1

Design, analyse og verifikation

2

• Design BevisteknikkerDesign ved hjælp at matematisk induktion

• Analyse O-notationLogaritmerBinær søgning

• Verifikation PåstandeEt eksempel på verifikation

Plan

3

Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis).

Antag at det givne teorem er falsk.

Konkluder at dette vil føre til en modstrid.

Bevisteknikker(relevant både ved design og verifikation)

Teorem. Der findes uendeligt mange primtal.

Bevis: Antag at der findes et endeligt antal primtal, p1, p2 , ..., pk.

Betragt nu tallet N = p1 . p2

... pk+1. N er større end pk. Men ingen af de kendte primtal går op i N (resten ved division er 1). Så N må være et primtal. Vi har dermed en modstrid, hvilket beviser sætningen.

4

Matematisk induktionuformel beskrivelse

Hvis (1) jeg kender den forreste person, og

(2) hvis jeg for enhver person, jeg kender i køen, også kender dennes efterfølger,

så kender jeg alle personer i køen. Også selv om køen er uendelig lang.

Nogle personer står i en kø:

5

Lad T være et teorem, der skal bevises, og lad T være udtrykt i termer af heltalsparameteren n.

Teoremet T gælder da for enhver værdi af n ≥ c, hvor c er en konstant, hvis følgende to betingelser er opfyldt:

1. Basistilfældet:

T gælder for n = c, og

2. Induktionsskridtet:

Hvis T gælder for n-1, så gælder T for n.

Matematisk induktion formel beskrivelse

Antagelsen i induktionsskridtet kaldes induktionshypotesen.

6

Eksempler på simpel induktion

Teorem: Summen S(n) af de første n naturlige tal er n(n+1)/2.

Bevis: (1) Basistilfældet.

For n = 1 er S(1) =1, hvilket stemmer med formlen.

(2) Induktionsskridtet. Antag at sætningen gælder for n-1, dvs. S(n-1) = (n-1)n/2.

S(n) = S(n-1) + n = (n-1)n/2 + n = n(n+1)/2.

Dermed gælder sætningen også for n.

7

Bevis: (1) Basistilfældet.

4 kroner kan veksles ved hjælp af to 2-kroner.

(2) Induktionsskridtet. Antag at n-1 kroner kan veksles. Vi kan vise, at denne veksling

kan benyttes som udgangspunkt til at veksle n kroner.

Enten indeholder vekslingen en 5-krone, eller også gør den ikke. I første tilfælde erstattes 5-kronen med tre 2-kroner. I

andet tilfælde erstattes to 2-kroner med en 5-krone.

Teorem: Ethvert beløb ≥ 4 kroner kan veksles i et antal 2-kroner og et antal 5-kroner.

8

Stærk induktion

Teoremet T gælder for enhver værdi af n ≥ c, hvor c er en konstant, hvis følgende to betingelser er opfyldt:

1. Basistilfældet: T gælder for n = c, og

2. Induktionsskridtet: Hvis T gælder for ethvert k, c ≤ k < n, så gælder T for n.

9

Induktionsprincippet kan benyttes konstruktivt. Løsning af små problemer benyttes til at løse større problemer.

Induktion kan benyttes ved design af algoritmer

(1) Start med en vilkårlig instans af problemet.

(2) Prøv at løse dette under antagelse af, at det samme problem - men af mindre størrelse - er blevet løst.

10

Eksempel:Sortering af n tal i stigende rækkefølge

Antag at vi kan sortere n-1 tal.

Vi kan da opnå en sortering af n tal ved enten

(1) først at sortere n-1 af tallene, og derefter indsætte det n´te tal på den rette plads (sortering ved indsættelse),

eller

(2) bestemme det mindste af de n tal og sætte det forrest, sortere de

resterende tal, og derefter sætte dem bagefter dette forreste tal (sortering ved udvælgelse).

11

Eksempel:Den maksimale delsekvenssum

Problem. Givet en sekvens (a1,a2, .., an) af reelle tal. Find en delsekvens (ai,ai+1, .., aj) af konsekutive elementer, sådan at summen af dens elementer er størst mulig.

Eksempel. For sekvensen (-2, 11, -4, -1, 13, -5, 2) er den maksimale delsekvens (11, -4, -1, 13) med summen 19.

Hvis alle elementer er positive, er sekvensen selv maksimal.

Hvis alle elementer er negative, er den maksimale delsekvens tom. Idet den tomme delsekvens har summen 0.

12

En simpel algoritme

maxSum = 0;for (i = 1; i <= n; i++) for (j = i; j <= n; j++) sum = 0; for (k = i; k <= j; k++) sum += a[k]; if (sum > maxSum) maxSum = sum;

i j

ai aj

13

Forbedret algoritme

maxSum = 0;for (i = 1; i <= n; i++) sum = 0; for (j = i; j <= n; j++) sum += a[j]; if (sum > maxSum) maxSum = sum;

Fjern den inderste løkke.

Udnyt at akk=i

j∑ = akk=i

j−1∑ +aj

14

Hvis n = 1, så kan den maksimale delsekvens let bestemmes. Hvis tallet er positivt, består den af tallet selv. Ellers er den tom.

Lad S = (a1,a2, .., an) og S’ = (a1,a2, .., an-1).

Lad S’M være den maksimale delsekvens for S’.

a1 a2 anan-1

S

S’

S’M

Hvis S’M er tom, er den maksimale delsekvens for S tom, hvis an er negativ, ellers lig med (an).

Induktionshypotese: Vi ved, hvordan den maksimale delsekvens findes for en sekvens af længde n-1.

15

Hvis j = n-1, udvides S’M med an , hvis og kun hvis an er positiv.

Antag at S’M ikke er tom, dvs. S’M = (ai,ai+1, .., aj), for 1 ≤ i ≤ j ≤n-1.

a1 a2 anan-1

S

S’

S’M

16

Hvis j < n-1 er der to tilfælde:

(1) Enten er S’M også maksimal for S.

(2) Eller der er en anden delsekvens, der ikke er maksimal i S’, men som er maksimal i S, når an tilføjes.

Hvilket tilfælde, der er tale om, kan ikke afgøres på baggrund af den foreliggende information: S’M .

Men da an kun forlænger en delsekvens, der ender i an-1 , dvs. er et suffix for S’, kan afgørelsen træffes, hvis vi kender det maksimale suffix S’E = (ai,ai+1, .., an-1) for S’.

Induktionshypotesen skærpes.

a1 a2 anan-1

S

S’

S’M

17

Skærpet induktionshypotese: Vi ved, hvordan den maksimale delsekvens og det maksimale suffix findes for en sekvens af længde n-1.

Vi når derved frem til følgende algoritme:

maxSum = maxSuffix = 0;for (i = 1; i <= n; i++) maxSuffix += a[i]; if (maxSuffix > maxSum) maxSum = maxSuffix; else if (maxSuffix < 0) maxSuffix = 0;

18

Empirisk undersøgelse af algoritmernes tidsforbrug

static void randomFill(int[] a) java.util.Random r = new java.util.Random(7913); for (int i = 0; i < a.length; i++) a[i] = r.nextInt() % 1000;

public static void main(String [] args) for (int n = 10; n <= 1000000; n *= 10) System.out.println("n = " + n); int a[] = new int[n]; randomFill(a); long start = System.currentTimeMillis(); int maxSum = maxSubSum1(a); System.out.println(" Time used: " + (System.currentTimeMillis() - start)/1000.0); System.out.println();

19

Observerede køretider

MaxSubSum1 MaxSubSum2 MaxSubSum3100 0.010 0.002 0.000

1000 5.127 0.031 0.00010000 5104.632 2.270 0.001

100000 ikke målt 246.245 0.0081000000 ikke målt ikke målt 0.080

20

Kurvefitning med MacCurveFitMaxSubSum1

21

22

23

24

25

AlgoritmeanalyseBeskrivelse af algoritmers ressourceforbrug

Vurdering af algoritmers tids- og pladsforbrug.

Nyttigt: (1) ved valg imellem eksisterende algoritmer

(2) ved udvikling af nye algoritmer

26

O-notation benyttes til at angive en øvre grænse for en algoritmes ressourceforbrug (tid eller plads), idet der ses bort fra konstante faktorer.

At en algoritmes tidsforbrug er O(f(n)), hvor n er et udtryk for problemets “størrelse”, betyder:

(1) Intuitiv definition:Algoritmens tidsforbrug vokser i værste tilfælde som f(n), når blot n er tilstrækkelig stor.

(2) Formel definition: Der eksisterer to konstanter, c og N0, således at algoritmens tidsforbrug er opadtil begrænset af cf(n) for alle n ≥ N0.

O-notation

27

O-notationen fokuserer på den generelle kurveform (ser bort fra proportionali-tetskonstanter).

O-notationen muliggør vurderinger af algoritmers effektivitet (kompleksitet), som er uafhængige af det valgte programmeringssprog, oversætter og maskinel.

Illustration af udsagnet “g(n) er O(f(n))”

cf(n)

g(n)

N0 n

28

Kurver for n2 , n og log2n

log2n

n2

n

29

logb betegner logaritmefunktionen med base b.

logbN = x bx = N

Værd at vide om logaritmer

Specielt gælderlog10(10N) = 1 + log10Nlog2(2N) = 1 + log2N

To særligt interessante logaritmefunktioner erlog10 og log2.

log10N = x 10x = Nlog2N = x 2x = N

logb(M*N) = logbM + logbN

30

Alle logaritmefunktioner er proportionale

Eksempel: log2N = k*log10N, hvor k = 1/log102 ≈ 3.3

Funktionskurve for log2N

N

log2N

°°

°°

°

31

Brug af log2

Gentagen fordoblingHvis vi starter med X = 1, hvor mange gange kan X da fordobles, før X bliver større end eller lig med N?

Svar: log2N det nærmeste heltal, der er større end eller lig med log2N.

Gentagen halveringHvis vi starter med X = N, hvor mange gange kan X da halveres, før X bliver mindre end eller lig med 1?

Svar: log2N det nærmeste heltal, der er mindre end eller lig med log2N.

32

• Eksempler:

• Hvis f(n) = dominerende led + ikke-dominerende led, så er O(f(n)) = O(dominerende led)

Regneregler for O-notationen

• Præcedensregler:

O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(10n) < O(n!)

O(1): konstant, O(log n): logaritmisk, O(n): lineær, O(n2): kvadratisk,

O(n3): kubisk, O(nc): polynomiel, O(cn): eksponentiel (hvor c > 1)

O(6n3) = O(n3)

O(logbn) = O(log n)

O(300) = O(1)

O(n3 + n log n) = O(n3)O(n3 - 10000n2 + 10000) = O(n3)

33

x *= i; Tidsforbrug: O(1) (konstant)

Eksempler på analyse

for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= i; j++) x *= i+j;Tidsforbrug: O(n(n+1)/2) = O(n2/2+n/2) = O(n2)

for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= n; j++) x *= i+j;Tidsforbrug: O(n2) (kvadratisk)

for (i = 1; i <= n; i++) x *= i;Tidsforbrug: O(n) (lineært)

34

maxSum = 0;

for (i = 1; i <= n; i++)

for (j = i; j <= n; j++)

sum = 0;

for (k = i; k <= j; k++)

sum += a[k];

if (sum > maxSum)

maxSum = sum;

Eksempel på analyse(Den maksimale delsekvenssum)

Tidsforbrug: O(n3) (kubisk)

maxSum1:

35

maxSum = 0;for (i = 1; i <= n; i++) sum = 0; for (j = i; j <= n; j++) sum += a[j]; if (sum > maxSum) maxSum = sum;

Tidsforbrug: O(n2) (kvadratisk)

maxSum2:

36

maxSum = maxSuffix = 0;for (i = 1; i <= n; i++) maxSuffix += a[i]; if (maxSuffix > maxSum) maxSum = maxSuffix; else if (maxSuffix < 0) maxSuffix = 0;

Tidsforbrug: O(n) (lineært)

maxSum3:

37

Søgning er det problem at afgøre, om en mængde af objekter indeholder et objekt, der opfylder visse specificerede krav, og i givet fald finde det.

Søgning

Søgning er genfinding af lagret information. Informationen har form af poster, der hver har en nøgle. Målet med en søgning er at finde den eller de poster, der har en nøgle, der matcher en given søgenøgle.

Søgning er den mest tidsforbrugende aktivitet i mange programmer. At erstatte en dårlig søgemetode med en god giver ofte en væsentlig effektivitetsforbedring.

38

Klassifikation af søgemetoder

• intern/ekstern søgning

• statisk/dynamisk søgning

• søgning baseret på nøglesammenligninger/ digitale egenskaber ved nøglerne

• søgning baseret på de aktuelle nøgler/ transformerede nøgler

39

Interfacet Comparable

public interface Comparable

int compares(Comparable rhs);

boolean lessThan (Comparable rhs);

Objekter, der skal sammenlignes, skal implementere dette interface.

lhs.compares(rhs), hvor lhs og rhs er to Comparable-objekter, skal returnere -1, 0 eller 1, alt efter om lhs er “mindre end”, “lig med” eller “større end” rhs.

lhs.lessThan(rhs) skal returnere true, hvis lhs er “mindre end” rhs. Ellers false.

40

Eksempel på brug af Comparablepublic class MyInteger implements Comparable

public MyInteger(int x) value = x;

public int intValue() return value;

public int compares(Comparable rhs)

return value < ((MyInteger) rhs).value ? -1 :

value > ((MyInteger) rhs).value ? 1 : 0;

public boolean lessThan(Comparable rhs)

return value < ((MyInteger) rhs).value;

private int value;

41

int sequentialSearch(Comparable[] a, Comparable key) throws ItemNotFound

for (int i = 0; i < a.length; i++) if (a[i].compares(key) == 0)

return i;

throw new ItemNotFound();

Sekventiel (lineær) søgning

Sekventiel søgning i et usorteret array bruger altid N sammenligninger for en mislykket søgning, og gennemsnitligt (N+1)/2 sammenligninger for en succesfuld søgning.

Tidskompleksiteten for sekventiel søgning er O(N).

42

Binær søgningi et sorteret array

Metode:

Opdel arrayet i to (næsten) lige store dele.

Afgør i hvilken af de to dele, nøglen skal findes.

Fortsæt søgningen i denne del på samme måde.

Eksempel: Søgning efter N.

A B E F G H I L M N P R S X L M N P R S X L M N N

43

int binarySearch(Comparable[] a, Comparable key)

throws ItemNotFound

int low = 0, high = a.length - 1;

while (low <= high)

int mid = (low + high)/2;

if (a[mid].compares(key) < 0)

low = mid + 1;

else if (a[mid].compares(key) > 0)

high = mid - 1;

else

return mid;

throw new ItemNotFound();

Implementation af binær søgning

Algoritmen bruger altid log2N ˚ +1sammenligninger for en mislykket søgning, og

gennemsnitligt log2N ˚ sammenligninger for en succesfuld søgning.

44

int binarySearch(Comparable[] a, Comparable key) throws ItemNotFound

int low = 0, high = a.length - 1;

while (low < high)

int mid = (low + high)/2;

if (a[mid].compares(key) < 0) low = mid + 1;

else high = mid;

if (a[low].compares(key) == 0) return mid;

throw new ItemNotFound();

Algoritmen bruger altid log2N˚ +1 sammenligninger for en søgning.

Alternativ implementation afbinær søgning

45

Binær søgning blev første gang beskrevet i 1946.Den første fejlfri udgave blev publiceret i 1962.

I 1986 fandt Bentley, at 90% af de professionelle programmører på hans kurser ikke kunne skrive en fejlfri udgave på to timer.

Hvor svært kan det være?

46

Kompleksiteten af binær søgning

Binær søgning bruger aldrig mere end log2N ˚ + 1 sammenligninger - for såvel succesfuld som mislykket søgning.

Binær søgning kan beskrives ved et søgetræ:

H

D

B

A C E G I M P S

F L R

N

X

47

Interpolationssøgning

Indeksintervallet opdeles efter et gæt på nøglens placering. Ved lineær interpolation sammenholdes søgenøglen med nøglerne i de to interval-endepunkter. I binær søgning erstattes mid med next, og

mid = (low + high)/2 med next = low + (key - a[low])*(high -

low)/(a[high] - a[low]).

a[high]

a[low]

key

low next high

48

Kompleksiteten af interpolationssøgning

Interpolationssøgning bruger log2log2N ˚ + 1 sammenligninger for både succesfuld og mislykket søgning på “ tilfældige” tabeller.

Færre end 5 forsøg i praksis (225 ≈ 4*1010).

Svagheder: (1) tabellerne er normalt ikke “tilfældige”,

(2) beregningerne af next kan koste mere end de sparede sammenligninger.

49

Kompleksitetsvurdering

3 tilfælde: • det bedste• det værste• det gennemsnitlige

Eksempel - Quicksort:

Bedste: O(n log n) Værste: O(n2) Gennemsnitlige: O(n log n) (hvor n er antallet af elementer, der skal sorteres)

Sædvanligvis er vi interesseret i det værste tilfælde, fordi:

(1) vi ønsker en øvre grænse (en garanti), og (2) det er lettest at beregne.

50

O-notationens begrænsning

O-notationen er kun brugbar for “store” værdier af n.

For små værdier af n kan de ikke-dominerende led have en væsentlig betydning.

51

Hvor O(f(n)) kan benyttes til at angive en øvre grænse (≤) for vækst, kan Ω(f(n)) benyttes til at angive en nedre grænse (≥):

g(n) = Ω(f(n)), hvis der findes konstanter, c og N0, således at g(n) ≥ cf(n), når n ≥ N0.

g(n) = (f(n)), hvis væksten for g er mindre end (<) væksten for f. g(n) = (f(n)), hvis og kun hvis g(n) = O(f(n)) og g(n) ≠ (f(n))

g(n) = f(n)), hvis væksten for g er den samme (=) som væksten for f.g(n) = (f(n)), hvis og kun hvis g(n) = O(f(n)) og g(n) = Ω(f(n))

Ω, og

52

At ræsonnere om algoritmer

Evnen til at drage logiske slutninger er nyttig ved

• algoritmedesign

• fejlfinding

• forbedringer

• verifikation (bevis for korrekthed)

53

En algoritme A siges at være partielt korrekt, når der gælder følgende: Hvis A terminerer for et givet legalt input, så vil dens output være korrekt.

Verifikation

Bevisførelse af partiel korrekthed foretages ved brug af påstande (assertions).

En påstand er et logisk udsagn, der er knyttet til et givet punkt i algoritmen, og som er opfyldt, hver gang algoritmen når til dette punkt.

En algoritme A siges at være korrekt (eller totalt korrekt), hvis A er partielt korrekt, og A terminerer for ethvert legalt input.

54

Påstande

• Før-betingelse (precondition) Et udsagn, som gælder før udførelsen af en eller flere sætninger.

• Efter-betingelse (postcondition) Et udsagn, som gælder efter udførelsen af en eller flere sætninger.

• Løkke-invariant (loop invariant) Et udsagn, som gælder umiddelbart før løkke-testen i en løkke.

55

m ≤ n før-betingelsesort(a, m, n);

a[m] ≤ a[m+1] ≤ . . . ≤ a[n] efter-betingelse

Eksempler på påstande

i = m;

while

a[m] ≤ a[m+1] ≤ . . . ≤ a[i-1] ^

a[m .. i-1] ≤ a[i .. n] løkke-invariant (i < n)

min = i;

for (j = i+1; j <= n; j++)

if (a[j] < a[min]) min = j;

x = a[i]; a[i] = a[min]; a[min] = x;

i++;

56

Regler for verifikation

• Tildeling:

P w > 2 v = w; P v > 2

w

• Valg:

Pif (B) P ^ B S1;else P ^ ¬ B S2;

w v

57

Givet algoritmen

q = 0; r = x;

while (r >= y)

r = r - y;

q = q + 1;

hvor x, y, q og r er heltal, x ≥ 0 og y > 0.

Eksempel på verifikation(heltalsdivision)

Bevis at algoritmen bestemmer kvotienten q og resten r ved heltalsdivision af x med y, dvs.

r = x - q*y (0 ≤ r < y)

58

Bevisførelsen

(1) Løkke-invarianten er opfyldt ved indgangen til løkken.

(2) Hvis løkke-invarianten er opfyldt i en given iteration, så er den også opfyldt i den efterfølgende iteration.

(3) Hvis algoritmen terminerer, så er dens efter-betingelse opfyldt.

(4) Algoritmen terminerer.

induktion

59

x ≥ 0, y > 0 algoritmens før-betingelseq = 0;

r = x;

while r = x - qy ^ r ≥ 0 løkke-invariant (r >= y)

r = r - y;

q = q + 1;

r = x - qy ^ 0 ≤ r < y algoritmens efter-betingelse

r = x - qy ^ r ≥ y r - y = x - (q+1)y ^ r - y ≥ 0

r = x - (q+1)y ^ r ≥ 0

60

q = 0; r = x;while (r >= y) r = r - y; q = q + 1;

Algoritmen terminerer.

Terminering

Bevis:

Da y > 0, mindskes r ved hvert gennemløb af løkken. Løkketesten må derfor blive falsk efter et endeligt antal gennemløb.

61

• Læs kapitel 6 lærebogen (side 143-172)

• Løs følgende opgaver

1-1. Opgave 5.5

1-2. Opgave 5.10

1-3. Opgave 5.13

1-4. Opgave 5.14a

1-5. Opgave 5.23

Ugeseddel 111. september - 18. september