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VENDREDI 17 AVRIL 2015 LYCÉE BENJAMIN FRANKLIN
8h -10h
NOM Prénom : Classe :
Classes de seconde
DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES
• L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve mais l’échange en est interdit.
• L'attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies.
• Sauf indication contraire, tout résultat doit être soigneusement justifié et tous les calculs doivent être
clairement explicités.
• Sauf indication contraire, tout résultat est attendu en valeur exacte.
• Les 8 exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre. • Rendre la copie à l’intérieur de cette double feuille.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
Le sujet comporte 8 pages numérotées de 1 à 8.
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EXERCICE 1 : fonction numérique (6 points)
Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet (tableaux et pointillés).
Sur la place San Marco à Venise, adossé au Campanile, se trouve un enregistreur de marée.
Pour la journée du 10 octobre 2014, on peut lire le graphique suivant : À partir du zéro de marée (zero mareografico), on porte en ordonnée la différence de niveau en cm. Par exemple, à 12h, c’est la marée haute correspondant à une différence de niveau de 60 cm.
On appelle d la fonction qui, à chaque temps t, en heures, associe la différence de niveau d (t) en cm.
La place San Marco est inondée si la différence de niveau est strictement supérieure à 50 cm.
1. a. Compléter : d (16) = …………………..………………………………………………………………………...…
b. Résoudre l’équation d (t) = 40 ……………………………………………………………………………………..
2. Compléter le tableau de variations de la fonction d .
t
Variations de d
3. Entre 0 et 24 h, sur quel(s) intervalle(s) de temps, la marée est-elle montante ? ………….…………………………..
…...………………………………………………………………………………………………………………………...
4. Quel est le minimum de la fonction d sur l’intervalle [0 ; 12] ? À quelle heure ce minimum est-il obtenu ?
….…………………………………………………………………………………………...………………………….
…………………………………………………………………………….……………………………………………….
5. Si le niveau descend à plus de 20 cm en dessous du niveau 0, les petits canaux de la ville ne sont plus navigables.
Sur quel(s) intervalle(s) de temps cela arrive-t-il ? …………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………...………………………………………
6. a. Résoudre l’inéquation d (t) > 50. ………………………………...…………………………………………………
b. Interpréter cette situation pour la ville de Venise. …………………………………………………………………
……..………………………………………………………………………………………………………………………
6 9 12 15 18 21 24-3-6
20
30
40
50
60
70
-10
-20
-30
-40
0 3
10
t en heures
niveau en cm
zero mareografico
3
EXERCICE 2 : géométrie dans l’Espace (6 points)
Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet.
Marion et José veulent construire, pour un jeu, deux dés tétraédriques réguliers. Un tétraèdre régulier GEDB d’arêtes mesurant 3 cm est représenté en perspective cavalière dans le cube ABCDEFGH ci-contre. La figure n’est pas en vraie grandeur. 1. Quel est le nombre de faces d’un tétraèdre ?
……………………………………………………………………………….. On a représenté ci-dessous le patron du cube. Compléter ce patron en indiquant les sommets A, B, C, D, F, G et H. Tracer ensuite en rouge les arêtes du tétraèdre sur les faces du cube (le patron n’est pas à l’échelle). 2. Voici une face du tétraèdre (ce dessin n’est pas à l’échelle). Calculer la hauteur DI, puis l’aire de cette face. Quelle surface de papier Canson doit-on utiliser pour réaliser ce tétraèdre ?
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
3. Sachant que le cube a un volume de ��√�
�cm3 et que la pyramide ABDE a un volume de
��√�
��cm3, expliquer
comment, à l’aide d’un calcul astucieux, on peut obtenir le volume du tétraèdre. À l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée (au dixième) du volume du tétraèdre.
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
D
G E I
G H
F E
D
B
C
A
E
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EXERCICE 3 : probabilités (6 points)
Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet.
Marion et José ont inventé un nouveau jeu de plateau, où les pions peuvent avancer ou reculer sur un parcours.
Pour cela, ils utilisent deux dés tétraédriques réguliers et équilibrés qu’ils ont fabriqués eux-mêmes, portant les numéros −1, 0, 1 et 2. On rappelle que chaque dé est composé de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux.
Le jeu consiste à lancer les deux dés, à additionner les numéros situés sur les faces cachées (les bases) et à avancer de la somme obtenue sur les cases du parcours (une somme négative signifie qu’il faut reculer…) 1. a. On cherche les issues possibles de l’expérience aléatoire (c’est-à-dire la somme des deux numéros obtenus sur
les faces cachées des dés). Compléter au choix l’arbre de probabilité ci-dessous ou bien le tableau à double entrée.
b. Compléter le tableau :
Soit A l’évènement : « obtenir une somme strictement positive ». Soit I l’évènement : « obtenir une somme impaire ».
2. a. Déterminer la probabilité p(A) de réaliser l’évènement A.
……………………………………………………………………………………………………………………………
b. Déterminer la probabilité p(I) de réaliser l’évènement I (attention, −1 est bien un nombre impair…).
……………………………………………………………………………………………………………………………
3. Décrire par une phrase l’évènement A∩I et déterminer sa probabilité.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
4. Décrire par une phrase l’évènement A et déterminer sa probabilité.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
5. Calculer la probabilité de l’évènement « obtenir une somme strictement positive ou impaire ».
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
issue
probabilité
dé 1 dé 2
5
EXERCICE 4 : statistiques (6 points)
Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet.
Marion et José ont consigné les résultats obtenus après de nombreux lancers dans un tableau proposé ci-après. 1. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants.
2. a. Déterminer la médiane de cette série en justifiant la réponse.
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
b. Interpréter le résultat : …………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………...... Dans la suite de l’exercice, il faut entourer la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
3. Le premier quartile Q1 de cette série est : a. 18 b. – 1 c. 25 d. �
� e. 0
4. La valeur de Q1 nous permet d’affirmer que :
a. Au moins 50% des valeurs sont inférieures à Q1 b. Au moins 25% des valeurs sont inférieures à Q1
c. Moins de 50% des valeurs sont supérieures à Q1 d. Moins de 25% des valeurs sont inférieures à Q1.
5. La moyenne de cette série est : a. 0,59 b. 43,16 c. 1 d. environ 14,29
6. Le pourcentage de sommes supérieures ou égales à 2 est : a. 26 b. 0,26 c. 12 d. 0,12.
EXERCICE 5 : algorithmique (4 points)
Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur le sujet (tableau et pointillés). Voici un algorithme :
1. Quand i vaut 1 et que la ligne 6 est exécutée, compléter le tableau ci-dessous
n −1 0 1 2 somme
2. Quand i vaut 2 et que la ligne 6 est exécutée, quelles valeurs la variable somme peut-elle prendre ?
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
3. La variable somme peut-elle prendre la valeur −3 ? Expliquer.
…………………………………………………………………………………………………………………………......
…………………………………………………………………………………………………………………………......
Valeurs (sommes des 2 dés) −2 −1 0 1 2 3 4 effectifs 7 18 26 23 14 8 4
effectifs cumulés croissants
1 : Variables : n, i, somme 2 : Initialisation somme prend la valeur 0 3 : Traitement Pour i allant de 1 à 2
4 : Saisir n « n appartient à l’ensemble {−1 ; 0 ; 1 ; 2} » 6 : somme prend la valeur somme + n 7 : Fin pour 8 : Sortie Afficher somme
6
EXERCICE 6 : exercice au choix (6 points)
Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur la copie (sauf graphique).
Vous ne traiterez qu’un seul de ces deux exercices : choisissez le « A » ou le « B ».
EXERCICE A : vecteurs
On utilisera le repère (O; I, J) ci-dessous. 1. a. Lire les coordonnées des points B et C, et placer les points A(3 ; 0) et D(1 ; 5).
b. Calculer les coordonnées des vecteurs AD et BC.
c. Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère ABCD ?
2. Soit le point M tel que : AM = 2 CD.
a. Calculer les coordonnées du point M, et placer M sur le graphique.
b. Les points A, B et M sont-ils alignés ? Justifier.
x
y
B
C
I
J
O
7
EXERCICE B : fonctions affines Deux compagnies de taxis pratiquent des tarifs différents : A. Compagnie des taxis bleus.
La compagnie des taxis bleus facture 1,40 € par kilomètre parcouru.
1. Déterminer la fonction notée f représentant le montant à payer avec la compagnie des taxis bleus en fonction du nombre de kilomètres parcourus.
2. Comment appelle-t-on une telle fonction ?
B. Compagnie des taxis rouges.
La compagnie des taxis rouges facture une prise en charge fixe et un montant par kilomètre parcouru. Monsieur Dupont utilise fréquemment les taxis rouges mais il ne sait plus quels sont ces montants. Il se souvient juste de deux courses récentes : il a payé 45 € pour 50 kilomètres parcourus et 29 € pour 10 kilomètres parcourus. Soit g la fonction affine représentant le montant à payer avec la compagnie des taxis rouges, en fonction du nombre de kilomètres parcourus.
1. Représenter la fonction g sur le graphique en bas de la page 7.
2. Déterminer l'expression de la fonction affine g.
C. Comparaison des deux compagnies :
1. Déterminer graphiquement, en fonction des kilomètres à parcourir, quelle est la compagnie de taxis dont les tarifs sont les plus avantageux. On laissera visibles les traits de construction.
2. Vérifier par le calcul pour quels kilométrages les taxis bleus sont plus intéressants que les taxis rouges.
La courbe �f représentative de la fonction f est tracée sur le graphique.
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
-4
0 4
4
x
y
�f
8
EXERCICE 7 : expressions algébriques (6 points) Dans cet exercice, les réponses aux questions seront apportées sur la copie. Partie A 1. Déterminer le signe du produit (2 − 2x) (3 − x) à l’aide d’un tableau de signe.
2. Démontrer que pour tout réel � on a : (2 − 2x) (3 − x) = 2x2 − 8x + 6.
3. En déduire les solutions dans � de l’inéquation 2x2 − 8x + 6 > 0. Partie B Sur la figure ci-contre, ABCD et BEFG sont des carrés tels que B appartient au segment [AE] et C appartient au segment [GB]. De plus AE = 4 cm. Le but est de déterminer les réels positifs x tels que la somme des aires de ces deux carrés soit strictement supérieure à 10 cm2.
1. À quel intervalle appartient x ?
2. Exprimer l’aire du carré ABCD en fonction de x.
3. a. Exprimer la longueur BE en fonction de x.
b. En déduire l’aire du carré BEFG en fonction de x.
4. Montrer que la somme des aires des deux carrés en fonction de x est donnée par l’expression 2x2 − 8x + 16.
5. En déduire de la question 4. puis de la Partie A, tous les réels positifs x tels que la somme des aires de ces deux carrés soit strictement supérieure à 10 cm².
EXERCICE BONUS : (2 points) Dans cet exercice, la réponse à la question sera apportée sur la copie.
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou de prise
d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation. Dans son jardin, Jules souhaite entourer un bassin carré par une pelouse large de 3 mètres. Il sème des graines sur 90 m2.
Quelle est l’aire du bassin ?
3 m
3 m
3 m
3 m
