Dinámica_ u1

Departamento de

INSTITUTO TECNOLGICO DE MINATITLN

Con la Colaboracin de la Divisin de Estudios a Distancia

Carrera: Ingeniera Electromecnica

2

Metal-Mecnica

UNIDAD 1

Cinemtica de Partculas

Email: [email protected] Telfono: (922) 22.2.43.45 ext. 159

Dinmica

DESARROLLO

1.- CINEMTICA DE PARTCULAS. INTRODUCCIN. QU ES LA MECNICA? Es la ciencia que describe y predice la condicin de reposos o movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas: -Mecnica de Cuerpos rgidos Esttica Dinmica -Mecnica de cuerpos deformables Resistencia Mecnica de Materiales -Mecnica de fluidos: Compresible (gases) No Compresibles (lquidos) La Dinmica incluye: Cinemtica (Kinematics): estudia la geometra del movimiento. La cinemtica es utilizada para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo sin hacer referencia a la causa del movimiento. Cintica (Kinetics): estudia la relacin existente entre las fuerzas actuando sobre un cuerpo, su masa y su movimiento. La cintca se usa para predecir el movimeintocausado por fuerzas conocidas o para determinar las fuerzas necesarias para producir un movimiento. Se tiene un Movimiento rectilneo: cuando se determina la posicin, velocidad y aceleracin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta. Se tiene un movimiento curvilneo: cuando se determina la posicin, la velocidad y la aceleracin de un a partcula que se mueve a lo largo de una curva. Se pueden deteminar en dos o tres dimensiones.

COMPETENCIA A DESARROLLAR DE LA UNIDAD Reconocer e identificar las variables fsicas que intervienen en el movimiento de las partculas sin importar la causa que lo produce.

M.I. EZEQUIEL SNCHEZ DINMICA_U1 1

Partcula. Desde el punto de vista de la mecnica clsica, se considera partcula a todo cuerpo que posee masa y del que se hace abstraccin de su tamao y forma de tal manera que se puede considerar como un punto facilitando as, su estudio. Cuerpo Rgido. Del mismo modo, desde el punto de vista de la mecnica clsica, el cuerpo rgido se considera como una combinacin de partculas en donde todas ellas y entre ellas, permanecen a una distancia fija antes y despus de que se apliquen fuerzas y adems posee rotacin con respecto a su propio centro de masa. 1.1. Desplazamiento, Velocidad y Aceleracin.

La coordenada de posicin de una partcula est definida por la distancia positiva o negativa de la partcula desde un punto fijo llamado origen a lo largo de la lnea. Por ejemplo en la figura 1.1a, se muestra la coordenada del punto P como x= +5m; la coordenada del punto P es x=-2 m.

El movimiento de una partcula se conoce, si se conoce la posicin x de la partcula para cualquier valor de tiempo t, por ejemplo el itinerario del movimiento de una partcula puede expresarse por medio de una ecuacin, como por ejemplo 326)( tttx o por medio de la grfica de la ecuacin, tal como se muestra en la figura 1.2. Las unidades para la posicin son comnmente el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema ingls. El tiempo suele medirse en segundos (s).


Supngase que ahora la partcula que ocupa la posicin P en un tiempo t, pasa a ocupar la posicin P en un tiempo tt , vase la figura 1.3. La velocidad promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t :

t

xpromedioVelocidad

(1.1)

La velocidad instantnea v de la partcula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientos x cada vez ms pequeos:

dt

dx

t

xLmvtneainsVelocidad

t

0tan (1.2)

Dnde v se representa por un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo, ver figura 1.4:

v significa que x aumenta y v significa que x disminuye

A la magnitud de v se le conoce como rapidez de la partcula y las unidades para la velocidad son en el sistema SI en m/s y en el sistema ingls son (ft/s).


Continuando con el ejemplo: 326)( tttx La derivada de la funcin con respecto al tiempo:

2312 ttdt

dxv

La grafica de esta ecuacin se muestra en la figura 1.5 Supngase que ahora la velocidad v de la partcula que ocupa la posicin P en un tiempo t, pasa a ocupar la posicin P como vv en un tiempo tt , vase la figura 1.6. La aceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se refiere como el cociente de v y t :

t

vn promedioAceleraci

(1.3)


La aceleracin instantnea a de la partcula en el instante t se obtiene de la aceleracin promedio al escoger de t y v cada vez ms pequeos:

dt

dv

t

vLmatnean insAceleraci

t

0tan (1.4)

2

2

dt

xda (1.4a)

dx

dvva (1.5)

La aceleracin instantnea a se representa por un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo. Ver figura 1.7:

a significa que el nmero algebraico de v aumenta positivamente: figura 1.7a a significa que el nmero algebraico de v decrece negativamente : figura 1.7b

a significa que el nmero algebraico de v disminuye: figura 1.6c a significa que el nmero algebraico de v aumenta: figura 1.6d


El trmino desacelera se utiliza para referirse a la aceleracin a cuando la rapidez de la partcula (la magnitud de v) disminuye, es decir, se mueve con mayor lentitud tal como ocurre en las figura 1.7b y 1.7c y se acelera en 1.7a y 1.7d. Las unidades de la aceleracin se expresa en m/s2 en el sistema SI y en ft/s2 en el sistema ingls. Continuando con el ejemplo: 326)( tttx

La segunda derivada: tdt

xda 612

2

2

La grfica de esta ecuacin se muestra en la figura 1.8. Si analizamos las grficas llamadas curvas de movimiento del ejemplo anterior, en su

conjunto y sustituyendo en las ecuaciones: 326)( tttx ; 2312 ttdt

dxv y

tdt

xda 612

2

2

para t= 0, 2,4 y 6 s, se tiene:


Para t=0, x=0, v=0, a=12 m/s2 Para t= 2 s, x=16 m, v=vmax=12 m/s, a=0 Para t=4 s, x=xmax=32 m, v=0, a=-12 m/s2

Para t=6 s, x=0, v=-36 m/s, a=24 m/s2

Un estudio de las tres grficas que muestra el movimiento de la partcula desde t=0 hasta t=: 1. Inicia desde el origen, x=0, sin velocidad pero con aceleracin positiva. Gana velocidad de 0 a 2s. 2. En t= 2s, la aceleracin es cero, la velocidad ha alcanzado su mximo. Siendo de 2 a 4 s, v positiva y a negativa, es decir que aunque se mueve en direccin positiva lo hace lentamente (desacelerando). 3. En t=4 s, la velocidad es cero, x es mximo, es decir, no contina positivamente. A partir de aqu tanto v como a son negativos. Se est acelerando en direccin negativa. 4.

5. En t=6 s, la partcula pasa por el origen, x=0 y la distancia total recorrida desde el

principio es de 64 m. Para t>6 s, x,v y a son negativos, es decir se aleja del origen cada vez ms rpido.


Se comprende que estas curvas de movimiento son solo grficas de las ecuaciones que describen el movimiento de la partcula, pero no quiere decir que la partcula se mueve a lo largo de ningunas de estas curvas; la partcula se mueve en lnea recta tal como se muestra a continuacin:

La distancia total recorrida por la partcula desde t=0 hasta t=6 s se calcula de la siguiente manera:

mxx

mxx

mxx

32320

161632

16016

46

24

02

Por lo tanto la la distancia total recorrida dT=16+16+32=64 m Resuelva con la ayuda de su profesor los siguientes ejercicios: Ejercicio 1.1. El movimiento de una partcula est definido por la relacin

40366 23 tttx , donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine a) cuando la velocidad es cero, b)la velocidad, la aceleracin y la distancia total recorrida cuando x=0.

Ejercicio 1.2. La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin 2/ 8 sma Si se sabe que x= 20 m cuando t=4 s y x= 4 m cuando v=16 m/s, determine a) el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando t= 11 s.


1.2 Anlisis del movimiento rectilneo. Analizaremos dos casos especiales de movimiento rectilneo:

1. Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU). El movimiento rectilneo uniforme es un tipo de movimiento rectilneo que frecuentemente se encuentra en aplicaciones prcticas, aunque es muy difcil de lograr por factores externos al movimiento, como el rozamiento, que se opone al movimiento. Un automvil que se mueve en una carretera recta, en un solo sentido, sin cambiar su velocidad. La velocidad del sonido en un medio homogneo. La velocidad de la luz, tambin en un medio homogneo. Las caractersticas principales de este movimiento son: La velocidad es constante y por lo tanto a=0 para todo valor de t.

0)(

dt

cted

dt

dva y ctev

dt

dx . Separando variables e integrando, queda la

ecuacin:

vtxx 0 (1.6) 2. Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A). En este movimiento la aceleracin de la partcula es constante y la velocidad cambia en todo tiempo t, una aplicacin prctica de este tipo de movimiento lo es la cada libre de un cuerpo, en dnde la aceleracin constante es la gravedad g y es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.

ctedt

dva , separando variables e integrando, queda la ecuacin:

atvv 0 (1.7)

Ahora, sustituyendo vdt

dx en 1.7:

atvdt

dx 0 , separando variables e integrando, queda la ecuacin:

2

002

1attvxx (1.8)


Recurriendo a la ecuacin (1.5), ctedx

dvva . Separando variables e integrando, queda

la ecuacin:

)(2 02

0

2 xxavv (1.9)

Resuelva con la ayuda de su profesor los siguientes ejercicios de M.R.U. y M.R.U.A. Ejercicio 1.3. Un automovilista entra a una carretera a 45 km/h y acelera uniformemente hasta 99 km/h. De acuerdo con el odmetro del automvil, el conductor sabe que recorri 0.2 km mientras aceleraba. Determine a) la aceleracin del automvil, b) el tiempo que se requiere para alcanzar 99 km/h.

Ejercicio 1.4. Un paquete pequeo se suelta desde el reposo en A y se mueve a lo largo del transportador ABCD formado por ruedas deslizantes. El paquete tiene una aceleracin uniforme de 4.8 m/s2 mientras desciende sobre las secciones AB y CD, y su velocidad es constante entre B y C. Si la velocidad del paquete en D es

de 7.2 m/s, determine a) la distancia d entre C y D, b) el tiempo requerido para que el paquete llegue a D. Ejercicio 1.5. Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Determine:

a) La elevacin ms alta que alcanza la pelota y el valor correpondiente de t , y

b) El tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente.


1.3 Anlisis del Movimiento de varias partculas. Se analizan dos casos especficos: 1. Movimiento Independiente de una o ms Partculas. Cuando varias partculas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma lnea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independiente para cada partcula. Debe buscarse siempre que sea factible que todas las partculas: el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial y los desplazamientos medirse desde el mismo origen y en la misma direccin. Movimiento Relativo de dos partculas. Supngase que se tienen dos partculas A y B a lo largo de una lnea recta, como se muestra en la figura 1.8. Si aplicamos la condicin arriba descrita, es decir, medimos ambas partculas desde el mismo origen, se tiene:

ABAB xxx / o tambin:

ABAB xxx / (1.10)

Si ahora, se toma en cuenta el tiempo de inicio para ambas partculas, se obtiene las velocidades y las aceleraciones de cada partcula y las relativas entre ellas:

ABAB vvv / o tambin:

ABAB vvv / (1.11)

ABAB aaa / o tambin:

ABAB aaa / (1.12)

Donde: ABv / y ABa / , son las velocidad relativa y aceleracin relativa respectivamente.

2. Movimiento Dependiente de dos o ms Partculas. Se da este tipo de movimiento cuando las partculas estn conectadas entre s, por lo general mediante cuerdas o cables. As, la posicin de una partcula depender de otra o de varias partculas. En las figuras 1.9 y 1.10 se observan este tipo de movimiento.


La posicin del bloque B depende de la posicin del bloque A. La cuerda ACDEFG es de longitud constante, y las longitudes de las porciones de cuerda CD y EF alrededor de las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma de las longitudes de los segmentos AC, DE y FG tambin es constante. Por otro lado, AC difiere de XA por una constante y de manera similar, DE y FG difieren de XB por una constante, se escribe:

teconsxx BA tan2 Esta expresin recibe el nombre de ecuacin de ligadura. Observe que solo se puede escoger una de las dos variables de manera arbitraria, el sistema que se presenta en la figura 1.9 tiene un grado de libertad.

De igual forma, podemos observar en la figura 1.10 que el sistema debe satisfacer la siguiente relacin:

teconsxxx cBA tan22 Observe que en este caso es posible escoger de manera arbitraria dos de las coordenadas, se afirma que el sistema tiene dos grados de libertad.

Cuando la relacin que existe entre las coordenadas de posicin de varias partculas es lineal, tambin se cumple entre las velocidades y las aceleraciones de la spartculas, de modo que si se deriva con respecto al tiempo:

022 cBA vvv

022 cBA aaa


Resuelva con la ayuda de su profesor los siguientes ejercicios de movimiento independiente y dependiente.

Ejercicio 1.6. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 m en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante un elevador de plataforma abierta paasa por el nivel de 5 m, movindose hacia arriba con una velocidad constant de 2 m/s. Determine a) cundo y dnde golpea al elevador, b) la velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador cuando sta lo golpea.

Ejercicio 1.7.Cuando un corredor de relevos A ingresa a la zona de intercambio, de 20 m de largo, con una rapidez de 12.9 m/s empieza a desacelerar. Entrega la estafeta al corredor B 1.82 s despus, y su compaero deja la zona de intercambio con la misma velocidad de A. Determine a) la aceleracin uniforme de cada corredor, b) el momento en que el corredor B debe empezar a correr.

Ejercicio 1.8. El bloque deslizante A se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 6 m/s. Determine a) la velocidad del bloque B, b) la velocidad de la parte D del cable, c) la velocidad relativa de la porcin C del cable con respecto a la porcin D


1.4 Anlisis del Movimiento Curvilneo. Cuando una partcula se mueve a lo largo de una curva, se afirma que describe un movimiento curvilneo. La figura 1.11a muestra este tipo de movimiento.

La posicin P de la partcula viene dado por el vector de posicin r de la partcula en el tiempo t. La posicin P de la partcula en una nueva posicin viene dada por ren un tiempo tt . El vector r que une a las dos posiciones P y P de la partcula, representa el cambio en el vector de posicin durante el tiempo t , tambin representa un cambio de direccin y un cambio de magnitud del vector de posicin r .

La velocidad promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se define como:

t

rpromedio velcocidad

En la figura 1.11b, se muestra que la velocidad promedio es un vector unido a P de la misma direccin que r .

La velocidad instantnea de la partcula en el tiempo t se obtiene:

dt

d

t

rv

0lim

A esta expresin se le conoce como la derivada de la funcin vectorial )(tr :

dt

drv (1.13)

Donde la magnitud del vector es la rapidez de la partcula y viene dado por:

dt

dsv (1.14)

La figura 1.11c muestra que el vector ves tangente a la trayectoria de la partcula.


Ahora considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y su velocidad v en el tiempo tt como se muestra en la figura 1.11d.

La aceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t es:

t

v

promedion aceleraci

En la figura se observan los vectores de velocidad en los tiempos t y tt

La aceleracin instantnea de la partcula en el tiempo t se obtiene:

tt

va

0lim

La velocidad ves una funcin vectorial )(tv del tiempo t y se escribe:

dt

dva (1.15)

En la figura 1.11e se observa que el vector aceleracin en general no es tangente a la trayectoria de la partcula. El movimiento curvilneo de una partcula se puede conocer en cualquier instante mediante sus coordenadas rectangulares x, y y z, asi pues se tiene que para la posicin, la velocidad y la aceleracin:

kjir zyx , kjir

v zyx vvvdt

d , kji

va zyx aaa

dt

d


Estas componentes es posible manejarlas de manera independiente, es decir es posible considerar por separado el movimiento de la partcula. En el caso del movimiento curvilneo de un proyectil (tiro parablico) se observa que en el plano xy:

0xa , 0za y ga y y las ecuaciones de movimiento son:

Movimiento Horizontal Movimiento Vertical

tvx

vv

x

xx

0

0

2

0

0

2

0

2

0

2

1

)(2

gttvy

yygvv

gtvv

y

yy

yy

Estas ecuaciones muestran que en el tiro parablico, el proyectil permanece en el plano xy, que su movimiento en la direccin horizontal es uniforme, y que su movimiento en la direccin vertical es uniformemente acelerado. Resuelva con la ayuda de su profesor los siguientes ejercicios de movimiento curvilneo. Ejercicio 1.9. El movimiento de una partcula se define mediante las ecuaciones

tttx 554 23 y tty 155 2 , donde x y y se expresan en mm y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleracin cuando a) t=1 s y b) t=2 s EJERCICIO 1.10. El movimiento de una partcula se define mediante las ecuaciones

senttx 24 y ty cos24 ,donde x y y se expresan en pulgadas y t en segundos. Bosqueje la trayectoria de la partcula y determine a) las magnitudes de las velocidades mximas y mnimas alcanzadas por la partcula, b) los tiempos, las posiciones y las direcciones correspondientes a dichas velocidades. Ejercicio 1.11. Un avin diseado para dejar caer agua sobre incendios forestales vuela sobre una lnea recta horizontal a 315 km/hr a una altura de 80 m. Determine la distancia d a la que el piloto debe soltar el agua de manera que caiga sobre el incendio en B.


Ejercicio 1.12. Un jugador de voleibol sirve la pelota con una velocidad Vo = 13.40 m/s con un ngulo de inclinacin de 20con la horizontal. Determine a) si la pelota pasar sobre el borde superior de la red, b) a qu distancia de la red aterrizar la pelota.

1.5 Anlisis del Movimiento de Rotacin. Desplazamiento, Velocidad y Aceleracin. El movimiento circular es un movimiento curvilneo cuya trayectoria es un crculo. Vamos a definir las magnitudes caractersticas de un movimiento circular, anlogas a las ya definidas para el movimiento rectilneo. Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Ver figura 1.12.

Posicin angular, En el instante t el mvil se encuentra en el punto P y su posicin angular viene dada por el ngulo :

= s/r (1.16)

derivando con respecto al tiempo:

r

v (1.17) y

r

a (1.18)

Donde: = es el desplazamiento angular, rad o grados = es la velocidad angular de la partcula, rad/s = es la aceleracin angular, rad/s2


Si ahora, en el instante t' el mvil se encontrar en la posicin P' dada por el ngulo '. El mvil se habr desplazado = ' - en el intervalo de tiempo t= t'-t comprendido entre t y t'. Se tiene que se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

t

La velocidad angular instantnea se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

tt

0lim , y queda:

dt

d (1.19)

Si en el instante t la velocidad angular del mvil es y en el instante t' la velocidad angular del mvil es . La velocidad angular del mvil ha cambiado = - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'. Se tiene entonces que se denomina aceleracin angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

t

La aceleracin angular en un instante, se obtiene calculando la aceleracin angular media

en un intervalo de tiempo que tiende a cero.tt

0lim ,

queda. dt

d (1.20)

El periodo p (en seg), de una partcula en movimiento circular uniforme es el tiempo empleado en efectuar una vuelta completa o revolucin

p = t/N. (1.21) La frecuencia f (s-1), es el nmero de revoluciones por unidad de tiempo. f=N/t Por lo tanto: f= 1/P (1.22)


La frecuencia f tambin se mide en Hz = s-1, coloquialmente tambin se le dice revoluciones por segundo (rps.). Si se expresa en revoluciones por minuto (rpm), entonces: 1 min -1= 1/60 Hz Para una revolucin completa: t = p y = 2, por lo tanto: = /t = 2/p Esto es: = 2 f. (1.23) Ejercicio 1.13. Expresar la velocidad y la aceleracin como funciones del tiempo para una partcula con movimiento circular uniforme. Solucin. Coordenadas del punto P: x= r cos y y= r sen Si = /t, entonces x= r cos t y y=r sen t Para la velocidad, las componentes son: vx= -r sen t y vy= r cos t Para la aceleracin, las componentes son: ax= -

2r cos t y ay= -2r sent

y las magnitudes de las componentes de la aceleracin: ax = -

2x y ay =-2y, lo cual significa que:

a=-2r hacia el centro del crculo.


1.6 Anlisis del Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslacin. Considrese un sistema de referencia fijo Oxyz y un sistema de referencia en movimiento Axyz, ambos estn en paralelo y mientras el origen de estos ejes se mueve, su orientacin permanence invariable, as se dice que el sistema Axyz est en traslacin con respecto a Oxyz que est fijo. La figura 1.13.

El vector unido a A y B define la posicin de B con respecto al sistema de referencia en movimiento Axyz y

ABAB rrr

Por lo tanto,

ABAB vvv

ABv = velocidad de B relativa a A

ABAB aaa

y

ABa = aceleracin de B relativa a A

Las ecuaciones que se obtuvieron muestran que: el movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el movimiento de A y el movimiento relativo de B con respecto al sistema de referencia en movimiento vinculado a A.


Resuelva con la ayuda de su profesor los siguientes ejercicios de movimiento curvilneo. EJERCICIO 1.14. El automvil A viaja hacia al este con una velocidad constante de 36 km/h. Cuando el automvil A cruza la interseccin que se muestra, el automvil B parte del reposo desde una distancia de 35 m al norte de la interseccin y se mueve hacia el sur con una aceleracin constante de 1.2 m/s2 . Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de B relativa a A, 5 segundos despus de que A cruza la interseccin. EJERCICIO 1.15. La velocidad de loa esquiadores A y B son las que se muestran en la figura. Determine la velocidad de A con respecto a B


GLOSARIO DE TRMINOS

Cinemtica (Kinematics): estudia la geometra del movimiento. La cinemtica es utilizada para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo sin hacer referencia a la causa del movimiento. Cintica (Kinetics): estudia la relacin existente entre las fuerzas actuando sobre un cuerpo, su masa y su movimiento. La cintca se usa para predecir el movimeintocausado por fuerzas conocidas o para determinar las fuerzas necesarias para producir un movimiento. Movimiento rectilneo: cuando se determina la posicin, velocidad y aceleracin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta. Movimiento curvilneo: cuando se determina la posicin, la velocidad y la aceleracin de un a partcula que se mueve a lo largo de una curva. Se pueden deteminar en dos o tres dimensiones. Partcula. Desde el punto de vista de la mecnica clsica, se considera partcula a todo cuerpo que posee masa y del que se hace abstraccin de su tamao y forma de tal manera que se puede considerar como un punto facilitando as, su estudio. Cuerpo Rgido. Del mismo modo, desde el punto de vista de la mecnica clsica, el cuerpo rgido se considera como una combinacin de partculas en donde todas ellas y entre ellas, permanecen a una distancia fija antes y despus de que se apliquen fuerzas y adems posee rotacin con respecto a su propio centro de masa. Traslacin. Rotacin. M.G. P. Cantidad de Movimiento Impulso Impacto Vibracin Frecuencia natural Oscilacin


REFERENCIAS

Referencias Bibliogrfica

[1].- Beer, Ferdinand P., Rusell, Johnston E., Cornwell, Phillip J. (2010). Mecnica Vectorial para Ingenieros. Dinmica. (9 Ed.). Mxico: Mc GrawHill.

Bibliografa [1].- Bedfor, Anthony y Flowler. (2008). Engineerring Mechanics: Dynamics. US: Prentice Hall. [2].- Hibbeler, R.C. (2010). Ingineering Mechanics: Combined Estatics and Dynamics. US:Prentice Hall. [3].- Marn Lpez, Jos Mara, Navarro Arcas, Riquelme, Peral, Ramn. (2010), Mecnica para ingenieros. Prcticas y problemas resueltos,(1 Ed.). Espaa: Editorial Club

Universitario.

[4].- Soutas, Robert W., Inman, Daniel J.(2009). Mecnica para Ingenieros. Dinmica. Mxico: Editorial Computacional (1 Ed).

PGINAS DE INTERNET Documentos electrnicos [1].- http://gestion.euiti.upm.es/index/departamentos/mecanica/inicio_enlaces.htm [2].- http://www.walter-fendt.de/ph14s/index.htm [3].- http://ocw.mit.edu/courses/


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