DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF

GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn ∗2 Km

oleh

MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI

M0112054

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2016

i

ii

ABSTRAK

Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. DIMENSI PARTISI DARI GRAFLOLLIPOP , GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn ∗2 Km. Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) yangdapat dibagi menjadi beberapa partisi S. Himpunan Π dengan S ∈ Π dise-but partisi pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasiberbeda terhadap Π dan Π merupakan himpunan dari k−partisi yang terurut.Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensipartisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G). Graf lollipop Lm,n adalahgraf lengkap Km dan graf lintasan Pn yang dihubungkan dengan sebuah bridge.Graf generalized Jahangir adalah graf yang terdiri dari cycle Cmn dengan 1 vertextambahan yang adjacent dengan n vertex dari Cmn dengan m jarak yang sama diCmn. Graf Cn ∗2 Km adalah suatu graf hasil dari operasi amalgamasi edge ataumenggabungkan salah satu edge pada Cn dan satu edge pada Km. Beberapa pe-neliti telah menentukan dimensi partisi pada beberapa kelas graf. Hal ini menjadiacuhan untuk meneliti beberapa kelas graf yang belum diteliti sebelumnya.

Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi dari kelas graf lollipop Lm,n,graf generalized Jahangir Jm,n, dan graf Cn ∗2 Km. Metode penelitian yang digu-nakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka.

Hasil penelitian menyatakan bahwa dimensi partisi dari graf lollipop adalahpd(Lm,n) = m untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1. Dimensi partisi dari graf generali-zed Jahangir terdiri dari dua kasus, yaitu pd(Jm,n) = 3 untuk n = 3, 4, 5 danpd(Jm,n) = ⌊n

2⌋+ 1 untuk n ≥ 6. Dimensi partisi dari graf Cn ∗2 Km terdiri dari

dua kasus, yaitu pd(Cn ∗2 Km) = 3 untuk m = 2, 3, 4, dan pd(Cn ∗2 Km) = m− 1untuk m ≥ 5.

Kata Kunci: dimensi partisi, partisi pembeda, graf lollipop, graf generalizedJahangir, graf Cn ∗2 Km

iii

ABSTRACT

Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. ON THE PARTITION DIMENSIONOF LOLLIPOP GRAPH, GENERALIZED JAHANGIR GRAPH, AND Cn ∗2 Km

GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Univer-sity.

Let G be a connected graph with vertex set V (G), such that V (G) can bedivided into any partition set S. The set Π with S ∈ Π is a resolving partition ofG if for each vertex in G has distinct representation with respect to Π, and Π isan ordered k−partition. The minimum cardinality of resolving k−partitions ofV (G) is called a partition dimension of G, denoted by pd(G). The lollipop graphLm,n is a graph obtained by joining a complete graph Km to a path Pn with abridge. A generalized Jahangir graph is a graph consisting of a cycle Cmn andone additional vertex which is adjacent to n vertices of Cmn at m distance to eachother on Cmn. A Cn ∗2 Km graph is the graph obtained from edge amalgamationor connected to one of edge of Cn and one edge of Km. Many researchers haveconducted research in determining the partition dimension for specific graph clas-ses. There are as reference to determine some of the graph classes that haven’tbeen studied previously.

In this research, we determine the partition dimension of a lollipop graphLm,n, a generalized Jahangir graph Jm,n, and a Cn ∗2 Km graph. The researchmethods in this paper is book study.

The results of this research are as follows. We obtain the partition dimensionof a lollipop graph is pd(Lm,n) = m for m ≥ 3 and n ≥ 1. The partitiondimension of a generalized Jahangir graph consists of two cases. We showed thatpd(Jm,n) = 3 for n = 3, 4, 5 and we prove pd(Jm,n) = ⌊n

2⌋ + 1 for n ≥ 6. The

partition dimension of a Cn ∗2 Km graph consists of two cases. The first case,pd(Cn ∗2 Km) = 3 for m = 2, 3, 4 and the second case, we found pd(Cn ∗2 Km) =m− 1 for m ≥ 5.

Keywords : partition dimension, resolving partition, lollipop graph, generalizedJahangir graph, Cn ∗2 Km graph

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

ibu, ayah, kakak, adik dan orang-orang terdekat saya.

v

MOTO

Sebuah tantangan akan selalu menjadi beban, jika itu hanya

dipikirkan. Sebuah cita-cita juga menjadi beban, jika itu hanya

angan-angan.

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan

kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini

berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu

penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada

1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing yang

telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

ini, dan

2. teman-teman yang telah membantu dan senantiasa memberikan semangat

dalam menyelesaikan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Juli 2016

Penulis

vii

DAFTAR ISI

SAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.4 Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

viii

IIIMETODE PENELITIAN 15

IVPEMBAHASAN 16

4.1 Dimensi Partisi dari Graf Lollipop . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Dimensi Partisi dari Graf Generalized Jahangir . . . . . . . . . . 17

4.3 Dimensi Partisi dari Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

V PENUTUP 26

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

DAFTAR PUSTAKA 27

ix

DAFTAR GAMBAR

2.1 Graf G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Graf G1, G2, dan G1 ∪G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Operasi amalgamasi titik G ∗H dan operasi amalgamasi sisi G ∗2 H 10

2.5 Graf Kp untuk 1 ≤ p ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Graf Pn untuk 1 < n ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Graf Lollipop Lm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Graf generalized Jahangir Jm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9 Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.10 Graf lintasan P8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

x

DAFTAR NOTASI

G : graf G

u, v : vertex

e : edge

V (G) : himpunan vertex dari graf G

E(G) : himpunan edge dari graf G

|V (G)| : banyaknya vertex dari graf G (order)

|E(G)| : banyaknya edge dari graf G (size)

degGvi : degree vertex vi dari graf G

d(u, v) : jarak dari vertex u ke v pada graf G

d(v, S) : jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G

∪ : operasi union

+ : operasi join

⊙ : operasi korona

× : operasi product

⊆ : himpunan bagian

∈ : anggota

∗ : operasi amalgamasi vertex

∗2 : operasi amalgamasi edge

⌈x⌉ : bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

(ceiling)

⌊x⌋ : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

(flooring)

Si : kelas partisi ke-i

|Si| : kardinalitas dari kelas partisi ke-i

Π : partisi pembeda

|Π| : kardinalitas dari partisi pembeda

r(v|Π) : representasi jarak setiap vertex v terhadap Π

xi

pd(G) : dimensi partisi pada graf G

Pn : graf lintasan ber-order n

Kn : graf lengkap ber-order n

Cn : graf cycle ber-order n

Kr,s : graf bipartit lengkap ber-order r + s

Wn : graf wheel ber-order n+ 1

G2n : graf gear ber-order 2n+ 1

Hn : graf helm ber-order 2n+ 1

SFn : graf sunflower ber-order 2n+ 1

fn : graf friendship ber-order 2n+ 1

Sk,m : graf amalgamasi star ber-order km+ 1

Ln,t : graf (n, t)−kite ber-order n+ t

Bn,n : graf barbell ber-order 2n

DCn : graf double cone ber-order n+ 2

Cmn : graf cycle ber-order mn

Lm,n : graf lollipop ber-order m+ n

Jm,n : graf generalized Jahangir ber-order mn+ 1

xii