Devi‡, K., Ivankovi‡, B.: Matematika, zbirka zadataka, Veleuilite

  • View
    303

  • Download
    16

Embed Size (px)

Text of Devi‡, K., Ivankovi‡, B.: Matematika, zbirka zadataka, Veleuilite

  • VELEUILITE NIKOLA TESLA U GOSPIU

    MATEMATIKA zbirka zadataka

    Kristina Devi

    Boidar Ivankovi

    ISBN 978-953-56202-6-6

    GOSPI, 2015.

  • VELEUILITE NIKOLA TESLA U GOSPIU

    MATEMATIKA

    zbirka zadataka

    Autori

    Kristina Devi, univ.spec.oec.

    Doc.dr.sc. Boidar Ivankovi

    Recenzenti

    Prof. dr. sc. Vera uljak Graevinski fakultet Sveuilita u Zagrebu

    Doc. dr. sc. Kristina Kruli Himmelreich

    Tekstilno-tehnoloki fakultet Sveuilite u Zagrebu

    ISBN 978-953-56202-6-6

    UDK 51(076)

    Nijedan dio ove knjige ne smije se umnoavati ili na bilo koji nain reproducirati bez doputenja

    autora.

  • MatematikaZbirka zadataka

    Kristina DevcicBozidar Ivankovic

    Veleuciliste Nikola Tesla u Gospicu

    Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedo-sljednostima, a svaka primjedba glede jednostavnosti primjera i zadataka bit ceprihvacena u sljedecem izdanju.

    Vjezbe su tijekom dugog niza odrzavanja nadopunjavane. Zbirku je osmislio BozidarIvankovic, a konacan oblik i pokretanje izdavanja zbirke zasluga je Kristine Devcic.

    Rjesavanje zadataka iz Zbirke zadataka zahtijeva redovito pohadanje predavanja i vjezbikolegija Matematika. Velik je broj zadataka rijesen postupno, a svaki zadatak ima rjesenje.Slozeniji zadaci imaju i uputu. Skiciranje geometrijskih zadataka ostavljeno je studentimakoji ih mogu napraviti prema uputama prilozenim slikama.

    Koristenje zbirke svodi se na samostalno rjesavanje zadataka. Nemojte izbjegavati za-datke koji se cine laganima. Nema laksih i tezih zadataka, vec se dijele na zadatke koje sterijesili i na one koje jos niste rijesili.

    Stil pisanja nastojali smo prilagoditi studentima pa smo strogost matematickog forma-lizma podredili razumljivosti citatelja i korisnika zbirke. Nepoznati pojmovi dostupni su nainternetu. Teze dostupne pojmove autori su definirali.

    Trudili smo se napisati zbirku bez greske. Ukoliko vam se cini da je negdje greska na-pravljena, bit cemo vam zahvalni ako cete nam to javiti. Iduce izdanje prosirit cemo s josvise zadataka za samostalno rjesavanje.

    Autori

    1

  • Sadrzaj

    1 Determinante 51.1 Determinante drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Determinante treceg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Determinante cetvrtog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Vektori u ravnini i prostoru 112.1 Analiticki pojam vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Geometrijski pojam vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Trodimenzionalni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Mjesoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 Ispitni zadaci s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8 Zadaci za samostalno rjesavanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3 Matrice 523.1 Definicija i primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Zbrajanje matrica. Mnozenje matrice skalarom. . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Mnozenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 Inverzna matrica. Matricna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.6 Sustavi linearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.7 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4 Funkcije jedne realne varijable 764.1 Graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Domena, slika, parnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Grafovi realnih funkcija. Osobine preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4 Konstrukcije grafova realnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.5 Operacije s funkcijama. Kompozicija funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6 Dekompozicija funkcije. Inverz funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.7 Hiperbolne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.8 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5 Limesi 1115.1 Broj e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Limes niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Limes funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.4 Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.5 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    2

  • 6 Derivacija funkcije 1316.1 Tehnika deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.1.1 Deriviranje opce potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.2 Deriviranje funkcije pomnozene konstantom . . . . . . . . . . . . . . 1366.1.3 Derivacija zbroja i razlike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.1.4 Derivacija umnoska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.1.5 Derivacija kvocijenta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    6.2 Derivacija inverzne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.3 Derivacija kompozicije funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.4 Tangenta i normala na graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.5 Derivacija implicitno zadane funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.6 Diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7 Logaritamsko deriviranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.8 Derivacija funkcije zadane parametarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.9 Derivacije viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.10 Primjena derivacija u geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.11 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    7 Primjene derivacija 1767.1 Lokalni ekstremi. Intervali monotonosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.2 Tocke infleksije. Intervali konveksnosti i konkavnosti . . . . . . . . . . . . . . 1867.3 LHospitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.4 Asimptote grafa funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.5 Kvalitativni graf funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.6 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

    8 Integrali i primjene 2158.1 Definicija odredenog i neodredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.2 Neposredno integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.3 Metoda supstitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.4 Integral racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2308.5 Zamjena varijabli u odredenom integralu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.6 Integral trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.7 Integrali iracionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

    8.7.1 Trigonometrijska supstitucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.8 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.9 Primjene neodredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.10 Primjene odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

    8.10.1 Primjene odredenog integrala u geometriji . . . . . . . . . . . . . . . 2498.10.2 Volumen rotacionog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.10.3 Duljina luka krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

    8.11 Zadaci za samostalno rjesavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

    9 Nepravi integrali 265

    3

  • 10 Ogledni primjerci ispitnih zadataka 268

    11 Algebarski dodatak 27511.1 Potenciranje binoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27511.2 Potenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.3 Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

    4

  • 1 Determinante

    Determinanta je funkcija koja kolekciji od n2 zadanih brojeva zapisanih u tablicu s nredaka i n stupaca pridruzuje broj.

    Za n = 1 determinanta je jednaka zadanom broju i ne izucava se. Osnovno racunanjeopisano je za determinante drugog reda kod kojih je n = 2. Racunanje determinanti treceg,cetvrtog i visih redova definira se dekurzivno.

    1.1 Determinante drugog reda

    Determinanta drugog reda je funkcija koja kolekciji od cetiri broja pridruzi jedanbroj. Zapis i izracun definiran je formulom a11 a12a21 a22

    = a11a22 a12a21.Zadatak 1.1. Izracunajte vrijednost determinante 2 45 6

    Rjesenje. Po definiciji je 2 45 6

    = 12 20 = 8.Rijesite samostalno sljedece zadatke:

    1. Izracunajte determinantu

    1 23 4 .

    2. Izracunajte vrijednost determinante

    3 28 5 .

    Rjesenja. 1. -2; 2. -1.

    Determinante se primjenjuju u r