Tjr(.dn.ik ZLATKO SPORER

Recenzenti BORIS PA VKOVIC ZEUKOPAUSE ERIKA KRAMER Lektorica MARIJA DETONI

Objavljivanje ovog sVellciljsnog udibcnib odobrilo je PrcJ~jednistvo Skupstine Sveucj liilla u Zagrebu rjeknjcm b~oj 02-22012-1989, ad 27, veljll.cc 1989.

-----------------

erp - katalogizacija u pub[jkaciji Naeiona!!l

PREDGOVOR

Zbirka zaJataka i repctitorij iz Matcmatike IV" namije,nlcna je rcdovnilll i izvanrcdnim studclllima Geodetskog fakuitt:ta I pisana jc preilla Nastavnom prognuuu ji; Matcmatike IV na Geodetskom fakultetll $veuCiJista 1I Zagrebu.

Zelja mi je hila da ova Zbirka olaksa studentim

IlL POGLAVLJE

PLOHE 6. Definicija plohe i jednadzba piche

6,1. Defmicija 6,2 lednadzba piohe. Karta piche S. Parametrizacija od S . 6.3. Krivolinijske iIi Gaussove koordinate na pIchi 6.4. Krivulje na plohi

Zadaci

85 85 86 87 88 88

7. Tangentna ravnina i normala 7.1. Definicija

107 107 108 109 110

7.2. lednadzba tangentne ravnine 7.3. lednadZba norrnale

Zadaci

8. Prva diferencijalrta forma plohe 116 8.L Gaussove vdicine prvoga reda 116 8.2. Duljina !uka krivu!je oa plohi. Prva diferencijalna forma pIche 116 8.3. Kut izmedu dviju krivulja oa plohi 117 8.4. Plastina omedenog dijela plohe 118

Zadac! 118 Loksodroma- 126

9. Druga diferencijalna forma 133 9.1- Druga diferencijalna iii kvadratna forma plohe 133 9.2. Normaloj i kosi presjek plohe 135 9,3. Normalna zakrivljenost pIche u dan om smjeru 13S 9.4, Meusnierov leorern 135 9.5. Glavne zakrivljenosti. Gl

I. POGLA VUE

1. Osnovni pojrnovi vektorske algebre 1.1. Pojam vektora

Duzina AB kod koje su kmjevi A i B uredeni, tj. jedna od tocaka proglasena je za pocelak (hVatlsle), a druga za svrsetak (kraj, siJjak) zove se u~'erena duiina iii vektor. Vektor kojemu je A pocetak a B kraj oznacujemo s AB i taj vektor skiciramo kao na pripadnoi 51.1- Vektore takoder oznacujemo i s ii, 6, C, .. itd.

. -+ Uda!jeno~~tocaka A i B zov~o duljina, norma iii modut vektora AB . Normu vektora AB oznacujemo s lAB I, odnosno vektora ii sa lal. Vektor rnodula 1 7,.ovemo j~nicnim vektorom i oznacujemo sa dO. Pravac AB zaverno flosiocem

"'-~.ttar~B i za taj vcktor kazemo da ima smje~>od ~rema B. Za dva vektora AB i CD kazemo da su jedllaki i piscmo AS = CD ako postoji transJacija-prostora koja tocku A prevodi u C i istovremeno tocku BuD (vidi s1.2). Jasno je da jednaki vektori imaju jednake module i iste smjerove. Za dva vektora if j 6 kazcmo da su kolinearni aka oni imaju lsti nosilac.

A

8

/ SI. , SI. 2.

-+ ~ Na pripadnoj s1. 3 prikazani su kolinearni vektori AB i CD i oni su istog

SI. 3_

--- '7 ------7

8' , 0', C'

smjera. Vektori A' B' i C'D' su takoder kolinearni ali suprotnog smjcra. Kolinearnirn vektorima smatrnmo takoder i vektore kojima su nosioci paralel-

ni.

1.2. Mnozcnjc vcktora realnim brojem. Zbrajanje vektora. Linearna kombinacija vektora.

a) Neka je a = AB bilo koji vektor if..> 0 bilo koji realni ?roj (skalar). Tada :'?llamo da na pravcu AB postoji jedinstven~ocka C takva da JC

AAB~AC (1) i da su vektori At i AC = b istog smjera (vidi sI.4). Tako dobiveni vcktor b zovemo produklom skalara A i vektora a i pisemo:

Ii ~ Aa.

Sl. 4.

~ Na isti naCin za A < 0 i bilo koji vektor a = AE.->-po~ .. !.Q,ji je~linstvena tock~ C

na pravcu AB takva da vrijedi (1) i da su vektori AB i AC b sllprotnog smJera (sl. 5). Vektor b zovemo produktorn ~kalara f.. i vektora a i piSemo:

b = I.a.

c c

51. 5.

A B o

Specijalno vektor 0:= (- 1) ii ozo:cujem? s ~ .. ii ~ zo'yemo. suprotnir:: od a~ .. Napokon za f,. = 0 i svaki vektor a stavlJa.mo 0 .a =~, gdje

v

smo s ? oznaelil nuf-vektor. To je vektor kojemu pocetak i kraJ padaJu U IstU tocku. VZlma se da jc nu\-vektor kolinearan sa svakim vekto.~on:'. ..

Mnozcnje vcktora skalarom je asoclJatJvno s obzlrom oa skalarOl faktor, tJ. vrijedi uvijek:

A(~a) ~ (A~)a. fedinicnim vektorom u smjeru vektora a zovemo vektor

_ [I 1_ a ~Wa.

b) Operacija zbrajanja lIektora uvodi se ovako: Neka su ii i b bilo koja dva vektora. Vzmimo u prostoru hilo koju tocku 0 i translatirajmo vektor ii tako da mu pocetak padoe u 0, a vekwr b tako da mu pocetak padne 11 kraj A translatiranog vektora a. 2

OznaCimo s_li. kraj transiatiranog vcktora b. Vektor c = OB zovemo tada zbrojem vektora .a i b i pisemo (sl. 6):

('=0+6.

Zbroj c:= a + b vektora a i b mozemo shV-atiti i kao prvu dijagooalu paraJelograma kojcg odreduju na prije opisani naCin traoslatirani vektori a i b. Tako definirano zbrajanje vektora ima ova svojstva:

(0 + b) + c:;;; a + (b + c), (asocijativo05t) a+O:::::()+a=ii,

(komutativnost). Za vektore a i b definira se njihova razlika:

d~a-b ovako:

1 ,I 'I

o

, 1

51. 6.

SI.7.

Razlika a - b pre docena .ie ))drugom dijagona-10m paraieiograma kojcg odrcduju traoslatinmi vektori ii i b (sl. 8).

-----~-----7

Mnozc.nje vektora sa skalarima ima ova svojstva distributivnosti:

A(a + b) = Aa + Ab, (A + ~)a ~ Ail +~.

51. B.

I I

c) Za vektore OJ, .. ,a" i skalare Ab .. ,1." potpuno je odreden vektor b=Aja j + .. ' + A"a".

,

, I

Vektor b zoverno lineamom kombinacijom iii linearnim spojem vektora al>' .,0.". Za vektore ab.,a" kazemo da su linearno zavisni ako postoje skalari A1> ... ,AII ad kojih je barem jedan razlicit od nllie taka da vrijedi:

(2)

Vektori ab . ,a" su linearno nezavisni ako (2) povlaCi )'1"'" ... = An := O. Na primjee Svaka cetiri vektora u prostoru su linearno zavisna. Svaka

tri vektora u ravnini su linearno zavisna.

3

1.2. Koordinaic vekto['a Neka je 0 bila koja tocka prostora. Tada svakoj toci T prostora mozemo

.d "r vektor aT. Taj vektor zovemo radijvektoTOm tocke T. Ncka su dal~e pH rUZl I 0 d .... d' tven Je eh el' e} Ji.nearno nezavisni vektori s pocetkom u , ta a pOStOJ1 1 JC ms rastav:

(3)

Skup {O; ('1> de2'n~]~rOZJ.~:em(t7 tl~)ma~~iJ~Oi~~~~~~i;~[~i:r2~~~~;~~~[a~~~:~~~: ~ proslOru, a ure e , , -----7 1 d kt O~T 111' bilo kOJeg vektma kO.ji jc. jedfl.ak vektoru OT u tom 11 fa IJve ora . ." .' sustavu. To pisemo ovako T= (ll, fl, [1). SpeclJallll slucaj aGJllh koordmata JCsu Desr;artesove pravokutne koordinate. Njih dobivamo ta~o,da- uzmcl!:0!1 ":. =1, e2=j, f:3=k, gdje su i, j, k jedinicni vektori koji Sll me~usobno ortogonalni j koji cine desOl sustav vektora. Tada rastav (3) glasi (s1. 9):

l' I

--------..'1 /1

/1 / 1

/- -~I~--- - ---1 I

1 ~ 1 I

/, / .

/

a=a) +ay1 +a,k. I I t"""";. I Ovo se .ius pise ovako: I

I ~, ._-_. __ 1 ___ -;

a (a" ap a,), iIi a={a.t , Gy, liz}.

,

.. ,~ ,

SI. 9.

1 .'

k /

/ /

/

U d t Jku (a a (/) zovel11O pravokutnim Hi Descartesovim koordina-re eou ro .

1.5. Trostruki produkti vektora

a) Vektorsko~skalarni produkt (iIi mjesoviti produkt, ili eks~in produkt) triju vektara ii, b i c jest skalarni produkt vektorskog produkta a x b s vektorom c, tj :

(axb)e. Krace se ovo oznacuje s (a, b, c) i zove trojka vektoru.

Geometrijski: Trojka vektara jedn_aka je po apsolutnom iznosu volumenu paralclepipeda razapetog vektorima ii, b, cis predznakom +- Hi .- vee prem~ tome cine Ii ti vektori (redam kaka dolaze u vektorsko-skalarnom produktu) desm iIi lijevi sustav:

(a,b,e) = (ii x E) 'e= 'v. b) Trojka ne mijenja vrijednost aka jo; ciklicki permutiramo faktore iIi aka

zamijenimo znakove ~~x i )~. (uz pomak zagrade): (ii x b) 1= (b x 1) 'a= (1 xii) b =1 (a x b) =

=ii (5 x l)=E (1 x Ii). Ostale permutacije, koje niSll dklicke, svode se na permutaciju faktora u

vektorskom produktu i mijenjaju prcdznak: (axbj-1= -(Exa).1.

Vektori a,b,c su komplanarni ako je: (Ii xb) 1 = o.

Zbog komplanarnosti je npr-: a(ii x 1) =b' (6 x c) ~c' (a xl)= c (5 x c) =0.

c) Vektorsko~vektorski produkt (iIi eks*::ks produkt) trijn vektora ii. 5, c jest vektorski produkt vektorskog produkta a x b s vektorom c, tj.

(a x 5) x c. Geometrijski: Ovo je vektor okom!t na vektor a x b i [lEI vektor C, prema tome

vektorsko-vektorski produkt (0: x 5) x c je vektor koji Ieti u ravnini odredenoj vektorima a i 5. Dakle: Vektorsko-vektorski produkt jest vektor koji je komplana-ran s vektorim3 0: i b.

d) Svojstva vektOJ:sko-vektorskog produkla: Za vektorsko~vektorski produkt vrijedi:

(a x b) XI~b(ii 1) - a(b 1) aX (b XI)~b(,H)- l(ab).

Pravilo: Vektorsko~vektorski produkt triju vektora je razlika dvaju vektora (kolinearnih s vektorima u zagradi), od kojih je prvi produkt ))srednjeg vektora ~a skalarnim produktom krajnjih~< vektora, a drugi vektor produkt drugog vektora iz zagrade sa skalarnim produktom preostala dva vektora.

6

Svojstva vektorsko-vektorskog produkta: Veoma je vazan redoslijed vektora u vektorsko-vektorskom produktu. Ciklicka permutacija dovodi do posve razlicitih vektora:

a x (b x 1) = b(iH) - c(a' b), bx (lxa)=I(b.a)-ii(b o l), 1 x (Ii x 5) =a(1 0 b)-b(lii).

Analogno j primjena mjesta zagrade u gornja tri produkta izaziva promjenu, jer ne vrijedi zakon asocijativnosti:

pa je npr.:

(ii xb) x c~b(I'ii) -a(lb), (b XI) Xii~l(b ii) -5(c o a), (1 x il) x b=ii(cob) -1(a 5),

(a x 5) X c"cii x (6 x c). Ovo mati da zakon asocijativnosti za vektorsko mnozenje ne vrijedi. 1z navedenog slijedi:

a x (5 XI) + b x (c x ;;) +c x (ii x b) = 0. Ova jednadzba zove se Jacobiev identitct.

Vektorsko~vektorski produkt mozemo zapisati i pomotu determinante:

(a 0)

1.6. Visestruki produkti vektora. Gramova determinanta a) Skalarni produkt vektorskih produkata od po dva vektora.

(ae) (b")

(a'd) (bd) b) Vektorski produkl vektorskih produkata od po dva vektora.

(Ii x b) x (c x d) = 5(ii,c,d) - a(b,l,d), (iix b) x (1x d) =c(ii,b,d) -d(ii,b,c).

Vektori na desnoj strani ovih jednakosti su jednaki, jeaino je u prvom slucaju rezultat vektor kompianaran s ravninom odredenom vektorima a i b (rastav na razl.iku vektora b i a iii rastav )p~ 5 i ih), a u drugom vektor komplanaran s ravnlOom odrc(tenom vektorima c j d (rastav na razliku vektora c i d ili rastav "po c i d). Odavde izlazi da je vektor (a x b) x (c x d) paralelan s presjecnicom ravnine :vektora 0: i b i ravnine vektora c i d.

1zrazi u zagractarna :'iU 5K(llari - trojke velctora.

7

c) VekloTski produkt veklora s ve.ktorsko-vektorskim produkrom triju vektora. a x [bx (a x d) 1 ~ (b' d) (0 x c) - (b c) (0 x d).

d) Produkl ad sest llektora ~ produkt trojke vektora 5 trojkom vektora:

I, (ap) (hj) (a'S) I

(a,O,c)(p,q,l) ~ (bp) (b'q) Cbs) . i (ap) (hi) (el) I

Dokazjednakosti pod a), b), c) i d) vidi uzadacima 5, 6", 7. i 8. on str. 12. i 13.

e) Gramava determinanta Gramovom determinantom G(a, b) vektora a i b zovemo detenninantu: " " I (aa) (ab) I

C(a,b) ~ (b a) (bb) . Za td vcktora 0, 6 i c Gramova se determinanta G(a, 5, c) dcfinira s:

(0' 0) (n' b) (n a) C(a,b,c) ~ (b' Ii) (5 5) (5 c)

(hl) (c' E) (c c) Iz d) I e) proizlazi da je:

(a, E, c)' ~ C(a, 5, c). Svojstva Gramove determinante navedena su u zadacima od 21. do 28.

1.7. Vektori u pravokutnim (Descartesovim) koordinatama a) Skalarni produkt dvaju vektora. Ako su vektori a i b dani svojim

koordinatama a (ax, ay, ay ) i b (bx,bpb,) , skalarni produkt je dan s: a b "'" a.,.b, + a."by+ azll",

jer vrijedi: 7.i=J7=-k.k=~, 7j=7k=j.k=O i vektori 7,j,k, cine desni su-

staY vektora. Posljedice:

Modul veklora: I a I ~'" val = Va2, + a~ + ~.~. 1z ~.4. n) proizlazi:

,Kut izmcdu dvaju vektora:

8

Odavde proizlazL

a5=0, tj. a

(if b)' + 15 x 61' ~ (151Iblcos

Rflcung,jmo r:Krrl:lrne produkte u zagradarna po forrnuli u 1. 7.::1: (a'C)~IO+9+12~31 i (ab)~15~3~20~ ~8.

Tada je: aX (b x C) ~ 3[ (3r~ /+ 5k).+8 (2[+ 3l~3/() ~

~ 93{ - 31/ + 155/,+ 16[+ 24/ - 24k ~ ~ 109"-7/ + 13I/(.

b) Racunat cemo od sada kraee prema formuli u l.S.d. (a x b) x e= b(a c) - alb' i').

Tadaje (ae)~31, Iic= -12, pa je: (ax b) x c= 31(3[- /+ 5fc) + 12(5"+3/-4k) =

= 93[ - 31T + ISSIe + 6oT+ 36J ~ 48k = =153[ +5]'+ l07J{.

Odavde se vidi svojstvo iz l.5.d: (ax b) x Nax (bxC).

c) Prema 1.6.a imamo: (b if)

(ac) (bC) = 50 ( - 12) - 31 ( - 8) = - 600 + 248 = - 352.

d) Prema l.6.b imamo ako rastavimo )~po'a i c.

12

(if x Ii) x (ax c) =d[(,lx 6)cJ - C[("x c) '''J = = ii(ii, b, c) - 0 ~ ,lea, b, c),

iii ako rastavimo po 5i ii: (,Ix Ii) x (axe) ~b[a IX e)J -alb (iix c)J= = 6 _. a[(bx d)

Dalje je: 1 2 -3

(5,E, d) ~ 2 -1 -,2 -39, 5 -4 4

2 - 3 (a,b,c) ~ 2 -1 -2 ~ 21,

4 3 -1

Tada je: (iixb)x(cxd)~ -39c-21d~

~ -39(-4r+3J-k)-21(5r-4J+4k)~ =51r-33T-45k.

c) Prema rezuitatu prcthodnog zadatka imamo: (aXb),(Cxii)~ -(5xb)'(axi')~(ii'C) (b d)-d'(b,e)~

~ 5,6 - 14' (- 9) ~ 156, d) Prema rezultatu prethodnog zadatka imamo:

(ax b) x (exa) ~ - (ax b) x (iixc)~ -a(ii,b,c) ~ ~ -21(f+2r-3k)~ -21i'-42T+63k,

10. Zadani su vektori ii, 6, c, koji nisu ,komplanarni i vektor d. PredoCi vektor J kao linearnu kombinaciju tih triju vektora.

14

Kako jc:

to je:

Tada je:

(ii x b) x (e x il) ~ c(ii, b, d) - d (ii, b, C) ~ ~ b (d,c, d) - ii(b,c, J),

e(ii, b, d) - d (a, b, C) ~ Ii (ii,!', d) - d(b,c, d),

d (ii, b,i') ~ ii(b,c, d) - b (ii, e, J) + c(ii, b, d), Kako vektori ti, 6, cnisu komplanarni, to je (ii,5,C) *" 0, pa imamo oa kraju:

d ~ (E,c,d) d _, (ii,cc d) b + (ii,b~J) c. (ii, b,c) (5, b,i') (ii, b, e)

Ova mozerno zgodnije pisati aka uoCimo da su clanavi u trojkarna brojnika desne strane ciklicki permutitani po shemi (si. 10): (J~"

. ) a Ii

51.10. ~

J ~ (E,,,;Jt ii _ (e,~,ii) b + (J,ii,b) i' (d,b,c) (ii,b,i') (ii,E,c)'

Odavde proizlazi da su svaka cetiri vektora prostora Hncarno zavisna. 11. Zadani su vektori Jib, te jedinicni vektor ii, i ani nisu komplaoarni. Pokazati

da jc vektor: J~ (iix E) + (b n) (,Ix ii) + (a n) (bX ,,)

kolinearan s vektorom ii.

Pomnozirno vektor d vektorski s ii: JXn~ C!jx b) x n+_(b.ii)[(iixa) Xii] + (an)[(bx n) x,oi] ~

~ b (~. n) - a(b' if) + d(n ii) (b n) - n(if if) (b n) + + if(b 0) (if if) - Ii(ii ii) (a if).

Kako je ii n= 1, imamo: Jxii~O, tj. d~An.

12. Koji 'uvjet moraju zadovoljavati vektori if i 6 da bi vektori if + b i (Ii - 6) bili: a) okomiti, b) kolinearni?

. -( - b) 13. Dokazati da je vektor: a) p=b{ac)-c(db) b) p=b'- ~.-:..~.~

. " . 52 okomit oa vektor a.

14. Zadaoi su jedinicni vektori ii,5 i if koji zadovoljavaju uvjet ii + fj + c= 0. a) Izracuoati ilb+fic+cii, b) Dokazati da je ii x ,; = fj xc = eX ii.

IS. Zadani su veklOri: d(2 -11) b(12 - 1) i e(O 1 2) N'" ) b) E - ) ~ ,. ' "-" '". ael. a ii x 5, X(l, ~ ax(bxe), d) (axb)xc, e) (iiXb)c, f) iix(b-C) - ax

x b -- a x c.

16. Vektori a,b,!! i J zadovoljavaju jednakosti fix 5 = eX J i if x c= [) x J Dokazati da su vektori ii - c[ i C - c kolinearni. .

17. Zadani su vektori: 0(3, -1, - 2) i 5(1,2, -1). NaCi koordinate vektorskog ptodukta a) dxb, b) (2ii+E) x Ii, 0) (Zii-b) x (2a+b).

l8. Poka~ati, ako Ji i fi le2e u ravoini okomitoj na ravninu koJa sadrzi c i J ooda Jc (ax b) (ex d) ~ O.

19. Dokazati identitetc: a) (ax b) (ex d) +(bxi'). (ax d)+ (ex 0)' (Ex J) ~O. b) ifx[bX(i'xd)]~b(a,i',J)-(iib)(i'xJ).

15

20. Dokazati da vrijcdi: (iixii,cxd,eX/) = (a,ii,d) (~,e,f) - (a,ii,c) (ifJ,!)

= (a, c, d) (C,if,!) - (b, G, d) (~, if, f) = (i',d,!) (ii, ii,~) - (e, 0. : . __

24. Dokazati da je povrsina paralclograma razapetog vektonma alb Jcdnaka: VC(a,b),

a volumeo paralelopipeda razapetog vektorima a,b i c jednak: VC(ii,b,C).

25. Provjerite da za v~ktore ii, b, c i J vrijedi uvijek:

26.

(a a) (ab) (a c) (ad) I - (ba) (b-'b) (b(') (b'~) [= 0. C(a,b,(',d) = _ ( .)

("0) (cb) ("G) Ga (da) (d6) (J.C) (aJ)

Za vektor 7 deflnira se Gramova determinanta -s G(ii) = if ii. Neka su a i b li'nearoo nezavisni.vektori. Provjerite da su tada vektori:

t (~a) ~I ,i (bil) b if! = ---- 1 i ez = ~==::::==~

VC(a) VC(a). C(a,b) jedinicni i ortogonalni i raz.:.pinju istu ravninu kao i vektori a i G.

27. Ncka su ii, 5 i c iinearno nezavisni vektori. Provjerlte jesu 1i vektori: I (ihi) (d' b) ~I I (~il) ~I (b a) (G 6) if (bif) e3 = (i'. a) (eG) el =---, e2 = VC(a,ii) . c(a, 6, e) Vc(a) VC(a) . C (a, 6) jedinicni i medusobno ortogonalni.

28. Dokazati da za svaka dva vektora ii i b 'Vlijedi: O(a,b) '" 151'16'1 '.

Isto za tri vektora ii, fj i c, tj.: C(ii,G,c) '" Iii' 161' 1i'1'

Kako se mogu, tc nejednakosti interpretirati geometrijski?

16

2. Vektorske funkcije skalarnog argumenta 2.1. Definicija

a) Ako je S neprazan podskup skupa realnih brojeva R, ooda se svako preslikavaoje :sa skupa S u vcktorski prostor XI} radijvektora, takvo da jc svakom elementu l E S pridruzen vektor a(t) E X(l, zove vekcorska funkcija skaiamog argumenla i oznacava s

ii~ u(')' Vektorska funkcija u(t) obicoo se zadaje POITlOCU tri skaiarne funkcije uJt),

uAt), u,(t) ovako: ii~ uJI)t + u.Jt)T + u,(I)k.

Realnc (skalarne) funkcije uJt), uy(t), u,(t) zovu se koordinatne funkcije veklorske funkcije fi(!).

b) Za dvije vektorske funkcije [1= riCt) i v= vet) definirane nil istom skupu S defioira se njihov ska[arni produk[ Ii .-J kao presiikavanje sa S u skup realnib brojeva pomoGu jednakosti:

za svc tES.

Ako su u" u)"u, koordinatne funkeije ad U, a v,, v,., v, od ii, onda vrijedi: 7,';) (1)=u,.(I) ,,(I)+U,(I) ".(I)+U,(I) ',(I), za sve IE S.

VeklOrski produkt u x J funkcija [7= ti(l), V= .. -: (c) definira. sc kao vektorska funkcija sa S u XI) formulom:

(fix v) (t) = Ll(t) x v(t), za sve t E S. To je prcslikavanje koordinaLno dano s:

(iiXv)(I)~ u,(,) ,,(I)

1z ove definieije jasno je kako se definira mjesoviti produkt tdju vektorskih funkcija. Isto za viseslruke produkle.

c) Limes ili granietta vrijednost vektorske funkcije u(l) definira se ana!ogno kao limes sk~iarne funkcije.

Za vektor ii kazemo 9a je limes vektorske funkeije ii(r) u tocki t" j pisemo: lim u(t) ~ a

ako za svaki broj e > 0 postoj! brej 6 (E) > 0 takav da iz < 11- 1,,1 < 0(,) proizlazi I U(I) - 51 < ,.

17

d) Prirast vektorske funkcije u(t) jest vektor definiran jednakosti: /\ii(l) ~ u(t + /\1) - a(I).

e) Za vektorsku funkciju Li(t) kazemo da je neprekidtta u tocki to ako za svako > 0 postoji 0() > 0 takvo da vrijedi:

iz 11-1,1 < Ii(e) slijedi IU(I)-,,(I,)I < e. IIi aka I !lil(t) i .......,. 0 kada !It.......,. 0, gdje je t;=:; to + t:,.t.

2.2. Derivacija i diferencijal. Taylorova formula a) Za vektorske funkcije cije su koordinatne funkcije derivabilne i neprekidne

kazemo da Sll diferencijabilne vektorske funkcije. Derivacija vektorske funkcije u= l1(t) po skalarnom argumentu je nova

vektorska funkcija definirana jednakosti: dii /\11 i1(t+AI)-ii(t)

a'(I) ~ - ~ lim _ .. ~ lim . dt '\.HG tl t ''.I~(} At

Ako su u.tJ uy, u" koardinatne funkcije funkcije riel) aoda je derivacija dana s: a'(I) ~ u,' (1)[ + u,.' (I)l + u,' (I)k.

b) DiferenciJal junkcije u zove se izraz: dii~ii'(I)dl.

c) Derivacije viSeg reda defioiwju se induktivno ovako: dka

U{k)(l) = (U{k n, l)(t)' = -d?" k = 2,3, .. . n.

d) Neka su realoe funkcije U.v u.,., u, koordinatne funkcije funkcije il(t) i definirane na sktipu S. Ako su te funkcije neprekinute, n-puta derivabilI"!e i ako su te derivacije neprekinute funkcije na S, tad a za funkciju u(t) vrijedi Taylorova formula:

" "/\[ " (I\t)' " U(I+ /\1) ~ u(l) + l! u'(I) + 2f u"(I) + .. + (/\ I)"

+ ---;;;- (';["'(1) + f(l, /\ I, gdje je (l,D.()=J+J+/{, i gdje je limJ(t,L\I)1 =0.

2.3. Hodograf vektorske funkcije Neka je r= r'(t) vektorska funkdja definirana na otvoreoom intervalu I

realnih brojeva. Tada je svakom realnam broju lo E I pridruzen vektor P(t,J i taj je vektor radljvektor neke tocke T". Skup svih tocaka To za koje je to E I zovemo hodografom zadane vektorske funkcije (s1. 11).

18

. Ako su x = x(t), Y = yet), z = z(t) koordinatlle funkcije funkcije 1(1), anda se hodograf zadaje ovako: _ _ _ ..

i'([)~xi+yj+zk. Aka je r""'"' r(t) diferencijabilna vektorska funkdja) onda hodogrp.f zovcmo krivuljom. Vektar ( ~:) (to) kojernu je pocetak u T" zoverna tangentnim vekto-rom krivulje r= ret) u tocki To (sl. 12),

T" o

SL 11. SI. 12.

2.4. Vektorska funkcija dviju skalarnih varijabli Neka su S, Tpodskupovi skupa realnih brojeva. Svako preslikavanje sa skupa

S x T u vektorski prostor Xo radijvektora zoverno vektorskom funkcijom dviju. skalarnih varijabli i oznacujemo s:

i1~ U(I,A). Vektorska funkcija u(t,'A) zadaje se:

a~a(I,A)~UJ[,Al'+U,(I,A)l+u,(I,A)k, IE S, A E T. Realne funkcije U r (t, 'A), uy (I, 'A), U1 (t, 'A) zovu se koordinatne funkcije vektorske funkcije a = ii(t, A).

Vektorska funkcija dviju varijabli je diferencijabilna (ne'prekinuto derivabH-na) ako njene koordinatne funkcije imaju parcijaloe dedvacije i one su nepreki-nute funkcije.

Parcijalne derivacije definiraju se na sJjedeci naCin: aa " . a(I+/\I,A)-a(I,A) --=u=lim -at I t>.l_O f:,.t ' aa _ . U(I,A+/\A)-t1(I,A)

-;::;:;-=u).,=hm ~ Of\.

2.5. PI-avila deriviranja Aka su funkcije u; = Uiel), i = 1,2,3, i In = mel) derivabilne, tada vrijede

sljedcea pravila: 1. (a1 iiz)' = iii' u/, 2. (mil)' = mil' +m'ii., 3. (Ul Ul)' = [11 a~ + 11;' uz, 4. (til X U2)' = u! X iff + ll; X "'2, 5. (u I, ti2, u)' ;= (tl~, uz, it)) + (ifh u:i, a:,) + (iil> 112 , aD

Zadaci 29. Nab derivaciju funkcije (ii il').

(li. [I'), = ii' Ll' + u LI"= lu' 12+ ii, [1" 30. Isto za funkciju (u, ii', it").

(t"i,a', ii")'= (u u' X a")' = (iZ X /' . a")' = = (ii' ,ii' ,u") + (u,ii",a") + (il,iZ' ,tT''') =

~ 0 + ii + (ii, ii', if"') ~ (ei,ii', ,1"'), 31. Razviti u Taylorov red funkciju:

Il(t) = costl + sint/ U oko!isu (, = o. . Taylorov red glasi:

20

. t-t (t-1o)1 _II 'i(t) ~ a (t,,) + 1"'- ii' (t,,) + z,-u (t,,) + , ,+

+ (t-(,)" [illi(t,,)+(t,t,,)J, n'

gdje je lim 1(t,t,,)I~O, \-'"

Imamo:

pa je:

tada je:

u'(f) = -sin.ll+costT, aI" (t) = sint! - cos t T,

u"(t) = _. cost l + sin cT, afV(l) = costt + sinlF,

,1(0) ~ T, ,,'(0) ~ T, ii"(O) ~ - T, ';'''(0) ~ - T, ,1'''(0) ~ T,

gdje je lim I E(t) I ~ 0, '-0

32. Naci dcrivaciju modula vektor-funkcije U(t). Da Ii je Ja)' = fll r]? Derivirajmo jednllkost:

imamo pisuCi kraee:

lullr1I'~r1'r", Odavde dobivamo negativan odgovor, jer vrijedi:

LI' ii' /L7i'=IiZ!=uo.u" a ova ne mora biti jednako lit'l. 33. Vektorska funkcija Ciji je modul konstantan, okomita je na svojoj derivaciji.

1z prethodnog zadatka jest:

34,

35.

ja!'=o, pajelJti'=O, tj.ii1.il'. Ako je 1-1 X iii = 0 vektorska funkcija sa svojstvom smjer vektola ii kOI\~talllna- funkcija.

lui ioO, liil' ioO, onda je Nadimo derivaciju arta vekwra:

,,' (';)' u = ~1I

1,7/ ri' - ,Ii ,;1' Iii/' '

Uvrstimo !i ovamo rezu!tat zadatka 32. i sredimo, imarno: _,11 I ariZ' - (II' il') 11 (11 x in x a u = - ... ---- ~ ---' --Iril' liil"

Kako je If x It = 0, to je tt' = 0, pa je (vidi zad. 42) ifl = const. To znaei da je smjel II konstamna funkcija. Aka je [/. x ii' =F 0 vektorska funkcija sa svojstvom il =F 0, (ii, a', il") = 0, onda je vektor ii paratelan s nekom CVfstorn ravninoll1. OznaCimo s:

v=iixll', pa je V' = /./.' X U' + u x It" = II xu".

Nadimo v x V' : lOX v'= (iix ii') x (iix il") =

= ti (ii, fl' ,U'.,) - il" (il)1', ii) = = LI(U,ii', u"").

Zbog pretpostavke zadatka jest: VX v'=O.

To znaci da vektor y-: = r7 x tI' ima konstantan smjer (zad. 34).

Kako je il 1. V, to je vektor Lt parale1an s ravninom, koja iIUa vektor normale kolinearan s vektorom v konstantnog smjera.

Neka je r= ,-(t) vektorska funkcija. U zadacima od 36. do 39. naCi derivacije sJjedeCih funkcija:

21

36. ;'xi", 37. er' x Pll) x rJl', 38. v7', 39. V(fxf')'.

Neka je r=f(u,v) vektorska funkcija. U zadacima 40. i 41. nati parcijalne derivacije prvog i drugog reda za sljedece funkciJe.

40. (2, 4.1. 1" x rv. 42. Dokazati, ako je derivacija vektor-funkcije i= ret) jednaka nul-vektoru, da

je i= canst. Vrijedi Ii obrat? 43. Dakazati, ako je 1., = 0, 1" = 0, da je 1= const. 44. Dokazati, ako je ! 1 (ii, V) I = const., da je r 1. ill i f .. l iv' 45. Da bi vektor 1(u, v) imao konstantan smjer, mora biti n If" i fl !f". Dokazati ..

Na6 krivulje kojih vektorske funkcije zadovoljavaju tlvjetima zadataka 46. 1 47,

46. T' = (ij x 1, gdjc je w = canst. 47. ;., = i x U- x e), gdje je e konstantan jedinicni vektor. 48. Nad trt Clana Taylorova reda za funkciju

!(t) ~ costl + (t' + 2t + 1) j aka t=O. 49. Zadana .Ie vektorska funkcija:

ii(x) ~ y(x)a + xy(x) b + xc, gdje su d, E, c konstantni i nekomplanarni vektori. O~rediti funkciju y(x) tako, da vektor u(x) bude para lei an s jednom ravninom J da bude:

ii(1)=~f+b+c il'(1) = ~ii+c.

50 NaCi derivaciju po pClrametru t volumena paralelepipeda razapetog sa trl vektora:

5=T+t/+t2f(, b=2t[- T+t 3k, c= ~t2r+t.lt+k.

51. Odredite kakve krivulje su hodografi ovih vektorskih funkcija: a) 1=r~4t2T+3t2k, b) i=at+c, c) i=at 2 +bt, d) i=acast+bsint, e) i=dcht+bsht,

gdje Stl ii, b, c konstantni vektori, a vektori if i 6 su okomiti.

22

,,,,

II. POGLA VLJE

PROSTORNE KRIVULJE 3. Pojam krivulje. Zadavanje krivulja 3.1. Definicija

Neka je 1 otvoreni interval realnih brojeva. Neka je a: 1---')- E3 bilo koje presiikavanje. Takva se preslikavanje zadaje sa;

art) ~ (x(t) , y(t), z(t)). gdje su x, y, z :1....,. R realne funkcije koje zovemo koordinatnim fu.nkcijama od a. Za a kazema da je diferencijahilno preslikavanje ako su koordinatne funkcije x(t), y(t), z(t) diferencijabilne.

Svaku diferencijabilnu fuokciju a; /---')- 3 zovemo krivuljom u prostoru E3. Skup a (J) C -' zoverno grafom krivulje a. Mi cerno testo graf identificirati sa samom krivuljom.

3.2. Jednadzba krivulje. Duljina Inka Uobicajeno je tocku aCt) E 3 identificirati s radijvektorom 1(t) te totke i

krivulju zadati s priparlnom vektorskam funkcijom skalarne varijable: 1(1) ~ x(t){ + y(t){ + z(t)k. (1)

Iednadiba (1) zove se vektorska jednad'tba krivllije. Ona je ekvivalentna s trt skalarne jednadzbe:

x~x(t), z ~ z(t) (2) Ove se jednadzbe zovu parametarskim jednadibama kri\)ulje.

Ako je zadaoa krivulja svojom jednadibom r= i(t) i ako Sil 1(11) i f(t-J radijvektori dviju njezinih toeaka A i B, onda se reaIan broj:

s ~ JIi"(t)ldt "

zove duljina luka krivulje od tocke A do tocke B. Aka je krivulja zadana parametarskim jednadibama (2) and a se formula (3) moze pisati U ob!iku:

J" (dx)' (dY)' (dz)' s= Cit +- dr + dt dt. "

(4)

23

3.~. Rcpararrtefrizacija krivulje. T9.ngt!ntni vt!ktor. Neb je sada a: l~ 3 krivulja, J otvoreni interval realnih brojeva i it:J ---t 1

dircrencijabilna bjjekcija, Tada prcslikavanjc ~=aoh:J~E'

zovemo reparametrizacijom krivulje a fUllkcijom h. OCito je rcparametrizacija f3 opet krivulja u EJ i graf od a podudara se s grafom od f3, tj. vrijedi a(l) -:=: {3(1).

Tangentnim vektorom krivulje zadane sa r= rCt), (E 1 u tocki kojoj je radijvcktor f(o), to E I zovemo vektor

(5)

kojemu je pocetak u toj tocki. Pravac odrcdcn tim vektorom zoverno tangentom krivulje u toj tockL

Opcenito je I r'(t) I '-F 1. Formulc diferencijalne gcometrije postaju osobito jedno-stavoe aka je krivu,lju maguce reparametrizirati tako da je norma (modul) taogentnog vektora U svakoj njenoj tocki jednaka 1. To je uvijek mogucc utiniti i to ovako:

Ncka je a:1 ~ E} krivulja zadana vektorskom jcdnadzbom r= l(t) , t E 1. Ncka je daJj e a E 1. Promotrimo preslikavanje s : I ~ R definirano forrnuJom:

(6)

To je preslikavonje neprckidno i monotono rastute, pa S(l) preslikava bijektivno interval [opet na ncki interval J realnih brojeva. Svaka takva funkcija je invertibilna (postoji inverzna funkcija ovakovc funkcije). OZnaCimo inverz S-l(t) tefunkcijes: .

I~ I(S) ,J~ l. Ioverz je diferencijabilna bijekcij a. Promotrimo reparametrizaciju od a funkcijol11 t = t(s) , dakle prcslikavanje f3 = a ot. Pokazuje se da je tangentoi vektor tako reparametriziranc krivulje uvijek jedinicne OOrme, Za krivulju reparametriziranu oa taj oaCin kazemo da je parametrizirana duljinom luka ili prirodnim. ili invarijantnim parametrom.

Uobicajeno je takav parametar oznacavati sa S, pa ce nam oznaka: F= F(s)

uvijek maciti da je krivulja parametrizirana duljinom luka.

Napomena: Krivulju reparamctriziranu preslikavanjem ~ = aot trebalo bi pisati ovako:

(i = F(/Jot (s) ~ F[ I(s) 1 = 6 (s). Medutim, umjesto oznake Q(s) uobicajeno jc i dalje pisati r(5) kao u (7).

24

(7)

(8)

3.4. Derivacija. Oznake za'derivaciju

Reparametriziranu funkciju deriviramo ovako:

(9)

Dcrivacija vektorskc funkcije [ealne varijablc po invarijantnom (prirodnom) parametru oznacava se crticom, dakle: .

~I df r = d;'

a po opcem parametru tockicom, dakle:

r= df dt

Graf krivulje (odnosna krivulJ'a) ponckad se zadaje kao prcsjek dviju pioha: F(x, y, z) =0, G(x, y, z) = O.

Zadaci:

52. a) Krivulja a :R----J' E3 zadana je svojom vektorskom jednadzbom: i=ui'+u 2/.

Skicirajte graf te krivulje. b) KrivuJjaa:R~E3zadanajcsa:

r=tL+tT, Skicirajte gmf te krivulje.

(10)

(11)

(12)

c) Zatvorena krivulja a; [0,2Jt] -..) 3 zadana je svojom Vcktorskom iednadi-born: .

f(t)=acostl'+bsintT, tE [0,211:], a>O, h>O. Skicirajte graf te krivuljc. Dcfinicija: Diferencijabilno prcs!ikavanje a: la, bJ _ 3 za kojc je a (a} = a (b) zovemo zatvorenom krivuljom. a) Usporcdimo!i zadanu jednadzbu s

l=xi'+yF+zk izlazi da }e x. = ,tI, Y = u 2, Z = 0, pa cllminiravsi parametar u oobijamo y = Xl, Z = O. KnvulJa JC parabola. b) Analognom usporedbom izlazi:

x=t, y=t, z::;:O. KrivuJja jc pravac y = x, z = O.

25

c) Imamo: x = {[cost,

EliminClci.!om parametra ( iz13zi:

Krivulja je, daklc, clipsa.

y = bsinl, z=o.

1, z = 0.

53. a) Tockc grafa neke krivulje u XOY ravnini zadanc su sa y = [(x), x.E R. Kako glasi vektorska i p,uametafska jednadzba tc krivuJje?

b) U ravnini XOY zadana je elipsa: x< 1"

a~+b2=1. Napisite vektorskll i p

ili krace: r= {asin"2t,asintcost,acost}, t [O,ZJt].

Provjerite sarni cia je:

(a

I' ~2(! + cost), . t) asU1'2 ' t E [O,4n], takoder jedna pararnctrizacija Vivijanieve krivulje.

A

S1. 14.

56. Dokazati da gruf zatvorene krivulje a: [O,nJ -J. 3 zadanc sa:

28

x=sinZ, y=l"-cosZCP, z=2coscp lezi na sferi i jest presjek parabolickog i krutnog valjka. Napisati vektorsku jednadzbu krivulje. Vektorska jednadiba krivulje glasi:

t={sin2,p, l-cos2, 2coscp}. Dokazimo da krivuJja leii na sfefL Imamo:

x2 + y' + z' = sin'2$ + (1- cos2$)' + 4co$'

1z prvc imamo: z=lo(x2+y"). Uvrstimo Ii avo u drugu jcdnadibu imamo:

odnosno:

L = tgln ~/xz + y2, x

I '~ Y nVr+y-=arctg-, x

U polarnom sustavu jednadiba ovc projekcijc giasi: r= e',

kao l1a prvi naCin u 1. 58. Zadaoa je krivulja (spiral a) a: R-Jo 3 sa:

30

x=acost y=asint z=bt, a>O, b>O. 1". Nati projekcije grafa krivuJje oa koordinatl1e ravnioe. 2. Napisati jednadzbu krivulje kao presjck dviju ploha. 1". Projekcija 118 koordinatnu ravninu XOY ima parametarsku jednadzbn:

x=acost

y=asint, a ejimjniravsi parametar 1 implicitni oblik jednadzbe projekcije ginsi: x" +)'2 = a1 Projekcija n8 koordinatnu ravoinu YOZ im3 jednadibll: y=asint z = bl, odnosno:

Projekcija oa koordinatnu ravninu XOZ ima jednadzbu: x=acosl

odnosno: z=bl,

z x=acost;.

2". Eliminirajmo parametar t;

r I I I

I

59.

y=xtgt, z t=~.

b Jednadiba krivutje prema tame g!asi:

\' l=b arctg....::......... x

Iz ovog oblika mozemo naCi takoder projekciju grafa krivuljc na koordi-natne ravnine XOY, YOZ, XOZ tako da jz navedene dvije jednadZbe eliminiraillo redom z, pa x, pfl y. EliminirajJllo z: Projekdja na ravninll XOY ima .iednadzbu;

x 2 + y' = al EliiTIinirajmo x:

l Iz druge jcdnadtbe ie: x=yctgb , sto uvrsteno u prvu jednadzbu daje trazenu projekcijll oa fflvninu YOZ:

y2(Ctl!2~+ 1)=a2 ~ b .

. z Y=(IStnz:;.

z Na kraju eJiminlnjl1lo y. U prvu jednad2.bu lIvrstimo y=xtgT : x2(tg2~+1)=(/2

,. b '

z x=ncos{;,

sto predstflvlja jedoHdibu projekcije zadane krivlllje na ravnirlU XOZ,

NaCi duljinu iuka krivu!je a: [. - -2J{ , ;. ] ~ 3: F= {sin2 t,sintcost, Incost} od ! = {} do t= f. (avo znaCi: od tocke u kojoj.ie t = 0 do tockc u kojoj je i = t. Analogno u daljnjim zadacima). Tmamo: i = 2sin teost = sin 2t,

)i = cos2 f - sin'( = cos2t, i= sin t cost

- tgt.

31

60.

Tada je:

Duljina luka jest: , S ~ J-~~-dt"'" In tg(~ + 2)

cost 2 4 o

S=lntg(~-+ :). Naci dl.lUinu luka krivulje:

x 2 =3y, 2xy=9z ad tockc (0,0,0) do locke (3,3,2). OVdje je krivulja zadana kao presjek dviju pioha. Predimo na parametarski oblik pa uzmimo:

x= 3[, onda je y = 3[2, Z = 2t\ taka da je taj presjek graf krivulje a: R~ E J koja je zadana sa:

r= {3t, 3t 2 , 2tJ}. Nadalje je:

x2 + },2 +

Tada je duljina luka: ,. ,

S ~ 3 J (1 + 21') dl ~ 3 (I +~~It) I ~ 3 ( 1+ f) ~ 3 ~ ~ 5. o 0

61. Odrediti duljinu luka krivulje a : R ~ EJ:

32

rCt) = t6 + (1- t)F ad (, = do t, gdje su i1 i b konstantni vektori. Duljina luka glasi:

,

S ~ f If(t)1 dl. ' ..

Tada je zbog konstantnosti if i 6: li(1)1 ~Mi ~ vca-b)'~ la-bl.

pa imamo: , . ,

s~ f la-b-ldl~la-bl f dl~la-61t. . 0

f I 62. Obicnll cilindricnu spiralu 0.: R-..,. E J zadanu 5:

f(t) = {acos.t,asint,br}, a,b>O parametriziratl duljinom luka. Imamo:

i:(l) "" {-asiol, acost, b}, lil'~a'+b'.

Tada je, JCT je u tocki x = at = 0:

S(I) - j li'ldl~ f Vat+b1dl-Jfa'+b,jdl I) II n

Dak!e:

Inverzna funkcij

69. pokazati da graf krivulje a: R......". E3;

I t = -~---, 1+(2+(1 1

1 ld! na kugli sa sredistem u tocki s(o,i,o)

70 Pokazati da graf krivu!je a: R-"'> E);

j polumjerom R = '2'

x=lcost, y=lsiot, z=ct

lezi na kruznom stoscu. 71. Pokazati da graf krivu!je (( : R......". E':

X=(.1lCOSl, y=atsint, 2p

Jeli na rotacionoffi paraboloidu i da je njena projekcijEl nEl ravninu XOY Arhimedova spirala.

72 NaCi projekciju grafa krivulje a.: R......". E3: x=l, y=t", Z={3

na koordinalne ravnine. 73. Pokazati da graf krivulje a ; R......". E":

x=acbl, y=ash/, z = cl ldi u hiperbolickom valjku i naci njezine projekcije oa koordinatne ravnine.

74, Pokazati da graf krivulje a.; [O,2n)......".E J x = (I tgl, y= bcost, z=bsint

leZi oa hiperbolickom pamboloidu i naCi projekcije njenog grata na kOQrdj~ natfle ravnine.

75, Krivulju a: R......". E-' x = l, Y = t\ z = e!

predociti kao presjck dviju ploha. 76. Pokazati da je graf krivuJje a: [0,2n]--}o E"

r= {aeosl, (lsinr, bsin2r} prcsjek kruznog valjka i hiperbolickog paraboloida.

77. Pobzati da se graf krivulje: Xl + Z2 = a2, )'2 + Z, = a2

nalaz! u dvije medusobno okomitc ravnine. 78. NaCi projckciju grata krivulje:

z=xz+y", x+y+z=l (presjek ravnine i kruznog paraboloida) oa koordinatnu ravninu XOY

34

79. Nad duljinu Juka krivulje a: R--lo E-":

odt=Odot=2

80. Naci duljinu Iuka krivulje a: R~ 3: F= {e'eosl, e'sinl, e'}

ad t=OdOl=t. 81. Na6 du!j-tnu hlka krivulje a: R~ 3:

I x=a(t-sint), y=a(l-cost), .z=4acos 2

izmedu njezina dva sjccista s ravninom XOZ. 82. NaCi duljinu luka krivulje

x} = 3a z)', 2xz = aZ

mcdu r1lvllinaml.l v =!!.- y = 90. - 3 -

83, ~okazati da zatvorena krivtJJja a: [O,1(l~E:': x=cos5 t, y=sin5 f, z=cos2t

ill1a duljinu s '"'"-15. 84, Nae! duljinu luka krivulje (J.: R......". EJ:

x=acht, y=asht, z=at medu tockama 0 i t.

85, NaCi duljinu luka krivuljc a: R +......". E": x=ct, y=cV21nt,

medu tockama [= 1, r= 10. 86. Zadana je krivulja a: R+ ~ E3:

F= {l+~:" a' /--I '

c z=-

I

, / } 2a In',; . 1, Pokazatl da je ojezin graf prcsjek ploha

224" ,x+y x - y :::::: a~ ! z = 2a- In ~.

2". Pokazali da je duljina Juka dane krivulje od tocke na x~osi do proizvoljne locke proporcionalna ~ y-ordinatom te krivuljc.

87. NaCi izraz za ds krivulje 11 cilindricnim koordinatama. 88. NaCi izraz za ds krivulje u sfernim koordinatami:!..

35

4. Frenetov trobrid (trobrid pratilac) 4.1. Definicija

Neka je a: [-7 E] krivulja. Vektorskirn pofje.m X dui krivulje a zovemo svako preslikavanje: X:l.- U Xr (1)

P,E' gdje je X\, vektorski prostor radijvektora s pocelkom u tocki P, kojc realnom broju In E I pridruzuje vektor X(to) kojemu je pocetak u tocki P = a (to) (51. 15).

Vektorsko polje zadajerno, JakIe, vektorskom funkcijom skal;uoe V3r1-jabie. Za to polfe kazemo da je dife-rencijahilno, ako je pripadllR vektor-ska funkcija diferencijabiJoa. Svakoj prostornoj krivulji mogu se pridruziti tri istaknuta vektorska polja ovako: Neka je a : J -v E) krivulja i

/'~ t(s) njezina vektorska jednadzba. Prctpo-stavimo da je krivulja paramctrizirana duijinom luka. Vektorsko po\jc tOes) definirano forrnulom:

SL 15.

(iles) = JT ~s

zovemo poljem tangeJalti. Polje nOes) g{avnih normala krivulje a dcfinira sc:

d2 j

a poffe fiD(S) binormala 's:

_"( ) ct:;' n s = I d'P I

ds1 i

6"(s) = i"(s) x nels). Polja tOes), tiC(s), 5(\s) su jedinicna i ortogonalna, tj.:

,O(s)' n"(s) ~ 0, t"(s)E"(s)~O, nO(s) 6ll (s) =0, sEI, 1'" (s)= ii'" (s) = E'" (s) = I.

36

(2)

(3)

(4)

. Vektorc. (j\(so), ,rnCI'II),bO(s()) zovcmo vektorima tangente, glavne normale j bmonnale knvulJe o.(s()), 5(1 E l. . T 'b'd r~n( -'a ~o n ll. if 5n): ~ (so), h (su)} zovemo FrenelOl1im trobridom (trohrid pratilac) knvulJc a u tockl 0. (so). Pravcc.odr.cdene tim vektorima Laverno tangenlom., glavnom nonnalom i binorma lum knvulJc a u tocki a (sa). . Urcdenu trojku {Til (5). 11(5), 1J1'(s)} zovemo po!jem Frcnctovih trobrida. 4.2. Jednadzbe elemenata trobrida pratioca

~cka je. krivulja 0:: 1---'> E J zadana svojom jednadibom r= '-'-(s) (s jc duljina lu~a) 1 neka Je a (so) , S{I E I bilo koja tocka krivu!jc. Tada tangenl'a, glavna normala 1 bmormala u tocki a (so) imaju jednadzbe.

Tabbea 1-F'~k~"~"~Sk~'~I'~d~,,~nd~-~~ I Skalarne jednadihe ~-f----

Tangcllta:

f = i(sa) + f'F'(.II')

Gbvna florrnala:

BiflOfmaia;

Ravninu razapetu veklorima ('I\so) fio (so) zovemo oskuiacionom ravn/ nom krivutje a u tocki a (so), So E !.

51. 16.

/I~ b" (sQ) ':-~~~9/~"l

'no

a(l)

{ --~,~ / osk\Jlo~iono~ /

rovnlflo / 37

Ravninu fazapetn vektorima J7(!(so), bO(sn) zovemo nonnainom ral'ninom krivuljc u roj toeki. Ravninu razapetu vektorima t?(S\l), ((1(511) zovemo rektifikaciol1om ravnlnom krivulje u toj toeki (vidi sl. 16). Neka je krivulja 0 = 1-----7 3 zadana svojom jednm\ibom r = res) (s je duijin!'l lukn) neka je (((Sa), sllEi bilo koja tocka krivulje. Tada norrnalna, rektifikaciona j oskulaciona-ravnina imaju u tocki 0(5,1) jednadibc:

TabJica 2.

Vekt(Hske jednadibe

(i = (.1

Zadac; 89. Neka se dokazu formu!c iz tablica 1, 2. j 3.

40

1" Dokazimo najprije fonnule iz tablica 1. i 2. a) Neka je F = i(s) = x (s) r + y (s) T + 2 (s) k vektorska jednadl.ba krivulje

a : I......." E} (s je duljina iuka te krivulje. U rocki a (Sn), 50 E I krivulje) a prema 4.1. definiran je vektor tangente~:

'"\) di ._'":1_ ,;"" ,,"~ ,-t (so) = -(so) -10 -Xi) [+ }I) J + 2ok. ds

Kako tocka a(su) lezi i na krivuiji Ci, to vrijedi: J~J = i(so) = Xol +YoJ + zo(

a kako je vcktor 1- ~J kolin ear an s veklorom to (so) = Fo', to vektorska jedfIadiba tangente glasi:

r=l~)+)J.ro, a skalame jednadibe tangente gJase:

x - Xu = Y - Yo = 2 - Zo Xu' Yo' 2()'

Ova iednadzba zove se jos kanon;;ki oblik jednadibe tangcnte. Tangema u toiki a (S0) krivulje a kolincarna je s vektorom normale ua normalnu ravninu, pa veJ::torska jednadiba l10nnaine ravnine glasi:

(f-I~) 1'0' = 0, a skalarna jednadiba:

.~~-~+~'&-~+~~-~-~ b) Neka je r = f (s) = x (s) r + y (s) J + 2 (s) k vektorska icdnadiba krivulje

((: I ~~ 3. U tocki ex (so), So E I krivulje a prcma 4.1. definiran je vektor glavne normale s:

dl ;: . -d' (so) ,-

nU (so) =--6'-.--- -, I d~; (s,) I

r" (s,) 1 i''' (s,,) 1

Kako je vektor f - Pi) kolinearan s vektorom

to vektorska jednadiba glavne normale glasi: _ _ 1'0" r=rO+/Al [ro"['

odnosno

Xo"t +. Yo"t + Zo"k,

-" _" () r, n S" - -17,;-1 '

r"

(n-...J'>~) a \r- Ie;' 1 ' njene skalarne jednadzbe (kanonski oblik jednadzbe):

Glavna normala u tocki 0.. (so) krivulje a kolinearna je s vektorom normaie na re.ktifik

42

odnosno:

a ojena skalarna jeclnadzha: X-XI) Y-Yn Z-Zo

Yo' yn"

2 Dokazimo formule iz tablicc 3, Krivulja 0. ie sada dana jednaclzbom:

F~ 1'(1)

~ O.

Vektorsku funkciju F= F(l) reparametrizirajmo duljinom luka funkcijom: I ~ I(S).

Vektor tangcnte ?I(S) dobijemo dcriviranjcm jednadzbe: "~F(I(S))

po s: _ ell elF dt (D(S) 00 - ~ - -.

cis dt cis

Odavde proizlazi da su vektori di . eli;" ds I dt

kolinearni i is tog smjera, jer je prem3 3: dl --=---

ds

Veil/or fongente je clakle: eli ~(l _ dt _~ I (I) - I ~~ I - 1 FI

> O.

Vekta!" binormale clobijemo cleriviranjem po s jednadzbe (5): d2F = ~ ( .. 9~ ~L) = ~ ( dF) ~ + dF d"! cis" cis cit cis ds dt ds ds 2 '

d2 f dlF ( dl )' 2 elt dl ! d?'" = d[2 d; + dt ds 2 '

(5)

(6)

(7)

r I I

iz (5) i (7) proizlazi: el2; (dl)2 d2j'" d2t ds elF dt2 fu = d,;2 - d7 dt cis . (8)

dt el'/-Odavde zak!jucujemo da vekton - I -- razapmJu oskujacionu EW-

elt dl2

nillll, jer je (8) linearn8 kombinacija vektora tangente ~; i vektora

glavnc d~

normale I dl ': I ' ds-

elf . d? odnosno vektora -, I -d ., . Kako ti vektori ds s-

d1 ;: dl" razapinju oskulacioou ravninu, to U ojoj !eze vektori dt1 i dt' Dakle, veklor binormale jest:

Vektor glavne norma1e je oCito: Jifl(t) = FIl(t) X j"l)(r).

(9)

(10) Neka je, dakle, zadana krivulja (t : J........>; E3 syojom vektorskom jedlladz-bam:

F ~ "(I) ~ x(l) T+ Y(I)/+ Z(I)k. U tocki a (to), to E J krivulje d3n je: vektor tangente:

vektor binormale:

gdje je: n1 = I Zz(I" ill I

.to '

; j k XU Yll io xn Yo in

/1=

(ll)

I, (12) I

(13)

43

i vektor glome normaie, kojeg u koordinatama uobijcmo ovako: ~,

x--led /iU('I,,) = It, [(f"xi",) XT,,], (,,' ~. )

, r lo,ll,i,xc,j' Izracunajmo (I': X r) x 1': = /':2j: - /':(/':. i':-) u koordinatHma. Kako je:

i:2r=(.-(2+y2-f-i~) (xt+y/+z!?) (1':';'')/':= (ix+yy+ii) (xl+N-+z!?),

to je: (I':xl)xf= [C,{2+ y2+i 2 )x- (Lr+yji+ii)x] i+

+ [(X'+y'+i')ji - (xx+yji+iZ)y]l+ + [(x' + y' + i') i - (xi + yji + ii) i ] k,

k ;i- y i

In n

liZ awake (13).

(14)

(15)

Vcktorske jednadzbe tangcnte, glavne f10rmale i binormaLe u tocki a (to) krivuljc 0: ocito gJase:

r= Pi) + Ilr;h i=ro+/l[(i"oxfo) XJ':oJ,

1=I~l+~l[fox'id, ( 16)

dok njthove skalarne jednadtbe proizt3ze iz (16), (11), (12) l (15) uz oznake (13) i glase kao u Tablici 3. Vektorske i skalarne jednadibe norma!nc, rektifikacione i oskulacione ravnine takoder sc Jako izvode kao u slucaju iz Tablicc 2.

90, NaC! one tangcntc krivulje a: R......,. 3 dane sa. l= {t, {l, [J},

44

kojc su paralelne s ravninom x + 2y + z - 3 = O. Vektor smjera tangente jest: ,oc"(1,21,3i'}. Treba no.Ci diraliste tangenti i krivuljc a. To ce biti tocka u kojirna .je vektor

~an~entc ok omit n'a vektor normalc N= {I, 2, 1} zadane ravnine, tj. kada je i' N = O. To daje uvjet:

3t"+4r+l=O

Rjdenja su tl -0: 3' [2 = -- I, a dira!ista:

D ~(_1 ~ _~I) D,_~(-I,l,-I). , J' 9' 27'

Tangentc prema tOlne imaju jednadibe:

odnosoo:

1 1 x+'3 y-9 z-t 27 --=~=--3-

3 9 x+l y-l z+1 ~I- ~ -=2- ~ ~3-'

3x + 1 9)' - 1 27 z + 1 -.~~ = --=2 = ~-3~'

x+1 y-l z+1 ~-~~~3--

91. Dokazati da langente krivu\je a: l{......,. E J (iane sa: x=a(sin!+ cost) y=n(sllll-COSI)

z=be- f

sijeku ravninu XOY u kruzflici Xl + y~ = 4a 1. Kallonski oblik jedl1adzbe tangel1te gl

Parametarske jednadibe krlvulje glase ako uzmemo za parametar apscisu x: F= {x, x, 2x'},

Vektor nOflnale na nonnalnu ravninu lma smjer: f7={1,1,4x},

pa jednadzba normalne ravnine g!asi; (X-x)+(Y--x)+4x(Z-2x') = 0,

au trazenoj tocki T= (1,1,2): (X-l)+(Y 1)+4(Z--2) = Il,

odnosno: X+ YHZ-lO~, 0,

93. NaCi jednadzbu binorrna!e krivulje (.(: R--Jo E-':

x= (- sint, y= 1-COSI, z=4cos.!... u tocki t=1(. 2 Smjer binormale odrcacn je vektorom:

}-cosr sinE I ~"2Sint21'= , I ( I, I, ') - 2 sin-"2 sin "2 i + cos "2- f + k .' siot cost -cos "2

pa jcdnadzba glRsi:

":_ - (I - $i~~ sin ~

2

Vcktor glavne normale ima smjer: (fxi)xf~f(i") - f(fn.

/':2= l+COslt+~}, I~I:" = - sin t COS t + ~

Drugi naCin:

lcdnostavnije se zndatak rjesava rcparametriz

99.

Izracunajmo smjer glavnc normale: .... [2_ 2 k-] 2[ .. ] 2('J".2k) 1"(/::2) -- fV 1) :::: 2 - 3' j - -3 ' +"3 l + J = -3- I - ,

pa gJavna n01Ulala ima jednauzbu: ~~_= y-l = z-l

1 -1 - 2

Smjer binonnale odrcdcn je vektorom:

o

1 2 3

k o 2 3

2 - , _ ~-(i-j+k),

3

a binormala irna jednau7.bu: x-I y-l z-l -1- ~ -=-1 ~ -1-'

Normalna ravl1ina irna jednadzbu: ; 1 (x -1) + 1 (y -1) ~ 0,

odnosno: x + Y - 2 = n,

oskulaciona ravnina:

2 2 2 --~-I)+-~-I)--~-I)~O, 3 3 3

odnosno: x-y+z-l=O,

a rektifikaciona ravnina:

2 i 4 3-(x-l) -3(Y -1) -3(2 -1)~0,

odnosno: x-y-2z+2=O,

NaCi trobrid pratilac za heliks (zavojnicu) a: R_~E3: x == acosl, y= aSlot, Z = bt.

Prema zadatku 97. imama ort tangentc, glavne normale i binormale:

-0 __ ~' _ ~ = 1 (-asintl+acostT+bk), I - I'I - III Va'+b'

52

I I

I I t

i I I ,

Ii a(a 2 + b 2), ,. . .,. fiO = -1",1"'" -'--,---;-lcostl+Slflt;)= -(costl-+silltF),

, a(w+b-) -'0 5 a _ __ b =-lb'l = V ~ " (bsitlri-bcoSl/+ak) =

a a- + h ~ 1 _ "

= _ (bsioli-bcoslj+ak). Va' + b' Normalna ravnina im3 jedl\adzbu:

- asintX +acosIY + b Z- b 2{=O, binormalna:

costX+sinIY-'a=O, a oskulaciona:

b sin 1 X -- b cos tY + {] Z - ab 1 = O. UoCimo da je radi.ivektor projckcijc nekc tocke zavojnice na ravniou XOY, tj. vekior j!= {acos!, asint, O} suprotne orijcntacije s vektorom Ii'''. Vektor iio ima, dakle, orijcntZlcijll prcma OS! zavojuice i prema zad. 97. zatvar,l S f),jom pravi kut (vidi znd. 54,.58,62,97,163,197).

100. Za08n

DaJje je: _1_ ~ f'" + /" + I, cos2 a

l-coslo. =f"2+f'2,

(I) Uzmimo supstituciju; f' = LI, f" = u' i ozoaCiUlo tg1 a = k 2 , dolazimo do diferencijalne jednadzbe:

U'2+u2=k2

U' = Vk2_-U2 ,

. u arc sm k=Cl l,

u=ksin(cJt), f(t) = keos (e l t) + ('2,

tel) = C2 + tg 0. cos (el t). Singularno rjesenje diferencijalne jednadzbe (2) dobijemo ako jc:

k 2 - u2 =0.

Tada je:

101. 102. 103. 104 lO5.

54

sto zadovoljava jednadz,bu (2). Nada\je je:

odnOSl1o:

u;;;;: k,

u ~ f' ~ k,

f(/) ~ C, kl, pa je to singularno rjdcnje. Spccija!no, za C~ = 0, k = b, imamo:

f(/) ~ bl, sto predstavlja kruznu zavojnicu (vidi zad. 54)_ U zadacima 101-105. nati jednadzbu tangente krivulja: Xl + /:::: 10, l + Z2 = 25 u tocki T= (1) 3, 4). 2x2+3l + Z1= 47, Xl +21=z u tocki T= (-2,1,6). xy1+z3=12,x-l-y-+2z-7=Ou tocki T=(1, 2, 2). _ 3x2 -I- 2y2 -I- y" _ z = 0, Xl - y2 + Z2 - 36 = 0 u tocki M = ( - 1, 1, 6). x = e'cost, y = e'siot, z= e' za t =i= O.

(2)

T 106. Napisati jednadzbu tangente oB krivu!ju:

a:R_ E):

x=a(/-sint), y=a(l-cost), z=4C1sin~ 2

u tocki {= O. NaCl kUl !ito ga tangcnta zatvara s osl OZ.

J07. U kojim je tockama tangent~ na krivlllju a:R_ 1: x=3t-I~, y=3t2, z=3t"-i:r'

paralelna s ravnillom: 3x+y-l-z+2=O?

108. Napisati jednadibu tangeote na krivulju a: R_ }; F= {acht, asht, Cl}

u proizvoljnoj tach 109. Pokazati cia t,mgenta krivlllje 0:: R~ E":

zatvara konstanlan kut s vektorom a= {1, 0,1}. Koliki je taj kut?

"- 3.':' 1 3' 27)

-J 10. U kojim tockama je tangenta krivulje a: R_ E': i'= {3t-l', 3[\ 3t-l-I'}

parnlelna s koordinatnim ravninamn? 111. Napisati jednadzbu tangcntc krivulje a: R_ 1:

r = { a cos I, - a sin l, be'} i naci geomctrijsko mjesto sjecista tangenata i ravnine XOY.

112. Nnpisati jcdnadzbu tangcntc i norm

116. Pokazati da je kut izmedu tangente krivulje a: R-;. E~:

,-: = {cos?!, + sio2l, sint}, i radijvektora diralista konstaotan.

117. Danaje krivulja a:R--cl-E 3:

118.

119.

f~ (x, , (x), , (x)), gdje su

leil na plohi: x'+ /-e'=O

i da se njezina oskulaciona ravnina poklapa s tangenlnom ravninom pJohe. 136. Ako oskulacione ravninc krivulje prolazc fiksnol11 tockom, dokazati da je

krivulja ravninska (vidi zad. 162). 137. Dokazati da svaka osku!aciona ravnina kruzne zavojnice sijece buzni valjf1k

na kome se nalazi po dipsi konstantnih poluosi. U zarlacimfl 133-142. naCi glavnu normalu i binormalu krivulja a: R---} E-'.

138. x = I, Y = 11, Z = e' u tocki t = O. 139. x=t, y=[2, Z=(1 U tocki t=L

140, 12 2t3 14

X=2' Y=3' z=2' tl tocki (= 1.

141. x=y\ x 2 =z utockiM=(l, 1, 1). 142. xy='z2,x2+/-z2=1 u tockiM=(l, 1, 1).

U zadac[ma 143-145. naCi jedinlcne vektore tangente, glavne norma1e i binorma!e 11 proizvoljnoj tocki krivulja a:

143, X=COS1 1,y=sin'l,z=cos2t;tE[O,n].

144. x=a(t-sinl), y=a(J.-cost), z=4(1COS+; tElL

145. x 3 = 3a2}" 2xz = a.1. 14~ Naci jedinicne vektore trobrida.pratioca krivulje a: R-----t 3:

r= {e'eo;:;l, e'sint, el} i pokazati da oni zatvE 3; 2

x='{, y=!nt, z= _l2,

u kO.lima je binonnala paraJelna s ravninom x - y + 8z + 2 = 0. .154. Na blnorma!e kri,vllije a: R-') EJ:

x = COs B cos l, Y = cos ~ sin t, Z = rsin~, gdje je ~ parametar, naneseni su u pozltivnom smjeru odsjecci konst

5. Fleksija i torzija. Frenet-Serretove formule. Ravllillske krivulje. Krivulje u ravllini

5.1. Fleksija iIi prva zakrivljenost Neka je ct ; 1.....,.. E 3 krivulja zadana sa

F~ F(s), gdje je s duljina !u~a. Realnu fuokciju x: /....-) R defjniranu formulom

",(s) = --' I d' ~ I d s' z.ovemo fLeksijom iii prvom zakril4jenosti krivulje u. OCita je:

(I)

(2)

Geometrijski je fleksija mjerd za zakret tangentnog vektora. Tocnije, flcksija u tocki o (S[I) jest granic-na vrijednost omjera zakreta tangentnog vektora dul. nekog luka a (~(so + t:...s) i duljine tog luka:

, 6. cp 11'(30) = lim ~..---.......

b,O , a (so) a(so+6s) (3)

gdje je 6

iii koordinatno:

x J' i .i' Y i x y i

5.3. Ravninska krivulja Krivulja a: J-.--? E) je ravnil1ska, aka i' sarno ako je:

T(S)~O

za sve S E I. Krivulja je pravae iIi diD pravea ako j sarno ako je:

1(s)=O za sveSEl. Krivulja je kruznic(l iIi dio kr~znice, aka i samo ako jc:

x(s) = eonst. 4:0 r(s)=O zasvesEI.

5.4. Frenet-Serretove formule

(14)

Za derivacije polja trobrida pratioca vrijcdc aye Frenet-Serretove [ormde' d io -- = ?trIO

ds

(15)

5.5. Darboux~Poissonov vektor Formulc (15) mogu jednostavnije pisati uvadenjem Darbow.~Poissonovog

vektorskog polja (16)

dUl u.

Frcnct-Serretove formulc glase:

62

5.6. Krivulje u ravnini

dna - ~O ---=dxn ds (17)

Ncka jc 2 ravnina. Diferencijabilno preslikavanj~ a: J -.--? E2 gdje je J otvoreni interval real nih brojeva ZOVcmo krivLlljom u ravnini. Sve sto ie rcecno 0 prostornim krivuljama u 3. 4. i 5. vrijedi i za krivulje u ravnini. .

Ako je a parametrizirana duljinom luka i dana jednadzbom j7"= res) anda duz (l definiramo dva vektorska potja s:

(18)

Ta pOtj8 zovemo poljem tangel1ata i poljem normala. Za krivulju u ravnini definira se funkcija zakrivljenosti ?t: /-.--? R formulom:

~(s)~(di d'f) ds'ds2 '

gdje je ( ~;;-, -~:~) tzv. dvojka kOja. sc definira s:

(~ d':) ~ ds' dr /

X'(S) y'(s) I x"(s) y"(s)

gdje su x, y : 1---7 R koordinatne funkcije oct f = ,-:(s). Za derivacije potja tOes) i nl!(s) vrijede Frenetove formule

d to 4(1 ~=xn,

d(;(J ds

(19)

(20)

(21)

Ako krivu!ja u ravni~li nije par

odnosno koordinatno:

(23)

Krivulja u ravnini je pravac aka je Y. = 0, a kruznica iIi dio kruznice ako je :x = const. '* O.

_~1~ .. zovemo polumjer zakrivljenosti krivulje a u tocki a(tn). Yo (''') . ,

Tocku 1(to) +_1_) ,ii0(tn) zovemo sredistem oskuiacione kruinice krivulje au :x (to

tocki aCto), a kruznicu sa sredistem u toj toch i poiumjerom __ (1) zovemo :x tl)

oskulacionom kruinicom.

Zadaci

157. Provjerite da se Frenet-Serretove formule u matricnom obliku mogu napisati ovako:

[i-o" lox 0: ['TO] fio, - x 0 t fiO 1;0' a - 1: 0 GO

158. NaCi poJumjer zakrivljenosti krivulje:

64

x=a(t~sinl), y=a(1-cost), ,

z=4asin 2' t E R

Zakrivljenost cemo racunati po formuli:

x = l/~ ;I.~~l , jer ,krivulja nije para':letlizirana duljinom luka. lmamo:

" k , I~xf=al 1- cost sin t 2cos -2

sin t cos t ,

-sil1 2

[( ., ')-( , =a2 -sintsln2"-2costcos2" i+ 2sintcos2"+

-+ (1-cos t) sin + ) r + (cos t (1-cos t) - sin1 t ) f 1 = =a

2[ ( - 2sin! cos f- 2cosJ f + 2sin2 i cos f) r-+

+ (4 " " . , ') " -] SlO'2'COS 2" + 2sllf '2 J-+(cost-1)k = ~ [-2cos3 L f+ (4Sin!.. cOS2 .L-+2sin3 !..) J"-2sin2 .,(. k'] , 2 2 2 2 2 a.

Zatim:

+- Sill -+4sm - =4a4 1+sln2 -4 ,' "'] ( ') 2 2 2 .

lzracunajmo nazivnik:

lil 2 = a2 [ (I-cos t)2 + sin2 t +- 4cos2 + J = a2 [2 (1- cost) + 4cos2 + J = = a

2[ 4sin2 ~+4COS2 +] = 4a 1

Tada je Ii'I ~2a, 1i'I'~8a'.

Za polumjer zak.rlvljenosti dobivamo: 4a

159. NaCi torziju krivulje:

x=cost, y=sint, e' - e-' z~ .--2

Racunat Cerno po forrnuli: "{ = . (f; f, ?) I P X PI' IE R,

jer krivulja nije parametrizirana duljinom luka. Jednadzbu krivu!je mozerno pisati u vektorskom obliku:

i={C05t, sint, sht}. Racunajrno brojnik:

65

~ sinl ~ cost

sin t

cos t

~ stUt ~ cost

ch I sh t el1 t

= sin2 fch t + sinrcoslsh t + e05 2 teb [+ sin2 teh t + + cos1tchl- sinteos Ishl = 2eht= e' -+ e~'.

Da bismo izracllnali nazivnik, izracllnajmo najprije:

- sint - cost

Dalje je:

cost

- sin t

k chI shc

I _ 1= (costsht-+ sint ehe) i +

+ (sint sht-cost chi) f +/(.

Irx 'If = (cos I sht+ sin! eht? + (sint sht+eost Ch)2 + 1 = = sh2t + ehl! + 1 =: 2eh2t.

Tada je torzija: 1 2 l=~=el+e~('

160. Naei zakrivtjenost i torziju krivulje:

66

Xl y=~,

u tocki x = 2a. Zakrivljenost i torziju izracunat cemo po formulama:

jer krivulja nije parametrizirana duljinom !ub. Krivu!ja lma vektorsku jednadzbu:

_ t Z _ t J _ i = [ i + - j + --, k, 2a 6a"

a zadana tocka je T= (2a, 2a, "ja). Racunajmo:

tE R,

I, a

o II

I,"X 1'1' ~ ([2 + 202)1 411' Iii' ([2 + 2a2)1 4a4

I' 1 2a2 a

(r,r,i'f)= 0 II' =7 a

0 0 -;1

Tada je:

U tocki T je:

161. Neka se odrcdi funkcija f: R --'> R taka' da krivulja r=acost !+a5inrl+f(f) k, t,ER

bude ravninska. Nuzdan i dovo!jan uvjet da krivulja bude ravninska jest da je torzijn jednaka nuli: -r:= 0, tj.

(t, r, /) = 0, odnosno: I, x

x' I X Imamo:

y i ji

z o

67

i j i -asinl acos{ (f, t, i) = ;x y f -acos! - asiol

: ji z a sint -aeost

Ovo nam daje diferencijalnu jednadibu: all' + aYfI. = 0, odnosno: f' + f'" = 0,

cije je rjdenje:

162. Dokazati da je'krivulja: x:;;: alt2+blt+Cj. y = azt

2 +"b1 t+cZ' z:;;: a]t2 +b3t+C3'

ravninska i naci jednadZhu ravnine u kojoj ana lezL

r f" =0. f'"

Kako je x' = 0, y = 0, z' = 0, to je i -;: = 0, pa je r= 0, tj. torzija je jednaka nuli, Krivulja je, dakle. ravninska. U tom slucaju ravnina u kojoj krivulja len jest oskuladona, i njena jednadzba glasi, u bUa kojoj tocki, npr. u t = 0;

odnosno:

a,

a,

b,

y -- C2 b,

y-cz a,

b,

0,

o.

163. Pokazati da su zakrivljenost i torzija zavojnice: x=acasl, y=asint, z=bt, fER

konstantne. 164. NaCi zakrivljenost i torziju zavojnice na stoscu:

x=tcost, y=tsint, z=at, fER u ishQdistu koordinatnog sustava.

165. NaCi zakrivlje~ost i torziju krivulje: x=e', y=e-', z=ty2, tER,

166, NaCi zakrivljenost i torziju krivulje: x=2t, y=lol, z=tz, tER

u tocki (2, 0, 1).

68

1 I 167. Ako je zakrivtjenost krivulje u svakoj tocki jednaka nuli, dokazati da je

krivulja pravac. 168. Ako je torzija krivulje u svakaj tacki jednaka nuli, dokazati da je ta krivulja

ravninska. U zadacima od 169. do 176. oaci zakrivljenost i torziju.

169. x=acht, y=asht) z=at, (ER 170. x=3t~fJ, y=3t 2, z=3t+(\ tER 171. x=cosJt, y=sin't, z=cos2t, tE[O,n], 172. x=e'cost, y=e'sio'l, z=e', fER

173.

174. 175.

i={t+ a2 t.-~ 2aln-!...) tER t ' t ' a'

i={cost, sint, cht},tERutockit=O. y2=X,X 2 =z.

176. Xl = 3a2 y, 2xz = aL 177. Pokazati da su zakrivljenost i torzija krivulje:

i={3t,3t 2,2t3 },/ER, proporcionalne (faktor proporcionalnosti k = const ).

178. NaCi poluOljer zakrivljenosti krivulje: x

2=2az, y2=2bz

u tocki x=a, y>O. 179. NaCi pOlumjer zakrivljenosti i torziju krivuljc:

x 2 -l + Z2 = 1, y2- 2x + z = 0 u tocki M=(l, 1, 1), (vidi zad. 98).

180. NaCi zakrivljenost i poiumjer zakrivljenosti krivulje: x2 + y2 + Z2 _ 4 = 0, x + Y - z = 0

u tockix=O, y>O, z>O. 181. NaCi za koje vrijednosti od a i b je zakrivljenost krivulje:

x=acht,y=asht, z=bt u svakoj tacki jednaka torziji.

182. Nati locke na krivulji: x=cosJt, y=sirrt, z=cos2t, tE[O,n]

u kojima zakrivljenost pop rima minimalnu vrijednost (Iokalnu). 183. U kojim tockama polumjer zakrivljenosti kdvulje:

x=a(t~sint), y=a(l-cosc),

dostae minimum (lokalni)?

t z=4acos Z' lER

69

184. Pokazati da se normalna, rektifikaciona i oskulacion3 ravnina krivulje 1={3t,3tZ,2P}, fER

u tocki maksimalne zakrivljenosti podudaraju s koordinatnim rnvninama (vidi zad, 177),

185. NaCi zakrivljenost i torziju krivulje a: R ----7 E): r~ (ff(t)sintdt, ff(t)costdt, ff(t)V,(t)dt),

gdjc 5U f, tjJ: R----7 R bar dvaput difereneijabilne. 186. NaCi funkeiju f: R ----7 R takvu da krivulja a: R .~.-)o E 3:

f~ (ff(t)sintdt, ff(t)costdt, ff(t)tgtdt) Ima konstantnu zakrivljenost (j je diferencijabilna).

187. NaCi funkciju f: R----7 R takvu da krivulja a: R----'> E3: r~ (t', t,J(t))

bude ravninska (j je bar tri puta diferencijabilna). U zadacima od 188. do 191. pokazati da je krivulja ravninska i nad ravninu u kojoj ona Idi. 188. x=1+3t+2P,

y~2-2t+5t', z=1-P, tER.

189,

190,

191.

i={u2+4u+6,2u1+2[+3, 5u2 +2u+7}, uER. 1 + tIt

x=t::'t'Y=l-.=(2'z= l+t,tER. x = all" + blIP + c l . y =a2l" + bztP + C2,

z=a}t"+b}til+c" tER. (n i P su prirodni brojevi.)

192. Zadana jc ~rivulja: Xl = 3y, 2xy = 9z.

10 NaCi polumjer zakrivljenosti te duljinu tub od tocke (0, 0, 0) do tocke M ~ (x, j, z),

20 Pokazati da tangentc zatvaraju konstantan kut s danim smjerom. 193. Zadana je krlvulja:

, a (' ) R x=aCOSl, y=asmt, z=---;:;:- smt+cost, te . V2 U lOcki M (t) nati oskulacionu ravninu, glavnu normalu, polumjer zokrivlje-n05ri i torziju.

194, Nati jcdnadzbu oskulacione ravnine, glavoe norma Ie, polumjer zakrivljenosti i torziju krivulje:

70

'T"'

I u jednoj njezinoj toch 195. 10 Ako oeka ravnina sijece graf krivu!je:

i={alt,a2P,a}t'}, tER, n toekama za kO.ie je 1= t[) t = t.~ i t = 13, ooda je njena jedoadzba:

{/2{/] (tlt2 + t2/3 + I,ll) x - (lja) (r 1+ t2 + t~) Y + a j a1 z - ala2a, tlt2:3 = O. 20 KoristeCi 10 napisati jednadZbu oskulacione ravnine dane krivu\je.

Mjesoviti zadaci 196. Pomocu Frenet-Scrretovih formula pokazati da za cikloidu vrijedi sljedcee:

10 Tangenta na cikloidu u tocki M paraJelna je sa simetralom sretiisnjeg kuta (J) kruznicc koja prolazi tockom M (vitii s1. 17).

20 Polumjer zakrivljenosti cikloide u tocki M jednak je dvostrukoj tetivi pripadne kruznice ad tocke M pa do diralista s pravcem kotrljanja.

Cikloida je krivulja koju opisuje tocka kruznice kad se ova kotrlja bez klizanja po cvrstom pravcu.

o

/ I

SI. 17

Smjestimo Ii koordinatni sustav bo na s1. 17. moierno vektorsku jcdnadzbu cikloide pisati:

~ ~ ~ r~OA+AC+CM,

71

72

Oznacimo Ii sa s duljinu luka cikloidc, sa 3j duljinu luka krutnicc, sa R p.QJpmj~k~uZn.ic~, ~a j~OA = MA = SI> OA =OA i=Sli, AC =AcF=RJ, pajcjednadzbadkloide:

i=sll+RT+ R. Nadimo jedinieni vektor tangente 11a cikloidu u tocki M. Ako je jednadzba cikloidc oblika r= res), tada je:

-0 d; d s, -;' d R:;, d JJ I ~ -d-s ~ -d-s- I + -d-s- J + -d-s-'

Ovdjc drugi Clan otpada jer je dR = O. TreCi clan je: ds dSl ds' odnosno dR zbog -- ~ ds, ort tangcntc na

kruznicu), je: (1)

Apsolutna vrijednost ovag izraza jc:

1 ~ I[+T'I ~-ds (2) Da bismo nasH modul J r + to I nacrtajmo u tacki N paraielogram (51.18) sa stranicama J n = I 'po I = 1, pa je taj paraleiogram romb. Kut A;N M) je

. w 180o -w, pa je kut Al Ml N Jcdnak T

~-~ ---~ Tada je i + TO 7" NK , a modul Ii + TO) = NK. Nadalje je NK=2jf"j sin-~:;::2sin~. 2 2 Odavde je:

_ _ 1 w )i+To =2sinZ '

pa jednadzba :(2) postaje:

odnasno:

~ . w dS j 1 =2sm----2 ds'

51. 18.

dS l -(j7 ~ -. -w-' (3)

2sm2 - - ~ . Vektor i + TO ima smjer vcktora NC , tj. ima smjer simetrale kuta (J).

Kako je to kolinearan s [+ T'\ tj.

. OJ 25m 2 to znaci da je tangenta na cikloidu it tocki M paralelna sa simetralom kUla w. Nadimo poiumjer zakrivljenosti cikJoide. Po prvoj Frenetovoj formuli je:

Derivirajmo zato (1) po s, tj. -" (:;' -0 dSJ [ = I+T)-;:G-'

Prema tome je:

(4)

Kako je tan.$en~a paraJclna sa simetralom kuta 0.1, a vektor tangente kolinearan 5 i + TO, to jc normala okomita na simetralu kuta w, pa je vektor [' + to akomit na vcktor tlo. Zato poml1ozimo (4) s fio.

x (,iIliiO) ~

~l Odavde je:

x ~ (dT" .ri") (~)'. dS 1 . ds

Po prvoj Frenetovoj farrnuli za kruznicu jest:

(5)

d j"'"G --= X fill d

" s,

jer je Rn ort norrnale na kruznicu, a kako jc zakrivljcnost J d TO 1_

kruznice III = -R ' to je: -- = ~R R O, pa je (5): ds,

73

74

RO , fio = COS (YO" -~) 0;::; sin ~ 2 2 ' pa je zbog (3): 1 , OJ

x = R sm 2- ~.~-, - --, "~. 45',n2 ~ 4R 2 sm 2

Izracunajmo duljinu tetive Aiv!: AM . (J)

=Rsin-2 '

- OJ AM=2Rsin-.

2

Tada je polumjer zakrivljenosti: l OJ--

- = 4Rsin _.- = 2AM. x 2

(6)

Dakle, polllmjer zakrivljenosti cikloide u toeki tv! jednak je dvostrukoj tetivi pripadne kruznice od locke M prt do diraJisfa s pravcern kotrljanja.

Drugi naCin:

lednadzba cikloide sa slike 17. glasi u vektorskom obliku, pomocu p8fametra w kojeg cerna sad8 oZllaCiti s {( (j).....,. /):

F=R(t .. -sint) I+R(l-cosl)I, gdje sma sa R oznaCili polumjer kruznice. Kako je

1~=R(l-cost) i-Rsintl,

to ,ie jednadzba tangente u tocki M: x- Rt+ Rsint

1 - cost

Koeficijent smjera langenle jest:

sinf k ~ -.::~I-cost

dakle,

2sin~cos~ 2 2 r , , I

2slO' "2 = etg -2'

y-R+Rcosr sint

T I

r gdje je

Oduvde slijcdi konstruk.cija sredista S krufnice zakrivljerlOsti cikloide u tocki M. U tocki M konstruirajmo normalu na cikloidu koja je okomita na simetra!u

kuta t. Tacku S dobijemo taka da nanesema duzinu MS ~ ..1c ~ 2 AM " oa normalu od tocke M.

U ovom zadatku primjecujemo da je dokazivanje tvrdnje 10 i 2 iz teksta zadatka za; dkloidu nesta dulje parnocu Frenet-Senetovih formula nego pomocu definicije; sto ioaee nije uvijek slucaj.

197. Pomocu Frenet-Serretovih formula pokazati da za obicnu zavojnicu (si. 20) vrijedi sljedece: (vidi zad. 54, 58, 62, 97, 99, 118, 151, 163).

76

1 Zavojnica sijece izvodnice valjka pod konstantnim kutom. 20 Zakrivljenost i torzija su za zavojnicu konstantni. 3 Glavna normala zavojniee paralelna je i protivnog smjera od smjera tin

vektora projekcijc tocke zavojnice oa ravoinu baze pripadnog valjka. 4 Geometrijsko mjesto probodista tangenata s ravninom baze pripadnog

valjka cine evolventu kruinice baze valjka. lednadzba zavojnice glasi: r= acos t l + a sint l+ btk.

Imamo: 1= -asin.tr+ac~str+bk,

ji'l :~ Va' + b' Ifrj2 == a2 + b 2

Kako je ds = lfl dt, to je: ds 2 = df2 = (a 2 +b 2)dt2,

pa je: / 'd [1 'ds2 = a2 +bT

Izracunajmo jedinicni vektor tangente spirale u tocki M. Po Frenet-Serretovoj formuli jest:

tn = _d_f =: _d_, _d_t = fr -c~=~ ds dt ds Ya2+b2' 1 to= [-asint[+acostT+bk1 Va 2 +b 2

Nadimo kut pod kojim tangenta spirale sijece izvodnice valjka: -"u --- b t 'k=cosr=-;===~

Val + b 2

SL 20.

T I

Spirala sijeec izvodnice valjka pod konSlantnim kutom. Nadimo zakrivljenost spirale. Kako je po Frenet-Serretovoj formuli:

d to to oadimo derivadju ds:

d to --=xfiO ds '

~~ = dds (f ~; ) = [ :t (I) ~:] ~: + f 1:~ = .c(dl)' c d'i

=r - +r--ds ds' .

k . dl _='=~. Ka 0 Je - = ds 0b2

koostantno, to je pa imamo:

dlO .. (dl)' 1 ~ ~ ~-=1 - =---(-aeosti-asincj). ds ds a2+b 2

Dakle:

xi[G = acost,.. asint - 7+1)2 l _. a' + b2 J.

Apsolutna vrijednost ovog izraza je zbog I riU I = 1: a x=~'-0'

Da bismo nasli vektor .fin uvrstirno x u prethodnu jednadibu: __ " __ nO aeoSl,.. aSll11 a2+b2 =-a2+b2l -a'+b 2 }'

odak!c je: If= -costl-sintr

Kako je modul radijvektora projekcije tocke M oa ravninu XOY jedoak: R()=costl+siolF,

to imamo zakljucak: Glavna normala spirale u tocki M parale!na je vektoru /?o vektora potozaja projekcije promatrane tocke oa ravninu XOY i irna protivan smjer od vektora flo. Izracuoajmo torziju. Jer je:

77

(i,i,i)

li"x ;"',2 =. (11 (n 2 + b 2), to je torzija:

- asio! aeost - aeost -Ils!nt

a Sllll - (leost

(i, i, i) lixi'!'

b 0 ~ (l 2 b, 0

Vidimo da je torzija, kao i zakrivljenost, konstantna. Potrazimo geometrijsko mjesto probodista tangenata s ravninom XOY. Jer tangenta u svakoj tocki zatvara konstantan kut s OS! 02, to tangenta ima u svakoj tocki konstantai1 nagib spram ravoine XOy, Nadimo duljinu luka AM', i dllljillU duzine TIM', gdje je Tl probadaliSte tangente s ravninom XO}'. lednadzba tnngente je:

x-aeost - asin!

y-nsin! z-bt ~ ~--~A. acos( b

Da bismo naW koordinate locke Ti> probodista tangente s ravninom XOY, mOr

Da b~ R (s) bio radijvcktur toch N noii~ne krivulje treba skalar A odrediti tako da bude:

R(s) .L i"

Zbog toga pomnoiimo jednadibu (2) ska!arno s (I: (i.C')+A~O. (3)

(kl

odnosno: A~-V'~),

pa je jednad~ba nozisne kriyu!je: R(s)=r-(r,rl)fb.

51. 22.

(4)

Neka je (k) ravninska krivulja, pogJedajmo kako ce izg\edati konstrukcijn normale na njenu noiisnu krivulju. Neka su tn, ii''\ [;0 ortoyi tangente, normale i billormale u tocki M krivulje (k). Neka su to, NO, jjO ortovi tangente, normale i billormaJe u tocki N HoiiSne krivulje krivulje (k) koja pripada tocki M. BuduCi da je krivulja (k) ravninska, to. je

jj"~13b''' (f3~lJ, tj. binormale biB okomite su na ravninu u kojoj krivulja (k) leii. Nadimo jedinicni vektor normaie noz,isne krivulje:

fJo= Bll x t"", p. (60 x 1'(1). Kako je

-, t R . T ~ -- = --;~--, ta Je: It I IRI

N" ~ '1;1' (ih R). (5) Ako deriviramo jednadzbu noziSne krivulje (4) po parametru s dobijemo:

l?= r 1_((1.i;1)til _(rj111)j1I_(1.j1!)f1l', , ii~ -[(i'f")i"+ (f.C')i"').

Po Frenet-Serretovoj formuli je till ;- x.iio,

80

gdje je x zakrivljenost krivulje (k) u tocki }vi, pa dobijemo: R= - x[(liiO) C1+ (I. til) nil

Kada (6) uvrstimo u (5) dobijemo: ( G)

'I I

tj. N= f3. x [(l.i:O)i()-(Pi/il)nUJ

IRI Pry! cian u zagrildi je iz jednadzbe (4) nozisne krivulje;

(1 f1l) [0=1-&, a kaka je vektar R kolinearan s nO, tj.

-0 R n = e-

R to je:

NO ~ .i!:'.- [f -R - f!:.R) R ]. lR'i R'

Kad Jcdnadibu noiisnc krivulje pomnaiima skalamo s R dobijemo: R' ~ (p. R) (R ~ ?'),

pa je: - f3x -

N" ~ IRI [f- 2R],

N"~~~n~-Rl (7) Odavde proizlazi konstrukcija normale oa nozisnu krivulju (sl. 23). Naime, vektor normale NO je prema (7) kojinearan s vektorom f -R, pa prcma tame spojnica polovista radijyektora tocke M s pridruzenom tockom N nozisne krivu!je lezt oa normal! na nozisnu krivu!ju u toeki N.

Nadalje je (6) zbog rio = f. ~ (10 "'" 1): N R ~ - ex [ (,' /) i" + (f ,~) ; 1, a ovo Je dilje zbog i R = R" iz Jednadibe (4)

R~ - X[R'~+(f'i") ~]. (6') M

S1. 23.

81

~. Ii

:j , I

Tada je: -0 R T~-.~-~

Iii! X[" ,til

- IRI Rt'+(F"')-7l' Izracwwjmo duljil'lll luka noiisne krivulja ravninske krivulje. Nekilluku Mdl12krivu!je (k) odgovara na nozisooi krivlllji luk N,N~, tada je:

N'7v,~ rlRlcis ti

BuduCi cia Sll III i okomiti vektori, to iz (6'~) imamo: R

ltil _. - 1 ..., RI 2R(F.tl')R(I'I.R)+(F.ilr-R-2 '

pa ,ie-

N'7v, ~ J I % I VIi' + (F !,')id~, >,

Kada jeclnadzbu noz!snc krivulje (4) kvadriramo dobijemo:

odnosno:

(F. (l))2 = jf2_/?2. (r> R) Kad se avo uvrsti u (8) rm,:lfl1O:

N,N, ~ J 1"1 PI cls_ .,

(8)

(9)

199. Neb su T i TI dvije bliske tocke krivulje t= F(s). Aka je Ink ave krivul,ie TTl = !J.s beskontlcno m(lla velicina, dokazati da su udaijenosti tocke T; od normnlne. rektifik

6.s rnaJen). Dakle, d rnijenja predznak kad i bS, tj. proIazeci krivuljom u pozitivnom smjeru krivulje sijece ravninu u toeki T.

Ovo.je upravo za normalnu ravninu ciji je vektor normale Nil = ?l, pa je jiJ. (I :;:S O. Dakle; udaljenost tocke T\ ad normalne ravnine, koja tu krivulju sij~e u rocki T, bit ce beskonacno mala velicina prvog reda, kao i duljina luka TTJ = /:"s.

2. Ako ravQ~na prolazi tangentom u tocki T, tad a je t'tlfJ = 0, a r,oNio-D, tada predznak udaljenosti d ovisi 0 clanu bS2, koji ne mijenja predznak kad i /:"s. Uz uvjet da je A{ljJ::;L 0, tj. da glavna normala krivulje ne leZi u ravnini odredenoj okornicom Nfl, leZi krivulja U okolisu tocke T za dovoljno malo 6.s sva sarno s jedne strane svake ravnine koja prolazi tangentom u tocki T.

Ovo je siucaj za rektifikacionu ravninu tiji je vektor normale Nfl = fio, pa je t\Jj/'J = 0, tj, rektifikaciona ravnioa prolazi tangentom, ali je fiorl*O, tj. rektifikaciona ravnina ne sadrii g!avnu tlorrnalu. Dakle: udaljenost locke T1 od reklifikacio"!!!.. ravnine jest beskonQcno mala veliCinG drugog reda u odnosu na duljinu luka TTl; krivulja se nalazi sva s jedne strane rektifikacione ravnine u okolisu locke T.

3. Ako je r, Nll = 0, ali i iiO. N = 0, tj. lell ji tangenta tocke T u ravnini, ali j glavna normala, zavisi predznak od d 0 clanu h.s3, ako je /:"s3"",0. Udaljenost d mijenja dakle prcdznak kad i 6.5, tj. U okolisu tocke T krivulja prelazi s jedne strane ravnine na drugu, i najrnanje se udaljuje od ravnioe U okoJisu tocke T. Ovo je slucaj za oskulacioo'u ravninu elji je vektor oormale fJo = [)O, pa je i (0. iiI) = 0, ali i tr GO = 0, tj. 9skulaciona ravnina prolazi i tangentom i.gJavnom nonnalorn. Dakle: udaljenos[ tocke T od oskulacione ravnine jest beskonacno mala veliCina treeeg reda u odnosu na duljinu luka ITI ; krivulja sljde oskulacionu ravninu Ii tocki T, ali se najmanje udaljuje It neposrednom okoliSu locke T od oskulacione ravnine. Ako je i Clan s ~S3 jednak nuli (a to je U osobitim tockama krivulje), lezi krivulja U okolisu tocke T sva s jedne strane oskulacione ravnioe. 200. NaCi jednadzbu noZisne krivuJje kruznice u odnosu na jednu tocku kruinice,

te nact opseg te noiisne krivulje. 201. NaCi noziS-nu krivu~ju krivulje a:

x~x(t), y~y(t), z~z(t), tER, u odnosu na ishodiste koordinatoog sustava.

202. NaCi nozisnu krivuJju zavojnice:

84

x=acost, y=asinl, z=bt, u odnosu na ishodiste koordinatnog sustava. Pokazati da ana ieli oa jcdnoplosnorn hiperboloidu:

x2 y2 b2 -- + - - ~- z< - 1 a2 a2 a4 -.

I I

1II. I'OGLA VLJE

PLOHE

6. Definicija plohe i jednadiba plohe 6,1. Defmicija

~. Plohom zovemo podskup SeE' koji se moze zadati oa jedan od ova dva naClOa:

a)

b)

S~{(x,y,z)EE', F(x,y,z)~c), (1) gdje jc F; EJ---;.R diferencijabilna funkcija takva da je dF:;:SO.

S ~ ( (x, y, z) E E' , z ~ [(x, y) ), (2) gdje jef: D----'J. R diferencijabilna fuokcija, D otvoren i povezan skup u ravnini. Pretpostavirno da poJskup SeE 3 dopusta prikaz U obJiku:

x=x(u,v), y=y(u, v), z=z(u,v), (3) tj. neka vrijedi:

S~{(x,y, z)EE', x~x(u, ,), y~y(u, '), z~z(u, ,)),(4) gdje s~ x, y, z : D-1-,R diferencijabilna obostrano jcdnoznacna (ili 1-1) presli-kavaoJa, D otvoren I povezan skup u E2, takva da za funkdju;

F(u, ')~x(u, e) T+y(u, ,) F+z(u, ,) k (5) vrijedi:

f:, x ;.""'0. Tada je S ploha u smislu navedene definicije. Uvjet (6), tj, 1.., x ('.*0 zoaei da je rang matrice:

r;' 2x .. "J au au ox iJv ilz ._'-il, de a, jednak dva

(6)

(7)

85

6.2. Jednadiba plohe. Karta plohe S. Parametrizacija od S Iednadzbu'

F(x, y, z) = c zaverno implicitnom jednadibom plohe, jednadibu:

z~f(x,y) eksplicitnom jednadibom plohe, jednadzbe:

x=x(u, v), y""'y(u, v), z=z(u, v) zovemo paramelarskim jednadibama plohe, "a jedIladzbu:

f(u, v) ~ x (u, v) T + y (u, v) J + z (u, v) k zovemo vektorskom jednadibom plohe.

(8)

(9)

(10)

(11 )

Svaka plaha ne mora dopustati prikaz U ob!iku (3). Naprimjer, sfera nc dopusta takav prikaz (vidi zad. 204). Medutim aka svake tocke pJohe postoji okolina koja dopusta takav prikaz Cst. 25). U tom slucaju jcdnadzbe (3) zovu se kortom te okolinc. Aka ploha l! cijelosti dopusta kartu (3) ooda takvu pJohu zoverno jedllost(lvl1om plohorn.

Naglasimo jos jednom da je jednostavllu plohu moguce prekrili jednom jedinom kartom (3).

Ako je S p!oha za koju postoje funkcije (3), gdjc su x, y, z: D_ R difcrcncijabitne funkcije (ne zahtijeva se obostnma jednoznacnost), D je otvoren (iii zatvoren) i povezan skup u 2, koje zadovo!javaju uvjct (7), onda za jednadzbc (3) kazemo da predstavljaju paramerrizacijll plohe S.

s

.~ .. --y-

SL 25.

86

Singtliama locka parClmetrizacije je ona tocka u kojoj nije ispunjen uvjet (6), tj. ona. tocka parametrizacije za koju vrijedi:

r"X r,. or': (l. (12) Singu!arne tocke parametrizacije obicna se isk!jucuju jz Tazmatranja.

6.3. Krivolinijske iIi Gaussove koordinate na PI~hi Neka je ploha zadana jednadzbmna (3) iii (5). Dama Ii pammetru F

konstantnu vrijednost v = C, a parametar u mijenjamo, onda je preslikavanje u_ F(u, C) neb krivu!ja na p!ohi. Ta krivu!ja se zove u-krivulja (parametarska u-crta) i njena je jednadzba:

x~x(u, C). y ~ y(u, C), z~z(u, C), i!i

"(a, C) ~x(u, C) i+ y(u, C) F+ z (u, C) k. . (13) Analogno, damo Ii parametru u konstantnu vrijednost u = C, presiibyanje v_ FCC, v) je vkril'ulia (parametarska verta) na plchi. Njcnn jc jednadzba:

x=x(C, v), y=y(C,v), iii

,'(C, F) ~x(c, v) T+ y(C, v) F+ z(c, v) k. (14) Na taj naCin dobljemo na plohi S dvije familije krivulja (vidi s1. 26).

Svakom tockom plohe pro!azi po jedna krivulja iz svake ad tih fami!ija. U tom se slllcaju brojevi u = Ui, I' "'" Vj zovu krilJolil1ijske iii tlutamie ili Callssove koordinare tocke P.

sr. 26.

87

,i

6.4. Krivulje na plohi Neka je zadan'a funkcija (1: [ .......... 5, gdje je I otvoren interval, a S ploha.

Funkciju a zvat ceLTIO krivuljom na pfohi 5, aka je a diferencijabilna funkcija. Ako je jos ploha S dana svojom vektorskom jednadibom:

F(u, v)~{x(u, v), y(u, v), z(u, v)], (u, v)ED, D C2, C3) na sferi, sta nije ispunjeno. Uvijek je, dakIe, dF* 0, pa je sfera ploha. U zadacima ad 204. do 210. zadan je skup S svojom jeunadibom oblika F(x, y, z) ~ c iii z ~ f(x, y). 1" Ispitati da Ii je S plaha. 2 Naci za S'neku kartu, odnosna parametrizaciju. 3" NaCi geamclri.jska znacenje patametara.

204. S je sfera: Xl + y2 + Z2 = rl.

88

1 U zad. 203. pokazali sma da je to plaha. 2 Ploha S dopusta kartu:

r(u, v)=uI+vT+~U2-v2k, (16) koordinatne funkcije te karte su diferencijabilna, obostrano jednoznacna

preslikavanja, D je otvorcn skup, tjt" D={(u, v):u 2+v2

(18) nije parametrizacija Citavog skupa S, jer se sa sfere mora izuzeti sjeverni pol A ~ (0,0, ,) i jutni pol B ~ (0,0, - ,) (radi uVJeta (6)). Trebamo, dakle, promatrati skup:

s '" {sjeverni, juzni pol}. (20) Skup (20), medutim, dopusta parametrlzaciju (18), druglffi rijecima (18) jc parametrizacija za skup (20).

Osim toga (18) nije karta (jer (18) nije 1-1 pres!ikavanje, D nije otvoren skup), a kamoH da bi (18) bjla karta koja bi prekrila cije!u sfertl. Sfera, daklc, nije jednostavna ploha. Ad 30 Koordinatne u-krivulje (v = const.) su meridijani, a v - krivulje (u =

const.) para/de. Geometrijski, dva parametra u i v znace Gatlssove koordinate j to geograf~ku .firinu (u) i geograf~kl-L duiinu (v). Parametrizacija (18) se dosta koristi u kartografiji. Pokaiimo jos da je za sve tocke skupa (20) r" x t" *- 6.

r"xi.= rcosucosv -rsinusinv

] rcosusin v rSlnUCOSI!

- rsinu

= r 2 sin2 ucos v f+ r2 sin2 usin v T+ r7 sin u cos uk.

'par (u, v) = (0,0) preslikava se u sjeverni pol A = (0,0, r), a par (u, v) = (n, 0) u juzoi pol B = (0, 0, - r). Kako su te tocke ionako iskljucene iz skupa (,20), to' necemo uzimati u obzir u = 0, u = n, niti v = O. Dakle je i" x r,o uvijek "* 0 jer je za U E (0, n) uvijek sin u 0/=- 0, a cos v i sin v ne mogu iScezavati za isti v.

Pravokutnik [0, -T J x [ - J1:, JJ:] preslikava se na garnju palusferu, a pravo-kutnik [~- ,n] X [ - 31, Jt 1 na donju polusferu (vidi sl, 27),

BuduCi da je u sjevernom i juznom polu 1" x Tv = [) (uvjet (12, to su sjeverni i juini pol singularne tocke parametrizacije (18) pa bi se te tocke i zbog toga i5kljucile iz razmatranja. Geometri.iski s.e singularnost oCituje time, sto sc u sjevernorn i juznorn potu sastaju svi meridijani. Svim tockama skupa (20) inace prolaze sarno po jedna para lela i po jedan meridijan (vidi zadatke 266, 272, 323). 205. S je rotacion! elipsoid (vidi sl. 28):

90

x 2 y2 z< --;;-+7+7=1.

Razmatranja su analogna onima sa sferom iz zad. 204. lednadzbe:

x=asinucosv y=asinusinv

z=ccosu

predstavljaju parametrizaciju s~upa: S " (sjeverni, jutni pol).

Pritom je D~ [0, nJ x [-n, "j. ,

I -_ -~ (c --- 'j-...... I I \

; I

y x

51. 28.

206. S je rotacionj paraboloid (vidi sl. 29): x2 y2 7+7=z,

5 j.e ploha, jer je z diferencijabilna fuokcija. Promotrimo preslikavanje r: D~ E J dana sa:

SI. 29.

i(u, v) = {u, v, a~ (u 2 + v2)}, gdje je D = E2,

AVO preslikavanje je karta koja je preslikava~ oje na, pa je rotacioni paraboloid jednostavna ploha.

lednadibama: x=aucosv

y=ausinv z=u\

gdje je D = R x [0,2n], je dana parametrizacija D~S plohe S. 207. Ploha S je jednoplosni rotacioni hiperbo-

loid (vidi s1. 30): x

,

,

y

SI. 30.

91

S je ploba, jer je F diferencijabilna funkcija i jer je d FoP O. lednadzbama:

je'dana parametrizacija

x=achucosv y = ach usin v

z = csh u

D-;,. S, D =. R x fO, 2n], plohe S. S nije jednostavna ploha. 20S. S je dvop\osni rotacioni hiperboloid (vidi sL 31):

x' )12 Z2 r ~~ .. 1. 7 -a2 - c2 -S je ploha, jer je F diferencijabilno i d F* O. Ploha S dopusta parametrizaciju D----)S danu sa:

gdje je D ~R X [0, 2ItJ. S nije, jednostavna ploha.

x = ashucos v y= ashusin v

z: = cchu,

U zadacima 206, 207. i 208. koordinatne Lt- i v-linije jesu meridijani i paralele na plahi, a geometrijski par br0jeva (u, v) mace Gaussove kaordinate.

209. S je kruini, valjak (vidi s1. 32): x2 + y1:=. R2.

S dopusta parametrizaciju D-;,.S danu sa:

x= reos v

y=rsinv z=u,

pritom je D'= R x [0, 2n]. S nije jednostavna pioha.

210. S je kruzni stozae (vidi sl. 33): x2 y2 Z2

--:r+-'T=l' a a c

92

SI 31.

SI. 32,

nijc ploha jer je d F= 0 u lo(ki V~(O,O,O).

Skup:

S \ (Vrh ctosca, tj V ~ (0, 0, 0)) jest ploha, jer je d F* 0 u svim tockarna toga skupa. Skup S \ {V} dopusla parametrizaciju

D~S\ {V) danusa:

x=aucosv

y=ousinv z= ell,

gdjejeD~Rx[O,2nJ.

Pokazite da je ~, x 1,."* 0 oa skupu S \ { V}.

,

,--v

S1. 33

U tocki V = (0, 0, 0), tj. u = 0 bilo bi 1" x 1" = 0, dakle bi, V = (0, 0, 0) bila singu/3ma tocka parametarske mreie, no singularne tocke iskljucujemo iz razmatranja.

U zadacima 209. i 210. koordinatne u i v linije znace meridijane, koji su izvodnicc valjka odnosno stosca, i para!ele. Par (u, v) zoaer Gaussove koordioate.

211. Zadana je pioha parametarskim jednadibama x = acosJucosJ v y= acos3 usin3 v

z=asinJu,

Na6 implicitnu jednaJzbu te plahe. Kako je:

VE[-n,n].

r r~ =cosucosv J("y. V7 = eosusin v

to je:

93

Implicitna jednadzba zadane plahe prema tome glasi: , in io 'r; V? + Vy2 + vz2 = Jla 2,

212. Dokat:ati da ploha dana parametarskim'jednadzbama: u 2 + v2 1

predstavlja elipsoid. Imamo:

x"'" a 2 + vT+-l 2u

y= b ~ 2 u- + v + 1

2v U, II E R

Xl u4+114+1+2u2v2_2u2_2v2

pa je: x

2 / 7+bT +

z,

7= (u2+~2+1? ----y2 4u'

----,;'2 = (u2+~~2+1? Z2 4 \1 2

7 =: (1L2+v~ir'

4 + VA + 1 + 2 a 2 v2 + 2 ' + 2 v2

(u 2+v2+1)2 (U2+\l2+ 1)1 (u2+ V7+ 1)2

sto predstav!ja elipsoid.

213. Zadano je preslikavanje E2----,;- E J sa: x=2u+v

94

Ispitati da li je skup:

y = 4u2 + 4uv + v2

z=e'''e'",

S={(x, y, z)EE 3 :x=2u+v, y=4u2 +4uv+v2 , z=e2"e"} ploha. Najprije!., to je preslikavanje diferencijabilno> )0$ mOT~ ~iti ispunjen u.vjet f" x f>:F 0 ili 5to je isto rang matriee (7) mora bJtJ dva. IspltaJmo rang matnce:

I ~ 4(2u+ v) 2(2u+ v) e""e" I

Ova matrica nema rang dva, nego joj je rang jedaI], za svako u i v. To znaCi da su vektori:

kolinearni.

f,,~{2, 4(2u+v), 2e'''e'') C, ~ (1, 2(2u + v), e'''o')

Prema tome S nije plaha.

214, Z.a plohu zadanu eksplicitnom jednadzbom (9) uaCi vektorsku jednadzbu. Zadana je plaha:

z ~ [(x, y). Stavimo Ii za para metra : x = x, y =' y, z = I(x, y), tada vektorska jednadtba gJasi:

r(x, y) ~x r + y J + f(x, Y)k, iii: Stavimo !i z.a pararnetre x = u, Y = II, Z = feu, v) tada vektorska jednadzba giasi:

i"(u, v)=ut+vI+f(lI, v)k, U, v, ER.

215. U ravnini XOZ zadana je krivulja a: 1---:. E3 z~f(x), xEI x~g(u), y~O, z~h(u), ud.

a) Napisati parametarske jednadzbe plahe koja nastaje rotacijom krivuJje a aka osi OZ.

b) Napisati vektorsku jednadzbu taka nastale rotacione plahe. c) Sto su koordinatne krivuJje u = C, v = C? Koje je geometrijsko znacenje

parametara u ill? 1 [} Eksplicitna jednadzba rotacione plohe glasi (vidi s1. 34):

z~f(Vx'+y'), a parametarske jednadzbe:

iIi opcenitije:

x=ucosv

y = usinv z ~ f(u), u EJ, v E [0, 2,,],

x=g(u)cosv y=g(u)sinv

z ~ f(g(u)) ~ h (u), U E I, v E [0,2,,],

95

gdje je g: 1---7 It bilo koja diferenci-jabilna funkcija.

2" Jednadzba rotaciOllc plohe glasi:

VX2 +/=g(u), z=h(u), a njena parametarska jednadzba:

x=g(u)cosv y:=g(u)sinv

z=h(u), UE[, vE[O,2Jt]. Vektorska se jcdlladzba rotacione plohe maze jos napisati u obli~u:

r(u, v) =g(u)e(v) +h(u)k, gdjc je i(v) norm iran a vektorska funkcija

e(v) =cosv [+ sin v T

Koordinatne' krivulje jesu: za u = const. v krivulje sc zovu paralcle, za v = const. u krivulje se zovu meridijani. Parametri u i v geomctrijsk,i wace Gaussovc koordinate. Ploha oijc jcdnostavna.

216. Na6 parametar'ske jednadibe ravninc i njezinu vektorsku jcdnadzbu. Stu prcdstavlja kqordinatna mreia krivu\ja te ravninc? Tockom (xo> Yo, zo) postavimo pravac (vidi s1. 35):

Istom tockom postavimo drugi pravac (nekolinearao s prvim);

X-Xo y-o Z-Z(J __ ~_ ~ -- = ~- (v).

12 m2 n2 Parametarske jednadibe tih pravaca gla-se, oznacimo Ii kod prvog pravca pararne tar sa u, a kod drugoga sa v:

(u)

~

-- --1--1--1-1 / / 1 /

----/--/-/ / ,-c -~-I-I--i--

__ +--1,,,,,,",-,,,,,,1 1 / /" 1 1 /~~ SL 35.

96

Tada ce

x = Xo + 11u, odnosno x = Xo +- 12v y=yo+mju, Y=Yn+m-zv z""zo+-nju, uER z=zo+ncll vER

X=XO+iIU+ilV Y""'Yn+ m ju+m211 ,

U, v E R (1)

biti paramctarskc jednadzbe ravnine. Za v = 0 dobivamo pocetni prY! pravac (u), a za u = 0 drugi (v). Za ralOe vrijcdnosti od U i v dobiyamo pravcc koji Sll paralelni s polaznim pravcima. Ovi pravci predstavljaju prema tome koordinatne krivulje - prav,:e u ravnini i Cine mrez.u pravaca u ravnini_ Po!azni pravci (u) i (v) predstavljaju koordinatne osi kosokutnog koordinat-nog sustava te ravnine, Ravnina je jednostavua pioha. Vektorska jednadiba ravnine glas!:

F=?n+ iiu + bv, gdje jc lo radijvcktor pocetne tocke iii ishodista 0' kosokutnog koordinatnog sustav mj, nj) i E (I~, m2, nl) jesu koordinatni vektori koordinatnog sustava te ravnine (kolinearni sa zadana dva pravca). Spccijalni slucaj: a) Promotrimo parametrizaciju ravninc definiranu jedn

SI. 37.

To je parametrizlIcija skup

x-1 y--2 z-l ~6- ~ -:::z ~ 5 (u) jest koordinatna os u trazenog koordinatnog sustava. Potraiimo i drugu koordinatnu os. Ona mora takoder lezati u zadanoj ravnini, tj. prolaziti tockom 0' i bitijos k tome okomita na prvu as u. Moraju biti dakle zadovoljeni uvjeti:

fiJ~ 0 u'v=O,

gdje je ';;(l2, m2, n2)' I?obijemo sustav jednadzbi: 3Ll+4m2-2n2 = 0 6l2-2m2+Sn? = 0,

oduosno podijeljvsi upr. s n2: 3 l:; + 4 !!!2. = 2

n2 n-;.

12 m2 6 - - 2 - . ~ - 5. n2 Hz

RjeSenja su; 8

12 = - 15 11-;., Iednadzba pravca v ginsi:

y-2 ~ -9--

z-4

W n1 odnosno:

(v) .

Prema tome traiene parametarske jednadibe glase: x=1+6u 16v y=2-2u+27v

z=4+5u+30v, U, V E R. (Vidi zad. 244.)

219. Napisati parametarske jednadzbe pseudosfere koja nastaje rotadjom traktri-se:

100

oka svoje asimptote, tj. osi OY (vidi sl. 39).

Traktrisa