ

повећава М1 од јединице, ударни талас је с почетка одвојен, а потом постаје припојен када се М1

изједначи са вредности при којој је θ=θmax (поново погледати облике удара за авион Bell XS-1 на слици

3.1). Ако Махов број и даље расте, удар остаје припојен, β опада, а p2, T2, ρ2 и М2 расту. Ови коментари

важе за решење слабог удара. Читалац се може послужити аналогијом и за решење јаког удара.

78

Слика 4.7 Слаби и јаки удари

Пример 4.1 Једнолика суперсонична струја са М1=3, p1=1 bar и Т1=288 К судара се са компресиoним

нагибом (видети слику 4.1а) који одбија струју за угао θ=20°. Израчинати угао ударног таласа и p2, T2, M2,

po2 и То2 иза ударног таласа.

Решење: Геометрија је приказана на слици 4.4. Такође, са слике 4.5, за М1=3 и θ=20°, следи β=37,5°. Стога

Мn1=M1sinβ=3sin37,5°=1,826

Из табеле А.2, за Мn1=1,826 следе: p2/p1=3,723, T2/T1=1,551, Mn2=0,6108 и p02/p01=0,8011. Дакле

22 1

1

3,723 1 3,723 barp

p pp

= = ⋅ =

22 1

1

1,551 288 446,7 KT

T TT

= = ⋅ =

( )

22

0,61082,03

sin sin 17,5

nMM

β θ= = =

− °

Из табеле А.1, за М1=3: p01/p1=36,73 и Т01/Т1=2,8. Дакле

02 0102 1

01 1

0,8011 36,73 1 29,42 barp p

p pp p

= = ⋅ ⋅ =

0102 01 1

1

2,8 288 806,4 KT

T T TT

= = = ⋅ =

4.4 СУПЕРСОНИЧНО СТРУЈАЊЕ ПРЕКО КЛИНОВА И КОНУСА

Претходно објашњене особине косог удара управо представљају решење за струјање преко клина или

дводимензионалног компресиoног нагиба, као што је приказано на левој страни слике 4.6. Струјнице иза

удара су праве и паралелне површима клина. Притисак на површини клина је константан и једнак је p2,

као што је приказано на слици 4.8а.

Прави коси удари су, такође, припојени за врх оштрог конуса при суперсоничном струјању, слика 4.8б.

Особине непосредно иза овог коничног удара су дате релацијама косог удара. Ипак, зато што је струјање

преко конуса обавезно тродимензионално, струјно поље између удара и површи конуса није више

једнолико, као што је то случај са клином. Као што се види на слици 4.8б, струјнице су закривљене, а

притисак на површ конуса ps није једнак притиску p2 који је непосредно иза удара. Штавише, додатак

треће димензије омогућава струји вишак простора, и стога олакшава ослобађање неких сметњи

изазваних присуством запремине тела. Ово се назива „тродимензионални ефекат ослобађања“ који је

карактеристичан за сва тродимензионална струјања. За струјање преко конуса, тродимензионални ефекат

ослобађања проузрокује слабији ударни талас него за клин при истом углу. На пример, слика 4.8 показује

да клин са полууглом од 20° ствара коси удар од 53° при М1 = 2. Ради поређења, удар на конус полуугла

20° је са таласним углом од 37° којег прате нижи p2, ρ2 и Т2 непосредно иза конуса. Због ових разлика,

проучавање надзвучног струјања око конуса наставиће се у поглављу 10.

79

Слика 4.8 Поређење између струјања преко клина и преко конуса; илустрација тродимензионалног

ефекта слабљења

Слика 4.9 Физичка (ху) раван

4.5 ПОЛАРA УДАРА

Графичка објашњења направила су велики корак ка разумевању суперсоничног струјања са ударним

таласима. Један овакав графички приказ карактеристика косог удара дат је поларом удара, која је

објашњена у наставку.

Разматра се коси удар са познатом уструјном брзином v1 и углом заношења θB, као што је приказано на

слици 4.9. Такође, претпоставља се ху правоугли координатни систем са х осом у правцу v1. Слика 4.9 се

назива физичка раван. Дефинишу се vx1, vy1, vx2 и vу2 као х и у компоненте брзине испред и иза удара. Ове

брзине уцртавају се на графику који користи vx и vу као осе, као што је приказано на слици 4.10. Овај

график компонената брзине назива се ходографска раван. Дуж ОА представља v1 испред удара. Дуж ОB

представља v2 иза удара. Са друге стране, тачка А у ходографској равни са слике 4.10 представља цело

струјно поље области 1 физичке равни са слике 4.9.

Слика 4.10 Ходографска раван

80

Слично томе, тачка B у ходографској равни представља цело струјно поље области 2 физичке равни.

Уколико сада угао заношења са слике 4.9 порасте на већу вредност, рецимо θС, тада се брзина v2 нагиње

ка θС, а њен интензитет се смањује јер ударни талас постаје јачи. У ствари, ако се углу заношења θ са

слике 4.9 доделе све могуће вредности за које постоји решење за коси удар (θ<θmax), тада су положаји

свих могућих брзина иза удара дата на слици 4.11. Ови положаји дефинишу полару удара. Тачке А, В и С

на сликама 4.10 и 4.11 само су три тачке на полари удара за задато v1.

Слика 4.11 Полара удара за задато v1

Ради лакшег проучавања, извршиће се делење брзине са слике 4.11 са с*, што је дефинисано у поглављу

3.4., подсећајући се да је струјање кроз удар адијабатско, дакле с* једнако је пре и после удара. Као

резултат, добија се полара удара која представља места могућих вредности М2* за задато М1

*, као што је

приказано на слици 4.12. Погодност употребе М* уместо М или v да би се нацртала полара удара, огледа

се у томе што, ако М→∞ тада М*→2,45 (видети поглавље 3.5). Због тога, полара удара за широки опсег

Махових бројева одговара сажетој полари конструисаној за М*. Такође треба да се примети да кружница

полупречника М*=1 дефинише звучни круг приказан на слици 4.12. Унутар овог круга све брзине су

подзвучне, а изван њега брзине су надзвучне.

Слика 4.12 Употреба поларе удара за геометријске конструкције

Неколико важних особина поларе удара илустроване су на слици 4.12:

1. За задати угао заношења θ, полара удара је пресечена у две тачке, B и D. Тачке B и D представљају

решење за слаб односно јак удар. Примећује се да је D унутар звучног круга, као што се и

очекивало.

81

2. Линија ОС, која је тангента на полару удара, представља максимални угао заношења θmax за задато

М1* (а с тим и за задато М1). За θ>θmax нема решења за коси удар.

3. Тачке Е и А представљају струјање без заношења. Тачка Е је решење за нормални удар, а тачка А

одговара Маховој линији.

4. Ако се нацрта линија кроз тачке А и В, а линија ОH је ортогонална у односу на АВ, тада угао HOA

представља таласни угао β који одговара решењу за удар у тачки В. Ово се може показати

једноставним геометријским правилима, подсећајући да се тангентна компонента брзине не мења

кроз ударни талас. (Покушајте сами).

5. Поларе удара за различите Махове бројеве формирају фамилију кривих, нацртаних на слици 4.13.

Примећује се да је полара удара за М1* = 2,45 (М1→∞) кружница.

Слика 4.13 Поларе удара за различите Махове бројеве

Аналитички облик једначине за полару удара (vy /c* са vх /c

*) може се добити из једначина за коси удар

датих у поглављу 4.3. Извођење је дато у класичној литератури, нпр. Фери (Ferri) или Шапиро (Shapiro).

Oвде је дат само резултат

( )

2

* *2 1 1* *

* 2* *1 1*

1

21

1

x x

y

x

v vM M

v c c

vcM M

cκ

− ⋅ − =

⋅ − ⋅ ++

(4.18)

4.6 ПРАВИЛНА РЕФЛЕКСИЈА СА ЧВРСТЕ ПОВРШИ

Разматра се коси удар који наилази на чврсту препреку, као што је приказано на слици 4.14. Поставља се

питање: да ли ударни талас нестаје на препреци или се одбија од ње? Ако се одбија, под којим углом и

којом јачином? Одговор лежи у граничним условима који владају на препреци, при чему струјање у

непосредној близини препреке мора бити паралелно са препреком. На слици 4.14 струјање у области 1, са

Маховим бројем М1, скреће под углом θ у тачки А. Ово ствара коси ударни талас који стиже до горње

површи у тачки В. У области 2, иза овог упадног таласа, струјнице се нагињу за угао θ ка горњој

препреци. Сва стања струјања у области 2 су једнозначно одређена са М1 и θ помоћу релација за коси

удар описаним у поглављу 4.5. У тачки В, у складу с тим да струјање остаје паралелно са горњом

површином, струјнице морају скренути наниже за угао θ. Ово се може остварити само помоћу другог

ударног таласа, који настаје у В, са довољном снагом да занесе струју за угао θ, која има уструјни Махов

број М2. Овај други талас назван је одбијени удар. Његова јачина је одређена са М2 и θ и утиче на

карактеристике у области 3. Пошто је М2<М1 одбијени ударни талас је слабији од упадног и угао Ф, који

заклапа са горњом препреком, није једнак β1 (тј. одбијени ударни талас није правилно одбијен).

82

Слика 4.14 Правилна рефлексија са чврсте површи

4.7 ДИЈАГРАМИ ПРИТИСАК – ЗАНОШЕЊЕ

Слика 4.15 Дијаграм притисак – заношење за задато М1

Рефлексија ударног таласа описана у поглављу 4.6 је само један пример процеса интеракције таласа – у

претходно описаном случају то је интеракција између таласа и чврсте површи. Постоје и други типови

процеса интеракције који обухватају ударне и експанзионе таласе и чврсте и слободне површине. Да би

се резумеле неке од ових интеракција, прикладно је представити дијаграм притиска у функцији од

заношења, који даје вредности свих могућих статичких притисака иза косог ударног таласа у функцији

од угла заношења за познате уструјне услове. Разматра се слика 4.15, која у горњем делу показује коси

ударни талас двају различитих оријентација. Горе лево је леви талас – назван тако јер ако се стоји у некој

тачки на таласу и гледа ниструјно види се да талас одмиче на леву страну. Угао заношења струје θ2

83

усмерен је навише и сматра се позитивним. С друге стране, горе десно је десни талас. Пошто коси

ударни талас увек заноси струју према таласу, угао заношења θ'2 усмерен је надоле и он је негативан.

Статички притисак испред таласа, где је θ=0, је р1. Статички притисак иза левог таласа, где је θ=θ2, је р2.

Ова два стања приказана су тачкама 1 и 2 на дијаграму притисак – заношење при дну слике 4.15. За десни

талас, ако је θ2 једнако θ'2 по апсолутној вредности (али различити по знаку), притисак у области 2' ће

такође бити р2. Ово стање је дато на слици тачком 2'. Када опсег θ пређе све вредности |θ|<θmax за решење

косог удара, вредности свих могућих притисака (за задато М1 и р1) дате су дијаграмом притисак –

заношење, скицираним на слици 4.15. Десни део дијаграма одговара позитивном θ, а леви негативном θ.

Слика 4.16 Одбијања удара приказано на дијаграму притисак - заношење

Одбијање (рефлексија) удара из поглавља 4.6 приказано је дијаграмом притисак – заношење (р-θ) на

слици 4.16. р-θ дијаграм прво је нацртан за М1, где тачка 1 одговара притиску у области 1 са слике 4.15.

Стање у области 2 дато је тачком 2 на р-θ дијаграму. У овој тачки, нацртан је нови дијаграм притисак –

заношење за Махов број слободне струје једнак М2. Највиша тачка овог дијаграма је тачка 2 јер је

„слободна струја“ области 2 већ била скренута навише за угао θ. Пошто струјање у области 3 мора имати

θ=0, онда се креће левом кривином овог другог р-θ дијаграма све док се θ не изједначи са нулом. Ово

дефинише тачку 3 на слици 4.16, која даје стање иза одбијеног удара. Дакле, на слици 4.16 креће се од

тачке 1 до тачке 2 кроз упадни удар, а потом од 2 до 3 кроз одбојни удар.

4.8 ПРЕСЕК УДАРА СУПРОТНИХ ФАМИЛИЈА

Разматра се пресек левог и десног удара као што је приказано на слици 4.17. Леви и десни удар су

означени са А и В. Оба су упадни удари и одговарају им заношења θ2 и θ3. Ови удари настављају да се

крећу као преломљени удари C и D низструјно од пресечне тачке Е. Претпоставља се да је θ2>θ3. Тада је

удар А јачи од В, а струјница која пролази кроз ударни систем А и С има другачију промену ентропије од

струјнице која пролази кроз В и D. Због тога је ентропија у областима 4 и 4' различита. Као последица

тога, разделна струјница ЕF између ове две области је линија кроз коју се ентропија мења

дисконтинуално. Оваква линија је дефинисана као линија клизања. Међутим, на основу физичких

законитости, следећи услови се морају одржати кроз линију клизања са слике 4.17:

1. Притисак мора бити исти, р4=р4', иначе ће линија клизања бити искривљена, што је у супротности са

сликом 4.17.

84

2. Брзине у областима 4 и 4' морају бити истог правца и смера, мада се генерално разликују по

интензитету. Ако су брзине различитих праваца постоји могућност појаве потпуне празнине у

струјном пољу у близини линије клизања – ситуације која је физички неодржива.

Слика 4.17 Пресек удара супротних фамилија

Ова два услова, заједно са познатим особинама у области 1 као и познато θ2 и θ3, потпуно одређују

процес интеракције удара са слике 4.17. Такође, примећује се да су температура и густина, као и

ентропија и интензитет брзине, различите у областима 4 и 4'.

Слика 4.18 Дијаграми притисак – заношење за пресек удара датом на слици 4.17

Дијаграми притисак – заношење посебно су корисни при визуализацији оваквих процеса интеракције

удара. р-θ дијаграм који одговара М1 нацртан је пуном линијом на слица 4.18. Тачка 1 означава стање у

области 1, испред удара. У области 2 на слици 4.17 струја је скренута за угао θ2. Стога се тачка 2 на р-θ

дијаграму добија када се креће кривом све док се не испуни услов θ=θ2. У тачки 2 нацртан је нови р-θ

дијаграм који одговара М2, који је приказан на слици десном испрекиданом линијом. Треба имати на уму

да притисак у област 4' мора да лежи на овој линији. Слично томе, тачка 3 добија се када се креће по

пуној линији док се не достигне θ3. Ово скретање је наниже, те се мора кретати у негативном правцу θ.

85

Тачка 3 одговара области 3 са слике 4.17. У тачки 3 нацртан је р-θ дијаграм који одговара М3 и

представљен је левом испрекиданом линијом на слици 4.18. Притисак у области 4 мора бити на овој

линији. Пошто је р4=р4', тачка која одговара областима 4 и 4' на слици 4.18 је тачка пресека двају

испрекиданих р-θ дијаграма. Ова тачка дефинише правац струјања (дакле правац линије клизања) у

областима 4 и 4', односно угао Ф са слика 4.17 и 4.18. Са друге стране, заношење струјања кроз

преломљене ударе D и С одређени су као: θ4=Ф–θ3 и θ4'=θ2–Ф. Са овим скретањима и са Маховим

бројевима у областима 3 и 2 одређена је јачина преломљених удара D и С.

На слици 4.17 види се да, ако је θ2=θ3, удари који се секу имају исте јачине, а струјна слика је потпуно

симетрична и неће постојати линија клизања.

4.9 ПРЕСЕК УДАРА ИСТЕ ФАМИЛИЈЕ

Разматра се угао компресије скициран на слици 4.19, где надзвучно струјање у области 1 скреће за угао θ

и постаје коси удар који полази из тачке В. Сада се разматра Махов талас створен у тачки А испред

удара. Хоће ли се Махов талас пресећи са ударом или ће се једноставно разићи, тј. је ли µ1 веће или мање

од β? Да би се ово сазнало, узима се у обзир једначину (4.7), која, кад се напише у односима брзина, даје:

1 1

sinn

v v β=

Дакле

1

1

sin nv

vβ = (4.19)

Слика 4.19 Махови таласи испред и иза ударног таласа

Разматрању се додаје и израз који произилази из једначине (4.1)

11

1

sinc

vµ = (4.20)

Већ је доказано да, да би постојао удар, нормална компонента брзине струјања испред ударног таласа

мора бити надзвучна. Стога vn1>c1. Као последица тога из једначина (4.19) и (4.20) следи β>µ1. У складу с

тим, позивајући се на једначину (4.19) Махов талас из тачке А мора пресећи ударни талас, као што је и

приказано.

Сада се разматра Махов талас настао у тачки С иза таласа. Из једначине (4.12)

2 2

sin( )n

v v β θ= −

86

следи

( ) 2

2

sin nv

vβ θ− = (4.21)

а на основу једначине (4.1) произилази

22

2

sinc

vµ = . (4.22)

Већ је доказано да је нормална компонента брзине струјања иза ударног таласа подзвучна. Дакле, vn2<c2.

У складу с тим, позивајући се на једначину (4.19) Махов талас из тачке C мора пресећи ударни талас, као

што је и приказано.

Сада није тешко овај закључак применити на случај два лева коса ударна таласа која настају у угловима

А и В са слике 4.20. Пошто се ударни талас ВС мора нагнути за оштрији угао него Махов талас у области

2, а већ је показано да ће се леви Махов талас пресећи са левим ударом, очигледно је да ће се ударни

таласи АС и ВС пресећи као што је приказано на слици 4.20. Изнад пресечне тачке С створиће се један

удар.

Слика 4.20 Пресек удара исте фамилије

Обраћа се пажња на струјницу која пролази кроз области 1, 2 и 3 приказану на слици 4.20. Притисак и

правац струјања су р3 и θ3, а одређени су уструјним стањем у области 1 као и угловима заношења θ2 и θ3.

Особине у области 3 одређене су двојним ударима АС и ВС. С друге стране, разматра се струјница која

пролази кроз области 1 и 5. Притисак и правац струјања у области 5 су р5 и θ5. Особине у области 5 су

одређене једним ударом CD. Стога, промена ентропије кроз овај један удар биће другачија него кроз два

удара, па линија клизања мора постојати низструјно, са почетком у пресечној тачки С. Као што је

распревљено у поглављу 4.8, притисци и правци струјања кроз линију клизања морају бити исти. Ако не

постоје други таласи у систему, ово захтева да истовремено буде р3=р5 и θ3=θ5. Углавном није могуће

наћи један удар CD који ће истовремено дати исти притисак и заношење струје као два средња удара АС

и ВС, кад би оба система кренула са истим уструјним условима у области 1. Због тога, природа решава

овај проблем стварајући слаб одбијени талас из пресечне тачке С. У зависности од уструјних услова и θ1

и θ2, овај одбијени талас СЕ може бити слаб талас или експанзиони талас. Његова сврха је да води

87

струјање у области 4 тако да истовремено буде р4=р5 и θ4=θ5, што задовољава неопходне физичке услове

кроз линију клизања. Струјно поље може да се реши нумерички итеративним подешавањем таласа СD и

СЕ тако да се добију претходно поменути потребни услови између области 4 и 5.

4.10 МАХОВА РЕФЛЕКСИЈА

Поново се разматра одбијање ударног таласа са чврсте површи која је описана у поглављу 4.6 и

приказана на слици 4.14. Захтевани услови су да струјање мора да скрене за угао θ из области 2 у област 3

одбијеним ударом тако да струјнице буду паралелни у односу на горњу површину. У излагању је

претпостављено да је вредност θ мања од θmax за М2, те је добијено решење за прав, припојени одбијени

удар. Разматрају се криве θ–β–М и за М1 и за М2 приказане на слици 4.21. У поглављу 4.6,

претпостављено је да је θ са леве стране од θmax за М2 на слици 4.21. Дакле, шта се догађа када је (θmax за

М2)<θ<(θmax за М1)? Ова ситуација је илустрована на слици 4.21. За упадни удар са уструјним Маховим

бројем М1 и θ<θmax важи да је то упадни талас који омогућава решење за прав коси удар. Овај прав

упадни удар је приказан на слици 4.22.

Слика 4.21 Максимални угао заношења за два различита Махова броја

Слика 4.22 Махова рефлексија

Са друге стране, када струјање у области 2 при Маховом броју М2 жели да поново скрене за угао θ преко

одбијеног удара, добија се да је θ>θmax за М2, па правилна рефлексија није могућа. Уместо тога, формира

се нормални удар на горњој површини који омогућава да струјнице буду паралелне површини. На некој

удаљености од површине, овај нормални удар претвара се у закривљени удар који пресеца упадни удар и

ниструјно ствара закривљени одбијени удар. Овај облик удара приказан је на слици 4.22 и назван је

Махова рефлексија као супротност правилној рефлексији описаној у поглављу 4.6. Махова рефлексија је

окарактерисана великим областима подзвучног струјања иза или у близини нормалних удара и њена

88

анализа мора се спровести савршенијим нумеричким техникама које ће бити описане у поглављима 11 и

12.

4.11 ОДВОЈЕНИ УДАРНИ ТАЛАС ИСПРЕД ЗАОБЉЕНИХ ТЕЛА

Слика 4.23 Струјање преко суперсоничног затупљеног тела

Разматра се надзвучно струјање преко затупљеног тела као што је приказано на слици 4.23. Јак закривљен

лучни ударни талас створен је испред овог тела са ударом који је од врха тела удаљен за δ. Испред тачке

а струјање је управно на удар. Дакле, тачка а одговара нормалном ударном таласу. Удаљавајуђи се од

линије центра, ударни талас постаје закривљен и слабији, да би се на крају развио у Махов талас на

великим удаљеностима од тела (приказано тачком е на слици).

Шта више, између тачака а и е, закривљени талас пролази кроз сва могућа стања која омогућава коси

удар за уструјни Махов број М1. Да би се боље разјаснило, анализираће се крива θ–β–М1 приказана на

слици 4.24. У тачки а постоји нормалан удар. Мало изнад централне линије у тачки b на слици 4.23, удар

је коси али односи се на решење за јак удар са слике 4.24. Даље низ талас, тачка с је разделна тачка

између решења за јак и слаб талас. Струјница у тачки с достиже максимално заношење, θmax. Мало изнад

тачке с на слици 4.23, у тачки с' струјање иза удара достиже брзину звука. Након тачака од а до с'

струјање иза удара је подзвучно. Изнад тачке с' струјање иза удара је надзвучно. Дакле, струјно поље

између затупљеног тела и његовог закривљеног удара је мешавине подзвучног и надзвучног струјања, а

имагинарна разделна крива између ове две области (где је М=1) означена је као звучна линија, приказана

на слици 4.23.

89

Слика 4.24 θ – β – М дијаграм за пример са слике 4.23

Облик одвојеног ударног таласа, његова удаљеност од тела δ и цело струјно поље (са закривљеним

струјницама) између удара и тела зависи од М1 и од величине и облика тела. Решење овог струјног поља

није тривијално. У ствари, проблем суперсоничног тупог тела био је у центру суперсоничне

аеродинамике током 1950-тих и 1960-тих подстакнут потребом разумевања струјања великим брзинама

преко затупљених пројектила и повратних тела. Ситуација у 1957. је прецизно описана у литератури

(Липман (Liepmann) и Рошко (Roshko)), где се у разматрању о струјању преко тупих тела, категорички

тврди да се „облик удара и удаљеност од тела не могу, у садашњости, теоретски претпоставити“. У

ствари, и није било могуће до деценије касније, док прецизне нумеричке методе нису постале доступне

за задовољавајуће инжињерске методе решавања струјања преко затупљених тела. Ове модерне методе

описане су у поглављу 12.

4.12 ТРОДИМЕНЗИОНАЛНИ УДАРНИ ТАЛАСИ

При разматрању косих ударних таласа у овом поглављу претпостављено је дводимензионално (раванско)

струјање. Ипак, многи пректични проблеми суперсоничног струјања су тродимензионални, са

одговарајућим закривљеним ударним таласима који се шире у тродимензионалном простору. Ударни

талас око осносиметричног затупљеног тела под нападним углом је један такав пример, приказан на

слици 4.25. За такве тродимензионалне ударне таласе, дводимензионална теорија овог поглавља је и даље

употребљива за израчунавање карактеристика непосредно иза ударне површине у некој тачки. На

пример, посматра се елементарна површина dА око тачке А на закривљеној ударној површини, приказана

на слици 4.25. Нека је n�

јединични вектор нормале у А. Компонента уструјног Маховог броја управна на

удар је

1 1( )n

M M i n= ⋅� �

(4.23)

Са компонентом Маховог броја нормалном на тродимензионални ударни талас добијеном из једначине

(4.23), вредности p2, ρ2, T2, h2 i Mn2 могу се израчунати непосредно иза удара у тачки А из релација за

ударни талас датих у једначинама од (4.8) до (4.11). Поново се наглашава да ови резултати важе само за

тачку А која је непосредно иза ударне површине. Даље низструјно, струјно поље доживљава сложену

разнолику промену која мора да се анализира прикладним тродимензионалним методама које су изван

предмета проучавања овог поглавља.

90

Слика 4.25 Тродимензионална ударна површ

4.13 ПРАНТЛ – МАЈЕРОВИ ЕКСПАНЗИОНИ ТАЛАСИ

Када се надзвучно струјање одбије од самог себе, што је описано у поглављу 4.1, формира се

експанзиони талас приказан на слици 4.1б. Ово је супротно од случаја када се струјање сједини и створи

талас приказан на слици 4.1а. Експанзиони таласи су супротност ударним таласима. Да би се ово боље

разумело, дати су неки квалитативни аспекти струјања кроз експанзиони талас (слику 4.1б):

1. М2>М1. Експанзиони угао је средство повећања Маховог броја струје.

2. 2 2 2

1 1 1

1, 1, 1.p T

p T

ρ

ρ< < < Притисак, густина и температура се смањују кроз експанзиони талас.

3. Експанзија се састоји од бескрајно великог броја Махових таласа, који образују експанзиони

простор, ограничених уструјно са 1

µ и ниструјно са 2

µ (видети слику 4.26), где је

1 1arcsin(1/ )Mµ = и

2 2arcsin(1/ )Mµ = .

4. Струјнице кроз експанзиони талас су глатке закривљене линије.

5. Пошто експанзија настаје као последица непрекидног дејства Махових таласа, и пошто је d 0s =

за сваки Махов талас, експанзија је изентропска.

91

Слика 4.26 Прантл-Мајерова експанзија

Слика 4.27 Геометријска конструкција инфинитезималних промена кроз Махов талас; користи се у

извођењу Прантл-Мајерове функције. Примећује се да је промена брзине кроз талас нормална на талас.

Експанзиони талас полази од оштрог конвексног угла као што је скицирано на слици 4.1б и 4.26 званог

центрирани екпанзиони иницијатор. Поврх тога, пошто је Прантл 1907. године, први, а за њим и Мајер

1908. године, израдили теорију за такво надзвучно струјање, оно се назива Прантл-Мајеров експанзиони

талас.

Квантитативни проблем Прантл-Мајеровог експанзионог таласа може бити формулисан на следећи

начин (односи се на слику 4.26): за дато M1, p1, T1 и θ1 израчунати M2, p2, и T2. Анализа се може почети

разматрањем инфинитезималних промена кроз веома слаб талас (у основи Махов талас) настао услед

инфинитезималног струјног скретања, dθ , што је илустровано на слици 4.27. Из синусног закона следи

sind 2

sin d2

v v

v

πµ

πµ θ

+ + =

− −

. (4.24)

Из тригонометријског идентитета следи

sin sin cos2 2

π πµ µ µ

+ = − =

(4.25)

sin d cos( d ) cos cosd sin sin d2

πµ θ µ θ µ θ µ θ

− − = + = −

. (4.26)

Заменом једначина (4.25) и (4.26) у (4.24):

92

d cos

1cos cosd sin sin d

v

v

µ

µ θ µ θ+ =

−. (4.27)

За мало dθ , може се претпоставити да важи sin d dθ θ≈ и cosd 1θ ≈ . Тада једначина (4.27) постаје

d cos 1

1cos d sin 1 d tg

v

v

µ

µ θ µ θ µ+ = =

− −. (4.28)

Подсећајући се развоја у полином (за x<1),

2 311 ...

1x x x

x= + + + +

−

једначина (4.28) може да се напише као (занемарујући чланове другог и вишег реда),

d

1 1 d tg ...v

vθ µ+ = + + (4.28а)

Према томе, из једначине (4.28а) добија се

d

dtg

v

vθµ

= . (4.29)

Из једначине (4.1)

1

arcsinM

µ =

следи

2

1tg

1Mµ =

−. (4.30)

Заменом једначине (4.30) у (4.29) следи

2 dd 1

vM

vθ = − . (4.31)

Једначина (4.31) је тражена диференцијална једначина за Прантл-Мајерово струјање. Њене

карактеристике су следеће:

1. Она је приближна једначина за коначно dθ , али постаје истинита једнакост за d 0θ → .

2. Изведена је стриктно на основу геометрије, а једина физичка веза је дефиниција Маховог таласа.

Отуда је она је општа релација која важи за идеалне, полуидеалне и реалне гасове.

3. Она разматра инфинитезимални експанзиони угао, dθ . Да би се анализирала читава Прантл-

Мајерова експанзија на слици 4.26, једначина (4.31) мора да се интеграли преко целокупног угла 2

θ .

Једначина (4.31) интеграли се од области 1 до 2,

2 2

1 1

2 dd 1

M

M

vM

v

θ

θ

θ = −∫ ∫ . (4.32)

Интеграл на десној страни може се проценити након што се dv v изрази у функцији од М, што је

приказано у наставку. Из дефиниције Маховог броја,

v M c= ⋅

ln ln lnv M c= + . (4.33)

Диференцирањем једначине (4.33) добија се

93

d d dv M c

v M c= + . (4.34)

За идеалан гас, може да се напише адијабатска енергијска једначина из једначине (3.28) као

2

20 0 11

2

c TM

c T

κ − = = +

или решавајући по с,

1

22

0

11

2c c M

κ−

− = +

. (4.35)

Диференцирањем једначине (4.35) следи

1

2d 1 11 d

2 2

cM M M

c

κ κ−

− − = − +

. (4.36)

Заменом једначине (4.36) у (4.34) добија се

2

d 1 d

11

2

v M

v MM

κ=

−+

. (4.37)

Једначина (4.37) је жељена веза за dv v у функцији од М; њеном заменом једначину (4.32) следи

2 2

1 1

2

22

1 dd 0

11

2

M

M

M M

MM

θ

θ

θ θκ

−= − =

−+

∫ ∫ . (4.38)

У једначини (4.38), интеграл

( )2

2

1 d

11

2

M MM

MM

γκ

−=

−+

∫ (4.39)

је назван Прантл-Мајерова функција, и обележена је симболом γ. Интеграцијом, једначина (4.39) постаје

( ) ( )1 2 1 21 1tg 1 tg 1

1 1M M M

κ κγ

κ κ− −+ −

= − − −− +

(4.40)

Константа интеграције која би се јавила у једначини (4.40) није важна, јер се губи када се једначина

(4.40) замени у (4.38). Ради погодности, проглашена је нулом тако да је ( )Mγ =0 када је М=1. Коначно,

може да се напише једначина (4.38), комбинована са (4.39), као

( ) ( )2 2 1M Mθ γ γ= − (4.41)

где је ( )Mγ дато једначином (4.40) за идеалан гас. Прантл-Мајерова функција (једначина (4.40)) је

табеларно приказана у функцији од М у таблици А.5 за 1,4κ = , заједно са вредностима Маховог угла µ.

Враћањем опет на слику 4.26, једначине (4.41) и (4.40) дозвољавају израчунавање Прантл-Мајеровог

експанзионог таласа, на следећи начин:

1. За дато М1 из таблице А.5 добија се γ(М1).

2. Израчунавање γ(М2) из једначине (4.41) користећи дато θ2 и γ(М1) одређено у првом кораку.

3. Добијање М2 из таблице А.5 на основу γ(М2) из корака 2.

4. Препознaвање да ли је експанзија изентропска, и уколико јесте, Т0 и p0 су константни кроз талас,

једначине (3.28) и (3.30) доносе

94

2

21

221

11

21

12

MT

TM

κ

κ

−+

=−

+

;

12

21

221

11

21

12

Mp

pM

κ

κκ

κ

−− +

= − +

.

Пример 4.2 Униформна суперсонична струја са М1=1,5, p1=81396 Pa и температуре Т1=255,5 К наилази

на експанзиону препреку (видети слику 4.26) која одбија талас под углом заношења θ2=20°. Израчунати

M2, p2, T2, p02, T02 и углове предње и задње Махове линије у односу на уструјан правац струјања.

Решење: Из таблица А5 за М1=1,5 следи: ν1=11,91° и µ1=41,81°. Тако да је

ν2=ν1+θ1=11,91+20=31,91°

Из Табеле А5 за ν2=31,91° следи:

М2=2,207 и µ2=26,95°

Из Таблице А1 за М1=1,5 следи:

01 01

1 1

3,671 и 1,45p T

p T= =

Из Таблице А1 за М2=2,207 следи:

02 02

2 2

10,81 и 1,974p T

p T= =

Струјање кроз експанзиони талас је изентропско, па је p02=p01 i T02=T01.Тако да важи:

102 0122 1

02 01 1

10,81 1 3,671 81396 27641 Pap pp

p pp p p

−= = ⋅ ⋅ ⋅ =

102 0122 1

02 01 1

1,975 1 1,45 255,5 187,6 KT TT

T TT T T

−= = ⋅ ⋅ ⋅ =

0102 01 1

1

3,671 81396 298804 Pap

p p pp

= = = ⋅ =

0101 02 1

1

1,45 255,5 370,5 KT

T T TT

= = = ⋅ =

Враћањем на слику 4.26 следи:

предњи угао Махове линије је µ1=41,81°

задњи угао Махове линије је µ2-θ2=26,95-20=6,95°.

4.14 УДАРНО-ЕКСПАНЗИОНА ТЕОРИЈА

Ударни и експанзиони таласи разматрани у овом поглављу омогућују тачно израчунавање

аеродинамичке силе на многим типовима дводимензионалних надзвучних аеропрофила са преломљеним

праволинијским сегментима. На пример, размотриће се симетричан аеропрофил – делтоид са нултим

нападним углом на слици 4.28. Надзвучна струја се прво сабија и скреће за угао ε услед косог ударног

таласа на водећој ивици. На прелому, струја се шири на угао 2ε експанзионим таласом. На задњој

ивици, струја опет скреће за угао ε услед другог косог удара; овакво одбијање је неопходно да би се

ниструјно од аеропрофила добила струја паралелна са слободном струјом услед симетрије. Отуда,

95

притисак на површину на сегментима а и ц налази се из теорије косог удара, а на сегментима б и д из

Прантл-Мајерове експанзионе теорије.

При нултом нападном углу, једина аеродинамичка сила на делта аеропрофил ће бити сила отпора

кретању тела кроз флуид; узгонска сила је нула јер је расподела притиска на горњој и на доњој површини

једнака. Из једначине (1.47), сила отпора услед разлике притисака је,

компонента од dD

А

F x p A

= ∫�

У функцији скаларних величина, односећи се на слику 4.28, површински интеграл производи силу отпора

по јединици дужине

( ) ( )2 3 2 32 sin sin 22

D

tF p l p l p pε ε= − = − .

Слика 4.28 Симетричан дијамантско клинасти аеропрофил

Отуда,

( )2 3DF p p t= − (4.42)

Ово је добро познат аеродинамички резултат да дводимензионално невискозно струјање преко крила

бескрајне дужине при подзвучним брзинама даје силу отпора једнаку нули, а теоријски резултат је добио

назив Даламберов парадокс. (Парадокс се искључује уколико се узме у обзир ефекат трења.) Насупрот

томе, за надзвучна невискозна струјања преко бесконачног крила, једначина (4.42) показује да је сила

отрора по јединици дужине коначна. Овај нови извор отпора који се сусреће када је струјање надзвучно

зове се отпор таласа и нераздвојиво је повезан са губитком тоталног притиска и повећањем ентропије

преко косог ударног таласа створеног на аеропрофилу.

96

Слика 4.29 Шилеренове фотографије таласних узорака ниструјно од улаза надзвучног

дифузора.Фотогарафије су снимили Прантл и Мајер између 1907. и 1908. године.

4.15 ИСТОРИЈСКА БЕЛЕШКА: ПРАНТЛОВА РАНА ИСТРАЖИВАЊА НА

НАДЗВУЧНИМ СТРУЈАЊИМА И НАСТАНАК ПРАНТЛ-МАЈЕРОВЕ

ТЕОРИЈЕ

97

Мали немачки град Гетинген налази се на реци Лајне, која кривуда кроз бујан предео једног дела велике

саксонске империје. Гетинген је основан повељом 1211 године, и брзо постаје снажан члан трговачког

савеза немачких градова у четрнаестом веку. Зид око вароши, многе узане улице од калдрме, и бројне

средњовековне полудрвене куће опстају до данас као сећање на рани настанак Гетингена. Међутим, овај

старомодан изглед противречи чињеници да је Гетинген дом једног од најчувенијих универзитета у

Европи, Георгиа Аугуста Универзитет, којег је 1737. године основао енглески краљ Џорџ II (Хановерска

породица која је владала Енглеском током осамнаестог века била је немачког порекла). Универзитет

једноставно познат пред светом као " Гетинген ", био је дом многих великих научника и математичара-

Гауса, Вебера, Римана, Планка, Хилберта, Борна, Лоренца, Рунгеа, Нернста и Хеисенберга.

Један такав човек, једнак по угледу са горе наведенима, био је Лудвиг Прантл. Рођен у Немачкој, у

Фрајзингу, 4. фебруара 1875. године, Прантл је 1904. године постао професор примењене механике у

Гетингену. Исте године на конгресу математичара у Хајделбергу, Прантл је представио свој концепт

граничног слоја - прилаз који је био револуција теоријске механике флуида у двадесетом веку. Касније,

током периода између 1912. до 1919. године, развио је теоријски прилаз за израчунавање узгонске и

отпорне силе на коначним крилим - Прантлова линијска и површинска узгонска теорија. Овим радом

Прантл је постао водећи флуидни динамичар модерног доба. Он је без сумње прихваћен као отац

аеродинамике. Иако Нобелова награда никада није додељена неком флуидном динамичару, Прантл је без

сумње највише заслужио да добије такво признање. (Погледати поглавље 9.10 са комплетнијом

Прантловом биографијом.)

Многи нису препознали да је Прантл значајно допринео теорији и разумевању компресибилног струјања.

Међутим, он је 1905. године пројектовао мали дифузор са Маховим бројем 1,5 за потребе проучавања

струјања у парним турбинама и кретања струготине у пиланама. Следеће три године он се занимао за

струјне узорке повезане са таквим надвучним дифузором; Слика 4.29 приказује неке задивљујуће

фотографије направљене у Прантловој лабораторији током овог периода које јасно илуструју

напредовање експанзије и коси ударни талас који потиче са излаза надзвучног дифузора. (Користећи

номенклатуру представљену у поглављу 5, струја напредује са " преекспанзије " дифузор на врху слике

4.29 до " послеекспанзије " дифузор у дну слике. На врху слике види се експанзиони талас; у дну су

ударни таласи праћени експанзионим таласима. Драматичан аспект ових фотографија налази се и у томе

да је Прантл сазнавао о надзвучној струјању у исто време када су браћа Рајт управо представљала свету

лет авионом; са максималним брзинама које не прелазе 60 km/h!

Опажање таквих ударних и експанзионих таласа приморала су Прантла да истражи њихова теоријска

својства. Због тога је, Теодор Мајер (Meyer), један од Прантлових ученика у Гетингену, представио своју

докторску дисортацију 1908. године под називом "О дводимензионалном струјном процесу при струјању

гаса надзвучним брзинама". У овој дисортацији, Мајер представља први практично теоријски развитак

веза експанзионих таласа и косих ударних таласа - суштински иста теорија која је развијена у овом

поглављу. Он започиње дефинисањем Маховог таласа и Маховог угла као што је дато једначином (4.1).

Онда, почиње са геометријом слично оној приказаној на слици 4.26, изводи Прантл-Мајерову функцију

[видети једначину (4.40) у поглављу 4.13 ] и величине приказује табеларно, не у функцији Маховог броја,

него као функцију од 0

p p .(Интересантно је забележити да термин "Махов број" још није био скован;

Њега је увео Јакоб Акерет 20 година касније у част Ернст Маха, аустријског научника и филозофа који је

проучавао струјање великим брзинама један кратак период 1870. године. Дакле, Махов број је од сасвим

недавно у употреби.) Меjер следи ове основне резултате уз студију косих ударних таласа, извођењем

веза сличних оним разматраним у овом поглављу, и представљањем ограниченог ударног таласа

табелама са таласним углом, углом скретања, и односом притисака. Скоро без фанфара, Меjер завршава

свој реферат са спектакуларном фотографијом унутрашње струје унутар надзвучног дифузора, која је

представљена овде као на слици 4.30. Зид дифузора је био намерно огрубљен тако да слаби таласи -

основни Махови таласи - буду видљиви у Шлиреновој фотографији. Читалац би требало да се зачуди над

таквом сликом насталом 1908. године. Има изглед као да долази из надзвучне лабараторије седамдесетих

година прошлог века.

98

Слика 4.30 Махови таласи у надзвучном дифузору.Таласи су изазвани храпављењем зида

дифузора.Оригинална фотографија са Мајерове докторске дисертације,1908 година.

Прантлов и Мајеров рад на експанзионим и косим ударним таласима одвијао се у исто време када и рад

Рејлија и Тејлора 1910. године на нормалном удару (видети поглавље 3.10). Још једном је указано на

вредност базичних истраживања на проблемима који су се чинили научници у том времену. Права

практична вредност Мајерове дисертације није дошла до остварења све до надзвучног лета четрдесетих

година прошлог века.

Током следећих деценија, Прантл је задржао своје интересовање за компресибилно струјање великим

брзинама; на пример, његов рад на исправкама компресибилног надзвучног струјања двадесетих година

прошлог века биће разматран у поглављу 9.9. Поврх тога, многи од његових студената су наставили да се

истичу у истраживањима струјања великим брзинама, најчувенији су Теодор фон Карман и Адолф

Бусеман. Али ово су друге приче, које ће бити тема у следећим поглављима.

ЗАДАЦИ

4.1 Разматра се коси удар са нападним углом таласа од 35°. Устујно од таласа, притисак је 95760 Pa,

Т=288 К, а брзина v1=1022 m/s. Oдредити p2, Т2 и v2 и одбојни угао таласа.

4.2 Разматра се клинаста летилица чији је полуугао 10° и који лети са 2 Маха. Одредити однос тоталних

притисака кроз ударни талас полазећи од водеће ивице клинасте летилице.

4.3 Одредити максимални притисак на површину који може да се оствари на предњој страни клинасте

летилице која лети брзином од 3 Маха при стандардним условима и са припојеним ударним таласом.

4.4 Уструјни Махов број флуидне струје која пролази поред компресионог угла износи 3,5, а притисак 1

bar. Ниструјно од угла, притисак је 5,48 bar. Израчунати одбојни угао.

4.5 Разматра се клинасти објекат са полууглом од 20° који се налази у суперсоничној струји од 3 Маха

при стандардним условима. Израчунати угао таласа, притисак на површину, температуру и Махов број.

4.6 Суперсонична струја при М1=3,6 струји дуж компресионог угла са одбојним углом од 20°.

Регистрован је ударни талас који се одбија од наспрамног зида који је паралелан са уструјном

суперсоничном струјом, као што је приказано на слици 4.14. Израчунати угао под којим се одбија талас у

односу на вертикалан зид.

4.7. Ударни талас, под углом од 30°, удара о вертикалан зид. Уколико су уструјне карактеристике струје

М1=2,8, р1=1 bar и Т1=300 К, израчунати притисак, температуру, Махов број и тотални притисак

ниструјно од одбијеног таласа.

4.8. Разматра се струјница на којој је М1=4, а притисак р1=1 bar. Такође се разматрају и два различита

ударна таласа који наилазе на ту струјницу: (а) један нормални ударни талас и (б) коси ударни талас са

углом β=40°, кога следи нормални удар. Израчунати и упоредити тотални притисак након обе структуре

сваког од таласа (а) и (б). На основу овог поређења, може ли да се закључи општи принцип који се

односи на однос ефикасности нормалног удара и косог удара кога следи нормални удар при успоравању

суперсоничног у субсонично струјање (што је на пример задатак улаза у конвенционалан млазни мотор)?

99

4.9. Разматра се пресек два ударна таласа супротних фамилија, као на слици 4.17. За М1=3, р1=1 bar и

θ2=20° и θ3=15°, израчунати притисак у областима 4 и 4’, као и правац струје φ, иза пресека два таласа.

4.10. Разматра се струјање око експанзионог угла од 30°, као што је приказано на слици 4.26. Уструјно

владају следећи услови: М1=2, р1=3 бар и Т1=400 К. Израчунати ниструјне параметре: М2, р2, Т2, Т02 и р02.

4.11. За дату Прантл-Мајерову експанзију, Махов број уструјно је 3, а однос притисака кроз талас је

р2/р1=0,4. Израчунати углове предње и задње Махове линије експанзионог таласа у односу на правац

слободне струје.

4.12. Разматра се суперсонично струјање са Маховим бројем уструјно 4 и притиском 1 bar. Ова струја

прво експандујеоко експанзионог угла θ=15°, а затим се компримује преко компресионог угла θ=15°,

тако да се враћа у првобитан положај. Одредити Махов број и притисак ниструјно од компресионог угла.

4.13. Разматра се инцидент и одбијени ударни таласи приказани на слици 4.14. Скицирати како би могла

да се искористи полара да би се дошло до својстава одбијеног таласа.

4.14. Разматра се суперсонично струјање преко компресионог угла θ=20°. Уструјна својства су М1=3, а

р1=101325 Ра. Питоова цев постављена је ниструјно од угла. Израчунати притисак који показује Питоова

цев.

4.15. Да ли полара може да се искористи да се реше својства при судару два ударна таласа супротних

фамилија, приказаних на слици 4.17?

4.16. Коришћењем ударно-експанзионе теорије одредити узгонску и отпорну силу симетричног делта

крила полу угла ε=15° (видети слику 4.28) при нападном углу слободне струје од 5° када је уструјни

Махов број 2, а притисак 101325 Ра. Максимална дебљина крила је t=15 cm. Претпоставити да је дужина

крила нормално на раван цртежа 1 метар.

4.17. Разматра се равна плоча са дужином (од водеће до крајње ивице) 1 m. Слободна струја има

карактеристике: М1=3, р1=1 bar и Т1=270 К. Користећи ударно-експанзиону теорију, нацртати дијаграме

следећих својстава у функцији нападног угла од 0° до 30° (користећи корак од 5°):

а) притисак на горњој површини

б) притисак на доњој површини

в) температуру на горњој површини

г) температуру на доњој површини

д) узгонску силу при јединичној ширини

ђ) силу отпора при јединичној дужини

е) однос узгонске и отпорне силе.

100

ПЕТО ПОГЛАВЉЕ

КВАЗИ ЈЕДНОДИМЕНЗИОНАЛНО СТРУЈАЊЕ

Цео проблем аеродинамике, и подзвучног и надзвучног струјања, може се сумирати у једној

реченици: Аеродинамика је наука о успоравању ваздуха без губитка, након што је он убрзан

неким уређајем, као што су крило или ваздушни тунел. Због тога је добра пракса у

аеродинамици да се избегава убрзавање ваздуха колико је год могуће.

В. Ф. Хамилтон, 1951.

5.1 УВОД

Разлика између једнодимензионалног и квази једнодимензионалног струјања приказана је у поглављу

3.1. У поглављу 3.1, као уосталом и кроз цело треће поглавље, једнодимензионално струјање разматрано

је кроз искључиво константан струјни пресек. У овом поглављу, ово ограничење изостаје, дакле, струјна

цев има пресек А који се мења у правцу струјања х, као што је приказано на слици 3.4б. Истовремено ће

се задржати претпоставка да су све остале струјне величине униформне по било ком струјном пресеку, те

су функција само правца струјања х (и времена t уколико је струјање нестационарно). Такво струјање код

ког су: A=A(x), p=p(x), ρ=ρ(x) и v=vx=vx(x) за стационарно струјање, дефинисано је као квази

једнодимензионално струјање. У поглављу 5.2 извешће се основна једначина за квази

једнодимензионално струјање применом закона конзервације на контролну запремину променљивог

струјног пресека. При томе треба имати на уму да је квази једнодимензионално струјање представља

апроксимацију – струја кроз променљив струјни пресек струјне цеви са слике 3.4б је, стриктно говорећи,

тродимензионална и тачно решење значило би примену неког од метода о коме ће бити речи у

поглављима 11 и 12. Међутим, у низ инжењерских проблема, као што је проучавање струјања кроз

ваздушне тунеле и ракетне моторе, резултати квази једнодимензионалног струјања су најчешће довољни.

Заиста, материјал представљен у овом поглављу користи се свакодневно у пракси гасних и аеро

динамичара, и незаменљив је за потпуно разумевање компресибилног струјања.

5.2 ВАЖЕЋЕ ЈЕДНАЧИНЕ

Алгебарске једначине за квази једнодимензионално струјање могу се добити применом интегралног

облика једначина конзервације на контролну запремину променљивог пресека, приказану на слици 5.1.

На пример, једначина континуитета (2.2), присећања ради, гласи

d dA V

v A Vt

ρ ρ∂

− ⋅ =∂∫ ∫

��

и када се интеграли по контролној запремини са слике 5.1, за једнолико струјање, директно даје

ρ1v1A1 = ρ2v2A2. (5.1)

Ово је једначина континуитета за једнолико квазиједнодимензионално струјање. Примећује се да у

једначини (5.1) израз ρ1v1A1 представља површински интеграл преко попречног пресека на позицији 1, а

ρ2v2A2 површински интеграл преко попречног пресека на позицији 2. Површински интеграл преко

контролне површине између позиција 1 и 2 једнак је нули јер је контролна површина струјна цев; стога је

v�

усмерено дуж површине, па је дуж омотача d 0v A⋅ =��

.

Интегрални облик импулсне једначине, једначина (2.11), је

101

( ) ( )d d d d

A V V A

vv A v V f V p A

t

ρρ ρ

∂⋅ + = −

∂∫ ∫ ∫ ∫�

�� �� �.

Слика 5.1 Контролна запремина за квазиједнодимензионално струјање

Примењена на слику 5.1, под претпоставком једноликог струјања и без запреминских сила, директно

постаје

2

1

2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2d

A

A

p A v A p A p A v Aρ ρ+ + = +∫ (5.2)

Ово је импулсна једначина за једнолико квазиједнодимензионално струјање. Примeћује се да то није

чисто алгебарска једначина због интегралног израза који представља силу притиска на контролну

површину између пресека 1 и 2.

Интегрални облик енергијске једначине, једначина (2.20), је

2 2

d d ( )d d d2 2

V A V V A

v vq V pv A f v V u V u v A

tρ ρ ρ ρ

∂− ⋅ + ⋅ = + + + ⋅

∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

�� �� � � �� .

Примењена на слику 5.1, под претпоставком једноликог струјања и без запреминских сила, директно

води до

2 2

1 21 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( )

2 2

v vp v A p v A u v A u v Aρ ρ

− − + = + − + +

.

Прегруписавањем добија се

2 2

1 21 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

2 2

v vp v A v A u p v A v A uρ ρ

+ + = + +

. (5.3)

Дељењем једначине (5.3) са (5.1) добија се:

2 2

1 1 2 21 2

1 22 2

p v p vu u

ρ ρ+ + = + + . (5.4)

Знајући да је h=u+p/ρ, једначина (5.4) постаје

102

2 2

1 21 2

2 2

v vh h+ = + (5.5)

Ово је енергијска једначина за једнолико адијабатско квазиједнодимензионално струјање и тврди да је

укупна енталпија константна дуж струјања:

h0=const. (5.6)

Примећује се да су једначине (5.5) и (5.6) идентичне са енергијским једначинама за адијабатско

једнодимензионално струјање које су изведене у поглављу 3 [видети једначину (3.40)]. У ствари, ово је

општи закључак: при било ком једноликом адијабатском струјању, укупна енталпија је константна дуж

струјнице – ово ће бити доказано у поглављу 6. Такође, примећује се да једначине (5.1) и (5.2), када се

примене на специјални случај где је А1=А2, дају исти резултат, дат у једначинама (3.2) и (3.5), као и

једначине за једнодимензионално струјање.

У поглављу 6, општи закони одржања биће изражени пре у диференцијалном него у интегралном или

алгебарском облику који је до сада коришћен. Стога могу бити корисни диференцијални облици

једначина континуитета, импулса и енергије за једнолико квазиједнодимензионо струјање. На пример, из

једначине (5.1)

ρvA = const.

следи да је

d(ρvA) = 0 (5.7)

Да би се добио диференцијални облик једначине импулса, примениће се једначина (5.2) на бесконачно

малу контролну запремину приказану на слици 5.2, где је дужина у х правцу dx:

2 2d ( d )( d ) ( d )( d ) ( d )pA v A p A p p A A v v A Aρ ρ ρ+ + = + + + + + +

Занемарујући све изразе вишег реда које садрже производ диференцијала, овај израз постаје

Слика 5.2 Диференцијална запремина

2 2d d d 2 d 0A p Av v A vA vρ ρ ρ+ + + = (5.8)

Развијањем једначину (5.7) и множењем са v следи

2 2d d d 0v A v A v Avρ ρ ρ+ + =

Одузимајући ову једначину од једначине (5.8) добија се

dp =-ρvdv. (5.9)

p

A

v

ρ

p + dp

A + dA

v + dv

ρ + dρ

dx

103

Једначина (5.9) се назива Ојлерова једначина и о њој ће бити речи у 6. поглављу. Коначно,

диференцијални облик енергијске једначине добија се из једначине (5.5) која каже да је

2

const.2

vh + =

Дакле

dh+vdv=0. (5.10)

5.3 ОДНОС ПРЕСЕКА И БРЗИНЕ

Богатство физичких информација о квазиједнодимензионалном струјању може се сагледати одређеним

комбинацијама наведених диференцијалних облика једначина одржања на следећи начин. Из једначине

(5.7)

d d d

0v A

v A

ρ

ρ+ + = (5.11)

Да би се елиминисало dρ/ρ из добијене релације, разматра се једначина (5.9):

d d d

dd

p pv v

ρ

ρ ρ ρ= = − (5.12)

Дакле, разматра се адијабатско, невискозно струјање, тј. на струјање не делују механизми дисипације

енергије као што су трење, провођење топлоте или дифузија. Стога, сваку промену притиска, dp, у струји

прати одговарајућа изентропска промена густине, dρ. Због тога, може да се напише да је

2d

ds

p pc

ρ ρ

∂= =

∂ . (5.13)

Комбинујући једначине (5.12) и (5.13) добија се

2 ddc v v

ρ

ρ= −

или

2

2

2 2

d d dv v v dv vM

c c v v

ρ

ρ= − = − = − . (5.14)

Заменом једначине (5.14) у (5.11) следи

( )2d d1

A vM

A v= − (5.15)

Једначина (5.15) је важан резултат. Представља однос пресека и брзине и даје следеће информације:

1. За М→0, што представља границу која одговара некомпресибилном струјању, једначина (5.15)

показује да је Аv= const. Ово је позната једначина континуитета за некомпресибилно струјање.

2. За 0≤М<1 (подзвучно струјање), пораст брзине (позитивно dv) праћен је смањењем пресека

(негативно dА), и обрнуто. Стога, позната тврдња из некомпресибилног струјања, да се брзина

повећава у конвергентном каналу, а у дивергентном смањује, важи и за подзвучно компресибилно

струјање (погледати горњи део слике 5.3).

3. За М>1 (надзвучно струјање), пораст брзине праћен је смањењем пресека и обрнуто. Дакле, постоји

упадљива разлика у поређењу са подзвучним струјањем. За надзвучно струјање, брзина расте у

дивергентном, а опада у конвергентном каналу (видети доњи део слике 5.3).

4. За М=1 (звучно струјање), једначина (5.15) даје dA/A = 0, што математички одговара минималном или

максималном пресеку. Минималан пресек је једино физички реално решење, што ће бити објашњено.

104

Слика 5.3 Струјање у конвергентним и дивергентним каналима

Претходно добијени резултати јасно показују да је за изентропску експанзију гаса од подзвучних до

надзвучних брзина, потребно струјање кроз конвергентно – дивергентни канал (или цев), као што је

приказано на слици 5.4. Шта више, при минималном пресеку који дели конвергентни и дивергентни део

канала, из случаја 4, да струјање мора бити звучно. Овај минимални пресек се назива грло. С друге

стране, да би се гас изентропски компресовао од надзвучних до подзвучних брзина потребно је да струји

кроз конвергентно – дивергентни канал, са грлом у коме се јавља звучно струјање, приказано у доњем

делу слике 5.4.

Из претходног разматрања јасно је да је разлог зашто ракетни мотори имају велике млазнике у

облику звона, као што је приказано на слици 5.5, у томе да би издувне гасове довели до великих,

надзвучних брзина. Шта више, може се утврдити облик надзвучног ваздушног тунела, који је

пројектован тако да миран гас прво експандира до надзвучних брзина ради аеродинамичких испитивања,

а потом компримује надзвучну струју на мале, подзвучне брзине пре испуштања у атмосферу. Овај

општи изглед приказан је на слици 5.6. Миран гас се узима из резервоара и експандира до подзвучних

брзина у конвергентном делу млазника. При минималном пресеку (прво грло) достиже се брзина звука.

Низструјно од грла, струјање постаје надзвучно у дивергентном делу млазника. На крају млазника,

пројектованог да достигне одређени Махов број, надзвучна струја улази у део за тестирање, у коме је

постављен модел за тестирање или неки други уређај за испитивање.

Слика 5.4 Струјање у конвергентно-дивергентном каналу

105

Низструјно од овог дела, надзвучна струја улази у дифузор, који је у конвергентном каналу, у другом

грлу успорава на брзину звука, да би је на крају дивергентни канал успорио на мале подзвучне брзине, а

потом бива испуштена у атмосферу. Ово разматрање, заједно са сликом 5.6, је једноставнији поглед на

реалне надзвучне тунеле, али служи да покаже основне појаве које открива однос пресека и брзине,

једначина (5.15). Такође, конвергентно – дивергентни млазник понекад се назива Лавалов (или де

Лавалов) млазник, по Карлу Г. П. де Лавалу, који је први користио овакву конструкцију у његовим

парним турбинама у касном XIX веку, што је и описано у поглављима 1.1 и 5.8.

Слика 5.5 Схема ракетног мотора

При извођењу једначине (5.15) коришћене су само основне једначине одржања, без претпоставки о врсти

гаса. Дакле, једначина (5.15) је општа и важи за реалне и хемијски реактивне гасове, као и за савршен

гас, ако је струјање изентропско. На ово ће се вратити у поглављу 14.

Слика 5.6 Схема надзвучног ваздушног тунела

5.4 ИЗЕНТРОПСКО СТРУЈАЊЕ ЕНЕРГИЈСКИ САВРШЕНОГ ГАСА КРОЗ

КАНАЛЕ ПРОМЕНЉИВОГ ПРЕСЕКА

Анализа струјања кроз канале променљивог пресека, у општем случају, захтева нумеричка решења каква

су она описана у поглављу 14. Ипак, на основу искуства из поглавља 3 и 4, претпоставља се (исправно)

да је могуће добити приближне резултате за случај енергијски савршеног гаса.

≈

≈

106

На пример, разматра се канал на слици 5.7. У грлу, струјање има брзину звука. Стога, означавајући

звездицом величине при брзини звука, у грлу је М*=1 и v

*=c

*. Пресек грла има површину А

*. У неком

другом пресеку канала, површина попречног пресека, Махов број и брзина су А, М и v. Примениће се

једначина (5.1) између ова два пресека:

* * *v A vAρ ρ= (5.16)

Пошто је v*=c

*, једначина (5.16) постаје

* * * *

0

*

0

A c c

A v v

ρρ ρ

ρ ρ ρ= = (5.17)

где је ρ0 тотална вредност густине која је дефинисана у поглављу 3.4, и константна је за изентропско

струјање. Ако се понови једначина (3.31)

1

120 1

12

Mκρ κ

ρ

−− = +

и примени на ове величине при брзини звука, добиће се

1

10

*

1

2

κρ κ

ρ

−− =

(5.18)

Такође, по дефиницији, и из једначине (3.37)

22

*2

*2

1

21

12

Mv

Mc

M

κ

κ

+

= = − +

(5.19)

Слика 5.7 Геометрија за извођење односа попречног пресека и Маховог броја

Ако се квадрира једначина (5.17) и у њу замене једначине (3.31), (5.18) и (5.19), добија се

2 222 * *

0

*

0

A c

A v

ρρ

ρ ρ

=

107

2 2 22

1 12

*2

11

2 1 2111 2

2

MA

MA

M

κ κ

κκ

κκ

− −

− + −

= + ++

12

12

* 2

1 2 11

1 2

AM

A M

κ

κκ

κ

+

− − = +

+ (5.20)

Једначина (5.20) представља однос пресека и Маховог броја, и даје значајан резултат. Ако се

трансформише, једначина (5.20) каже да је М=f(A/A*), тј. Махов број у било ком пресеку канала је

функција односа површина тог попречног пресека и попречног пресека грла. Као што се види из

једначине (5.15), А мора бити веће или, најмање, једнако А*. Случај у коме је А<А

* је физички немогућ

при изентропском струјању. Такође, из једначине (5.20) постоје две вредности за М које одговарају

задатом А/А*>1, подзвучна и надзвучна вредност. Решење једначине (5.20) је нацртано на слици 5.8 која

јасно оцртава подзвучни и надзвучни део. Вредности А/А* у функцији од М су дате у табели А.1 и за

подзвучно и за надзвучно струјање. За задато А/А*, да ли ће се јавити подзвучно или надзвучно струјање

зависи од граничних услова, што ће се сада и објаснити.

Слика 5.8 Зависност површине пресека и Маховог броја

Разматра се дати конвергентно–дивергентни млазник приказан на слици 5.9а. Претпоставља се да је

однос површина пресека Аul/А* на улазу веома велик, Аul/А

*→∞, и да гас на улаз долази из великог

резервоара са температуром Т0 и притиском р0. Због велике вредности односа површина пресека на

улазу, М≈0, р0 и Т0 су у суштини зауставне (или тоталне) вредности. Такође, претпоставља се да у датом

конвергентно–дивергентном млазнику струја експандира изентропски до надзвучних брзина на излазу.

108

Слика 5.9 Изентропско надзвучно струјање у млазнику

*ulA

A→ ∞

*izA

A

А = А(x)

p0

T0

M M=1

Ag=A*

струја Miz>1

piz

x

(a)

M

x

1,0

0

Израчнато из једн. (5.20) (b)

1,0 0

p

p

0,528

0 x

(c) 0

11 21

2

pM

p

κκκ−−−

= +

1,0

0,833

0

T

T

(d)

0 x

1

2

0

11

2

TM

T

κ−

− = +

109

За дати млазник постоји само једно могуће решење изентропског надзвучног изентропског струјања, а

једначина (5.20) је кључ овог решења. У конвергентном делу млазника подзвучна струја се убрзава и има

подзвучну вредност М одређену локалним односом А/А* . Овој ситуацији одговара доњи огранак са слике

5.8. Одговарајућа промена Маховог броја у зависности од х дуж млазника дата је на слици 5.9б. У грлу,

где је површина пресека Аg=А* важи да је М=1. У дивергентном делу млазника струја суперсонично

експандира и има надзвучну вредност М која је одређена локалним односом А/А*, а зависност је дата

горњим огранком на слици 5.8. Ова зависност М од х у дивергентном делу млазника такође је дата на

слици 5.9б. Када је позната промена Маховог броја кроз млазник, промене температуре, притиска и

густине добијају се из једначина (3.28), (3.30) и (3.31). Добијенe променe за р и Т дате су на слици 5.9ц и

д. Примећује се да се притисак, температура и густина кроз млазник стално смањују. Такође се запажа да

односи притиска, густине и температуре на излазу и улазу, рiz/р0, ρiz/ρ0 и Тiz/Т0, једино зависе од односа

површина излазног пресека, Аiz/А*, преко једначине (5.20). Ако је млазник део суперсоничног ваздушног

тунела, онда је стање у делу за тестирање потпуно одређено односом Аiz/А* (геометријски фактор) и са р0

и Т0 (карактеристике гаса у резервоару).

Ако је конвергентно–дивергентни млазник самостално постављен на сто и ништа више се не уради,

очигледно је да се ништа неће десити. Ваздух неће сам од себе струјати кроз млазник. Да би се убрзао гас

мора постојати разлика притисака, што је јасно изложено Ојлеровом једначином, једначина (5.9). Дакле,

да би се успоставило струјање кроз ма који канал, притисак на излазу мора бити нижи од притиска на

улазу, тј. рiz/р0<1. У ствари, за добијање потпуно безударног изентропског надзвучног струјања у

млазнику, приказаног на слици 5.9а, однос притисака на излазу и улазу мора тачно имати вредност рiz/р0

приказану на слици 5.9ц.

Шта се дешава када рiz/р0 није тачнo вредност одређена сликом 5.9ц? Другим речима, шта се дешава када

се притисак иза излаза млазника независно управља (рецимо издувавањем у мали резервоар са

контролисаним притиском)? Посматра се конвергентно–дивергентни млазник приказан на слици 5.10а.

Претпоставља се да не постоји струјање кроз млазник, дакле рiz=р0. Претпоставља се да је рiz тренутно

спуштен испод р0. Ова мала разлика притисака ће проузроковати слабо струјање са малим подзвучним

брзинама кроз канал. Локални Махов број ће мало порасти кроз конвергентни део млазника и достићи

максималну вредност у грлу, приказано кривом 1 на слици 4.10б. Овај максимум неће бити довољан за

струјање брзином звука. У ствари, то ће бити мала подзвучна вредност. Не треба заборавити да је, раније

дефинисана вредност, А* површина пресека грла за звучно струјање, тј. пресек при коме је М=1. У

случају који се сада разматра, где је М<1 у најмањем пресеку канала, права површина пресека грла, Аg, је

већа од А*, која за потпуно подзвучно струјање прима карактер везе која се квантитативно разликује од

стварне геометријске површине пресека грла. Низструјно од грла, подзвучна струја наилази на

дивергентни канал, па М опада као што је приказано на слици 5.10б. Одговарајућа промена статичког

притиска дата је кривом 1 на слици 5.10ц. Сада се претпоставља да се рiz и даље смањује. Већи однос

притисака на излазу и улазу ће сада више убрзати струју, а промене подзвучног Маховог броја и

статичког притиска кроз канал ће бити веће, приказано кривом 2 на сликама 5.10б и ц. У овом случају је

Аg=А*.

Примећује се да су сви случајеви приказани на сликама 5.10б и ц подзвучна струјања. Дакле, за

подзвучно струјање кроз конвергентно-дивергентни млазник приказан на слици 5.10а постоји бесконачно

много изентропских решења, где су и рiz /р0 и А/Аg фактори који контролишу локалне особине струјања у

било ком пресеку.

Ово је у директној супротности са претходно описаним случајем надзвучног струјања, где постоји само

једно изентропско решење за дати канал и где је А/А* једини фактор који контролише локалне особине

струјања (повезан са особинама унутар резервоара).

110

Слика 5.10 Подзвучно струјање у конвергентно-дивергентном млазнику

За случајеве приказане на слици 5.10а, б и ц, масени проток кроз канал расте како рiz опада. Овај масени

проток може се израчунати применом једначине (5.1) на грло, g g gm v Aρ=� . Када се рiz спусти на рiz3, при

чему се постиже сонично струјање у грлу, тада је * * *m c Aρ=� . Ако се рiz и даље смањује, рiz<рiz3, Махов

број у грлу не може бити већи од М=1. Ово је ограничено једначином (5.15). Дакле, особине струјања

кроз грло и, у ствари, кроз цео подзвучни део канала, постаје „замрзнуто“ када је рiz<рiz3, тј. подзвучно

струјање постаје безутицајно и масени проток остаје константан за рiz<рiz3. Ово стање, пошто је сонично

0

p

p

(а)

(b)

(c)

111

струјање успостављено у грлу, назива се ударно струјање. Без обзира колико мало буде рiz, када струјање

постане ударно, масени проток остаје константан. Ова појава је илустрована на слици 5.11. Запажа се да,

из једначине (3.35), сонично струјање у грлу одговара односу притисака р*/р0=0,528 за κ=1,4. Ипак, због

дивергентног канала после грла, потребна вредност рiz3/р0 за успостављање струјања брзином звука

(сонично) у грлу мора бити већа од 0,528, што је приказано на слици 5.10ц и 5.11.

Слика 5.11 Промена масеног протока са притиском на излазу;

приказ протока при удару

Слика 5.12 Струјање са ударним таласом унутар конвергентно-дивергентног млазника

Шта се дешава у каналу када се рiz спусти испод рiz3? У конвергентном делу, као што je раније речено,

ништа се не дешава. Струјне карактеристике остају оне које су дате подзвучним делом криве 3 на слици

5.10б и ц. Међутим, до промена долази у дивергентном делу канала. Изентропско решење није могуће у

дивергентном каналу све док се рiz адекватно не смањи на одређену малу вредност диктирану сликом

(а)

(b)

(c)

112

5.9ц. За притиске више од ове вредности, а мање од рiz3, ствара се нормални удар унутар дивергентног

канала. Ова ситуација је приказана на слици 5.12.

Слика 5.13 Струјање са ударним и експанзионим таласима на излазу из

конвергентно-дивергентног млазника

Нека излазни притисак буде рiz4. Постоји област надзвучног струјања испред удара. Иза удара струјање је

подзвучно, па се Махов број смањује ка излазу, а статички притисак расте до вредности рiz4 на излазу.

Локација нормалног ударног таласа одређена је захтевом да пораст статичког притиска кроз талас и кроз

дивергентни део при подзвучном струјању после удара буде такав да на излазу тачно даје притисак рiz4.

Ако се излазни притисак и даље смањује нормални удар ће се померати према излазу из млазника. На

113

излазу ће се јавити нормални удар само ако је рiz=рiz5, где је рiz5 статички притисак иза нормалног удара

при Маховом броју који одређује конструкција млазника. Ово је приказано на слици 5.13а, б и ц. На

слици 5.13ц рiz6 представља праву изентропску вредност за излазни Махов број одређен конструкцијом.

Када се притисак иза излаза млазника рВ и даље смањује тако да је рiz6<рВ<рiz5, струјање у млазнику је

потпуно надзвучно и изентропско и понаша се онако како је то приказано на слици 5.9а, б, ц и д.

Изједначавање притиска на излазу и притиска иза излаза обавља се кроз коси удар припојен на излаз из

млазника, али изван самог канала. Ово је приказано на слици 5.13д. ако се притисак иза излаза спусти

испод рiz6, уравнотежење се обавља кроз експанзионе таласе изван канала, као што је приказано на слици

5.13е. Када се јави ситуација са слике 5.13д, за млазник се каже да је надекспанзиони, јер је струја

експандирала тако да је притисак на излазу нижи од притиска околине иза излаза, рiz6<рВ. С друге стране,

када се јави ситуација са слике 5.13е, за млазник се каже да је подекспанзиони, јер струја експандира тако

да је притисак на излазу виши од притиска околине иза излаза, рiz6>рВ, па струја може обавити додатну

експанзију после изласка из млазника.

Закључак овог одељка је посебно битан и користан. Пре него што настави даље, читаоц мора бити вољан

да поново прочита овај одељак све док се добро не упозна са овим концептима и закључцима. Такође,

треба имати на уму да ова квазиједнодимензионална разматрања омогућују анализу средњих

карактеристика у попречним пресецима унутар млазника познатог облика. Оне не помажу много у

обликовању контуре млазника, поготово за надзвучне млазнике у смислу стварања безударне

изентропске струје. Ако облик надзвучног млазника није тачно онај прави, унутар млазника могу се

јавити коси ударни таласи. Правилна контура надзвучних млазника се може одредити методом

карактера, о којима ће бити речи у поглављу 11.

Пример 5.1 Разматра се подзвучно – надзвучно струјање кроз конвергентно–дивергентни млазник.

Притисак и температура у резервоару су 10 bar и 300 К. Постоје две локације у млазнику где је А/А*=6.

једна је у конвергентном, а друга у дивергентном делу млазника. Израчунати М, р, Т и v у обе локације.

Решење: У конвергентном делу струјање је подзвучно. Из табеле А.1, за подзвучно струјање са А/А*=6

добија се: М=0,097; р0 /р=1,006 и Т0/Т=1,002. Дакле

1

0

0

(1,006) (10) 9,94 barp

p pp

−= = =

1

0

0

(1,002) (300) 299,4 KT

T TT

−= = =

m1,4 287 299,4 346,8

sc RTκ= = ⋅ ⋅ =

m0,097 346,8 33,6

sv M c= ⋅ = ⋅ =

У дивергентном делу струјање је надзвучно. Из табеле А.1, за надзвучно струјање и А/А*=6 добија се:

М=3,368; р0/р=63,13 и Т0/Т=3,269. Дакле

1

0

0

(63,13) (10) 0,1584 barp

p pp

−= = =

1

0

0

(3,269) (300) 91,77 KT

T TT

−= = =

m1,4 287 91,77 192

sc RTκ= = ⋅ ⋅ =

m3,368 192 646,7

sv M c= ⋅ = ⋅ =

Пример 5.2 Надзвучни ваздушни тунел је пројектован да оствари струјање са 2,5 Маха у делу за

тестирање са стандардним условима (услови на нивоу мора). Израчунати однос површине на излазу и

114

површине у грлу и стање у резервоару неопходно за достизање услова за које је тунел пројектован да

оствари.

Решење: Из табеле А.1 за Мiz=2,5 следи:

Аiz/А*=2,637 р0 /рiz=17,09 Т0 /Тiz=2,25

Такође, при стандардним условима, рiz=1 bar и Тiz= 288 К. Стога

00 17,09 1 17,09 bariz

iz

pp p

p= = ⋅ =

00 2,25 288 648 Kiz

iz

TT T

T= = ⋅ =

5.5 ДИФУЗОРИ

Спровешће се мали мисаони експеримент. Потребно је пројектовати надзвучни ваздушни тунел који ће у

сектору за тестирање имати Махов број 3 (види слику 5.6). Неке непосредне информације о млазнику

добијају се из табеле А.1: при М=3, Аiz/А*=4,23 и р0/рiz =36,7. Претпоставка је да ваздушни тунел издувава

ваздух у атмосферу. Коју вредност тоталног притиска р0 мора да обезбеди резервоар да би се покренуло

струјање кроз тунел? Постоји неколико могућих решења. Прво је да једноставно млазник издувава

ваздух директно у атмосферу, што је приказано на слици 5.14. Да би се избегли ударни и експанзиони

таласи у делу за тестирање низструјно од излаза, излазни притисак рiz мора бити једнак притиску околне

атмосфере, тј. рiz=1 bar. Пошто је р0/рiz=36,7 притисак у резервоару, за овај случај, мора бити 36,7 bar.

Ипак, друго решење је да млазник издувава ваздух у канал константног попречног пресека који служи

као сектор за тестирање, а овај канал да издувава ваздух у атмосферу, приказано на слици 5.15. У овом

случају, пошто је сектор за тестирање у каналу, ударни таласи са излаза из канала неће утицати на сектор

за тестирање.

Слика 5.14 Струјање кроз млазник када је спољни притисак атмосферски

Такође, претпоставиће се да се нормални удар налази на излазу из цеви. Статички притисак иза

нормалног удара је р2, зато што је струјање субсонично, иза удара је 2

1 barp p∞= = . У овом случају,

притисак у резервоару р0 добија се из

00

1

136,7 1 3,55 bar

10,33

iz

iz

p pp p

p p∞= = =

где је р2/рiz однос статичког притиска пре и после нормалног удар за Махов број 3, добијен из табеле А.2.

Примећује се да се једноставним додавањем цеви константног попречног пресека са нормалним ударом

на њеном крају тотални притисак потребан у ваздушном тунелу значајно смањује са 3,67 на 3,55 bar.

Сада се, као трећа могућност, додаје дивергентна цев иза нормалног удара, слика 5.15, да би се успорило

струјање, која је већ подзвучно до малих брзина пре испуштања у атмосферу. Ово је приказано на слици

115

5.16. На излазу из цеви, Махов број је веома низак, подзвучна вредност, и за све практичне прорачуне

тотални и статички притисци су једнаки. Важи претпоставка за изентропско струјање у дивергентном

делу цеви иза удара, да је тотални притисак на излазу из цеви једнак тоталном притиску иза нормалног

удара. Зато је 02

1 barp p∞≈ = . Из табеле А.2, Махов број непосредно иза удара је М2=0,475, и однос

тоталног и статичког притиска за овај Махов број (из табеле А.1) је 02 2

1,17p p = . Зато је

0 20

2 02

1 136,7 1 3,04 bar

10,331,17

iz

iz

p p pp p

p p p∞= = =

Ово је чак и боље - тотални притисак захтева да се услови у ваздушном тунелу даље редукују на 3,04 bar.

Шта ће се десити? Из табеле А.2, однос тоталних притисака испред и иза нормалног удара за Махов број

3 је02 01

0,328p p = . Стога 01 02

1 0,328 3,04p p = = ; ово је тачан однос притисака који се захтева да се

добије у ваздушном тунелу на слици 5.16!

Слика 5.15 Млазник са нормалним ударом на излазу, са атмосферским притиском на излазу

Слика 5.16 Млазник са дифузором за нормални удар. Нормални удар низструјно је занемарљив у

дивергентном наставку.

Тако се из овог експеримента, закључује да је притисак у резервоару, потребан у надзвучном ваздушном

тунелу (а тиме и потребна снага компресора), значајно смањен стварањем нормалног таласа и

последичне изентропске дифузије при 0M ≈ на излазу из тунела и да овај притисак уствари одређује

губитак тоталног притиска кроз нормални ударни талас на месту где се мери Махов број.

Нормални ударни талас и дивергентни испусни цевовод са слике 5.16 понашају се као специфичан

механизам за успоравање ваздуха до малих подзвучних брзина пре испуштања у атмосферу. Такви

механизми називају се дифузори, и њихова функција је да успоре струјање са што је могуће мањим

губицима тоталног притиска. Наравно, идеалан дифузор би компримовао струјање изентропски, дакле

без губитака тоталног притиска. На пример, разматра се ваздушни тунел приказан на слици 5.6. Након

изентропске експанзије кроз суперсонични млазник и проласка кроз мерну секцију, у основи,

суперсонична струја била би компримована услед проласка кроз конвергентни део дифузора до брзине

звука у другом грлу, а затим даље изентропски компримована на мању брзину у дивергентном делу

низструјно од грла. Ово би се десило без губитака тоталног притиска, и стога би однос притисака за

струјање кроз тунел био једнак јединици, што представља перпетум мобиле. Очигледно, нешто није у

реду. Проблем може да се види из резултата из поглавља 4. Када конвергентни део дифузора промени

правац надзвучну струје на зиду, изузетно је тешко да се спречи коси ударни талас унутар цеви. Шта

више, чак и без удара, трење између струје и површине дифузора у реалним условима доводе до губитака

тоталног притиска. Јасно је да је конструисање идеалног изентропског дифузора физички немогуће.

116

Узимајући у обзир да савршен дифузор не може да се направи, да ли још увек могу да се постигну бољи

резултати него они постигнути у дифузору са нормалним ударом приказаном на слици 5.16? Одговор је

да, јер лако може да се покаже да је губитак тоталног притиска кроз низ косих удара и коначан слаб

нормални удар мањи него кроз један јак нормални удар при истом уструјном Маховом броју (видети

проблем 4.8). Због тога се чини да је мудро заменути дифузор са нормалним ударом са слике 5.16

дифузором са косим ударним таласом на слици 5.17. Овде је струја кроз мерни пресек при Маховом броју

Мe и статичком притиску pe успорена преко низа косих ударних таласа започетих на компресионој ивици

на улазу у дифузор, надаље успорена струја слабим ударним таласом на крају деонице константног

попречног пресека, а затим подзвучно компримована у дивергентном делу излаза у атмосферу. На излазу

из дифузора статички притисак је pd који је за дозвучну струју на излазу једнак p∞. Укратко, овај дифузор

са косим ударом требало би да обезбеди већи повраћај притиска (мање губитке тоталног притиска) од

дифузора са нормалним ударом. Међутим у пракси интеракција ударних таласа на слици 5.17 са

вискозним граничним слојем на зидовима дифузора ствара додатни губитак тоталног притиска који тежи

да делимично поништи предност овог дифузора. Стварна струја у дифузору са косим ударом приказана

је на фотографији на слици 5.18. Ударни талас и гранични слојеви визуелизовани су Шлиреновим

системом - оптичком техником осетњивом на градијенте густине у струји. Примећује се расипање

струјног узорка косог удара у облику дијаманта услед вискозне интеракције ниструјно. Коначан резултат

је да се укупан потенцијал дифузора са косим ударом не може никад у потпуности остварити.

Слика 5.17 Млазник са уобичајеним суперсоничним дифузором

У литератури постоји неколико начина који се користе за дефинисање ефикасности дифузора. При раду

ваздушног тунела најуобиченија дефиниција ефикасности дифузора је поређење односа стварног

тоталног притиска кроз дифузор 0 0d

p p , са односом тоталног притиска кроз хипотетички нормалани

ударни талас у мерном пресеку Маховог броја, 02 01

p p (коришћењем ознака са слике 3.8). Нека ηD

представља ефикасност дифузора. Тада је

( )

( )0 0

02 01е

d стварни

D

нормални удар приМ

p p

p pη = (5.21)

Слика 5.18 Коси ударни талас у дводимензионалном суперсоничном

дифузору. Ово струјање је усмерено са лева на десно и улазни Махов број је 5.

Уколико је ηD=1 тада се стварни дифузор понаша као да је са нормалним ударом. За мале надзвучне

Махове бројеве у мерним секцијама коришћени дифузори незнатно боње се понашају од нормалног

ударног таласа и обично је ηD<1.

Примећује се са слика 5.6 и 5.17 да дифузори са косим ударом имају пресек са минималном површином,

односно грло. У номенклатури која се користи у ваздушном тунелу грло млазника се назива прво грло са

117

попречним пресеком Ag1=A*; а грло дифузора назива се друго грло са површином Ag2. Услед пораста

ентропије у дифузору Ag2> Ag1. Да би се ово доказало претпоставиће се да се брзина звука достиже и у

првом грлу и у другом грлу. Из једначине (5.1) изведене између два грла,

* * * *

1 1 1 2 2 2g gA c A cρ ρ= (5.22)

или

* *

2 1 1

* *

1 2 2

g

g

A c

A c

ρ

ρ= (5.23)

Из поглавља 3.4 и 3.5, c* а због тога и T

* су константни кроз дато адијабатско струјање. Према томе,

* *

1 2 1c c = , и једначина (5.32) постаје

*

2 1

*

1 2

g

g

A

A

ρ

ρ= (5.24)

Међутим, из једначине стања,

* * * *

1 1 1 1

* * * *

2 2 2 2

p RT p

p RT p

ρ

ρ= = (5.25)

Убацивањем једначине (5.25) и (5.24),

*

2 1

*

1 2

g

g

A p

A p= (5.26)

Пошто је М1=М2=1, и из једнашине (3.30) израчунате за пресеке 1 и 2,

( ) ( )11

2011*

1

1 11

2 2

pM

p

κ κκ κ

κ κ−

−− +

= + =

( ) ( )11

2022*

2

1 11

2 2

pM

p

κ κκ κ

κ κ−

−− +

= + =

Једначина (5.26) може бити написана као

2 01

1 02

g

g

A p

A p= (5.27)

Пошто тотални притисак увек опада кроз ударни талас и унутар граничног слоја, р02 ће увек бити мање

од р01. Према томе, из једначине (5.27), друго грло мора увек бити веће него прво. Заиста, ако се зна

вредности тоталног притиска у та два грла, онда једначина (5.27) тачно одређује колико треба да буде

друго грло. Ако је Аg2 мање него што то захтева једначина (5.27), масени проток кроз тунел неће бити

управљан од стране дифузора; дифузор је „пригушен“ и суперсонично струјање у млазнику и контролној

секцији није могуће. Из једначине (5.27) се види да би једино за хипотетички савршен дифузор (са

изентропским струјањем) површина другог грла била једнака површини првог грла.

За карактеристичне надзвучне дифузоре, степен корисности ηD је веома осетљиво у односу на Аg2, како је

приказано на слици 5.19. Примећује се да ако се Аg2 смањи за велике вредности, ηD прво расте, достижући

максимум, затим нагло опада. Максимум степена корисности постигнут је за вредност Аg2 мало већу него

што је то дато у једначини (5.27). Треба имати на уму да је вредност Аg2 добијена из једначине (5.27)

минимална дозвољена вредност да би наилазећи масени проток могао да прође кроз млазник. За ниже

вредности, струјање ће бити пригушено и ефикасност дифузора ће опасти. Вредности за Аg2 из једначине

(5.27) су представљене испрекиданом вертикалном линијом на слици 5.19. За много веће вредности Аg2,

118

нема проблема са пролазом наилазећег масеног протока, међутим, ефикасност дифузора опада јер

улазећа суперсонична струја није довољно компримована, те остаје суперсонична и у другом грлу.

Слика 5.19 Шема промене степена корисности дифузора са променом површине другог грла.

У ниструјном дивергентном делу, ово суперсонично струјање прво се убрзава, а затим пролази кроз

нормални удар близу излаза дифузора. Пошто је Махов број поприлично велик у таласном фронту,

губитак тоталног притиска кроз ударни талас је велик. Ови губици су сврха облика ударног дифузора

(наиме, долази до слабљења нормалног удара које се догађа у другом грлу за приближно сонично

струјање). Као резултат, за велико Аg2, степен корисности дифузора је низак, као што је приказано на

слици 5.19.

До овог тренутка у разматрању још није додирнут најозбиљнији проблем са дифузорима - почетни

проблем. Разматра се поново ваздушни тунел приказан на слици 5.6. Када је започето струјање кроз овај

тунел (помоћу брзог отворања притисног вентила из резервоара), успостављен је прелазни струјни

режим, који после тачног одређеног временског интервала прелази у познато стационарно струјање које

је разматрано у овом поглављу. Овај почетни процес је комплексан и још увек није у потпуности

схваћен. Међутим, oн је обично праћен нормалним ударним таласом кроз целу цев од млазника до

дифузора. Кад се овај почетни нормални ударни талас јави истог тренутка на улазу у дифузор, површина

попречног пресека другог грла мора бити довољно велика да пропусти масени проток иза нормалног

удара. Ова вредност Аg2 дата је једначином (5.27) где је сада p02/p01 однос тоталних притисака иза и

испред нормалног удара у делу где се мери Махов број. Ова почетна вредност за Аg2 приказана је пуном

вертикалном линијом на слици 5.19 и увек је већа од површине грла за коју је степен ефикасности

дифузора максималaн. Ако је вредност Аg2 мања од почетне вредности, нормални удар ће се појавити

узструјно од дифузора и струјање у тунелу неће почети како треба. Ако је Аg2 једнако или веће од

почетне вредности, нормални удар ће се проширити кроз дифузор (биће „прогутан“) и струјање у тунелу

ће почети како треба. Због тога се на примеру са слике 5.19, види да ће дифузор са непроменљивом

геометријом који има друго грло, попречног пресека довољно великог да омогући почетак струјања,

радити са степеном ефикасности мањим од максималног. У томе лежи предност дифузора са

променљивом геометријом, где површина грла може бити промењена механичким или хидрауличким

путем. У таквом дифузору, попречни пресек грла се подеси да буде довољно велика да струјање започне,

а затим се пресек смањује да би се добио максималан степен корисности при даљем струјању кроз тунел.

Међутим, пројектовање и производња дифузора са променљивим попречним пресеком је сложена и

скупа, из тог разлога највећи број примењених ваздушних тунела користе дифузоре са фиксном

површином.

119

Дискусија о дифузорима фокусирана је на примену ваздушних тунела за илустрацију уопштених

феномена. Међутим, анализа струјања кроз отворе и дифузоре праћена је истим појавама као у ваздушно

усисним млазним моторима. Читалац се упућује на литературу за темељнију дискусију за такве

суперсоничне отворе (Шапиро (Shapiro) или Зукров (Zucrow) и Хофман (Hoffman)).

Ову дискусију о дифузорима не треба узимати превише буквално. Стварно струјање кроз дифузоре је

компликовано, тродимензионално и у међусобној интеракцији са ударним таласима и граничним

слојевима који нису добро схваћени чак после пола века озбиљног рада на дифузорима. Због тога,

пројектовање дифузора представља више уметност него науку. На ефикасност дифузора утиче мноштво

параметра као 2 1g gA A , Ме, упадни угао, дужина другог грла итд. Због тога облик дифузора за дату

примену мора бити заснован на емпиријским подацима и маштовитости. Ретко је прва верзија новог

дифузора сасвим успешна. У том контексту, разматрање дифузора у овом одељку намењено је

искључиво за уопштено руковање њима.

5.6 ОДБИЈАЊЕ ТАЛАСА ОД СЛОБОДНЕ ГРАНИЦЕ

Иако у суштини струјни узорци таласа настали на излазу из млазника на слици 5.13 d и e не представљају

квазиједнодимензионално струјање, они се ипак често срећу при проучавању струјања кроз малазнике,

зато је погодно да се проуче у овом тренутку.

Гас који струји из млазника у атмосферу има граничну површину са околним мирним ваздухом. Као и у

случају линија клизања размотрних у поглављу 4, притисак дуж ове границе мора да се очува, односно

притисак на граници млаза мора да буде p∞ током целе његове дужине. Због тога коси ударни таласи

приказани на слици 5.13d и експанзиони приказани на 5.13е морају да се одбију од границе млаза на

такав начин да очувају притисак низструјно од излаза из млазника. Ова граница млаза није чврста

граница као што је била у поглављу 4, него је то слободна граница која може да мења величину и правац.

На пример, разматра се ударни талас који се јавља на слободној граници са константним притиском, као

што је приказано на слици 5.20. У области 1 притисак је p∞, једнак је атмосферском. У области 2 иза

ударног таласа p2>p∞. Међутим на ивици границе млаза (испрекидана линија на слици 5.20) притисак

увек мора да буде p∞. Због тога, када ударни талас погоди границу, мора да се одбије на такав начин да у

области 3 иза одбијеног таласа буде p∞. Пошто је p3=p∞<p2 овај одбијени талас мора да буде експанзиони

као на слици 5.20. Струјање се одбија нагоре и од ударног таласа и од експанзионог таласа и узрокује да

се слободна граница такође одбија навише. Јачина одбијеног експанзионог таласа може да се добије из

теорије у поглављу 4.

Слика 5.20 Настајање ударног таласа на граници са константним притиском

120

Слика 5.21 Одбијање експанзионог таласа на граници са константним притиском

Аналогно томе, ударни експанзиони талас са слике 5.21 одбија се од слободне границе као компресиони

талас. Овај коначни компресиони талас брзо се спаја у ударни талас као што је приказано. Интеракција

таласа приказаног на слици 5.21 мора да се анализира методом карактеристика приказаног у поглављу 11.

На основу малопређашњег разматрања и резултата из поглавља 4, закључује се да:

1. Ударни талас се одбија од чврсте границу на исти начин, тј. компресиони талас производи компресију

а експанзиони експанзију.

2. Таласи који се одбију од слободне границе производе супротно, тј. компресиони талас производи

експанзију а експанзиони компресију.

Слика 5.22 Шематски приказ струјног узорка у облику дијаманта на испусту из надзвучног млазника

Разматрањем струјања из млазника у атмосферу на слици 5.13, струјни узорак низструјно од млазника

изгледаће као на слици 5.22. Различито одбијени таласи формирају струјни узорак у облику дијаманта у

испуштеном млазу. Такав струјни узорак видљив је при испуштању слободног млаза, приказаном на

слици 5.23. Читаоцу се оставља да скицира аналогни струјни узорак подекспандованог струјања из

млазника, слика 5.13е.

121

Слика 5.23 Струјни узорци у облику дијааманта формирају осносиметрични млаз (слично као на испусту

из ракете). W-таласна дужина првог дијаманта.

5.7 ЗАКЉУЧАК

Овим се завршава техничка дискусију из претходног поглавња. Квази једнодимензионално струјање кроз

цев, које је овде разматрано, у складу са ударом и експанзионим таласима разматраним у одељцима 3 и 4,

сачињавају основу у целокупној структури компресибилног струјања.

5.8 ИСТОРИJСКИ ЗАПИС: КРАТАК ПРЕГЛЕД БИОГРАФИЈЕ ДЕ ЛАВАЛА

Прва практична примена конвергентно-дивергентног суперсоничног млазника била је још пре двадесетог

века. Како је поменуто у одељку 1.1, шведски инжињер, Карл Г.П. де Лавал (Carl G. P. de Laval), крајем

1800-те пројектовао је парну турбину испред чијих лопатица је уграђен суперсонични експанзиони

млазник (видети слику 1.1). Због тога, такави конвергентно-дивергентни млазници често се у литератури

називају „Лавалови млазници“. Ко је био де Лавал? Шта га је подстакло да пројектује суперсонични

млазник за парну турбину? Какав је он био човек?

Карл Густав Патрик де Лавал рођен је у Бласенборгу (Blasenborg) у Шведској, 9 маја 1845. Син шведског

капетана, де Лавал рано показује заинтересованост за механику, и за растављање и састављање справа

као што су сатови и оружје. Његови родитељи су га охрабривали на том путу, са осамнаест година

уписао је Универзитет у Упсали, а дипломирао је 1866. са високим оценама из технике. Затим се

запослио у шведској рударској компанији, Стора Копербег, где је брзо схватио да му је потребно више

образовања. (Ово је феномен који и даље погађа младе инжињере.) Због тога се вратио у Упсалу, где је

студирао хемију, физику и математику и докторирао 1872. Тада се враћа у компанију Стора, а након 3

122

године прелази у Клостерову челичану (Kloster Iron Works) у Немачкој 1875. За то време, његови

генијални проналасци почињу да излазе на површину: развио је сито за побољшање ваздуха у

бесемеровом конвертору и нови апарат за процес галванизације. Такође, током времена проведеног у

челичани, де Лавал је експериментисао на центрифугалној машини за одвајање кајмака из млека.

Немоћан да убеди Клостера да производи сепаратор за кајмак, де Лавал га напушта 1877. и сели се у

Штокхолм где оснива своју компанију. За тридесет година продао је преко милион сепаратора, у

данашње време људи у Европи више знају за сепаратор за кајмак него за парну турбину.

Међутим, пројекат парне турбине је био његов последњи допринос компресибилном струјању. 1882

конструисао је прву парну турбину користећи обичан млазник. Такви млазници били су конвергентног

облика, ништа више него бленде пројектоване у то време. Кинетичка енергија паре на улазу у лопатично

коло била је мала што је за последицу имало мале брзине обртања турбине. Последица овог недостатка

била је видљива. Однос притисака дуж таквог малазника никада није био мањи од 0,5. Данас се зна, као

што је описано у поглављима 5.3 и 5.4, да су такви малазници били пригушени и да брзина струје на

излазу из млазника није била већа од брзине звука. Међутим 1882, инжињери нису у потпуности

разумели овај феномен. Коначно 1888, де Лавал је случајно открио систем са даљом експанзијом гаса

додавањем дивергентног дела на почетак конвергентног дела. Изненада његова гасна турбина почела је

да се обрће огромним бројем обртаја преко 30000 у минути. Савладавањем многих механичких проблема

са таквим повећањем брзине обртања, де Лавал развија посао са турбинама у великој корпорацији у

Штокхолму, и брзо добија међународне кооперанте у Француској, Немачкој, Енглеској, Холандији,

Аустроугарској, Русији и Америци. Овај пројекат приказан је на Светској Колумбовој изложби (World

Columbian Exposition) у Чикагу 1893., (описано у поглављу 1.1). Допуна његовог успеха као инжињера и

бизнисмена је то да је де Лавал такође био вешт у међуљудским односима. Био је поштован и цењен и од

стране припадника своје друштвене лествице и од стране својих запослених. Водио је националну

канцеларију, изабиран је за члана шведског парламента током 1888. до 1890., а касније постаје и члан

Сената. Награђиван је многобројним признањима и медаљама, и постао је члан Шведске краљевске

академије наука.

Након испуњеног и стваралачког живота, Карл Г.П. де Лавал умире у Штокхолму 1912. у 67. години

живота. Међутим, његов допринос и његова компанија су остали да трају до дана данашњег.

Интересантно је да се примети на техничкој основи, да Лавал и остали савременици инжињери у 1888.

нису били баш сигурни да суперсонична струја у ствари постоји у „Лаваловом млазнику“. То је била

тачка неслагања, која нија решена све до експеримената које је извршио Стодола 1903. Али Стодолова

авантура је нова прича за следеће поглавље.

5.9 ИСТОРИJСКИ ЗАПИС: СТОДОЛА И ПРВИ ЕКСПЕРИМЕНТИ СА

СУПЕРСОНИЧНИМ МЛАЗНИКОМ

Новоотркривени млазник парне турбине који конструисао де Лавал (видети поглавља 1.1 и 5.8) појачао је

интересовање за протицање кроз конвергентно-дивергентне млазнике у механици флуида на крају века.

Водећи научник у овој области био је инжињер мађарског порекла који се звао Аурел Болеслав Стодола

(Aurel Boleslav Stodola) који је постао водећи стручњак за парне турбине у Европи. Док је Лавал био

човек од идеје, Стодола је био школовани професор који је повезао лабаве научне и техничке нити

Лавалових млазника. Стодола је главна фигура у напретку изучавања компресибилног струјања,

термодинамици и парним турбинама.

Стодола је рођен 10. маја 1859. у Липовском Микулашу (Lipovsky Mikulas) у Мађарској, малом

словачком граду, на обронцима Високих Татри. Други син кожара, школовао се на Будимпештанском

техничком универзитету једну годину, 1876. Био је изузетан студент, а у 1877. прешао је на Циришки

универзитет у Швајцарској, а затим на Високу школу (Eidgenossische Tehnische Hochschule) такође у

123

Цириху, 1878. године. Ту је и дипломирао 1880. поставши инжињер механике. Затим је кратко време

радио у фирми Растон и партнери (Ruston & Co.) у Прагу где је био одговоран за пројектовање неколико

различитих типова парних машина. Изузетне способности које је показао за време студирања обезбедиле

су му Катедру за термалне машине на Високој школи у Цириху гда је радио до пензије 1929.

Стодола је имао брилијантну академску каријеру које је укључивала подучавање, сарадњу са

индустријом и пројектовање машина. Па ипак, његове највеће заслуге су у примењеном истраживању.

Стодола је имао синергијску комбинацију велике математичке компетентности са великом посвећеношћу

решавању практичних проблема. Штавише, он је схватао значај инжињерских истраживања у време када

у целом свету таквих истраживања није ни било. 1903. године (исте године када су браћа Рајт први пут

извели успешан лет) Стодола је написао:

„Ми инжињери знамо да конструисање машина кроз велики број практичних експеримената решава

проблеме са лакоћом али уназађује дугогодишња научна истраживања. Овај „сеци и испробај метод“,

како га инжињери иронично називају, често је веома скуп, а једно од најважнијих питања, питање

ефикасности, требало би да нас научи да не подцењујемо резултате научно-техничког рада.“

Овај коментар улоге научног истраживања односи се примарно на пројектовање парних турбина. Али тај

коментар био је пророчки за масивне истраживачке програме који су извођени у другој половини

двадесетог века.

Стодолин значај за разматрања у овој књизи лежи у његовом пионирском раду на струјањима паре кроз

Лавалове млазнике. Као што је поменуто у поглављу 5.8, могућност суперсоничних струјања у таквим

млазницима, иако научно успостављена, није била експериментално потврђена и стога је била

контраверзна. Да би проучио овај проблем Стодола је конструисао конвергентно-дивергентни млазник са

пресеком приказаним на врху слике 5.24. Он је могао да мења притисак испред млазника у било ком

жењеном интервалу затварањем вентила низструјно од излаза млазника. Са ударима притиска у дугој

танкој цеви провученој кроз центар млазника (као што је приказано на слици 5.24), Стодола је измерио

расподелу аксијалних притисака повезану са различитим притисцима околине. Ови подаци су приказани

испод цртежа млазника на слици 5.24. Ова слика је узета из Стодолине књиге насловљене „Парне

турбине“ први пут објављене 1903. Овде су по први пут карактеристике тока кроз суперсонични млазник

експеримантално потврђене. На слици 5.24 најнижа крива одговара комплетној изентропској експанзији

(као што је приказано на слици 5.9ц). Криве од D до L на слици 5.24 одговарају ударном таласу унутар

млазника, изазваном вишим притиском околине (као што је приказано на слици 5.12ц). Криве A, B и C на

слици 5.24 одговарају комплетно субсоничној струји насталој као последица високих притисака околине

(као што је приказано на слици 5.10ц). С обзиром на високе скокове притиска приказане на неким од

података на слици 5.24 Стодола примећује:

„На овим необично високим скоковима притиска видим реализацију „компресионог удара“ који је

теоретски извео фон Риман (von Riemann); јер брже честице паре поседују велику брзину удара на

спорије па су стога компримоване на виши притисак.“

124

Слика 5.24 Стодолини оригинални суперсонични подаци о млазницима, 1903. Криве расподеле притисака

за различите притиске околине

(У горе наведеном Стодола се позива на Г.Ф. Бернард Римана поменутог у поглављу 3.10; ипак он би био

историјски коректнији да се позивао на Ренкина (Rankine) и Игониоа (Hugoniot), као што је описано у

поглављу 3.10.) Стодолини експерименти са млазником који су описани горе и његови оригинални

подаци приказани на слици 5.24 представљају квантни скок у разумевању суперсоничних токова у

млазнику. Посматран заједно са де Лаваловим делом, Стодолин рад представља оригиналну историјску

потпору за материју изложену у овом поглављу. Штавише овај рад је убрзо искористио Прантл у

Гетингену који је успео да направи драматичне шлиренове фотографије у надзвучној струји кроз

млазник, као што је описано у поглављу 4.15.

Стодола је умро у Цириху 25. децембра 1942. у 83. години. За свог живота постао је водећи светски

стручњак за парне турбине, а његови студенти су швајцарске компаније за израду парних турбина

унапредили у интернационалне лидере у тој области.

ЗАДАЦИ

5.1 Суперсонични ваздушни тунел пројектован је да допреми струју у мерну секцију при М=2,4 за

стандардне атмосферске услове. Израчунати:

125

а) однос излазне површине и површине пресека грла млазника

б) притисак и температуру у резервоару.

5.2 Притисак у резервару за суперсонични ваздушни тунел је 10 bar. Питова цев је убачена мерну секцију

и показује притисак 0,627 bar. Израчунати Махов број и површину у мерној секцији.

5.3 Притисак у резервару за суперсонични ваздушни тунел је 5 bar. Сонда за мерње статичког притиска

помера се дуж осе млазника, и узимају се вредности за различите положаје. За следеће измерене

вредности израчунати Махове бројеве и односе површина.

а) 4 bar б) 2,64 bar ц) 0,5 bar

5.4 Размaтрa се чисто субсонично струјање у конвергентно-дивергентном млазнику. Површине на улазу,

у грлу и на излазу су редом 21 m , 20,7 m и 20,85 m . Ако је улазни Махов бриј 0,3 и притисак 80000 Ра,

израчунати:

а) М и p у грлу млазника

б) М и p на излазу из млазника.

5.5 Размaтрa се субсонично струјање кроз конвергентну цев са односом побршина 2 1

A A 1,7= . Ако је на

улазу Т=300 К и 250 m sv = а на излазу је притисак р2=1 bar. Израчунати:

а) Притисак на улазу р1

б) Брзину на излазу v2.

5.6 Масени проток за енергијски идеалан гас кроз пригушни млазник дат је једначином:

( )( )1 1

0

0

2

1

p Am

RT

κ κκ

κ

+ −∗

= +

�

Извести дату једначину.

5.7 Када су резервоарски притисак и температура за суперсонични ваздушни тунел 15 bar и 750 К,

масени проток је 1,5 kg s . Ако се услови у резервоару промене у 0

20 barp = и T0=600 K, израчунати

масени проток.

5.8 Прост аеродинамички модел у облику вретена смештен је у испитни ваздушни тунел. У тунелу су:

резервоарски притисак 10 bar и температура 1000 К. Однос површина попречnог пресека на излазу и у

грлу млезника је 2,5. Израчунати притисак и температуру у зауставној тачки на моделу.

5.9 Размaтра се пример равне плоче постављене у испитном ваздушнм тунелу. Плоча је нагнута под

углом од 10° у односу на струју, статички притисак на врху плоче је 10 bar. Површина млазника и грлa је

0,05 m2 и 0,0844 m

2. Израчунати резервоарски притисак за тунел.

5.10 Разматра се суперсонични млазник са Питовом цеви на излазу. Резервоарски притисак и

температура су 10 bar и 500 К. Птитисак мерен Питовом цеви је 0,6172 bar. Површина грла млазника је

0,3 m2. Израчунати:

а) Махов број на излазу Ме

б) Површину излазног пресека Ае

ц) Притисак и температуру на излазу ре и Те

д) Масени проток кроз млазник.

5.11 Разматра се конвергентно-дивергентнa цев са излазном површином 0,5 m2 и површином у грлу 0,25

m2. Улазни резервоарски притисак је 1 bar, а статички притисак на излазу је 0,6 bar. За овај однос

126

притисака, струјање ће бити суперсонично, до пoјаве нормалног удара у млазнику. Израчунати однос

површина ( )A A∗ ако се удар јавља унутар млазника.

5.12 Разматра се суперсонични ваздушни тунел где је однос површина у млазнику Ae/Ag1=104,1.

Површина грла у млазнику је Ag1=10 cm2. Израчунати минималну површину грла дифузора Ag2, која

дозвољава да струјање почне.

5.13 На излазу дифузора суперсоничног ваздушног тунела који испушта cтрују директно у атмосферу,

Махов број је веома мали ( 0,1≈ ). Резервоарски притисак је 1,8 bar, а у мерној секцији Махов број је 2,6.

Израчунати ефикасност дифузора ηD.

5.14 Струјање кроз млазник је суперсонично, однос површина на излазу и у грлу је 10, p0=10 bar, спољни

притисак је РВ=0,04 bar. Израчунати θ, угао скретања флуидне струје непосредно иза излазне ивице

млазника.

5.15 Разматра се један облик ударног таласа за М1=4 и β=50°. Овај ударни талас се јавља у слоју

константног притиска, како је приказано на слици 5.20. За то струјање низструјно од рефлектованог

експанзионог таласа израчунати, Махов бој М3 и правац струјања уструјно у односу на удар.

127

ШЕСТО ПОГЛАВЉЕ

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ ОДРЖАЊА ЗА НЕВИСКОЗНО

СТРУЈАЊЕ

Информације потребне пројектантима летилица или струјних машина су притисак,

тангенцијални напони, температура и вектор топлотног флукса који делује на флуид који

струји преко површине одређеног чврстог тела или који делује на тела у флуидној струји

под одређеним условима. Долазак до ових информација је главни задатак динамике гасова

као дисциплине.

Х.С. Циен, 1953 (H.S. Tsien)

6.1 УВОД

Анализа проблема у динамици флуида захтева три примарнa корака:

1. Одређивање моделa флуида.

2. Примену основних физичких принципа на овај модел у циљу добијања одговарајућих

математичких једначина које обухватају ове принципе.

3. Коришћење добијених једначина за решавање специфичних проблема од интереса.

У поглављу 2, изабрани модел флуида била је контролна запремина. Oсновни принципи конзервацијe

масе, Други Њутнов закон и закон одржања енергије примењени су на коначану контролу запремину да

би се добио интегрални облик једначина одржања. Затим су ове једначине примењенe на одређене

проблеме у поглављима 3, 4 и 5. Ове примене биле су такве да су интегралне једначине одржања на

једноставан начин свођене на алгебарске једначине које описују величине у различитим струјним

пресецимa. Међутим, сада се у нашем проучавању компресибилног струјања пењемо на вишу лествицу,

где већина претходних алгербaрских једначинa није више применљива. Ускоро ћемо се бавити

проблемима нестационарног струјања, као и струјањима у две или три димензије. У тим случајевима,

интегрални облици једначина одржања из поглавља 2 морају бити примењене на блиску околину која

окружује тачку у струји, и добијају се диференцијалне једначине које описују струјне величине у овим

тачкама. Да би се ова анализа убрзала, користићемо се следећим идентитетима

( )d dA V

f A f V= ∇ ⋅∫ ∫� ��

(6.1)

( )d dA V

f A f V= ∇∫ ∫�

(6.2)

где су f�

и f векторска и скаларна функција времена и простора, а V је контролна запремина оивичена

контролном површином А, као што је приказано на слици 2.3.

6.2 ЗАКОНИ КОНЗЕРВАЦИЈЕ У ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОМ ОБЛИКУ

Једначина континуитета

Једначина (2.2) је полазна основа

128

d dA V

v A Vt

ρρ

∂− =

∂∫ ∫

��

и коришћењем једначине (6.1) у облику

d ( dA V

( v ) A v ) Vρ ρ− = ∇∫ ∫�� �

(6.3)

комбинацијом једначина (2.2) и (6.3) добија се

d 0V

( v ) Vt

ρρ

∂+ ∇ =

∂∫

� (6.4)

Могло би се расправљати о томе да ли контролна запремина може да се изабере на такав начин да у

неким специјалним случајевима интеграцијом једначине (6.4) преко једног дела запремине може да се

избегне интеграција преко преосталог дела запремине, добијајући нулу на десној страни једначине.

Међутим, контролна запремина је произвољног облика и величине, и у општем случају једначина (6.4)

може да задовољи уколико је подинтегрална вредност једнака мули у свакој тачки запремине. Стога је

( ) 0p

vt

ρ∂

+ ∇ =∂

� (6.5)

Једначина (6.5) је диференцијални облик једначине континуитета.

Једначина о промени количине кретања

Ради једноставнијег праћења, поново ће се написати једначина (2.11)

( )( )d d d d

V A V A

vf V p A V v A v

t

ρρ ρ

∂− = + ⋅

∂∫ ∫ ∫ ∫�� � �� �

и коришћењем (6.2) у облику

( )d dA V

p A p V= ∇∫ ∫�

(6.6)

комбинацијом (2.11) и (6.6) добија се

( )( )d d d d

V V V A

vf V p V V v A v

t

ρρ ρ

∂− ∇ = + ⋅

∂∫ ∫ ∫ ∫�� �� �

. (6.7)

Једначина (6.7) је векторска једначина; ради прегледности размотриће се Декартове скаларне компоненте

у x, y и z правцу (видети слику 2.3). Компонента х једначине (6.7) је

( )( )d d d dx

x x

V V V A

vpf V V V v A v

x t

ρρ ρ

∂∂− = + ⋅

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫��

(6.8)

Међутим, из једначине (6.1)

( ) ( ) ( )d d dx x x

A A V

v A v v v A v v Vρ ρ ρ⋅ = = ∇∫ ∫ ∫� �� � �

(6.9)

замењујући једначину (6.9) у (6.8)

( )( )

d 0x

x x

V

vpf v v V

x t

ρρ ρ

∂∂ − − − ∇ = ∂ ∂

∫�

(6.10)

Из истог разлога користећи једначину (6.5) из једначине (6.4), и (6.10) следи

( )( )x

x x

v pv v f

t x

ρρ ρ

∂ ∂+ ∇ = − +

∂ ∂

� (6.11)

Једначина (6.11) је диференционални облик једначине о промени количине кретања у правцу x осе.

Аналогно томе y и z компоненте су

129

( )( )y

y y

v pv v f

t y

ρρ ρ

∂ ∂+ ∇ = − +

∂ ∂

� (6.12)

( )( )

zz z

v pv v f

t z

ρρ ρ

∂ ∂+ ∇ = − +

∂ ∂

� (6.13)

Енергијска једначина

Поновним коришћењем енергетске једначине (2.20)

( )2 2

d d d d d2 2

V A V V A

v vq V pv A f v V u V u v A

tρ ρ ρ ρ

∂− ⋅ + ⋅ = + + + ⋅

∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

�� �� � ��

и коришћењем једначине (6.1) у облику

2 2

d d2 2

A V

v vu v A u v Vρ ρ

+ ⋅ = ∇ +

∫ ∫

�� � (6.14)

и

( ) ( )d dA V

v A v v Vρ ρ⋅ = ∇∫ ∫�� � �

(6.15)

комбинацијом једначина (2.20), (6.14) и (6.15) добија се

( ) ( )2 2

d 02 2

V

v vq pv f v u u v V

tρ ρ ρ ρ ∂

− ∇ ⋅ + ⋅ − + − ∇ ⋅ + = ∂

∫�� � �

� (6.16)

Изједначавањем интеграла са нулом, добијамо

( ) ( )2 2

2 2

v vu u v pv q f v

tρ ρ ρ ρ ∂

+ + ∇ ⋅ + = −∇ ⋅ + + ⋅ ∂

�� � �� (6.17)

Једначина (6.17) је диференцијални облик енергијске једначине.

Закључак

Једначине (6.5), (6.11) до (6.13) и (6.17) су опште једначине које се примењују у било којој тачки у

нестационарној тродимензионалној струји компресибилног флуида. Оне су нелинеарне парцијалне

диференцијалне једначине, и садрже све физичке информације и значај интегралних једначина из којих

су изведене. Дословно, до краја ове књиге, биће коришћени такви диференцијални облици основних

једначина конзервације. Такође треба приметити да ове једначине садрже дивергентне изразе величина

као што су ( ) ( )2, , , и 2 dx y z

A

v v v v v v v u v v A vρ ρ ρ ρ ρ + ⋅∫�� � � � � �

. Из тог разлога се каже да су ово дивергентни

облици једначина. Такав облик једначина такође се назива и конзервативни облик јер оне директно

произилазе из интегралних конзервативних једначина примењених на контролну запремину која мирује

у простору. Међутим користе се и други облици тих једначина који ће се извести у поглављима 6.3 и 6.4.

6.3 ТОТАЛНИ ИЗВОД

Разматра се флуидни делић који се креће кроз Декартов координатни систем, као што је приказано на

слици 6.1а и 6.1б. Осе x, y, и z у овом примеру су непомичне у простору. Слика 6.1а показује да је

130

флуидни делић у тачки 1 у тренутку t = t1 , а слика 6.1б показује исти флуидни делић у тачки 2 у

струјном пољу у неком каснијем временском тренутку t2. Кроз простор (x, y, z), брзина поља је дата:

x y zv v i v j v k= + +�� ��

где су:

( )

( )

( )

, , ,

, , ,

, , ,

x x

y y

z z

v v x y z t

v v x y z t

v v x y z t

=

=

=

са , иi j k�� �

као јединичним векторима у x, y и z правцу. Додаје се и густина поља која је дефинисана са:

( ), , ,x y z tρ ρ=

У тренутку t1, густина флуидног делића је ( )1 1 1 1 1, , ,x y z tρ ρ= . У тренутку t2 густина истог флуидног

делића je ( )2 2 2 2 2, , ,x y z tρ ρ= . Пошто је ( ), , ,x y z tρ ρ= , ова функција може да се развије у Тејлоров ред у

околини тачке 1 на следећи начин:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 11

изводи вишег редаx x y y z z t tx y z t

ρ ρ ρ ρρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + − + − +

∂ ∂ ∂ ∂

Слика 6.1 Илустрација тоталног извода (xyz фиксирани коордирани систем у простору и флуидни делић

који се помера од тачке 1 до тачке 2)

Делењем са ( )2 1t t− и изостаљањем чланова вишег реда следи

( )( )

( )( )

( )( )

2 1 2 1 2 12 1

2 1 2 1 2 1 2 11 1 11

x x y y z z

t t x t t y t t z t t t

ρ ρ ρ ρ ρ ρ− − − − ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +

− ∂ − ∂ − ∂ − ∂ . (6.18)

Треба имати на уму физички смисао леве стране једначине (6.18). Вредност ( )2 1ρ ρ− је промена густина

од одређеног флуидног елемента који се помера од тачке 1 до тачке 2. Величина ( )2 1t t− је време

131

потребно да овај одређени флуидни делић стигне из тачке 1 у тачку 2. Ако би сад t2 тежило t1 добија се

гранична вредност

2 1

2 1

2 1

dlim

dt t t t t

ρ ρ ρ→

−=

−

која постаје тренутна временска промене густине одређеног флуидног делића док се креће кроз тачку 1.

Ова вредност записује се изразом d dtρ . Приметите да је d dtρ брзина промене густине за дати

флуидни делић док се креће кроз простор. Овде се фокусирамо на флуидни делић док се креће. То је

физички другачије од 1( )tρ∂ ∂ , што представља временску промену густине у фиксираној тачки 1. За

1( )tρ∂ ∂ фокусирамо се на непокретну тачку 1 и посматрамо промену густине због прелазних

флуктуација у струјном пољу. Према томе d dtρ и tρ∂ ∂ су физички и бројчано другачије вредности.

Настављајући са тражењем граничних вредности и подсећајући се да пратимо дати флуидни делић,

следи:

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

lim

lim

lim

xt t

yt t

zt t

x xv

t t

y yv

t t

z zv

t t

→

→

→

−≡

−

−≡

−

−≡

−

Дакле враћамо се у једначину (6.18) и тражимо граничну вредност када 2 1t t→ , добија се

d

dx y zv v v

t x y z t

ρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂.

Из горње једначине може се дефинисати:

( )d

dx y zv v v v

t t x y z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂≡ + + + = + ⋅∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� (6.19)

као тотални извод. Брзина промене у времену било које вредности која је у вези са одређеним покретним

флуидним делићем дата је тоталним изводом. Нпр:

( )d

dx y z u

u u u u u uv v v v

t t x y z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + = + ⋅∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

�

где је d du t брзина промене унутрашње енергије по јединици масе флуидног делића док се креће кроз

тачку у струјном пољу, u t∂ ∂ је локална временскапромена у тачки, а:

x y z

u u uv v v

x y z

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

је конвективна промена. Поново, физички, особине флуидног делића мењају се док се креће кроз тачку у

струји јер само струјно поље може да флуктуира са временом (локални извод) и јер флуидни делић је

једноставно на свом путу ка другој тачки у струјном пољу где су својства различита (конвективна

промена).

132

6.4. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ НЕКОНЗЕРВАТИВНОГ ТИПА

Једначина континуитета

Враћањем на једначину (6.5) и проширивањем израза за дивергенцију (подсећајући се векторског

идентитета ( )aB a B B a∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∇� � �

, где је а скалар, а B�

вектор), имамо

0v vt

ρρ ρ

∂+ ∇ ⋅ + ⋅∇ =

∂

� � (6.20)

Прегруписавањем се добија

( ) 0v vt

ρρ ρ

∂+ ⋅∇ + ∇ ⋅ =

∂

� � (6.21)

Уврштавањем номенклатуре једначине (6.19) у (6.20)

d

0d

vt

ρρ+ ∇ ⋅ =�

(6.22)

Једначина (6.22) је алтернативни облик једначине континуитета (6.5). Физички, једначина (6.22) нам

говори да је маса флуидног делића, сачињеног од непроменљивог броја честица (молекула и атома),

константна док се флуидни делић креће кроз простор. [Код хемијски реактивног струјања, може се

сматрати да је флуидни делић састављен од непроменљивог броја електрона и језгара иако се број

молекула и атома може повећавати или смањивати у зависности од хемијске реакције; упркос томе,

једначина (6.22) ће важити за хемијски реактивно струјање.]

Једначина о промени количине кретања

Враћањем на једначину (6.11) и поновним проширивањем израза за дивергенцију и извода по времену,

( )xx x x x

v pv v v v v f

t t x

ρρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂+ + ∇ ⋅ + ⋅∇ = − +

∂ ∂ ∂

� � (6.23)

Множећи са vx добија се:

( ) 0.x xv v vt

ρρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂

� (6.24)

Одузимајући једначину (6.24) од (6.23)

xxxv

v pv f

t xρ ρ ρ

∂ ∂+ ⋅∇ = − +

∂ ∂

� (6.25)

и користећи тотални диференцијал дат у једначини (6.19) следи,

d

d

xx

v pf

t xρ ρ

∂= +

∂ (6.26)

Сличним поступком за једначине (6.12) и (6.13), имамо

d

d

y

y

v pf

t yρ ρ

∂= − +

∂ (6.27)

.d

d

zz

v pf

t xρ ρ

∂= − +

∂ (6.28)

У векторском облику, једначине од (6.26) до (6.28) могу се написати као

133

d

d

vp f

tρ ρ= ∇ +

� � (6.29)

Једначине од (6.26) до (6.29) представљају различите облике Ојлерове једначине, која је алтернативни

облик једначине о промени количине кретања дате у једначинама од (6.11) до (6.13). Физички Ојлерова

једначина је у ствари други Њутнов закон, F ma=� �

, примењен на покретни флуидни делић

непроменљиве масе.

Енергијска једначина

Проширивањем једначине (6.17) добија се

( ) ( ) ( )

2

2 2 2( )2 .

2 2 2

vu

v v vu u v v u pv q f v

x t

ρρ ρ ρ ρ ρ

∂ + ∂+ + + + ∇ ⋅ + ⋅∇ + = −∇ ⋅ + + ⋅

∂ ∂

�� � � �� (6.30)

Други и трећи члан једначине (6.30), користећи једначину континуитета (6.5), дају

( ) ( )2 2

0 02 2

v vu v u

t

ρρ

∂ + + ∇ ⋅ = + = ∂

�

Према томе, заједно са номенклатуром тоталног извода, једначина (6.30) постаје

( ) ( )2d( / 2)

d

u vpv q f v

tρ ρ ρ

+= −∇ ⋅ + + ⋅

�� �� (6.31)

Једначина (6.31) је алтернативан облик енергијске једначине дат у једначини (6.17). Једначина (6.31) је

физички израз првог закона термодинамике примењеног на одређени покретни флуидни делић; међутим,

треба приметити да је, за покретан флуид, енергија тотална енергија, 2 / 2u v+ , тј. збир унутрашње и

кинетичке енергије по јединици масе.

Енергијска једначина је полиморфна - може се написати у различитим облицима са којима ће се пре или

касније срести у литератури. Због тога их је важно издвојити. На пример, нека се једначина (6.31) изрази

у функцији унутрашње енергије u. Посматра се лева страна једначине (6.31),

2 2d( / 2) d d( / 2) d d( ) d d

d d d d 2 d d d

u v u v u v v u vv

t t t t t t t

ρρ ρ ρ ρ ρ ρ

+ ⋅= + = + = +

� � ��

(6.32)

Узимајући у обзир први члан са десне стране једначине (6.31)

( )pv p v v p∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∇� � �

(6.33)

заменом једначина (6.32) и (6.33) у (6.31) добија се:

( )d d.

d d

u vv p v v p q f v

t tρ ρ ρ ρ+ = − ∇ ⋅ − ⋅∇ + + ⋅

� �� � � �� (6.34)

Множећи векторски облик Ојлерове једначине (6.29) са вектором брзине v�

:

d

( )d

vv v p p f v

tρ ⋅ = − ⋅∇ + ⋅

� �� � � (6.35)

и одузимањем једначине (6.35) од (6.34) следи

d

.d

up v q

tρ ρ= − ∇ ⋅ +

�� (6.36)

134

Једначина (6.36) је још један облик енергијске једначине која показује брзину промене унутрашње

енергије покретног флуидног делића.

Сада ће се извести енергијска једначина у функцији енталпије. Према дефиницији енталпије,

/h u pv u p ρ= + = +

следи

d d d( / )

.d d d

h u p

t t t

ρ= +

Прегруписавањем

2

d d d( / ) d (d / d ) (d / d )

d d d d

u h p h p t p t

t t t t

ρ ρ ρ

ρ

−= − = −

па је

2

d d 1 d d

d d d d

u h p p

t t t t

ρ

ρ ρ= − + (6.37)

Позивајући се на једначину (6.22), где је

d

dv

t

ρρ= − ∇ ⋅�

(6.38)

Комбинујући једначине (6.39) и (6.36)

d d 1 d

d d d

u h p pv

t t tρ ρ= − − ∇ ⋅

�. (6.39)

Заменом једначине (6.39) у (6.36) добија се

d d

d d

h pq

t tρ ρ= + � (6.40)

Једначина (6.40) је алтернативни облик енергијске једначине који представља промену статичке

енталпије покретног флуидног делића.

Сада ће се извести облик енергијске једначине у функцији тоталне енталпије h0=h+v2/2. Сабирањем

једначина (6.31) и (6.40) добија се:

( ) ( )2d( / 2) d

2d d

u v ppv q f v

t tρ ρ ρ

+= −∇ ⋅ + + + ⋅

�� �� (6.41)

Имајући на уму да је

d

d

p pv p

t t

∂= + ⋅∇

∂

�

и одузимањем једначине (6.36) од (6.41), следи

( )( ) ( )

( )

2d 2

d

h v ppv v p q f v

t t

pp v v p v p p v q f v

t

ρ ρ ρ

ρ ρ

+ ∂= −∇ ⋅ + + ⋅∇ + + ⋅

∂

∂= − ∇ ⋅ − ⋅∇ + + ⋅∇ + ∇ ⋅ + + ⋅

∂

�� � ��

�� � � � ��

(6.42)

потирањем сабирака у (6.42) и увођењем h0=h+v2/2, добија се

135

( )0d

d

h pq f v

t tρ ρ ρ

∂= + + ⋅

∂

� �� . (6.43)

Од свих алтернативних облика енергијске једначине изведених до сада, једначина (6.43) вероватно је

најкориснија и физички најјаснија. Она каже да тотална енталпија покретног флуидног делића у

невискозној флуидној струји може да се мења услед:

1. нестационарног струјања, тј. 0p t∂ ∂ ≠

2. преноса топлоте, тј. 0q ≠�

3. сила које делују, тј. 0f v⋅ =� �

.

Као што се раније видело, мн ρ оги невискозни проблеми у компресибилном струјању, такође су и

адијабатски без дејства сила. У том случају, једначина (6.43) постаје

0d

d

h p

t tρ

∂=

∂. (6.44)

Узимајући да је струјање и стационарно, једначина (6.44) постаје

0d0

d

h

tρ =

чијом се интеграцијом добија

0

h const.= (6.45)

Једначина (6.45) важан је резултат за невискозно, стационарно адијабатско струјање без дејства

спољашњих сила, тотална енталпија је константна дуж дате струјнице. Ово се може и интуитивно

наслутити; такође је наговештено резултатима за стационаран ударни талас у поглављима 3 и 4, као и

стационарним адијабатским струјањем кроз цевоводе, обрађеним у поглављу 5, где је тотална енталпија

константна кроз флуидну струју. Једначина (6.45) важи само дуж струјнице јер су се претходне једначине

односиле на покретан флуидни делић који се креће дуж струјнице. Међутим, ако посматрано струјно

поље потиче из резервоара са једнаком тоталном енталпијом, као што је слободна струја далеко испред

тела које се креће кроз атмосферу, тада тотална енталпија има исту вредност за све струјнице, те

једначина (6.45) важи кроз целокупно струјно поље. Коначно, примећује се да је једначина (6.45)

једноставан алгебарски израз фундаменталног физичког резултата који важи без обзира на комплексност

геометрије струјног поља. Иако једначина континуитета и једначина о промени количине кретања морају

да се решавају као парцијалне диференцијалне једначине, енергијска једначина може да се користи у

облику (6.45), при датим ограничењима. Ово ће се показати као изразито корисно у даљим

разматрањима.

Извешће се још један облик енергијске једначине. Решавањем једначине (6.22) по v∇ ⋅�

, добија се

1 d

dv

t

ρ

ρ∇ ⋅ = −�

(6.46)

Замном једначине (6.46) у (6.36)

d d

d d

u pq

t t

ρρ ρ

ρ= + � (6.47)

и имајући у виду да је 1 ρ υ= , а тиме и

2

d 1 d

d dt t

ρ υ

υ= −

једначина (6.47) постаје

d d

d d

up q

t t

υρ ρ ρ= − + �

136

d d

0d d

up q

t t

υρ

+ − =

�

d d

0d d

up q

t t

υ+ − =� (6.48)

Поређењем једанчине (6.48) и првим законом термодинамике датим једанчином (1.25), може се видети да

су оне идентичне. Међутим, у једначини (6.48) промене унутрашње енергије и специфичне запремине

дешавају се у покретном флудном делићу, те су диференцијалне промене du и dυ у једначини (1.25)

физички замењене тоталним изводима du/dt и dυ/dt. Заиста, једначина (6.48) могла је бити директно

изведена применом једначине (1.25) на покретан флуидни делић. Уместо тога, изабрано је да се

једначина (6.48) изведе из доследног развоја опште енергијске једначине за покретан флуид, једначина

(6.31), где је препознато да је енергија флуида збир унутрашње и кинетичке енергије. Током извођења,

добијен је прилично запањујућ физички резултат - унутрашња и кинетичка енергија покретног флуидног

делића може се раздвојити на такав начин да први закон написан искључиво у функцији унутрашње

енергије заиста се примењује само на покретан флуидни делић, као што је доказано у једначини (6.48).

Закључак

Све једначине изведене у овом поглављу називају се неконзервативни типови важећих једначина. Оне

обухватају промене флуидних својстава датог флуидног делића док се он креће кроз струјно поље, и

стога садрже тоталне изводе. Ово је у супротности са конзервативним типовима једначина, изведеним у

поглављу 6.2, где су добијени облици са аспекта контролне запремине која мирује у простору. Оба типа

важећих једначина - конзервативна и неконзервативна - једнако су валидни описи карактериситка

струјног поља у функцији простора и времена. Питање избора типа једначине понекад је ствар личног

нахођења; међутим, у неким применама у рачунарској динамици флуида, један тип једначина покаже се

као бољи, у зависности о каквом се проблему ради (видети поглавља 11,12 и 13). Стога треба прегледати

ове једначине довољно пажљиво да би се у лако сналазили у оба типа једначина.

6.5 ЈЕДНАЧИНА ЕНТРОПИЈЕ

Разматра се комбиновани облик првог и другог закона термодинамике, дат у једначини (1.30) На основу

поглавља 6.4, оправдана је употреба једначине (1.30) директно на флуидни делић у покрету, која узима

облик

d d d

d d d

s uT p

t t t

υ= +

(6.49)

Једначина (6.49) је једноставно названа једначина ентропије и генерално се употребљава за

неадијабатско вискозно струјање. Међутим, за невискозни адијабатски проток, једначина (6.48) нам

говори да

d d

0d d

up

t t

υ+ = (6.50)

Комбинацијом једначина (6.49) и (6.50) имамо

d

0d

s

t= (6.51)

или

s const= (6.52)

Једначине (6.51) и (6.52) нам говоре да елемент флуида који је у покрету има константну ентропију. Ако

је проток стабилан, ентропија је константна дуж тока у адијабатском, невискозном протоку. Штавише,

ако проток потиче из резервоара константне ентропије, као слободан и то далеко испред тела у покрету,

137

свака дуж тока има једнаку вредност ентропије, отуда једначина (6.52) држи широм комплетну област

тока. Напомена да су једначине (6.51) и (6.52) важеће и за стабилан и за нестабилан ток.

За решење већине проблема у компресибилном току једначине континуитета, једначине момента и

једначине енергије су довољне; једначина ентропије није потребна сем за израчунавање смера у који дат

процес може да се догађа. Међутим, за изентропске токове, једначине (6.51) или (6.52) су често погодне и

могу да се користе да замене једначину енергије или једначину момента. Ова предност ће бити

демонстрирана у даљој дискусији.

6.6 КРОКОВА ТЕОРЕМА: РЕЛАЦИЈА ИЗМЕЂУ ТЕРМОДИНАМИКЕ И

КИНЕМАТИКЕ ФЛУИДА КОМПРЕСИБИЛНОГ ТОКА

Поново се разматра флуидни делић који се креће кроз струјно поље. Кретање флуидног делића је и

транслаторно и ротационо. Транслаторно кретање је означено брзином v�

. Ротационо кретање је оначено

угаоном брзином ω�

. У било којој литератури из области основа механике флуида може се видети да је

2 rotv vω = ∇ × =� � �

; отуда је вртложење поља брзине у било којој тачки мера ротације флуидног делића у

тој тачки. Величина v∇×�

је означена као вртлог; вртлог је једнако двострукој угаоној брзини.

У овом делу ће се извести веза између вртлога флуида (кинематско својство флуида) и одговарајућих

термодинамичких особина. За почетак, узима се Ојлерова једначина (6.29) без дејства спољашњих

запреминских сила,

d

d

vp

tρ = −∇

�

(6.53)

Развијањем тоталног извода, једначине (6.53) постаје

( )v

v v pt

ρ ρ∂

+ ⋅∇ = −∇∂

�� �

. (6.54)

Позовимо се на комбинацију првог и другог закона термодинамике у облику једначине (1.32). Услед

промена у тродимензионалном простору, диференцијали у једначини (1.32) могу бити замењени

оператором - градијентом,

p

T s h p hυρ

∇∇ = ∇ − ∇ = ∇ − (6.55)

Комбинацијом једначина (6.54) и (6.55),

( )1 v

T s h v vt

ρ ρρ

∂ ∇ = ∇ − − − ⋅∇ ∂

�� �

или

( )v

T s h v vt

∂∇ = ∇ + + ⋅∇

∂

�� �

. (6.56)

Међутим из дефиниције тоталне енталпије,

2

2o

vh h= −

следи

2

2o

vh h

∇ = ∇ − ∇

(6.57)

Заменом једначине (6.57) у (6.56):

138

( )2

2o

v vT s h v v

t

∂∇ = ∇ − ∇ + + ⋅∇

∂

�� �

(6.58)

Користећи идентитет вектора

( ) ( )2

2

vv v v v

∇ − ⋅∇ = × ∇×

� � � �

једначина (6.58) постаје

( )o

vT s h v v

t

∂∇ = ∇ − × ∇× +

∂

�� �

(6.59)

Једначина (6.59) се зове Крокова теорема, јер је први до ње дошао Л. Кроко (L. Crocco) 1937. године у

часопису назива "Eine neue Stromfunktion fur die Erforschung der Bewegung der Gasе mit Rotation", Z.

Angew. Math. Mech. vol.17, 1937.pp.1-7.

За стационарно струјање Крокова теорема постаје

( )oT s h v v∇ = ∇ − × ∇×� �

(6.60)

Треба имати на уму да једначине (6.59) и (6.60) важе за невискозно струјање без спољашњих

запреминских сила.

Сређивањем једначине (6.60), добија се

( )� �

вртложење

o

градијетградијент тоталнеенталпијеенталпије

v v h Т s× ∇× = ∇ − ∇� �

����� (6.61)

Једначина (6.61) има важну физичку интерпретацију. Када стационарно струјно поље тока има

градијенте тоталне енталпије и/или ентропије, једначина (6.61) показује да је поље ротационо.Ово има

практичне последице у струји иза закривљеног ударног таласа, као што је скицирано на слици 4.23. У

области 1 испред закривљеног удара, све струјнице у униформној слободној флуидној струји имају исту

тоталну енталпију, 2

1 / 2oh h v∞ ∞= + . Кроз стационарни ударни талас тотална енталпија се не мења;

одатле у области 2 иза удара, 2 1o oh h= . Зато, све струјнице у струји иза удара имају исту тоталну

енталпију; према томе иза удара 0o

h∇ = . Међутим на слици 4.23 струјница (б) пролази кроз снажнији

део закривљеног удара и отуда долази до значајнијег повећања ентропије него код струјнице (д), која

пролази кроз слабији део удара. Одатле је у области 2, 0s∇ ≠ . Због тога из Крокове теореме као што је

дато у једначини (6.61) важи, ( ) 0v v× ∇× ≠� �

иза удара. Дакле,

0v∇× ≠ иза удара

Може се рећи да Крокова теорема показује да је струјно поље иза закривљеног ударног таласа

ротационо. То је неповољно, јер су ротациона поља тока битно тежа за анализу од струјања без

ротације. Ускоро ће у потпуности моћи да се цени ова тврдња.

6.7 РЕЗИМЕ

Ово поглавље, иако може изгледати на први поглед као представљање једначина без практичне примене,

веома је важно за даљу дискусију. Зато би све поменуте једначине требало добро да познајемо и да

знамо како су оне изведене. Стога, пре него што наставимо са следећим поглављем, нађите времена да

поново прочитате ово поглавље, све док вам се једанчине добро не утисну у памћење.

139

Једначине у овом поглављу описују опште нестационарно, тродимензионално струјање невискозног

компресибилног флуида. То су нелинеарне парцијалне диференцијалне једначине. Штавише, једначине

континуитета, промене количине кретања и енергијска једначина морају се истовремено решавати. За ове

једначине не постоји опште решење. Њихово решавање за дате проблеме (односно за дате граничне

услове) представља основне напоре у теоријској динамици гасова и аеро динамици током половине

прошлог века. Ови напори и даље трају.

Током историје, обзиром да није нађено опште решење ових нелинеарних једначина у затвореном

облику, једначине су се линеаризовале постављањем претпоставки које су водиле до њиховог

упрошћавања. Заузврат, линеаризоване једначине, могу бити решене постојећим аналитичким

техникама, те иако поједностављене, дају драгоцене информације о неким специјалним проблемима који

се разматрају. Ово ће бити описано у поглављу 9.

Такође, историјски посматрано, било је неколико специфичних проблема који су успешно довели до

решења важећих нелинеарних једначина. Нестационарни једнодимензијски експанзиони таласи

размотрени у поглављу 7, и опструјавање око оштрог конуса при нултом нападном углу у поглављу 10,

два су таква примера. Чак и ова решења захтевају један вид ограничених нумеричких техника.

Последњих година, развијањем савремених рачунара, пружена је нова диманзија за решавање проблема

компресибилног стујања. Са оваквим компијутерима, метод карактеристика, тачна нумеричка метода

која је је марљиво примењивана ручно 1930-их, четрдесетих и педесетих година, сада се рутински

примењује за решавање многих проблема компресибилног струјања. Метод карактеристика за

нестационарну једнодиманзијско струјање, биће размотрена у поглављу 7, а у дводимензионално и

тродимензионално струјања у поглављу 11. Али главни утицај рачунара био је примена решења

коначних разлика на нелинеарне важеће једначине, за целу за целу серију важних проблема; ти методи

коначних разлика биће представљени у поглављима 11, 12 и 14. Развијање рачунарске динамике флуида

отворило је нове могућности за решавање проблема струјања компресибилних флуида, а једна од сврха

ове књиге јесте представљање нових приступа у оквиру ове теме.

6.8 ИСТОРИЈСКИ ЗАПИС: РАНО ИСТРАЖИВАЊЕ КОНЗЕРВАТИВНИХ

ЈЕДНАЧИНА

У својим принципима из 1687. године, Исак Њутн посветио је целу другу књигу на проучавање механике

флуида. До неке мере постојао је практичан разлози Њутновог интересовања за струјање флуида -

Енглеска је постала главна поморска сила за време владавине краљице Елизабете и њен растући

економски утицај проширио се светом захваљујући трговачким бродовима. Последично, у времену када

је Њутн поставио темеље рационалне механике, постојао је јак практичан интерес за прорачун отпора

трупова бродова при њиховом кретању кроз воду, са коначним циљем да се поправи конструкција брода.

Међутим, анализа струјања флуида много је сложенија од од динамике чврстог тела; чврсто тело је

обично геометријски потпуно дефинисано и стога је његово кретање релативно лако описати. С друге

стране, флуид је "житка" супстанца и у Њутново време било је тешко и одлучити се како да се

квалитативно моделује његово кретање, а камоли да се добију кванитативне зависности. Као што ће бити

детаљније објашњено у поглављу 12.4, Њутн је сматрао флуидну струју униформним, праволинијским

током честица, налик на облак ситних честица настао при пуцању из ватерног оружја. Њутн је

претпоставио да ће при наиласку на површину нагнуту под углом θ у односу на струју, честице предати

своју нормалну компоненту количине кретања површини, док ће тангенцијална компонента количине

кретања бити очувана. Отуда, након судара са површином четице ће наставити да се крећу по површини.

Као што ће бити изведено у поглављу 12.4 ово доводи до израза за хидродинамичку силу на површини

која зависи од sin2θ. Ово је познати Њутнов "синусно-квадратни" закон; међутим, његова тачност била је

далеко од жељене, а физички модел био је далеко од одговарајућег. Заиста, тако је било све до појаве

140

хиперсоничног аеродинамичког модела током 1950-их година када је Њутнов "синусно-квадратни" закон

могао да се искористи у средини где би се довољно приближно постигао Њутнов физички модел. Ово је

детаљније описано у поглављима 12.4 и 12.9. Међутим, Њутнови напори током седамнаестог века

представљају прву сврсисходнију анализу динамике флуида, која је била подстицај истраживањима

других научника.

Научна дисциплина која се бави динамиком флуида, процветала је под утицајем Данијела (Daniel) и

Јохана (Johann) Бернулија (Bernoulli), а нарочито кроз рад Леонарда Ојлера (Leonhard Euler) у периоду од

1730.-1760. године. Ojler је поседовао велика знања у овој области која су му омогућила да представи

кретање флуида као кретање мноштво флуидних делића. Штавише, он је препознао да је у свакој тачки

флуида, који се креће, притисак варира и да разлике притисака представљају механизам за убрзавање

флуидних делића. Он је ову идеју уобличио у једначину, добијајући први пут у историји релације које су

изведене у једначинама од (6.26) до (6.29) у овом поглављу. Дакле, једначина о промени количине

кретања у облику који често користимо у савременом компресибилном струјању датира из 1748. године

и извео ју је Ојлер током свог боравка у Санкт Петерсбургу у Русији. Ојлер је отишао још даље и

објаснио да је сила која делује на тело које се креће кроз флуид последица распореда притиска по

површини тела. Иако је у потпуности занемарио утицај трења, Ојлер је утемељио модерну идеју за још

један значајан извор аеродинамичке силе која делује на тело (видети поглавље 1.5).

Порекло једначине континуитета дате у облику једначине (6.5) такође потиче из средине 18. века. Иако је

Њутн дао постулат за очигледну чињеницу да је маса специфичног објекта константна, ова тврдња није

примењена на одговарајући начин у механици флуида до 1749. године. Те године, познати француски

научник Жан ле Ронд Даламбер (Jean le Rond d'Alembert) објавио је у париском часопису “Essai diune

nouvelle theorie de la redidtance des fluidеs” рад где је представио диференцијалне једначине које описују

одржање масе при специјалној примени на раванска и осносиметрична струјања. Међутим, опште

једначине у форми датој у једначини (6.5) први пут је 8 година касније изразио Ојлер и објавио у три

основна рада у механици флуида 1757. године.

Занимљива је чињеница да су две од три основне једначине конзервације које се данас користе у

модерном компресибилном струјању, биле објављене још пре грађанског рата у Америци и да су биле

савременици Џорџа Вашингтона (George Washington) и Томаса Џеферсона (Тhomas Jefferson).

Порекло енергијске једначине, дате у виду једначине (6.17) или (6.31) вуку своје корене из развоја

термодинамике у 19 веку. Познато је да је још 1839. године Сен Венан (B. de Saint Venant) користио

једнодимензионалан облик енергијске једначине за извођење израза за излазну брзину из млазника у

зависности од расподеле притисака у млазнику. Али тачно прво коришћење једначине (6.17) или њених

извода није познато и закопано је негде у брзом развоју физичке науке деветнаестог века.

Читалац који је заинтересован за концизну и интересантну историју механике флуида може се веома

лепо информисати у дискусији Ђокомелија (R Giacomelli) и Пистолесија (E Pistolesi) у издању I

“Aerodinamic theory” издана од стране дурана (W. F. Duran) 1934. године. Ту је развитак механике флуида

од античких времена до 1930. године представљену на веома повезан начин.

6.9 ИСТОРИЈСКА БЕЛЕШКА: ЛЕОНАРД ОЈЛЕР - ЧОВЕК

Ојлер је био великан међу математичарима и научницима осамнаестог века. Као резултат доприноса које

је дао науци, његово име повезано је са бројним једначинама и техникама, на пример Ојлерово

нумеричко решење обичних диференцијалних једначина, Ојлерови углови у геометрији и једначина о

промени количине кретања за невискозно струјање флуида (једначине (6.26) до (6.29) у овој књизи). Као

што је истакнуто у поглављу 6.8 Ојлер је имао примарну улогу у формирању механике флуида као

рационалне науке. Ко је био овај човек чија филозофија и резултати и даље испуњују модерну механику

флуида? Хајде да погледамо изблиза.

141

Леонард Ојлер рођен је 15. априла 1707. у Базелу, Швајцарска. Његов отац био је протестантски

свештеник који је уживао у математици као разоноди, па је Ојлер одрастао у породичној атмосфери која

је подстицала интелектуалну активност. Са 13 година Ојлер се уписао на Универзитет у Базелу који је у

то време имао приближно 100 студената и 19 професора. Један од тих професора био је Јохан Бернули,

који је био Ојлеров ментор из математике. Три године касније Ојлер је добио Мастер диплому из

филозофије.

Интересантно је да су троје најзаслужнијих људи за рани развој теоријске динамике флуида Јохан

Бернули, његов син Данијел и Ојлер живели у истом граду Базелу, били су на истом Универзитету и

били су савременици. Ојлер и Бернулијеви су били блиски пријатељи са великим међусобним

поштовањем, толиким да када је Данијел Бернули отишао да предаје у Санкт Петербургу 1725., убедио је

да Академију запосли и Ојлера. Због ове позивнице Ојлер напушта Базел и одлази у Русију. Никада се

није вратио у Швајцарску, иако је остао швајцарски држављанин до краја живота.

Ојлерова сарадња са Бернулијевима везана за развој мејанике флуида јачала је током њихових првих

година у Санкт Петербургу. Тамо је Далијел Бернули формулисао већину концепата који су коначно

објављени у његовој књизи Хидродинамика 1738. године. Садржај књиге обухватао је теме као што су

млазни погон, манометри и проток у цевима. Бернули је такође покушао да нађе везу између притиска и

брзине флуида, али је његово извођење било нејасно. Заправо иако се Бернулијева једначина (Једначина

(1.1) у овој књизи) обично приписује Данијелу и његовој књизи Хидродинамика, она се не налази у овој

књизи! Нека побољшања је увео његов отац Јохан, који је у отприлике исто време издао књигу под

називом Хидраулика. Јасно је из ове књиге да је отац разумео Бернулијеву једначину боље него син.

Данијел је мислио о притиску строго као о висини колоне манометра, док је Јохан имао више

фундаментално разумевање да је притисак сила која делује на течност. Међутим, Ојлер је био тај који је

неколико година касније закључио да је притисак својство које може да варира од тачке до тачке кроз

флуид и добио диференцијалну једначину која се односи на притисак и брзину (једначина (6.29) у овој

књизи). Ојлер је интегралио диференцијалну једначину и добио по први пут у историји Бернулијеву

једначину (једначина (1.1)). Отуда видимо да је Бернулијева једначина погрешно названа, заслугу за њу

једнако дели и Ојлер.

Данијел Бернули се вратио у Базел 1733. и Ојлер га је наследио у Санкт Петербургу на месту професора

физике. Ојлер је био динамичан и продуктиван човек, до 1741. је припремио 90 научних радова и

написао је књигу Механика у два тома. Атмосфера која је окружива Санкт Петербург је била погодна за

таква остварења. Ојлер је написао 1749.: „ Ја и сви остали који су имали добру срећу да проведу неко

време са Руском Царском академијом не могу а да не признају да ми дугујемо све што смо и шта

поседујемо повољним условима које смо тамо имали“.

Међутим 1740. због политичких немира у Санкт Петербургу Ојлер је прешао у Берлинско научно

друштво, које је у то време баш формирано од стране Фридриха Великог. Ојлер је живео у Берлину

следећих 25 година, где је трансформисао друштво у велику академију. У Берлину је Ојлер наставио са

динамичним начином рада, припремајући најмање 380 радова за објављивање. Овде је, као конкурент

Далемберту и осталима, формулисао основе математичке физике.

1766. после великих неслагања са Фридрихом Великим око финансирања Академије, Ојлер се враћа у

Санкт Петербург. Овај други период његовог живота у Русији је постао период физичке патње. Исте

години постао је слеп на једно око након кратке болести. Операција 1771. резултирала је повратком вида,

али само на неколико дана. Он није преузео потребне мере опреза после операције и после неколико дана

био је потпуно слеп. Међутим, уз помоћ других он је наставио са својим радом. Његов ум био је оштар

као и увек, а његова воља се није умањила. Број његових писаних радова чак се и повећао, око половине

његових радова написано након је 1765. године!

142

18. Септембра 1783. Ојлер је обављао послове као и обично - давао часове из математике, правио

прорачуне кретања балона и дискутовао са пријатељима о планети Уран, која је била недавно откривена.

Око 17 часова доживео је мождани удар. Његове једине речи пре губитка свести су биле:”Ја умирем”. До

23 часа један од највећих умова у историји престао је да постоји.

Ојлер је сматран “великим калкулатором” осамнаестог века. Он је направио трајне доприносе

математичкој анализи, теорији бројева, механици, астрономији и оптици. Учествовао је у оснивању

рачуна варијација, теорије диференцијалних једначина, комплексних променљивих и специјалних

функција. Он је измислио концепт коначних разлика (који ће се у будућности користити интезивно у

модерној динамици флуида, као што је описано у поглављима 11 и 12). Ретроспективно његов рад у

динамици флуида чинио је само мали удео у целокупном утицају који је имао на математику и науку.

Једном, када не будете имали шта да радите, избројте колико пута се Ојлерове једначине користе кроз

ову књигу. На тај начин повећаћете и своје поштовање према томе колико је тај великан осамнаестог

века доминирао у постављању темеља модерног компресибилног струјања.