Diferencijalna geometrija - 2016/17 - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG/DG - skripta... · Ova skripta je nastala kao nastavni tekst uz predavanja

Diferencijalna geometrija- 2016/17 -

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije u Splitu

ii

Sadrzaj

1 Osnovni pojmovi 1

2 Krivulje 52.1 Definicija krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Parametrizirane krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Eksplicitno zadane krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Implicitno zadane krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Frenetov trobrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Fleksija i torzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Frenetove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Fundamentalni teorem teorije krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Neke posebne krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.2 Opcenita krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Plohe 353.1 Definicija plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Parametrizirane plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 Eksplicitno zadane plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.3 Implicitno zadane plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Vektor normale i tangencijalna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Krivulja na plohi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Prva fundamentalna forma plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.1 Duljina luka krivulje na plohi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2 Kut izme�u dviju krivulja na plohi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.3 Površina ome�enog dijela plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Druga fundamentalna forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.1 Normalna zakrivljenost i Meusnierov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.2 Asimptotski smjerovi i asimptotske krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5.3 Glavni smjerovi i glavne krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5.4 Gaussova i srednja zakrivljenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5.5 Klasifikacija tocaka na plohi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.6 Dupinova indikatrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5.7 Razvojne i minimalne plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.8 Pravcaste plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 Fundamentalne jednadzbe plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

iii

iv SADRZAJ

3.6.1 Pravila diferenciranja i Christoffelovi simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.7 Geodetska zakrivljenost i geodetske krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.7.1 Geodetska zakrivljenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7.2 Geodetske krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8 Preslikavanja ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.8.1 Izometricko preslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.8.2 Konformno preslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.8.3 Ekvivalentno preslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Uvod

Ova skripta je nastala kao nastavni tekst uz predavanja iz predmeta Diferencijalna geometrija pred-diplomskog sveucilišnog studija geodezije i geoinformatike na Fakultetu gra�evinarstva, arhitekturei geodezije u Splitu. Skripta je uz uvodno poglavlje u kojem su uvedeni neki osnovni pojmovipodijeljena na dvije velike cjeline: Krivulja i Plohe. U cjelini o krivuljama obra�ena su poglavljaDefinicija krivulje, Frenetov trobrid, Fleksija i torzija, Frenetove formule, Fundamentalni teoremteorije krivulja. U cjelini o plohama obra�ena su poglavlja Definicija plohe, Vektor normale i tan-gencijalna ravnina, Krivulja na plohi, Prva fundamentalna forma, Druga fundamentalna forma,Fundamentalne jednadzbe plohe, Geodetska zakrivljenost i geodetske krivulje, Preslikavanja ploha.Sadrzaj obra�en u ovoj skripti je matematicki sadrzaj koji se predaje na rijetkim fakultetima uhrvatskoj (uglavnom na studijima matematike i studijima geodezije), pa je literatura na hrvatskomjeziku dosta oskudna. U zadnjem poglavlju navedene su reference za literaturu koja je najvišeutjecala na sadrzaj ovih nastavnih materijala, od toga su jedna skripta i jedna zbirka zadataka nahrvatskom jeziku ([2] i [5]), te tri knjige na engleskom jeziku ([1], [3] i [4]).

Ovi nastavni materijali su prilago�eni odrzavanju predavanja u 30 nastavnih sati, imaju 89 stran-ica nastavnog sadrzaja i ilustrirani su sa 102 slike. Uz nastavne materijale izra�ene su prezentacije sadinamickim slajdovima i animiranim ilustracijama koje su korisno nastavno pomagalo. U svom pr-votnom obliku materijali su nastali za potrebe nastave akademske godine 2011/12 kad je pokrenutadruga godina studija geodezije i geoinformatike na Fakultetu gra�evinarstva, arhitekture i geodez-ije, koristili su se u nastavi svih sljedecih godina, a svake godine su bili pomalo razliciti kao rezultatnastojanja da ih što više priblizim studentima.

Konacno, na izradu ovih nastavnih materijala te ilustracija i prezentacija koje ga prate utrošilasam brojne sate, stoga ih smatram svojim vlasništvom i zadrzavam sva prava nad njima.

Jelena Sedlar

v

vi SADRZAJ

Poglavlje 1

Osnovni pojmovi

Neka je R3 standardni trodimenzionalni vektorski prostor. Elemente od R3 zovemo vektori, aelemente od R skalari. Ako su r1, r2 ∈ R3, λ ∈ R, gdje je r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) , ondasu formulama

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,

λr1 = (λx1, λy1, λz1)

dane operacije zbrajanja i mnozenja sa skalarom.Ako je

e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,

onda je {e1, e2, e3} ⊆ R3 baza prostora R3. Svaki vektor r = (x, y, z) ∈ R3 moze se prikazati kaolinearna kombinacija vektora baze sa r = xe1 +ye2 +ze3. Bazu {e1, e2, e3} nazivamo standardnombazom prostora R3. Obzirom da su prostori R3 i V 3 izomorfni, a {i, j,k} je standardna baza prostoraV 3, cesto cemo za vektore baze pisati i, j,k umjesto e1, e2, e3.

Ako su r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) vektori iz R3, formulom

r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

dan je skalarni produkt vektora r1 i r2, a sa formulom

|r1| =√

r1 · r1 =√x2

1 + y21 + z2

1

dana je norma (modul, duljina) vektora r1. Ako su r1, r2 ∈ R3, pri cemu je r1 6= 0 i r2 6= 0, ondaje kut α izme�u vektora r1 i r2 definiran sa

r1 · r2 = |r1| |r2| cosα.

Nadalje, vektorski produkt r1 × r2 definiran je sa

r1 × r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)

1

2 POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI

što se moze zapisati u obliku simbolicke determinante

r1 × r2 =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ .Ako imamo joši r3 = (x3, y3, z3), onda je mješoviti produkt (r1, r2, r3) definiran sa

(r1, r2, r3) = (r1 × r2) · r3 =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .Za diferencijalnu geometriju jako su vazni pojmovi vektorske funkcije skalarnog argumenta i

vektorske funkcije vektorskog argumenta. No, prije nego uvedemo te pojmove, podsjetimo se što bibile skalarne funkcije skalarnog i vektorskog argumenta.

Definicija 1 Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcija skalarnog argumentaako je D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.

Skalarna funkcija skalarnog argumenta naziva se joši skalarna funkcija jedne varijable, a skalarnafunkcija vektorskog argumenta naziva se joši skalarna funkcija više varijabli (najcešce dvije ili tri,tj. m = 2 ili m = 3). Podrazumijevat cemo da su pojmovi limesa, neprekidnosti, derivacije iintegrala za ovakve funkcije poznati.

Sada mozemo definirati vektorsku funkciju skalarnog i vektorskog argumenta.

Definicija 2 Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je r vektorska funkcija skalarnogargumenta ako je D ⊆ R, odnosno vektorska funkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥2.

Vektorska funkcija skalarnog argumenta naziva se još i vektorska funkcija jedne varijable, avektorska funkcija vektorskog argumenta naziva se još i vektorska funkcija više varijabli. Najcešceje n = 3, dakle funkcijske vrijednosti su vektori u prostoru, dok je broj varijabli kod vektorskogargumenta najcešce 2 (tj. m = 2). Skalarne i vektorske funkcije skalarnog ili vektorskog argumentailustrirane su Slikom 1.1.Neka je r : D → R3 vektorska funkcija i t ∈ D. Tada je

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.

Funkcije x, y, z : D → R nazivaju se koordinatne funkcije od r. Kazemo da je vektorska funkcijar neprekidna (odnosno derivabilna, glatka, integrabilna), ako su sve njezine koordinatne funkcijeneprekidne (odnosno derivabilne, glatke, integrabilne). Iskazimo sada propoziciju koja nam dajepravila deriviranja nekih vektorskih funkcija skalarnog argumenta.

Propozicija 3 Neka su r1, r2 i r3 derivabilne vektorske funkcije skalarnog argumenta, te λ deriv-abilna skalarna funkcija skalarnog argumenta. Tada vrijedi:

1. (r1 ± r2)′

= r′1 ± r′2,

3

a) b)

c) d)

Slika 1.1: a) Skalarna funkcija skalarnog argumenta. b) Skalarna funkcija vektorskog argumenta.c) Vektorska funkcija skalarnog argumenta. d) Vektorska funkcija vektorskog argumenta.

2. (λr1)′

= λr′1 + λ′r1,

3. (r1 · r2)′ = r′1 · r2 + r1 · r′2,

4. (r1 × r2)′

= r′1 × r2 + r1 × r′2,

5. (r1, r2, r3) = (r′1, r2, r3) + (r1, r′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .

4 POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI

Poglavlje 2

Krivulje

2.1 Definicija krivulje

2.1.1 Parametrizirane krivulje

Definicija 4 Parametrizirana krivulja u Rn je glatka funkcija r : I → Rn pri cemu je I ⊆ Rinterval.

Krivulju r : I → R3 zapisujemo pomocu vektorske jednadzbe

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · i + y(t) · j + z(t) · k

ili pomocu parametarske jednadzbe

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Posve analogno se zapisuju krivulje u R2. Za derivacije krivulje r(t) = (x(t), y(t), z(t)) pišemo

dr

dt(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ,

d2r

dt2(t) = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , itd.

Definicija 5 Slika parametrizirane krivulje r : I → Rn je skup C = r(I) ⊆ Rn.

U diferencijalnoj geometriji cesto razmatramo svojstva krivulja vezana za sliku r(I), pa cemocesto poistovjecivati krivulju sa slikom. Ako je r(I) ⊆ R2 (odnosno r(I) ⊆ R3), onda se taj skupmoze graficki prikazati kao skup tocaka ravnine (odnosno prostora). Pojam parametrizirane krivuljei njene slike ilustriran je Slikom 2.1.Fizikalno se parametrizirana krivulja moze interpretirati kao cestica koja putuje prostorom Rn

u vremenu t ostavljajuci za sobom trag r(I). Drugim rijecima, jednadzba r(t) = (x(t), y(t), z(t))znaci da se cestica u trenutku t nalazila u tocki (x(t), y(t), z(t)) .

Navedimo sada vektorske jednadzbe nekih cesto korištenih krivulja u prostoru.

5

6 POGLAVLJE 2. KRIVULJE

Slika 2.1: Geometrijska interpretacija parametrizirane krivulje i njene slike.

Primjer 6 Neka su a,b ∈ R3 vektori. Pravac u R3 je parametrizirana krivulja r : R→ R3 defini-rana pravilom

r(t) = a + tb.

Pravac prolazi kroz a, dok mu je b vektor smjera (vidi Sliku 2.2).

Primjer 7 Neka je s ∈ R3, te neka su r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori. Neka je nadalje a ∈ Rbroj sa svojstvom a > 0. Tada je krivulja r : [0, 2π]→ R3 definirana pravilom

r(t) = s + a cos t · r1 + a sin t · r2

kruznica radijusa a sa središtem u s koja lezi u ravnini razapetoj vektorima r1 i r2 (vidi Sliku 2.2).

a) b)

Slika 2.2: Parametrizacija: a) pravca, b) kruznice.

Primjer 8 Neka je f : I→ R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval. Graf funkcije f je slikaparametrizirane krivulje r : I → R2 definirane pravilom r(t) = (t, f(t)) (vidi Sliku 2.3).

2.1. DEFINICIJA KRIVULJE 7

Slika 2.3: Parametrizacija grafa eksplicitno zadane funkcije.

Primjer 9 Neka su a, b ∈ R skalari, neka je s ∈ R vektor, te neka su r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormiranivektori. Kruzna cilindricna zavojnica je parametrizirana krivulja r : R→ R3 definirana pravilom

r(t) = s + a cos t · r1 + a sin t · r2 + bt · r3.

Najcešce su r1, r2, r3 vektori standardne baze i, j,k redom, a s ishodište, pa je u tom slucaju kruznacilindricna zavojnica definirana pravilom

r(t) = a cos t · i + a sin t · j + bt · k = (a cos t, a sin t, bt) .

Parametrizacija kruzne cilindricne zavojnice ilustrirana je Slikom 2.4.

a) b)

Slika 2.4: Parametrizacija kruzne cilindricne zavojnice koja je: a) kosa i pomaknuta, b) uspravna icentralna.

Za analiziranje svojstava krivulje vrlo su vazni vektori derivacije prvog i drugog reda, pa cemorazmotriti njihova svojstva. Podsjetimo se da po definiciji derivacije za vektor r(t) vrijedi

r(t) = lim∆t→0

r(t+ ∆t)− r(t)

∆t= lim

∆t→0

∆r(t)

∆t.


Uocimo da vektor ∆r(t) ima smjer sekante na krivulju r, koji u limesu postaje smjer tangente nakrivulju r, što znaci da vektor r(t) ima tangencijalan smjer na krivulju u tocki r(t) (vidi Sliku 2.5).Fizikalno mozemo smatrati da vektor ∆r(t) aproksimira prije�eni put u proteklom vremenu ∆t,cime dolazimo do toga da se vektor r(t) fizikalno moze interpretirati kao vektor brzine.

Definicija 10 Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t) naziva se vektor brzine ilitangencijalni vektor krivulje r u tocki r(t), dok se skalar |r(t)| naziva skalarna brzina krivulje r utocki t ∈ I.

Slika 2.5: Geometrijska interpretacija definicije vektora r(t).

Nadalje, za vektor r(t) po definiciji derivacije vrijedi

r(t) = lim∆t→0

r(t+ ∆t)− r(t)

∆t= lim

∆t→0

∆r(t)

∆t.

Uocimo da vektor ∆r(t) mjeri promjenu vektora brzine u vremenu ∆t (vidi Sliku 2.6), pri cemu napromjenu vektora brzine utjecu i promjena smjera vektora brzine (zakrivljenost) i promjena duljinevektora brzine (promjena skalarne brzine, tj. skalarna akceleracija). Dakle, na vektor r(t) utjecei komponenta zakrivljenosti krivulje i komponenta skalarnog ubrzanja cestice. Fizikalno se mozesmatrati da je r(t) vektor akceleracije.

Definicija 11 Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Vektor r(t) naziva se vektor akcel-eracije krivulje r u tocki t ∈ I.

Vazno je napomenuti da velicina |r(t)| ne predstavlja fizikalno skalarnu akceleraciju, upravoiz razloga što na vektor r(t) utjece i komponenta zakrivljenosti krivulje, a ne samo komponentaskalarne akceleracije.Za razmatranje svojstava krivulje vazne su tocke u kojima se cestica zaustavi, tj. u kojima je

r(t) = 0. Pa uvodimo sljedecu definiciju.

Definicija 12 Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja. Kazemo da je krivulja r regularnau tocki t ∈ I ako vrijedi r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo da je r singularna u tocki t. Ako jeparametrizirana krivulja r regularna za svaki t ∈ I, onda kazemo da je r regularna.


Slika 2.6: Geometrijska interpretacija definicije vektora r(t).

Fizikalno, obzirom da se r(t) interpretira kao vektor brzine, mozemo reci da je regularna onatocka na krivulji u kojoj je brzina cestice razlicita od nula, dok je singularna ona tocka u kojoj jebrzina cestice jednaka nula, odnosno cestica se zaustavila.Geometrijski, vektor r(t) predstavlja tangencijalni vektor, pa u regularnoj tocki sigurno mozemo

postaviti tangentu na krivulju, dok u singularnoj tocki mozda ne mozemo poloziti tangentu (alimozda i mozemo). Ako se u singularnoj tocki tangenta na krivulju ipak moze postaviti, onda jesingularitet svojstven samo parametrizaciji, ne i samoj krivulji (tj. slici parametrizacije). Takavsingularitet se moze ukloniti odabirom druge parametrizacije iste krivulje. Ako se pak tangenta usingularnoj tocki ne moze postaviti, onda je singularitet svojstven samoj krivulji. Takav singularitetse ne moze ukloniti, tj. svaka parametrizacija te krivulje ce imati singularitet u toj tocki.

Primjer 13 Ispitaj regularnost krivulja: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).

Dokaz. Potrebno je odrediti vektor brzine i ispitati kad je jednak nul-vektoru.a) Uocimo da vrijedi r(t) = (3t2, 6t5), pa je r(t) = 0 ako i samo ako je t = 0.b) Uocimo da vrijedi r(t) = (3t2, 2t), pa je r(t) = 0 ako i samo ako je t = 0.Dakle, obje krivulje imaju singularitet u tocki t = 0. No, ako razmotrimo slike ovih krivulja

prikazane na Slici 2.7, onda vidimo da je singularitet prve krivulje svojstven parametrizaciji, ane samoj krivulji, pa se tangenta na krivulju u tocki r(0) = (0, 0) moze postaviti. Singularitetdruge krivulje je svojstven baš krivulji (tj. slici parametrizacije) jer krivulja ima "špic" u tockir(0) = (0, 0), pa se tangenta u tocki singulariteta ne moze postaviti.

Pojam koji se nastavlja na pojam regularnosti je pojam biregularnosti, pa uvedimo definicijutog pojma.

Definicija 14 Neka je r : I → R3 parametrizirana krivulja. Kazemo da je krivulja r biregularna utocki t ∈ I ako vrijedi r(t)× r(t) 6= 0. U suprotnom, kazemo da je r bisingularna u tocki t. Ako jeparametrizirana krivulja r biregularna za svaki t ∈ I, onda kazemo da je r biregularna.

Uocimo da uvjet biregularnosti krivulje r u tocki t glasi r(t)×r(t) 6= 0, što po definiciji vektorskogprodukta znaci da mora biti r(t) 6= 0 i r(t) 6= 0 i r(t) /‖r(t). Iz ovoga ocito slijedi da je uvjetbiregularnosti "jaci" od uvjeta regularnosti, tj. ako je krivulja biregularna u t, onda ona mora biti


a) b)

Slika 2.7: Tocka singulariteta krivulje: a) r(t) = (t3, t6), b) r(t) = (t3, t2).

i regularna u t, dok obrat ne vrijedi (tj. postoje krivulje koje su regularne u t, ali nisu biregularneu t).Fizikalno, mozemo reci da u tocki bisingulariteta t mora vrijediti barem jedno od sljedeceg: ces-

tica se zaustavila (r(t) = 0), nema zakrivljenosti ni akceleracije (r(t) = 0), nema samo zakrivljenosti(r(t)‖r(t)).

Neformalnije mozemo reci da krivulja ima (neuklonjive) singularitete u tockama u kojima nematangente, a bisingularitete u tockama u kojima nema zakrivljenosti.

Primjer 15 Neka su a,b ∈ R3. Ispitaj (bi)regularnost krivulja: a) r(t) = a+ tb, b) r(t) = a+ t3b.

Dokaz. Najprije, uocimo da je slika obiju ovih krivulja pravac koji prolazi vrhom vektora a iima vektor smjera b (vidi Sliku 2.2). Me�utim, parametrizacije se razlikuju u brzini kojom cesticaputuje po pravcu.a) Vrijedi r(t) = b i r(t) = 0, pa za svaki t vrijedi da je krivulja regularna u t, ali nije biregularna

(nema ni zakrivljenosti ni ubrzanja, tj. r(t) = 0).b) Vrijedi r(t) = 3t2b i r(t) = 6tb, pa za svaki t 6= 0 vrijedi da je krivulja regularna u t, ali nije

biregularna. Za razliku od prethodnog slucaja, ovdje ima ubrzanja, ali cestica ubrzava po pravcu,što znaci da nema zakrivljavanja vektora brzine, tj. vektori r(t) i r(t) su kolinearni.Uocimo da oba primjera mogu posluziti kao ilustracija za tvrdnju da je biregularnost "jaci"

zahtjev od regularnosti, jer obje krivulje su u t 6= 0 regularne, ali ne i biregularne.

Vec iz prethodnog primjera je ocito da razlicite parametrizacije mogu imati istu sliku. Ilustri-rajmo to podrobnije sljedecim primjerom.

Primjer 16 Zadana je parametrizirana krivulja r1 : [0, 2π]→ R2, r1(t) = (cos t, sin t) . Što je slikate parametrizirane krivulje? U cemu se parametrizacija r1 razlikuje od parametrizacija:

a) r2 : [0, π]→ R2, r2(t) = (cos 2t, sin 2t) ;

b) r3 : [0, 2π]→ R2, r3(t) = (cos 2t, sin 2t) ;

c) r4 : [0, π]→ R2, r4(t) = (cos(−t), sin(−t)) .


Dokaz. Uocimo da je slika krivulje r1(t) centralna kruznica radijusa 1, kako je prikazano naSlici 2.8. Ako usporedimo parametrizaciju krivulje r1(t) sa preostalim zadanim parametrizacijama,onda vidimo da je slika svih ostalih parametrizacija tako�er centralna kruznica radijusa 1, ali se teparametrizacije ipak razlikuju, a razliku je mozda najlakše objasniti fizikalno. Naime, cestica r2(t)kruznicom putuje dvostruko brze i prije�e je citavu u pola kracem vremenu. Cestica r3(t) putujepo istoj kruznici, ali prije�e duplo duzi put jer obi�e kruznicu dva puta. Konacno, cestica r4(t)putuje po istoj kruznici, ali u suprotnom smjeru. Putanja cestica r2(t), r3(t) i r4(t) ilustrirana jeSlikom 2.9.

Slika 2.8: Slika krivulje r1(t) iz Primjera 16.

a) b) c)

Slika 2.9: Slika krivulje: a) r2(t), b) r3(t), c) r4(t) iz Primjera 16.

Dakle, parametrizacije iste krivulje mogu se razlikovati u brzini kojom cestica putuje po krivulji,u putu kojeg cestica prije�e po krivulji, te u orijentaciji kojom cestica prije�e taj put. Parame-trizacije iste krivulje koje se razlikuju samo u brzini nazivat cemo ekvivalentnim parametrizacijama,tj. uvodimo sljedecu formalnu definiciju.


Definicija 17 Neka su r : I → Rn i r : J → Rn parametrizirane krivulje. Kazemo da su r i rekvivalentne ako postoji obostrano glatka bijekcija ϕ : J → I takva da je r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0za svaki t ∈ J. Ako su r i r ekvivalentne, onda se r naziva reparametrizacijom krivulje r i obratno.

Uocimo da za ekvivalentne parametrizacije iz uvjeta definicije r(t) = r(ϕ(t)) slijedi da za vektorebrzina vrijedi ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t), pri cemu za ϕ(t) po definiciji reparametrizacije vrijedi da je strogopozitivan skalar. Dakle, vektori brzine ˙r(t) i r(ϕ(t)) ekvivalentnih krivulja su kolinearni i isteorijentacije, a razlikuju se samo u duljini (tj. skalarnoj brzini).

Sada zelimo definirati duljinu luka krivulje. Najprije, obzirom da je prije�eni put jednak um-nošku brzine i proteklog vremena, definiramo element duljine luka krivulje ds sa ds = |r(t)| dt.

Definicija 18 Neka je r : [a, b] → Rn parametrizirana krivulja. Duljina luka krivulje r je brojs(a, b) definiran sa

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt.

Propozicija 19 Duljina luka krivulje ne ovisi o reparametrizaciji.

Dokaz. Neka je r : [a, b] → Rn parametrizirana krivulja i r : [c, d] → Rn njena reparametrizacija.Po definiciji reparametrizacije to znaci da postoji obostrano glatka bijekcija ϕ : [c, d]→ [a, b] takvada je r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ [c, d] . Iz r(t) = r(ϕ(t)) deriviranjem dobivamo

˙r(t)dt = r(ϕ(t))ϕ′(t)dt,

dok iz ϕ′(t) > 0 slijedi da je ϕ monotono rastuca, pa je ϕ(c) = a i ϕ(d) = b. Sada imamo

d∫c

∣∣∣ ˙r(t)∣∣∣dt =

d∫c

|r(ϕ(t))ϕ′(t)| dt =

d∫c

|r(ϕ(t))|ϕ′(t)dt =

{ϕ(t) = u

ϕ′(t)dt = dut c du a b

}=

=

b∫a

|r(u)| du.

Svojstvo krivulje koje ne ovisi o reparametrizaciji naziva se unutarnje svojstvo krivulje. Dakle,duljina luka je unutarnje svojstvo krivulje.

Definicija 20 Za krivulju r : I → Rn kazemo da je parametrizirana duljinom luka ili prirodnimparametrom ako je |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I.

Podsjetimo se, |r(t)| = 1 za svaki t ∈ I znaci da cestica po krivulji putuje jedinicnom brzinom,a to onda znaci da je prije�eni put (oznacimo ga sa s) jednak proteklom vremenu (oznaka t), pa semoze smatrati da je krivulja parametrizirana duljinom luka s umjesto vremenom t. Odatle dolazinaziv za takve krivulje, a i oznaka, jer je za krivulje parametrizirane duljinom luka uobicajenopisati r(s) umjesto r(t), te r′(s) umjesto r(t). Pokazimo i racunski da za takve krivulje vrijedi da


je prije�eni put s jednak proteklom vremenu. Naime, za krivulje parametrizirane duljinom lukavrijedi

s(a, b) =

b∫a

|r(t)| dt =

b∫a

dt = (t)

∣∣∣∣ba

= b− a.

Parametrizacija krivulje prirodnim parametrom je jako pogodna za razmatranje raznih svojstavakrivulje, pa nam je zanimljivo pitanje moze li se svaka parametrizacija reparametrizirati prirodnimparametrom. Uocimo da vrijedi:

• prirodna parametrizacija je regularna (jer |r(t)| = 1 implicira r(t) 6= 0),

• za svaku reparametrizaciju r opcenite krivulje r vrijedi r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ(t) > 0, iz cega slijedi

˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)︸︷︷︸>0

,

pa r i r imaju singularitete u istim tockama.

Iz ovog razmatranja slijedi da se nijedna krivulja koja ima singularitete sigurno ne moze repara-metrizirati prirodnim parametrom, jer prirodna parametrizacija nema singularitete. No, što je sregularnim krivuljama? Na to pitanje odgovor nam daje sljedeci teorem.

Teorem 21 Svaka regularna krivulja r moze se reparametrizirati duljinom luka.

Dokaz. Neka je r : I → Rn proizvoljna krivulja, te neka je t0 ∈ I. Definiramo funkciju duljine luka

s(t) =

t∫t0

|r(u)| du

koja mjeri duljinu luka krivulje r od fiksne tocke t0 do proizvoljne tocke t. Derivacija funkcije s jes′(t) = |r(t)| . Moze se pokazati da je s(t) obostrano glatka bijekcija, tj. da je glatka i da postojiinverzna funkcija t(s) koja je tako�er glatka. Za derivaciju inverzne funkcije t(s) vrijedi

t′(s) =1

s′(t)=

1

|r(t)| > 0.

Ako krivulju r reparametriziramo funkcijom t(s), dobivamo reparametrizaciju r(s) = r(t(s)). Pre-ostaje dokazati da parametrizacija r ima jedinicnu brzinu. Vrijedi∣∣∣ ˙r(t)

∣∣∣ = |r(t(s)) · t′(s)| = |r(t)| 1

|r(t)| = 1.

Zakljucujemo dakle da se nijedna krivulja koja nije regularna ne moze parametrizirati prirodnimparametrom, dok se svaka krivulja koja jest regularna moze parametrizirati prirodnim parametrom.


2.1.2 Eksplicitno zadane krivulje

Znamo da se krivulja u ravnini ili prostoru moze zadati i eksplicitnom ili implicitnom jednadzbom.Tada je krivulja skup C svih tocaka koje zadovoljavaju tu jednadzbu. Postavlja se pitanje moze lise ta krivulja parametrizirati, odnosno, postoji li parametrizirana krivulja r : I → Rn takva da jer(I) = C (globalna parametrizacija) ili r(I) ⊂ C (lokalna parametrizacija).

Ravninske krivulje. Neka je f : I → R glatka funkcija, pri cemu je I ⊆ R interval. Tada skup

C = {(x, y) : y = f(x), x ∈ I} ⊆ R2

nazivamo eksplicitno zadanom ravninskom krivuljom, a jednadzbu y = f(x) nazivamo eksplicitnomjednadzbom krivulje C. Uocimo da se C moze globalno parametrizirati varijablom x. Naime, C jeslika regularne parametrizirane krivulje r(t) = (t, f(t)) za t ∈ I.

Prostorne krivulje. Neka su f, g : I → R glatke funkcije, pri cemu je I ⊆ R interval. Tada skup

C = {(x, y, z) : y = f(x), z = g(x), x ∈ I} ⊆ R3

nazivamo eksplicitno zadanom prostornom krivuljom, a sustav y = f(x), z = g(x) nazivamo eksplic-itnom jednadzbom krivulje C. Uocimo ponovo da se C moze globalno parametrizirati varijablom x,tj. da je C slika regularne parametrizirane krivulje r(t) = (t, f(t), g(t)) za t ∈ I.

2.1.3 Implicitno zadane krivulje

Ravninske krivulje. Neka je F : D → R glatka funkcija, pri cemu je D ⊆ R2. Skup

C = {(x, y) : F (x, y) = 0} ⊆ R2

nazivamo implicitno zadanom ravninskom krivuljom, a jednadzbu F (x, y) = 0 nazivmo implicitnomjednadzbom krivulje C. Sljedeci teorem daje nam dovoljan uvjet za postojanje lokalne parame-trizacije implicitno zadane krivulje.

Teorem 22 Neka C ravninska krivulja zadana implicitnom jednadzbom F (x, y) = 0. Ako za tockuT ∈ C vrijedi gradF (T ) 6= 0, onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametriziranakrivulja r : I → R2 takva da je r(I) = U ∩ C.

Uocimo da je uvjet Teorema 22 dovoljan, ali ne i nuzan uvjet postojanja lokalne parametrizacijekrivulje C. To znaci da se krivulja sigurno moze parametrizirati u okolini tocke T u kojoj jeispunjenuvjet teorema. No, ako uvjet teorema u tocki T nije ispunjen, to jošuvijek ne znaci da se krivuljane moze lokalno parametrizirati u okolini te tocke.

Primjer 23 Pokazi da se kruznica x2 + y2 = 1 moze lokalno parametrizirati u okolini svake svojetocke.

Dokaz. Kruznica je zadana implicitnom jednadzbom F (x, y) = 0, pri cemu je F (x, y) = x2 +y2−1.Obzirom da je

∂F

∂x= 2x i

∂F

∂y= 2y,


to znaci da je ∂F∂x = ∂F

∂y = 0 samo u ishodištu koje ne lezi na kruznici. Slijedi da je u svakoj tockiT kruznice vrijedi gradF (T ) 6= 0, pa Teorem 22 osigurava se u okolini svake svoje tocke kruznicamoze lokalno parametrizirati regularnom parametrizacijom.

Primjer 24 Ispitaj moze li se lemniskata(x2 + y2

)2= 2a2(x2− y2), pri cemu je a > 0 konstanta,

(lokalno) parametrizirati!

Dokaz. Lemniskata je zadana implicitnom jednadzbom F (x, y) = 0, pri cemu je F (x, y) =(x2 + y2

)2 − 2a2(x2 − y2). Obzirom da je

∂F

∂x= 4x

(x2 + y2

)− 4a2x i

∂F

∂y= 4y

(x2 + y2

)+ 4a2y,

lako se vidi da ∂F∂x = ∂F

∂y = 0 vrijedi jedino u ishodištu (0, 0), i u tockama (±a, 0). Od ove tri tockejedino ishodište lezi na lemniskati, pa slijedi da je gradF (T ) 6= 0 za svaku tocku na lemniskati, osimza T (0, 0). Dakle, Teorem 22 nam osigurava da se lemniskata moze lokalno parametrizirati u okolinisvake svoje tocke, osim u okolini ishodišta. No, obzirom da uvjet Teorema 22 nije nuzan, to jošuvijek ne znaci da se lemniskata ne moze parametrizirati i u okolini ishodišta. Dapace, lemniskataima cak globalnu parametrizaciju

r(t) = (a√

2 cos t

1 + sin2 t,a√

2 cos t sin t

1 + sin2 t)

pri cemu je t ∈ [0, 2π]. Lemniskata je prikazana na Slici 2.10.

Prostorne krivulje. Neka su F,G : D → R glatke funkcije, pri cemu je D ⊆ R3. Skup

C = {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0} ⊆ R3

nazivamo implicitno zadanom prostornom krivuljom. Sustav jednadzbi F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0naziva se implicitna jednadzba krivulje C. Sljedeci teorem daje nam dovoljan uvjet pod kojim se Cmoze lokalno parametrizirati regularnom parametrizacijom.

Teorem 25 Neka je C prostorna krivulja implicitno zadana jednadzbama F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) =0. Ako je

gradF (T )× gradG(T ) 6= 0,

onda postoji otvorena okolina U tocke T i regularna parametrizirana krivulja r : I → R3 takva daje r(I) = U ∩ C.

Ponovo, uvjet Teorema 25 je dovoljan, ali ne i nuzan, što znaci da (lokalna) parametrizacijamoze postojati i u tockama krivulje u kojima uvjet teorema nije ispunjen.

Zadatak 26 Ispitaj moze li se krivulja

C . . .

{x2 + y2 + z2 = 4a2

(x− a)2 + y2 = a2

(loaklno) parametrizirati, te ako moze odredi njenu parametarsku jednadzbu.


Dokaz. Ako oznacimo F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4a2 i G(x, y, z) = (x − a)2 + y2 − a2, onda zatocku T (x, y, z) vrijedi

gradF (T ) = 2(x, y, z) i gradG(T ) = 2(x− a, y, 0)

pa je

gradF (T )× gradG(T ) = 4

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx y z

x− a y 0

∣∣∣∣∣∣ = 4(−yz, z(x− a), ay).

Dakle, uvjet gradF (T ) × gradG(T ) = 0 vrijedi samo za tocke T (x, 0, 0) i T (a, 0, z), pri cemu jex, z ∈ R. Od svih takvih tocaka jedino T (a, 0, 0) lezi na lemniskati, pa Teorem 25 osigurava da seC moze lokalno parametrizirati oko svake svoje tocke osim oko tocke T (a, 0, 0). Me�utim, moze sepokazati da C ima cak globalnu parametrizaciju

r(t) =

(a+ a cos t, a sin t, 2a sin

t

2

), t ∈ [−2π, 2π] .

Ova krivulja se naziva Vivianijeva krivulja ili jošVivianijevi prozori, a prikazana je na Slici 2.10.

a) b)

Slika 2.10: Krivulja: a) lemniskata, b) Vivianijevi prozori.

2.2 Frenetov trobrid

Definicija 27 Neka je r : I → R3 prostorna krivulja regularna u t ∈ I. Vektor

t(t) =r(t)

|r(t)|

naziva se vektorom tangente krivulje r.

2.2. FRENETOV TROBRID 17

Dakle, upravo definirani vektor tangente t(t) krivulje r nam daje tangencijalni smjer krivulje utocki t. Sada se postavlja pitanje kako dobiti smjer zakrivljavanja krivulje r u tocki t. Uocimo daza vektor t(t) vrijedi

t(t) = lim∆t→0

t(t+ ∆t)− t(t)

∆t= lim

∆t→0

∆t(t)

∆t,

pri cemu vektor ∆t(t) daje smjer zakrivljenosti nakon pomaka ∆t (vidi Sliku 2.11). Dakle, vektort(t) daje smjer zakrivljenosti krivulje u samoj tocki t (tj. nakon infinitezimalnog pomaka ∆t).Neformalnije mozemo reci da smjer zakrivljavanja krivulje mjerimo promjenom tangencijalnog vek-tora. Me�utim, kod odre�ivanja smjera zakrivljavanja krivulje mjerenjem promjene tangencijalnogvektora, jako je vazno da tangencijalni vektori stalno budu iste duljine. Naime, ako bi tangencijalnivektor mijenjao duljinu, onda bi na vektor ∆t(t) osim zakrivljenosti utjecala i komponenta ubrzanja(vidi Sliku 2.6). Upravo iz tog razloga razmatramo promjenu tangencijalnog vektora t(t) koji je podefiniciji jedinicni (tj. normirani vektor brzine), a ne promjenu samog vektora brzine r(t) koji, iakoje tako�er tangencijalan na krivulju, nije uvijek iste duljine.

Slika 2.11: Geometrijska interpretacija vektora ∆t(t).

Definicija 28 Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I. Vektori

n(t) =t(t)∣∣t(t)

∣∣ i b(t) = t(t)× n(t)

nazivaju se redom vektorom glavne normale i vektorom binormale krivulje r u tocki t ∈ I.

Definicija 29 Ure�ena trojka (t(t),n(t),b(t)) zove se Frenetov trobrid krivulje r u tocki t ∈ I.

Frenetov trobrid ilustriran je Slikom 2.12. Izvedimo sada neka osnovna svojstva Frenetovogtrobrida vektora.

Propozicija 30 Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I. Frenetov trobrid(t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.


Slika 2.12: Frenetov trobrid vektora.

Dokaz. Potrebno je pokazati da su vektori Frenetovog trobrida jedinicne duljine, te da su me�u-sobno okomiti. Uocimo naprije da su vektori t(t) i n(t) po definiciji jedinicne duljine, te da sume�usobno okomiti jer vrijedi

|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 /d

dt

⇒ t(t) · t(t) + t(t) · t(t) = 0

⇒ 2t(t) · t(t) = 0

⇒ t(t)⊥t(t)

⇒{

n(t) =t(t)∣∣t(t)

∣∣}⇒ n(t)⊥t(t).

Nadalje, za treci vektor b(t) = t(t)×n(t) vrijedi da je jedinicne duljine jer po svojstvima vektorskogprodukta vrijedi

|b(t)| = |t(t)| |n(t)| sin](t(t),n(t)) = |t(t)| |n(t)| sin π2

= 1,

te da je okomit na vektore t(t) i n(t) jer je definiran kao njihov vektorski produkt.

Propozicija 31 Frenetov trobrid ne ovisi o reparametrizaciji.

Dokaz. Neka je r : I → Rn parametrizirana krivulja i r : J → Rn njena reparametrizacija. Obziromda je r reparametrizacija krivulje r, to znaci da postoji obostrano glatka bijekcija ϕ : J → I takvada je r(t) = r(ϕ(t)) i ϕ′(t) > 0 za svaki t ∈ J. Vrijedi dakle

t(t) =˙r(t)∣∣∣ ˙r(t)∣∣∣ =

r(ϕ(t))ϕ′(t)

|r(ϕ(t))ϕ′(t)| =r(ϕ(t))ϕ′(t)

|r(ϕ(t))|ϕ′(t) =r(ϕ(t))

|r(ϕ(t))| = t(ϕ(t)),

n(t) =˙t(t)∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣ =

t(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣t(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣ =

t(ϕ(t))ϕ′(t)∣∣t(ϕ(t))∣∣ϕ′(t) =

t(ϕ(t))∣∣t(ϕ(t))∣∣ = n(ϕ(t)),

b(t) = t(t)× n(t) = t(ϕ(t))× n(ϕ(t)) = b(ϕ(t)),


cime je dokazana tvrdnja.Frenetov trobrid vektora razapinje tri pravca i tri ravnine, uvedimo sada nazive za te pravce i

ravnine.

Definicija 32 Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I. Pravac kroz tocku r(t)razapet vektorom:

1. t(t) naziva se tangenta,

2. n(t) naziva se glavna normala,

3. b(t) naziva se binormala.

Ure�ena trojka tangente, glavne normale i binormale naziva se Frenetov trobrid pravaca.

Definicija 33 Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I. Ravnina kroz tockur(t) razapeta vektorima:

1. t(t) i n(t) naziva se oskulacijska ravnina u tocki t ∈ I,

2. t(t) i b(t) naziva se rektifikacijska ravnina u tocki t ∈ I,

3. n(t) i b(t) naziva se normalna ravnina u tocki t ∈ I.

Ure�ena trojka oskulacijske, rektifikacijske i normalne ravnine naziva se Frenetov trobrid ravnina.

Iz cinjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je b(t) vektor normale oskulacijskeravnine, n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine i t(t) vektor normale normalne ravnine. Frene-tov trobrid pravaca i ravnina ilustriran je Slikom 2.13.

a) b)

Slika 2.13: Frenetov trobrid: a) pravaca, b) ravnina.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja koja lezi u nekoj ravnini π. Obzirom da jevektor t(t) tangencijalan na krivulju, slijedi da je t(t) sadrzan u ravnini π. No, onda je i vektor∆t(t) = t(t + ∆t) − t(t) tako�er sadrzan u ravnini π jer je linearna kombinacija tangencijalnih


vektora. Konacno, slijedi da je i vektor glavne normale n(t) tako�er sadrzan u ravnini π jer sedobiva kao limes vektora ∆t(t) koji leze u ravnini π, tj. vrijedi

n(t)‖= t(t) = lim

∆t→0

t(t+ ∆t)− t(t)

∆t= lim

∆t→0

∆t(t)

∆t.

Sada iz cinjenice da su t(t) i n(t) sadrzani u π za svaki t ∈ I, slijedi da je π oskulacijska ravninakrivulje r u svakoj njenoj tocki. Ovime smo dokazali sljedecu tvrdnju.

Propozicija 34 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja. Ako krivulja r lezi u nekojravnini π, onda je π oskulacijska ravnina svake njene tocke.

Nadalje, uocimo da iz t(t) = r(t)|r(t)| slijedi

t(t) =1

|r(t)|2(

r(t) |r(t)| − r(t) · ddt

(|r(t)|))

=

=

{d

dt(|r(t)|) =

d

dt(√

r(t)r(t)) =r(t) · r(t) + r(t) · r(t)

2√

r(t)r(t)=

r(t) · r(t)

|r(t)|

}=

=1

|r(t)|2(

r(t) |r(t)| − r(t) · r(t)r(t)

|r(t)|

)=

1

|r(t)| r(t)− r(t)r(t)

|r(t)|3r(t),

pa je

r(t) = |r(t)| t(t) +r(t)r(t)

|r(t)|2r(t) = |r(t)|

∣∣t(t)∣∣︸︷︷︸

>0

· n(t) +r(t)r(t)

|r(t)| · t(t),

r(t) · n(t) = {t(t)⊥n(t)} = |r(t)|∣∣t(t)

∣∣︸︷︷︸>0

.

Iz ovoga slijedi da je vektor r(t) sadrzan u ravnini razapetoj vektorima t(t) i n(t), a to je oskulacijskaravnina. Štoviše, iz |r(t)|

∣∣t(t)∣∣ > 0 slijedi da je kut ](r(t),n(t)) oštri. Polozaj vektora r(t) u odnosu

na krivulju ilustriran je Slikom 2.14. Ovime smo dokazali sljedecu tvrdnju.

Propozicija 35 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja. Vektor r(t) sadrzan je uoskulacijskoj ravnini krivulje r u tocki t ∈ I i zatvara oštri kut s vektorom n(t).

Konacno, vazno je podsjetiti se da za krivulju r : I → R3 parametriziranu prirodnim parametromvrijedi |r′(s)| = 1, te uociti da je r′(s)⊥r′′(s) jer vrijedi

r′(s) · r′(s) = |r′(s)|2 = 1⇒ r′(s) · r′′(s) + r′′(s) · r′(s) = 0⇒ r′(s) · r′′(s) = 0.

Sada smo konacno u mogucnosti izvesti formule za vektore Frenetovog trobrida koje ovise samoo r (i o derivacijama od r), a koje su time pogodnije za primjenu u rješavanju prakticnih problema.

Propozicija 36 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja parametrizirana prirodnimparametrom s. Tada vrijedi

t(s) = r′(s), n(s) =r′′(s)

|r′′(s)| i b(s) =r′(s)× r′′(s)

|r′′(s)| .


Slika 2.14: Polozaj vektora r(t) u odnosu na krivulju.

Dokaz. Obzirom da je r parametrizirana prirodnim parametrom, vrijedi |r′(s)| = 1, pa tvrdnjaslijedi iz definicije Frenetovog trobrida.

Propozicija 37 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja parametrizirana opcenitimparametrom t. Tada vrijedi

t(t) =r(t)

|r(t)| , n(t) =(r(t)× r(t))× r(t)

|(r(t)× r(t))× r(t)| i b(t) =r(t)× r(t)

|r(t)× r(t)| .

Dokaz. Tvrdnja za t(t) vrijedi po definiciji vektora tangente. Obzirom da vektori r(t) i r(t) lezeu oskulacijskoj ravnini, slijedi da je vektor r(t)× r(t) kolinearan s b(t) = t(t)× n(t), a obzirom daje kut ](r(t),n(t)) oštri slijedi da vektori r(t) × r(t) i b(t) = t(t) × n(t) imaju istu orijentaciju.Dakle, vrijedi

b(t) =r(t)× r(t)

|r(t)× r(t)| .

Sada po definiciji Frenetovog trobrida vrijedi

n(t) = b(t)× t(t) =r(t)× r(t)

|r(t)× r(t)| ×r(t)

|r(t)| =(r(t)× r(t))× r(t)

|r(t)× r(t)| |r(t)| =

=

{|(r(t)× r(t))× r(t)| = |r(t)× r(t)| |r(t)| sin π

2 == |r(t)× r(t)| |r(t)|

}=

=(r(t)× r(t))× r(t)

|(r(t)× r(t))× r(t)| .

Objasnimo geometrijski razliku izme�u formula za Frenetov trobrid krivulje parametriziraneprirodnim parametrom s i opcenitim parametrom t. Uocimo da drugi vektor Frenetovog trobrida -vektor glavne normale n(t) - po definiciji mora lezati u oskulacijskoj ravnini, te biti okomit na vektortangente. Kod parametrizacije prirodnim parametrom vektor r′′(s) lezi u oskulacijskoj ravnini iokomit je na tangentu, pa moze zadavati smjer vektora n(s) (tj. vrijedi n(s) = r′′(s)

|r′′(s)| ). Kodparametrizacije opcenitim parametrom vektor r(t) tako�er lezi u oskulacijskoj ravnini, ali ne mora


biti okomit na tangentu, pa ne moze zadavati smjer vektora n(t) (tj. ne moze biti n(t) = r(t)|r(t)| ).

Nego u tom slucaju iskoristimo cinjenicu da r(t) lezi u oskulacijskoj ravnini kao i r(t), pa najprijekrenemo na izracunavanje vektora b(t) kao njihovog vektorskog produkta. A tek onda vektor n(t)dobivamo kao vektorski produkt binormale i tangente.

Konacno, uocimo da smo kod definiranja vektora tangente zahtijevali da krivulja mora bitiregularna, dok smo kod definiranja vektora glavne normale i binormale zahtijevali da krivulja morabiti biregularna. Zašto je uvjet regularnosti, odnosno biregularnosti potreban kod definiranja tihvektora najbolje se vidi iz upravo izvedenih formula za te vektore. U slucaju krivulje koja nijeregularna u promatranoj tocki t vrijedi r(t) = 0, što znaci da bi formula za vektor tangente imalanulu u nazivniku iz cega slijedi da definicija nije dobra. Tako�er, ako krivulja nije biregularna upromatranoj tocki t, onda bi vrijedilo bi r(t)× r(t) = 0, a što bi znacilo da formule za vektor glavnenormale i binormale imaju u nazivniku nulu, a što bi opet znacilo da definicija nije dobra.

2.3 Fleksija i torzija

Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Uocimo da vektor ∆t(t) daje ne samo smjerzakrivljenosti, nego i intenzitet. Odnosno, što je krivulja zakrivljenija, to je ∆t(t) duzi (vidi Sliku2.15). Naravno, da bi mjerenje bilo valjano, potrebno je da duljina luka ∆s nakon koje se mjerizakrivljenost bude jednaka (vidi Sliku 2.16), jer se nakon duljeg luka∆s krivulja stigne više zakriviti,pa postoji mogucnosti da vektor ∆t(t) bude duzi, iako je u samoj okolini tocke t zakrivljenostkrivulje r manja. Da bismo izbjegli tu pogrešku, potrebno je vektor ∆t(t) podijeliti prije�enimputem ∆s. Dakle, uz oznaku v(t) = |r(t)| za skalarnu brzinu, zakrivljenost dobivamo formulom

lim∆s→0

∆t(t)

∆s= lim

∆t→0

∆t(t)∆t

∆s(t)∆t

=t(t)

s′(t)=

t(t)

v(t).

Ovime smo pokazali geometrijsku motivaciju za sljedecu definiciju.

a) b)

Slika 2.15: Zakrivljenost krivulje i vektor ∆t(t).

2.3. FLEKSIJA I TORZIJA 23

a) b)

Slika 2.16: Ilustracija zašto vektor∆t(t) ne mjeri zakrivljenost dobro ako se ne mjeri nakon jednakogprije�enog puta ∆s.

Definicija 38 Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarna brzina.Funkcija κ : I → R definirana pravilom

κ(t) =

∣∣t(t)∣∣

v(t)

naziva se fleksija ili zakrivljenost krivulje r.

Uocimo da je zakrivljenost u svakoj tocki krivulje pozitivna po definiciji. Neformalnije mozemoreci da fleksija mjeri zakretanje vektora tangente.

Definicija 39 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i v(t) = |r(t)| njena skalarnabrzina. Funkcija τ : I → R definirana pravilom

τ(t) = −n(t) · b(t)

v(t)

naziva se torzija ili sukanje krivulje r.

Uocimo da, za razliku od fleksije, torzija moze biti i pozitivna i negativna. Što se tice geometri-jske interpretacije torzije, uocimo najprije da je vektor b(t) kolinearan s vektorom n(t). Naime, izb(t) = t(t)× n(t) dobivamo

b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) ={t(t)‖n(t)

}= t(t)× n(t) = {n(t)⊥n(t)} = λn(t).

Sada uz oznaku ϕ = ](n(t), b(t)) imamo da je

n(t) · b(t) = |n(t)|∣∣∣b(t)

∣∣∣ cosϕ = {ϕ = 0 ili π} = ±∣∣∣b(t)

∣∣∣ ,pa slijedi

|τ(t)| =∣∣∣∣∣−n(t) · b(t)

v(t)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣n(t) · b(t)∣∣∣

v(t)=

∣∣∣b(t)∣∣∣

v(t),


što znaci da torzija mjeri zakretanje vektora binormale na slican nacin kao što fleksija mjeri za-kretanje tangente (vidi Sliku 2.17). Obzirom da je vektor binormale vektor normale oskulacijskeravnine, mozemo reci i da torzija po apsolutnoj vrijednosti mjeri zakretanje oskulacijske ravnine.Dakle, fleksija mjeri zakretanje tangente, a torzija mjeri zakretanje oskulacijske ravnine. Malo ne-formalnije izreceno, mozemo zakljuciti da fleksija mjeri odstupanje krivulje od pravca, dok torzijamjeri odstupanje krivulje od ravnine.

Slika 2.17: Torzija krivulje i vektor ∆b(t).

Izvedimo sada neka osnovna svojstva fleksije i torzije.

Propozicija 40 Fleksija i torzija ne ovise o reparametrizaciji.

Dokaz. Neka je r reparametrizacija od r. Po definiciji reparametrizacije to znaci da je r(t) = r(ϕ(t))i ϕ(t) > 0. Tada imamo

r(t) = r(ϕ(t)) ⇒ ˙r(t) = r(ϕ(t))ϕ(t)⇒∣∣∣ ˙r(t)

∣∣∣ = |r(ϕ(t))| ϕ(t)⇒

⇒ v(t) = v(ϕ(t))ϕ(t)

Tako�er, znamo da Frenetov trobrid ne ovisi o reparametrizaciji pa vrijedi

t(t) = t(ϕ(t)) ⇒ ˙t(t) = t(ϕ(t))ϕ(t),

b(t) = b(ϕ(t)) ⇒ ˙b(t) = b(ϕ(t))ϕ(t).

Sada je

κ(t) =

∣∣∣ ˙t(t)∣∣∣

v(t)=

∣∣t(ϕ(t))∣∣ ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)=

∣∣t(ϕ(t))∣∣

v(ϕ(t))= κ(ϕ(t)),

τ(t) = − n(t) · ˙b(t)

v(t)= −n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))ϕ(t)

v(ϕ(t))ϕ(t)= −n(ϕ(t)) · b(ϕ(t))

v(ϕ(t))= τ(ϕ(t)).

Tako�er, korisno je izvesti formule za fleksiju i torziju koje ovise samo o r (i njenim derivacijama),pa su time prakticnije za upotrebu u praksi.

2.3. FLEKSIJA I TORZIJA 25

Propozicija 41 Neka je r : I → R3 (bi)regularna prostorna krivulja parametrizirana prirodnimparametrom s. Tada je

κ(s) = |r′′(s)| , τ(s) = −n(s) · b′(s).

Dokaz. Slijedi iz cinjenice da je v(s) = v(t) = 1 i t′(s) = r′′(s).

Propozicija 42 Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja parametrizirana opcenitim para-metrom. Tada vrijedi

κ(t) =|r(t)× r(t)||r(t)|3

.

Dokaz. Obzirom da je

t(t) =r(t)

|r(t)| =r(t)

v(t),

dobivamo

r(t) = v(t)t(t),

r(t) = v′(t)t(t) + v(t)t(t) = v′(t)t(t) + v(t)∣∣t(t)

∣∣n(t) =

= v′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t).

Sada je

r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)(t(t)× n(t)) = v3(t)κ(t)b(t),

|r(t)× r(t)| = v3(t)κ(t) |b(t)| = v3(t)κ(t).

Dobivamo

κ(t) =|r(t)× r(t)|

v3(t)=|r(t)× r(t)||r(t)|3

.

Propozicija 43 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja parametrizirana opcenitimparametrom. Tada vrijedi

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)

|r(t)× r(t)|2.

Dokaz. Imali smo vec u dokazu formule za fleksiju

r(t) = v′(t)t(t) + v2(t)κ(t)n(t),

r(t)× r(t) = v3(t)κ(t)b(t).

Sada je...r (t) = v′′(t)t(t) + v′(t)t(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t) =

= v′′(t)t(t) + v′(t)∣∣t(t)

∣∣n(t) + (v2(t)κ(t))′n(t) + v2(t)κ(t)n(t),

pa slijedi

(r(t)× r(t)) · ...r (t) = v5(t)κ2(t)b(t)n(t) = {b(t)n(t) = 0/′} = −v5(t)κ2(t)b(t)n(t) =

= v6(t)κ2(t)τ(t) = |r(t)× r(t)|2 τ(t).


Izlucivanjem dobivamo

τ(t) =(r(t)× r(t)) · ...r (t)

|r(t)× r(t)|2.

Pokazat cemo sada kako se zakrivljenost krivulje u okolini neke tocke t modelira zakrivljenošcukruznice koja najbolje aproksimira krivulju u okolini promatrane tocke t. Najprije, trebamo raz-motriti kakva je zakrivljenost kruznice.

Propozicija 44 Zakrivljenost kruznice je konstantna i obrnuto je proporcionalna radijusu kruznice.

Dokaz. Neka je r : [0, 2π]→ R3 kruznica definirana pravilom r(t) = s + a cos t · r1 + a sin t · r2, pricemu je s ∈ R3 vektor središta kruznice, r1, r2 ∈ R3 ortonormirani vektori koji razapinju ravninu ukojoj kruznica lezi, te a > 0 radijus kruznice. Uocimo da vrijedi

r(t) = −a sin t · r1 + a cos t · r2 i r(t) = −a cos t · r1 − a sin t · r2.

Sada imamo

r(t)× r(t) = a2 sin2 t · (r1 × r2)− a2 cos2 t · (r2 × r1) = a2 · (r1 × r2),

|r(t)× r(t)| = a2 · |r1 × r2| = a2,

|r(t)|2 = r(t) · r(t) = a2 sin t |r1|2 − 2a2 sin t cos t(r1 · r2) + a2 cos2 t · |r2|2 = a2.

Zakljucujemo da je

κ(t) =|r(t)× r(t)||r(t)|3

=a2

a3=

1

a.

Definicija 45 Neka je r : I → R3 regularna prostorna krivulja. Ako je κ(t) 6= 0 onda se ρ(t) =1/κ(t) naziva radijusom zakrivljenosti, a s(t) = r(t) + ρ(t)n(t) se naziva središtem zakrivljenostikrivulje r u tocki t ∈ I.

Uocimo da središte zakrivljenosti krivulje lezi u oskulacijskoj ravnini (vidi Sliku 2.18), te da jeod krivulje udaljeno za radijus ρ(t).

Definicija 46 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i t ∈ I proizvoljan. Neka je ρ(t)radijus zakrivljenosti, a s(t) središte zakrivljenosti krivulje r u tocki t. Kruznica sa središtem u s(t),razapeta vektorima t(t) i n(t), radijusa ρ(t) naziva se oskulacijska kruznica krivulje r u tocki t.

Napišimo jednadzbu oskulacijske kruznice za biregularnu krivulju r : I → R3 u nekoj njenojtocki t ∈ I. Oskulacijska kruznica je krivulja rt : [0, π]→ R3 definirana pravilom

rt(p) = s(t)− ρ(t) cos p · n(t) + ρ(t) sin p · t(t).

Uocimo da vrijedirt(p) = ρ(t) sin p · n(t) + ρ(t) cos p · t(t),

2.4. FRENETOVE FORMULE 27

Slika 2.18: Središte zakrivljenosti krivulje i oskulacijska ravnina.

pa je

rt(0) = s(t)− ρ(t) · n(t) = r(t) + ρ(t) · n(t)− ρ(t) · n(t) = r(t),

rt(0) = ρ(0) · t(t) =1

κ(t)t(t).

Zakljucujemo da oskulacijska kruznica rt:

1. lezi u oskulacijskoj ravnini krivulje r u tocki t, jer joj središte s(t) lezi u oskulacijskoj ravnini,a razapeta je vektorima t(t) i n(t) koji razapinju oskulacijsku ravninu;

2. prolazi tockom r(t) krivulje, jer je rt(0) = r(t),

3. tangira krivulju u tocki r(t), jer je rt(0) = 1κ(t)t(t),

4. ima u tocki r(t) istu zakrivljenost kao i krivulja r, jer je κt(t) = 1ρ(t) = κ(t).

Dakle, zakrivljenost krivulje r u tocki t aproksimirana je zakrivljenošcu oskulacijske kruznice(vidi Sliku 2.19).

2.4 Frenetove formule

Vektori Frenetovog trobrida t(t),n(t),b(t) su ortonormirani, pa je skup {t(t),n(t),b(t)} baza pros-tora V 3. To znaci da se svaki vektor prostora, pa tako i vektori t(t), n(t) i b(t), mogu prikazati kaolinearna kombinacija vektora t(t),n(t) i b(t). Formule koje daju prikaz vektora t(t), n(t) i b(t) ubazi {t(t),n(t),b(t)} zovu se Frenetove formule.

Teorem 47 (Frenetove formule) Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja i v(t) =|r(t)| njena skalarna brzina. Tada vrijedi

t(t) = v(t)κ(t)n(t), n(t) = −v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t), b(t) = −v(t)τ(t)n(t).


Slika 2.19: Oskulacijska kruznica.

Dokaz. Dokazimo najprije tvrdnju za t(t). Uocimo da vrijedi

n(t) =t(t)∣∣t(t)

∣∣ ⇒ t(t) =∣∣t(t)

∣∣n(t) =

{κ(t) =

∣∣t(t)∣∣

v(t)

}= v(t)κ(t)n(t).

Dokazimo sada tvrdnju za n(t). Obzirom da je {t(t),n(t),b(t)} baza, moraju postojati α, β, γ takvida je

n(t) = αt(t) + βn(t) + γb(t).

Mnozenjem ove jednakosti skalarno sa t(t), n(t) i b(t) redom, dobivamo da je

α = n(t) · t(t) = {n(t) · t(t) = 0/ ddt} = −n(t) · t(t) = − t(t)∣∣t(t)∣∣ · t(t) = −

∣∣t(t)∣∣ =

= −v(t)κ(t),

β = n(t) · n(t) = {n(t) · n(t) = 1/ ddt} = 0,

γ = n(t) · b(t) = {n(t) · b(t) = 0/ ddt} = −n(t) · b(t) =

{τ(t) = −n(t) · b(t)

v(t)

}=

= v(t)τ(t).

Dokazimo konacno i tvrdnju za b(t). Uocimo da iz b(t) = t(t)× n(t) slijedi

b(t) = t(t)× n(t) + t(t)× n(t) = {t(t)‖n(t)} = t(t)× n(t) =

= t(t)× (− v(t)κ(t)t(t) + v(t)τ(t)b(t)) =

= v(t)τ(t) · (t(t)× b(t)) = −v(t)τ(t)n(t).

Uocimo da se Frenetove formule mogu matricno zapisati kao t(t)n(t)

b(t)

=

0 v(t)κ(t) 0−v(t)κ(t) 0 v(t)τ(t)

0 −v(t)τ(t) 0

t(t)n(t)b(t)

.

2.5. FUNDAMENTALNI TEOREM TEORIJE KRIVULJA 29

2.5 Fundamentalni teorem teorije krivulja

U ovom poglavlju cemo najprije za neke jednostavne klase krivulja (pravci, kruznice, ravninskekrivulje, kruzne cilindricne zavojnice, opce cilindricne zavojnice) pokazati da se mogu rekonstriuratiiz fleksije i torzije do na polozaj u prostoru, a zatim cemo poglavlje zakljuciti fundamentalnimteoremom teorije krivulja koji kaze da se to moze napraviti za svaku krivulju.

2.5.1 Neke posebne krivulje

Pokazimo da su pravac, ravninska krivulja, kruzna cilindricna zavojnica, te opca cilindricna zavo-jnica odre�eni do na polozaj u prostoru svojom fleksijom i torzijom.

Teorem 48 Neka je r : I → R3 regularna krivulja. Krivulja r je pravac ili dio pravca ako i samoako je κ(t) = 0 za svaki t ∈ I.

Dokaz. Pretpostavimo najprije da je r pravac. To znaci da postoje konstantni vektori a,b ∈R3 takvi da je r(t) = a + tb. Sada se lako izracuna r(t) = b, r(t) = 0, pa je ocito κ = 0.Pretpostavimo sada da je κ = 0. Potrebno je pokazati da je tada krivulja r pravac. Obzirom daje krivulja r regularna, mozemo smatrati da je parametrizirana prirodnim parametrom. Tada izκ(s) = |r′′(s)| = 0, slijedi da je r′′(s) = 0, iz cega integriranjem slijedi da je r′(s) = b i r(s) = a+sb,pri cemu su vektori a,b ∈ R3 konstantni. Dakle, r je pravac ili dio pravca.

Teorem 49 Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r lezi u ravnini ako i samo ako jeτ(t) = 0 za svaki t ∈ I.

Dokaz. Obzirom da je r biregularna krivulja, bez smanjenja opcenitosti mozemo smatrati da jeparametrizirana prirodnim parametrom.Neka je r ravninska krivulja. Zelimo dokazati da je tada τ(s) = 0 za svaki s ∈ I. Obzirom

da je r ravninska krivulja, to znaci da lezi u nekoj ravnini π. Neka je ravnina π odre�ena tockomp ∈ R3 kojom prolazi i vektorom normale q ∈ R3. To znaci da ravnina π ima vektorsku jednadzbu(r− p) · q = 0. Obzirom da krivulja lezi u ravnini, slijedi da je (r(s)−p) · q = 0 za svaki s ∈ I.Deriviranjem slijedi r′(s) · q = 0 i r′′(s) · q = 0, pa je vektor b(s) kolinearan vektoru q. Dakle

b(s) = ± q

|q| .

Uocimo da b(s) ne ovisi o s, nego je konstantan, pa je b′(s) = 0. Iz toga slijedi da je τ(s) =−n(s) · b′(s) = 0, pa je tvrdnja dokazana.Neka je r krivulja sa svojstvom τ(s) = 0 za svaki s ∈ I. Zelimo pokazati da onda krivulja

r mora biti ravninska. Imamo b′(s) = −τ(s)n(s) = 0, pa vektor b(s) mora biti konstantan, tj.b(s) = b ∈ R3 za svaki s ∈ I. Promotrimo funkciju

f(s) = (r(s)− r(s0)) · b.

Zakljucujemo da je f ′(s) = r′(s) · b = t(s) · b = 0, pa funkcija f mora biti konstantna. Kako jef(s0) = 0, slijedi da je f(s) = 0 za svaki s ∈ I. Dakle, vrijedi

(r(s)− r(s0)) · b = 0

za svaki s ∈ I, pa krivulja r ocito lezi u ravnini koja prolazi tockom r(s0), te ima vektor normaleb. Obzirom da je b vektor binormale svake tocke krivulje r, slijedi da je ta ravnina oskulacijskaravnina svake tocke na krivulji r.


Teorem 50 Neka je r : I → R3 biregularna krivulja. Krivulja r je kruznica ili dio kruznice ako isamo ako je κ(t) = c i τ(t) = 0 za svaki t ∈ I, pri cemu je c 6= 0 konstanta.

Dokaz. Neka je r kruznica. Zelimo pokazati da je tada κ 6= 0 konstanta i τ = 0. Pokazali smou Propoziciji 44 da je zakrivuljenost kruznice r obrnuto proporcionalna radijusu, što znaci da jekonstanta razlicita od nule. Da je torzija jednaka nuli, slijedi iz cinjenice da je kruznica ravninskakrivulja i Teorema 49. Time je dokazan jedan smjer ekvivalencije.Neka je sada r krivulja takva da je κ 6= 0 konstantna i τ = 0. Zelimo pokazati da krivulja r tada

mora biti kruznica. Bez smanjenja opcenitosti mozemo smatrati da je krivulja r parametriziranaprirodnim parametrom. Definiramo a(s) = r(s) + n(s)/κ. Vrijedi

a′(s) = r′(s) + n′(s)/κ = t(s) + (−κt(s) + τb(s)) /κ = 0.

To znaci da je vektor a(s) konstantan, pa mozemo pisati a(s) = s ∈ R3. Dakle,

|r(s)− s| = |r(s)− a(s)| = |r(s)− r(s)− n(s)/κ| = |n(s)/κ| = 1/κ.

Slijedi da su sve tocke r(s) krivulje jednako udaljene od fiksne tocke s. To znaci da krivulja r lezina sferi sa središtem u s radijusa 1/κ. No, obzirom da je τ = 0, slijedi da krivulja r mora bitiravninska, pa r mora biti kruznica ili dio kruznice (presjek ravnine i sfere).

Teorem 51 Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja. Krivulja r je kruzna cilin-dricna zavojnica ili njen dio ako i samo ako je κ(t) = c1 i τ(t) = c2 za svaki t ∈ I, pri cemu su c1i c2 konstante razlicite od nula.

Dokaz. Ostavljamo bez dokaza koji se moze pronaci u literaturi.

Definicija 52 Za krivulju r : I → R3 kazemo da je opca cilindricna zavojnica ako postoji vektora ∈ R3 (a 6= 0) takav da vektori t(t) i a zatvaraju konstantan kut.

Ako je r opca cilindricna zavojnica, uocimo da iz cinjenice da su cos](t(t),a) i |a| konstantnislijedi

t(t) · a = |t(t)| |a| cos](t(t),a) = const.

Pogledajmo koje je geometrijsko znacenje opce cilindricne zavojnice. Ako je r opca cilindricnazavojnica, onda kroz svaku tocku krivulje r prolazi tocno jedan pravac kojemu je a vektor smjera.Ti pravci tvore cilindricnu plohu na kojoj lezi krivulja r, te su ujedno izvodnice te cilindricne plohe,a krivulja r ih sijece pod konstantnim kutem (vidi Sliku 2.20). Dakle, neformalnije se moze reci daje opca cilindricna zavojnica svaka krivulja koja lezi na cilindricnoj plohi, te sijece izvodnice te plohepod konstantnim kutem. Kazemo da je opca cilindricna zavojnica izogonalna trajektorija izvodnicacilindricne plohe. Posebno, ako opca cilindricna zavojnica sijece izvodnice cilindricne plohe podpravim kutem, onda je nazivamo ortogonalnom trajektorijom.

Primjer 53 Kruzna cilindricna zavojnica definirana pravilom r(t) = s+a cos t·r1+a sin t·r2+bt·r3,pri cemu su a, b ∈ R skalari, s ∈ R3 vektor, te r1, r2, r3 ∈ R3 ortonormirani vektori, je opcacilindricna zavojnica.


Slika 2.20: Opca cilindricna zavojnica.

Dokaz. Ako sa ϕ oznacimo kut izme�u vektora t(t) i r3, onda je dovoljno pokazati da je

ϕ = ](t(t), r3) = ](r(t), r3) = const.

Izr(t) = −a sin t · r1 + a cos t · r2 + b · r3

slijedi da je

r(t) · r3 = b(r3 · r3) = b |r3|2 = b,

|r(t)| =√a2 sin2 t+ a2 cos2 t+ b2 =

√a2 + b2,

|r3| = 1,

pa imamo

cosϕ =r(t) · r3

|r(t)| |r3|=

b√a2 + b2

= const

cime je dokazana tvrdnja.Sada cemo pokazati da je i opca cilindricna zavojnica odre�ena fleksijom i torzijom.

Teorem 54 Neka je r : I → R3 biregularna parametrizirana krivulja. Krivulja r je opca cilindricnazavojnica ako i samo ako je τ(t)/κ(t) = c za svaki t ∈ I, pri cemu je c 6= 0 konstanta.

Dokaz. Bez smanjenja opcenitosti mozemo smatrati da je krivulja r parametrizirana prirodnimparametrom.Neka je r opca cilindricna zavojnica. Zelimo pokazati da je tada τ/κ konstanta. Obzirom da je

r opca cilindricna zavojnica, slijedi da postoji vektor a ∈ R3 takav da je produkt t(s) ·a konstantan.Sada imamo

−κ(s)t(s) + τ(s)b(s) = n′(s)⇒ −κ(s)t(s) · a + τ(s)b(s) · a = n′(s) · a.

Zelimo pokazati da je b(s) · a konstanta i n′(s) · a nula za svaki s ∈ I. U tu svrhu, uocimo da izt(s) · a = const deriviranjem slijedi

t′(s) · a = 0⇒ κ(s)n(s) · a = 0⇒ n(s) · a = 0.


Sada iz n(s) · a = 0 s jedne strane upotrebom trece Frenetove formule dobivamo

− 1

τ(s)b′(s) · a = 0⇒ b′(s) · a = 0⇒ const.,

a s druge strane deriviranjem jednakosti n(s) · a = 0 dobivamo

n′(s) · a = 0.

Sada vrijedi

−κ(s)t(s) · a + τ(s)b(s) · a = n′(s) · a⇒ τ(s)

κ(s)=

t(s) · ab(s) · a = const

cime je dokazan ovaj smjer ekvivalencije.Neka je sada r krivulja sa svojstvom da je τ/κ konstanta. Zelimo dokazati da je tada krivulja

r opca cilindricna zavojnica, tj. da postoji vektor a ∈ R3 takav da je produkt t(s) · a konstantan.Iz Frenetovih formula za t′(s) i b′(s) dobivamo

1

κ(s)t′(s) +

1

τ(s)b′(s) = 0⇒ τ(s)

κ(s)t′(s) + b′(s) = 0.

Obzirom da je τ(s)κ(s) konstanta, integriranjem slijedi da je vektor τ(s)

κ(s)t(s) + b(s) konstantan, pa gamozemo oznaciti sa a. Sada je

t(s) · a = t(s) · ( τ(s)

κ(s)t(s) + b(s)) =

τ(s)

κ(s)= const

iz cega slijedi da je r opca cilindricna zavojnica.

2.5.2 Opcenita krivulja

Dosad smo fleksijom i torzijom okarakterizirali pravac, ravninsku krivulju, kruznicu, kruznu cilin-dricnu zavojnicu i opcu cilindricnu zavojnicu. No, moze se pokazati da vrijedi i puno jaca tvrdnja -da je svaka krivulja jedinstveno odre�ena (do na polozaj u prostoru) fleksijom i torzijom. Da bismoprecizno izrekli taj teorem, potrebno je prvo definirati što znaci ovo ’do na polozaj u prostoru’.

Definicija 55 Preslikavanje f : R3 → R3 koje je kompozicija translacije i rotacije naziva seizometrija.

Preslikavanje prostora f : R3 → R3 ne mijenja udaljenost tocaka ako za svaki par tocakaT1, T2 ∈ R3 vrijedi

d(T1, T2) = d(f(T1), f(T2)).

Uocimo da ni translacija ni rotacija ne mijenjaju me�usobnu udaljenost tocaka, iz cega slijedi dani njihova kompozicija ne mijenja udaljenost me�u tockama, pa otud naziv ’izometrija’.

Definicija 56 Kazemo da su krivulje r1, r2 : I → R3 kongruentne ako postoji izometrija f : R3 →R3 takva da je f(r1(t)) = r2(t) za svaki t ∈ I.


Slika 2.21: Kongruentne krivulje.

Dakle, dvije krivulje su kongruentne ako se jedna iz druge mogu dobiti translacijom i rotacijom(vidi Sliku 2.21). Neformalnije se moze reci da smo samo uzeli krivulju r1(I), te je ’polozili’nadrugo mjesto u prostoru, i tako dobili krivulju r2(I). Moze se, dakle, reci da se krivulje r1(I) i r2(I)razlikuju ’do na polozaj u prostoru’. Sada mozemo iskazati fundamentalni teorem teorije krivulja.

Teorem 57 (Fundamentalni teorem teorije krivulja) 1. Neka su r1, r2 : I → R3 dvije reg-ularne prostorne krivulje. Ako krivulje r1 i r2 imaju istu fleksiju i torziju u svakoj tocki, ondasu one kongruentne.

2. Ako su κ, τ : I → R glatke funkcije, pri cemu je κ(t) > 0 za svaki t ∈ I, onda postoji krivuljar : I → R3 parametrizirana duljinom luka, takva da su κ i τ fleksija i torzija od r.

Dokaz. Dokaz je slozen, pa ga izostavljamo.Obzirom da je svaka prostorna krivulja odre�ena svojom fleksijom i torzijom do na polozaj u

prostoru uvodimo sljedecu definiciju.

Definicija 58 Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja parametrizirana prirodnim para-metrom s. Jednadzbe κ = κ(s) i τ = τ(s) nazivaju se prirodnim jednadzbama krivulje r.


Poglavlje 3

Plohe

3.1 Definicija plohe

3.1.1 Parametrizirane plohe

Definicija 59 Parametrizirana ploha u R3 je glatka funkcija r : U → R3 pri cemu je U ⊆ R2

podrucje u ravnini.

Definicija 60 Slika parametrizirane plohe r : U → R3 je skup r(U) ⊆ R3.

Geometrijska interpretacija pojmova parametrizirane plohe i njene slike prikazana je na Slici3.1.

Slika 3.1: Parametrizirana ploha i njena slika.

Plohu r : U → R3 zadajemo pomocu vektorske jednadzbe

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = x(u, v) · i + y(u, v) · j + z(u, v) · k,

ili pomocu parametarske jednadzbe

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

35

36 POGLAVLJE 3. PLOHE

Za derivacije prvog reda parametrizirane plohe r pišemo

∂r

∂u(u, v) = r′u(u, v) = (x′u(u, v), y′u(u, v), z′u(u, v)) ,

∂r

∂v(u, v) = r′v(u, v) = (x′v(u, v), y′v(u, v), z′v(u, v)) ,

dok za derivacije drugog reda pišemo

∂2r

du2(u, v) = r′′uu(u, v) = (x′′uu(u, v), y′′uu(u, v), z′′uu(u, v)) ,

∂2r

∂u∂v(u, v) = r′′uv(u, v) = (x′′uv(u, v), y′′uv(u, v), z′′uv(u, v)) ,

∂2r

∂v2(u, v) = r′′vv(u, v) = (x′′vv(u, v), y′′vv(u, v), z′′vv(u, v)) .

Definicija 61 Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha. Za konstantne u0 i v0, krivulja:

• ρ(u) = r(u, v0) naziva se u−krivulja plohe r,

• ρ(v) = r(u0, v) naziva se v−krivulja plohe r.

Za u−krivulje i v−krivulje kazemo još i da su koordinatne krivulje.

Geometrijska interpretacija koordinatnih krivulja prikazana je na Slici 3.2.

Slika 3.2: Koordinatne krivulje na plohi.

Sada cemo kao primjer navesti najcešce korištene parametrizacije nekih cesto korištenih ploha.

Primjer 62 Slika parametrizirane plohe:

1. zadane sar : [0, π]× [0, 2π]→ R3

r(u, v) = (sinu cos v, sinu sin v, cosu)

je sfera x2 + y2 + z2 = 1,

3.1. DEFINICIJA PLOHE 37

2. zadane sar : R× [0, 2π]→ R3

r(u, v) = (u cos v, u sin v, u)

je konus x2 + y2 = z2,

3. zadane sar : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3

r(u, v) =(u cos v, u sin v, u2

)je kruzni paraboloid z = x2 + y2,

4. zadane sar : R× [0, 2π]→ R3

r(u, v) = (cos v, sin v, u)

je kruzni cilindar x2 + y2 = 1.

Geometrijska ilustracija parametrizacija iz prethodnog primjera prikazana je na Slici 3.3.

Primjer 63 Neka su r0, s1, s2 ∈ R3, pri cemu su vektori s1, s2 ortonormirani vektori, te neka je πravnina razapeta vektorima s1, s2 koja prolazi vrhom vektora r0. Slika parametrizirane plohe:

1. zadane sar : R× R→ R3

r(u, v) = r0 + us1 + vs2

je ravnina π parametrizirana pravokutnim koordinatama,

2. zadane sar : [0,+∞〉 × [0, 2π]→ R3

r(u, v) = r0 + u cos v · s1 + u sin v · s2

je ravnina π parametrizirana polarnim koordinatama.

U slucaju parametrizacije ravnine pravokutnim koordinatama, mozemo zahtijevati da vektoris1, s2 budu samo nekolinearni, ali tada ce koordinatna mreza biti pravci koji se ne sijeku pod pravimkutem. Geometrijska ilustracija parametrizacije ravnine pravokutnim i polarnim koordinatamaprikazana je na Slici 3.4.Konacno, vrijedi se osvrnuti i na pitanje kako parametrizirati plohu koja nastaje rotacijom

krivulje oko jedne od osiju koordinatnog sustava.

Primjer 64 Neka je z = f(y) krivulja u yz koordinatnoj ravnini definirana na intervalu I. Slikaparametrizirane plohe:

1. zadane sar : I × [0, 2π]→ R3

r(u, v) = (u sin v, u cos v, f(u))

je ploha koja nastaje rotacijom krivulje z = f(y) oko osi z,


a)

b)

c)

d)

Slika 3.3: Parametrizacija: a) sfere, b) konusa, c) kruznog paraboloida, d) kruznog cilindra.


a)

b)

Slika 3.4: Parametrizacija ravnine: a) pravokutnim koordinatama, b) polarnim koordinatama.

2. zadane sar : I × [0, 2π]→ R3

r(u, v) = (f(u) sin v, u, f(u) cos v)

je ploha koja nastaje rotacijom krivulje z = f(y) oko osi y.

Geometrijska ilustracija parametriziranih krivulja iz prethodnog primjera prikazana je na Slici3.5.Podsjetimo se da se za plohu r : U → R3 krivulja ρ(u) = r(u,C) naziva u−krivulja plohe r, dok

se krivulja ρ(v) = r(C, v) naziva v−krivulja plohe r. Uocimo da je onda:

• r′u(u, v) tangencijalni vektor na u−krivulju u tocki (u, v),

• r′v(u, v) tangencijalni vektor na v−krivulju u tocki (u, v).

Tangencijalni veltori r′u(u, v) i r′v(u, v) nazivaju se koordinatni vektori parametrizirane plohe ru tocki (u, v). Uocimo sljedece: ako su vektori r′u(u, v) i r′v(u, v) nekolinearni vektori (tj. r′u(u, v)×r′v(u, v) 6= 0), onda se u tocki (u, v) moze postaviti tangencijalna ravnina na plohu. Koordinatnivektori i tangencijalna ravnina koju razapinju prikazani su na Slici 3.6.

Definicija 65 Kazemo da je ploha r : U → R3 regularna u tocki (u, v) ∈ U ako vrijedi r′u(u, v)×r′v(u, v) 6= 0, u suprotnom kazemo da je ploha r singularna u tocki (u, v) ∈ U. Kazemo da je plohar regularna ako je regularna u svakoj tocki (u, v) ∈ U.


a)

b)

Slika 3.5: Parametrizacija plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f(y) oko: a) osi z, b) osi y.

Obzirom da za krivulju r = (x, y, z) vrijedi

r′u × r′v =

∣∣∣∣∣∣i j kx′u y′u z′ux′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣ ,uvjet regularnosti r′u × r′v 6= 0 ekvivalentan je uvjetu da matrica[

x′u y′u z′ux′v y′v z′v

]ima puni rang (tj. rang 2).

Vazno je uociti da u regularnoj tocki (u, v) plohe sigurno mozemo postaviti tangencijalnuravninu na plohu, dok u singularnoj tocki (u, v) plohe mozda ne mozemo postaviti tangencijalnuravninu na plohu. Naime, singularitet moze biti svojstven parametrizaciji, pa odabirom neke drugeparametrizacije singularitet nestaje, ili moze biti svojstven samoj plohi (tj. slici plohe), pa ce svakaparametrizacija te plohe imati singularitet u toj tocki.

Primjer 66 Ispitaj regularnost standardne parametrizacije: a) sfere x2 + y2 + z2 = 1, b) konusax2 + y2 = z2.

Dokaz. a) Standardna parametrizacija sfere je

r(u, v) = (sinu cos v, sinu sin v, cosu) ,


Slika 3.6: Koordinatni vektori plohe i tangencijalna ravnina koju oni razapinju.

pa odredimo koordinatne vektore

r′u(u, v) = (cosu cos v, cosu sin v,− sinu) ,

r′v(u, v) = (− sinu sin v, sinu cos v, 0) .

Sada vrijedi

(r′u × r′v)(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k

cosu cos v cosu sin v − sinu− sinu sin v sinu cos v 0

∣∣∣∣∣∣ =

= sin2 u cos v · i− sin2 u sin v · j + cosu sinu · k.

Dakle, tocka (u, v) ∈ U ce biti singularna tocka sfere ako vrijedi

(r′u × r′v)(u, v) = 0⇔sin2 u cos v = 0sin2 u sin v = 0cosu sinu = 0

⇔ sinu = 0v ∈ [−π, π]

⇔ u = 0 ili π,v ∈ [−π, π] .

Zakljucujemo da sfera ima singularitete u svim tockama oblika (0, v) i (π, v) za v ∈ [−π, π] . Slikatakvih tocaka je:

r(0, v) = (0, 0, 1) - sjeverni pol,r(π, v) = (0, 0,−1) - juzni pol.

Dakle, standardna parametrizacija sfere ima singularitete u sjevernom i juznom polu, no ti singu-lariteti su ocito svojstveni parametrizaciji, jer se na sferu u sjevernom i juznom polu moze postavititangencijalna ravnina.b) Standardna parametrizacija konusa je



r′u(u, v) = (cos v, sin v, 1) ,

r′v(u, v) = (−u sin v, u cos v, 0) .


Sada vrijedi

(r′u × r′v)(u, v) =

∣∣∣∣∣∣i j k

cos v sin v 1−u sin v u cos v 0

∣∣∣∣∣∣ = −u cos v · i− u sin v · j + u · k.

Dakle, tocka (u, v) ∈ U ce biti singularna tocka konusa ako vrijedi

(r′u × r′v)(u, v) = 0⇔−u cos v = 0−u sin v = 0

u = 0⇔ u = 0,

v ∈ [0, 2π]

Zakljucujemo da konus ima singularitete u svim tockama oblika (0, v) za v ∈ [0, 2π] . Slika takvihtocaka je

r(0, v) = (0, 0, 0) - vrh konusa.

Dakle, standardna parametrizacija konusa ima singularitet u vrhu konusa. Ovaj singularitet je ocitosvojstven ne samo parametrizaciji, nego samom konusu, jer se u vrhu konusa ne moze postavititangencijalna ravnina, te bi svaka parametrizacija konusa imala singularitet u vrhu konusa.

Definicija 67 Neka su r : U → R3 i r : V → R3 parametrizirane plohe. Kazemo da su r i rekvivalentne, ako postoji obostrano glatka bijekcija ϕ : V → U, ϕ(a, b) = (u(a, b), v(a, b)) takva daje r(a, b) = r(ϕ(a, b)) i ∣∣∣∣u′a(a, b) u′b(a, b)

v′a(a, b) v′b(a, b)

∣∣∣∣ > 0

za svaki (a, b) ∈ V. Ako su r i r ekvivalentne, onda kazemo još i da je ploha r reparametrizacijaplohe r.

Postavlja se pitanje što geometrijski znaci uvjet pozitivnosti determinante iz definicije repara-metrizacije plohe. Uocimo da iz r(a, b) = r(u(a, b), v(a, b)) slijedi

r′a = r′u · u′a + r′v · v′ar′b = r′u · u′b + r′v · v′b

pa imamo

r′a × r′b = {r′u × r′v = 0} = u′av′b(r′u × r′v) + u′bv

′a(r′v × r′u) =

= (u′av′b − u′bv′a)(r′u × r′v) =

=

∣∣∣∣u′a u′bv′a v′b

∣∣∣∣ (r′u × r′v)

Dakle, uvjet ∣∣∣∣u′a u′bv′a v′b

∣∣∣∣ > 0

je ekvivalentan uvjetu da vektori (r′a × r′b) i (r′u × r′v) budu iste orijentacije.

3.2. VEKTOR NORMALE I TANGENCIJALNA RAVNINA 43

3.1.2 Eksplicitno zadane plohe

Neka je f : U → R glatka funkcija, pri cemu je U ⊆ R2 podrucje u ravnini. Tada se skup

S = {(x, y, z) : z = f(x, y)}

naziva eksplicitno zadanom plohom. Jednadzba z = f(x, y) naziva se eksplicitnom jednadzbomplohe S. Eksplicitno zadana ploha moze se parametrizirati varijablama x i y, tj. parametrizacijar : U → R3 definirana pravilom

r(u, v) = (u, v, f(u, v))

je globalna parametrizacija plohe S.

3.1.3 Implicitno zadane plohe

Neka je F : V → R glatka funkcija, pri cemu je V ⊆ R3 podrucje u prostoru. Tada se skup

S = {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0}

naziva implicitno zadanom plohom. Jednadzba F (x, y, z) = 0 naziva se implicitnom jednadzbomplohe S. Postavlja se pitanje parametriziranja implicitno zadane plohe, pri cemu razlikujemo lokalnui globalnu parametrizaciju.

Definicija 68 Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha i S implicitno zadana ploha. Kazemo daje ploha r :

• lokalna parametrizacija od S, ako vrijedi r(U) ⊆ S,

• globalna parametrizacija od S, ako vrijedi r(U) = S.

Sljedeci teorem daje nam uvjet postojanja lokalne parametrizacije u okolini neke tocke implicitnozadane plohe.

Teorem 69 Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x, y, z) = 0. Ako u tocki P ∈ Svrijedi

gradF (P ) 6= 0,

onda postoji otvorena okolina W tocke P i regularna parametrizirana ploha r : U → R3 takva da jer(U) = W ∩ S.

3.2 Vektor normale i tangencijalna ravnina

Definicija 70 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Vektor

N(u, v) =r′u(u, v)× r′v(u, v)

|r′u(u, v)× r′v(u, v)|

naziva se vektorom normale plohe r u tocki (u, v) ∈ U. Svaki vektor okomit na vektor N naziva setangencijalnim vektorom plohe r u tocki (u, v) ∈ U.


Slika 3.7: Vektor normale parametrizirane plohe.

Pojam vektora normale ilustriran je Slikom 3.7.

Definicija 71 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ravnina koja prolazi tockomP = r(u, v), a vekor normale joj je vektor N(u, v) plohe, naziva se tangencijalna ravnina plohe r utocki P = r(u, v).

Definicija 72 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Pravac koji prolazi tockomP = r(u, v), a vekor smjera mu je vektor N(u, v) plohe, naziva se normala plohe r u tocki P =r(u, v).

Pojam tangencijalne ravnine i normale na plohu ilustriran je Slikom 3.8.

Slika 3.8: Tangencijalna ravnina i normala na plohu.

Zelimo odrediti vektorsku i skalarnu jednadzbu tangencijalne ravnine i normale. Za tangenci-jalnu ravninu regularne parametrizirane plohe r : U → R3 u tocki P = r(u, v) vrijedi

R(λ, µ) = r(u, v) + λr′u(u, v) + µr′v(u, v),

dok za normalu vrijediR(t) = r(u, v) + t(r′u(u, v)× r′v(u, v)),

3.2. VEKTOR NORMALE I TANGENCIJALNA RAVNINA 45

cime smo dobili vektorsku jednadzbu tangencijalne ravnine i normale.

Da bismo odredili skalarnu jednadzbu tangencijalne ravnine i normale, neka je R = (X,Y, Z),te neka su r = (x, y, z), r′u = (x′u, y

′u, z′u) i r′v = (x′v, y

′v, z′v). Opca jednadzba tangencijalne ravnine

na plohu r u tocki P = r(u, v) glasi∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx′u y′u z′ux′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣ = 0,

dok kanonska jednadzba normale glasi

X − x∣∣∣∣y′u z′uy′v z′v

∣∣∣∣ =Y − y∣∣∣∣z′u x′uz′v x′v

∣∣∣∣ =Z − z∣∣∣∣x′u y′ux′v y′v

∣∣∣∣ .Vazno je napomenuti da se u ove formule uvrštavaju vrijednosti funkcija x, y, z i njihovih prvihparcijalnih derivacija x′u, y

′u, z′u i x

′v, y′v, z′v u tocki (u, v) za koju je r(u, v) = P . Varijable X,Y, Z

predstavljaju koordinate proizvoljne tocke na tangencijalnoj ravnini, tj. normali.

Eksplicitno zadana ploha. Ako je ploha zadana eksplicitno jednadzbom z = f(x, y), onda jer(x, y) = (x, y, f(x, y)) njena regularna parametrizacija, pa opca jednadzba tangencijalne ravnineu tocki P = r(x, y) = (x, y, f(x, y)) glasi

Z − z = f ′x · (X − x) + f ′y · (Y − y),


X − xf ′x

=Y − yf ′y

=Z − z

1.

Ponovo, vazno je napomenuti da se u ove formule uvrštavaju vrijednosti prvih parcijalnih derivacijaf ′x i f

′y u tocki (x, y) za koju je r(x, y) = P.

Implicitno zadana ploha.

Teorem 73 Neka je S ploha implicitno zadana jednadzbom F (x, y, z) = 0, te neka je P (x, y, z)tocka na plohi S sa svojstvom gradF (P ) 6= 0. Tada je vektor gradF (P ) okomit na tangencijalnuravninu na plohu S u tocki P.

Dokaz. Zbog gradF (P ) 6= 0, po Teoremu 69 postoji regularna lokalna parametrizacija r(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) plohe S oko tocke P. Dakle, vrijedi

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = 0,

odakle deriviranjem dobivamo

F ′x · x′u + F ′y · y′u + F ′z · z′u = 0gradF · r′u = 0

iF ′x · x′v + F ′y · y′v + F ′z · z′v = 0,

gradF · r′v = 0.


Zakljucujemo da je vektor gradF okomit na vektore r′u i r′v u svakoj tocki u kojoj je parametrizacija

definirana (dakle i šire od P ), pa slijedi da je okomit na tangencijalnu ravninu koju vektori r′u i r′vrazapinju.

Obzirom, dakle, da je vektor gradF (P ) okomit na tangencijalnu ravninu, moze nam posluziti kaovektor normale te ravnine, pa zakljucujemo da za plohu implicitno zadanu jednadzbom F (x, y, z) =0 opca jednadzba tangencijalne ravnine u tocki P (x, y, z) plohe glasi

F ′x · (X − x) + F ′y · (Y − y) + F ′z · (Z − z) = 0,


X − xF ′x

=Y − yF ′y

=Z − zF ′z

.

Naravno, i ovdje je vazno uociti da se u formule uvrštavaju koordinate tocke P (x, y, z) i vrijednostiprvih parcijalnih derivacija F ′x, F

′y i F

′z izracunatih u tocki P (x, y, z).

Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v) tocka na plohi r. Definiramoskup

TP (r) = {λ · r′u(u, v) + µ · r′v(u, v) : λ, µ ∈ R} ⊆ V 3

svih tangencijalnih vektora plohe r u tocki P. Nastanak nekog tangencijalnog vektora t = λr′u(u, v)+µr′v(u, v) ∈ TP (r) prikazan je na Slici 3.9. Uocimo sada da je skup TP (r) ⊆ V 3 potprostor prostoraV 3 jer je:

• zatvoren na zbrajanje, tj. zbroj dva tangencijalna vektora je ponovo tangencijalni vektorplohe,

• zatvoren na mnozenje sa skalarom, tj. tangencijalni vektor plohe pomnozen sa skalarom ostajetangencijalan na plohu.

Dakle, mozemo uvesti sljedecu definiciju.

Definicija 74 Neka je r : U → R regularna parametrizirana ploha i P = r(u, v). Vektorskiprostor TP (r) naziva se tangencijalni prostor plohe r u tocki P. Skup {r′u(u, v), r′v(u, v)} nazivase prirodnom bazom prostora TP (r).

Dakle, tangencijalni vektor t ∈ TP (r) ⊆ V 3 se moze prikazati u standardnoj bazi {i, j,k}prostora V 3 sa

t = xi + yj + zk,

te u prirodnoj bazi {r′u(u, v), r′v(u, v)} prostora TP (r) sa

t = λr′u(u, v) + µr′v(u, v).

3.3. KRIVULJA NA PLOHI 47

Slika 3.9: Prostor tangencijalnih vektora na plohu u nekoj tocki plohe.

Slika 3.10: Krivulja na plohi zadana kao kompozicija i tangencijalni vektor krivulje.

3.3 Krivulja na plohi

Definicija 75 Kazemo da krivulja ρ : I → R3 lezi na plohi r : U → R3, ako je ρ(I) ⊆ r(U).

Krivulja na plohi r : U → R3 se rijetko zadaje izravno, cešce se definira kao kompozicijaρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)). Ovakvo zadavanje krivulje na plohi ilustrirano je Slikom 3.10.Umjesto parametarski, krivulja u uv ravnini se cesto zadaje i eksplicitno kao:

• v = v(u), pa je u tom slucaju krivulja na plohi parametrizirana sa ρ(u) = r(u, v(u)),

• u = u(v), pa je u tom slucaju krivulja na plohi parametrizirana parametrom krivulja na plohiparametrizirana sa ρ(v) = r(u(v), v).

Dakle, u slucaju eksplicitno zadane krivulje u uv ravnini, krivulja na plohi je parametriziranaparametrom u ili v plohe.

Uocimo da za krivulju ρ(t) = r(u(t), v(t)) na plohi r vrijedi

ρ = r′uu+ r′v v =

{λ = uµ = v

}= λr′u + µr′v ∈ TP (r),


pri cemu se ρ, u i v izracunavaju u varijabli t, dok se r′u i r′v izracunavaju u tocki (u(t), v(t)). Dakle,

tangencijalni vektor ρ na krivulju ρ je ujedno i tangencijalni vektor na plohu r. Kazemo da krivuljaρ zadaje tangencijalni smjer ρ na plohi r u tocki P = ρ(t) = r(u(t), v(t)) (vidi Sliku 3.10).Uocimo da iz formule za ρ slijedi da ako dvije krivulje imaju isti u i v, onda ce one zadavati

isti smjer na plohi r. Dakle, smjer na plohi r zadan je ako je poznata derivacija (u, v) krivlje u uvravnini koja zadaje krivulju ρ. Ako je krivulja zadana eksplicitno sa v = v(u) (odnosno u = u(v)),onda je tangencijalni smjer na plohi r zadan sa dv

du (odnosnodudv ).

3.4 Prva fundamentalna forma plohe

Definicija 76 Neka je r : U → R3 regularna ploha, P = r(u, v) tocka na plohi, te neka je TP (r)tangencijalni prostor na plohu r u tocki P . Prva fundamentalna forma IP plohe r je preslikavanjeIP : TP (r) × TP (r) → R koje paru tangencijalnih vektora t1 i t2 na plohu r u tocki P pridruzujenjihov skalarni produkt, tj. za koje vrijedi IP (t1, t2) = t1 · t2.

Ova definicija ilustrirana je Slikom 3.11.

Slika 3.11: Tangencijalni vektori t1 i t2 ciji skalarni produkt je IP (t1, t2).

Obzirom da su tangencijalni vektori t1 i t2 vektori prostora R3, slijedi da se u standardnoj bazi{i, j,k} prikazuju sa t1 = x1i + y1j + z1k i t2 = x1i + y1j + z1k, pa vrijedi

IP (t1, t2) = t1 · t2 = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Me�utim, tangencijalni vektori t1 i t2 su ujedno vektori potprostora TP (r), pa se u bazi {r′u, r′v}tog prostora prikazuju sa t1 = λ1r

′u + µ1r

′v i t2 = λ2r

′u + µ2r

′v, odakle slijedi

IP (t1, t2) = t1 · t2 = λ1λ2r′u · r′u + (λ1µ2 + µ1λ2)r′u · r′v + µ1µ2r

′v · r′v =

=

r′u · r′u = Er′u · r′v = Fr′v · r′v = G

= λ1λ2E + (λ1µ2 + µ1λ2)F + µ1µ2G.

Ovdje se vrijednosti od r′u i r′v izracunavaju u tocki (u, v) ∈ U u cijoj slici P = r(u, v) je polozenatangencijalna ravnina na plohu. Dakle, korisno je definirati sljedece velicine.

3.4. PRVA FUNDAMENTALNA FORMA PLOHE 49

Definicija 77 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Tada se funkcije E,F,G :U → R definirane pravilima

E(u, v) = r′u(u, v) · r′u(u, v)

F (u, v) = r′u(u, v) · r′v(u, v)

G(u, v) = r′v(u, v) · r′v(u, v)

nazivaju fundamentalnim velicinama prvog reda.

Nadalje, uocimo da je matricni zapis tangencijalnih vektora t1 i t2 u bazi {r′u, r′v} prostoraTP (r) zadan sa

t1 = λ1r′u + µ1r

′v =

[λ1

µ1

]i t2 = λ2r

′u + µ2r

′v =

[λ2

µ2

].

Sada se vrijednost prve fundamentalne forme moze matricno zapisati sa

IP (t1, t2) = λ1λ2E + (λ1µ2 + µ1λ2)F + µ1µ2G =

=[λ1 µ1

] [E FF G

] [λ2

µ2

].

Uvodimo, dakle, sljedecu definiciju.

Definicija 78 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha, neka su E,F i G fundamen-talne velicine prvog reda plohe r, te neka je P = r(u, v) tocka na plohi r. Operator GP : TP (r) →TP (r) definiran u bazi {r′u, r′v} matricom

GP=

[E(u, v) F (u, v)F (u, v) G(u, v)

]zove se metricki operator plohe r u tocki P.

Sada je

IP (t1, t2) =[λ1 µ1

] [E FF G

] [λ2

µ2

]= t1 · GP (t2).

Podsjetimo se da je po definiciji IP (t1, t2) = t1 · t2, dok smo sada pokazali IP (t1, t2) = t1 · GP (t2),što je naizgled kontradiktorno. No, to nije kontradiktorno jer se u slucaju formule IP (t1, t2) = t1 ·t2

radi o skalarnom produktu u prostoru V 3, dok se u slucaju formule IP (t1, t2) = t1 · GP (t2) radi oskalarnom produktu u prostoru TP (r). Preciznije, ako tangencijalne vektore t1 i t2 prikazujemo ustandardnoj bazi {i, j,k} prostora V 3 onda imamo

t1 = x1i + x1j + z1kt2 = x2i + y2j + z2k

}⇒ IP (t1, t2) = t1 · t2 = x1x2 + y1y2 + z1z3,

a ako ih prikazujemo u prirodnoj bazi {r′u, r′v} prostora TP (r) onda imamo

t1 = λ1r′u + µ1r

′v

t2 = λ2r′u + µ2r

′v

}⇒ IP (t1, t2) = t1 · GP (t2) = {GP (t2) = λ2r

′u + µ2r

′v} =

= λ1λ2 + µ1µ2.

Obzirom na matricu kojom je definiran operator GP , raspisivanjem djelovanja operatora GP dobi-vamo kondacno formulu IP (t1, t2) = λ1λ2E + (λ1µ2 + µ1λ2)F + µ1µ2G za prvu fundamentalnuformu vektora prikazanih u prirodnoj bazi.


3.4.1 Duljina luka krivulje na plohi

Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha, te neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t)) krivulja ρ naplohi r. Za krivulju ρ na plohi r vrijedi ρ = r′uu+ r′v v, pa je

|ρ|2 = ρ · ρ = (r′uu+ r′v v) · (r′uu+ r′v v) =

= E · u2 + 2F · uv +G · v2.

Dakle, za duljinu luka krivulje ρ izme�u tocaka t1 ∈ I i t2 ∈ I vrijedi

s(t1, t2) =

t2∫t1

|ρ| dt =

t2∫t1

√E · u2 + 2F · uv +G · v2dt

Izraz

ds =√E · u2 + 2F · uv +G · v2dt

naziva se elementom luka plohe r. Obzirom da je u = dudt i v = dv

dt , uocimo da se element luka mozezapisati i kao

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2.

3.4.2 Kut izme�u dviju krivulja na plohi

Neka je r : U → R3 parametrizirana ploha, te neka su ρ1 : I1 → R3, ρ1(t) = r(u1(t), v1(t)) iρ2 : I2 → R3, ρ2(p) = r(u2(p), v2(p)) dvije krivulje na plohi r koje se sijeku u tocki r(u0, v0) =ρ1(t0) = ρ2(p0). Kut θ izme�u krivulja ρ1 i ρ2 u tocki sjecišta r(u0, v0) definiran je kao kut izme�unjihovih tangencijalnih vektora u toj tocki (vidi Sliku 3.12).

Slika 3.12: Kut izme�u krivulja ρ1 i ρ1 na plohi r u tocki sjecišta r(u0, v0).

Vrijedi

ρ1 = r′uu1 + r′v v1 i ρ2 = r′uu2 + r′v v2.


Obzirom da je

ρ1 · ρ2 = (r′uu1 + r′v v1) (r′uu2 + r′v v2) =

= Eu1u2 + F (u1v2 + u2v1) +Gv1v2,

|ρ1| =√ρ1 · ρ1 =

√Eu2

1 + 2Fu1v1 +Gv21 ,

|ρ2| =√ρ2 · ρ2 =

√Eu2

2 + 2Fu2v2 +Gv22 ,

dobivamo

cos θ =ρ1 · ρ2

|ρ1| · |ρ2|=

Eu1u2 + F (u1v2 + u2v1) +Gv1v2√Eu2

1 + 2Fu1v1 +Gv21

√Eu2

2 + 2Fu2v2 +Gv22

,

pri cemu se vrijednosti E,F i G izracunavaju u tocki (u0, v0), vrijednosti u1 i v1 u tocki t0, avrijednosti u2 i v2 u tocki p0. Razmotrimo sada neke specijalne slucajeve. Ako je:

1. krivulja ρ2 u−krivulja, onda je v2 = C i v2 = 0, pa imamo

cos θ =Eu1 + F v1√

Eu21 + 2Fu1v1 +Gv2

1

√E

;

2. krivulja ρ2 v−krivulja, onda je u2 = C i u2 = 0, pa imamo

cos θ =Fu1 +Gv1√

Eu21 + 2Fu1v1 +Gv2

1

√G

;

3. krivulja ρ1 u−krivulja i krivulja ρ2 v−krivulja, onda je v1 = C, v1 = 0 i u2 = C, u2 = 0, paimamo

cos θ =F√E√G.

Uocimo tako�er da uvjet okomitosti dviju proizvoljnih krivulja na plohi r glasi

Eu1u2 + F (u1v2 + u2v1) +Gv1v2 = 0,

dok je uvjet okomitosti koordinatnih krivulja F = 0.

3.4.3 Površina ome�enog dijela plohe

Definicija 79 Neka je r : D → R3 regularna parametrizirana ploha, pri cemu je D podrucjeome�eno po dijelovima glatkom krivuljom. Tada je površina plohe definirana sa

P =

∫∫D

√EG− F 2dudv.

Mozda je zgodno dati kratko obrazlozenje za motivaciju ovakve definicije. Dakle, neka je (u, v) ∈D i neka je P = r(u, v) tocka na plohi r. Kroz tocku P plohe r prolaze dvije koordinatne krivulje,tj. jedna u−krivulja i jedna v−krivulja. Neka je P1 = r(u+ ∆u, v) tocka na u−krivulji pomaknuta


Slika 3.13: Motivacija definicije površine plohe.

od P za ∆u, te neka je P2 = r(u, v + ∆v) tocka na v−krivulji pomaknuta od P za ∆v. Konacno,neka je P3 = r(u+ ∆u, v + ∆v). (Vidi Sliku 3.13.)Ako su ∆u i ∆v dovoljno mali, onda je površina krivocrtnog paralelograma PP1P2P3 na plohi S

priblizno jednaka površini pravocrtnog paralelograma u tangencijalnoj ravnini razapetog vektorimar′u(u, v)∆u i r′v(u, v)∆v. Ako sa ∆S oznacimo površinu pravocrtnog paralelograma u tangencijalnojravnini, onda imamo

∆S = |r′u∆u× r′v∆v| = |r′u × r′v|∆u∆v.

Obzirom da za opcenite vektore a i b vrijedi |a× b|2 = a2 · b2 − (a · b)2, dobivamo

|r′u × r′v|2

= (r′u)2

(r′v)2 − (r′u · r′v)

2= EG− F 2.

Dakle, imamo∆S =

√EG− F 2∆u∆v,

pa je dakle posve prirodno definirati

S = lim∆u→0∆v→0

∑∆S =

∫∫D

√EG− F 2dudv.

Velicina dS =√EG− F 2dudv naziva se elementom površine parametrizirane plohe r. Nadodajmo

jošda iz |r′u × r′v|2

= EG−F 2 slijedi da je izraz EG−F 2 uvijek pozitivan. Mozemo dakle definirativelicinu W =

√EG− F 2 koja se zove diskriminanta prve fundamentalne forme ili Weingartenova

funkcija. Uocimo sada da se jedinicni vektor normale na plohu moze zapisivati i pomocu W, tj.vrijedi

N =r′u × r′v|r′u × r′v|

=r′u × r′v√EG− F 2

=r′u × r′vW

.

Ilustrirajmo sada ove pojmove sa nekoliko primjera.

Primjer 80 Odredi element luka i element površine: a) sfere x2 + y2 + z2 = 1, b) konusa z2 =x2 + y2.


Dokaz. a) Standardna parametrizacija sfere x2 + y2 + z2 = 1 je

r(u, v) = (sinu cos v, sinu sin v, cosu) ,


r′u(u, v) = (cosu cos v, cosu sin v,− sinu) ,

r′v(u, v) = (− sinu sin v, sinu cos v, 0) .

Sada je

E = r′u · r′u = cos2 u cos2 v + cos2 u sin2 v + sin2 u =

= cos2 u(cos2 v + sin2 v

)+ sin2 u = cos2 u+ sin2 u = 1,

F = r′u · r′v = − cosu cos v sinu sin v + cosu sin v sinu cos v = 0,

G = r′v · r′v = sin2 u sin2 v + sin2 u cos2 v = sin2 u.

Dakle, element luka standardne parametrizacije sfere je

ds = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 = du2 + sin2 u dv2,

dok je element površinedS =

√EG− F 2dudv = |sinu| dudv.

b) Standardna parametrizacija konusa z2 = x2 + y2 je



r′u(u, v) = (cos v, sin v, 1) ,

r′v(u, v) = (−u sin v, u cos v, 0) .

Sada je

E = r′u · r′u = cos2 v + sin2 v + 1 = 2

F = r′u · r′v = −u cos v sin v + u sin v cos v = 0,

G = r′v · r′v = u2 sin2 v + u2 cos2 v = u2.


ds = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 = 2du2 + u2dv2,


√EG− F 2dudv =

√2 |u| dudv.

Primjer 81 Neka je π ravnina razapeta orotonormiranim vektorima s1, s2 ∈ R3 koja prolazi vrhomvektora r0 ∈ R3. Odredi element luka i element površine ako je ploha π parametrizirana: a) pra-vokutnim koordinatama, b) polarnim koordinatama.


Dokaz. a) Parametrizacija ravnine π pravokutnim koordinatama zadana je pravilom

r(u, v) = r0 + us1 + vs2,


r′u(u, v) = s1,

r′v(u, v) = s2.

Sada je

E = r′u · r′u = s1 · s1 = |s1|2 = 1,

F = r′u · r′v = s1 · s2 = 0,

G = r′v · r′v = s2 · s2 = |s2|2 = 1.


ds = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 = du2 + dv2,


√EG− F 2dudv = dudv.

b) Parametrizacija ravnine π polarnim koordinatama zadana je pravilom

r(u, v) = r0 + u cos v · s1 + u sin v · s2,


r′u(u, v) = cos v · s1 + sin v · s2,

r′v(u, v) = −u sin v · s1 + u cos v · s2.

Sada je

E = r′u · r′u = (cos v · s1 + sin v · s2)2 =

= cos2 v · s21 + 2 cos v sin v · s1s2 + sin2 v · s2

2 =

= cos2 v · |s1|2 + sin2 v · |s2|2 = cos2 v + sin2 v = 1,

F = r′u · r′v = ( cos v · s1 + sin v · s2)(− u sin v · s1 + u cos v · s2) =

= −u cos v sin v · |s1|2 + u sin v cos v · |s2|2 = 0,

G = r′v · r′v = (−u sin v · s1 + u cos v · s2)2 =

= u2 sin2 v · |s1|2 − 2u2 sin v cos v · s1s2 + u2 cos2 v · |s2|2 =

= u2 sin2 v · |s1|2 + u2 cos2 v · |s2|2 = u2.


ds = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 = du2 + u2dv2,


√EG− F 2dudv = |u| dudv.


Primjer 82 Odredi element luka i element površine plohe koja nastaje rotacijom krivulje z = f(y)oko osi z.

Dokaz. Parametrizacija plohe nastale rotacijom krivulje z = f(y) oko osi z zadana je pravilom

r(u, v) = (u sin v, u cos v, f(u))


r′u(u, v) = (sin v, cos v, f ′(u)),

r′v(u, v) = (u cos v,−u sin v, 0).

Sada je

E = r′u · r′u = sin2 v + cos2 v + (f ′(u))2 = 1 + (f ′(u))2,

F = r′u · r′v = u sin v cos v − u cos v sin v = 0,

G = r′v · r′v = u2 cos2 v + u2 sin2 v = u2.


ds = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 = (1 + (f ′(u))2)du2 + u2dv2,

dok je element površine

dS =√EG− F 2dudv = |u|

√1 + (f ′(u))2dudv.

Primjer 83 Odredi element luka i element površine plohe zadane eksplicitno jednadzbom z =f(x, y).

Dokaz. Parametrizacija plohe eksplicitno zadane sa z = f(x, y) je

r(u, v) = (u, v, f(u, v))


r′u(u, v) = (1, 0, f ′u),

r′v(u, v) = (0, 1, f ′v).

Sada je

E = r′u · r′u = 1 + (f ′u)2,

F = r′u · r′v = f ′uf′v,

G = r′v · r′v = 1 + (f ′v)2.


ds = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 =

= (1 + (f ′u)2)du2 + 2f ′uf′vdudv + (1 + (f ′v)

2)dv2,

dok je element površine

dS =√EG− F 2dudv =

√(1 + (f ′u)2)(1 + (f ′v)

2)− (f ′uf′v)dudv =

=√

1 + (f ′u)2 + (f ′v)2dudv.


3.5 Druga fundamentalna forma

Neka je r : I → R3 regularna ploha, P = r(u, v) tocka na plohi, te neka je

N =r′u × r′v|r′u × r′v|

vektor normale na plohu r u tocki P. Obzirom da je N jedinicni vektor, vrijedi N ·N = 1. Derivi-ranjem te jednakosti po u i v dobivamo

N ·N = 1 /′uN′u ·N + N ·N′u = 0

2N′u ·N = 0i

N ·N = 1 /′vN′v ·N + N ·N′v = 0

2N′v ·N = 0.

Dakle, vrijedi N′u⊥N i N′v⊥N. Zakljucujemo da su N′u i N′v tangencijalni vektori na plohu r utocki (u, v), tj. N′u i N′v leze u tangencijalnom prostoru TP (r) (vidi Sliku 3.14).

Slika 3.14: Vektori N′u i N′v leze u tangencijalnom prostoru TP (r)

Definicija 84 Neka je r : U → R3 regularna ploha, P = r(u, v) tocka na plohi, te N normala naplohu r u tocki (u, v) ∈ U. Operator SP : TP (r)→ TP (r) koji tangencijalnom vektoru t = λr′u +µr′vpridruzuje vektor

SP (t) = λN′u + µN′v

zove se operator oblika plohe r u tocki (u, v) ∈ U.

Lako se vidi da je operator SP linearan, i da mu je djelovanje na bazi {r′u, r′v} dano sa

SP (r′u) = N′u i SP (r′v) = N′v.

Zelimo odrediti matricu tog operatora u bazi {r′u, r′v} . Imamo

SP (r′u) = N′u = ar′u + br′vSP (r′v) = N′v = cr′u + dr′v

⇒ SP =

[a cb d

].

3.5. DRUGA FUNDAMENTALNA FORMA 57

Uocimo da je [r′u r′v

] [a cb d

]=

[N′u N′u

],[

r′ur′v

] [r′u r′v

] [a cb d

]=

[r′ur′v

] [N′u N′u

],[

r′u · r′u r′v · r′ur′v · r′u r′v · r′v

] [a cb d

]=

[N′u · r′u N′u · r′vN′v · r′u N′v · r′v

].

Obzirom da je[N′u · r′u N′u · r′vN′v · r′u N′v · r′v

]+

[r′′uu ·N r′′uv ·Nr′′uv ·N r′′vv ·N

]=

[(r′u ·N)

′u (r

′v ·N)

′u

(r′u ·N)′v (r′v ·N)

′v

]=

[0 00 0

],

slijedi [r′u · r′u r′v · r′ur′v · r′u r′v · r′v

] [a cb d

]= −

[r′′uu ·N r′′uv ·Nr′′uv ·N r′′vv ·N

].

Uvedimo sada sljedece nazive.

Definicija 85 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Tada se funkcije L,M,N :U → R definirane pravilima

L(u, v) = r′′uu(u, v) ·N(u, v)

M(u, v) = r′′uv(u, v) ·N(u, v)

N(u, v) = r′′vv(u, v) ·N(u, v)

nazivaju fundamentalnim velicinama drugog reda.

Podsjetimo se da za N vrijedi

N =r′u × r′v|r′u × r′v|

=r′u × r′v√EG− F 2

=r′u × r′vW

,

pa je dakle

L =1

W(r′u, r

′v, r′′uu) , M =

1

W(r′u, r

′v, r′′uv) , N =

1

W(r′u, r

′v, r′′vv) .

Dakle, sada imamo [E FF G

] [a cb d

]= −

[L MM N

],

pa za operator oblika vrijedi

SP =

[a cb d

]= −

[E FF G

]−1 [L MM N

]=

= − 1

EG− F 2

[G −F−F E

] [L MM N

]=

= − 1

W 2

[GL− FM GM − FNME − FL NE − FM

].


Definicija 86 Neka je r : U → R3 regularna ploha, neka je P = r(u, v) tocka na plohi, te neka jeTP (r) tangencijalni prostor na plohu r u tocki (u, v) ∈ U . Druga fundamentalna forma IIP ploher je preslikavanje IIP : TP (r) × TP (r) → R koje paru tangencijalnih vektora t1 i t2 na plohu r utocki P pridruzuje broj po sljedecem pravilu

IIP (t1, t2) = −IP (t1,SP (t2)) = −t1 · SP (t2).

Uocimo da je

IIP (r′u, r′u) = −r′u ·N′u = L,

IIP (r′u, r′v) = −r′u ·N′v = M,

IIP (r′v, r′u) = −r′v ·N′u = M,

IIP (r′v, r′v) = −r′v ·N′v = N.

Oznacimo s BP linearni operator BP : TP (r)→ TP (r) definiran matricom

BP =

[L MM N

]u bazi {r′u, r′v} . Obzirom da je operator SP linearan, za tangencijalne vektore t1 = λ1r

′u + µ1r

′v i

t2 = λ2r′u + µ2r

′v vrijedi

IIP (t1, t2) = IIP (λ1r′u + µ1r

′v, λ2r

′u + µ2r

′v) =

= λ1λ2IIP (r′u, r′u) + λ1µ2IIP (r′u, r

′v) + λ2µ1IIP (r′v, r

′u) + λ2µ2IIP (r′v, r

′v) =

= λ1λ2L+ (λ1µ2 + λ2µ1)M + λ2µ2N =

=[λ1 µ1

] [L MM N

] [λ2

µ2

]=

= t1 · BP (t2).

Dakle, slicno kao kod prve fundamentalne forme, imamo da je po definiciji IIP (t1, t2) = −t1·SP (t2),dok smo sada pokazali da je IIP (t1, t2) = t1 · BP (t2) što je naizgled kontradiktorno. Me�utim,to nije kontradiktorno jer se u prvom slucaju radi o skalarnom produktu vektora shvacenih kaoprostornih vektora prikazanih u bazi {i, j,k} , dok se u drugom slucaju radi o skalarnom produktuvektora shvacenih kao ravninskih vektora prikazanih u bazi {r′u, r′v} .

3.5.1 Normalna zakrivljenost i Meusnierov teorem

Definicija 87 Neka je r : U → R3 regularna ploha, te neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t))regularna krivulja na plohi r. Normalna zakrivljenost Kn krivulje ρ na plohi r definirana je sa

Kn = κn ·N

pri cemu je κ zakrivljenost krivulje ρ, n vektor glavne normale krivulje koji se izracunava u tockit ∈ I, dok je N vektor normale plohe koji se izracunava u tocki (u(t), v(t)) ∈ U.

Ako oznacimo θ = ](n,N), a obzirom da su n i N jedinicne duljine, dobivamo

Kn = |κn| |N| cos θ = κ cos θ


pri cemu je κ zakrivljenost krivulje ρ u tocki t. Dakle, geometrijski gledano normalna zakrivljenostKn krivulje na plohi predstavlja (do na predznak) duljinu projekcije vektora zakrivljenosti κnkrivulje na normaluN plohe (vidi Sliku 3.15). Ako ravninu razapetu vektorom t krivulje i vektoromN plohe nazovemo normalnom ravninom plohe u smjeru t, onda mozemo reci i da velicina Kn

predstavlja (do na predznak) duljinu projekcije vektora zakrivljenosti κn na normalnu ravninuplohe u smjeru t.

Slika 3.15: Normalna zakrivljenost Kn krivulje na plohi.

Razmotrimo sada predznak normalne zakrivljenosti Kn. Uocimo da normalna zakrivljenost Kn

moze biti i negativna, dok je zakrivljenost κ krivulje uvijek pozitivna (tj. vrijedi κ ≥ 0 u svakojtocki krivulje). Postavlja se pitanje što geometrijski znaci predznak normalne zakrivljenosti Kn.Pretpostavimo da je κ 6= 0 u nekoj tocki t (dakle κ > 0). Zakljucujemo da u tom slucaju predznaknormalne zakrivljenosti ovisi iskljucivo o kutu θ, pri cemu vrijedi:

θ <π

2⇒ Kn > 0, θ >

π

2⇒ Kn < 0, θ =

π

2⇒ Kn = 0.

Neformalnije se moze reci da ce normalna zakrivljenost Kn krivulje na plohi biti:

1. pozitivna, ako se krivulja na plohi savija "prema" normali N plohe,

2. negativna, ako se krivulja na plohi savija "od" normale N plohe,

3. nula, ako se krivulja savija okomito na normalu N plohe.

Raziciti predznaci normalne zakrivljenosti Kn ilustrirani su Slikom 3.16. Izvedimo sada formulu zaracunanje normalne zakrivljenosti krivulje na plohi.

Teorem 88 Neka je r : U → R3 regularna ploha, te neka je ρ(t) = r(u(t), v(t)) regularna krivuljana plohi r. Tada za normalnu zakrivljenost Kn krivulje ρ u tocki P = ρ(t) vrijedi

Kn =IIP (ρ, ρ)

IP (ρ, ρ)=Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2

Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

pri cemu se vektor ρ izracunava u t.


a) b) c)

Slika 3.16: Predznak normalne zakrivljenosti: a) Kn > 0, b) Kn < 0, c) Kn = 0.

Dokaz. Pretpostavimo najprije da je ρ parametrizirana prirodnim parametrom. Uocimo da jetada Kn = κn ·N = ρ′′ ·N. Deriviranjem funkcije ρ(s) = r(u(s), v(s)) dobivamo

ρ′(s) = r′uu′ + r′vv

′,

ρ′′(s) = (r′′uuu′ + r′′uvv

′)u′ + r′uu′′ + (r′′vuu

′ + r′′vvv′) v′ + r′vv

′′ =

= r′′uu (u′)2

+ 2r′′uvu′v′ + r′′vv (v′)

2+ r′uu

′′ + r′vv′′.

Najprije, uocimo da za krivulje parametrizirane prirodnim parametrom vrijedi

IP (ρ′,ρ′) = ρ′ · ρ′ = |ρ′|2 = 1.

Sada imamo

Kn = κn ·N = {κn = ρ′′} = ρ′′ ·N =

=(r′′uu (u′)

2+ 2r′′uvu

′v′ + r′′vv (v′)2

+ r′uu′′ + r′vv

′′)·N =

= r′′uuN (u′)2

+ 2r′′uvNu′v′ + r′′vvN (v′)2

=

= L · (u′)2+ 2M · u′v′ +N · (v′)2

= IIP (ρ′,ρ′) =IIP (ρ′,ρ′)

IP (ρ′,ρ′).

Ako ρ nije parametrizirana prirodnim parametrom, onda se moze reparametrizirati prirodnim para-metrom ρ(t) = ρ(s(t)), pri cemu je

ρ′ =ρ

|ρ| .

Sada je

Kn = IIP(ρ′, ρ′

)= IIP

(ρ

|ρ| ,ρ

|ρ|

)=

1

|ρ|2IIP (ρ, ρ) =

1

ρ · ρIIP (ρ, ρ) =IIP (ρ, ρ)

IP (ρ, ρ).

Obzirom da je ρ = r′uu+ r′v v, slijedi

IP (ρ, ρ) = Eu2 + 2Fuv +Gv2 i IIP (ρ, ρ) = Lu2 + 2Muv +Nv2.


Sada iz u = dudt i v = dv

dt slijedi

Kn =IIP (ρ, ρ)

IP (ρ, ρ)=Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2

Edu2 + 2Fdudv +Gdv2.

Neka je sada u tocki P plohe r fiksiran tangencijalni vektor t. Tada za svaku krivulju ρ na plohir koja zadaje tangencijalni smjer kolinearan s t (tj. ρ = λt) vrijedi:

Kn =IIP (ρ, ρ)

IP (ρ, ρ)=IIP (λt,λt)

IP (λt,λt)=λ2IIP (t, t)

λ2IP (t, t)=IIP (t, t)

IP (t, t).

Dakle, normalna zakrivljenost krivulje na plohi ovisi samo o smjeru tangencijalnog vektora, pa seKn u tom slucaju s pravom moze nazivati normalnom zakrivljenošcu plohe u smjeru t.Neformalnije receno, iako je normalna zakrivljenost Kn definirana za krivulju na plohi, is-

postavilo se da ta velicina ovisi samo o smjeru tangencijalnog vektora krivulje (dakle, cak ni oduljini tog vektora ili orijentaciji, a kamo li o nekim drugim svojstvima krivulje), to znaci damozemo zadati samo tangencijalni smjer na plohu u promatranoj tocki i onda odrediti Kn, štoznaci da krivulju mozemo posve "izbaciti" iz price o tom pojmu, tj. da mozemo Kn smatratinormalnom zakrivljenošcu plohe u zadanom tagencijalnom smjeru, a ne normalnom zakrivljenošcuneke krivulje na plohi.Ovaj rezultat, koji je izravna posljedica prethodnog teorema, poznat je pod nazivom Meusnierov

teorem.

Korolar 89 (Meusnierov teorem) Sve regularne krivulje na regularnoj plohi r : U → R3 kojeprolaze tockom P = r(u, v) i imaju u toj tocki istu tangentu, imaju u toj tocki istu normalnuzakrivljenost Kn.

Meusnierov teorem ilustriran je Slikom 3.17.

Slika 3.17: Ilustracija Meusnierovog teorema.

Sada je korisno uvesti neke nazive. U tu svrhu, neka je r regularna ploha, te neka je P = r(u, v)tocka na plohi r. Neka je ρ krivulja na plohi r koja prolazi tockom P. Konacno, neka je n vektor


glavne normale krivulje ρ, a N vektor normale plohe r u tocki P. Za krivulju ρ kazemo da jenormalna na plohu r u tocki P, ako su vektori n i N kolinearni (tj. θ = 0, π), u suprotnom kazemoda je krivulja kosa na plohu r u tocki P . Uocimo da za krivulju koja je normalna na plohu vrijediKn = ±κ, dok za krivulju koja je kosa na plohu to ne vrijedi.Pretpostavimo sada da je u tocki P plohe r zadan samo tangencijalni smjer t. Najpoznatiji

primjer normalne i kose krivulje na plohu r u smjeru t su redom:

1. normalni presjek u smjeru t, tj. krivulja koja nastaje kao presjek plohe r i normalne ravnineplohe u smjeru t (tj. ravnine razapete vektorima t i N),

2. kosi presjek u smjeru t, tj. krivulja koja nastaje kao presjek plohe r i kose ravnine plohe usmjeru t (tj. ravnine razapete vektorima t i nekim vektorom okomitim na t koji nije kolinearans N).

Uocimo da u zadanom smjeru t postoji samo jedan normalni presjek plohe, dok kosih presjekau smjeru t ima više (dobivaju se za razlicita zakošenja u tom smjeru). Pojam normalnog i kosogpresjeka ilustrirani su Slikom 3.18.Sada konacno mozemo dati dosta neformalno, ali najlakše pamtljivo objašnjenje geometrijskog

znacenja normalne zakrivljenosti plohe u zadanom tangencijalnom smjeru. Dakle, normalna zakrivl-jenost Kn plohe r u tangencijalnom smjeru t predstavlja (do na predznak) zakrivljenost normalnogpresjeka plohe r u smjeru t.

a) b)

Slika 3.18: Normalni i kosi presjek: a) normalni i kosi presjek u jednom smjeru t, b) normalnipresjeci u razlicitim smjerovima t1, t2 i t3.

3.5.2 Asimptotski smjerovi i asimptotske krivulje

Definicija 90 Neka je r : U → R3 regularna ploha, neka je P = r(u, v) tocka na plohi, te nekaje a ∈ TP (r) tangencijalni vektor na plohu r u tocki P. Kazemo da tangencijalni vektor a imaasimptotski smjer ako je normalna zakrivljenost Kn plohe r u smjeru a jednaka nula, tj. išcezava.Kazemo da je krivulja na plohi asimptotska krivulja ako svaki tangencijalni vektor te krivulje imaasimptotski smjer.


Slika 3.19: Asimptotski smjerovi i asimptotske linije.

Pojam asimptotskih smjerova i asimptotskih linija ilustriran je Slikom 3.19.Neka je ρ krivulja na plohi r, te neka je ρ tangencijalni vektor na plohu r u tocki P plohe.

Uocimo da iz Kn = κ cos θ slijedi da ce tangencijalni vektor ρ imati asimptotski smjer ako i samoako je κ = 0 ili cos θ = 0 (tj. θ = π

2 ). Ako isto vrijedi u svakoj tocki krivulje (što znaci da jekrivulja asimptotska), onda se u prvom slucaju radi o pravcu ili dijelu pravca koji lezi na plohi, dokse u drugom slucaju radi o krivulji za koju vrijedi da se njena oskulacijska ravnina u svakoj tockipodudara s tangencijalnom ravninom plohe. Dokazimo ove tvrdnje i formalno.

Propozicija 91 Svaka ravna linija (tj. pravac ili dio pravca) na plohi je asimptotska linija.

Dokaz. Svaki pravac ili dio pravca ima zakrivljenost κ = 0, pa je Kn = κ cos θ = 0 što po definicijiznaci da je asimptotska linija.

Asimptotska linija na plohi koja je pravac ili dio pravca vec je ilustrirana Slikom 3.19. No,uocimo da pravac ili dio pravca moze postojati i na plohama za koje to na prvi pogled mozda i nijeocito kao što je to prikazano na Slici 3.20.

Slika 3.20: Pravci kao asimptotske linije na jednoplošnom hiperboloidu.

Teorem 92 Neka je r : U → R3 regularna ploha, te ρ : I → R3 definirana pravilom ρ(t) =r(u(t), v(t)) biregularna krivulja na plohi r. Krivulja ρ je asimptotska linija ako i samo ako se


oskulacijska ravnina u svakoj tocki krivulje ρ podudara s tangencijalnom ravninom na plohu r u tojtocki.

Dokaz. Podsjetimo se, oskulacijska ravnina krivulje ρ razapeta je vektorom tangente t i vektoromglavne normale n krivulje. Tako�er, ako je krivulja ρ biregularna, onda je κ 6= 0. Sada za biregularnukrivulju ρ vrijedi:

Kn = κ cos θ = 0⇔ {κ 6= 0} ⇔ cos θ = 0⇔ {θ = ](n,N)} ⇔ n⊥N.

Obzirom da je tangencijalni vektor t krivulje ρ svakako okomit na N, slijedi da je biregularnakrivulja ρ asimptotska ako i samo ako je oskulacijska ravnina u svakoj tocki krivulje okomita na Nšto znaci da je tangencijalna na plohu.

Primjer asimptotske linije razlicite od pravca za koju vrijedi da se oskulacijska ravnina u svakojtocki podudara s tangencijalnom ravninom plohe prikazan je na Slici 3.21.

Slika 3.21: Asimptotska linija na torusu.

Izvedimo sada formulu za izracunavanje asimptotskih smjerova i asimptotskih krivulja.

Teorem 93 Neka je r : U → R3 regularna ploha, te ρ : I → R3 definirana pravilom ρ(t) =r(u(t), v(t)) regularna krivulja na plohi r. Krivulja ρ je asimptotska krivulja, a smjer dudv asimptotski,ako i samo ako vrijedi

Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2 = 0. (3.1)

Dokaz. Obzirom da je

Kn =IIP (ρ, ρ)

IP (ρ, ρ),

slijedi da je Kn = 0 ako i samo ako je IIP (ρ, ρ) = 0. Iz ρ = r′uu+ r′v v = r′ududt + r′v

dvdt slijedi da je

IIP (ρ, ρ) =1

dt2(du2L+ 2dudvM + dv2N

),

pa je Kn = 0 ako i samo ako je du2L+ 2dudvM + dv2N = 0.

3.5.3 Glavni smjerovi i glavne krivulje

Definicija 94 Neka je r : U → R3 regularna ploha, te P = r(u, v) tocka na plohi r. Smjer svo-jstvenog vektora operatora oblika SP naziva se glavni smjer plohe r u tocki P. Normalna zakrivljenostplohe r u glavnom smjeru naziva se glavna zakrivljenost. Kazemo da je krivulja na plohi r glavnakrivulja ako svaki tangencijalni vektor te krivulje ima glavni smjer.


Propozicija 95 Glavne zakrivljenosti plohe r su svojstvene vrijednosti operatora oblika sa suprot-nim predznakom.

Dokaz. Neka je SP operator oblika plohe r. Ako je vektor e ∈TP (r) svojstveni vektor operatoraoblika, onda je SP (e) = αe gdje je α svojstvena vrijednost od e. Tada za zakrivljenost Kn plohe ru glavnom smjeru e vrijedi

Kn =IIP (e, e)

IP (e, e)=−e·SP (e)

e · e = −e·αe

e · e = −αe · ee · e = −α.

Obzirom da je SP simetrican operator tangencijalnog prostora TP (r), po spektralnom teoremuslijedi da su svojstveni vektori operatora SP okomiti, pa zakljucujemo da u prostoru TP (r) postojiortonormirana baza {e1, e2} svojstvenih vektora operatora SP , tj. glavni smjerovi plohe r u tockiP.

Definicija 96 Ortonormirana baza {e1, e2} tangencijalnog prostora TP (r) zove se baza glavnihsmjerova ako su vektori e1 i e2 glavni smjerovi plohe r u tocki P. Glavna zakrivljenost plohe r utocki P u smjeru vektora e1 (odnosno e2) oznacava se sa K1 (odnosno K2).

Teorem 97 (Eulerova formula) Neka je r : U → R3 regularna ploha, neka je P = r(u, v) tockana plohi r, neka je {e1, e2} baza glavnih smjerova tangencijalnog prostora TP (r), te neka je t ∈ TP (r)tangencijalni vektor na plohu r u tocki P. Za normalnu zakrivljenost Kn plohe r u smjeru vektorat vrijedi

Kn = K1 cos2 ϕ+K2 sin2 ϕ

pri cemu je ϕ kut izme�u vektora t i e1.

Dokaz. Obzirom da na normalnu zakrivljenost ne utjece duljina vektora smjera, mozemo pret-postaviti da je |t| = 1. Dakle, vrijedi t = cosϕ · e1 + sinϕ · e2 (vidi Sliku 3.22 b)). Sada imamo

Kn =IIP (t, t)

IP (t, t)=−t·SP (t)

t · t = −t·SP (t) =

= − (cosϕ · e1 + sinϕ · e2) · SP (cosϕ · e1 + sinϕ · e2) =

= − (cosϕ · e1 + sinϕ · e2) · (cosϕ · SP (e1) + sinϕ · SP (e2)) =

= − (cosϕ · e1 + sinϕ · e2) · (− cosϕ ·K1 · e1 − sinϕ ·K2 · e2) =

= K1 cos2 ϕ (e1 · e1) +K2 sin2 ϕ (e2 · e2) =

= K1 cos2 ϕ+K2 sin2 ϕ.

Izravna posljedica Eulerove formule je sljedeci teorem.

Teorem 98 Glavne zakrivljenosti plohe r : U → R3 u tocki P = r(u, v) su ekstremne vrijednostinormalnih zakrivljenosti u tocki P kako smjer zakrivljenosti rotira tangencijalnim prostorom okotocke P dodira s plohom.


Dokaz. Bez smanjenja opcenitosti mozemo pretopstaviti da je K1 ≥ K2. Iz Eulerove formuledobivamo

Kn = K1 cos2 ϕ+K2 sin2 ϕ = K1 cos2 ϕ+K2(1− cos2 ϕ) = K2 + (K1 −K2) cos2 ϕ

pa je vrijednost normalne zakrivljenosti funkcija u varijabli ϕ. Obzirom da je K1 −K2 ≥ 0, ocitose maksimalna vrijednost funkcije Kn postize za cos2 ϕ = 1 (tj. ϕ = 0), a minimalna za cos2 ϕ = 0(tj. ϕ = π

2 ). Za ϕ = 0 dobiva se glavni smjer e1, dok se za ϕ = π2 dobiva smjer e2. Dakle, glavni

smjer e1 je smjer maksimalne zakrivljenosti, a glavni smjer e2 je smjer minimalne zakrivljenosti.Geometrijska interpretacija glavnih smjerova i zakrivljenosti, te Eulerova formula, ilustrirani su

Slikom 3.22.

a) b)

Slika 3.22: a) Glavni smjerovi {e1, e2} i glavne zakrivljenosti. b) Prikaz jedinicnog tangencijalnogvektora t u bazi glavnih smjerova za primjenu u Eulerovoj formuli.

Rotacija tangencijalnog vektora oko tocke dirališta na plohi kojoj su glavne zakrivljenostisuprotnog predznaka, te koja ima i asimptotske smjerove, ilustrirana je Slikom 3.23.Sada je jošpotrebno odrediti formule za izracunavanje glavnih smjerova i glavnih krivulja.

Lema 99 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana krivulja. Tangencijalni vektor t = λr′u +µr′v plohe r ima glavni smjer ako i samo ako vrijedi∣∣∣∣∣∣

µ2 −λµ λ2

E F GL M N

∣∣∣∣∣∣ = 0. (3.2)

Dokaz. Tangencijalni vektor t = λr′u + µr′v ima glavni smjer ako i samo ako je svojstveni vektoroperatora smjera, tj. ako i samo ako je SP (t) = αt. Ovaj uvjet ekvivalentan je uvjetu SP (t)×t = 0.Dakle, potrebno je dokazati da je jednakost SP (t) × t = 0 ekvivalentna jednakosti (3.2) iz iskaza.Vrijedi

SP (t) = − 1

EG− F 2


] [λµ

]=

= − 1

EG− F 2

[−λ (FM −GL)− µ (FN −GM)λ (ME − FL) + µ (NE − FM)

]


a) b)

c) d)

Slika 3.23: Normalne zakrivljenosti u tocki hiperbolickog paraboloida: a) glavna zakrivljenost uglavnom smjeru e1, b) zakrivljenost u nekom smjeru t, c) zakrivljenost u asimptotskom smjeru a1,d) glavna zakrivljenost u glavnom smjeru e2.

pa je SP (t) = λr′u + µr′v pri cemu je

λ =1

EG− F 2(λ (FM −GL) + µ (FN −GM)) ,

µ =1

EG− F 2(−λ (ME − FL)− µ (NE − FM)) .

Dakle,

SP (t)× t = 0 ⇔(λr′u + µr′v

)× (λr′u + µr′v) = 0⇔

⇔(λµ− µλ

)r′u × r′u = 0.

Obzirom da je r′u × r′u 6= 0, mora biti λµ− µλ = 0 što je ekvivalentno sa

(λ (FM −GL) + µ (FN −GM))µ+ (λ (ME − FL) + µ (NE − FM))λ = 0,

FNµ2 − FLλ2 −GMµ2 + EMλ2 + ENλµ−GLλµ = 0,

µ2 (FN −GM) + λµ (EN −GL) + λ2 (EM − FL) = 0.

Uocimo da je lijeva strana jednakosti upravo razvoj determinante iz (3.2) po prvom retku, pa jelema dokazana.


Korolar 100 Neka je r : U → R3 regularna ploha, te neka je ρ : I → R3 definirana sa ρ(t) =r(u(t), v(t)) regularna krivulja na plohi r. Krivulja ρ je glavna krivulja, a smjer du

dv glavni, ako isamo ako vrijedi ∣∣∣∣∣∣

dv2 −dudv du2

E F GL M N

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Dokaz. Tvrdnja slijedi uvrštavanjem vektora ρ = r′uu+ r′v v = r′ududt + r′v

dvdt u jednadzbu (3.2).

3.5.4 Gaussova i srednja zakrivljenost

Definicija 101 Neka je r : U → R3 regularna ploha. Funkcija K : U → R, definirana sa K =K1K2 zove se Gaussova ili potpuna zakrivljenost, dok se funkcija H : U → R definirana saH = 1

2 (K1 +K2) zove srednja zakrivljenost plohe r.

Propozicija 102 Vrijedi

H = −1

2Tr (SP ) i K = detSP .

Dokaz. Obzirom da su determinanta i trag operatora invarijantni na odabir baze, mozemo razma-trati matricu operatora SP u bazi glavnih smjerova {e1, e2} . Znamo da je tada matrica operatoradijagonalna, sa svojstvenim vrijednostima na dijagonali, tj. vrijedi

SP =

[−K1 0

0 −K2

].

Dakle,

H =1

2(K1 +K2) = −1

2(−K1 −K2) = −1

2Tr (SP ) ,

K = K1K2 = (−K1) (−K2) = detSP .

Teorem 103 Vrijedi

K =LN −M2

EG− F 2i H =

LG− 2MF +NE

2(EG− F 2).

Dokaz. Obzirom da je u bazi koordinatnih vektora {r′u, r′v} operator SP prikazan matricom

SP = − 1

EG− F 2


]slijedi

K = detSP =LN −M2

GE − F 2i H = −1

2Tr (SP ) =

LG− 2MF +NE

2(EG− F 2).

Korolar 104 Glavne zakrivljenosti K1 i K2 su korijeni kvadratne jednadzbe K2n−2H ·Kn+K = 0,

tj. vrijedi K1,2 = H ±√H2 −K.

Dokaz. Lako se provjeri uvrštavanjem u jednadzbu, imajuci u vidu da je K = K1K2, a H =12 (K1 +K2).


3.5.5 Klasifikacija tocaka na plohi

Definicija 105 Kazemo da je tocka P = r (u, v) na plohi r:

• elipticka, ako vrijedi K > 0,

• hiperbolicka, ako vrijedi K < 0,

• parabolicka, ako vrijedi K = 0 i H 6= 0,

• planarna, ako vrijedi K = 0 i H = 0,

pri cemu se vrijednosti K i H izracunavaju u tocki (u, v) koja daje tocku P.

Obzirom da je K = K1K2, da bismo proanalizirali što ovakva definicija znaci mozemo bezsmanjenja opcenitosti pretpostaviti K1 ≤ K2. Ocito, tocka P na plohi r ce biti elipticka ako isamo ako su obje glavne zakrivljenosti u P istog predznaka (K1 ≤ K2 < 0 ili 0 < K1 ≤ K2),hiperbolicka ako i samo ako su suprotnog predznaka (K1 < 0 < K2), parabolicka ako je tocnojedna glavna zakrivljenost jednaka nula (K1 < K2 = 0 ili 0 = K1 < K2), a planarna ako su objeglavne zakrivljenosti jednake nula (K1 = K2 = 0). Uocimo da razlika izme�u parabolicke i planarnetocke proizlazi iz razlicite vrijednosti H = 1

2 (K1 + K2). Naime, da bi vrijedilo H 6= 0 ocito baremjedna glavna zakrivljenost mora biti razlicita od nula (parabolicka tocka), a da bi vrijedilo H = 0(uz K = K1K2 = 0) ocito obje glavne zakrivljenosti moraju biti jednake 0. Izgled plohe u okolinielipticke, hiperbolicke i parabolicke tocke ilustriran je Slikom 3.24.

a) b) c)

Slika 3.24: Vrste tocaka na plohi: a) elipticka tocka, b) hiperbolicka tocka, c) parabolicka tocka.

Izgled plohe oko planarne tocke moze biti raznolik i teško ga je detaljno rašclaniti. Ravnina jeprimjer plohe na kojoj je svaka tocka planarna, ali i tzv. majmunsko sedlo tako�er ima planarnutocku.Uocimo sada da vrijedi sljedeca lema.

Lema 106 Ako je tocka na plohi:

• elipticka, onda u toj tocki nema asimptotskih smjerova,

• hiperbolicka, onda u toj tocki postoje tocno dva asimptotska smjera,


• parabolicka, onda u toj tocki postoji samo jedan asimptotski smjer koji je ujedno i glavni smjer,

• planarna, onda je svaki smjer u toj tocki asimptotski.

Dokaz. Razmotrimo jednadzbu

Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2 = 0 / : dv2 ⇒ Ldu2

dv2+ 2M

du

dv+N = 0

iz koje se izracunavaju asimptotski smjerovi. To je kvadratna jednadzba s diskriminantomM2−LN.Iz

K =LN −M2

EG− F 2⇒M2 − LN = −K(EG− F 2︸︷︷︸

>0

)

slijedi:

• za elipticku tocku (K > 0) vrijedi M2 − LN < 0, pa kvadratna jednadzba nema rješenja, tj.krivulja nema asimptotskih smjerova u promatranoj tocki;

• za hiperbolicku tocku (K < 0) vrijedi M2 −LN > 0, pa kvadratna jednadzba ima tocno dvarealna rješenja, tj. krivulja ima tocno dva asimptotska smjera u promatranoj tocki;

• za parabolicku tocku (K = 0, H 6= 0) vrijedi M2 − LN = 0, onda kvadratna jednadzba imatocno jedno realno rješenje, tj. krivulja ima tocno jedan asimptotski smjer u promatranojtocki (da je to ujedno i glavni smjer, slijedi iz cinjenice da je K = K1K2 = 0, pa je K1 = 0 iliK2 = 0);

• za planarnu tocku (K = 0, H = 0) vrijedi K1 = K2 = 0, a obzirom da su glavne zakrivljenostiekstremi normalnih zakrivljenosti, slijedi da je svaka normalna zakrivljenost nula, pa je svakismjer asimptotski.

Primjeri ploha koje imaju samo elipticke, samo hiperbolicke ili samo parabolicke tocke ilustriranisu Slikom 3.25.Naravno, plohe mogu sadrzavati sve tri vrste tocaka, primjer za to je torus.

3.5.6 Dupinova indikatrisa

Definicija 107 Neka je r : U → R3 regularna ploha, P = r(u, v) tocka na toj plohi i TP (r)tangencijalni prostor plohe r u tocki P. Skup DP ⊂ TP (r) definiran sa

DP = {t ∈ TP (r) : |IIP (t, t)| = 1}

zove se Dupinova indikatrisa.

Uocimo da

Kn =IIP (t, t)

IP (t, t)⇒ IIP (t, t) = Kn · IP (t, t) = Kn t · t = Kn |t|2 ,


a) b) c)

Slika 3.25: Primjeri ploha koje imaju samo: a) elipticke tocke, b) hiperbolicke tocke, c) parabolicketocke.

pa je

|IIP (t, t)| = 1⇔ |Kn| |t|2 = 1⇔ |t| = 1√|Kn|

.

Dakle, Dupinova indikatrisa se dobije ako se u tangencijalnom prostoru u svakom smjeru nanesetangencijalni vektor duljine 1√

|Kn|, pri cemu je Kn zakrivljenost plohe u tom smjeru (vidi Sliku

3.26).

Slika 3.26: Dupinova indikatrisa.


Nadalje, neka je {e1, e2} baza glavnih smjerova prostora TP (r), neka je t = xe1 + ye2, te nekaje ϕ = ](t, e1). Uocimo da je

x = |t| cosϕ i y = |t| sinϕ.Tada jednadzba Dupinove indikatrise glasi

±1 = IIP (t, t) = Kn |t|2 = (K1 cos2 ϕ+K2 sin2 ϕ) |t|2 =

= K1 |t|2 cos2 ϕ+K2 |t|2 sin2 ϕ = K1x2 +K2y

2.

Bez smanjenja opcenitosti mozemo smatratiK1 ≤ K2. Zakljucujemo, dakle, da je u slucaju elipticketocke (0 < K1 ≤ K2 iliK1 ≤ K2 < 0) Dupinova indikatrisa elipsa, da je u slucaju hiperbolicke tocke(K1 < 0 < K2) Dupinova indikatrisa par konjugiranih hiperbola pri cemu asimptotski smjeroviplohe odre�uju smjerove asimptota konjugiranog para hiperbola, te da je u slucaju parabolicke tocke(0 = K1 < K2 ili K1 < K2 = 0) Dupinova indikatrisa par paralelnih pravaca. U slucaju planarnetocke Dupinova indikatrisa ne postoji. Izgled Dupinove indikatrise u eliptickoj, hiperbolickoj iparabolickoj tocki prikazan je na Slici 3.27.

a) b) c)

Slika 3.27: Dupinova indikatrisa za: a) elipticku tocku, b) hiperbolicku tocku, c) parabolicku tocku.

3.5.7 Razvojne i minimalne plohe

Definicija 108 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Kazemo da je ploha rrazvojna, ako je Gaussova zakrivljenost K u svakoj tocki plohe jednaka nula.

Moze se neformalnije reci da se razvojna ploha moze razviti u ravninu bez stezanja ili rastezanjaplohe. Ili, govoreci u obrnutom smjeru, mozemo reci da razvojna ploha nastaje transformacijomravnine (savijanje, preklapanje, zavijanje, ...) bez rastezanja ili stezanja te ravnine.

Primjer 109 Primjeri razvojnih ploha su:

• konus r(u, v) = (u cos v, u sin v, u),

• cilindar r(u, v) = (cos v, sin v, u).

Razvojne plohe iz prethodnog primjera prikazane su na Slici 3.28, a dokaz da su te plohe uistinurazvojne (tj. odre�ivanje Gaussove zakrivljenosti K za te plohe) ostavljamo citatelju za vjezbu.


a) b)

Slika 3.28: Primjeri razvojnih ploha: a) konus, b) cilindar.

Definicija 110 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Kazemo da je ploha rminimalna, ako je srednja zakrivljenost H u svakoj tocki plohe jednaka nula.

Motivacija za definiranje minimalnih ploha je sljedeca: ako je zadana zatvorena krivulja uprostoru, zelimo pronaci plohu u prostoru kojoj je ta zatvorena krivulja rub, a koja ima minimalnupovršinu. Takve plohe se jošnazivaju ’plohe mjehura od sapunice’jer se fizikalno takve plohe mogudobiti tako da se fiksni okvir uroni u sapunicu, a ploha koju formira sapunica u tom okviru jeminimalna ploha.

Primjer 111 Primjeri minimalnih ploha su:

• ravnina r(u, v) = r0 + u cos v · s1 + u sin v · s2 pri cemu su s1 i s2 ortonormirani vektori,

• katenoid r(u, v) = (coshu cos v, coshu sin v, u) koji nastaje rotacijom lancanice x = cosh z okoosi z,

• helikoid r(u, v) = (u cos v, u sin v, v).

Minimlne plohe iz prethodnog primjera prikazane su na Slici 3.29, a dokaz da su te plohe uistinuminimalne (tj. odre�ivanje srednje zakrivljenosti H za te plohe) ostavljamo citatelju za vjezbu.

3.5.8 Pravcaste plohe

Definicija 112 Neka su α : I → R3 i β : I → R3 parametrizirane krivulje pri cemu je β(u) 6= 0za svaki u ∈ I. Parametrizirana ploha r : I × R→ R3 definirana pravilom

r(u, v) = α(u) + vβ(u)

naziva se pravcasta ploha, pri cemu se krivulja α naziva ravnalica (ili direktrisa), dok se krivulja βnaziva izvodnica pravcaste plohe r.

Propozicija 113 Ako je ploha r pravcasta, onda kroz svaku tocku plohe prolazi barem jedan pravacsadrzan na plohi.


a) b) c)

Slika 3.29: Primjeri minimalnih ploha: a) ravnina, b) katenoid, c) helikoid.

Dokaz. Neka je ploha r pravcasta. Zelimo pokazati da onda svakom tockom plohe prolazi baremjedan pravac koji lezi na plohi. U tu svrhu neka je P0 = r(u0, v0) neka tocka na pravcastoj plohir(u, v) = α(u) + vβ(u). Uocimo da je krivulja

ρ(v) = α(u0) + vβ(u0)

pravac jer su vektori α(u0) i β(u0) konstantni. Nadalje, taj pravac lezi na plohi jer za svaki vvrijedi ρ(v) = r(u0, v). Dakle, pokazali smo da kroz svaku tocku pravcaste plohe prolazi baremjedan pravac sadrzan na plohi.

Ako kroz svaku tocku pravcaste plohe prolaze cak dva razlicita pravca, onda kazemo da je plohadvostruko pravcasta.

Primjer 114 Pokazi da su:

a) cilindar r(u, v) = (cos v, sin v, u),

b) konus r(u, v) = (u cos v, u sin v, u),

c) hiperbolicki paraboloid r(u, v) = (v, u− v, u2 − 2uv),

d) jednoplošni hiperboloid r(u, v) = (cosu+ v sinu, sinu− v cosu, v),

pravcaste plohe.

Dokaz. a) Ovo je parametrizacija cilindra x2 + y2 = 1. Uocimo da vrijedi

r(u, v) = (cos v, sin v, u) = (cos v, sin v, 0) + u(0, 0, 1) = α(v) + uβ(v)

pa je cilindar pravcasta ploha za α(v) = (cos v, sin v, 0) i β(v) = (0, 0, 1).b) Ovo je parametrizacija konusa x2 + y2 = z2. Uocimo da vrijedi

r(u, v) = (u cos v, u sin v, u) = (0, 0, 0) + u(cos v, sin v, 1) = α(v) + uβ(v)

pa je konus pravcasta ploha za α(v) = (0, 0, 0) i β(v) = (cos v, sin v, 1).


c) Ovo je parametrizacija hiperbolickog paraboloida −x2 + y2 = z2. Uocimo da vrijedi

r(u, v) = (v, u− v, u2 − 2uv) = (0, u, u2) + v(1,−1,−2u) = α(u) + vβ(u)

pa je hiperbolicki paraboloid pravcasta ploha za α(u) = (0, u, u2) i β(u) = (1,−1,−2u).d) Ovo je parametrizacija jednoplošnog hiperboloida x2 + y2 − z2 = 1. Uocimo da vrijedi

r(u, v) = (cosu+ v sinu, sinu− v cosu, v) = (cosu, sinu, 0) + v(sinu,− cosu, 1) = α(u) + vβ(u)

pa je hiperbolicki paraboloid pravcasta ploha za α(u) = (cosu, sinu, 0) i β(u) = (sinu,− cosu, 0).Pravcaste plohe iz prethodnog primjera prikazane su na Slici 3.30.

a) b)

c) d)

Slika 3.30: Primjeri pravcastih ploha: a) konus, b) cilindar, c) jednoplošni hiperboloid, d) dvoplošnihiperboloid.

Propozicija 115 Neka je r(u, v) = α(u)+vβ(u) pravcasta ploha. Tada za Gaussovu zakrivljenostK plohe r vrijedi

K = −M2

W 2= − (α′ + vβ′,β,β′)2∣∣(α′ + vβ′)× β

∣∣4 .Dokaz. Za pravcastu plohu r vrijedi r′u = α′ + vβ′ i r′v = β, pa je

E = (α′)2 + 2vα′β′ + v2(β′)2, F = α′ + vβ′β i G = β2.


Da bismo odredili Weingartenovu funkciju podsjetimo se da je W = |r′u × r′v| . Dakle, vrijedi W =∣∣(α′+vβ′)× β∣∣ . Nadalje, za pravcastu plohu r vrijedi r′′uu = α′′ + vβ′′, r′′uv = β′ i r′′vv = 0, pa je

L =1

W(α′ + vβ′,β,α′′ + vβ′′),

M =1

W(α′ + vβ′,β,β′),

N =1

W(α′ + vβ′,β,0) = 0.

Uocimo da je sada

K =LN −M2

EG− F 2= −M

2

W 2=

1

W 2(0− 1

W 2(α′ + vβ′,β,β′)2) =

= − 1

W 4(α′ + vβ′,β,β′)2 = − (α′ + vβ′,β,β′)2∣∣(α′ + vβ′)× β

∣∣4 ,cime smo dokazali tvrdnju.Obzirom da Propozicije 115 znamo da za pravcaste plohe moze biti K = 0 ili K < 0, slijedi da

nije svaka pravcasta ploha razvojna. Zato uvodimo sljedecu definiciju.

Definicija 116 Svaka pravcasta ploha koja nije razvojna naziva se vitopera pravcasta ploha.

Dakle, ovime smo pravcaste plohe podijelili u dvije klase - razvojne pravcaste plohe i vitoperepravcaste plohe. Od cetiri pravcaste plohe koje smo spomenuli u Primjeru 114, konus i cilindar surazvojne pravcaste plohe, dok su hiperbolicki paraboloid i jednoplošni hiperboloid vitopere pravcasteplohe. Moze se pokazati da su jednoplošni paraboloid i elipticki hiperboloid ujedno i dvostrukopravcaste plohe.

3.6 Fundamentalne jednadzbe plohe

3.6.1 Pravila diferenciranja i Christoffelovi simboli

Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Za svaki (u, v) ∈ U vektori r′u, r′v i N tvorebazu prostora. Dakle, svi vektori, pa tako i vektori r′′uu, r′′uv, r′′vv, se mogu prikazati u toj bazi.Vrijedi

r′′uu = Γuuur′u + Γvuur

′v + LN,

r′′uv = Γuuvr′u + Γvuvr

′v +MN,

r′′vv = Γuvvr′u + Γvvvr

′v +NN.

pri cemu se simboli Γkij nazivaju se Christoffelovi simboli druge vrste. Ove formule nazivaju seGaussove derivacijske formule. Da bismo izrazlili Christoffelove simbole pomocu koeficijenata prvei druge fundamentalne forme, te njihovih derivacija, potrebno je najprije tako izraziti skalarneprodukte oblika r′′ij · r′k (pri cemu i, j, k poprimaju vrijednosti u, v, pa imamo sve skupa 6 takvihprodukata). Deriviranjem jednakosti (r′u)

2= E po u i po v dobivamo

2r′u · r′′uu = E′ur′′uu · r′u = 1

2E′ui

2r′u · r′′uv = E′vr′′uv · r′u = 1

2E′v.

3.6. FUNDAMENTALNE JEDNADZBE PLOHE 77

Nadalje, deriviranjem jednakosti (r′v)2

= G po u i v dobivamo

2r′v · r′′uv = G′ur′′uv · r′v = 1

2G′ui

2r′v · r′′vv = G′vr′′vv · r′v = 1

2G′v.

Konacno, deriviranjem jednakosti r′u · r′v = F dobivamo

r′′uu · r′v + r′u · r′′uv = F ′ur′′uu · r′v + 1

2E′v = F ′u

r′′uu · r′v = F ′u − 12E′v

ir′′uv · r′v + r′u · r′′vv = F ′v12G′u + r′u · r′′vv = F ′v

r′′vv · r′u = F ′v − 12G′u.

Sada mnozimo jednakost r′′uu = Γuuur′u + Γvuur

′v + LN skalarno sa r′u i r′v cime dobivamo sustav

r′′uu · r′u = Γuuur′u · r′u + Γvuur

′v · r′u + LN · r′u

r′′uu · r′v = Γuuur′u · r′v + Γvuur

′v · r′v + LN · r′v

12E′u = EΓuuu + FΓvuu

F ′u − 12E′v = FΓuuu +GΓvuu

koji se lako riješi, pa imamo

Γuuu =GE′u − 2FF ′u + FE′v

2(EG− F 2)

Γvuu =−FE′u + 2EF ′u − EE′v

2(EG− F 2)

Mnozenjem jednakosti r′′uv = Γuuvr′u + Γvuvr

′v +MN skalarno sa r′u i r

′v, te jednakosti r

′′vv = Γuvvr

′u +

Γvvvr′v +NN skalarno sa r′u i r

′v, posve analogno dobivamo po sustav, iz kojih izracunamo preostale

Christoffelove simbole, tj.

Γuuv =GE′v − FG′u2(EG− F 2)

Γvuv =EG′u − FE′v2(EG− F 2)

Γuvv =−FG′v + 2GF ′v −GG′u

2(EG− F 2)

Γvvv =EG′v − 2FF ′v + FG′u

2(EG− F 2).

Što se tice prikaza derivacija vektora normale N u bazi {r′u, r′v,N}, vrijedi

N′u =FM −GLEG− F 2

r′u +FL− EMEG− F 2

r′v

N′v =FN −GMEG− F 2

r′u +FM − ENEG− F 2

r′v

pri cemu se ove formule nazivaju Weingartenove derivacijske formule.


U slucaju kad su krivulje zakrivljenosti ujedno koordinatne krivulje (tj. F = 0 i M = 0), tadaWeingartenove derivacijske formule poprimaju oblik

N′u = −LE

r′u,

N′v = −NG

r′v

i zovu se Rodriguesove formule.

Teorem 117 (Gauss, Codazzi, Mainardi) Za bilo koju regularnu plohu r : U → R3 vrijedejednadzbe

EK =∂Γvuu∂v− ∂Γvuv

∂u+ ΓuuuΓvuu + ΓvuuΓvuv − ΓuuvΓ

vuu − ΓvuvΓ

vuv

FK =∂Γuuv∂u

− ∂Γuuu∂v

+ ΓuuvΓvuv − ΓvuuΓuvv

FK =∂Γvuv∂v− ∂Γvvv

∂u+ ΓuuvΓ

vuv − ΓvuuΓuvv

GK =∂Γuvv∂u− ∂Γuuv

∂v+ ΓuuuΓuvv + ΓuuvΓ

vvv − ΓuuvΓ

uuv − ΓvuvΓ

uvv

koje se zovu Gaussove jednadzbe, te jednadzbe

L′v −M ′u = LΓuuv +M(Γvuv − Γuuu) +NΓvuu, (3.3)

M ′v −N ′u = LΓuvv +M(Γvvv − Γuuv) +NΓvuv.

koje se zovu Codazzi-Mainardi jednadzbe.

Dokaz. Ispuštamo zbog slozenosti.

Teorem 118 (Gaussov theorema egregium) Gaussova zakrivljenost regularne plohe ovisi samoo koeficijentima prve fundamentalne forme i njihovim derivacijama prvog i drugog reda.

Dokaz. Podsjetimo se da je

K =LN −M2

EG− F 2

što mozemo zapisati i kao K(EG− F 2

)= LN −M2. Uvrštavanjem izraza za L, M i N dobivamo

K(EG− F 2

)=

1

W(r′u, r

′v, r′′uu)

1

W(r′u, r

′v, r′′vv)−

1

W 2(r′u, r

′v, r′′uv)

2,

K(EG− F 2

)2= (r′u, r

′v, r′′uu) (r′u, r

′v, r′′vv)− (r′u, r

′v, r′′uv)

2.

Obzirom da su oba pribrojnika u dobivenom izrazu umnošci mješovitih produkta, a za opcenitevektore a, b, c, d, e i f vrijedi formula

(a,b, c) (d, e, f) =

∣∣∣∣∣∣a · d a · e a · fb · d b · e b · fc · d c · e c · f

∣∣∣∣∣∣ ,

3.6. FUNDAMENTALNE JEDNADZBE PLOHE 79

primjenom te formule dobivamo

K(EG− F 2

)2=

∣∣∣∣∣∣r′u · r′u r′u · r′v r′u · r′vvr′v · r′u r′v · r′v r′v · r′vvr′′uu · r′u r′′uu · r′v r′′uu · r′vv

∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣r′u · r′u r′u · r′v r′u · r′uvr′v · r′u r′v · r′v r′v · r′uvr′′uv · r′u r′′uv · r′v r′′uv · r′uv

∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣E F r′u · r′vvF G r′v · r′vv

r′′uu · r′u r′′uu · r′v r′′uu · r′vv

∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣

E F r′u · r′uvF G r′v · r′uv

r′′uv · r′u r′′uv · r′v r′′uv · r′uv

∣∣∣∣∣∣ =

=

r′′uu · r′vv(EG− F 2

)+


r′′uu · r′u r′′uu · r′v 0

∣∣∣∣∣∣−

−

r′′uv · r′uv(EG− F 2

)+

∣∣∣∣∣∣E F r′u · r′uvF G r′v · r′uv

r′′uv · r′u r′′uv · r′v 0

∣∣∣∣∣∣

= (r′′uu · r′vv − r′′uv · r′uv)(EG− F 2

)+


r′′uu · r′u r′′uu · r′v 0

∣∣∣∣∣∣−−

∣∣∣∣∣∣E F r′u · r′uvF G r′v · r′uv

r′′uv · r′u r′′uv · r′v 0

∣∣∣∣∣∣Znamo od prije da je

r′′uu · r′u =1

2E′u

r′′uv · r′u =1

2E′v

r′′uv · r′v =1

2G′u

r′′vv · r′v =1

2G′v

r′′uu · r′v = F ′u −1

2E′v

r′′vv · r′u = F ′v −1

2G′u

pa vidimo da se svi izrazi u dvjema determinantama mogu izraziti pomocu koeficijenata E, F i G.Preostaje jošpreko njih izraziti r′′uu · r′vv − r′′uv · r′uv. Deriviranjem pete od ovih jednakosti po v, tetrece po u, dobivamo

r′′′uuv · r′v + r′′uu · r′vv = F ′′uv −1

2E′′vv

r′′′uuv · r′v + r′′uv · r′vu =1

2G′′uu.

Sada njihovim oduzimanjem dobivamo

r′′uu · r′vv − r′′uv · r′uv = F ′u −1

2E′v −

1

2G′′uu.


Uvrštavanjem svega dobivenog u jednadzbu za K dobivamo

K(EG− F 2

)2=

(F ′′uv −

1

2E′′vv −

1

2G′′uu

)(EG− F 2

)+

∣∣∣∣∣∣E F F ′v − 1

2G′u

F G 12G′v

12E′u F ′u − 1

2E′v 0

∣∣∣∣∣∣−−

∣∣∣∣∣∣E F 1

2E′v

F G 12G′u

12E′v

12G′u 0

∣∣∣∣∣∣ .Sada spajanjem determinante s razvojem po elementu, te dijeljenjem s

(EG− F 2

)2, dobivamo

K =1

(EG− F 2)2

∣∣∣∣∣∣E F F ′v − 1

2G′u

F G 12G′v

12E′u F ′u − 1

2E′v F ′′uv − 1

2E′′vv − 1

2G′′uu

∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣E F 1

2E′v

F G 12G′u

12E′v

12G′u 0

∣∣∣∣∣∣ . (3.4)

Moze se pokazati da vrijedi i sljedeca formula za Gaussovu zakrivljenost

K =1

4(EG− F 2)2

∣∣∣∣∣∣E E′u E′vF F ′u F ′vG G′u G′v

∣∣∣∣∣∣+1

2√EG− F 2

(∂

∂u

(F ′v −G′u√EG− F 2

)+

∂

∂v

(F ′u − E′v√EG− F 2

))

koja se naziva Frobeniusova, a koja u slucaju ortogonalnih koordinatnih krivulja (F = 0) postaje

K =1

2√EG

(∂

∂u

(−G′u√EG

)+

∂

∂v

(−E′v√EG

)).

Teorem 119 (Bonnet) Ako 6 funkcija E,G, F, L,M,N : U → R, pri cemu je U ⊆ R2 otvorenskup, zadovoljavaju Gaussove jednadzbe i Codazzi-Mainardi jednadzbe, tada postoji jedinstvena ploha(do na polozaj u prostoru) kojoj su te funkcije koeficijenti prve i druge fundamentalne forme.

Dokaz. Ispuštamo zbog slozenosti.

3.7 Geodetska zakrivljenost i geodetske krivulje

3.7.1 Geodetska zakrivljenost

Analizirajuci zakrivljenost krivulja dosada smo uveli Frenetov trobrid. Ako analiziramo krivuljukao neovisan objekt, Frenetov trobrid je jako prikladan. Me�utim, ako zelimo analizirati krivuljukoja lezi na plohi, dakle koja nije neovisan objekt nego je u nekakvom odnosu prema plohi, ondaFrenetov trobrid nije uvijek najprikladniji, nego je ponekad prikladniji tzv. Darbouxov trobrid.

Definicija 120 Neka je r : U → R3 regularna ploha i neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t))regularna krivulja na plohi r. Darbouxov trobrid krivulje ρ na plohi r u tocki t ∈ I je ure�enatrojka (t(t),N(t)× t(t),N(t)) pri cemu je t(t) tangencijalni vektor krivulje ρ, dok je N(t) vektornormale plohe r.

3.7. GEODETSKA ZAKRIVLJENOST I GEODETSKE KRIVULJE 81

Slika 3.31: Darbouxov trobrid i njegov odnos prema Frenetovom trobridu.

Darbouxov trobrid i njegov odnos prema Frenetovu trobridu prikazan je na Slici 3.31.

Obzirom da je Darbouxov trobrid ortonormirana trojka vektora, slijedi da on tvori bazu prostoraV 3, pa se svaki vektor prostora V 3 moze prikazati u toj bazi. Zelimo prikazati u bazi Darbouxovogtrobrida vektor zakrivljenosti κn krivulje ρ, tj. trazimo koeficijente α, β i γ u prikazu

κn = αt + βN× t + γN.

Mnozenjem ove jednakosti vektorima t, N× t i N redom, dobivamo

α = 0, β = κn · (N× t) i γ = κn ·N.

Geometrijski gledano (vidi Sliku 3.32), komponente α, β i γ su projekcije vektora κn na vektore t,N× t i N redom. Obzirom da je vektor n okomit na vektor t, slijedi da komponenta α mora bitinula. A za β i γ iz svojstava skalarnog produkta slijedi da su jednaki skalarnom produktu vektoraκn sa vektorima N× t i N redom.Uocimo da je velicina γ = κn ·N jednaka normalnoj zakrivljenosti Kn krivulje ρ na plohi r,

a sada cemo velicinu β = κn · (N× t) nazvati geodetskom zakrivljenošcu krivulje ρ na plohi r.Obje ove velicine mogu biti i pozitivne i negativne, što ovisi o kutu izme�u vektora n i vektora N,odnosno n i N× t.

Definicija 121 Neka je r : U → R3 regularna ploha i neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t))regularna krivulja na plohi r. Geodetska zakrivljenost krivulje ρ na plohi r je funkcija Kg : U → Rdefinirana kao Kg = κn · (N× t) . U slucaju kad je κ = 0, definiramo Kg = 0.

Dakle, vrijediκn =Kg · (N× t) +Kn ·N.

što je ilustrirano na Slici 3.32.Uocimo iz geometrijske interpretacije da je geodetska zakrivljenost Kg = 0 ako i samo ako su

vektori n i N kolinearni. Tako�er, obzirom da je |κn| = κ duljina hipotenuze u pravokutnomtrokutu kojem su duljine kateta |Kn| i |Kg| redom, po Pitagorinom poucku slijedi κ2 = K2

n +K2g .

Sada zelimo odrediti formulu za geodetsku zakrivljenost koja ovisi samo o ρ i r i njihovimderivacijama.


Slika 3.32: Prikaz vektora κn u bazi Darbouxovog trobrida.

Propozicija 122 Neka je r : U → R3 regularna ploha i neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t))regularna krivulja na plohi r. Tada vrijedi

Kg =(ρ, ρ,N)

|ρ|3.

Dokaz. Uocimo da je

Kg = κn · (N× t) = κ (N× t) · n = κ (N, t,n) =

= −κ (t,N,n) = κ (t,n,N) = κ(t× n) ·N =

= κb ·N.

Razmotrimo vektorρ× ρ|ρ|3

.

Ovaj vektor ima isti smjer kao vektor b, a duljina mu je κ. Ako ga dakle podijelimo s κ dobit cemojedinicni vektor u smjeru vektora b, tj. sam vektor b. Dakle,

b =ρ× ρκ |ρ|3

.

Sada je

Kg = κb ·N =κρ× ρκ |ρ|3

·N =(ρ, ρ,N)

|ρ|3.

Propozicija 123 Neka je r : U → R3 regularna ploha i neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t))regularna krivulja na plohi r. Tada vrijedi

Kg =W

(Eu2 + 2Fuv +Gv2)3/2

∣∣∣∣u u+ Γuuuu2 + 2Γuuvuv + Γuvv v

2

v v + Γvuuu2 + 2Γvuvuv + Γvvv v

2

∣∣∣∣ .


Dokaz. Obzirom da je ρ krivulja na plohi r, vrijedi

ρ = r′uu+ r′v v,

ρ = (r′′uuu+ r′′uv v) u+ r′uu+ (r′′uvu+ r′′vv v) v + r′v v =

= r′′uuu2 + 2r′′uvuv + r′′vv v

2 + r′uu+ r′v v.

Nadalje, podsjetimo se da vrijedi

r′′uu = Γuuur′u + Γvuur

′v + LN,

r′′uv = Γuuvr′u + Γvuvr

′v +MN,

r′′vv = Γuvvr′u + Γvvvr

′v +NN.

Dakle, slijedi

ρ = (Γuuur′u + Γvuur

′v + LN) u2 + 2 (Γuuvr

′u + Γvuvr

′v +MN) uv + (Γuvvr

′u + Γvvvr

′v +NN) v2 + r′uu+ r′v v =

=(u+ Γuuuu

2 + 2Γuuvuv + Γuvv v2)r′u +

(v + Γvuuu

2 + 2Γvuvuv + Γvvv v2)r′v +

(Lu2 + 2Muv +Nv2

)N =

=(u+ Γuuuu

2 + 2Γuuvuv + Γuvv v2)r′u +

(v + Γvuuu

2 + 2Γvuvuv + Γvvv v2)r′v + II(ρ, ρ)N

Sada imamo

ρ× ρ = u(v + Γvuuu

2 + 2Γvuvuv + Γvvv v2)r′u × r′v + u II(ρ, ρ)r′u ×N+

+v(u+ Γuuuu

2 + 2Γuuvuv + Γuvv v2)r′v × r′u + v II(ρ, ρ)r′v ×N

=


2


2

∣∣∣∣ r′u × r′v + u II(ρ, ρ) r′u ×N + v II(ρ, ρ) r′v ×N.

Konacno, slijedi

Kg =(ρ, ρ,N)

|ρ|3=

1

(ρ · ρ)3/2

((ρ× ρ) ·N) =

=1

II (ρ, ρ)3/2


2


2

∣∣∣∣ (r′u × r′v) ·N.

Obzirom da je II (ρ, ρ) = Eu2 + 2Fuv +Gv2 i

(r′u × r′v) ·N = (r′u × r′v) ·r′u × r′v|r′u × r′v|

=|r′u × r′v|

2

|r′u × r′v|= |r′u × r′v| =

√EG− F 2 = W,

slijedi tvrdnja.

3.7.2 Geodetske krivulje

Definicija 124 Neka je r : U → R3 regularna ploha i neka je ρ : I → R3, ρ(t) = r(u(t), v(t))regularna krivulja na plohi r. Kazemo da je ρ geodetska krivulja ako je Kg = 0 za svaki t ∈ I.

Podsjetimo se da je geodetska zakrivljenost Kg u nekoj tocki krivulje na plohi biti jednaka nulaako i samo ako su vektor glavne normale n krivulje i vektor normale N plohe me�usobno kolinearni.Dakle, neka krivulja na plohi je geodetska ako su vektor n krivulje i vektor N plohe kolinearni usvakoj tocki krivulje.


Primjer 125 Neka su: a) sfera x2 +y2 +z2 = 1, b) cilindar x2 +y2 = 1, parametrizirani standard-nom parametrizacijom (vidi Primjer 62). Odgovori jesu li meridijani i paralele takve parametrizacijegeodetske krivulje plohe.

Dokaz. a) Uocimo (vidi Sliku 3.33) da je svaki meridijan sfere geodetska krivulja, jer je u svakojtocki meridijana glavna normala n meridijana kolinearna sa normalom N sfere. Što se paralela tice,samo ekvator je geodetska krivulja, jer za sve ostale paralele vrijedi da glavna normala n paralelenije kolinearna s normalom N sfere.b) Svaki meridijan cilindra je pravac za kojeg vrijedi κ = 0, pa je onda i Kg = 0, što znaci da

je svaki meridijan geodetska krivulja. Svaka paralela cilindra je tako�er geodetska krivulja jer su usvakoj tocki vektor glavne normale n paralele i vektor normale N plohe kolinearni (vidi Sliku 3.33).

a) b) c)

Slika 3.33: Geodetske krivulje na sferi su: a) svi meridijani, b) od paralela samo ekvator, dok su nac) cilindru to svi meridijani i sve paralele.

Opcenito, geodetske krivulje na plohi se odre�uju iz jedne od dvije diferencijalne jednadzbe zageodetske krivulje, a koje se dobivaju iz dviju formula za geodetsku zakrivljenost (Propozicije 122i 123) izjednacavanjem Kg sa nula.Po Propoziciji 122 slijedi da diferencijalna jednadzba geodetskih krivulja glasi

(ρ, ρ,N) = 0,

dok po Propoziciji 123 dobivamo sljedecu diferencijalnu jednadzbu za geodetske krivulje∣∣∣∣u u+ Γuuuu2 + 2Γuuvuv + Γuvv v

2


2

∣∣∣∣ = 0,

uv − uv + Γvuuu3 + (2Γvuv − Γuuu) u2v + (Γvvv − 2Γuuv) uv

2 + Γuvv v3 = 0.

Sada kad smo definirali i objasnili pojam geodetske krivulje, uvodimo pojam geodetskih koordinata.

Definicija 126 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ako za parametrizaciju r vri-jedi da su u−krivulje geodetske krivulje plohe parametrizirane duljinom luka, pri cemu su v−krivuljeortogonalne na u−krivulje, onda kazemo da je ploha r parametrizirana geodetskim koordinatama ui v.


Sada se postavlja pitanje kako najelegantnije utvrditi je li neka konkretna ploha r parame-trizirana geodetskim koordinatama.

Teorem 127 Neka je r : U → R3 regularna parametrizirana ploha. Ploha r je parametriziranageodetskim koordinatama ako i samo ako vrijedi ds2 = du2 +G(u, v)dv2.

Dokaz. Neka je ploha r parametrizirana geodetskim koordinatama. Obzirom da su kod geodetskihkoordinata koordinatne krivulje ortogonalne, slijedi da je F = 0. Tako�er, obzirom da su u−krivuljeparametrizirane prirodnim parametrom, slijedi da je |r′u(u, v)| = 1, pa je E = r′u · r′u = |r′u|

2= 1.

Dakle, dobivamo da je element luka

ds2 = du2 +G(u, v)dv2.

Obratno, neka za regularnu plohu r vrijedi ds2 = du2 + G(u, v)dv2. Treba pokazati da su koordi-natne krivulje tada ortogonalne, te da su u−krivulje geodetske krivulje parametrizirane prirodnimparametrom. Koordinatne krivulje su uistinu ortogonalne jer iz elementa luka citamo da je F = 0.Nadalje, u−krivulje (v = C i v = 0) ce biti geodetske krivulje ako i samo ako zadovoljavajudiferencijalnu jednadzbu

uv − uv + Γvuuu3 + (2Γvuv − Γuuu) u2v + (Γvvv − 2Γuuv) uv

2 + Γuvv v3 = 0.

Obzirom da za u−krivulje vrijedi v = C i v = 0, uvrštavanjem dobivamo

Γvuuu3 = 0,

−FE′u + 2EF ′u − EE′v = 0.

Obzirom da je u našem slucaju E = 1 i F = 0, slijedi da je jednadzba zadovoljena pa su u−krivuljegeodetske krivulje. Štoviše, iz E = 1 slijedi da su u−krivulje parametrizirane prirodnim para-metrom.Posve analogno bismo mogli definirati geodetske kordinate tako da v−krivulje budu geodetske,

a u−krivulje ortogonalne na v−krivulje, u kom slucaju bi za element luka plohe vrijedilo ds2 =E(u, v)du2 +dv2. Dakle, mozemo zakljuciti da je ploha r parametrizirana geodetskim koordinatamaako i samo ako vrijedi

ds2 = du2 +G(u, v)dv2 ili ds2 = E(u, v)du2 + dv2.

Sada se postavlja pitanje koja je geometrijska motivacija za uvo�enje pojma geodetskih krivulja,a odgovor na to pitanje je da geodetske krivulje na plohi poopcuju pojam pravca u ravnini u smisluda ce geodetske krivulje biti najkrace spojnice izme�u dviju tocaka (ali samo lokalno!) jednakokao što su pravci najkrace spojnice izme�u tocaka u ravnini. Precizno je to iskazano i dokazano usljedecem teoremu.

Teorem 128 Geodetske krivulje su lokalno najkrace spojnice svojih dviju tocaka.

Dokaz. Neka je P proizvoljna tocka na regularnoj plohi. Moze se pokazati da postoji okolinatocke P na kojoj se ploha moze parametrizirati geodetskim koordinatama. Dakle, element lukaparametrizacije r u okolini tocke P glasi

ds2 = du2 +G(u, v)dv2.


Bez smanjenja opcenitosti mozemo smatrati da je P = r(0, 0). Neka je ρ = r(u, 0) geodetska krivuljakoja prolazi tockom P, te neka je Q = r(u0, 0) tocka na geodetskoj krivulji ρ u okolini tocke P.Zelimo dokazati da je krivulja ρ najkraca krivulja koja spaja tocke P i Q. Uocimo da za duljinukrivulje ρ izme�u tocaka P i Q vrijedi

sρ(P,Q) =

u0∫0

|r′u| du =

u0∫0

√r′u · r′udu =

u0∫0

√E(u)du =

u0∫0

du = u0.

Neka je sada ρ = r(u(t), v(t)) proizvoljna krivulja na plohi r koja spaja tocke P i Q, a kojaje sadrzana u promatranoj okolini tocke P. Zelimo dokazati da je sρ(P,Q) ≥ sρ(P,Q). Neka jeρ(t1) = P i ρ(t2) = Q. Obzirom da za fundamentalnu velicinu G vrijedi G = r′v · r′v = |r′v|

2 ≥ 0,slijedi

sρ(P,Q) =

t2∫t1

ds =

t2∫t1

√du2 +G(u, v)dv2 ≥ {G(u, v) ≥ 0} ≥

t2∫t1

√du2 =

=

t2∫t1

du = u(t2)− u(t1) = u0 − 0 = sρ(P,Q).

Primjer 129 Što su geodetske krivulje na: a) sferi, b) kruznom cilindru? Zašto su te krivuljenajkrace spojnice svojih tocaka samo lokalno?

Dokaz. Geodetska krivulja se odre�uje rješavanjem diferencijalne jednadzbe, no to je preslozenopa to ispuštamo. Za ova dva jednostavna primjera plohe, geodetske krivulje odredit cemo geometri-jskim razmišljanjem što je najkraca spojnica izme�u dvije tocke na plohi. Uocimo da su za sferu tosve "velike" kruznice (tj. kruznice ciji je radijus jednak radijusu sfere), a na cilindru su to svi pravci,sve poprecne kruznice, te sve kruzne cilindricne zavojnice (vidi Sliku 3.34). Nadalje, te krivulje sunajkrace spojnice samo lokalno, jer ako su dvije tocke na tim krivuljama dovoljno me�usobno udal-jene, onda to prestaje biti najkraca spojnica izme�u tih dviju krivulja na plohi (vidi Slike 3.35 i3.36).

3.8 Preslikavanja ploha

Neka su r : U → R3 i r : U → R3 parametrizacije ploha S i S redom. Proucavat cemo preslikavanjef : U → U koje paru (u, v) ∈ U pridruzuje par (u, v) ∈ U . Uocimo da se f moze shvatiti kaopreslikavanje ploha, tj. preslikavanje koje tocki P = r(u, v) plohe S pridruzuje tocku P = r(u, v)plohe S. Preslikavanje f se najcešce zadaje jednadzbama oblika

u = u(u, v),

v = v(u, v).

Pretpostavljat cemo da je preslikavanje f neprekidno, derivabilno i bijektivno, te da vrijedi∣∣∣∣u′u(u, v) u′v(u, v)v′u(u, v) v′v(u, v)

∣∣∣∣ 6= 0.

3.8. PRESLIKAVANJA PLOHA 87

a) b)

Slika 3.34: Geodetske krivulje a) na sferi su sve velike kruznice, b) na cilindru su svi pravci, svekruznice, te sve kruzne cilindricne zavojnice.

Slika 3.35: Velike kruznice na sferi su najkrace spojnice samo lokalno.

Neka je P = r(u, v) tocka plohe S. Onda vrijedi P = r(u(u, v), v(u, v)) = ¯r(u, v). Dakle, postojitakva parametrizacija da tocka P na plohi S i njena slika P na plohi S imaju iste koordinate,tj. vrijedi u = u i v = v. Dakle, u daljnjem analiziranju preslikavanja f mozemo bez smanjenjaopcenitosti uvijek smatrati da to vrijedi, tj. da su r : U → R3 i r : U → R3 parametrizacije ploha Si S redom, da je f : U → U identiteta kojom je definirano preslikavanje tocke P = r(u, v) plohe Su tocku P = r(u, v) plohe S. Imajuci to u vidu, sada mozemo uociti da element luka plohe S glasi

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2,

dok za plohu S vrijedids2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv2,

pri cemu su E, F i G, te E, F i G funkcije u istim varijablama u i v. Razmatramo tri vrstepreslikavanja:

1. izometricko preslikavanje, koje cuva duljine lukova krivulja na plohama,


Slika 3.36: Kruzne cilindricne zavojnice na cilindru su najkrace spojnice samo lokalno.

2. konformno preslikavanje, koje cuva kutove na plohama,

3. ekvivalentno preslikavanje, koje cuva površine na plohama.

3.8.1 Izometricko preslikavanje

Definicija 130 Neka su r : U → R3 i r : U → R3 parametrizacije ploha S i S redom, te neka je fpreslikavanje ploha koje tocki P = r(u, v) plohe S pridruzi tocku P = r(u, v) plohe S. Kazemo daje preslikavanje f izometricko ako vrijedi E = E, F = F i G = G za svaki (u, v) ∈ U.

Obzirom da pretpostavljamo da su r i r krivulje u istim varijablama u i v, slijedi da za plohu Svrijedi

ds2 = Edu+ 2Fdudv +Gdv2,

dok za plohu S vrijedids2 = Edu+ 2F dudv + Gdv2.

Ako je preslikavanje ploha izometricko, onda vrijedu ds = ds, pa takvo preslikavanje ocito cuvaduljine lukova na plohi. Preciznije receno, svaka krivulja ρ na plohi S se po izometrickom preslika-vanju f preslika u krivulju ρ na plohi S iste duljine.

Definicija 131 Neka su r : U → R3 i r : U → R3 parametrizacije ploha S i S redom, te nekaje f : U → U preslikavanje ploha koje paru (u, v) ∈ U pridruzuje par (u, v) ∈ U . Neka je nadaljeP = r(u, v) tocka na plohi S i dudv smjer na plohu S u tocki P. Omjer

m =ds

ds=

√Edu2 + 2F dudv + Gdv2

Edu2 + 2Fdudv +Gdv2,

pri cemu su E, F i G racunati u tocki P, a E, F i G u tocki P u koju se preslikala tocka P, dok jesmjer du

dv dobiven preslikavanjem smjera dudv , naziva se linearnim mjerilom preslikavanja f u tocki

P u smjeru dudv .

Ako je f izometricko preslikavanje, onda je ocito m = 1 u svim tockama i u svim smjerovima.

3.8. PRESLIKAVANJA PLOHA 89

3.8.2 Konformno preslikavanje

Definicija 132 Neka su r : U → R3 i r : U → R3 parametrizacije ploha S i S redom, te neka je fpreslikavanje ploha koje tocki P = r(u, v) plohe S pridruzi tocku P = r(u, v) plohe S. Kazemo daje preslikavanje f konformno ako vrijedi E : E = F : F = G : M = m2 za svaki (u, v) ∈ U.

Neka je ω kut izme�u krivulja ρ1(t) = r(u1(t), v1(t)) i ρ2(t) = r(u2(t), v2(t)) na plohi S, a ωkut izme�u njihovih slika ρ1 i ρ2 na plohi S. Ako je f konformno preslikavanje, onda vrijedi

cos ω =Eu1u2 + F (u1v2 + u2v1) + Gv1v2√

Eu21 + 2F u1v1 + Gv2

1

√Eu2

2 + 2F u2v2 + Gv22

=

=m2Eu1u2 +m2F (u1v2 + u2v1) +m2Gv1v2√

m2Eu21 + 2m2Fu1v1 +m2Gv2

1

√m2Eu2

2 + 2m2Fu2v2 +m2Gv22

=

=Eu1u2 + F (u1v2 + u2v1) +Gv1v2√

Eu21 + 2Fu1v1 +Gv2

1

√Eu2

2 + 2Fu2v2 +Gv22

= cosω.

Dakle, konformno preslikavanje cuva kuteve na plohi.

3.8.3 Ekvivalentno preslikavanje

Definicija 133 Neka su r : U → R3 i r : U → R3 parametrizacije ploha S i S redom, te neka je fpreslikavanje ploha koje tocki P = r(u, v) plohe S pridruzi tocku P = r(u, v) plohe S. Kazemo daje preslikavanje f ekvivalentno ako vrijedi EG− F 2 = EG− F 2 za svaki (u, v) ∈ U.

Uocimo da su za ekvivalentno preslikavanje elementi površine jednaki, tj. vrijedi dS = dS.Dakle,ekvivalentno preslikavanje cuva površine, tj. svaki plošni lik SD na plohi S se po ekvivalentnompreslikavanju preslika u plošni lik SD na plohi S koji ima istu površinu kao SD.


Bibliografija

[1] P. A. Blaga, Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Napoca Press, Cluj,2005.

[2] Lj. Dedic, Diferencijalna geometrija,http://mapmf.pmfst.unist.hr/matematika/Nastavni%20materijali/dig.pdf

[3] A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces withMathematica, Third Edition, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2006.

[4] T. Shifrin, Differential Geometry: A First Course in Curves and Surfaces, University of Georgia,2015.

[5] B. Zarinac-Francula, Diferencijalna geometrija: zbirka zadataka i repetitorij, Školska knjiga,Zagreb, 1990.

91

Documents

Diferencijalna geometrija - 2016/17 - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG/DG - skripta... · Ova skripta je nastala kao nastavni tekst uz predavanja