MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 1

Deskriptiv Statitik

Judith L. Jacobsen, PhD.http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal09_1/

jlj@statcon.dk

F 2009

Kursus formål

• Planlægning af studier – selve indsamlingen af data, – opstilling af statistiske hypoteser

– valg af tests og udførsel enkle analyser

• Faglig fortolkning af statistiske resultater• Normalfordelingen & binomial fordelingen

• Frekvens og antals tabeller

F 2009

Deskriptiv Statistik

• Typer af data

• Tabeller

• Grafik

• Summary statistik

• Forstå variation i observerede værdier

• Forskellige datatyper, skala og deres fordeling

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 2

F 2009

Undersøg ALTID Data

�Plot ALLE observationerne

�STUDER dine plots

�Analyser dine data

F 2009

Handler om

Ud fra tal – data: • at kunne udtale sig om aspekter af virkeligheden• (lægevidenskabelige/biologiske problemstillinger)• (Ikke “officiel” statistik, statistikproduktion)

Ud fra stikprøve:1. Deskriptiv statistik:beskrive variation i population2. Statistisk inferens (cf. infer )drage konklusioner om ukendte størrelser, parametre, knyttet til populationen.

F 2009

Hvad er Statistik

Generalisere (gøre inferens) omkring en population ved at studere et udsnit fra denne

Population

UdsnitInferens

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 3

F 2009

Eksempel

PopulationAlle voksne med mistanke om CHD ud fra nogle observationer

ForsøgUdsnit af 60 voksne med mistanke om CHD Afprøvning af en intervention

Statistik går ud på at sige noget om, hvor tæt vores observationer er på de resultater vi ville have, hvis vi havde observeret alle voksne med CHD

F 2009

Emner

Nøgleord

• Datareduktion

• Datapræsentation

• Statistiske modeller

Værktøj

• Matematik

• Sandsynlighedsregning

• Grafik

og sund fornuft!

F 2009

Data typer I

• Kvalitativ♀ ♂

• Kvantitativ

• Binære

�Kategorisk Subjektiv

�Numerisk, målbar

Objektiv�Enten – Eller

Død – levende

0–1

1 2 3

Præcision

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 4

F 2009

Data typer II

Kvalitative

• Beskrivelse– Subjektivt– Objektivt ♀ ♂

• Nominal– Benævnte kategorier

• Ordinal– Ordnede kategorier

Kvantitative

• Målinger– Kontinuerte– Diskrete

• Interval– Specifik afstand

• Ratio– Samme reference

F 2009

Interval & Ratio

• Interval skala Specifik distanceTemperaturArbitrær reference, Celcius og Farenheit, man kan ikke sige at 20° er dobbelt såvarmt som 10°

• Ratio skala Samme referenceAlderRatio har samme reference – 50 år er dobbelt så gammel som 25 år

F 2009

Kategoriske Data

To kategorier (dikotom/binær):

• Mand/kvinde• Gravid/ikke gravid

• Gift/ugift

• Ryger/ikke ryger

Flere end to:

• Nominal: Gift / ugift / fraskilt / enke(mand)

• Ordinal:

minimal / moderat / alvorlig / uudholdelig

smerte

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 5

F 2009

Kontinuerte Data

• Måling på en sammen-hængende skala

• I praksis afrundede tal

• Variable der antager “mange værdier”

• Ofte ’noget med’normalfordelingen

Eksempler

• Højde

• Vægt

• Serum-kolesterol

• Blodtryk

F 2009

Diskrete Numeriske Data

Tælletal

• Antal børn i en familie• Antal metastaser/celler/bakteriekolonier

• Flydende grænser mellem diskrete numeriske og ordinale kategoriske data.

OBS: Ofte meningsløst at behandle ordinale data som om de var numeriske.

Gennemsnitlig socialklasse eller cancerstadium??

F 2009

Censurerede data

Typisk overlevelsesdata• For nogen data vides kun om de er større end

en vis værdi. For andre kendes værdien.• “Patienten var i live ved sidste follow-up / pr.

1.jan. 1997”

NB: der er også trunkerede data hvor man slet ikke har data hvis de er mindre/større end en vis værdi:

• Tid til diagnose blandt patienter med symptomstart i 1995, fx.

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 6

F 2009

Beaufort Vindskala

Elastisk skalaOrdinalVel defineret

Ret høje, lange bølger -bølgekammen brydes til skumsprøjt

Kviste og grene brækkes af - besværligt at gå mod vinden

Hård kuling62 - 7434-4017-208

Høje bølger, hvor toppen vælter over - skumsprøjt kan påvirke sigten

Store grene knækkes -tagsten blæser ned

Stormende kuling75 - 8841-4721-249

Meget høje bølger - næsten hvid overflade - skumsprøjt påvirker udsigten

Træer rives op med rode -betydelige skader på huse

Storm89 -10248-5525-2810

Umådeligt høje bølger - havet dækket af hvide skumflager -sigten forringet

Talrige ødelæggelserStærk storm103-11756-6329-3211

Luften fyldt med skum, der forringer sigten væsentligt

Voldsomme ødelæggelserOrkan118 ->63>3212

Observationer på vandObservationer på landBetegnelsekm/tKnobm/sBeaufort

Admiral Francis Beaufort

Oversigt over Teknikker

Kategoriskeog Kontinuerte

KontinuerteKategoriskeDikotome

KovariaterRespons

Kovarians analyse

Multipel regression

Varians Analyse

En- / to-sidet

T-test

Parret / uparret

Normal

Fordeling

Modeller for gentagne målingerVarians komponentModeller

KorreleredeNormalt ford.

Cox regressionLog-rank testCensorededata

Robust multipel

regression

Kruskal - Wallis

- Friedman

Mann – Whitney

Wilcon sign rank

Kontinuerte

Vanskeligt, e.g. proportional odds modelsOrdinale

Gen. Logistisk regressionKontingens tabeller /Kategoriske

Logistisk regression2 x 2-tabellerDikotome test−2χ

test−2χ

F 2009

Overblik

• Interval & ratio data indeholder mere information end

ordinal data, som indeholder mere information end

nominal data• Man kan altid gå fra kontinuert – diskret –

ordinal – nominalMen aldrig den anden vej!

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 7

F 2009

Beskrivelse af Data

Nominal

• Frekvenser• Tabellering

• Tærte diagram

Ordinal

• Frekvenser

• Stolpe diagram

Kontinuerte

• Middel, median, Sd, fraktiler

• Scatter plot

Diskret

• Median, min, max• Stolpe diagram

F 2009

Beskrivelse Kategoriske Data

• Stolpediagrammer (barplots)

F 2009

Tabeller

Absolutte hyppigheder/frekvenser (antal)

• Kejsersnit og skostørrelse:

35122 35 42 48 54 150Total

43308

5 7 6 7 8 1017 28 36 41 46 140

YesNo

Total<4 4 4½ 5 5½ 6+Section

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 8

F 2009

Tabeller - i procent

Kejsersnit og skostørrelse:

• Relative frekvenser (i %)

100100 100 100 100 100 100Total

12.387.7

22.7 20.0 14.3 14.6 14.8 6.777.3 80.0 85.7 85.4 85.2 93.3

YesNo

Total<4 4 4½ 5 5½ 6+Section

• Fordel: direkte sammenlignelighed

• Ulempe: mister de faktiske antal

F 2009

Procenter – ’den anden vej’

Kejsersnit og skostørrelse:

• Relative frekvenser (i %)

1006.3 10.0 12.0 13.7 15.4 42.7Total

100100

11.6 16.3 14.0 16.3 18.6 23.35.5 9.1 11.7 13.3 14.9 45.5

YesNo

Total<4 4 4½ 5 5½ 6+Section

• Dette siger noget om fodstørrelse

– og ikke så meget om hyppighed af kejsersnit

F 2009

Mere om Frekvenser

• Trafikofre i the London Borough of Harrow 1985 (65 med ukendt alder udeladt)

Remark: Her kommer grupperne fra ’kontinuerte’observationer

• Så et ’bar chart’ af frekvenserne er mere som et histogram...

Total815

0-4 5-9 10-15 16 17 18-19 20-24 25-59 60+28 46 58 20 31 64 149 316 103

5.4 9.2 11.6 20.0 31.0 32.0 29.8 9.0 5.2

AlderFrekv.Fr./ år

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 9

F 2009

Ukorrekt: (uens interval bredde)

• højden af stolper = absolutte frekvenser

F 2009

Korrekt: (uens interval bredde)

• højden af stolper = antal ofre pr år (alder)

F 2009

Grupperinger

1,0-1,5 1,5-2,0 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,0

1,0-1,5 1,5-2,0 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,01,0-1,5 1,5-2,0 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,0

A B

Histogrammer

• Overvej om databør deles op

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 10

F 2009

Grupperinger II

R WGRUPPE$

100

200

300

400V

alue

AGE(1)AGE(2)AGE(3)AGE(4)

AGE(1)AGE(2)AGE(3)AGE(4)Trial

100

200

300

400

Mea

sure

RW

GRUPPE$

F 2009

Eksempel – Kvantitative Data

• PI max

F 2009

Beskrivelse – Kvantitative Variable

Graphs:

• Histogram• Probability plot

• QQ plot

• Box plot

• Graph/Histogram

pimax i Analysis

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 11

F 2009

Histogram – tæthed

F 2009

Sandsynligheder – Tæthed• Hvad betyder sandsynligheder, f.eks. for PImax?• Her: hver enkelt værdi sandsynlighed = 0 for at indtræffe

(fordi der i princippet er ∞ mange mulige udfald)• Sandsynlighedstætheder ,

sandsynligheden for et interval = arealet under kurven

F 2009

Diagrammer

• Histogram

• Frekvens fordeling

• Box plot

• Scatter plot

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 12

F 2009

Normalfordelingstætheder

µ middelforventet

σ standard afvigelse

F 2009

Histogram

med overlejret

Normalfordeling

• Graph/Histogram• pimax i Analysis

• klik Fit og afkrydsNormal Parameters

F 2009

Gennemsnit

Eksempel:• Indlæggelsestider: 5,5,5,7,10,16,106 dage• Gennemsnit: 154/7=22 dage

Repræsentativt for hvad??• Hvis omkostninger er proportionale med indlæggelsestiden, er

det måske gennemsnittet, der er interessant

Et mål for centrum i en fordelingKan opfattes som lige-vægtspunkt – påvirkes af yderlige observationer

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 13

F 2009

Skal vi skræmme modstanderne

Ved at give vores

middelhøjde?

Eller berolige

dem ved at give

median højden?

F 2009

Estimatorer for Beliggenhed

• Middel Den aritmetiske middelværdi for et set observationer. Misvisende når baseret på’skewed’ data.

• Median Den værdi, i et set ordnede observationer, som deler data i to ens dele. God til ’skewed’ data og relativ robust for ’outliere’.

• Modus Den oftest observerede værdi i et set observationer (‘typisk værdi‘). Bruges bla. når ovennævnte ikke slår til

F 2009

Estimatorer for Spredning

• Range Forskellen mellem max. og min. i et set observationer. Ikke anbefalet til at måle spredning pga. sensitiviteten til outliers. Dens størrelse øger med stikprøve størrelsen.

• Varians ‘Gennemsnittet’ af observation-ernes kvadrerede afvigelser fra middel-værdien. Standard afvigelse SD = kvadrat-roden af variansen.

• Standard fejl SD for stikprøve fordelingen af en statistik. SE = s / n½

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 14

F 2009

Deskriptive Mål

• Udregning af basale mål

• Middel: Varians:

• Std.afv.:

Medianen (50%) er den midterste værdi når data

er sorteret efter størrelse

n

xx

∑=)1(

)( 22

−−

= ∑n

xxs

2ss =

F 2009

Hvornår bruges hvad?

Beliggenhed

• Formen på data – Skewed: Median– Symmetrisk: Middel

• Type data– Nominale data: Modus– Ordinale data: Median– Kontinuerte Data:

Middel

Skala

• Formen på dataGir ingen mening at beregne SD for skewed data

Brug kvartiler og fraktiler i stedet

F 2009

Fraktiler og kvartiler

Et mål for variabilitet

• Viser skævheder

• 50% = medianen

• 25% og 75%

Fraktiler

• Frekvens fordelingS T

METODE$

500

1000

1500

2000

ST

YR

KE

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 15

F 2009

Summary Statistik i SAS

Statistics/Descriptive/Summary Statistics• pimax i Analysis i Statistics afkrydses:• Mean, Standard Deviation, Minimum, Maximum,

Median & Number of Observations

The MEANS Procedure

Analysis Variable : pimax

Mean Std Dev Minimum Maximum Median N

---------------------------------------------------------------------------------------------------92.60 24.9215436 40.00 150.00 95.00 25

---------------------------------------------------------------------------------------------------

F 2009

Normalfordeling – God?

Hvordan ses, om normalfordelingen er en god beskrivelse?

• Computersimulation af 150 observationer fra samme normalfordeling, gentages 9 gange.

• Nogle ser ’ikke ret normalfordelte’ ud!

• Ganske store afvigelser kan tolereres (i visse sammenhænge)

specielt når de ikke er for systematiske

F 2009

Tilfældigt udtrukket 150 obs fra en normalfordeling

mid

del =

115

og s

pred

ning

= 1

0

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 16

⇒ Samme forskel i middelværdi, men ikke lige vigtig

Varians er vigtig

F 2009

Test af Normalitet i SAS Analyst

Statistics/

Descriptive/Distributions

→ klik: Fit/Normal

Parameters

blandt meget

andet output fås:

The UNIVARIATE Procedure

Fitted Distribution for pimax

Parameters for Normal Distribution

Parameter Symbol Estimate

Mean Mu 92.6

Std Dev Sigma 24.92154

Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution

Test --- Statistic --- --- p Value ---

Kolmogorov-Smirnov D 0.12002682 Pr > D >0.150

Cramer-von Mises W-Sq 0.05671455 Pr > W-Sq >0.250

Anderson-Darling A-Sq 0.35232007 Pr > A-Sq >0.250

------- Quantile ------

Percent Observed Estimated

1.0 40.0000 34.6238

5.0 45.0000 51.6077

10.0 70.0000 60.6618

25.0 75.0000 75.7907

50.0 95.0000 92.6000

75.0 110.0000 109.4093

90.0 125.0000 124.5382

95.0 130.0000 133.5923

99.0 150.0000 150.5762

Quantiles – Normal Fordeling

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 17

F 2009

Fraktiler

• (PImax-eksempel) Data i rækkefølge:

Median: Midterste observation, 50%-fraktil: 95

Kvartiler (25% og 75% fraktiler): 75, 110.

25

150

24

130

23

125

22

120

21

110

I

pimax

20

110

19

110

18

100

17

100

16

100

15

9514

95

13

95

12

95

11

85

I

pimax

1080

9

80

8

80

7

75

6

75

5

75

4

75

3

70

2

45

1

40

I

pimax

F 2009

Fraktildiagram

Graphs/Probability

Plot:

Hvis data er normalfordelt, skal

fraktildiagrammet ligne en ret linie

F 2009

Graph/Box Plot

i Display skiftes

til Schematic

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 18

F 2009

Hvis Fordelingen er Skæv

eller afviger tydeligt fra N-Formalfordelingen:

• gennemsnit og spredning bør ikke angivesI stedet:

• fraktiler– median– Inter-quartile range, IQR

intervallet mellem 25% og 75% fraktil

• range

Om muligt bør fordelingen illustreres grafisk!

Alternativ: Transformer til normalitet

For små materialer angives• median• range

F 2009

Hvorfor Normalfordelingen?

Ofte en rimelig approksimation• Evt. efter transformation

med logaritme, kvadratrod, invers,...

Central grænseværdisætning:• Summen af et stort antal variable ligner

efterhånden en Normalfordeling(sum af N-fordelinger er igen en N-fordeling).

Rimelig let at arbejde med, fordi standard programmel er udviklet for Normalfordelingen

F 2009

Højder

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 19

F 2009

Diastolisk Blodtryk

F 2009

Central Grænseværdisætning

standard error of the mean SD1nn

SDSEM ===

F 2009

Normal Fordelingen

• Hvis variablen Y er normalfordelt med middelværdi µ og varians σ2, skrives

• Standardiseret /normeret variabel:

−−−−3σ 3σ 3σ 3σ −−−−2σ 2σ 2σ 2σ −−−−σ µ +σ +2σ +3σσ µ +σ +2σ +3σσ µ +σ +2σ +3σσ µ +σ +2σ +3σ

68,3%

95,4%

99,7%

),(~ 2σµNY

dfsY t~µ−=Ζ

tdf t-fordeling med df frihedsgrader (afh af ant. obs.)

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 20

F 2009

N-Ford. – Middel & Varians

µ = 10 µ = 24

σ = 1

σ = 2

F 2009

EksempelFra et stort materiale har vi fundet gennemsnitlig Se-albumin på 34.46 (g/l) og empirisk varians på 5.842 (g/l)2

• Hvis vi antager Se-albumin er normalfordelt med middelværdi 34.46 g/l og spredning 5.84 g/l, hvad er sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt person har en værdi over 42.0 g/l?

Hvor mange standardafvigelser er 42.0 fra 34.46?

Tabelopslag i standardnormalfordeling –eller computer: P = 0.0985 ≈ 10%

29.184.546.3442 =−

F 2009

Normalområder

der omslutter 95% af normale observationer:• nedre grænse: 2 ½ % fraktil• øvre grænse: 97 ½ % fraktil• Hvis fordelingen kan beskrives ved en normalfordeling

N(µ,σ2) kan disse fraktiler direkte udtrykkes som2 ½ % fraktil: µ − 1.96 ≈ y − 1.96 s

97 ½ % fraktil: µ + 1.96 ≈ y + 1.96 s• og normalområdet udregnes derfor som

hvis standard N-fordeling

)2,2(2 sysysy ×+×−×± =

96.1975.0025.0 ≈=− zz

MPH F 2009

© Judith L. Jacobsen 21

F 2009

Skæve fordelinger

- 0.47g/l0.80g/l

Standard deviation

s = SD

Gennemsnit

)/74.1 ,/14.0()2 ,2( llyy ggss −=++

F 2009

Transformation

0.238- 0.158

SDmiddel

På log10 skala:

)32.0 ,63.0(238.0 2158.0 −=×±−

08.210

23.010

695.010

:Antilogs

32.0

0.63

158.0

=

=−=−

Bedre grænser: (0.23, 2.08)