1

DIKTAT KULIAH FISIKA ZAT PADAT I

Oleh

Nyoman Wendri, S.Si., M. Si.

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2016

(i)

2

3

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha Esa, karena berkat

rahmat-Nya sehingga Diktat Fisika Zat Padat I ini dapat terselesaikan tepat pada

waktunya. Terwujudnya Diktat Fisika Zat Padat ini tidak terlepas dari bantuan berbagai

pihak, sehingga pada kesempatan yang baik ini menghaturkanbanyak terima kasih kepada

yang terhormat:

1. Bapak Drs. Ida Bagus Made Suaskara, M.Si, selaku Dekan FMIPA

Universitas Udayana

2. Bapak Ir. S. Poniman, M.Si selaku ketua Jurusan Fisika FMIPA Universitas

Udayana

3. Bapak Drs. Made Sumadiyasa, M.Si, atas bantuan yang telah memberikan

masukan dan koreksi sehingga diktat ini bisa terselesaikan.

4. Bapak serta Ibu dosen jurusan fisika dilinkungan Fakultas Matematika dan

Ilmu pengetahuan Alam Universitas Udayana yang telah memberikan

dukungan sehingga Diktat Fisika Zat Padat I ini dapat diselesaikan tepat pada

waktunya.

Pada kesempatan ini penulis senantiasamengharapkan kritik dan saran yang bersifat

membangun

Bukit Jimbaran, Juni 2016

Penulis

(iii)

4

DAFTAR ISI

Halaman

JUDUL

HALAMAN JUDUL ................................................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................................ ii

KATA PENGANTAR .............................................................................................. iii

DAFTAR ISI ............................................................................................................. iv

BAB I. STRUKTUR KRISTAL......................................................................................1

1.1 Kisi Kristal : Basis dan Kisi ; Sistem Kristal...................................................1

1.2 Sistem Indeks Bidang Kristal

1.3 Struktur Kristal Sederhana

1.4 Ikatan Kristal ; Kristal dari Gas Inert

BAB II . DIFRAKSI KRISTAL

2.1 Hukum Bragg

2.2 Kisi Balik /Resiprok (Reciprocacal lattice)

2.3 Vektor Kisi Balik

2.4 Difraksi dan Hukum Bragg

BAB III. DINAMIKA KISI (Fonon)

3.1 Gelombang Elastis

3.2 Vibrasi Pada Kisi Monoatomik

3.3 Kecepatan Fase dan Kecepatan Group

3.4 Kisi Linier Diatomik

BAB IV. SIFAT-SIFAT TERMAL

4.1. Energi Model Klasik

4.2. Energi Model Einstein

4.3. Energi Model Debeye

4.5. Ekspansi Termal

BAB V. ELEKTRON BEBAS GAS FERMI

5.1. Pengaruh Suhu Terhadap Distribusi Fermi-Dirac

5.2. Gas Elektron Bebas Dalam Tiga Dimensi

5.3. Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm

5.5. Efek Hall

DAFTAR PUSTAKA

iv

5

BAB I

STRUKTUR KRISTAL

Suatu benda padat tampak sebagai benda yang kontinyu, tetapi bila diteliti lebih

mendalam, secara mikroskopik benda padat tersebut tersusun atas unit-unit yang diskrit,

atom-atomnya tersusun dengan teratur mengikuti suatu pola. Suatu kristal ideal adalah

dibangun oleh pengulangan tak berhingga unit-unit struktur ideal dalam ruang.

1.1. Kisi Kristal

Kisi kristal terdiri dari kisi Bravais dan non Bravais, kisi Bravais seluruh titik kisi

adalah ekuivalen, oleh karenanya seluruh atom dalam kristal sama jenisnya. Sedangkan

dalam kisi non Bravais terdapat titik-titik kisi yang tidak ekuivalen. Seperti diperlihatkan

pada Gambar 1.1 kisi tempat A, B, C adalah ekuivalen satu sama lain, sedangkan tempat

A’, B’, C’ juga ekuivalen satu sama lain. Tetapi dua tempat, A dan A’ adalah titik

ekuivalen. Atom pada A dapat sama atau tidak dengan atom pada A’. Misalnya dua atom

H atau atom H dan Cl.

Gambar 1.1. Kisi non Bravais

Kisi non-Bravais terkadang diungkapkan sebagai kisi dengan basis. Pada Gambar

1.2, basisnya adalah A dan A’. Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari

dua atau lebih kisi Bravais dengan orientasi tertentu. Oleh karenanya, titik-titik A, B, C

dan seterusnya membentuk kisi Bravais, sedangkan titik-titik A’, B’, C’ membentuk kisi

Bravais yang lain. Struktur kristal real terbentuk bila atom-atom basis ditempatkan secara

identik pada setiap titik kisi. Relasi logikanya adalah :

Kisi + Basis = Struktur Kristal

Setiap titik dalam kisi tiga dimensional dapat ditulis sebagai ujung dari vektor kisi.

Rn = n1a, + n2b + n3c (1.1)

1

6

Dimana : a, b, dan c adalah vektor; n1, n2 dan n3 bilangan yang nilainya tergantung pada

titik kisinya. Seperti diberikan pada Gambar 1.2. dalam gambaran dua dimensi, titik asal

berada pada titik kisi tertentu, A. Titik B, (n1, n2) = (1,0); C, (n1, n2) = (1,1), D, (n1, n2) =

(0,-1).

Gambar 1.2. Vektor a dan b adalah vektor basis kisi. Vektor a dan b’

membentuk satu set vektor basis yang lain. Daerah yang diarsir

adalah satu unit sel untuk kedua basis tersebut

1.2. Sistem Indeks Bidang Kristal

Perhatikan Gambar 1.3 perpotongan pada vektor basis a, b, c bidang ABC adalah

pada 3a, 2b, 2c. Resiproks bilangan tersebut adalah 1/3, 1/2, 1/2. Ini dapat dinyatakan

dalam bentuk bilangan bulat dengan mengalikan ketiga bilangan tersebut dengan 6

sehingga diperoleh 2, 3, 3. Maka indeks bidang tersebut adalah (h k l) = (2 3 3). Indeks

Miller secara matematis dapat diselesaikan :

Tentukan perpotongan sepanjang sumbu vektor a, b, c dan andaikan perpotongan tersebut

sebagai x, y, z masing-masing sebagai fraksi perkalian dari a, b dan c. dengan demikian

kita dapatkan tiga fraksi :

c

z

b

y

a

x,, (1.2)

Cari kebalikan dari fraksi tersebut dan direduksi dengan suatu bilangan sehingga

diperoleh bilangan bulat terkecil, yang dinyatakan sebagai indeks Miller (h, k, l) dengan

Jika bidang memotong sumbu pada sisi negatif dengan titik asal, indeks

Misalnya pada kasus di atas, x = 3a, y = 2b, z = 2c. kebalikan fraksionalnya adalah

z

cnl

y

bnk

x

anh , , (1.3)

2

7

Gambar1.3. Bidang ABC : Indeks bidang (2 3 3) ; Bidang ADE :

Indeks bidang (434) ; Bidang AD~ : Indeks bidang (4 3 0)

Jarak antara bidang dengan indeks Miller yang sama, (h k l) dapat dinyatakan dalam

bentuk persamaan yang tergantung pada struktur kristalnya. Secara umum, jarak antara

bidang dh k l :

222

111

1

zyx

dhkl

2

1

2

2

2

2

2

2

1

c

l

b

k

a

h

(1.4)

1.3. Struktur Kristal Sederhana

Struktur sodium klorida, NaCl adalah sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.4.

Struktur kristal NaCl dikonstruksi oleh ion Na+ dan Cl- yang terletak berselang seling

pada titik kisi dari kisi kubus. Dalam kristal setiap ion dikelilingi oleh enam ion lain

terdekat dengan muatan berlawanan. Ruang kisinya adalah FCC dan basisnya terdiri dari

ion Cl- pada 000 dan ion Na+ pada ½, ½, ½. Pada setiap unit kubus terdapat empat unit

NaCl dengan atom-atom pada posisi :

Cl : 0 0 0; ½ ½ 0; ½ 0 ½; 0 ½ ½

Na : ½ ½ ½; 0 0 ½; 0 ½ 0; ½ 0 0

Gambar 1.4. Struktur Sodium Klorida, b. Model sodium Clorida

3

8

1.4. Ikatan Kristal

Energi kohesif pada kristal adalah energi yang harus ditambahkan pada kristal

untuk memisahkan komponen-komponennya menjadi atom bebas pada jarak pisah tak

terhingga. Energi kisi digunakan dalam pembicaraan kristal-kristal ionik dan

didefinisikan sebagai energi yang diberikan pada kristal untuk memisahkan komponen-

komponennya menjadi ion-ion bebas.

1.4.1. Kristal dari Gas-Gas Inert

Misalkan dua atom gas inert yang identik dipisahkan oleh jarak R dengan R <<

C jari jari atom. Apakah ada interaksi diantara atom-atom netral tersebut ?

Gambar 1.6. Koordinat Dua osilator

Ambil P1 dan P2 merupakan momentum masing-masing osilator dan C merupakan

konstanta gaya. Sistem Hamiltonian adalah :

(1.5)

Setiap osilator tak terkopel memiliki frekuensi o dan konstanta gaya C = mo2,

H1 energi interaksi coulomb dua osilator yaitu:

(1.6)

Bila |x1| dan |x2| << R, dan menyelesaikan Persamaan (1. 6) maka dapat diperoleh

(1.7)

Hamiltoman total dengan menggunakan bentuk pendekatan Persamaan (1.7) bagi H1.

Modus simetri dan anti-simetri dari gerakan dua osilator adalah :

Momentum bagi dua modus, Ps dan Pa :

2

2

2

2

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1xCP

mxCP

mH

o

2

2

1

2

21

22

1 xR

e

xR

e

xxR

e

R

eH

3

21

2

1

2

R

xxeH

21

2

1xxx

s

21

2

1xxx

a

as

xxx 2

11

as

xxx 2

12

as

PPP 2

11 as PPP

2

12

(1.8)

(1.9)

(1.10)

4

9

Dengan demikian, Hamiltonian total H adalah H0 + H1,

(1.

2/1

3

22/12

1

CR

e

M

C

dengan

....

8

1

211 22/1

XX

X

ooH 2

120 dengan T= 0K

Energi terendah (titik nol) adalah ½(a + s); Energi osilator tak tergandeng adalah

2.(½0) dan setelah tergandeng energinya berkurang sebesar U,

2

3

2

0

2

8

1

CR

eUUU oakhir

Energinya pada saat jarak tertentu adalah bersifat tolak-menolak yang sebagian

besar diakibatkan oleh prinsip larangan Pauli : dua elektron tidak dapat memiliki

seluruh bilangan kuantum yang sama. Energi potensial total pada dua atom dengan jarak

R adalah :

12R

BU

612

4R

r

R

r

126 4,4 BA

RU exp

2

3

222

3

22 2

2

1

2

12

2

1

2

1aass x

R

eCP

mx

R

eCP

mH

2

1

3

2 12

mR

eC

2

1

3

2 12

mR

eC

...

2

8

12

2

11

2

3

2

3

2

0CR

e

CR

e

6

2

3

0 2

8

R

A

CR

ehU

C

ehA

2

4

0

(1.11)

(1.12)

(1.13)

612

4RR

RU

(1.14)

5

10

612

42

1

RRNRU

dengan j

ijij RPP

Telah dilakukan evaluasi untuk struktur FCC :

Untuk hCP 45481,14;13229.12612

ij

ijij

ij

Besar R0 kesetimbangan dapat dicari

0

dR

RdU t

0

0

6

0 09,1

1

26,24

45,14RR

RR

09,10

R untuk keadaan equilibrium m dengan R0 adalah jarak terdekat

Sehingga diperoleh:

1.4.2. Ikatan Kristal Ionik

Apabila ion Na+ dan ion Cl- saling berdekatan satu sama lain, energi tarik-menarik

Coulomb pada jarak pisah antar inti R relatif terhadap energi nol pada jarak tak terhingga

adalah :

Bentuk lain interaksi tolak menolak (suku pertama persamaan (1.14) adalah dalam bentuk

empiris :

(1.20)

Dengan menggunakan Persamaan (1.19) dan (1.20), energi interaksi antara ion ke i dan

ion lain adalah

j j ijij

totRpRp

NU

612

42

1

45392.14;13188.12612

j

ijj

ijpp

7

6

13

12

)45.14)(6()13.12)(12(2RR

NdR

dUtot

09,10

R

R

qU

o

coil4

2

RBU

rep.exp

RB

R

q

UUU

o

repcoulij

.exp4

2

(1.19)

11

(1.21)

Kontribusi interaksi Van der Waals pada energi kohesif dalam kristal ionik

(`1.22)

Energi total pada kristal yang terkomposisi atas Ñ molekul atau 2 N ion adalah

diungkapkan sebagai,

Definisi ekivalen dari Persamaan (1.24) adalah :

Ambil ion negatif sebagai ion acuan dan jarak R sebagai jarak antar ion terdekat. Hasilnya

:

Dengan membandingkan kedua deret di atas dengan x = 1 maka konstanta Madelung

rantai satu dimensi di atas adalah

Untuk sistem kristal kita perhatikan kristal NaCl; terdapat :

6 Cl- terdekat dengan jarak R

12 Na+ terdekat berikutnya dengan jarak 2 R

8 Cl- berikutnya dengan jarak 3 R

dan seterusnya.

Maka

Atau 1, 748

Untuk kristal CsCl; 1,762675; kristal ZnS (kubus), = 1,6381.

Turunan pertama terhadap R dan pada kondisi sama dengan nol.

j

ijiUU

R

qRBU

o

ij 4

exp2

R

qezBN

UNU

o

R

itot

4

2

(1.23)

j ijpMadelungkonstanta

(1.24)

j

jrR

...4

1

3

1

2

112

...4

1

3

1

2

112

RRRRR

(1.25)

...432

1ln432

xxx

xx

2ln2

...

3

8

2

126

RRRR

04

exp

0

2

0

R

qNRNzB

dR

dU

o

tot

12

Maka energi ikat pada jarak R tertentu :

Pada jarak pisah kesetimbangannya, R=R0

(1.28)

Soal-Soal

1. Pikirkanlah struktur fcc, bcc, hcp dan intan

Gambarkan satu satuan sel struktur tersebut, nyatakan posisi atom sebagai fungsi

tinggi dari satu satuan sel

a. Beri koordinat atom dalam basis masing-masing struktur tersebut.

b. Jika struktur dibangun oleh bola-bola yang saling berkontak, hitunglah fraksi yang

ditempati oleh bola-bola tersebut.

2. Sudut antara ikatan tetdra hedral pada intan adalah sama dengan sudut antara diagonal

ruang kubus. Gunakanlah analisis vektor elementer untuk menentukan besar sudut

tersebut.

3. Tunjukkanlah bahwa perbandingan c/a untuk suatu struktur paket tertutup heksagonal

(hcp) adalah 1.633.

4. Gambarkan satu satuan sel kubus dengan bidang kisi (122), (201), (233) dan (222)

0

2

2

.exp4

R

zR

qB

oo

(1.26)

RRo

Ro

R

R

qNU

o

iexp1

4 2

2

RoR

qNU

o

eq

1

40

2

(1.27)

13

BAB II

DIFRAKSI OLEH KRISTAL

2.1 Hukum Bragg

Berkas datang direfleksikan secara persial pada setiap bidang seperti terlihat pada

gambar 2.1. Andaikan jarak antar bidang

Gambar 2.1. Model Difaksi untuk menurunkan persamaan Bragg

Beda lintasan untuk kedua berkas termaksud adalah:

'' 2 ACABACBCAB karena

BCAB

Sedangkan

sin

dAB

dan

costan

2cos' d

ACAC

Sehingga

22 cos1sin

2cos

sin

2

sin

2

ddd

sin2d

Interferensi yang saling menguatkan terjadi apabila

n ;

Dimana: n adalah bilangan bulat positip

λ adalah panjang gelombang sinar-X

Sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)

,......4,3,2,1

sin2

n

dn hkl n adalah ordo pemantulan (2.1)

14

2.2. Kisi Balik (Reciprocal Lattice)

2.2.1. Vektor Kisi Balik (resiprok)

Kita membangun sumbu vektor b1, b2 dan b3 untuk kisi balik dengan hubungan

321

321 2

xaaa

xaab

;

321

132 2

xaaa

xaab

;

321

213 2

xaaa

xaab

(2.2)

Setiap vektor yang didefinisikan oleh Persamaan (2.2) adalah ortogonal dengan dua

sumbu vektor kisi kristal. Sifat-sifat dari b1, b2 dan b3 adalah bahwa

ijji ab 2 (2.3)

Dimana berlaku aturan ij = 1 jika i = j , α = 0 0 dan ij = 0 jika ij. α =- 90 0

Titik dalam kisi balik dipetakan dengan seperangkat vektor dalam bentuk vektor

kisi balik G :

332211 bvbvbvG (2.4)

2.2.2. Kisi Resiprok dari kisi simple cubic (sc)

Vektor basis dari kekisi kubus sederhana adalah

xaa1 ;

yaa2 ;

zaa3 (2.5)

Dengan x, y dan z adalah vektor satuan. Volume sel adalah 3

321 axaaa . Vektor basis

primitif dari kisi baliknya dapat diperoleh dari Persamaan ( 2.2),

xa

b2

1 ; ya

b2

2 ; za

b2

3 (2.6)

Dalam hal ini konstanta kisi adalah a/2 .

Batas-batas daerah Brillouin pertama adalah bidang normal dari 6 vektor kisi balik

321 ;; bbb , yaitu pada titik tengahnya,

xab 12

1;

yab 22

1;

zab 32

1 (2.7)

Keenam bidang batas sebuah kubus dengan tepi a/2 dan volume 3/2 a . Kubus ini

adalah daerah Brillouin pertama kisi kristal kubus sederhana.

2.2.3. Kisi Balik Dari Kubus Berpusat Tubuh (bcc:body center cubic)

15

Vektor basis primitif dari kekisi bcc, seperti terlihat pada Gambar 2.2 adalah

)ˆˆˆ(2

1;)ˆˆˆ(

2

1,)ˆˆˆ(

2

1321 zyxaazyxaazyxaa (2.8)

Dengan a adalah rusuk dari kubus dan x, y dan z adalah vektor satuan. Volume satu

satuan sel primitif adalah,

3

3212

1. aaxaaV (2.9)

Dengan menggunakan persamaan 2.2, vektor basis kisi balik bcc adalah

)ˆˆ(2

;)ˆˆ(2

;)ˆˆ(2

321 yxa

bzxa

bzya

b

(2.10)

Vektor kisi balik dengan bilangan bulat h, k dan l dapat ditentukan dengan menggunakan

Persamaan (2.4) dan (2.10), yaitu

(2.11)

Setiap sel mengandung satu titik kisi pada titik pusat selnya. Daerah ini (untuk kisi bcc)

dibatasi oleh bidang normal terhadap 12 vektor, pada titik tengah dari

(2.12)

Daerah tersebut terdiri atas 12 permukaan dalam bentuk rhombik-dodekahedron, Gambar

2.4. Vektor-vektor dari titik asal ke titik pusat setiap permukaan adalah

Gambar 2.2. Vektor basis oprimitif

pada kisi bcc

zkhyhxka

G ˆ)(ˆ)(ˆ)(2

yya

zxa

zya

ˆˆ2

;ˆˆ2

;ˆ2

11

16

yxa

zxa

zya

ˆˆ ;ˆˆ ;ˆˆ

(2.13)

.Pemilihan tanda dilakukan secara bebas sehingga memberikan 12 vektor.

2.3. Kondisi Difraksi dan Hukum Bragg

Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’. Ini merupakan

ukuran dari perubahan vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan

yang bersifat elastis, tidak ada perubahan besar vektor gelombang :

2' kk (2.17)

Seperti diperlihatkan pada Gambar 2.7, perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus

terhadap bidang (hkl) . Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n.

Maka diperoleh hubungan

(2.18)

Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan besar G(hkl)

dalam bentuk

hkl

hkl

Gd

2 (2.19)

Oleh karenanya Persamaan (2.18) dapat diuangkapkan sebagai

(2.20)

Jika hukum Bragg terpenuhi maka,

(2.21)

Dari persamaan ini, hubungan antara vektor gelomabang awal dan akhir refleksi Bragg

gelombang - partikel dapat ditulis sebagai

(2.22)

Sehingga kondisi difraksi dapat ditulis sebagai 22kGk atau

0.2 2 GGk (2.23)

Ini adalah ungkapan khusus yang dipergunakan sebagai kondisi bagi difraksi

hkl

hkl

G

GSin

nSin

nkSinkkk

4

42

1

)()(2

hklGSinhkld

k

hklGk

kGk hkl '

12

17

Produk skalark dan G, dari persaman 2.3 dan 2.4, kita dapatkan,

(2.24)

Persamaan ini adalah persamaan Laue, yang mana digunakan dalam pembicaraan simetri

dan struktur kristal. Persamaan (2.24) di atas memiliki interpretasi sebagai berikut,

;coscos 11 ha ;coscos 22 ka ;coscos 33 la

2.4. Faktor Struktur

Hasil difraksi gelombang oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel)

dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur

bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan sebagai

GC SNF (2.25)

Dimana kuantitas SG disebut dengan faktor struktur yang didefinisikan sebagai

(2.26)

Dengan rj adalah vektor terhadap pusat atom ke j

(2.27)

Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang tandai dengan h, k, l,

(2.28)

Sehingga persamaan (2.26) menjadi

j

jjjjG lzkyhxifhklS 2exp (2.29)

Faktor struktur S tidak perlu real karena intensitas hamburan adalah melibatkan S*S yang

hasilnya adalah real, dimana S* adalah “kompleks konjugate” dari S.

Basis bcc adalah sel kubus dengan atom-atom identik pada 0111 zyx dan

21222 zyx . Dengan Persamaan (2.29),

dan S = 0, bila h+k+l = bilangan ganjil

S = 2f, bila h+k+l = bilangan genap

Misalnya Sodium memiliki struktur bcc. Puncak difraksi (100), (300), (111) atau (221)

tidak ada, tetapi puncak (200), (110) dan (222) tampak.

lkakkahka 2. ;2. ;2. 321

j

rGi

jGjefS ..

321 azayaxr ijjj

jjj

jjj

lzkyhx

azayaxblbkbhrG

2

. 321321

lkhifhklS exp1

13

18

Basis struktur fcc untuk sel kubus dengan atom identik pada 000 ; 0½ ½ ; ½01/2, ½ ½ 0.

Dengan Persamaan (2.29)

S 0 , bila hkl adalah bilangan genap

S 0, bila hkl adalah bilangan ganjil

S = 0, bila hkl adalah dua genap satu ganjil

S = 0 , bila hkl adalah satu genap dua ganjil

Beberapa contoh menghitung faktor struktur geometrik Fhkl, Sel satuan kubik sederhana

(SC; Simple cubic),

Atom terletak di (000)

j

jjjjG lzkyhxifhklS 2exp

0002 i

aef

22

aG fS

Base-Centered Cell

Atom-atom ini terletak di 000 dan 21

21

21

j

jjjjG lzkyhxifhklS 2exp

khi

a

khi

aa

lkhi

a

lkhi

a

ef

eff

efef

1

02

1

2

12

0002

aG fhklS 2 , untuk h dan k yang tidak tercampur ; artinya keduanya genap atau

keduanya ganjil

0hklSG, untuk h dan k tercampur artinya h dan k tidak dua-duanya genap atau dua-

duanya ganjil

Persamaan (2.25) adalah sebagai penjumlahan bentuk eksponensial,

j

i

jjefhklF

(2.30)

BiA

SiniCose i

Dengan fj = faktor fase. Dari bentuk identitas

Sehingga,

BfAf

SinifCosfef i

14

19

Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan besar absolut |F|. ungkapan

trigonometri untuk menghitung |F| :

(2.31)

Selanjutnya dapat ditulis sebagai,

(2.32)

Bagian trigonometrei sering ditulis sebagai faktor struktur geometri ditulis secara

terpisah

A dan B adalah fungsi koordinat posisi atom dalam sel,

Bila struktur kristal memiliki pusat simeteri dan titik asal berada pada koordinat

pusat tersebut maka faktor struktur dapat lebih sederhana. Dalam hal ini atom pada titik

xyz adalah cocok dengan atom yang sama pada titik –(xyz) fase kedua atom :

Jadi bila pusat simetri pada titik asal, terdapat pasangan atom yang identik dengan besar

fase yang sama tetapi berlawanan tanda. Karena cos (-) = cos untuk seluruh dan sin

(-) = -sin maka,

j

jjjj lzkthxCosfhklF )(2)(

Soal-soal Bab 2

1. Vektor translasi primitive kisi ruang heksagonal diberikan oleh,

za ; y)2

( x)2

3(a ; y)2

( x)2

3(a 321 caaaa

Buktikan bahwa volume sel primitif adalah ca2

2

3

)(

)(2

)(2) y (

)(2)(

xyz

lzkyhx

lzhyhxzx

lzhyhxxyz

)(2

)(2

lzkyhxSinB

lzkyhxCosA

2

1

22

2sin2cos

j

jjjj

j

jjjj lzkyhxflzkyhxfF

2

122

j

jj

j

jj BfAfF

21

22

j

jj

j

jj SinfCosf

15

20

2. Buktikan bahwa translasi primitif kisi baliknya adalah

z)2

(b ; y)a

2( x)

3

2(b ; y)

2( x)

3

2(b 321

caaa

Perhatikan suatu bidang hkl dalam suatu kisi kristal.

(a). Buktikan bahwa vektor kisi balik G=ha1+ka2+la3 adlah tegak lurus terhadap

bidang hkl tersebut.

(b). Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan adalah

d(hkl)=2/|G|.

(c). Tunjukkan bagi sebuah kisi kubus

222

22

lkhd

a

21

BAB III

VIBRASI KRISTAL

3.1. Gelombang Elastis

Vibrasi dapat dipandang sebagai gelombang elastis. Andaikan gelombang elastis

merambat dalam suatu medium yang berbentuk batangan seperti Gambar 3.1.

x x+dx

Gambar 3.1. Gelombang elastis dalam suatu medium

Bila gelombang yang merambat adalah gelombang longitudinal dan perpindahan

secara elastis pada titik x adalah u(x) dan sesuai dengan hukum Newton II pada segmen

dx berlaku hubungan :

(3.1)

dimana = rapat masa ; A = luas penampang ; S = stress yang didefinisikan sebagai gaya

persatuan luas, sesuai dengan hukum Hooke,

YeS ; (regangan=strain) (3.2)

Dengan Y = modulus Young (atau modulus elastis “bulk” K) e = strain yang didefinisikan

sebagai :

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan dengan menggantikan S pada

persamaan (3.1), maka diperoleh

(3.5)

Penyelesaian Persamaan (3.4) adalah berbentuk :

tkxiCeU (3.6)

C = amplitudo ; k = bilangan gelombang ; = frekuensi sudut gelombang dengan

hubungan :

vk (3.7)

AxSdxxSt

xudx )(

)(2

2

dx

due

Yv

t

u

vx

u

t

u

Yx

u

0

1

;

2

2

22

2

2

2

2

2

(3.3)

(3.4)

))

17

22

Laju suatu gelombang longitudinal dalam medium dengan rapat masa adalah

diberikan oleh Persamaan (3.5), yaitu

Dengan B adalah modulus “bulk” elastis atau koefisien kekakuan medium. Dengan

mengetahui rapat masa dan modulus bulk (dapat diukur) laju 0 dapat dihitung.

3.2. Vibrasi Pada Kisi Monoatomik

Energi vibrasi dari kisi disebut sebagai fonon, yang mana merupakan vibrasi

kolektif suatu bahan. Gambar 3.2. memperlihatkan model kisi dengan basis monoatomik

dalam satu bidang s dengan konstanta kisi sama dengan a. Pada saat bervibrasi setiap

atom berpindah dari tempatnya. Karena atom-atom berinteraksi satu sama lain dengan

atom terdekatnya, atom-atom yang bervibrasi bergerak secara bersamaan. Bila terdapat

gaya yang bekerja pada bidang s sehingga mengakibatkan perpindahan atom-atom pada

bidang s ke s+p, dimana gaya tersebut sebanding dengan perbedaan perpindahan kedua

bidang, (Us+p – Us). Bila kita hanya memperhatikan interaksi antara bidang terdekat saja,

yaitu p = ± 1 saja., supaya total pada s yang datang dari bidang s ± 1 :

(3.8)

(a)

Bv 0

11

11

2

sss

sssss

UUU

UUUUF

18

23

(b)

Gambar 3.2. Model kisi monotomik (a). Bidang atom berpindah pada gelombang

longitudinal (b). Bidang atom berpindah pada gelombang transversal,

menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangannya.

Pada zat padat yang homogen transmisi suatu gelombang bidang dalam arah

tertentu, arah x dapat diungkapkan dalam bentuk persamaan perpindahan,

tkxiAU exp (3.9)

A = amplitudo, k = bilangan gelombang, = frekwensi sudut, t = waktu. Lebih khusus

seamalog dengan Persamaan (3.9), perpindahan bidang ke s,

tksaiAU s exp (3.10)

sa = posisi kesetimbangan bidang ke s ; a = jarak antar bidang. Turunan dua kali

pers.(3.10) terhadap waktu t, diperoleh

… (3.11)

Sesuai dengan hukum Newton kedua, gaya pemulih pada bidang s adala

(3.12)

Dari Persamaan. (3.8) dan (3.12) :

(3.13)

s

s

U

tksaiAdt

Ud

2

2

2

2

exp

ss

s Umdt

UdmF 2

2

2

kaikaim

U

U

U

U

m

UUUUm

s

s

s

s

ssss

.exp.exp2

2

2

112

11

2

19

24

Kita ketahui bahwa 2 cos x = eix + e-ix , maka

2

4

12

22

2

2

kaSin

m

kaCosm

kaCosm

(3.14)

Dari Persamaan (3.14) kita dapatkan bahwa hubungan dispersi gelombang dalam kisi

monotomik adalah :

3.4. Kristal Linier Diatomik

Pada bagian ini kita bahas model matematis kristal linier diatomik. Dalam model

ini kita memiliki dua jenis atom yang bermasa M yang terletak dalam suatu bidang dan

atom yang bermasa m pada bidang yang lain. Kedua atom tersebut dapat dipandang

sebagai satu rantai linier dimana jarak antara dua atom terdekat pada saat keadaan

kesetimbangannya adalah a.

Gambar 3.4. Untaian linier atom bermasa m dan M dengan jarak

antara dua atom terdekat adalah a, jarak pengulangan adalah 2a

Diasumsikan bahwa interaksi hanya terjadi diantara atom terdekat saja dan

konstanta gaya adalah identik. Perpindahan yang terjadi adalah dalam daerah jangkauan

hukum Hooke. Persamaan gaya bagi perpindahan U2l dan U2l + 1 adalah :

(3.23)

Persamaan ini diharapkan mempunyai solusi yang berbentuk :

trkai

r AeU 2

2 (3.24)

1222212

2

2

12

2

212122

2

2

2

2

22

2

rrrrr

rrrrr

UUUUmdt

Udm

UUUUmdt

UdM

20

25

trkai

r BeU

12

12

Subtitusi Persamaan (3-24) ke dalam Persamaan (3-23), diperoleh persamaan

linier simultan.

BeeABM ikaika 22

AeeBAm ikaika 22

Atau

BkaABM 2cos22

AkaBAm 2cos22 (3.25)

Ini memberikan persamaan Untuk A dan B

02cos2

0cos22

2

2

BMAka

BkaAm

Persamaan ini memiliki solusi yang tidak trivial hanya jika determinan koefisien A dan

B sama dengan nol.

2

2

2cos2

cos22

mka

kaM

= 0

Yang memberikan solusi untuk ω2

0cos142 22222 kaMmMm

0sin42 22222 kaMmMm

21

22

2 )(41111

mM

kaSin

MmMm (3.26)

Dari pers.(3.26) diperoleh dua solusi, yaitu

a.

Dengan 02

1 untuk k = 0

12 = 2/M , untuk ka = /2

b.

Dengan Mm /1/122

2 untuk k = 0

21

22

2

1

)(41111

mM

kaSin

MmMm

21

22

2

2

)(41111

mM

kaSin

MmMm

(3.27)

21

26

m/22

2 untuk ka = /a (3.28)

Cabang bagian bawah pada Gambar 3.5 diperoleh dari pemilihan negatif pada Persamaan

(3-26). Cabang ini disebut dengan cabang akustik. Sedangkan cabang bagian atas

diperoleh dari pemilihan tanda positif pada persamaan (3.26). Cabang ini disebut dengan

cabang optik.

Gambar 3. 5. Cabang optik (bagian atas) dan akustik (bagian bawah)

dari relasi dispersi untuk kisi linier diatomik, dengan jarak

pengulangan adalah 2a.

Dari Gambar 3.5 (cabang akustik) tampak bahwa :

1. Perpindahan sekarang dapat diungkapkan dalam bentuk vektor gelombang

dengan harga /2a, dibandingkan dengan batas daerah Brillouin pada ± /a

pada rantai linier monoatomik. Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa daerah

Brillouin adalah ditentukan oleh jarak pengulangan 2a, bukan oleh jarak antar

tetangga terdekat.

2.. Frekwensi sudut maksimum ragam vibrasi akustik adalah :

Tampak frekuensi sudut maksimum tidak tergantung pada masa atom yang

lain, m dalam rantai. Frekuensi sudut berkisar antara 0 sampai 1.

3. Perbandingan amplitudo kedua atom sebagai fungsi frekwensi, dari

(3.29)

M

21

2

2

2

2

2

2

M

kaCos

kaCos

m

A

B

mringanlebihyangmasadariAmplitudo

MberatyangmasadariAmplitudo

22

27

Tampak perbandingan amplitudo tersebut mendekati satu (seluruh atom bergerak dengan

cara yang sama, pada gelombang yang panjang amplitudonya sefasa, vektor gelombang |

k | << /2a

.4. Pada | k | = /2a

(3.30)

Dari cabang optiknya, daerah vibrasi adalah dari

1. * Pada k 0 ;

Kecepatan fasa /k ~

Kecepatan group d/dk 0

* Pada k /2a

2

1

2

2 8fasaKecepatan

M

a

k

Kecepatan group d/dk 0

2. Pada k = 0, perbandingan amplitudo B/A adalah negatif :

(3.31)

Artinya, getaran atom bermasa m berlawanan fasa dengan getaran atom bermasa M ;

MB + mA=0 menyatakan bahwa titik pusat masa atom tidak berubah.

Soal – soal Bab 3

1. Tunjukkan bahwa relasi dispersi bagi vibrasi kisi dari rantai linier dari atom -

atom bermasa M bila konstanta rantai penghubung (pegas) antara atom

tetangga terdekat pertama adalah C1 dan atom tetangga terdekat kedua adalah

C2 sbagai berikut,

)2cos1(2)cos1(2 21

2 kaCkaCM

0groupKecepatan

8fasaKecepatan

21

2

2

dk

d

M

a

k

Mmm

112 dengan sampai

2

M

m

A

B

BAmMm

kaCosBAmw

211

22

22 2

23

28

Hitunglah kecepatan groupnya pada k=/a

m

kaSin

kaSin

m

m

m

2

222

(3.15)

Tanda + dan - menunjukkan perambatan gelombang ke kanan atau ke kiri.

Perbatasan zona Brillouin pertama berada pada k = ±/a. Kita dapat menunjukkan

dari pers.(3-14) bahwa kemiringan (slope) kurva dari sebagai fungsi k adalah nol pada

batas zona Brillouin

(3-16)

karena pada k = ±/a, sin (ka) = sin (±) = 0. Plot terhadap k diberikan pada Gambar

3.3 Daerah k yang kecil merupakan daerah spektrum dari gelombang yang panjang. Bagi

ka <<1, sin (ka/2) (ka/2) dan relasi frekwensi sudut terhadap bilangan gelombang adalah

ka<<1 (3-17)

Gambar 3.3. Grafik terhadap k untuk perambatan gelombang

dalam kisi monoatomik, interaksi hanya terjadi antara atom

terdekat saja. Daerah | k | < /a adalah zona Brillouin pert

022

kaSinm

a

dk

d

mav

kv

ka

m

0

0

22

24

29

BAB IV

SIFAT-SIFAT THERMAL

4.1. Energi Kisi Model Klasik

Andaikan atom bermasa m melakukan gerak harmonik dengan frekuensi . Bila

konstanta gaya pemulih adalah , perpindahan atom dari titik kesetimbangannya adalah

, dan kecepatannya adalah v, maka energi totalnya adalah :

E = energi kinetik + energi potensial

222

22

2/1

2/12/1

xv

xmv

(4.1)

Energi rata-rata sesuai dengan didistribusi Boltzmann, harga ekspektasi klasik :

(4.2)

T = suhu ; k0 = konstanta Boltzmann

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.1) ke dalam persamaan (4.2) dan

mengingat bahwa :

Maka Persamaan (4.2) dapat dievaluasi, hasilnya adalah :

TkE o

Untuk N atom yang mana masing-masing memiliki tiga derajat kebebasan,

sehingga energi total kisi adalah :

TNkU 03 (4.3)

Dari sini, panas jenisnya adalah :

Pada volume konstan, panas per mole adalah :

KelvinMolejoulekNC ooV /94,243

Ini dikenal sebagai hukum Dulong dan Petit. Tampak bahwa panas jenis adalah konstan,

tidak tergantung pada suhu.

Secara eksperimen panas jenis sesungguhnya adalah tergantung pada suhu, seperti

diperlihatkan pada Gambar 4.1. Oleh karenanya perlu pejelasan lebih lanjut untuk

menjelaskan ketergantungan panas jenis pada suhu

m m

mm

o

x

o

TkE

TkEx

dxde

dxdeEE

0

0.00

~2

1

2

1

2

12

o

n

nx ndxxenI

03NkT

UC

v

v

25

30

Gambar 4.1. Ketergantungan suhu dari panas jenis Argon, Xenon dan Kripton. Garis

mendatar adalah hasil perhitungan secara klasik

4.2. Model Einstein

Berdasarkan kesuksesan dari M. Planck dalam menggambarkan radiasi benda

hitam dengan aturan terkuantisasinya, Einstein kemudian mengambil aturan tersebut

untuk menjelaskan bagaimana ketergantungan panas jenis terhadap suhu. Dalam hal ini

gelombang elastis yang digambarkan sebagai fonon adalah analog dengan foton. Secara

kuantum energi suatu keadaan (osilator) adalah diungkapkan sebagai :

nEn ; n = 0, 1, 2 (4.4)

Dan probalitas keadaan ke n adalah :

Tk

Eg n

n

0

exp (4.5)

Energi rata-rata sesuai dengan osilator dalam kesetimbangan termalnya, adalah :

(4.6)

Dengan mengingat bentuk penjumlahan untuk x < 1 berlaku hubungan

21 x

xx

dx

dxnx

n

n

n

n

maka Persamaan (4-6) dapat dievaluasi, dan hasilnya adalah

0

0

0

0

n

TkE

n

TkE

n

n

n

e

eE

E

n

n

xx ;

1

1

26

31

1

10

TkeE

(4.7)

Untuk penyederhanaan, Einstein menganggap bahwa N atom memiliki 3 N ragam

vibrasi dan seluruhnya memiliki frekuensi sudut yang sama, yaitu E . Dengan demikian

setiap ragam vibrasi memiliki energi yang sama, yaitu <E>. Energi vibrasi kisi secara

total adalah

1exp

3

0Tk

NU

E

E

(4.8)

Dengan menggunakan Persamaan .(4.8) ini, panas jenis pada volume konstan

adalah

TFNk

T

UCv

EE

V

,3 0

(4.9)

dengan fungsi Einstein TF EE , adalah

2

0

0

2

0

1.exp

.exp

),(

Tk

TkTkTF

E

EE

EE

(4.10)

Fungsi Einstein adalah mendekati satu pada suhu tinggi, sehingga panas jenisnya adalah

sama dengan panas jenis klasik.

Dengan mendefinisikan suhu karakteristik Einstein, 0/ kT EE , pada T << TE

maka Persamaan.(4.10) menjadi

T

T

T

T

TkTkTF

EE

EEEE

exp

exp,

2

0

2

0

(4.11)

Perbandingan kurva panas jenis model klasik dan model yang dibuat oleh Einstein

sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4. 2

27

32

Gambar 4.2. Panas jenis model klasik Dulong - Petit dibandingkan dengan model

Eintein.

Sesuai dengan prinsip mekanika kuantum “modern” yang mana dibangun 20

tahun setelah masanya Einstein, energi kuantum persamaan (4.4) dimodifikasi menjadi :

nEn 2/1

Ada tambahan energi ½, adalah energi titik nol karena ada pada seluruh suhu termasuk

T = 0.

4.3. Model Debye

Kelemahan dari model Einstein adalah terletak pada anggapan bahwa semua

modus vibrasi mempunyai frekwensi sama E. Sebelum membahas model Debye terlebih

dahulu dibahas rapat keadaan dan jumlah ragam vibrasi dalam daerah frekwensi , +

d. Persamaan gelombang untuk suatu polarisasi (longitusinal atau transversal) didalam

ruang isotropik 3 dimensi.

2

2

22

2

2

2

2

2 1

tzyx

(4.12)

= perpindahan posisi, v = cepat rambat. Pada batas kristal perpindahan 0, dan

solusi Persamaan (4.12) adalah dalam bentuk gelombang berdiri,

ti

zyx ezkykxkU sinsinsin~ (4.13)

Komponen-komponen k dalam Lx, Ly, Lz adalah :

(4.14)

m = bilangan bulat.

Terdapat satu harga k per volume (2/L)3 dalam ruang k, atau

z

z

zy

y

yx

x

x mL

kmL

kmL

k 2

;2

;2

Model klasik Joule/mole-

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Model

28

33

3

3

82

VL

(4.15)

harga k yang diijinkan per satu satuan volume di dalam ruang k. Jumlah total ragam

dengan vektor gelombang kurang dari k adalah (L/2)3 kali volume bola yang berjari-jari

k, yaitu :

3

4

2

33kL

N

(4.16)

Rapat keadaan adalah didefinisikan sebagai,

d

dkVk

d

dNg

2

2

2

(4.17)

Dalam pendekatan Debye digunakan relasi dispersi = vk di mana v = kecepatan yang

konstan. Dengan demikian, rapat keadaan pers.(4-17) menjadi :

(4-18)

Selanjutnya kita bahas panas jenis sesuai dengan model Debye. Model ini

didasarkan pada asumsi Berarti sistem mempunyai ragam utama dengan 3 N derajat

kebebasan. Oleh karenanya,

m

odgN

)(3 (4.19)

Sebagai pendekatan, Debye mendefinisikan bahwa

D

Vg

0

2

33

0

2

2

(4.20)

Untuk seluruh ragam vibrasi, kemudian Persamaan 4.19 dapat ditulis sebagai :

D

od

V

N

³²2

²33

0 ³²2

³

0

D

Atau

0

31

²6

V

ND (4.21)

D disebut dengan frekuensi ambang.

Suhu karateristik Debye diungkapkan dalam bentuk

(4.22

332

2

32

2 21

22TL

V

V

Vg

0k

D

D

31

0

²6

V

N

k

D

29

34

Selanjutnya, energi vibrasi kisi per satu satuan volume adalah

1exp

)()(

0Tk

dgU

(4.23)

Dengan menggunakan ungkapan Persamaan .(4.20), maka Persamaan (4.23) menjadi :

1exp2

3

0

3

3

0

2

Tk

dU

(4.24)

Kemudian didefinisikan variabel tak berdimensi,

.Sehingga persamaan (4.24) dapat diungkapkan dalam variabel x,

Dx

xe

dxxTkU

0

3

33

0

2

44

0

12

3

Dx

x

D e

dxx

V

TNkU

0

4

0

1

³

³

9

(4.25)

Panas jenis dicari dengan mendiferensialkan pers.(4.25) terhadap T, yaitu

T

UCv

D

Tk

Tk

Tk

0 2

0

0

4

001exp

exp

²³²2

²3

Dan dalam variable x,

(4.26)

Kurva panas jenis suatu zat padat (per-mole) sebagai fungsi suhu sesuai dengan model

Debye diberikan pada Gambar 4.3.

Sifat-sifat termal U dan Cv melibatkan integral yang cukup rumit untuk

diselesaikan secara langsung. Akan tetapi dengan mudah dapat diselesaikan secara

analitik dengan pendekatan pada suhu yang sangat tinggi dan sangat rendah. Untuk suhu

yang sangat tinggi dimana T >> D.

²1

3

xe

xX

TTkx

Tkx DD

D

00

;

Dx

X

X

D

V

e

exT

V

kNC

0 2

43

0

1

9

30

35

Gambar 4. 3. Panas jenis sebagai fungsi suhu. Lingkaran adalah data eksperimen

dari Yttrium yang dilaporkan oleh l.D. Jennings, dkk. (1960)

Sehingga persamaan 4.25 dapat diungkapkan kembali dalam bentuk suhu T,

3

9 3

3

4

0 D

D

x

V

TNkU

V

TNk

TV

TNk D

D

0

3

3

3

4

0 3

3

9

(4.27)

dan panas jenis pers. 4.26 mejadi

(4.28)

Hasilnya ternyata sesuai dengan pendekatan klasik. Untuk T << D, dengan mengambil

batas atas sampai tak terhingga dapat diperoleh

15

16

1

4~

14

~

0

~

1

3~

0

3

s

s

nx

x

s

exe

dxx

Dengan demikian, persamaan energi total pers. 4.25 dapat dinyatakan dalam suhu T, yaitu

3

4

0

5

3

DV

TNkU

Kemudian panas jenis CV dapat dihitung, yaitu

V

NkCv

03

Joule/mole-K

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

20

15

31

36

33

0

4

2345

12

TNk

T

V

NkC D

D

(4.29)

Hasilnya memperlihatkan bahwa panas jenis berbanding lurus dengan T3. Persamaan

(4.29) ini disebut dengan hukum Debye T3

Untuk suatu gradien suhu yang kecil arus thermal yang diamati sebanding dengan

T:

dx

dTKjv

J = - KT (4.30)

Energi thermal per elektron adalah (T{x-l}. l = vx adalah panjang lintasan bebas

rata-rata bila v = kecepatan rata-rata dan = waktu rata-rata

Dengan perubahan suhu pada lintasan bebas rata-rata adalah sangat kecil,

persamaan di atas dapat diekspansikan sehingga diperoleh

dx

dT

dT

dnvJ X

2 (4.31)

Kecepatan elektronik rata-rata dalam berbagai arah vvvv zyx 3/1222 karena :

vCdT

d

V

N

dT

dn

adalah panas jenis, maka pers.(4.31) dapat ditulis sebagai

(4.32)

Dengan membandingkan persamaan.(4.30) dan persamaan (4.32) maka koefisien

konduktivitas panas dapat diungkapkan sebagai

(4.33)

Dari pembicaraan konduktivitas listrik DC pada logam rapat arus

m

ne

EJ

2

__

(4.34)

E= medan listrik, m = masa elektron, e = muatan elektron mak

Dari pendekatan klasik, Cv = 3/2 nko dan ½ mv2 = 3/2 koT, pers.(4-34) menjadi

TCvJ v 2

3

1

vv CvlCv3

1

3

1 2

2

2

3

1

en

vmCv

lxTlxTnvJ 2

1

32

37

Ini dikenal sebagai hukum Wiedemann-Franz, dan sering disebut seabgai bilangan

Lorentz. Harga ini adalah sekitar setengah dari harga hasil eksperimen.

4.4. Ekspansi Thermal

Dalam membicarakan ekspansi thermal biasanya parameter yang menjadi

perhatian adalah koefisien ekspansinya, karena koefisien ini merupakan karakteristik dari

suatu bahan. Koefisien ekspansi thermal tersebut didefinisikan sebagai,

pT

V

V

1 (4.35)

Ini dapat ditulis dalam bentuk

VVTT

p

BT

p

p

V

V

11 (4.36)

dengan

TV

pVB

(4.37)

dimana B adalah “modulus bulk”, yaitu modulus elastis yang mana menentukana

perubahan volume yang diakibatkan oleh adanya perubahan tekanan. Untuk

mengevaluasi ekspansi thermal kita perlu membicarakan ketergantungan volume dan

suhu terhadap tekanan. Untuk itu kita perhatikan energi bebas Helmholtz,

TSUF . (4.38)

Hubungan antara tekanan, p dengan energi bebas Helmholtz adalah

TV

Fp

(4.39)

Kemudian dengan pendekatan harmonik,

uspot EEF mod

Dengan Epot. Adalah energi potensial yang mana tidak tergantung pada suhu berkenaan

dengan adanya interaksi inter-atomik. Emodus adalah energi sebahai konsekuensi dari

adanya vibrasi kisi. Dari pelajaran fisika statistik, energi setiap modus pada osilasi

harmonik dapat diungkapkan sebagai

28

2

0

10.11,1

2

3

KOhmWatt

e

k

T

33

38

TkTkTkf

0

00 exp1ln2

1ln

(4.40)

Dari persamaan.(4.38) dan (4.40) dapat diperoleh hubungan,

1

0mod

.

mod

.

1exp2

1

TkVdV

dE

V

f

dV

dEp

us

pot

us

pot

(4.41)

Keterkaitan antara frekuensi vibrasi dengan volume diungkapkan dalam bentuk

persamaan berpangkat ~ V-, dengan adalah parameter tak-berdimensi yang mana

disebut dengan parameter Gruneisen. Selanjutnya ini dapat dibuat dalam bentuk

persamaan diferensial,

Dengan demikian dapat diperoleh ungkapan untu tekanan, p dalam bentuk

us

pot

TkVdV

dE

mod

1

0

.1exp

2

1 p

(4.43)

Energi potensial tidak tergantung pada suhu sehingga koefisien ekspansi thermal dapat

diungkapkan sebagai,

BV

C

T

E

BV

V

V

us

mod (4.44)

CV adalah kapasitas panas kisi pada volume konstan yang mana berkaitan dengan efek

ketidak-harmonikan. Dalam hal ini volume adalah tergantung pada frekuensi vibrasi.

Pers. 44 dikenal sebagai hukum Gruneisen. Parameter adalah menggambarkan efek dari

suku ketidak-harmonikan, ketergantungan volume terhadap frekuensi.

Soal – soal Bab 4

1. Tentukan ungkapan bagi kapasitas panas kerena vibrasi rantai linier dari atom-atom

identik dengan pendekatan Debye. Tunjukkan pada suhu rendah kapasitas panas

berbanding lurus dengan T.

2. Hitunglah energi titik nol per atom dari vibrasi kisi zat padat Argon (D=92)

)V(lnd

)(lnd

V

d

dV

d

34

dan (4.42)

39

BAB V

ELEKTRON DALAM LOGAM

5.1. Tingkat-Tingkat Energi dalam Satu Dimensi

Gas elektron bebas dalam satu dimensi, memenuhi teori kuantum dan prinsip Pauli.

e Seperti terlihat pada Gambar 5.1, lektron dengan massa m dapat bergerak di sepanjang

lintasan L saja karena dibatasi oleh penghalang tak terhingga pada x=0 dan x=L. Fungsi

gelombang n(x) dari elektron adalah merupakan penyelesaian dari persamaan

Schrodinger

xxH nn

Gambar 5.1. Tiga tingkat energi pertama dan fungsi gelombang dari elektron bebas

bermasa m sepanjang garis L. Tingkat energi ditandai berdasarkan

bilangan kuantum n. Energi n pada tingkat bilangan kuantum n adalah

sama dengan (2/2m)(n/2L)2.

Dengan mengabaikan bagian energi potensialnya, maka H = p2/2m, dimana p adalah

momentum. Dalam teori kuantum, p dapat diwakili oleh i d dx / , sehingga :

Hm

d

dxn

n

n n

2 2

22 (5.1)

di mana n adalah energi dari elektron pada orbit ke n. Kita gunakan istilah orbital untuk

menyatakan penyelesaian dari persamaan gelombang pada sistem dengan satu elektron.

Syarat batas n(0)=0 dan n(L)=0 adalah sebagai akibat dari penghalang potensial

yang takterhingga pada x=0 dan x=L. Ini dipenuhi jika fungsi gelombangnya adalah

fungsi gelombang sinus dimana bilangan bulat n kali setengah panjang gelombang sama

dengan jarak antara 0 sampai dengan L, yaitu

36

39

35

40

xAx

n

n

2sin ; Ln n

21 (5.2)

dimana A adalah konstanta. Kita dapat lihat bahwa persamaan (5.2) adalah penyelesaian

dari persamaan (5.1), karena

d

dxA

n

LCos

n

Lx

d

dxA

n

LSin

n

Lx

n n

;

2

2

2

dimana energi n diberikan oleh :

22

2

L

n

mn

(5.3)

Berdasarkan prinsip larangan Pauli tidak dimungkinkan dua elektron dapat

mempunyai seluruh bilangan kuantum yang identik. Ini berarti bahwa setiap orbital hanya

bisa ditempati paling banyak oleh satu elektron. Hal ini berlaku juga untuk elektron dalam

atom, molekul, atau zat padat.

Energi Fermi F adalah didefinisikan sebagai energi dari tingkat tertinggi yang

telah terisi dalam keadaan dasar pada sistem N elektron. Dari persamaan (5.3) dengan

n=nF, maka untuk satu dimensi,

2222

22*2

L

N

mL

n

m

F

F

(5.4)

5.2. Pengaruh Temperatur Terhadap Distribusi Fermi-Dirac

Distribusi Fermi-Dirac memberikan probabilitas suatu orbit dengan energi akan

ditempati oleh suatu gas elektron ideal pada kesetimbangan termal. Fungsi distribusi

Fermi Dirac dinyatan sebagai

fk TB

( )exp ( ) /

1

1 (5.5)

Besaran adalah suatu fungsi terhadap temperatur. Pada nol absolut =F, karena

dalam limit T 0 fungsi f() berubah secara tidak kontinyu dari nilai 1 (terisi) ke nilai 0

(kosong) pada =F = . Pada semua temperatur f() sama dengan ½ ketika = ,

dimana penyebut pada persamaan (5.5) akan bernilai sama dengan 2.

Besaran adalah potensial kimia dan pada temperatur absolut sama dengan nol

potensial kimia tersebut adalah sama dengan energi Fermi, yang didefinisikan sebagai

energi dari orbital teratas yang telah terisi. Daerah dimana - >> kB T; suku

36

41

eksponensial akan dominan pada penyebut persamaan (5.5), sehingga f() exp [-

)/k0T]. Batas ini disebut distribusi Boltzmann atau Maxwell.

5.3. Gas Elektron Bebas Dalam Tiga Dimensi

Persamaan Schrodinger partikel bebas dalam tiga dimensi adalah :

2 2

2

2

2

2

22m x y zr rk k k

( ) ( ) (5.6)

Jika elektron dibatasi oleh kubus dengan sisi L, fungsi gelombangnya adalah gelombang

berdiri:

L

zn

L

yn

L

xnAr zyx

n

sinsinsin (5.7)

dimana nx, ny, nz adalah bilangan bulat positif. Titik asal adalah pada salah satu sudut dari

kubus.

Fungsi gelombang yang periodik dalam x, y, z dengan periode L, yaitu:

zyxzyLx ,,,, (5.8)

demikian juga untuk koordinat y dan z. Fungsi gelombang memenuhi persamaan

Schrodinger untuk partikel dan memenuhi kondisi keperiodikan adalah berbentuk

gelombang datar berjalan,

rikeksprk . (5.9)

dimana komponen dari vektor gelombang k memenuhi

,. . . ; 4

; 2

; 0LL

k x

(5.10)

demikian juga untuk ky dan kz

Setiap komponen k memiliki bentuk 2n/L, dimana n adalah bilangan bulat positif

atau negatif. Komponen k adalah bilangan kuantum bersama dengan bilangan kuantum

ms untuk spin. Nilai-nilai kx yang memenuhi persamaan (5.8), untuk :

LLxniLxik /2expexp

niLxni 2exp/2exp

niLxni 2exp/2exp (5.11)

Dengan mensubstitusikan persamaan (5.9) ke persamaan (5.6) maka diperoleh energi k

dari orbital dengan vektor gelombang k.

37

42

)(22

2222

22

zyxk kkkm

km

(5.12)

Besar vektor gelombang dihubungkan dengan panjang gelombang oleh relasi k =2/.

Momentum linier p direpresentasikan dengan mekanika kuantum dengan operator

ip , dengan demikian untuk orbital Persamaan (5.9), akan dipenuhi :

)()()( rkrrp kk ki (5.13)

sehingga gelombang datar k merupakan fungsi-eigen dari momentum linier dengan nilai

eigen k Kecepatan partikel dalam orbital k adalah diberikan oleh v = k/m.

Untuk sistem N elektron bebas dalam keadaan dasar, elektron elektron yang

menempati orbital dapat direpresentasikan sebagai titik-titik di dalam suatu bola dalam

ruang k. Energi pada permukaan bola adalah energi Fermi; vektor gelombang pada

permukaan Fermi mempunyai besar sama dengan kF, seperti (Gambar 5.4), sedemikian

rupa sehingga :

F Fmk

2

2

2 (5.14)

Dari Persamaan (5.10) terdapat satu vektor gelombang yang diijinkan untuk

elemen volume (2/L)3 pada ruang k. Jadi dalam bola dengan volume 4kF3/3, jumlah

total orbit adalah :

24 3

2 3

3

3 2

3./

( / )

k

L

Vk N

F

F (5.15)

dimana faktor 2 pada ruas sebelah kiri berasal dari dua harga yang diperbolehkan pada

ms, yaitu bilangan kuantum spin, untuk setiap harga k yang diijinkan. Selanjutnya kita

dapatkan :

kN

VF

3 2 1 3

/

(5.16)

dimana hanya tergantung pada konsentrasi partikel. Dengan menggunakan Persamaan

(5.14) dapat ditulis sebagai

F m

N

V

2 2 2 3

2

3/

(5.17)

38

43

Persamaan (5.17) menjelaskan ubungan antara energi Fermi dengan konsentrasi elektron

N/V. Kecepatan elektron vF pada permukaan Fermi adalah :

3/123

v

V

N

mm

kF

F

(5.18)

Selanjutnya kita lakukan perhitungan terhadap jumlah orbital per satuan daerah

energi, yaitu kerapatan keadaan D(). Kita gunakan persamaan (5.17) untuk jumlah

total orbital pada energi :

2/3

22

2

3

mVN

(5.19)

sehingga kerapatan keadaan Gambar 5 adalah :

2/1

2/3

22.

2.

2)(

mV

d

dND

(5.20)

Persamaan (5.20) dapat disederhanakan menjadi:

,.2

3 ;konstan 1

2

31

d

N

dNnnN

dengan

2

3)(

N

d

dND (5.21)

Sehingga jumlah orbital per unit energi Fermi adalah jumlah total elektron konduksi

dibagi oleh energi Fermi, seperti yang kita harapkan.

Gambar 5. 4. Dalam keadaan dasar sistem N elektron bebas menempati orbital sistem

mengisi bola dengan jari-jari kF, dimana F Fk m2 2 2/ adalah energi

elektron yang mempunyai vektor gelombang kF.

39

44

5.4. Kapasitas Panas Gas Elektron

Ketika kita memanaskan suatu bahan dari nol absolut, tidak semua elektron

mendapat energi ~k0T seperti yang diharapkan secara klasik, tetapi hanya elektron-

elektron dalam orbital-orbital dapat dieksitasi secara termal pada temperatur T dan

elektron-elektron ini mendapat tambahan energi sebesar k0T, seperti terlihat pada Jika N

adalah jumlah total elektron, hanya beberapa elektron dalam orde T/TF dapat dirangsang

secara termal pada temperatur T, karena hanya ini yang berada di dalam daerah energi

dalam orde k0T pada bagian atas dari distribusi energi. Setiap fraksi NT/TF ini elektron

mempunyai energi termal sebesar k0T. Energi kinetik termal elektronik total U adalah

dalam orde

U (NT / TF) k0T. (5.22)

Kapasitas panas elektron adalah sebagai berikut

)/(0 Fel TTNkT

UC

(5.23)

dan berbanding langsung T, sesuai dengan hasil percobaan. Pada temperatur ruang Cel

adalah lebih kecil dibandingkan dengan nilai klasik (3/2)Nk0 dengan faktor dalam orde

0,01 atau kurang, untuk TF 5x104 K.

Ungkapan kuantitatif untuk kapasitas panas elektronik pada temperatur rendah

k0T<< F. Penambahan 0UTUU terhadap energi total (Gambar 5.5) pada

sistem N elektron jika dipanaskan dari 0 ke T adalah :

0 0

)( )()( F

DdfDdU (5.24)

di sini f() adalah fungsi Dirac-Fermi dan D() adalah jumlah orbital persatuan energi.

Kita kalikan identitas

0 0

)( )()(F

DdfDdN (5.25)

dengan F untuk memperoleh

FF

F

DdDfd FF00

)( )()( (5.26)

Kita gunakan (26) untuk menulis kembali (24) seperti

0 0

1

)()](1[)()()()( dfdDfdU FF (5.27)

Hasil ()D() d di dalam integral pertama adalah jumlah elektron yang

meloncat ke orbital dalam daerah energi d pada energi . Faktor [1-()] dalam integral

40

45

kedua adalah probabilitas elektron yang telah berpindah dari orbital .

0

)()( DdT

dfd

dT

dUC Fel (5.28)

Jika variasi dari dengan T menyarankan bahwa bila k0T << F kita abaikan

ketergantungan temperatur potensial kimia pada fungsi distribusi Fermi-Dirac dan

diganti dengan konstan F. Kita dapatkan kemudian dengan kBT,

22 }1]/){exp[(

]/)exp[(.

F

FF

d

df (5.29)

Kita ambil

x (-F)/ (5.30)

Dan dari Persamaan (5.29) dan (5.30) maka

tFx

x

Fele

exdxDTkC

/2

22

0)1(

)( (5.31)

Dengan mengganti batas bawah dengan - karena faktor ex di dalam

pengintegralan adalah sangat kecil pada x = -F/ jika kita berbicara pada temperatur

rendah sedemikian rupa F/~100 atau lebih. Integral menjadi

dx xe

e

x

x

2

2

2

1 3( )

(5.32)

Sehingga kapasitas panas gas elektron persamaan (5.32) menjadi

C D k Tel F 1

32

0

2 ( ) (5.33)

Dari persamaan (5.21) kita dapatkan bahwa

FFF TkNND 02/32/3 (5.34)

untuk gas elektron bebas dengan k0TF F. Selanjutnya, Persamaan (5.34) menjadi

Fel TTNkC /2

10

2 (5.35)

Temperatur Fermi, TF sesungguhnya bukanlah temperatur yang nyata tetapi hanya notasi

dari temperatur referensi

5.5. Efek Hall

Medan Hall adalah medan listrik yang terbentuk melewati dua permukaan

konduktor dalam arah jxB, bila arus j mengalir memotong medan magnet B. Andaikan

bahan berbentuk batang dalam arah longitudinal medan listrik, Ex dan transversal medan

41

46

magnet, seperti tampak dalam Gambar 5.14. Jika tidak ada arus yang mengalir keluar

batang dalam arah y maka vy=0. jika medan listrik transversal

E EeB

mEy c x x

(5.37)

Kuantitas yang didefinisikan sebagai :

RE

j BH

y

x

(5.38)

Untuk mengevaluasi model yang sederhana tersebut kita gunakan jx = ne2Ex/m dan

koefisien Hall menjadi :

RneH 1

(5.39)

Gambar 5.14. Susunan standar dari efek Hall, sampel dengan tampang lintang segiempat

diletakkan pada medan magnet yang berada dalam arah Z seperti pada (a).

Medan listrik Ex dilewatkan pada salah satu sisi elektroda menyebabkan arus

listrik jx mengalir sepanjang sampel. Kecepatan hanyut dari elektron yang

bermuatan negatif segera terjadi setelah diberi medan listrik seperti terlihat

pada (b). Pembelokan ke arah y ini terjadi karena adanya medan magnet.

Elektron terkumpul pada salah satu sisi dari batang dan kelebihan ion positif

terkumpul pada sisi yang berlawanan sampai seperti terlihat pada (c), medan

listrik tranversal (medan Hall) saling meniadakan dengan gaya Lorentz yang

disebabkan oleh medan magnet.

.Pengukuran koefisien Hall sangat penting untuk mengukur konsentrasi pembawa

muatan. Simbol RH yang menyatakan koefisien Hall kadang-kadang digunakan dengan

maksud yang berbeda, yaitu sebagai resistansi Hall dalam masalah dua dimensi.

Resistansi Hall didefinisikan sebagai,

Koefisien Hall

42

47

xyHH jEBR / (5.55a) (3.40)

dimana jx adalah kerapatan arus permukaan dalam arah x. Persamaan sederhana

persamaan 5.55 diperoleh dengan asumsi bahwa waktu relaksasi seluruhnya adalah sama,

tidak tergantung pada kecepatan tiap elektron.

Daftar Pustaka

1. C. Kittel, Intruduction to Solid State Physics, 6-edition,john Willey &Sons, Inc,

California

2. J. S. Blakemore, Solid State Physics, 2-edition

3. M. A. Omar, Elementary Solid State Phisics : Principles & Application, Addison –

Wesley Publihing, Manila 1975

4. V. Rajendran, A. Marikani, Materials Science, Tata McGraw-Hill Publiching, New

Delhi, 2004

43