DEVRE ve SİSTEM DEVRE ve SİSTEM ANALİZİ PROJE PLANI ANALİZİ PROJE PLANI BİR MEKANİK SİSTEME EŞDEĞER BİR MEKANİK SİSTEME EŞDEĞER

OLAN ELEKTRİK DEVRESİNİN OLAN ELEKTRİK DEVRESİNİN ELDE EDİLMESİ ELDE EDİLMESİ

Elektrik Devreleri – Mekanik Sistemler

• Sistemlerin Tanımlanması

• Sistemlerin Matematiksel Modellemesi ve Modellemeler Arasındaki Benzerlikler

• Elemanların Eşleştirilmesi

Elektrik Devreleri – Mekanik Sistemler

• Elektrik devrelerinde i(t), v(t) ve q(t) elektrik yükü ve Q(t) magnetik akı büyüklüklerini kullanırız.

• Mekanik sistemlerde ise bunlara karşı düşen büyüklükler; kuvvet, yol, hız ve ivmedir.

• Bu sistemler arasındaki dönüşümleri kurarken( v, i ) ( v, f ) ( v, i ) ( f, v ) ve de sadece yaydan oluşan sistemlerde özel olarak( v, i ) ( x, f )kabullerini kullanabiliriz.

Elektriksel Büyüklükler

Mekanik Büyüklükler

Öteleme Dönme

Gerilim v(t), volt [v] Hız v(t), [m/s] Hız w(t), [rad/s]

Akım i(t), amper [A] Kuvvet f(t), Newton [N]

Moment M(t), [N.m]

Güç v(t).i(t), watt[W]

Güç f(t).v(t), [N.m/s]

Güç w(t).M(t), [N.m/s]

Enerji εe, joule [J] Enerji εm(ö), [N.m]

Enerji εm(d), [N.m]

Elektrik Yükü q(t), coloumb [C]

Lineer Momentum p(t), [N.s]

Açısal Momentum h(t), [N.m.s]

Magnetik Akı Φ(t), weber [Wb]

Yerdeğiştirme x(t), [m]

Dönme Açısı θ(t) [rad]

Tablo (v.i) (v,f) dönüşümü içindir

Güç ve Enerji

• Bağıntıları ile güç ve enerjinin elektrik ve mekanik sistemlerde aynı birimle ifade edilmesi gerekir.

• [VA] = [W] = [J/s] [W] = [N.m/s] ve [J] = [N.m]

• Yukarıda görüldüğü gibi iş her iki tarafta da J/s olarak ifade edilmektedir

(t) (t) qdtdi (t)

dtd(t) v (t)

dtd (t) pf (t)

dtd (t) hM

(t)dtd (t) xv (t)

dtd (t) w (t)

dtd (t).i(t) ev

Uç Denklemleri

R.i(t) (t) v f(t) 1/B. (t) v

(t)(t) idtdLv (t)

dtd1/K. (t) fv

(t)dtdC (t) vi (t)

dtdm(t) vf

2 Uçlu Elektriksel Elemanlar 2 Uçlu Mekanik Elemanlar

Eleman Sembolü Uç Denklemi Eleman Sembolü Uç Denklemi

Direnç R Sönüm B

Endüktans L Yay K

Kapasite C Kütle M

Dönüşüm Diyagramları

• Devre ve Sistemlerde kullanacağımız dönüşüm diyagramları bizlere yapacağımız dönüşümlerde büyük kolaylıklar sağlar.

Elektrik SistemleriC.v(t) (t) q

dt(t)..

dtd.q(t)(t) vdCi

dt(t).

dt(t)d.(t) idLv

(C= Lineer Kapasite)

Kapasite Tanım Bağıntısı

Endüktansın Tanım Bağıntısı

Öteleme Mekanik SistemleriBvFkxF

).( xKdtdF

dtd

)(tKvdtdf

)(.)( tvmdtdtF

dtdFKtv /1)(

dttvdmtF )(..)(

Dönel Sistemler

2 ve Çok Uçlu Yay Elemanları

•2 uçlu ve 3 uçlu yaya elemanlarının yer değiştirmelere bağlı olarak graflarını çizeriz.

•Hooke yasası ( F= -kx ) göz önüne alınarak 3 uçlu bir yay elemanının uç denklemi:

)()(

tftf

B

A

KKKK

)()(

tXtX

B

A=

)()(

tftX

B

A

0110

)()(tXtf

B

A = biçimini alır.

Eğer K ∞ olursa, yay katı bir cisme dönüşür ve uç denklemleri,

2 ve Çok Uçlu Yay Elemanları

• K ∞ giderse R 0’a gider.

• Mekanik sistemde yay sabiti sonsuzsa;• Elektriksel sistemde de devre kısa devredir.

• Modellemede (v,i) (x,f) kabulü• Yaydan oluşan sistemler.• (v,i) (v,f) kabulü • Yay ve diğer elemanlar örneğin kütle ve sürtünmeli sistemler.

2 ve Çok Uçlu Yay Elemanları

(a) (b) (c) (d) • Kuvvet gerilim kaynağına eş düşer• Gerilim ile çalışan elemanlar olmalı (x’in karakterinin de bunlardan birine

benzemeli)• Gerilim uygulandığı sürece akım akacak, bu da mekanik sistemdeki denge

konumunda yer değiştirmeye karşılık düşecek. • Gerilim kaldırıldığında ise sistemde akım olmaz, aynı şekilde mekanik

sistemde de yer değiştirme yoktur.

•Yay için çizilen grafın kaynak ve elemanlara eşdeğer karşılığı:

Kütle ve Sönüm Elemanları • Kütle ile bir cismin uzayda yapacağı en genel bir hareketi inceleyebilmek amacıyla,

katı bir cismin bir karşılaştırma (referans) noktasına göre konumunu belirleriz.

Kütle merkezde toplandığı için cismi noktasal bir parçacığa indirgeriz.

"m” kütlesine ait uç grafı:

Kütle ve Sönüm Elemanları

• W kuvveti akım kaynağına eş düşer. • Elde edilen sistemde bir akım kaynağı ve bu akım kaynağıyla çalışan bir

eleman vardır. • Akımla çalışan elemanların diyagramından C olduğunu görebiliriz.

ŞEKİL GRAF

•Katı cisme etki eden yer çekimi kuvvetinin ayrı bir 2 uçlu kuvvet kaynağı olarak göz önüne alırsak:

Genel Durumlar• Genel mekanik sistemlerin

karşılıklarını bulursak diğer tüm sistemleri bunların bileşimi yardımıyla çözebiliriz.

A- Tek Yaydan Oluşan SistemkxF

1. Yaklaşım:F i ve v V olduğunda;

dtdV

Ci CC

dtid

LV LL

.

LK VV kvdtdf

iL

İki tarafında türevini alırsak

A- Tek Yaydan Oluşan Sistem

kxF

2. Yaklaşım:F V ve v i olduğunda;

Kvdtdf

CVq

dtdVCi dt

dVCi

KC 1ise

B-Sürtünmeli Sistem

BvF

iRV RVi

BRBR 11

1. Yaklaşım:F i ve v V olduğunda;

ve

ise

(Gerilim kontrollü akım kaynağı)

Viskoz sürtünme kuvveti

B-Sürtünmeli Sistem

BvF

BRiRV

2. Yaklaşım:F V ve v i olduğunda;

Viskoz sürtünme kuvveti

’yi modellersek;

C-Kuvvet ve Kütleden Oluşan Sistem

maF av vmF

dtdV

Ci C mFdtdV

Ci

dtdVC

Cm

1. Yaklaşım:F i ve v V olduğunda;

C-Kuvvet ve Kütleden Oluşan Sistem

vmF mFdtdV

LV

dtdi

L

dtdiLVLi L dt

diLdtd

LmmL 11

2. Yaklaşım:F V ve v i olduğunda;

D-Cisim ve Yaydan Oluşan Sistem BvF maF kxF

Bu sistemleri kuvvetle kontrol ediyoruz. Bu yüzden dönüşüm seçimine göre kuvvete karşılık düşen elemanın kaynağını devreye koyuyoruz

kxF kxxm

xx xv

kxvm

kVdtdi

L

C idt

dVC C

L Vdtdi

L CL V

Ldtdi 1

LK 1 Cm

1. Yaklaşım:F i ve v V olduğunda;

durum değişkenleridir.

D-Cisim ve Yaydan Oluşan Sistem

• 2.Yaklaşım:

F V ve v i olduğunda;

kxF maF

dtdvmF C

L Vdtdi

L

kR

dtdv

mF

dtdi

LV LL

Lm

iRV

E-Cisim ve Yaydan Oluşan Sürtünmeli Sistem

BvF maF kxF

Bu sistemleri kuvvetle kontrol ediyoruz. Bu yüzden dönüşüm seçimine göre kuvvete karşılık düşen elemanın kaynağını devreye koyarız

1.Yaklaşım:F V ve v i olduğunda;

iRV RB

kvdtdf

dtdV

Ci CC kC 1

maF dtdvmF L

dtdiV Lm

E-Cisim ve Yaydan Oluşan Sürtünmeli Sistem

• 2.Yaklaşım F i ve v V olduğunda;

Bvi Biv iRV BR 1

iLdtdi

LV

dtid

LV LLLL

.

kvdtdf

Lk 1

q=cV dt

dVCi C

C dtdV

Ci CC

dtdvmFmaF

dtdv

mF

Cm

dtdvdtdf

010

m

k

vf

Bu sistemin çözümü;

axx şeklindedir.

=

• Sistemi kapalı bir sistem olarak düşünürsek;

0 CL VV

dtdi

LV LC

KAY ile : CRL iii

dtdV

CR

Vi CC

L

dtdVdtdi

C

L

RCC

L11

10

C

L

Vi

Durum değişkenleri :

=

Sonuç• Bu matematiksel modellemeler diğer

sistemlere referans teşkil edecektir. • Bu modellerin birleştirilmesiyle diğer

sistemlerde kolaylıkla çözülebilir.• Örneğin; dönel sistemler, akışkan

sistemler, ısıl sistemler gibi.

Referanslar• Mühendislik Sistemlerinin Analizi Kısım - II Kısım – III

Prof. Dr. Yılmaz TOKAD

Hazırlayanlar• Sadık Can Şener• Ayşe Gül Dönmez• Burak Fuat İzgördü• Sercan Güngör