1

UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURESTI

REFERAT

DIMENSIUNEA

MULTUMILOR FRACTALE

Student : Cristi Mataranga

Master : TCSI – anul I

Profesor indrumator : conf.dr. URSIANU RADU

2011

2

DIMENSIUNEA MULTIMILOR FRACTALE

CUPRINS

1 .Introducere :

1.1. Definitie Fractali – Proprietati – Scurt istoric ;

1.2 Exemple de fractali clasici:

Curba lui KOCH ;

Triunghiul lui SIERPINSKI ;

Covorul lui SIERPINSKI ;

Curba lui PEANO ;

Fractalul MANDELBROT ;

Fractalul JULIA – PHOENIX.

1.3 Exemple de fractali in natura :

FERIGA ;

BROCCOLI ROMANESCO ;

Structuri fractale in structura organismului uman.

2. Dimensiunea Fractala :

2.1 Definitie Dimensiune Fractala ;

2.2 Formule de calcul ;

3. Metode de evaluare a dimensiunii fractale:

3.1 Metoda Compasului ;

3.2 Metoda dilatarii pixelilor ;

3.3 Metoda raportului de masa ;

3.4 Metoda BOX-COUNTING – Aplicatii in Matlab (1D , 2D si 3D).

3

1. INTRODUCERE ;

1.1 Definitie Fractali – Proprietati – Scurt istoric;

Fractal - este figura geometrica neuniforma, fragmentata sau franta care poate fi

divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie

miniaturala a intregului.

In 1975 Benoit Mandelbrot introduce numele de fractal si este derivat din latinescul

fractus, insemnand "spart" sau "fracturat".

Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici:

Are o structura fina la scari arbitrar de mici ;

Este prea neregulat pentru a fi descris in limbaj geometric euclidian traditional ;

Este autosimilar (macar aproximativ sau stochastic).

Are dimensiunea Hausdorff mai mare decat dimensiunea topologica(desi aceasta

cerinta nu este indeplinita de curbele Hilbert).

Are o definitie simpla si recursiva(care poate fi repetata in numar nelimitat)

In 1904, Helge von Koch, nesatisfacut de definitia abstracta si analitica a lui

Weierstrass, a dat o definitie geometrica a unei functii similare, care se numeste astazi

fulgul lui Koch.

In 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul si, un an mai tarziu, covorul lui

Sierpinski. La origine, acesti fractali geometrici au fost descrisi drept curbe in loc de forme

bidimensionale, asa cum sunt cunoscute astazi.

Functiile iterate in planul complex au fost investigate la sfarsitul secolului 19 si

inceputul secolului 20 de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou si Gaston Julia. Totusi, fara

ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumusetea numeroaselor

obiecte pe care le descoperisera.

In anii 1960, Benoit Mandelbrot a inceput sa cerceteze autosimilaritatea in lucrari

precum "Cat de lungaeste coasta Marii Britanii? Autosimilaritate statisticasi dimensiune

fractionala".

In matematica exista mai multe tipuri de fractali in functie de modul in care sunt

construiti.

Formele fractale nu sunt o inventie a secolului 20, ei existau inca de la inceput in jurul

nostru dar nu am avut "puterea" sa ii reproducem. Abia cu aparitia calculatoarelor a fost

posibila desenarea lor. De exemplu, pentru cea mai "aratoasa" clasa de fractali sunt

necesari ani de zile pentru a "afisa" o portiune relativ mica si saraca in detalii.

Esteticul in cazul fractalilor vine de la faptul ca acestia, datorita generarii lor

ingenioase si a faptului ca umplerea sectiunilor cu culori nu depinde decat de culorile

definite initial, iar suprapunerile si combinarile din timpul generarii dau un aspect cu

adevarat uimitor.

Multi matematicieni inaintea lui Mandelbrot s-au aplecat asupra unor

ecuatii/formule care produceau forme ciudate, puternic fragmentate, care nu se supuneau

regulilor "clasice". Aceste formule au fost insa ignorate, "izgonite", tratate ca si niste

"monstri" matematici.

4

1.2 Exemple de fractali clasici:

Curba lui KOCH :

Initiatorul acestei curbe este un segment de dreapta oarecare, de exemplu intervalul 0,1

Impartim segmentul in trei parti egale si inlocuim partea centrala cu cele doua laturi ale

unui triunghi echilateral ce are ca baza chiar partea centrala. Aceasta a fost o regula

(generatorul) ce poarta numele Van Kock.. Repetand de un numar nesfarsit de ori

aceeasi regula se obtine, la limita, un obiect abstract numit “curba Van Koch”

Aceasta curba este socotita si “curba monstru” cu distanta infinita intre oricare doua

puncte si cu aria “0”

Triunghiul lui SIERPINSKI : se incepe prin a desena un triunghi echialteral plin ;

se uneste mijlocul laturilor triungiului. Astfel se va imparti triunghiul mare in 4

triunghiuri mici ; se elimina mijlocul (zona va ramane alba) ;

se continua la infinit acelasi procedeu pentru restul de 3 triunghiuri mici ramase si pentru

noile triunghiuri generate ;

5

Covorul lui SIERPINSKI : Se porneste de la un patrat, care e divizat in 9 patrate identice, dar de dimensiuni mai

mici ;

Interiorul se coloreaza astfel: toate patratele interioare mai putin cel din mijloc in negru ;

Pentru toate patratele negre se aplica iar divizarea in 9 patrate identice, si asa mai departe

Curba lui PEANO

Folosind aceasta curba pe care a prezentat-o in anul 1890 (cand avea titlul de profesor

extraordinar de calcul infinitezimal la Universitatea din Torino), Peano a demonstrat

ca se poate umple o portiune din spaþiu, folosind o curba continuã care nu are latime (deci

nu are arie). In consecinta, aria curbei de umplere a spatiului este egalã cu aria in care este

inscrisa. Asa s-a ajuns ca o formã alcatuita din segmente de dreaptã sã umple suprafaþa

unui plan bidimensional

6

Fractalul MANDELBROT

Se poate observa destul de usor (in imaginea marita) similaritatea dintre intreg si

subdiviziunile acestuia

7

Fractalul JULIA (PHOENIX)

In functie de diferitele formule matematice calculate pe baza numerelor complexe, forma

z=a+bi), fractalii primesc diferite forme.

1.3 Exemple de fractali in natura ;

Fractali naturali:

Pai, oricat ar parea de uimitor, se banuieste ca toata natura e facuta dupa modelul fractalil

or, ba chiar mai mult incepe sa se speculeze faptul ca adevarata geometrie este cea fractala.

Dar vorbeam de natura. Se pare ca totul, incepand de la crestarea tarmurilor, la formarea

muntilor, norii, fulgii de zapada, cristalele, fulgerul, retelele hidrografice, broccoli-ul,

precum si sistemele sangvine si pulmonare. Ba mai mult, acum ceva timp am citit faptul ca

s-a descoperit un gol de vid in spatiul cosmic de o imensitate care i-a pus pe ganduri pe

oamenii de stiinta. Asta pentru ca, dupa calculele lor, s-ar parea ca si acel gol s-a format

dupa un model fractalic, astfel ca teoriile legate de geneza si dimensiunile spatiului cosmic

ar putea fi date peste cap. Structurile fractale sunt prezente atat in alcatuirea organismului

uman, cat şi in tot ceea ce se afla in jurul nostru de la fulgi de zapada, forme de relief,

creierul uman, pana la componente ale lumii vegetale (feriga, aloe). Un ochi „antrenat”,

spunea Barnsley, poate observa o structura fractala in aproape orice element al lumii

inconjuratoare. Principiul partii asemanatoare cu intregul (principiul autoasemanarii) este

cuprins şi realizat aproximativ in natura. Unii fractali sufera schimbari continue ca

formatiunile noroase sau focurile licarind, iar altii precum sistemul vascular uman sau

copacii retin structura pe care au dezvolat-o in evolutia lor. Pana şi moleculele de oxigen şi

ADN reprezinta fractali, iar şirul de exemple nu se termina aici.

In informatica, fractalii au revolutionat tehnica de comprimare a imaginilor. Prin

transformarea lor (a imaginilor) in fractali, Barnsley a descoperit o tehnica prin care se pot

comprima imagini foarte mari in coduri foarte mici, obtinandu-se un raport de

comprimare de peste zece mii la unu.

8

Ceea ce este şi mai impresionant insa este faptul ca atunci cand se maresc aceste imagini,

ele işi pastreaza gradul de detaliu la infinit, un lucru oarecum neobişnuit la imaginile

stocate clasic, la care la o marire nu foarte puternica se instaleaza deja neclaritatea,

devenind imagini pixelate.

Pentru a intelege mai bine rolul computerelor in generarea fractalilor şi in aplicatiile legate

de aceştia va voi expune modalitatea care se aplica in tehnica de compresie a imaginilor

prin gasirea unei functii fractale care sa poata fi folosita pentru micşorarea acestora inainte

de inventarea unei modalitati prin care computerele sa poata sa determine singure aceste

functii. Sute de ore de munca erau necesare pentru identificarea unei astfel de functii

fractale. Profesorul Barnsley, care in trecut a predat la Georgia Institute of Technology a

bebeficiat de fonduri guvernamentale de cateva milioane de dolari doar pentru a cerceta

aceste tehnici de compresie a imaginilor. O aplicatie militara importanta este transmiterea

in timp real, prin satelit, a unor imagini cu un grad de detaliu mare.

Aici se pot vedea cateva exemple de fractali naturali:

FERIGA : O frunza de feriga, fractal natural. Se observa clar proprietatea de similaritate

cu sine

9

BROCCOLI ROMANESCO:

Structuri fractale in structura organismului uman :

10

2. Dimensiunea Fractala :

2.1 Definitie - Dimensiune Fractala – Istoric ;

Dimensiune fractala , reprezinta un numar real cuprins intre dimensiunea topologica a

obiectului si dimensiunea spatiului in care este definit.

In 1919 Felix Hausdorff introducea conceptul de dimensiune fractala.Faptul ca

dimensiunea unui obiect poate fi un numar real pozitiv oarecare (deci nu neaparat intreg)

este tulburator. Iata totusi cum se ajunge la acest rezultat:

Nu s-a gasit inca o definitie exacta a dimensiunii fractale, cu atat mai putin o

formula generala pentru calcularea ei. In general , este estimat calculand raportul

logaritmic al unor proprietati la diferite scari.

In sfarsit, in 1975, Mandelbrot a inventat termenul "fractal" pentru a denumi un

obiect al carei dimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare decat dimensiunea

topologica a sa.

Dimensiune topologica - reprezinta numarul de puncte dintr-o multime fractala.

Dimensiunea topologica a unui punct este "0"

Dimensiunea topologica a unei curbe este "1"

Dimensiunea topologica a unei suprafete este "2"

Dimensiunea topologica a unui volum este "3"

Dimensiunea geometrica a unui fractal se bazeaza pe dimensiunea Hausdorff, care

este o extensie a dimensiunii euclideene. Daca in geometria euclidiana un obiect nu are

decat o dimensiune intreaga in geometria fractala dimensiunile sunt, in general , numere

reale neintregi pozitive.

Consideram clasa obiectelor ce pot fi partitionate in “piese” asemenea lor. Din

acesta clasa vom lua cate un reprezentant pentru fiecare dimensiune intreaga, pana la 3.

Un segment de lungime l poate fi impartit in “n” segmente mai mici , fiecare de

lungime l

n

Un patrat cu latura de lungime l poate fi impartit in “n2

“ patrate cu latura de

lungime l

n

Un cub cu latura de lungime l poate fi impartit in “ n3 “ cuburi cu latura de

lungime l

n

11

Formule de calcul ;

Deci un obiect ce are dimensiunea D, compus din elemente asemenea cu el, poate fi

impartit in “ nD

“ elemente de “n” ori mai mici.

D = lim log (Numar Componente) / log (n)

n->∞

Deoarece conditia necesara pentru valabilitatea acstei formule este asemanarea dintre

obiect si piesele sale constitutive, aceasta aproximare a dimensiunii fractale se numeste

dimensiune de autosimilaritate.

Se numeste Dimensiune de autosimilaritate raportul dintre logaritmul numarului de

segmente (n) in care se poate diviza structura masurata si scara de masura (s):

D=log(n(s)) / log(s)

Metoda de calcul presupune verificarea existentei unei legi de tip putere intre un

parametru masurat "M" si scara de masura "s".

Se cauta deci relatia :

M(s)=cs D

,

unde D = dimensiunea de similaritate sau, daca are valoare neintreaga,

dimensiunea fractala atasata structurii evaluate.

In urma studierii si dezvoltarii lucrarilor lui Hausdorff, Besicovitch a afirmat ca

formele pot avea dimensiuni fractionare. Astfel, curbe cum ar fi cele ale lui Sierpinski sau

Koch , ar cadea intre dimensiunile normale si astfel s-ar putea explica comportarea lor

ciudata. Dimensiunea Hausdorff-Besicovitch a fost calculata pe baza masuratorilor de la

aproximarile simple ale unei curbe.

exemple formule de calcul - dimensiuni :

Dimensiunea curbei Koch este :

s=1

3n si N = 4

n => D = log(4) / log(3) ~ 1,262

Dimensiunea triunghiului Sierpinski este :

s=1

2n si N = 3

n => D = log(3) / log(2) ~ 1,580

Dimensiunea pt. Praful fractal al lui Cantor este:

s=1

3n si N = 2

n => D = log(2) / log(3) ~ 0,631

12

3. Metode de evaluare a dimensiunii fractale:

3.1 Metoda COMPASULUI :

Metoda folosita pentru determinarea dimensiunii fractale a curbelor plane .Aceasta se

bazeaza pe faptul ca o curba fractala isi pastreaza aspectul dantelat cand este privita la o

scala mai mica. A fost descoperita in urma incercarilor geografilor de a masura lungimea

tarmuluiMarii Britanii.

Ei au observat ca valoarea masurata creste foarte mult atunci cand masurarea se

efectueaza cu un compass mai mic.

Metoda este foarte asemanatoare cu “metoda BOX-COUNTING” . Curbase

aproximeazacu o linie poligonala formata din N(r) segmente de lungime r , pentru valori

din ce in ce mai mici ale lui “r”.

Se genereaza un grafic: log(r N(r)) , la ln(1/r) , p

Punctele de coordonate ( log(r N(r)) , la ln(1/r) ) , se vor afla pe o dreapta.

Pe baza pantei graficului se poate calcula dimensiunea fractala a curbei –

dimensiunea-compas.

3.2 ,Metoda dilatarii pixelilor:

Are la baza – Dimensiunea Minskoviski-Boulingand.

Metoda inlocuieste fiecare pixel al figurii cu un cerc de raza “r” , in asa fel incat sunt

eliminate toate partile isolate mai mici decat diametrul cercului. Se determina aria din

interiorul cercurilor. Lungimea curbei se calculeaza impartind aceasta arie la diametrul

“2r” . Dimensiunea fractala se estimeaza din panta graficului :

( log(lungime) , la log(diametru) )

3.3 Metoda raportului masa-raza :

Dimensiunea masica defineste relatia intre suprafata “utila” din interiorul unui

cerc si raza acestuia ( aria intersectiei obiectului studiat cu interiorul cercului).

Metoda calculeaza aceasta suprafata utila pentru valori diferite ale razei si pentru

diferite puncte-centru.Dimensiunea masica se estimeaza tot din graficul logaritm-logaritm

al ariei in functie de raza. Aceasta metoda masica este usor de implementat in programe.

Pentru fractali ideali (create prin aplicarea de o infinitate de ori a unor operatii )

toate aceste dimensiuni sunt egale intre ele. Pentru fractalii la care nu se definesc

dimensiunile de auto-asemanare , aceste dimensiuni difera , cea mai mica dintre ele

fiind dimensiunea capacitiva. De obicei aceasta este cea folosita, putine fiind cazurile in

care celelalte dimensiuni fractale sunt potrivite.

13

3.4 Metoda BOX-COUNTING -Dimensiunea capacitiva - Aplicatii

Pentru a detemina dimensiunea fractala a obiectelor ce nu sunt formate din “piese”

asemenea cu intregul, se folosesc alte tipuri de dimensiuni decat cea de autoasemanare.Cea

mai des folosita este “dimensiunea capacitiva”(de acoperire), ce se determina prin

metoda BOX_COUNTING (numararea cuburilor). Ea presupune acoperirea obictului

cu cuburi de latura “r” necesare pentru a acoperi un obiect D-dimensional este ;

N(r) = 1/rD

Metoda imparte spatiul Euclidian in cuburi de latura “r” si numara acele cuburi care

contin in interior puncte ale obiectului (daca spatiul considerat este plan, imaginea se

acopera cu patrate). Apoi marimea “r” este micsorata si se numara din nou cuburile ce

contin puncte ale obiectului.

Se genereaza un grafic: ln(N(r)) , la ln(1/r) si se determina panta dreptei.

Dimensiunea capacitiva este data de aceasta panta.

Metoda are avantajul ca este usor de implementat in programe si poate fi aplicata oricarui

tip de imagine. Ea se bazeaza pe dimensiunea Hausdorff-Besicovitch.

Pe baza “dimensiunii capacitive” se obtine un rezultat foarte important in geometria

fractala: Dimensiunea unui obiect format din mai multe componente este

maximul dimensiunilor componentelor.

De exemplu:

- pentru Tiunghiul Sierpinsky obtinem urmatoarele puncte pe graphic:

(Log(1) , Log(1) = (0 , 0)

(Log(2) , Log(3) = (0.301 , 0.477)

(Log(4) , Log(9) = (0.602 , 0.954)

(Log(8) , Log(27) = (0.903 , 1.432)

(Log(16) , Log(81) = (1.204 , 1.908)

14

15

Aplicatii in Matlab (1D , 2D si 3D)

Un set (de exemplu, o imagine) este numit "fractal", in cazul in care prezinta auto-

similitudine: acesta poate fi impartita in mai multe parti, fiecare dintre acestea fiind (cel

putin aproximativ) o copie a redus dimensiunea-a intregului.

O caracterizare posibila, a unui set fractal este furnizata de caseta "-numarare"

Metoda: numarul N de cutii de dimensiuni R necesare pentru a acoperi un set fractal

urmeaza o putere-lege,

N = N0 * R ^ (-DF), cu DF <= D

Unde: D = dimensiunea spatiului, de obicei, D = 1, 2, 3.

DF = este cunoscut sub numele de dimensiunea Minkowski-Bouligand , sau

capacitatea de Kolmogorov, sau dimensiunea Kolmogorov, sau pur şi simplu

box-numarare a dimensiune.

Urmatoarele exemple ilustreaza modul de utilizare a pachetului Matlab "boxcount “pentru

a calcula dimensiunea fractala de 1D, 2D sau 3D seturi, folosind caseta" contabilizare

"metoda.

Pachetul contine : - Functia principala – boxcount.m ,

- trei imagini ca exemplu ,

- functia suplimentara – randcantor.m care genereaza multimi

Cantor 1D, 2D şi 3D

Sa incepem cu imaginea “dla.gif” , o matrice de 800x800 (acesta contine numai 0 si 1).

Ea provine dintr-o simulare a procesului "Diffusion Limited Aggregation" process, in care

particulele se misca aleator , pana cand au lovit centrul. Procesul este adesea intalnit in

natura, in procesele fizice si chimice.

Un astfel de exemplu este difuzia si agregarea ionilor de zinc aflati intr-o solutie

electrolitica pe electrozi.Particulele difuzeaza aleator pana in momentul in care se intalnesc

si se alatura structurii.Difuzia particulelor este o miscare Brown-iana.

16

Vom genera urmatoarea axare, folosind codul Matlab :

c = imread( 'dla.gif' ); c = imread dla.gif ( '');

imagesc(~c) imagesc (~ c)

colormap gray colormap gri

axis square axa patrat

Apelarea functiei –boxcunt – fara argumente de ieşire, afişeaza N (numarul de cutii

necesare pentru a acoperi setat) in functie de R (dimensiunea cutii).

Daca setul este un fractal,

N = N0 * R ^ (-DF) , cu DF=dimensiunea fractala

17

boxcount (c)

Rezultatul cautat :

Dimensiunea fractala este generata de urmatorul cod :

[n, r] = boxcount(c)

loglog(r, n,'bo-', r, (r/r(end)).^(-2), 'r--')

xlabel('r')

ylabel('n(r)')

legend('actual box-count','space-filling box-count');

n =

Columns 1 through 7

44000 27466 11786 4265 1386 421 121

Columns 8 through 11

37 12 4 1

r =

Columns 1 through 7

1 2 4 8 16 32 64

Columns 8 through 11

128 256 512 1024

18

Linia roşie punctata arata scalarea ® N = R ^ -2 pentru un spatiu de umplere imagine-2D

normala. Discrepanta intre cele doua curbe indica o multime fractala, ceea ce confirma

afirmatia initiala legat de dimensiunea fractala reala.

boxcount(c, 'slope')

19

c = imread('Apollonian_gasket.gif');

c = (c<198);

imagesc(~c)

colormap gray

axis square

figure

boxcount(c)

figure

boxcount(c,'slope')

20

Panta locala arata ca imaginea este intr-adevar , aproximativ fractala, cu o dimensiune

fractala:

DF = 1,4 +/- 0.1 pentru scala r<100

Bibliografie:

http://iuliasaplacan.bravehost.com/tipfract.html

http://www.csc.matco.ro/brosura/BROSURF2.htm

http://ulechiusa.3x.ro/dimensiunea.htm

http://bogdan.sorlea.com/normalitate/fractalul-perfectiune-si-esenta.html

http://ro.wikipedia.org/wiki/Fractal

http://www.stiintasitehnica.ro/index.php?menu=8&id=57

http://www.fast.u-psud.fr/~moisy/ml/boxcount/html/demo.html