Diktat PDB1

7/27/2019 Diktat PDB1

1/82

!"#"#

$#%""&"#'()#


2/82

i

"*# *" + " "# ,#"

""#*#+""-##.

+ " !" #" # $#%"" &"#

' ()# # " +

' & $ '## "'/ 01 &" #+#'"# ## #2# #" ""- -.*#

#*#"*"'##*

10#

#***0."#")"#

**+#"+"#+"#,#"#.#'

##'#*".#"2.#"'#+""#")#"

## #2# " + * +.## #

" . " '# ""# ## 2 # ##

**+ +"#' *# * #' * 1 *"

#######.,"##

#%"+##'"##'***3

""#"+"##.""

"#+#"*"##'##+#

2 +#'"# .#"2.#" ## *# #2

#'##."*"+)#"#)#2)#"'# *# )+ *%" "#""- ++ *#'

#,"##+"#'#,#"#"++"*#"2

" # '# )+ *#' * ""- ## +# +

##," +#'"# '# "" ## +"# '#

.+$# **###"2" # '###

.++*#+#"###"2""#

*#*"#+#'#*#")

45*"+#"$#%""&"#

'()##02#"#'*-"*#'+

## # *"# '# .+ #

+#"##"# +*)+*# #+#*##

*#")"#"

6#7


3/82

ii

00 "#,#"0

0 "#,#"8##8#

0 #'"#"#,#"

!

0 ## 3

+"#

9"+"# 0

1 ##&,"#!#"8# 03 :" 07

:"

; 8##


4/82

iii

+&/*0 &%ABC3

/* /,+#'"# yy 2= #0AB3;

/* /,penyelesaian )sin(2 xyy = untuk21)0( =y


5/82

1

#$$%%"

#%%&%$%"

#$'%$%%"

#$$$%"1.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial (differential equation) adalah persamaan yang melibatkan

variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.

Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:

)sin(xedx

dy x+= , (1)

)cos('2" xyyy =+ , (2)

t

u

y

u

x

u

=

+

2

2

2

2

, (3)

023 2 =+ ydydxx . (4)

Persamaan diferensial (disingkat PD) dibagi dalam dua kelas yaitu biasa dan parsial.

Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah suatu persamaan

diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) sebagai suatu

fungsi satu variabel, dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak

bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa (disingkat PDB) dapat dinyatakan dalam

bentuk

( ) 0,...,,,, )( = nyyyyxF .Jelas bahwa persamaan (1), (2), dan (4) adalah PDB, sedangkan (3) adalah tidak.

Sebenarnya, (3) adalah suatu persamaan diferensial parsial (partial differential equation).

Persamaan diferensial parsial (disingkat PDP) adalah suatu persaman diferensial yang

melibatkan dua atau lebih variabel bebas.

Tingkat (order) dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari

derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Sebagai contoh:

(a) 01063

32

=+ ydx

dyx

dx

ydx adalah PDB tingkat 3,

(b) 0)](sin[)( =+ txtx adalah PDB tingkat 2,

(c) 0=+ ayy adalah PDB tingkat 2,

(d) 0)()( =+ txtx adalah PDB tingkat 1,


6/82

&"#,#"" D7

2

(e) 0=

y

u

x

uadalah PDP tingkat 1,

(f)2

2

2

2

2

2

y

u

x

u

t

u

+

=

adalah PDP tingkat 2.

Dari persamaan di atas mudah dilihat mana yang merupakan variabel bebas atau

variabel tak bebas. Sebagai contoh, pada (a) variabel tak bebasnya yaituy =y(x), pada (b)

variabel tak bebasnyax dalam tyang dinyatakan secara eksplisit. Pada (c) dan (d) dipilih

variabel bebasnya adalah sembarang tetapi biasanya dianggapy =y(x) danx =x(t).

Persamaan diferensial parsial (e) mempunyai variabel tak bebas u = u(x, y),

sedangkan pada (f) variabel tak bebasnya yaitu u = u(x, y, t). Seringkali dinotasikan

derivatif parsial dengan subscript(tulisan di bawah garis), seperti kasus (e) dapat ditulis

menjadi 0= yx uu dan untuk (f) menjadi yyxxtt uuu += .

Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari sukuderivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Sebagai contoh:

(a)2

22

31dx

yd

dx

dy=

+ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.

(b) ( ) ( ) 043 =+ yyyx adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.

(c) 0

22

2

2

2

2

=

yx

u

y

u

x

uadalah PDP tingkat dua berderajat dua.

Selanjutnya pada buku ini hanya akan dibahas mengenai persamaan diferensial

biasa. Kata-kata persamaan diferensial diartikan sebagai persamaan diferensial biasa

kecuali keadaannya diperjelas bahwa yang dimaksud adalah persamaan diferensial

parsial.Suatu persamaan diferensial dengan syarat tambahan pada fungsi yang tidak

diketahui dan derivatif-derivatifnya, semua diberikan pada nilai yang sama untuk variabel

bebas, merupakan suatu masalah nilai awal (initial-value problem). Syarat tambahan

tersebut dinamakan syarat awal (initial conditions). Jika syarat tambahan diberikan pada

lebih dari satu nilai variabel bebas, dinamakan masalah nilai batas (boundary-value

problem) dan syaratnya dinamakan syarat batas.

Sebagai contoh, masalah 2)(,1)(;2 ===+ yyeyyx

adalah masalah nilai

awal, sebab dua syarat tambahan diberikan pada =x . Masalah

1)1(,1)0(;2 ===+ yyeyyx

adalah suatu masalah syarat batas, sebab dua syarat

tambahan diberikan pada nilai yang berbeda yaitux = 0 danx = 1.

, %

Suatu persamaan diferensial adalah linear dalam himpunan satu atau lebih variabel-

variabel tak bebas jika hanya jika setiap suku persamaan yang memuat variabel-variabel

tersebut atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat satu.

Suatu persamaan diferensial yang tidak linear dalam beberapa variabel tak bebas

dikatakan tidak linear dalam variabel tersebut. Suatu persamaan diferensial yang tidak

linear dalam himpunan semua variabel tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.

Sebagai contoh:


7/82

&"#,#"" D7

3

Persamaan Diferensial Linearitas

)cos(24 xyyxy =++ Linear, biasa, dan tingkat 2

)cos(24 xyyyy =++ Tidak linear karena memuat yy

)sin(2

2

uvut

v

x

u=+++

Linear dalam v tetapi tidak linear dalam u karena

memuat sin(u). Jadi, persamaan adalah tidak linear.

)sin(2

2

tyxtd

dy

td

xd=++

Linear dalam setiap variabel tak bebasx dany, tetapi

tidak linear dalam himpunan {x,y}. Jadi, persamaan

adalah tidak linear.

," -#

Persamaan diferensial tingkat 1 dan 2 secara umum dapat dituliskan seperti

( ) 0,, =yyxF , (5a)( ) 0,,, = yyyxF , (5b)dengan notasi yang jelas untuk persamaan tingkat tinggi, sehingga persamaan

seringkalidiasumsikan dapat diselesaikan untuk derivatif tertinggi dan dituliskan

( )yxfy ,= , (6a)

( )yyxfy = ,, . (6b)

Suatu fungsi terdiferensialy = (x) adalah penyelesaian dari (5) pada intervalJjika( ) 0)(),(, = xxxF , x J. Biasanya suatu persamaan tingkat satu mempunyai suatu

keluarga penyelesaian y = (x, c) yang tergantung pada parameter tunggal c. Suatupersamaan tingkat dua biasanya mempunyai dua parameter dalam keluarga

penyelesaiannya, misalnya y = (x, c1, c2). Parameter-parameter tersebut adalah sepertikonstanta-konstanta integrasi.

Selanjutnya, suatu persamaan diferensial dikatakan berbentuk diferensial jika

dituliskan sebagai

M(x,y) dx +N(x,y) dy = 0. (7)

Suatu fungsi terdiferensialy = (x) adalah penyelesaian dari (8) jika substitusiy = (x), dxxdy )(=

ke (7) membentuk identitas. Suatu fungsi terdiferensial x = (y) adalah suatupenyelesaian dari (8) jika substitusi

x = (y), dyydx )(=

ke (7) membentuk identitas.

..//..))))Pada persamaan-persamaan berikut ini, klasifikasikan sebagai persamaan diferensial

biasa (PDB) atau persamaan diferensial parsial (PDP), berikan tingkatnya. Jika

persamaan tersebut adalah PDB, nyatakan variabel bebas dan tak bebasnya, dan juga

nyatakan apakah persamaan itu linear atau tidak linear.

1. 42tyyt = 2. 22 3yyty =

3. ( )23

tyyyt = 4. ( ) ) 01122

=++ dyxdxyx


8/82

&"#,#"" D7

4

5. )(cos)tan(2

=+ r

d

dr6. )2sin( tx

dt

dx=+

7.t

etyyy 3)sin(2 =+ 8.3y

t

t

y

dt

dy=

9. )3cos(29252

2

txdt

dx

dt

xd=++ 10. )(

2

pbapdt

dp=

11. 0=+

+

xt

t

u

x

u12. ( ) 022 22 =++ yyy

13. 1)4( = tyy 14. 02

=+

+

y

t

y

x

y

15.

)32(

)31(

xy

yx

dy

dx

+=

Buktikan bahwa sebuah atau beberapa fungsi yang diberikan adalah suatu penyelesaian

dari persamaan yang diberikan.

16. 0)1( =++ yyxyx ;xexy =)(1 , 1)(2 += xxy

17. 051292 =+++ yyyy ;xexxy += )1()(

18. 084 2 =++ yyxyx ; )ln()( 21

xxxy

=

19. yyy 136 = ; )2cos()(3 xexy x=

20. ( ) )2sin(34 2 xxyy =+ ; ( ) )2sin()2cos()( 216

1

32

253

12

1 xxxxxxy ++=


9/82

5

#()%&"

#$$%" #'%'*'()%&"

#&*&()%&",

Suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu derajat satu adalah suatu persamaan

yang memuat satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas,

biasanya dinamakany, dan derivatif

dx

dy. Suatu persamaan diferensial tingkat satu derajat

satu dapat diambil dalam bentuk

( )yxfdx

dy,= (1)

dengan f(x, y) adalah kontinu di x dan y. Seringkali persamaan (1) dituliskan dalam

bentuk lain seperti

M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0. (2)

Gambar 2.1: Keluarga kurvaf(x) =x2

2kx +y2.

Suatu persamaan diferensial memberikan informasi tentang fungsi tak diketahui

y(x). Penyelesaian umum (general solution) dari suatu persamaan diferensial tingkat satu


10/82

&"#,#"" D7

6

adalah keluarga dari semua fungsi y(x) yang memenuhi persamaan. Setiap fungsi dalam

keluarga tersebut adalah suatu penyelesaian khusus (particular solution) dari persamaan

diferensial. Dalam beberapa kasus, keluarga fungsi-fungsi akan tergantung oleh suatukonstanta k, dan grafik dari fungsi tersebut akan berbentuk suatu keluarga dari kurva-

kurva pada bidang XY tetapi tidak saling bersentuhan satu dengan yang lainnya, seperti

pada Gambar 2.1.

Selanjutnya akan dibicarakan beberapa bentuk persamaan diferensial biasa tingkat

satu derajat satu beserta metode elementer untuk menyelesaikannya.

, 0

Suatu persamaan diferensial terpisahkan (separable differential equation) adalah

suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu yang secara aljabar dapat direduksi ke

suatu bentuk diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu

variabel. Sebagai contoh yaitu f(x)dx + g(y)dy = 0, dengan penyelesaiannya tentu sajaadalah

kdyygdxxf =+ )()( .Persamaan diferensial (1) adalah terpisahkan jika dapat dituliskan ke bentuk

)()( yQxPdx

dy= , (3)

sedangkan jika persamaan diferensial diberikan dalam bentuk (2), maka persamaan

diferensial ini dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan ke bentuk

f(x)G(y)dx + F(x)g(y)dy = 0. (4)

Suatu penyelesaian umum untuk persamaan (3) dapat ditemukan dengan lebih dahulu

mengalikannya dengan dx , selanjutnya dibagi dengan Q(y) dan diintegralkan:

kdxxPyQ

dy+= )()( . (5)

Untuk persamaan (4), penyelesaian dapat ditemukan dengan lebih dahulu membaginya

dengan hasil kali )()( yGxF untuk memisahkan variabel dan selanjutnya diintegralkan:

=+ kdyyGyg

dxxF

xf

)(

)(

)(

)(. (6)

Perlu dicatat bahwa bentuk (5) dan (6) sebenarnya dapat dibawa ke bentuk yang

sama menjadi

=+ kdyyNdxxM )()( .Berikut ini diberikan langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial

terpisahkan yang diberikan dalam bentuk (1):

Langkah 1. Persamaan dituliskan dalam bentuk (3) untuk menentukan Q(y), dan

diselesaikan persamaan Q(y) = 0 untuk memperoleh penyelesaian konstan

dari PD.

Langkah 2. Digunakan beberapa operasi aljabar untuk memisahkan variabel dan

selanjutnya diintegralkan.

Jika mungkin, diselesaikan untuky sebagai fungsi darix. Penyelesaian ini

biasanya tergantung pada suatu konstanta k

Langkah 3. Dituliskan penyelesaian umum untuk PD yang diperoleh pada langkah 1

dan 2 dengan memperhatikan apakah penyelesaian konstan dapat diperoleh

dari penyelesaian pada Langkah 2.


11/82

&"#,#"" D7

7

Langkah 4. Jika suatu nilai awal y(x0) = y0 diberikan, digunakan syarat tersebut untuk

menemukan konstanta kdan penyelesaian khusus dari masalah nilai awal.

Perlu dicatat bahwa mungkin penyelesaian khususnya adalah penyelesaiankonstan pada Langkah 1.

Untuk kasus Q(y) = 0 dan Q(y) 0 harus dilakukan secara terpisah pada langkah 1 dan 2,

sebab pembagian oleh Q(y) pada langkah 2 tidak dapat dilakukan untukQ(y) = 0.

1..2,,Selesaikan masalah nilai awal

ydx

dy2= , y(1) = 5.

-#,Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1. Diambil Q(y) = 2y dan diselesaikan 2y = 0, diperolehy(x) = 0 adalah

penyelesaian konstan untuk PD.

Langkah 2. Memisahkan variabel dan mengintegralkan kedua sisi.

= dxydy

2 ln (y) = 2x + k kxey += 2

xcey 2= , dengan kec = jikay > 0, dan kec = jikay < 0.

Langkah 3. Karena penyelesaian konstan bisa diperoleh dari penyelesaian pada

Langkah 2 dengan mengambil c = 0, maka penyelesaian umum untuk

persamaan diferensial adalah:x

cey2

= .

Langkah 4. Disubstitusikan 1 untukx dan 5 untuky pada penyelesaian umum:1.2

5

=

ce

2

5ec=

.Jadi, penyelesaian khusus untuk PD:xx

eeexy2222 55)( == .

Grafik dari penyelesaian khusus ditunjukkan pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2: Grafik penyelesaian yy 2= untuky(1) = 5.

1..2,,

Tentukan penyelesaian umum untuk persamaan diferensial

)sin(2 xydx

dy= .

Selanjutnya tentukan penyelesaian khususnya jika 21

)0( =y .


12/82

&"#,#"" D7

8

-#,Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1. Diambil Q(y) = y

2dan diselesaikan y

2= 0, diperoleh y(x) = 0 adalah

penyelesaian konstan untuk PD.Langkah 2. dxxdyy )sin(2 =

kdxxdyy += )sin(2

kxy += )cos(1 ( ) 1)cos( = kxy .

Langkah 3. Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial adalah:

y(x) = 0 atau ( ) 1)cos()( = kxxy ,karenay(x) = 0 tidak bisa diperoleh dari penyelesaian kedua.

Langkah 4. Penyelesaian konstan tidak memenuhi syarat awal. Karena itu

( ) ( ) 1121 1)0cos()0(

=== kky k= 1.

Jadi, penyelesaian khusus untuk PD:

( )

1

1)cos()(

+= xxy ,yang diilustrasikan pada Gambar 2.3. Ini didefinisikan hanya untuk


13/82

&"#,#"" D7

9

Gambar 2.4: Grafik penyelesaianx

yy 12

= untuky(1) = 2.

Langkah 4. Disubstitusikanx = 1 dany = 2 ke penyelesaian Langkah 2, diperoleh

( )31

21 ln=k .

Penyelesaian yang diberikan dalam bentuk implisit dituliskan kembali

dalam bentuk eksplisit yaitu

2

2

3

3

x

xy

+=

dengan grafiknya dinyatakan pada Gambar 2.4.

1..2,,$Gerak suatu benda jatuh dalam suatu media penahan dinyatakan dengan

bvgtd

dv=

ketika daya tahannya sebanding dengan kecepatan v. Tentukan kecepatan setiap saat

dengan persyaratan 0)0( =v .

-#,Dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:Langkah 1. Diselesaikan Q(v) = g bv = 0, diperoleh penyelesaian konstan

b

gtv =)( .

Langkah 2. dtbvg

dv= kdtbvg

dv+=

ktbvgb

+= )ln(1

)()ln( ktbbvg +=

)( ktbebvg

+= ( ))(1 ktbeg

bv

+= .

Langkah 3. Penyelesaian konstan tidak bisa diperoleh dari penyelesaian pada

Langkah 2 untuk suatu nilai k, maka penyelesaian umum untuk

persamaan diferensial adalah:

( )

=

+ )(1)(

ktb

b

b

g

egtv .


14/82

&"#,#"" D7

10

Langkah 4. Karena penyelesaian konstan tidak memenuhi syarat awal, disubstitusi

t= 0 dan v = 0 ke penyelesaian pada Langkah 2, diperoleh

( ) 01 = bkegb 0=bkeg ge bk =

)ln(gbk= )ln(1

gb

k = .

Jadi persamaan kecepatan dari benda jatuh dinyatakan dengan

( )bteb

gtv

= 1)( .

1..2,,!Selesaikan persamaan-persamaan diferensial di bawah ini dengan memisahkan

variabel-variabel.

(a)y

x

dx

dy 2=

(b)( )3

2

1 xy

x

dx

dy

+=

-#,

(a) Karena tidak aday sehingga 01

=y

, maka tidak ada suatu penyelesaian konstan

untuk PD. Selanjutnya dicari penyelesaian tak konstan.

Persamaan diferensial ditulis kembali menjadi

xdxdyy2

=

dan selanjutnya diselesaikan sebagai berikut:

= xdxydy2 = xdxydy

2 kxy

+=32

32

3y2 2x3 = 6k.(b) Seperti pada soal bagian (a), persamaan tidak mempunyai penyelesaian

konstan. Selanjutnya persamaan dapat ditulis kembali menjadi

xdx

xdyy

3

2

1 +=

dan diselesaikan sebagai berikut:

+= xdxx

ydy 3

2

1 ( ) 13

2

1ln3

1

2 kx

y

++= ( ) 232

1ln23 kxy =+

dengan k2 = 6k1.

1..2,,'Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut ini:

(a) x(y2

+ 2)dx +y(x2

+ 1)dy = 0

(b) (y2

+ 1)dx + (x2

+ 1)dy = 0

-#,

(a) Persamaan dibagi oleh (y2

+ 2)(x2

+ 1) menjadi

dyy

ydx

x

x

2122

++

+= 0.

Menggunakan teknik integrasi fungsi rasional, diperoleh


15/82

&"#,#"" D7

11

+

++

dyy

ydx

x

x

2122

= k1

( ) ( )1ln1ln 2212

21 +++ yx = k1

( )( ){ }11ln 22 ++ yx = ln (k2) [ln (k2) = 2k1]x

2y

2+x

2+y

2+ 1 = k2

x2y

2+x

2+y

2= k. [k= k2 1]

(b) Persamaan dibagi oleh (y2

+ 1)(x2

+ 1) menjadi

dyy

dxx 1

1

1

122

++

+= 0,

dan diintegralkan sebagai berikut:

+

+

+

dy

y

dx

x 1

1

1

122

= k1

arctan(x) + arctan(y) = arctan(k). [arctan(k)= k1]

Dengan memisalkan

arctan(x) = , arctan(y) =, arctan(k) = tan() =x, tan() =y, tan() = k,

diperoleh

+= tan(+) = tan() )tan()tan().tan(1

)tan()tan(=

+

kxy

yx=

+

1

kx

xky

+

=

1.

Untuk menghindari kesalahan, penyelesaian umum dapat diperiksa dengan

diferensiasi. Sebagai contoh, penyelesaian untuk Contoh 2.2.2 dapat diperiksa sebagai

berikut.

y(x) = ( ) 11)cos( +x

dx

dy = ( ) ( ))sin(1)cos( 2 xx +

= ( ) ( ))sin(1cos 2 xx + = y

2sin(x).

./.))+,

Pada soal 1 40, tentukan penyelesaian umum untuk persamaan diferensial.

1. ( )2sin xxy = 2. xey 3= 3.

yey

= 4. 3yy =

5. 12 = yy 6. ( )1+= yxyy

7. ( ) xeyy 21 += 8. 21)cos( yxy = 9. )tan(xyy = 10. )sin(xyy =

11. 21yxy

= ,x 0 12. 21

+= yy

13.12

12

+=

y

xy 14. ) ) 018 22 =+ yxyyx


16/82

&"#,#"" D7

12

15. 0)cos()sin(2 =+ dpptdtp 16.( ) 11

2

1 +=

++ y

x

xy

x

x

dx

dy

17. ( ) ( )yxyx +=+ 1212 18. 22 1 xyyx =+

19. 0)(5)( 44 =+ txttx 20.29 x

dt

dx=

21.x

eyy

=2 22. yyx += 12

23. 022 =+ ydyaxdxb 24. dyxydxx 343

=

25. 032 2 =+ dyxxydx 26. 023 32 =+ dyxydxx

27. 022 =+ xydydxy 28. 02

=

x

ydxxdy

29. 02 1 =+

dyxdx 30. 0)cos( =+ ydydxx

31. 03 2 =+ dxyxdy 32. 0= dredre

33. 044

41 =+ dredre 34. 02 =

dyedx

xy

35. 0)cosh()sinh( 1 =+

dyxydxx 36. dyxydxxy )2sin()2cos(2 21

=

37. 0)cos()sin( =+ dyydxy 38. dyxydxxy )cos()cos()sin()sin( =

39. dyyxdxyx )sin()cosh()cos()sinh( =

40. dyyxdxyx )cosh()2cos()sinh()2sin(2 =

Pada soal 41 60, selesaikan masalah nilai awal.

41. 32xyy = , y(1) = 2 42. yxy = , y(0) = 3

43.y

xy

)ln(= , y(1) = 2 44. 22 += xyxyy , y(0) = 0

45. xdx

dyy = 1 ,y(1) = 1 46. ( ) )sin(4 xxey y = , y(2) = 4

47.yx

ey+

= ,y(0) = 0 48. ( ) xyyy 232 += , y(1) = 249. 094 =+ ydyxdx ,y(3) = 0 50. ydyxdxyx 324 23

= , y(4) = 8

51. ( ) 022

=+xedyxydx ,y(0) = 2 52.

( )112

=

xyy ,y(0) = 1

53.1

1

+

= y

xy ,y(0) = 1 54. 1

1

+

+= x

yy ,y(0) = 1

55. ( ) xxyyx =+ 21 ,y(0) = 2 56. 22221 ytytdt

dy+++= ,y(0) = 1

57.1

12

2

+=

y

xyxy ,y(1) = 2 58. ( ) ( ) 023 =++ dyxdxy ,y(1) = 7

59. ( ) ( ) 01213 322 =+ dyyxdxyx ,y(2) = 2,560. dyyxdxyx )2sin()sin(2)2cos()cos( = ,y(1,5) = 0,5


17/82

&"#,#"" D7

13

," %0

Suatu fungsi F(x,y) adalah fungsi homogen berderajat n dalamx dany jika

F(x, y) = n F(x,y)untuk setiap parameter . Sebagai contoh:

(a)22

22

),(yxyx

yxyxF

++

+= adalah fungsi homogen berderajat 0.

(b)22 2

),(vuvu

vuvuG

++

+= adalah fungsi homogen berderajat 1.

(c)vu

uvuH

+=),( adalah fungsi homogen berderajat

21 .

Persamaan (2) dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi

homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n.

Lebih lanjut, jika persamaan tersebut dibawa ke bentuk (1), maka persamaan dapat

dituliskan kembali menjadi

( )

===

x

yf

Nx

Mx

yxN

yxM

dx

dy

x

yn

x

yn

,1

,1

),(

),(. (7)

Perlu dicatat bahwa ruas kanan tidak berubah apabila secara bersamaan x diganti dengan

ax dan y diganti dengan ay. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan

persamaan tersebut:

Langkah 1. Dimisalkanx

xyxu

)()( = untukx 0, atau ekuivalen dengany(x) = u(x).x,

dan derivatifnya dx

duxudx

dy+= atau dy = udx +xdu.

Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke persamaan diferensial dan

dikelompokkan dalam dua suku diferensial dx dan du sehingga akan

diperoleh persamaan diferensial terpisahkan.

Langkah 3. Diselesaikan persamaan diferensial terpisahkan.

Langkah 4. Disubstitusikanx

yu = ke persamaan yang diperoleh pada Langkah 3

sebagai penyelesaian untuk PD awal.

1..2,",

Selesaikan persamaan diferensial

(x2 3y2)dx + 2xy dy = 0.-#,

M(x,y) = x2

3y2 M(x, y) = 2 M(x,y),

N(x,y) = 2xy N(x, y) = 2 N(x,y).Oleh karena itu persamaan awal adalah persamaan diferensial dengan koefisien

fungsi homogen, dan diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1. Dimisalkany = ux,x 0, dengan diferensialnya dy = udx +xdu.

Langkah 2. Disubstitusikan persamaany dan dy ke persamaan awal:

(x2

3(ux)2)dx + 2xux(u dx +x du) = 0

(1 u2)dx + 2ux du = 0

du

u

udx

x 21

21

+ = 0. [PD Terpisahkan]


18/82

&"#,#"" D7

14

Langkah 3. PD terpisahkan diselesaikan sebagai berikut:

duu

udx

x

21

21= k1

ln(x) ln(1 u2) = ln k [ln k= k1]

21 u

x

= k.


yu = , diperoleh penyelesaian untuk PD awal:

x3

= k(x2

y2).

Biasanya jika N(x,y) lebih sederhana daripada M(x,y), maka akan lebih disukai

untuk menggunakan substitusi y = ux. Sebaliknya, jika M(x,y) lebih sederhana daripada

N(x,y), digunakan substitusix = wy dengany 0.

1..2,",Selesaikan persamaan diferensial

022 =

+++ dyyxxydx .

-#,

Langkah 1. Dimisalkanx = wy,y 0, dengan dx = w dy +y dw.

Langkah 2. Disubstitusikan persamaanx dan dx ke PD awal, diperoleh

( ) dyyywwyydwwdyy

++++ 222 = 0

dywydwy

++22

1 = 0

dyy

dw

w

1

1

1

2+

+

= 0. [karenay 0]

Langkah 3. PD pada Langkah 2 diselesaikan sebagai berikut:

++

dyy

dw

w

1

1

1

2= k1

)ln(1ln 2 yww +

++ = ln k [ln k= k1]

y =

++ wwk 12 .

Langkah 4. Disubstitusikany

xw = , diperoleh penyelesaian untuk PD awal:

++= 222 yxxky .

1..2,","Selesaikan persamaan diferensial

02 22 =+ xyyxy .

-#,

Persamaan dapat dituliskan kembali menjadi


19/82

&"#,#"" D7

15

=

x

yx

y

dx

dy 1

2

1.


xyxu

)()( = untukx 0, dengan derivatifnya

dx

duxu

dx

dy+= .

Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD di atas:

=+

uu

dx

duxu

1

2

1

u

u

dx

dux

2

12 +=

x

dxdu

u

u=

+ 1

22

.

Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan pada Langkah 2, diperoleh

( ) kxu lnln1ln 2 +=+ x

ku =+1

2.

Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD awal yaitu

y2 +x2

kx = 0.

Secara khusus, terdapat suatu persamaan diferensial tak terpisahkan yang

merupakan modifikasi dari persamaan (7), yaitu

)(xhx

yg

x

y

dx

dy

+= . (8)

Dengan menggunakan substitusi yang sama akan diperoleh

)()( xhugdx

dux =

yang juga terpisahkan:

dxx

xhdu

ug

)(

)(

1= .

1..2,",$Selesaikan persamaan diferensial

y

xx

x

yy

23cos2

+= .

-#,


xyxu )()( = untukx 0, dengan derivatifnya

dx

duxu

dx

dy+= . Diambil

x

yx

yg

1=

dan )22 cos2)( xxxh = .

Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD awal:

)u

xx

dx

dux

22 cos2= ( )dxxxudu 2cos2= .

Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan pada Langkah 2, diperoleh

( ) kxu += 2221 sin ( ) kxu 2sin2 2 += .


20/82

&"#,#"" D7

16


xyxu

)()( = ke persamaan pada Langkah 3, diperoleh

penyelesaian umum untuk PD awal yaitu

( ) kxxy 2sin2 2 += .

./.))+,"Pada soal 1 22, tentukan penyelesaian umum untuk persamaan diferensial yang

diberikan.

1. yxyx += 2. xyyx 32 =

3. 222 xxyyyx += 4. 222 xxyyyx ++=

5. 222 xxyyyx += 6. ( ) 3122 1 xxyyxy ++= 7. ( ) yyyx =+ 8. 3323 yxyxy +=

9. 032 22 =++ yxyxy 10. 022 =+ yxyyx

11.2

2

x

y

x

yy += 12. xyyyx =

13.x

yxyyx 24 cos3= 14.

x

yxyyx sec

2+=

15. 0tan2

=x

yxyyx 16. ( ) 02 2 =+ ydxxdyxxdx

17. 2xyyx += 18. ( ) 0224 2 =++ xydydxyx

19.

= x

y

y

xy sin 20. 3

5

4y

exyyx

x

+=

21.ty

yt

dt

dy

3

3

+= 22.

ty

yt

dt

dy

4

2322

+=

Pada soal 23 32, selesaikan masalah nilai awal.

23.22 4xy

dx

dyxy += ,y(1) = 1 24. yxyx 22 += ,y(0,5)= 0

25. 22 42 xyyxy += ,y(2) = 4 26.xy

xyy

+= ,y(0) = 2

27.xyxyy

+= ,y(1) = 1 28.

txtx

dtdx

3

44

2 += ,x(1) = 1

29.323

2

1yyx

dx

dyx = ,y(1) = 1 30. yxyx += ,y(1) = 1

31.x

yxyy

23

+= ,y(2) = 6 32.2

2

1x

y

x

yy ++= ,y(1) = 0

,$ %

Pada persamaan (2), jika M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi linear dalam x dan y,

maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial dengan koefisien fungsi

linear. Dengan kata lain, persamaan ini mempunyai bentuk:


21/82

&"#,#"" D7

17

(ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0 (9)

dengan a, b, c,p, q, rR.

Berikut ini diperhatikan dua kasus beserta langkah penyelesaiannya:

Kasus 1.q

b

p

a= ataupx + qy = k(ax + by) untuk suatu kR.

Langkah 1. Dimisalkan ax + by = u, dengan diferensialnya yaitu

b

adxdudy

= .

Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD awal untuk

memperoleh PD terpisahkan dalamx dan u.

Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan.

Langkah 4. Disubstitusikan u = ax + by ke penyelesaian pada Langkah 3

untuk memperoleh penyelesaian PD awal.

Kasus 2.qb

pa ataupx + qyk(ax + by) untuk setiap kR.

Langkah 1. Dimisalkanx = u +x1dany = v +y1 denganx1 dany1 berturut-

turut adalah nilai x dan y yang merupakan penyelesaian dari

sistem persamaan linear

ax + by + c = 0

px + qy + r = 0.

Langkah 2. Disubstitusikan persamaan x dan y pada Langkah 1 beserta

diferensialnya, dx = du dan dy = dv, ke PD awal, untuk

memperoleh PD koefisien fungsi homogen dalam u dan v.

Langkah 3. Diselesaikan PD yang diperoleh dari Langkah 2.

Langkah 4. Disubstitusikan u = x x1 dan v = y y

1 untuk memperoleh

penyelesaian PD awal.

1..2,$,

Selesaikan persamaan diferensial

( ) ( ) 0196392 =++ dyyxdxyx .-#,

Karena 3x 6y = 3(x 2y), PD diselesaikan dengan langkah-langkah seperti berikut:

Langkah 1. Dimisalkanx 2y = u dengan dy =2

dudx .

Langkah 2. Disubstitusikan persamaan pada Langkah 1 ke PD awal, diperoleh

( ) ( ) 21939dudx

udxu

++ = 0

( ) ( )duudxu 1931 ++ = 0

dx = duu

u

1

193

+

+[PD terpisahkan]

Langkah 3. Diselesaikan PD terpisahkan sebagai berikut:

dx = kduuu

++

+ 1

193

x = kduu

+

++ 1

163

x = 3u + 16ln(u + 1) + k.


22/82

&"#,#"" D7

18

Langkah 4. Disubstitusikan u = x 2y, diperoleh penyelesaian umum untuk PD

awal yaitu

x = 3(x 2y) + 16ln(x 2y + 1) + k.

1..2,$,Selesaikan persamaan diferensial

( ) ( ) 0373737 =+ dyyxdxyx .-#,

Karena 7x 3y k(3x 7y) untuk sebarang k R, maka PD diselesaikan dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1. Sistem persamaan linear

7x 3y 7 = 0

3x 7y 3 = 0

mempunyai penyelesaianx = 1 dany = 0. Karena itu dimisalkanx = u

+ 1 dany = v dengan diferensialnya dx = du dan dy = dv.Langkah 2. Disubstitusikan persamaanx dany serta diferensialnya di Langkah 1 ke

PD awal, diperoleh

( ) ( ) 07337 =+ dvvuduvu yang merupakan PD dengan koefisien fungsi homogen.

Langkah 3. Diselesaikan PD pada Langkah 2 sebagai berikut:

Dimisalkan v = tu, untukt= t(u) dan u 0, dengan dv = tdu + udt.

Selanjutnya disubstitusikan ke PD, diperoleh

( ) ( )( )udttdutuudutuu ++ 7337 = 0

) ( )dttudutu 7317 22 + = 0

duu7 = dt

tt

2173

duu7

=

dt

t

t21

73

)ln(7 u = ( ) ( ) ktt ++ 52 11ln

)ln(7 u = ( ) ( ) kuv

uv +

+

5211ln

( ) ( ) )ln(711ln 52 uuv

uv +

+ = k

( ) ( )

+527

11lnuv

uvu = k

Langkah 4. Disubstitusikan u =x 1 dan v =y, diperoleh penyelesaian umum

untuk PD awal yaitu

( ) ( ) 152

11 kyxyx =+ . [ln k1 = k]

./.))+,$Pada soal 1 9, tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang diberikan.

1.542

32

+

=

yx

xyy 2.

5

1

+

+=

xy

xyy

3. xy

xy

y 21

421

++

= 4. 92

32

++

++

= yx

yx

y


23/82

&"#,#"" D7

19

5.4

3

++

++=

yx

yxy 6.

53

222

+

+=

yx

yxy

7.926

63

++

++=

yx

yxy 8.

1

1

++

+=

yx

yxy

9.yx

yxy

+

+=

2

5210.

xy

yxy

2

32

+

++=

,!

Suatu persamaan diferensial berbentuk (2) dinamakan persamaan diferensial

eksak (exact differential equation)jika hanya jika terdapat suatu fungsi f sehingga

x

fM

= dan

y

fN

= dalam keseluruhan suatu daerah. Jadi, dipunyai

0=+ dyy

fdx

x

f

atau [ ] 0),( =yxfd . Penyelesaiannya yaitu kyxf =),( dengan k

adalah konstanta sebarang.

Meskipun beberapa persamaan eksak mudah untuk dikenal dan diselesaikan,

umumnya tidak mungkin untuk mengatakan dengan pendugaan apakah suatu persamaan

diferensial tingkat satu yang diberikan adalah eksak atau tidak. Berikut ini adalah kriteria

sederhana untuk keeksakan.

.,!,

Jikax

fyxM

=),( dan

y

fyxN

=),( adalah kontinu, maka persamaan diferensial

(2) adalah eksak jika hanya jikax

N

y

M

= .

,

Jika persamaan diferensial (2) adalah eksak, maka terdapat suatu fungsi

diferensial ),( yxf sehingga [ ] 0),( =yxfd . Dipunyai

x

fyxM

=),( dan

y

fyxN

=),(

sebagai suatu syarat keeksakan. Sebagai tambahan, jikaMdanNterdiferensial, maka

x

N

yx

f

xy

f

y

M

===

22

dengan derivatif parsial campuran darifada dan kontinu. Karena itu,y

M

dan

x

N

ada, kontinu, dan sama.

Untuk membuktikan kebalikan dari teorema, diasumsikan bahwax

N

y

M

= .

Karena itu terdapat fungsifsehingga

Mx

f=

dan N

y

f=

.


24/82

&"#,#"" D7

20

Diambil pertama kali intergral ),( yxM terhadapx, dan tergantungy. Diperkenalkan

variabel tyang memberikan pernyataan

)(),(),(0

ycdtytMyxf xx

+= . (10)

Bukti akan lengkap jika dapat ditentukan )(yc dan ),( yxNy

f=

.

Berdasarkan (10), diperoleh

y

f

= )('),(

0

ycdtytMy

x

x+

= )('

),(

0

ycdty

ytMx

x+

= )('),(

0

ycdtt

ytNx

x+

= )('),(),( 0 ycyxNyxN +

Jadi y

f

akan sama dengan ),( yxN , seperti yang diminta, jika ),()(' 0 yxNyc = ,

yang berarti

=y

ydttxNyc

0

),()( 0 .

Telah ditunjukkan bahwa jikax

N

y

M

= , maka

+=y

y

x

xdttxNdtytMyxf

00

),(),(),( 0 . (11)

Bukti lengkap.

Dengan menggunakan hipotesis yang sama, kita dapat membuktikan syarat cukupdari teorema di atas dengan pertama kali mengintegralkan N x y( , ) terhadap y, dan

tergantungx. Dengan cara ini kita temukan fungsi g yang dinyatakan oleh

+=y

y

x

xdttxNdtytMyxg

00

),(),(),( 0 (12)

Berikut ini akibat yang memberikan dua cara menuliskan penyelesaian.

,!,

Jika persamaan diferensial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM adalah eksak, maka untuk

),( 00 yx dan sebarang titik ),( yx ,

1000 ),(),(),( kdttxNdtytMyxf

y

y

x

x =+= (13)atau

2000

),(),(),( kdttxNdtytMyxgy

y

x

x=+= (14)

adalah suatu penyelesaian umum untuk persamaan diferensial.

Berikut ini langkah-langkah untuk menyelesaikan PD eksak berbentuk (2).Langkah 1. Dituliskan fungsi diferensial

Mx

f=

dan N

y

f=

.


25/82

&"#,#"" D7

21

Langkah 2. Diselesaikan

f(x,y) = )(),( 1 ykdxyxM + ,f(x,y) = )(),( 2 xkdyyxN + .

Langkah 3. Dibandingkan kedua persamaan pada Langkah 2 untuk menentukan k1(y)

dan k2(x) sehingga diperolehf(x,y).

Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD adalah

f(x,y) = k.

Untuk Langkah 2 dan Langkah 3 dapat dilakukan dengan cara lain seperti yang

ditunjukkan pada bukti syarat cukup dari Teorema 2.5.1.

1..2,!,Tunjukkan bahwa diferensial-diferensial berikut adalah eksak dan selesaikan

persamaan diferensial yang berkorespondensi:

(a) ( ) ( ) 0419 2 =+ dyxydxyx .(b) ) ) 0)cos(2)cos()sin(2)sin( =++ dyxyedxxyye xx .

-#,(a) Untuk persamaan ini,

19),( 2 += yxyxM 1=

y

M

xyyxN += 4),( 1=

x

N,

karena itu PD adalah eksak dan diselesaikan sebagai berikut:

Langkah 1. Fungsi diferensialnya yaitu

19 2 +=

yx

x

fdan xy

y

f+=

4 .

Langkah 2. ) )(319),( 132 ykxyxxdxyxyxf ++=+=

( ) )(24),( 22 xkyxydyxyyxf ++=+=

Langkah 3. Dengan membandingkan kedua persamaan di atas, diperoleh

k1(y) = 2y2

dan k2(x) = 3x2

x, karena itu23 23),( yxyxxyxf += .

Langkah 4. Penyelesaian umum untuk PD adalah

kyxyxx =+

23

23 .

(b) )sin(2)sin(),( xyyeyxMx

= )sin(2)cos( xyey

M x=

,

)cos(2)cos(),( xyeyxNx

+= )sin(2)cos( xyex

N x=

,

karena itu PD adalah eksak.

Langkah 1. Fungsi diferensialnya yaitu

)sin(2)sin( xyyex

f x=

dan )cos(2)cos( xye

y

f x+=

.

Langkah 2. f(x,y) = ( ) dxxyyex )sin(2)sin(


26/82

&"#,#"" D7

22

f(x,y) = )()cos(2)sin( 1 ykxyyex

++

y

f

= )()cos(2)cos( 1 ykxyex

++ .

Langkah 3. Dengan membandingkan persamaany

f

pada Langkah 1 dan 2,

diperoleh 0)(1 = yk atau k1(y) = konstanta. Karena itu, dipunyai

1)cos(2)sin(),( kxyyeyxfx

++= .

Langkah 4. Penyelesaian umum PD adalah

kxyyex

=+ )cos(2)sin( .

./.))+,!

Pada soal 1 23, tentukan penyelesaian umum untuk PD yang diberikan.1. ( ) ( ) 02243 22 =+++ dyyxdxxyx 2. ( ) dyyxdxxy )(csc)cot( 22 =+ 3. ( ) ( ) 02243 22 =+ dyxydxxyx 4. 01213 34 =+ yxyy 5. ( ) 01 =++ dyxedxye xyxy 6. ( ) 02 =++ dyeydxye xx 7. ( ) dyyxdxxy )sin(4)cos( 2 =+ 8. ( ) ( ) 02 2 =+++ dyxexdxyxe yy

9. ( ) ( ) 02222 22 =+++ yxydx

dyxyx 10. ( ) ( ) 021 =+++

dx

dyxeyye

xyxy

11. ( ) 0ln)cos( =

+++

dx

dye

y

xyx y 12. ( ) 022 =++

dx

dyyxxxy

13. ( ) 0)sin()cos( 2 =+ dyyxydxy 14. ( ) ( ) 0232 22 =+ dyyxdxxxy 15. ( ) 0

22

=++ dyydxxe yx 16. ( ) 02)sin()cos( 2 =++ dyxydxyxxx

17. ( ) 02)3cos(3)3sin(2 2 =++dx

dyyyxyx 18. ( ) ( ) 02cos2cos2 =

dx

dyyxyx

19. ( ) 0242 2 =++++ yyxexyyey xyxy 20. ( ) ( ) 03)cos()sin(2 223 =+++ dyeyyxdxeyyx xx 21. ) ) 0333 23232 =++++ dyyexyexydxeyx yyy 22. ( ) ( ) 01026103 222 =+++ dyyxxydxxyy

23. ( ) 02)sin().sin(2)cos().cos( =++ yyyxxyx

Pada soal 24 30, tentukan penyelesaian khusus untuk PD yang diberikan.

24. ) )dyyxyedxyxye xx )(2)sin()(2)cos( +=+ ,y(0) = 25. ( ) 0)(sec5)tan(2 22 =++ dyyxdxyx , ( )

421 =y

26. ( ) 01

22=+

+

dyydxx

yx

,y(4) = 3

27. ( )[ ] 021ln1

=++

dyyxdxx

y,y(2) = 4


27/82

&"#,#"" D7

23

28. ( ) 01

22=+

+dyydxx

yx,y(0) = 4

29. ( ) 0)3cos()3sin(3 =+ dyydxye x ,y(0) =

30. ( ) ( ) 0)sin(3)cos(2 232 =++ dyyyxxdxyxyx ,y(0) = 2

,'

Jika suatu persamaan diferensial berbentuk (2) mempunyai sifaty

M

x

N

maka

persamaannya dinamakan persamaan diferensial tak eksak. Seringkali, suatu persamaan

diferensial tak eksak dapat diubah ke persamaan diferensial eksak dengan mengalikan

keseluruhan persamaan dengan suatu faktor yang tepat, yang disebut faktor

pengintegralan (integrating factor).Pengamatan berikut seringkali membantu dalam menemukan faktor pengintegralan:

1. Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi

( )222

1yxdydyxdx +=+ ,

dicoba fungsi 22 yx + sebagai suatu pengali.

2. Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi

)(xydydxxdy =+ ,

dicoba fungsixy sebagai suatu pengali.

3. Jika suatu persamaan diferensial tingkat satu memuat kombinasi ydxxdy , dicoba

21

xatau

21

ysebagai suatu pengali. Jika tidak, dicoba

xy1 atau

221

yx +atau

fungsi dari pernyataan tersebut, sebagai suatu faktor integral, dengan mengingat:

xy

ydxxdy

x

yd

=

ln ,

22

1tan

yx

ydxxdy

x

yd

+

=

.

Teorema berikut menunjukkan kemungkinan lain untuk menemukan faktor

pengintegralan dari persamaan diferensial tak eksak bentuk (2).

.,',

(a) Jika

x

N

y

M

N

1adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka

( ) dxxf )(exp adalah suatu faktor pengintegralan.

(b) Jika

y

M

x

N

M

1adalah suatu fungsi y saja, katakan g(y), maka

( ) dyyg )(exp adalah suatu faktor pengintegralan.,

(a) Berdasarkan hipotesis, jika )(xp adalah faktor pengintegralan yang tergantung

pada variabelx saja, maka


28/82

&"#,#"" D7

24

0),()(),()( =+ dyyxNxpdxyxMxp

adalah diferensial eksak. Dari Teorema 2.5.1, dipunyai syarat perlu

)()( Npx

Mpy

=

xdpdN

xNp

yMp +

=

.

Akhirnya, diperoleh

)(.)(1

xfxpx

N

y

M

Np

xd

pd=

=

yang mempuyai suatu penyelesaian umum

= dxxfxp )(exp)( .(b) Analog.

Diberikan langkah-langkah untuk menyelesaikan PD tak eksak bentuk (2):

Langkah 1. Dihitung

y

MMy

= dan

x

NNx

= .

Langkah 2. Terdapat dua kasus.

Kasus 1 : DihitungN

NM xy .

Jika pernyataan ini adalah fungsix saja, maka dipilih faktor pengintegralan

= dxN

NMxp

xyexp)( .

Kasus 2: Dihitung M

MN yx

.

Jika pernyataan ini adalah fungsiy saja, maka dipilih faktor pengintegralan

= dyM

MNyq

yxexp)( .

Langkah 3. Persamaan awal dikalikan dengan faktor pengintegralan dan diselesaikan

persamaan baru (eksak) seperti pada subbab sebelumnya.

1..2,',Tentukan faktor pengintegralan dari persamaan di bawah ini dan selesaikan

persamaan yang berkorespondensi

( ) ( ) 023 2232 =++++ dyyxdxyyxyx .-#,

Langkah 1. 32 23),( yyxyxyxM ++= 22 323 yxxMy ++= ,

22),( yxyxN += xNx 2= .

Langkah 2. Karena 3=

N

NM xymerupakan fungsi x saja, maka faktor

pengintegralannya adalah

( ) xexdxp 33exp)( == .Langkah 3. Persamaan awal dikalikan denganp(x) dan diselesaikan.

( ) ( ) 023 223323 =++++ dyyxedxyyxyxe xx .


29/82

&"#,#"" D7

25

Diambil fungsi diferensialnya adalah ),( yxf dengan

(i) x

f

= ( )323

23 yyxyxe

x

++

(ii)y

f

= ( )223 yxe x + .

Persamaan (ii) diintegralkan terhadapy kemudian diderivatifkan

terhadapx:

f(x,y) = )(3

323 xk

yyxe x +

+

x

f

= ( ) )('

332

3233 xk

yyxeyxe

xx+

++

(iii) = ( ) )('32 323 xkyyxyxe x +++ .Dibandingkan persamaan (i) dan (iii), diperoleh 0)(' =xk atau dengan

kata lain k(x) = konstanta. Oleh karena itu, penyelesaian umum untuk

PD yaitu

ky

yxex

=

+

3

323 .

./.))+,'Pada soal 1 15, tentukan faktor pengintegralan yang merupakan suatu fungsi x atau y

saja dan gunakan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial.

1. (y2

x)dx + 2ydy = 0 2. ydx (x + 6y2

)dy = 03. (2x

3+y)dx xdy = 0 4. (5x

2y)dx +xdy = 0

5. (5x2

y2)dx + 2ydy = 0 6. (x +y)dx + tan(x) dy = 0

7. (2x2y 1)dx +x

3dy = 0 8. y

2dx + (xy 1)dy = 0

9. (x2

+ 2x +y)dx + 2dy = 0 10. (2y3

+ 1)dx + (3xy2

+x3)dy = 0

11. (2cos(y) + 4x2)dx =xsin(y)dy 12. y(x +y)dx + (x + 2y 1)dy = 0

13. (3xey

+ 2y)dx + (x2ey

+x)dy = 0 14. (4xy + 3y2

x)dx +x(x + 2y)dy = 0

15. y(x +y + 1)dx +x(x + 3y + 2)dy = 0

Pada soal 16 19, gunakan faktor pengintegralan yang diberikan untuk mencari

penyelesaian umum persamaan diferensial.

16. (4x2y + 2y

2)dx + (3x

3+ 4xy)dy = 0,p(x,y) =xy

2

17. (3y2 + 5x2y)dx + (3xy + 2x3)dy = 0,p(x,y) =x2y18. (y

5+x

2y)dx + (2xy4

2x3)dy = 0,p(x,y) =x

2y3

19. y3dx + (xy

2x

2)dy = 0,p(x,y) =x

2y

2

20. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial

(axy2

+ by)dx + (bx2y + ax)dy = 0

adalah eksak hanya jika a = b. Jika ab, tunjukkan bahwaxmyn adalah faktor

pengintegralan dengan

ba

abm

+

+=

2dan

ba

ban

+

+=

2.


30/82

&"#,#"" D7

26

,*

Berdasarkan definisi, suatu persamaan diferensial tingkat satu dikatakan linear

dalamy jika tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi nonlinear lainnya dari

y atau y . Dipunyai bentuk yang paling umum yaitu

)()()( xHyxGdx

dyxF =+ (15)

atau muncul dalam bentuk yang lebih biasa seperti

)()( xQyxPdx

dy=+ . (16)

Jika 0)( =xP , maka persamaan dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, atau

jika 0)( =xQ , maka persamaan adalah terpisahkan.

.,*,Persamaan (16) mempunyai

dxxP )(exp sebagai suatu faktor pengintegralan.

,

Jika persamaan (16) dikalikan dengan ( ) dxxP )(exp , maka persamaan dapatdituliskan dalam bentuk

=

dxxPdxxP exQey

dx

d )()()(

yang mempunyai penyelesaian

+=

kdxexQeydxxPdxxP )()(

)( . (17)

Jadi, dipunyai langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan (16).

Prosedur berikut ini seringkali membantu dalam mencari penyelesaian persamaan

(16):

Langkah 1. Dihitung faktor pengintegralan.

Langkah 2. Sisi kanan persamaan yang diberikan dikalikan dengan faktor tersebut dan

sisi kiri dituliskan sebagai derivatif dariy kali faktor pengintegralan.

Langkah 3. Dintegralkan dan diselesaikan persamaan untuky.

1..2,*,Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode faktor pengintegralan:

(a)2

xyadx

dyx = (b) )sec()tan( xxy

dx

dy=+

-#,

(a) Persamaan ditulis kembali menjadi xyx

a

dx

dy=

+ .

Langkah 1. Faktor pengintegralannya adalaha

xdxx

a =

exp .

Langkah 2. Persamaan dapat direduksi menjadi


31/82

&"#,#"" D7

27

aaa

xyaxdx

dyx

=

11 ( ) aa xyx

dx

d =

1.

Langkah 3. yx a = ka

x a+

2

2 y = akx

a

x+

2

2.

(b) Langkah 1. Faktor integralnya adalah ( ) )sec()tan(exp xxdx = Langkah 2. Persamaan direduksi menjadi

)sec()tan()sec( xxydx

dyx + = sec

2(x)

( ))sec(xydx

d= sec

2(x)


kxxy += )tan()sec( atau )cos()sin( xkxy += .

./.))+,*Selesaikan persamaan diferensial menggunakan metode faktor pengintegralan.

1. 2xyy = 2. xyy =+2

3.x

yyx1

2 = , x > 0 4. xyyx =+ , x > 0

5. ( ) xxeyxyx 212 =++ 6. ( ) xexxyyx 22 21 =++ 7. 1)sin()cos( =+ xyxy ,

22


32/82

&"#,#"" D7

28

Suatu persamaan diferensial Bernoulli mempunyai bentuk

nyxQyxP

xd

yd)()( =+ (18)

Secara jelas, untuk n = 0 atau 1 maka persamaan adalah linear; sedangkan untuk nilai

lainnya maka persamaan adalah tidak linear.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan Bernoulli:

Langkah 1. Diperkenalkan variabel tak bebasn

yz

=1 dengan yynz

n =)1( .

Langkah 2. Persamaan (17) dikalikan dengann

yn

)1( , diperoleh

)()1()()1()1( 1 xQnyxPnyynnn

=+

.

Menggunakan persamaan di Langkah 1 akan didapatkan

)()1()()1( xQnzxPnz =+ . (19)

Langkah 3. Berdasarkan rumus (17), diperoleh penyelesaian untuk (19), yaitu

+=

kdxexQnezdxxPndxxPn )()1()()1(

)()1(

Langkah 4. Penyelesaian umum dari persamaan (18) dapat dicari dengan

mensubstitusikann

y1

untukz. Jika n > 0, maka persamaan (18) juga

mempunyai penyelesaiany = 0.

1..2,3,Selesaikan persamaan Bernoulli

222 xy

dx

dyyx = .

-#,Persamaan ditulis kembali menjadi

1

22

1

= y

xy

xdx

dy.

Langkah 1. Dimisalkan 2yz = dengan derivatifnyaxd

ydy

xd

yd

yd

zd

xd

zd2== .

Langkah 2. Persamaan diferensial dikalikan dengann

yn

)1( , kemudian

disubstitusikanz dan z akan didapatkan

xz

xdx

zd=

+

1.

Langkah 3. Penyelesaian untuk persamaan di atas yaitu

( ) kxxkdxexekdxexez xxdx

xdx

x +=+=

+

=

2)ln()ln(

11

.

Langkah 4. Disubstitusikan 2yz = , diperoleh penyelesaian umum untuk PD awal

yaitu

xkxy += 2 .


33/82

&"#,#"" D7

29

,3, 44

Persamaan diferensial Riccati mempunyai bentuk

)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy++= (20)

Secara jelas, jika 0)( =xR , maka persamaan menjadi persamaan Bernoulli. Jika

0)( xR , penyelesaian umum dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1. Diambil satu penyelesaian khusus )(xuy = (biasanya sudah diketahui),

dan karena itu dipunyai

)()()( 2 xRuxQuxPdx

ud++= . (21)

Langkah 2. Disubstitusikan y uz

= +1

dengan derivatifnya

xd

zd

zxd

ud

zu

dx

d

dx

yd2

11=

+= (22)

ke persamaan Riccati, diperoleh

xd

zd

zxd

ud

2

1 = )(

1)(

1)(

2

xRz

uxQz

uxP +

++

+

= )(1

)(12

)(2

2xR

zuxQ

zz

uuxP +

++

++

= )()(1

)()(1

)(2

)(2

2 xRxQz

uxQxPz

xPz

uuxP +++++

= ( )

+++++ )(1)(1)(2)()()(

2

2xQ

zxP

zxP

zuxRuxQuxP .

Karena (21), persamaan disederhanakan menjadi

xd

zd

z2

1 = )(

1)(

1)(

22

xQz

xPz

xPz

u++

xd

zd= )()()(2 xQzxPxzPu .

Diperoleh persamaan diferensial tingkat satuz:

( ) )()()(2 xPzxQxPuxd

zd=++ . (23)

Langkah 3. Persamaan (23) diselesaikan untukz menggunakan rumus (17).

Langkah 4. Disubstitusikan penyelesaian z kez

uy1

+= untuk memperoleh

penyelesaian umum PD awal.

1..2,3,

Selesaikan persamaan Riccati22 yy

dx

dy+= dengan y = 2 adalah penyelesaian

khususnya.

-#,

Langkah 1. Dipunyai suatu penyelesaian khusus y = u(x) = 2.


34/82

&"#,#"" D7

30

Langkah 2. Dimisalkanz

y1

2 += . Karena itu persamaan Riccati direduksi menjadi

( ) 111.2.2 =+ zxd

zd 13 =+ z

xd

zd

Langkah 3. Penyelesaian untuk persamaan di langkah 2 yaitu:

3

1

3

1.1 333

33=

+=

+

=

xxxdxdx

kekeekdxeez .


313

12

+=

xke

y .

./.))+,3

Pada soal 1 20, tentukan penyelesaian untuk persamaan diferensial Bernoulli yangdiberikan.

1. 2yyy =+ 2. 21 xyyxy =+

3. xyyxy += 23 4. 1

=+ xyyy

5. 3yyy += 6. ( ) 4213 yxyy =+

7. 1

=+ xyxyy 8. 1332

+= xayyy

9. 323 yyxyx = 10.y

yyx1

=

11.2

3y

xxyy =+ 12.

y

xxyy =+

13. yyxyx += 53102 14.x

exyxyxy 22)1(2 =+

15.32

=+ yxexyyx

16. 3223 yxyxy =+

17. 22 xyxyy =+ 18.21

xyyx

y =+

19. yxyx

y =+1

20. 33

yxyy =

Pada soal 21 23, gunakan penyelesaian khusus yang diberikan untuk menentukan

penyelesaian umum persamaan diferensial Riccati.

21.2

2

4

1

xyy =+ ,y =

x2

122. 132 += xxyy ,y =x

23.)cos(2

)(sin)(cos2222

x

yxx

dx

dy += ,y = sin(x)


35/82

&"#,#"" D7

31

..//..))))

Pada soal 1 24, selesaikan persamaan diferensial tingkat satu dengan suatu metode yangcocok.

1. 431

+=+ xyx

y 2. 0)2()43( 22 =+++ dyxxydxxyy

3. 0)( =+ xdydxyx 4. 132

+=+ xyx

y

5. 0)2( =+ xdydxeyx

6. )cos(xyy =

7. xxyy 22 =+ 8. 0)( 22 =+ dyxdxxyy

9. 0))2sin(3( =+ dydxxx 10. 0)1( 3342 =+ dyyxdxyx

11. 0)43( =++ dyyxydx 12. 0)1).(sin( = dydxyx

13. 1)1( 2 =+ xyyx 14. 0)3(3 22 =++ dyyxxydx

15.x

eyy 55 =+ 16. xyyyx 2)cos( 2 =+

17. yeyxx

=+ )1( 18. 0)1)(( 2 =+++ dyxeyxdxy

19. 212 yxy = 20. 0)22()1(2

=++++ dyyxydxy

21. 0)cos()cos( =+ yxxy 22. 0)21( 22 =++++

dyedxeyxyx

23.yx

yx

e

e

dx

dy

+

=2

24.)2(

1

+

+=

yy

x

dx

dy

Pada soal 25 30, tentukan penyelesaian khusus untuk persamaan diferensial yangmemenuhi syarat batas yang diberikan.

25. 01)(cos2 =+ yxy ,y(0) = 5 26.2

23 xeyyx =+ ,y(1) = e

27. )sec()sec( xxyy =+ ,y(0) = 4 28. 01

=+ yx

y ,y(2) = 2

29. 0)12( =+ yxy ,y(1) = 2

30. )cos()sec()tan( xxxyy +=+ ,y(0) = 1


36/82

32

"

#

#**++"#", -.#

",,Diketahui keluarga kurva pada bidangXYyang dinyatakan oleh persamaan F(x,y, k)

= 0 dengan k= parameter. Kurva yang memotong tegak lurus kurva-kurva tersebut

dinamakan trayektori ortogonal dari kurva F.

1..2",,Diberikan keluarga kurva y = mx dan y

2+ x

2= k

2yang disajikan pada satu sistem

koordinat kartesius seperti Gambar 3.1 di bawah ini.

Gambar 3.1: Keluarga kurvay = mx dany2

+x2

= k2.

Terlihat bahwa suatu garis berpotongan dengan suatu lingkaran. Garis arah antara

lingkaran (pada titik potong) dan garis adalah saling tegak lurus atau ortogonal,

karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal di titik potongnya. Dengan kata lain garis

lurusy = mx adalah trayektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut. Sebaliknya

dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari

garisy = mx.


37/82

&"#,#"" D7

33

Langkah-langkah menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva F(x,y, k)

= 0:

Langkah 1. Ditentukan persamaan diferensial untuk keluarga kurva, yaitu( )kyxfy ,,=

Langkah 2. Disubstitusikan k= F(x,y) untuk memperoleh persamaan diferensial

implisit bagi F(x,y, k) = 0 berbentuk

( )yxfdx

dy,= .

Langkah 3. Dituliskan persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal,

yaitu

( )yxfdx

dy

,

1= .

Langkah 4. Diselesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga

trayektori ortogonal.

1..2",,

Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini.

(a) y = cx2.

(b) y2

+x2

= 2cx.

-#,

(a) Langkah 1. Persamaan diferensial untuk keluarga kurvay = cx2

yaitu

cxdx

dy2= .

Langkah 2. Disubstitusikan2x

yc = untuk memperoleh persamaan

diferensial implisit:

x

yx

x

y

dx

dy 2..2

2== .

Langkah 3. Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu

y

x

dx

dy

x

y 2

12

== .

Langkah 4. Diselesaikan persamaan diferensial baru (terpisahkan):

xdxydy =2 12 kxdxydy += 12

212 kxy +=

1

22

22 kxy=+

.Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva

2cxy = adalah kxy =+222 .

(b) Langkah 1. Persamaan diferensial untuk keluarga kurvay2

+x2

= 2cx:

y

xc

dx

dy = .


xyc

2

22+

= , diperoleh

xy

xy

dx

dy

2

22

= .


38/82

&"#,#"" D7

34

Langkah 3. Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu

22

2

yx

xy

dx

dy

= .

Langkah 4. Diambil variabel barux

yu = , maka dipunyai

udx

dux

dx

dy+= .

Karena itu, diperoleh

21

2

u

uu

dx

dux

=+

2

3

1

1

u

uu

xdx

du

+= .

Penyelesaian konstannya yaitu u + u3

= 0 yang memberikan hasil

u = 0. Penyelesaian tak konstan dicari sebagai berikut:

dxxduuu

u 113

2

=+

.

Dengan metode integrasi fungsi rasional, dipunyai

=

+ dx

xdu

u

u

u

1

1

212

( ) )ln()ln(1ln)ln( 2 kxuu +=+

kxu

u=

+ 12

dengan k 0. Dengan mensubstitusikan kembalix

yu = ,

diperoleh persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva

y2

+x2

= 2cx:

=+=

kyxyy

220 .

Gambar 3.2: Keluarga kurvay = cx2

dan trayektori ortogonalnya.


39/82

&"#,#"" D7

35

Gambar 3.3: Keluarga kurvay

2+x

2= 2cx dan trayektori ortogonalnya.

", #0%

Beberapa bahan radioaktif mengalami disintegrasi yang berbanding lurus dengan

banyaknya bahan yang ada pada saat itu. Sebagai contoh, jika Xadalah bahan radioaktif

danN(t) adalah banyaknya bahan pada saat t, maka laju perubahanN(t) terhadap waktu t

adalah

)()(

tkNdt

tdN= (1)

dengan kadalah konstanta positif (k> 0). DimisalkanN(0) =N0 adalah banyaknya bahan

mula-mula dariX, maka diperoleh

( ) ( )ktNtN = exp0 . (2)

Jelas bahwa dalam menentukanN(t) diperlukan lebih dulu untuk mencari konstanta k.

1..2",,

Diketahui bahwa setengah dari banyak semula inti radioaktif mengalami disintegrasi

dalam suatu periode 1500 tahun.

a) Berapa persen inti radioaktif semula akan tersisa setelah 4500 tahun ?

b) Setelah berapa tahun hanya sepersepuluh dari banyak semula yang tersisa?

-#,

Diketahui bahwa untukt= 1500 dipunyaiN= 021N , karena itu

1500.002

1 keNN = 211500. =

ke 211500. lnln =

ke

( )21ln1500 = k ( )

21

15001 ln=k .

Jadi

( )( ) ( )150021

021

15000lnexp

t

NNN t == .

(a) Sesaat setelah 4500 tahun, dipunyai

( ) 081

21

015004500

NNN == .

Jadi, sesaat setelah 4500 tahun maka inti radioaktif akan menjadi 12,5% dari

semula.


40/82

&"#,#"" D7

36

(b) Jika 0101 NN = , maka

( )15002100101

t

NN = )2ln(1500)10ln(t

= 89,4982)2ln(

)10ln(1500 =t .

Jadi, inti radioaktif akan menjadi sepersepuluh dari semula sesaat setelah

4982,89 tahun.

"," &0#

Diandaikan P(t) adalah banyaknya individu pada suatu populasi yang mempunyai

laju kelahiran dan kematian konstan berturut-turut dan . Dinamika suatu populasidapat digambarkan oleh persamaan diferensial

)()(

tkPdt

tdP= . (3)

dengan k= .

1..2",",

Pada suatu kultur bakteri tertentu, banyaknya bakteri mengalami kenaikan enam kali

lipat dalam 10 jam. Berapa lama akan diperoleh populasi menjadi dua kali lipatnya.

-#,Dimisalkan P(t)adalah banyaknya bakteri pada saat t, maka

kPdt

dP= .

Dinotasikan P0 adalah banyak bakteri pada saat t= 0, maka

( )ktPP exp0= .

Karena P(10) = 6P0, maka dipunyai

6P0 = P0.exp(10k) 10

)6ln(=k .

Karena itu

tPtP10

)6ln(0 exp)( = .

Selanjutnya untukP(t) = 2P0, maka dipunyai

tPP10

)6ln(00 exp2 =

dan karena itu)6ln(

)2ln(10=t .

1..2",",Diandaikan bahwa ketika danau diisi dengan ikan, laju kelahiran dan kematian

berturut-turutdanberbanding terbalik dengan P .(a) Tunjukkan bahwa

( )2021)( PkttP += .(b) Jika P0 = 100 dan setelah 6 bulan terdapat 169 ikan di dalam danau, maka

berapakah banyaknya ikan dalam danau tersebut setelah 1 tahun?

-#,

(a) Waktu diukur dalam bulan. Karena dan berbanding terbalik dengan P maka terdapat k1 dan k2 sehingga


41/82

&"#,#"" D7

37

P

k 1= dan

P

k 2= .

Dari persamaan (3) diperoleh

Pkdt

dP=

dengan k= k1 k2. Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum

CkttP +=)(2 .

Jika P(0) = P0, maka dari persamaan ini diperoleh

02)(2 PkttP += .

Karena itu

( )2021)( PkttP += . (4)

(b) Jika P0 = 100 dan P(6) = 169, maka dari persamaan (4) diperoleh( )2103169 += k k= 1.

Karena itu P(12) = 162

= 256.

",$ 2&%6

Berdasarkan hukum pendinginan Newton, laju perubahan waktu dari temperatur

T(t) untuk suatu benda yang diletakkan pada suatu media bertemperatur konstan A adalah

sebanding denganA T. Ini berarti bahwa

( )TAkdt

dT=

dengan kadalah konstanta positif.

1..2",$,

Suatu tempat berisi susu mentega dengan temperatur awal 25 C didinginkan dengan

pengaturan temperatur pada 0 C. Diandaikan bahwa temperatur susu mentega

mengalami penurunan sampai 15 C setelah 20 menit. Kapan akan menjadi 5 C?

-#,Dicatat bahwaA = 0, T(0) = 25, T(20) = 15. Dinotasikan t1 adalah waktu ketika T(t1)

= 5. Berdasarkan hukum pendinginan Newton

kTdt

dT= .

Penyelesaian umum untuk persamaan ini adalah T(t) = C.exp(kt). Berdasarkan

syarat awal T(0) = 25, dipunyai C = 25 dan T(t) = 25exp(kt). Berikutnya dicari

konstanta k. Karena T(20) = 15 = 25exp(20k) maka dipunyai)

20

ln35

=k . Rumus

untuk temperatur adalah

( )

= ttT

20

lnexp25)( 3

5

.

Selanjutnya dapat dicari t1:

( )

== 1

35

120

lnexp255)( ttT

( )01.63

ln

)5ln(20

351

==t .


42/82

&"#,#"" D7

38

",! %0

Rangkaian listrik paling sederhana adalah rangkaian seri. Dalam rangkaian ini

dipunyai satu sumber tegangan listrik (gaya elektromotif) seperti generator, aki atau

batere, dan sebuah resistor, yang memanfaatkan energi, misalnya lampu listrik (Gambar

3.4).

ResistorSumber

Sakelar

I

Gambar 3.4: Rangkaian listrik sederhana.

Kalau sakelar ditutup, arus Iakan mengalir melalui resistor, dan ini akan menyebabkan

turunnya tegangan, sehingga mengakibatkan terjadinya perbedaan tegangan antara kedua

ujung resistor. Percobaan menunjukkan berlakunya hukum berikut:

Selisih tegangan ER antara kedua ujung resistor sebanding dengan kuat arus I.

ER =RI (5)

Konstanta kesebandingan R disebut tahanan resistor. Kuat arus Idiukur dalam ampere,

tahananR dalam ohm, dan teganganER dalam volt.

Dua elemen penting lainnya dalam rangkaian yang lebih rumit adalah induktor dan

kapasitor. Percobaan telah menghasilkan hukum berikut:

Selisih tegangan EL antara kedua ujung induktor sebanding dengan

laju perubahan kuat arus I terhadap waktu.

dt

dILEL = (6)

Konstanta kesebandingan L disebut induktansi dan diukur dalam henry; waktu tdiukur

dalam detik.

Selisih tegangan ECantara kedua ujung kapasitor sebanding dengan

muatan listrik Q dalam kapasitor.

QC

EC1

= (7)

Konstanta C disebut kapasitansi dan diukur dalam farad; muatan Q diukur dalam

coulomb. Karena

dt

dQtI =)(

maka

=t

tC dttI

CE

0

)(1

. (8)

ArusI(t) dalam suatu rangkaian dapat ditentukan melalui penyelesaian persamaan-

persamaan yang diperoleh dari penerapan hukum tegangan Kirchoff:

Jumlah semua selisih tegangan dalam suatu rangkaian tertutup adalah nol,

atau selisih tegangan antara kedua ujung rangkaian sama dengan

jumlah selisih tegangan di tempat lain dalam rangkaian tersebut.


43/82

&"#,#"" D7

39

",!,

R

E(t)

L Gambar 3.5: RangkaianRL

Untuk rangkaianRL dalam Gambar 3.5 dan berdasarkan hukum tegangan Kirchoff

serta (5) dan (6), diperoleh:

)(tERIdt

dI

L=+

. (9)

Kasus A. JikaE(t) =E0 (konstanta), maka dari (9) diperoleh PD:

L

EI

L

R

dt

dI 0=+ .

PD diselesaikan dengan faktor integral yaitu:

I(t) =

+

kdtee

dt

L

Edt LR

LR

0 =t

LR

keR

E +0 . (10)

Suku yang terakhir mendekati nol jika tmenuju tak hingga, sehinggaI(t) mendekati

nilai batasRE0 . Setelah waktu yang cukup lama,Ipraktis akan menjadi konstan pada

nilai yang tidak tergantung pada k, jadi tidak tergantung pada syarat awal yang

mungkin telah diberikan. Penyelesaian khusus untuk syarat awalI(0) = 0 adalah

I(t) =

tLR

eR

E10

denganR

Ldisebut konstanta waktu induktif.

Kasus B. Jika tEtE sin)( 0= , maka dari (9) diperoleh PD:

t

L

EI

L

R

dt

dIsin0=+ .

PD diselesaikan dengan faktor integral yaitu:

+

=

kdtetetI

dt

L

Edt LR

LR

)sin()( 0

dan dengan integrasi parsial diperoleh penyelesaian umum:

( )tLtRLR

EketI

tLR

cossin)(222

0 +

+=

. (11)

Suatu sistem listrik (atau dinamis) dikatakan berada dalam keadaan stabil (steady

state) jika peubah-peubah yang menjelaskan perilakunya merupakan fungsi periodik dari

waktu atau konstan, sedangkan sistem dikatakan dalam keadaan peralihan (transient

state) atau keadaan tidak stabil jika sistem tidak dalam keadaan stabil. Peubah yang


44/82

&"#,#"" D7

40

menggambarkan keadaan itu masing-masing disebut fungsi keadaan stabil dan fungsi

peralihan.

Pada Kasus A, fungsiRE0 merupakan fungsi keadaan stabil atau penyelesaian

keadaan stabil untuk (9), sedangkan dalam Kasus B penyelesaian keadaan stabilnya

adalah suku terakhir dalam persamaan (11).

1..2",!,

Pada rangkaianRL, jika diketahuiR = 1 ohm,L = 10 henry,E(t) = 2sin(5t) voltI(0) =

6 ampere, maka menggunakan rumus (11), diperoleh

I(t) = ( )ttket

5cos505sin2501

2101

+

.

Selanjutnya menggunakan syarat awal, diperoleh

( )1.5002501

21.6 += k 250115106=k .

Jadi

I(t) = ( )ttet

5cos505sin2501

2

2501

15106101

+

.

",!,

R

E(t)

C

Gambar 3.6: RangkaianRC

Dengan mengaplikasikan hukum tegangan Kirchoff dan (5), (7) pada rangkaian RC

dalam Gambar 3.6, diperoleh persamaan

dt

dEI

Cdt

dIR =+

1(12)

yang mempunyai penyelesaian umum

+=

kdtdtdEe

RetI tt RCRC

11

1)( (13)

Kasus A. JikaE= konstanta, maka 0=dt

dE, dan (13) menjadi

RC

t

ektI

= .)( (14)

denganRCdisebut konstanta waktu kapasitifuntuk rangkaian tersebut.

Kasus B. Jika tEtE sin)( 0= , maka

tEdt

dEcos0= .

Selanjutnya disubstitusikan ke (13) dan dengan integrasi parsial diperoleh:


45/82

&"#,#"" D7

41

I(t) =( )

( )tRCtRC

CEke

tRC sincos

12

01

++

+

(15)

Suku yang pertama akan terus turun dengan naiknya t, sedangkan suku kedua

menggambarkan arus keadaan stabil.

1..2",!,

Diketahui rangkaianRCdenganR = 12 ohm, C=36

1farad, dan )3sin(36)( ttE = volt.

ArusI(t) pada rangkaian dihitung menggunakan rumus (15), yaitu

I(t) = ( ))3sin()3cos(2

33ttke t ++

.

Jika diketahuiI(0) = 0, maka k=

2

3 dan

I(t) = ( ))3sin()3cos(2

3

2

3 3tte

t++

.

..//..))))""

Pada soal 1 14, carilah trayektori ortogonal untuk kurva yang diberikan.

Selanjutnya gambarkan grafik sebagian kurva dan trayektorinya

1. x2

+ (y C)2

= C2

2. y2

= kx3

3. y2

=x + C 4. y = 2x + C

5. Cxy +=2

21 6. y = ln(x) + C

7. x2

+ 2y2

= C 8. y = Cx3

9. y = Cex

10. xy = C

11. y2

x2

= C2

12. 23

Cxy =

13. xCy = 14. x2

+ (y C2) = 1 + C

2

15. Diambil Q(t) sebagai banyaknya substansi suatu radioaktif pada waktu t. Diamati

secara eksperimental dengan alat pengukur banyaknya radiasi (Geiger Counter)

bahwa laju pada saat suatu sampel meluruh adalah berbanding lurus dengan

banyaknya substansi saat itu. Diandaikan bahwa substansi awalnya adalah 100 gram

dan setelah 7 hari yang tertinggal hanya 50 gram. Tentukan Q sebagai fungsi dari t.

16. Diambil Q(t) sebagai banyaknya substansi suatu radioaktif pada waktu t. Diamati

secara eksperimental dengan alat pengukur banyaknya radiasi (Geiger Counter)

bahwa laju pada saat suatu sampel meluruh adalah berbanding lurus dengan

banyaknya substansi saat itu. Diandaikan bahwa sejumlah tertentu ditempatkan

dalam suatu container dan setelah 10 tahun banyaknya telah berkurang 0,01%.

Berapa persen (dari jumlah aslinya) yang akan tersisa setelah 25 tahun.


46/82

&"#,#"" D7

42

17. Waktu paruh aktif Cobalt adalah 5,27 tahun. Diandaikan bahwa suatu kecelakaan

nuklir pada suatu daerah tertentu mempunyai tingkat radiasi Cobalt 100 kali tingkat

yang dapat diterima untuk habitat manusia. Berapa lama daerah tersebut dapatdidiami?

18. Suatu zat radioaktif meluruh secara eksponensial. Banyaknya zat dalam suatu

sampel adalaht

etP035,040)(

= mg setelah ttahun. Tentukan waktu paruhnya.

19. Radioaktif Carbon-14 meluruh secara eksponensial. Waktu paruh Carbon-14 adalah

5730 tahun. Radioaktif tersebut terkumpul dalam tanaman ketika mereka bertumbuh,

dan meluruh setelah tanaman mati. Suatu sampel tulang terdiri 20% dari jumlah

Carbon-14 asli. Berapakah umur sampel tersebut?

20. Dalam kehidupan sel terdapat suatu bahan reaksi Yyang mempunyai reaksi kimia Y

+ YY2 dengan Y2 hilang secara cepat. Diambily(t) adalah banyaknya bahan reaksi

kimia Ypada saat t, dan diketahui bahwa23,0 y

dt

dy= dengany dalam miligram dan

t dalam menit. Ketika percobaan dimulai pada saat t = 0, suatu sistem terdiri 10

miligram Y. Nyatakan banyaknya setelah waktu t.

21. Suatu koloni bakteri bertumbuh secara eksponensial. Diambil P(t) sebagai ukuran

populasi yang diukur dalam miligram. Diandaikan pada saat t= 0 jam populasinya

adalah 10 mg, ketika t= 2 jam populasinya adalah 16 mg.

(a) Nyatakan populasi untuk setiap saat.

(b) Perkirakan populasinya ketika t= 5 jam.

22. Suatu koloni bakteri bertumbuh secara eksponensial. Diambil P(t) sebagai ukuran

populasi yang diukur dalam miligram. Diandaikan pada saat t= 0 jam populasinya

adalah 20 mg, daan menjadi dua kali lipatnya ketika t= 2,5 jam.

(a) Nyatakan populasi untuk setiap saat.

(b) Perkirakan populasinya ketika t= 6 jam.23. Suatu populasi serangga dalam suatu daerah meningkat pada laju yang sebanding

dengan populasinya pada saat itu. Dengan meniadakan faktor luar, populasi

berkembang tiga kali lipat dalam waktu dua minggu. Pada suatu hari terdapat

migrasi 15 serangga ke daerah tersebut dan 16 dimakan oleh populasi burung lokal

dan 7 meninggal karena alam. Jika mula-mula terdapat 100 serangga dalam daerah

itu, apakah populasi akan bertahan? Jika tidak, kapan mereka semua akan mati?

24. Suatu obat X sedang diatur melalui urat nadi sebanyak 6 mg per jam. Ginjal

memindahkan obat atau racun dari aliran darah dengan laju 30% dari jumlah yang

diberikan ketika waktu t yang diukur dalam jam. Ketika perawatan dimulai pada

waktu t= 0, badan tidak berisi obatX.

(a) Tentukan banyaknya obat dalam darah pada saat t.

(b) Tingkat kandungan dari obat terjadi ketika darah terdiri paling sedikit 5 mg.

Kapan tingkat kandungan terjadi pertama kali?

25. Diandaikan bahwa temperatur suatu cangkir kopi mengikuti hukum pendinginan

Newton. Jika kopi mempunyai temperatur 200Fketika baru saja dituangkan, dan 1

menit sesudahnya telah dingin sampai 190Fdalam suatu ruang pada 70F, tentukan

kapan kopi mencapai temperatur 150F.

26. Diandaikan bahwa suatu mayat ditemukan dalam suatu ruang hotel pada tengah

malam yang bertemperatur 80 F. Suhu ruangan tetap pada 60 F. Dua jam

kemudian temperatur mayat turun sampai 75F. Tentukan waktu kematian.


47/82

&"#,#"" D7

43

27. Untuk rangkaianRL pada Gambar 3.5, tentukan arusI(t) jika diketahuiR = 100 ohm,

L = 2,5 henry,E0 = 110 volt, danI(0) = 0.

28. Tentukan persamaan untuk arusI(t) dalam rangkaianRL pada Gambar 3.5 jikaI(0) =0,E0 = 110 volt,R = 550 ohm, danL = 4 henry. Kapan arus mencapai 90% dari nilai

batasnya?

29. Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 3.5 jika R 1 ohm, L = 1

henry, dan E(t) = 1 voltuntuk 0 t 3 detik, E(t) = 0 untuk t> 3 detik, dengan

syarat awalI(0) = 0,5 ampere.

30. Tentukan kuat arus dalam rangkaian RL pada Gambar 3.5 jika R = 1 ohm, L = 10

henry, danE(t) = 6 voltuntuk 0 t 10 detik,E(t) = 0 untuk t> 10 detik, dengan

syarat awalI(0) = 6 ampere.

31. Tentukan kuat arus dalam rangkaianRL pada Gambar 3.5 jikaR = 2 ohm,E(t) = 4

volt, L(t) = (100 t) henry untuk 0 t 100 detik, L(t) = 0 untuk t> 100 detik,

dengan syarat awalI(0) = 0 ampere.

32. Tentukan kuat arusI(t) dalam rangkaianRCpada Gambar 3.6 jikaR = 100 ohm, C=0,01farad, danE(t) = 110sin(314t) volt, dengan syarat awalI(0) = 0 ampere.

33. Tentukan kuat arusI(t) dalam rangkaianRCpada Gambar 3.6 jikaE= 100 volt, C=

0,25farad, danR berubah-ubah menurut rumusR = (100 t) ohm pada 0 t 100

detik,R = 0 pada t> 100 detik, dengan syarat awalI(0) = 1 ampere.

Untuk soal 34 38, carilah penyelesaian keadaan stabil untuk (15) jikaR = 50 ohm, C=

0,04farad, danE(t) sama dengan

34. 125

35. 125sin(t)

36. 110cos(314t)

37. 100cos(2t) + 25sin(2t) + 200cos(4t) + 25sin(4t)38.

te50 + 1012sin(t)


48/82

44

$

%

#(%%"

#(%+%%" #$''%,+"

#%(++%++"

#%(!*-"

# ( +% + % $"

Pada umumnya persamaan tingkat dua atau tingkat tinggi lebih sulit untuk

diselesaikan daripada persamaan tingkat satu, dengan demikian akan dikonsentrasikan

terutama pada kasus paling sederhana dari persamaan linear dengan koefisien-koefisienkonstan. Pertama kali akan diperlihatkan dua kasus tak linear yang khusus.

$, %%

, &-4#%&&7#,

Diberikan persamaan diferensial tingkat dua dalam bentuk

( )yxFy = , (1)

dengan ( )yxF , adalah fungsi kontinu. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial jenistersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1. Diambil zy = , denganz =z(x), maka dipunyai zy = .

Langkah 2. PD (1) direduksi ke persamaan diferensial tingkat satu menjadi( )zxFz ,= (2)

dan diselesaikan untukz.

Langkah 3. Disubstitusikan kembali yz = dan diselesaikan untuky.

Penyelesaian akhir akan mempunyai dua konstanta sebarang, katakan k1 dan k2.

Pada umumnya hal ini adalah merupakan kasus dari semua persamaan tingkat dua.

Dengan dua konstanta sebarang maka diperlukan dua syarat untuk mendapatkan suatu

penyelesaian tunggal. Terdapat dua jenis syarat:

1. Syarat awal:y(x0) = a dan ( ) bxy = 0 , yang menetapkan suatu nilai dan kemiringanfungsi di suatu titik tunggal.

2. Syarat batas:y(x1) = a dany(x2) = b, yang menetapkan suatu nilai untuk setiap dua

titik berbeda.


49/82

!"

&"#,#"" D7

45

1..2$,,Selesaikan masalah nilai batas untuk

0=+ yyx ,y(1) = 1 dany(3) = 0.-#,

Langkah 1. Diambil )(xzy = , maka dipunyai zy = .

Langkah 2. Persamaan awal direduksi dan diselesaikan:

0=+ zzx x

dx

z

dz= ln(z) = ln(x) + k

x

kz 1= .

Langkah 3.x

ky 1= 21 )ln( kxky += .

Langkah 4. Karenay(1) = 1 dany(3) = 0, makak2 = 1 dan k1ln(3) + k2 = 0

3ln

11 =k .

Jadi3ln

ln1

xy = .

1..2$,,"Selesaikan persamaan

( ) 0321 22 =+++ xyxyx .-#,

Langkah 1. Diambil )(xzy = , maka dipunyai zy = .


) 0321 22 =+++ xxzzx ( )222 1

3

1

2

xxz

x

xz

+=

++

z =( )

+

++

+ 12222 1

2exp

1

3

1

2exp kdxdx

x

x

xxdx

x

x

=( )22

1

1

3

1 xxx

k

++

+

Langkah 3. y =( ) +

++

dxxx

dxx

k22

1

1

3

1

= ( ) 22231 1lnln3arctan kxxxk +++ .

, &-4#%&&7##,Diberikan persamaan diferensial tingkat dua dalam bentuk

( )yyFy = , (3)

dengan ( )F y y, adalah fungsi kontinu. Untuk menyelesaikan persamaan diferensialjenis tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1. Diambil py = , denganp =p(y), maka dipunyai

yd

pdp

xd

yd

yd

pd

xd

pdy === . (4)


50/82

!"

&"#,#"" D7

46

Langkah 2. Persamaan diferensial (3) direduksi ke tingkat satu menjadi

( )pyFdydpp ,= (5)

dan diselesaikan untukp.

Langkah 3. Disubstitusikan kembali yp = dan diselesaikan untuky.

1..2$,,$Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan reduksi tingkat:

yyy = .

-#,

Langkah 1. Diambil )(ypy = , maka dipunyaidy

dppy = .


ypdy

dpp = 0=

y

dy

dpp

(i) p = 0, atau

(ii) 0= ydy

dp dyydp =

22

12

12 kyp += .

Langkah 3. Disubstitusikandx

dyp = , diperoleh

(i) y = k, atau

(ii) ( )2

122

1kydx

dy+= 222

1

dx

yk

dy=

+

21

1

1 2

1tan

1kx

k

y

k+=

2112

11 tan kkxkky += .

Jadi penyelesaian umum untuk PD yaitu

( )

+=

431 tan kxkk

ky

dengan 121

3 kk = dan k4 = k1k2.

1..2$,,!Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan reduksi tingkat:

( ) 032 =+ yey y .-#,

Langkah 1. Diambil )(ypy = dan dipunyaidy

dppy = .


032 =+ pedy

dpp

y 022 =

+ pe

dy

dpp

y

(i) p = 0, atau


51/82

!"

&"#,#"" D7

47

(ii) 022 =+ pedy

dp y dye

p

dp y22

= 1

2

21

1

kep

y+

= .


dyp = , diperoleh

(i) y = k, atau

(ii)

12

21

1

kedx

dyy

+= ( ) dxdyke y =+ 1221 21

2

41 kxyke y +=+ .


+=+

=

212

41 kxyke

kyy .

1..2$,,'Selesaikan persamaan diferensial

( ) 01

12

=

++ y

yy .

-#,

Langkah 1. Diambil )(ypy = dan dipunyaidy

dppy = .


01

1 2 =

++ p

ydy

dpp 0

11 =

++ p

ydy

dpp

(i) p = 0, atau

(ii) 01

1 =

++ p

ydy

dp dy

yp

dp

+=

11

y

ekp

y

= 1 .


dyp = , diperoleh

(i) y = k, atau

(ii)y

ek

dx

dyy

= 1 dxkdyyey

1= ( ) 211 kxkeyy

+=

+=

1

ln 21

y

kxky .


( )

=

=

+

121ln

y

kxky

ky.

./.))+$,Untuk soal 1 16, selesaikan persamaan diferensial dengan reduksi tingkat.

1. ( )3yyy += 2. 1=+ yyx

3. 02 =+ yyx 4. yyx = 32

5. 1+=+ xyy 6. )tanh(xyy =

7. ( )21 yy += 8. ( )2yyyx =+


52/82

!"

&"#,#"" D7

48

9. ( ) 02 =+ yyy 10. ( ) 03 =+ yyy

11. ( )

2

2 yyy=

12. ( ) 02

=+yyy

13. ( ) 03 =+ yey y 14. ( ) 02 2 =+ yy

15. ( ) 0)cos(3 =+ yyy 16. ( )( ) 01 21 =++ yyy

17. Selesaikan masalah nilai awal 12 =++ xyyx ,y(1) = 2, 1)1( =y .

18. Carilah kurvay(x) yang melalui titik asal yang bersifat yy = dan garis tangennya

di titik asal adalahy =x.

19. Carilah kurvay(x) yang melalui (0, 0) dan (1, 1) yang bersifat ( )22 yyy = .

20. Carilah kurva y(x) yang melalui titik asal yang bersifat yy 12= dan garis

tangennya di titik asal adalah sumbu-x.

$, %8

$,,{y1(x),y2(x), ,yn(x)} dikatakan tidak bebas linear (linear dependent) jika terdapat

konstanta-konstanta k1, k2, , kn yang tidak semuanya nol sehingga

k1y1(x) + k2y2(x) + + knyn(x) = 0.

Jika bukan kasus tersebut, maka fungsi-fungsi tersebut dikatakan bebas linear (linear

independent).

$,,

Wronskian dari {y1(x), y2(x), , yn(x)} yang bersifat bahwa setiap fungsimempunyai derivatif sampai tingkat ke-(n 1), adalah

( )

)1()1(2

)1(1

21

21

21

21 ,,,

=

nn

nn

n

n

n

n

yyy

yyy

yyy

yyy

yyyW

.

.$,,Jika Wronskian dari {y1(x), y2(x), , yn(x)} adalah tak nol di suatu titik tertentu x0,

maka himpunan fungsi adalah bebas linear di titikx0.,

Diasumsikan terdapat n konstanta real k1, k2, , kn sehingga

k1y1(x0) + k2y2(x0) + + knyn(x0) = 0.

Diderivatifkan terhadap x sampai (n 1) kali, diperoleh suatu sistem n persamaan

homogen dalam k1, k2, , kn:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=+++

=+++

=+++

=+++

0

0

0

0

0

)1(

0

)1(

220

)1(

11

0022011

0022011

0022011

xycxycxyc

xycxycxyc

xycxycxyc

xycxycxyc

n

nn

nn

nn

nn

nn

.


53/82

!"

&"#,#"" D7

49

Berdasarkan hipotesis, Wronskian dari himpunan n fungsi {y1(x), y2(x), , yn(x)}

adalah tak nol di suatu titik tertentux0, yaitu

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0)1(

0)1(

20)1(

1

00201

00201

00201

0

=

xyxyxy

xyxyxy

xyxyxyxyxyxy

xW

nn

nn

n

n

n

.

Oleh karena itu sistem akan mempunyai penyelesaian trivial, yaitu

k1 = k2 = = kn = 0.

Jadi, himpunan n fungsi {y1(x),y2(x), ,yn(x)} adalah bebas linear dix =x0.

1..2$,,

Tentukan Wronskian dari fungsi-fungsi berikut(a) {sin 3x, cos 3x} (b) {x,x

2,x

3}

-#,

(a) 33cos33sin33sin33cos3

3cos3sin)( 22 ==

= xx

xx

xxxW .

(b)32

32

2

620

321)( x

x

xx

xxx

xW == .

1..2$,,

Tunjukkan bahwa fungsi {1 x, 1 +x, 1 3x} tidak bebas linear untuk semua nilaix.-#,

Wronskian {1 x, 1 +x, 1 3x} yaitu

0

000

311

3111

)( =

+

=

xxx

xW

untuk semua nilaix. Oleh karena itu fungsi {1 x, 1 +x, 1 3x} adalah tidak bebas

linear untuk semua nilaix.

$," 2&

.$,",Persamaan diferensial tingkat dua homogen selalu mempunyai dua penyelesaian yang

bebas linear. Jika y1(x) dan y2(x) adalah dua penyelesaian yang bebas linear untuk

persamaan, maka

y(x) = k1y1(x) + k2y2(x)

adalah penyelesaian umumnya.

Secara khusus, persamaan linear tingkat dua homogen mempunyai bentuk

0)()(2

2

=++ yxQxd

ydxP

xd

yd. (6)

Jikay1(x) dany2(x) adalah dua penyelesaian bebas linear dari persamaan tersebut, maka


54/82

!"

&"#,#"" D7

50

y(x) = k1(x)y1(x) + k2(x)y2(x) (7)

adalah penyelesaian umum untuk persamaan (6).

.$,",Diandaikany1(x) dany2(x) adalah dua penyelesaian bebas linear dari persamaan (6),

maka fungsi koefisien (coefficient functions) P(x) dan Q(x) secara tunggal ditentukan

olehy1(x) dany2(x).

,Berdasarkan hipotesis,y1(x) dany2(x) adalah dua penyelesaian yang bebas linear dari

persamaan. Dipunyai

=++

=++

0)()()()()(

0)()()()()(

222

111

xyxQxyxPxy

xyxQxyxPxy.

Persamaan tersebut dapat diperlakukan sebagai persamaan linear homogen dalam

variabel P(x) dan Q(x). Karena y1(x) dan y2(x) adalah bebas linear,

makaWronskiannya

)()()()()( 212121

21xyxyxyxy

yy

yyxW =

=

adalah tak nol. Karena itu persamaan linear mempunyai penyelesaian tunggal untuk

P(x) dan Q(x) yang diberikan oleh

)(

)(

)()()()(

)()()()()(

2121

2121

xW

xW

xyxyxyxy

xyxyxyxyxP

=

=

dan

)(

)()()()()( 2121

xW

xyxyxyxyxQ

= .

.$,","Diandaikan u(x) adalah penyelesaian tak nol dari persamaan (6), maka

[ ]

=x

x

x u

ddttPxuxv

0 02

)()(exp)()( (8)

adalah penyelesaian khusus untuk persamaan.

,

Berdasarkan hipotesis, u(x) dan v(x) adalah penyelesaian persamaan. Maka dipunyai

(i) 0)()()()()( =++ xuxQxuxPxu

dan

(ii) 0)()()()()( =++ xvxQxvxPxv .

Dari (i) v(x) (ii) u(x), diperoleh

( ) ( ) 0)( =+ vuvuxPvuvu yang berarti

( ) ( ) 0)( =+ vuvuxPvuvu

yang merupakan persamaan linear tingkat satu dalam ( )vuvu , dan diperolehpenyelesaiannya yaitu

= x

xdttPvuvu

0

)(exp

Documents

Diktat PDB1