Click here to load reader

Deskriptiv teori: den karakteristiske erhansen/stat2A_04/doku/noter/kap15.pdf Kapitel 15 Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion Når man forsłger at karakterisere et sandsynlighedsmål

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Deskriptiv teori: den karakteristiske erhansen/stat2A_04/doku/noter/kap15.pdf Kapitel 15 Deskriptiv...

  • Kapitel 15

    Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion

    Når man forsøger at karakterisere et sandsynlighedsmål ν på R ved hjælp af dets mo- menter, fortæller man essentielt hvordan man skal integrere polynomier med hensyn til ν. Når man forsøger at karakterisere sandsynlighedsmålet ved hjælp af dets for- delingsfunktion, fortæller man essentielt hvordan man skal integrere indikatorfunk- tioner for standardintervaller. Ordet karakteristisk funktion er af historiske grunde knyttet til en tilsvarende konstruktion, hvor man forsøger at karakterisere ν ved at for- tælle hvordan sandsynlighedsmålet integrerer de elementære trigonometriske funk- tioner

    x 7→ cos θx og x 7→ sin θx , for alle mulige værdier af θ ∈ R. Umiddelbart lyder det måske som en besynderlig ide at integrere trigonometriske funktioner - hvis man har lyst, skal man selvfølge- lig have lov til at integrere sinus’er og cosinus’er, men der er så meget andet man kunne kaste sig over. . . Men vi skal se at trigonometriske polynomier (linearkom- binationer af de elementære trigonometriske funktioner) udgør et meget fleksibelt system af funktioner på den reelle akse, et system, der er langt bedre egnet til brug i sandsynlighedsregning end de sædvanlige polynomier, der jo har det problem at de nødvendigvis går mod ±∞ i halerne. Og derfor karakteriserer den karakteristiske funktion vitterligt sandsynlighedsmålet på en forbavsende brugbar måde.

    I dette kapitel vil vi forsøge at indkredse hvad den karakteristiske funktion for et sandsynlighedsmål ν egentlig siger om målet. Hvilke egenskaber ved ν kan man af-

    292

  • 15.1. Komplekse integraler 293

    læse, og hvordan gør man det i praksis? Men den virkelige motivation bag begrebet bliver udsat til afsnit 18.5, hvor vi viser at foldning af sandsynlighedsmål lader sig udtrykke meget effektivt i termer af karakteristiske funktioner. Foldning af sandsyn- lighedsmål er et centralt tema i sandsynlighedsregning, og beregningsmæssigt er det ikke spor trivielt at håndtere. Essentielt er den karakteristiske funktion et trick, der gør det muligt at få regnemæssigt styr på foldninger i en forbløffende bred vifte af eksempler.

    Det viser sig at de smidigste formuleringer af dette trick involverer komplekse tal - foldningsformlen udtrykkes simpelthen ved kompleks multiplikation. Og derfor star- ter vi med en diskussion af komplekse integraler. Denne diskussion munder dog ikke ud i overraskende konklusioner - alt er som man ville forvente det. Det er nok meget nyttigt at være klar over at de komplekse tal i denne sammenhæng mest er til pynt - teorien er ikke på de indre linier kompleks, sådan som f.eks. teorien for polynomi- umsrødder eller teorien for egenværdier for matricer. Vi får igen og igen brug for de trigonometriske additionsformler,

    cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v , sin(u + v) = cos u sin v + sin u cos v ,

    for alle u, v ∈ R. Og den fikse måde at formulere additionsformlerne på, er at inddrage den komplekse eksponentialfunktion med rent imaginære argumenter,

    ei θ = cos θ + i sin θ for θ ∈ R . (15.1)

    For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtil- fælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

    ei (u+v) = ei u ei v for u, v ∈ R .

    Denne formel repræsenterer stort set al den ’komplekse analyse’ der kommer på ba- nen i det følgende.

    15.1 Komplekse integraler

    Lad (X,E, µ) være et målrum. Vi vil i dette afsnit interessere os for afbildninger f : X → C. Disse afbildninger skrives naturligt på formen

    f = f1 + i f2

  • 294 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion

    hvor f1 og f2 er reelle funktioner - vi taler om f ’s real- og imaginærdel. Hvis vi identificerer Cmed R2, så har C naturligt en Borelalgebra, som vi med et vist misbrug af notation kan kalde B2. Og vi ser at f er E − B2-målelig hvis og kun hvis real- og imaginærdele begge er målelige reelle funktioner.

    Definition 15.1 Lad (X,E, µ) være et målrum. En målelig funktion f : X → C, skrevet på formen f = f1 + i f2, er integrabel hvis

    | f1| dµ < ∞ , ∫

    | f2| dµ < ∞ .

    I bekræftende fald definerer vi integralet af f som ∫

    f dµ := ∫

    f1 dµ + i ∫

    f2 dµ .

    De integrable komplekse funktioner kaldes ofte LC(X,E, µ) eller blot LC. Bemærk de trivielle uligheder

    | f1| ≤ | f | , | f2| ≤ | f | , | f | ≤ | f1| + | f2| .

    Det følger heraf at f er integrabel hvis og kun hvis ∫

    | f | dµ < ∞ .

    Eksempel 15.2 Lad γ , 0 være et reelt tal. Idet |ei γt | = 1 for alle t ∈ R, ser vi at t 7→ ei γt er integrabel med hensyn til Lebesguemålet hen over ethvert kompakt interval [a, b]. Vi kan oven i købet regne integralet ud:

    ∫ b

    a eiγtdt =

    ∫ b

    a cos γt dt + i

    ∫ b

    a sin γt dt

    = sin γb − sin γa

    γ + i − cos γb + cos γa

    γ

    = −i γ

    (cos γb + i sin γb − cos γa − i sin γa)

    = eiγb − eiγa

    iγ .

  • 15.1. Komplekse integraler 295

    Bemærk hvor nydeligt denne formel passer ind i mønsteret for integration af den re- elle eksponentialfunktion, skønt den jo dybest set handler om trigonometriske funk- tioner.

    Sætning 15.3 Lad (X,E, µ) være et målrum. Hvis f ∈ LC og c ∈ C, så er c f ∈ LC og der gælder at

    c f dµ = c ∫

    f dµ. (15.2)

    Hvis f , g ∈ LC, så er f + g ∈ LC og der gælder at ∫

    f + g dµ = ∫

    f dµ + ∫

    g dµ. (15.3)

    B: Påstandende om additionsegenskaberne er banale konsekvenser af de tilsva- rende egenskaber for reelle integraler, brugt på real- og imaginærdel for sig, så dem vil vi ikke gøre noget ud af.

    Der er lidt mere kød på den skalare multiplikation. Hvis f ∈ LC og c ∈ C så er ∫

    |c f | dµ = ∫

    |c| | f | dµ = |c| ∫

    | f | dµ < ∞ ,

    ifølge de reelle regneregler, så integrabiliteten af c f er klar nok. Og (15.2) følger: hvis f = f1 + i f2 og c = c1 + ic2, så er

    c f dµ = ∫

    (c1 f1 − c2 f2) + i(c1 f2 + c2 f1) dµ

    =

    c1 f1 − c2 f2 dµ + i ∫

    c1 f2 + c2 f1 dµ

    = c1

    f1 dµ − c2 ∫

    f2 dµ + i (

    c1

    f2 dµ + c2

    f1 dµ )

    = (c1 + ic2) (∫

    f1 dµ + i ∫

    f2 dµ )

    = c ∫

    f dµ .

  • 296 Kapitel 15. Deskriptiv teori: den karakteristiske funktion

    Sætning 15.4 Lad (X,E, µ) være et målrum. Hvis f ∈ LC så gælder der at ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

    f dµ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤

    | f | dµ. (15.4)

    B: Formel (15.4) går ligesom i det reelle tilfælde under navnet trekantsulig- heden.

    B: Ethvert komplekst tal z kan opskrives på modulus/argument-formen

    z = |z| ei θ

    for et passende θ ∈ R. Bruges denne opskrivning på ∫

    f dµ, ser vi at for et passende θ er ∣

    ∣ ∣ ∣ ∣

    f dµ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = e−i θ

    f dµ = ∫

    e−i θ f dµ .

    Venstre side i denne formel er rent reel, og derfor må højre side også være rent reel - integralet af e−i θ f har imaginærdel nul. Bruger vi symbolet Re(z) til at betegne realdelen af z har vi derfor at

    ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

    f dµ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =

    Re (

    e−i θ f )

    dµ ≤ ∫

    |Re (

    e−i θ f )

    | dµ ≤ ∫

    |e−i θ f | dµ = ∫

    | f | dµ ,

    hvor vi undervejs har benyttet at |Re(z)| ≤ |z|. �

    Det er vigtigt at bemærke at majorantsætningen gælder uindskrænket. Antag at f1, f2, . . . er en følge af målelige funktioner X → C, der konvergerer punktvist mod en grænsefunktion f . Hvis | fn(x)| ≤ g(x) for enM+-funktion g med endeligt integral, så er såvel f som alle fn-funktionerne integrable, og

    fn dµ→ ∫

    f dµ for n→ ∞ .

    Det følger ved at bruge den sædvanlige reelle majorantsætning på følgerne af real- og imaginærdel hver for sig.

    Eksempel 15.5 En funktion f : R→ C er konjugeret symmetrisk hvis

    f (−t) = f (t) for alle t ∈ R . (15.5)

  • 15.2. Den karakteristiske funktion 297

    Hvis en konjugeret symmetrisk funktion f er integrabel med hensyn til Lebesguemå- let over et interval af formen [−T,T ], så er

    ∫ T

    −T f (t) dt ∈ R .

    Integralet over et symmetrisk interval er rent reelt. For betingelse (15.5) siger i virke- ligheden at f ’s imaginærdel er en ulige funktion - og ulige funktioner integrerer til 0 over intervaller af formen [−T,T ].

    Eksempel 15.5 fremstår som en lidt tilfældig observation, men er en nøgle til mange regninger med karakteristiske funktioner. Vi vil i de kommende afsnit skrive en lang række integraler op, der tilsyneladende er komplekse, men hvor der kan opnås vigtig indsigt ved at bemærke at integranden er konjugeret symmetrisk, så imaginærdelen af integralet forsvinder.

    15.2 Den karakteristiske funktion

    Definition 15.6 Lad ν være et sandsynlighedsmål på (R,B). Den karakteristiske funktion for ν er funktionen φ : R→ C givet som

    φ(θ) = ∫

    ei θx dν(x) for θ ∈ R . (15.6)

    Eftersom |ei θx| ≤ 1 for alle værdier af θ og x, er