Desain Blok Acak

Desain Blok Lengkap Acak

Pendahuluan

Seorang teknisi bermaksud menentukan mana dari 5

mesin yang tersedia akan mempunyai kapasitas tertinggi

dalam pembuatan suku cadang XYZ

Pembuatan suku cadang berdasar bahan baku yang sama

dan tempo yang sama pula, namun dengan alasan cukup

proses produksi dilakukan selama lima hari kerja, delapan

jam per-hari

Sebut saja merk mesin yang digunakan adalah A, B, C, D, E

sedangkan hari produksi dinyatakan dengan 1, 2, 3, 4, 5

Contoh Desain

Desain tersebut tidak baik, karena dapat menimbulkan

desain baur

Hari

1 2 3 4 5

Mesin

yang

digunakan

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

A B C D E

Desain tersebut menghitung rata-rata kapasitas mesin

serta rata-rata kapasitas hari. Hal demikian terjadi karena

setiap hari menggunakan merk mesin yang sama

Apabila mesin dioperasikan oleh operator yang berlainan

setiap harinya, maka perbedaan kapasitas mesin yang

mungkin ada ternyata juga menyatakan perbedaan

kapasitas operator

Desain baur merupakan desain yang tidak baik

karena tidak dapat memisahkan antara kapasitas

hari, operator, dan mesin

Desain tersebut dapat diperbaiki menggunakan Desain

Acak Sempurna sebagai berikut:

Hari

1 2 3 4 5

Mesin

yang

digunakan

D (330) C (335) A (240) D (365) A (250)

B (240) B (320) C (310) D (345) E (240)

B (230) E (250) B (340) E (330) E (325)

A (285) D (275) E (255) A (285) B (330)

A (305) B (300) C (295) A (290) E (315)

Daftar anova

Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rata 1 1.703,025 1.703,025

Mesin 3 10.885,5 8.628,5 10,55

Kekeliruan 12 4.089,5 340,8

Jumlah 16 1.718,000

Kesimpulan

Didapat nilai F=10,65 dan ini lebih besar dari pada F tabel

=5,95(F0,01(3,12))

Kesimpulan penerimaan H0 bahwa tidak terdapat

perbedaan rata-rata kapasitas mesin

Jika diamati, setiap mesin tidak selalu digunakan setiap hari

dalam proses produksi komponen. Mesin C dan E tidak

digunakan pada hari pertama sedemikian hingga mesin C

dan D tidak digunakan pada hari kelima.

Setiap variasi dalam mesin A mungkin saja juga

menggambarkan variasi antara hari-hari pertama, ketiga,

keempat, dan kelima sedemikian hingga keempat mesin

yang lain

Dengan demikian kekeliruan acak tidak hanya merupakan

kekeliruan eksperimen akan tetapi juga termasuk variasi

antara hari-hari


Berdasar contoh sebelumnya menunjukkan bahwa hari

merupakan blok dan tiap perlakuan (merk mesin) dapat

digunakan dalam tiap blok

Karena tiap blok berisi mesin yang sama banyak, jadi tiap

blok berisi lengkap, dan dalam tiap blok terjadi

pengacakan, maka desain yang demikian dinamakan

desain blok lengkap acak.

DBLA

Secara umum desain blok lengkap acak adalah desain

dengan:

Unit-unit eksperimen dikelompokkan ke dalam sedemikian

sehingga unit-unit eksperimen di dalam blok relatif bersifat

homogen dan banyak unit eksperimen di dalam sebuah blok

sama dengan banyak perlakuan yang sedang diteliti

Perlakuan dikenakan secara acak kepada unit-unit eksperimen

di dalam tiap blok

Bagaimana dengan efek blok?

Perlakuan telah dipilih secara acak untuk digunakan

terhadap unit eksperimen dalam tiap blok. Ini berarti

variansi perlakuan antar blok telah dihilangkan.

Selanjutnya pembentukan blok tidak dilakukan secara acak

(karena diperlukan sifat homogen tiap blok).

Ini semua mengakibatkan tidak dapat dilakukannya

pengujian statistik efek blok.

Dengan kata lain, dalam desain blok hanya terdapat efek

perlakuan saja pengujian dilakukan dan tidak terhadap

efek blok

Contoh DBLA

Berikut adalah contoh desain blok lengkap acak. Untuk

mempermudah analisis, sebaiknya desain dilakukan

perubahan.

Hari

1 2 3 4

Mesin

yang

digunakan

A (260) D (345) B (353) C (365)

B (308) C (343) C (350) D (363)

C (230) B (358) A (298) B (323)

D (285) A (280) D (333) A (288)

Dengan dk=bp b

i

p

j ijY

11

22Y

bp

J 2

yR

p

j

y

ojR

p

j

1

2

yP

yyy PBRY2

yE

b

i

yio Rb

J

1

2

yB

Dengan dk=1

Dengan dk=b-1

Dengan dk=p-1

Dengan dk=(b-1)(p-1)

Tabel Anova

Sumber

variasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 Ry R

Blok b-1 By B

Perlakuan p-1 Py P P/E

Kekeliruan

eksperimen

(b-1)(p-1) Ey E

Jumlah bp -

Contoh (1)

Desain Blok Lengkap Acak untuk Hasil 4 Merk Mesin

Kita misalkan bahwa semuanya hanya ada empat merk

mesin yang tersedia, dan karenanya kita mempunyai model

tetap. Maka:

Perlakuan (Mesin)

Blok (hari) A B C D

1 260 308 323 330

2 280 358 343 345

3 298 353 350 333

4 288 323 365 363

Contoh (2)

Perlakuan (Mesin)

Blok (hari) A B C D Jumlah Rata-rata

1 260 308 323 330 1221 305,3

2 280 358 343 345 1326 331,5

3 298 353 350 333 1334 333,5

4 288 323 365 363 1339 334,8

Jumlah 1126 1342 1381 1371 5220

Rata-rata 281,5 335,5 345,3 342,8 326,3

000.718.1)363()333(...)280()260(Y 22222

025.703.116/)5220(R 2y

5,373.2025.703.14

)1339()1334()1326()1221(B

2222

y

5,885.10025.703.14

)1371()1381()1342()1126(P

2222

y

17165,885.105,373.2025.703.1000.718.1Ey

`

Maka dapat disusun daftar Anava sebagai berikut

Daftar Anava Untuk DBLA (Model Tetap)

Sumber Variasi dk JK KT

Rata-rata

Blok (hari)

Perlakuan (Mesin)

Kekeliruan Eksperimen

1

b-1

p-1

(b-1)(p-1)

Ry

By

Py

Ey

R

B

P

E

Jumlah 16 Y2 -

Daftar Anava Hasil Ujian

Daftar Anava untuk Data Hasil Ujian


Rata-rata

Blok (hari)

Perlakuan (Mesin)


1

3

3

9

1.703.025

2.373,5

10.885,5

1.716

1.703.025

791,2

3.628.5

190,7

19,03

Jumlah 16 1.780.000

Untuk menguji hipotesis nol tentang rata-rata kapasitas mesin

dengan F=19,03 menunjukkan sangat signifikan pada taraf

0,01 *(6,99)

Jika dilakukan pengujian melalui desain acak sempurna ada

perubahan varians kekeliruan dari 340,8 menjadi 190,7 untuk

desain blok lengkap acak. Hal ini disebabkan karena pemisahan

pengaruh blok (dalam hal ini adalah hari).

Bagaimana apabila ingin diketahui kapasitas mesin yang lebih

baik?

Hal ini dapat dilakukan melalui metode kontras ortogonal

atau uji rentang Newman-Keuls

* {Tabel F 0,01 dengan v1=(p-1); v2=(b-1)(p-1)}

Untuk menentukan interval konfiden rata-rata kapasitas mesin

yang sebenarnya, dapat diperoleh

Daftar distribusi student dengan dk=3 dan koefisien konfiden

0,95 menghasilkan t=3,18. Interval konfiden 95% untuk rata-

rata kapasitas (j=A, B, C, D)

Untuk mesin merk A misalnya, maka rata-rata kapasitasnya

ditaksir antara (281,5-21,9) dan (281,5+21,9) atau antara 259,6

dan 303,4

68,474

7,190E/bsdan 190,7Es 22e oj

9,21Y9,21Y

)90,6)(18,3(Y)90,6)(18,3(Y

/tY/tY

ojoj

ojoj

/2-1oj/2-1oj

j

j

j bEbE

Contoh Soal

Sebuah eksperimen dilakukan untuk menguji kekuatan.

Terdapat 4 tipe tip dan 4 lempeng logam yang tersedia.

Masing-masing tipe tip diuji sekali pada masing-masing

lempeng, menghasilkan randomized complete block.

Urutan data tipe tip mana yang diuji, ditentukan secara

random.

Apakah terdapat perbedaan antar tipe tip dan antar blok?


dengan Subsampling

Pendahuluan

Seperti dalam desain acak sempurna, dalam desain blok

lengkap acak sering terjadi bahwa pengamatan hanya

dilakukan terhadap sebagian dari unit eksperimen

Jadi dalam hal demikian, proses pengamatan dilakukan

dengan menggunakan subsampling, yang juga

memunculkan kekeliruan sampling dengan model

matematis:

i = 1, 2, , b

j = 1, 2, , p

k = 1, 2, , n

ijkijji ijkY

dengan:

Y ijk = variabel yang diukur

= rata-rata umum

i = efek rata-rata blok ke i

j = efek rata-rata perlakuan ke j

ij = efek unit eksperimen dikarenakan perlakuan ke j dalam blok ke i

ijk = efek sampel ke k yang diambil dari unit eksperimen yang dikarenakan perlakuan ke j dalam blok ke i

Dengan dk=bpn b

i

p

j

n

k ijkY

11 1

22Y

bpn

J 2

yR

b

i

p

j y

ijR

n

j

1 1

2

bS

p

j

y

ojR

bn

j

1

2

yP

yyb PBSyE

by SRY2

yS

b

i

yio Rpn

J

1

2

yB

Dengan dk=1

Dengan dk=bp(n-1)

Dengan dk=b-1

Dengan dk=p-1

Dengan dk=(b-1)(p-1)

Tabel Anova

Sumber

variasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 Ry R

Blok b-1 By B

Perlakuan p-1 Py P P/E

Kekeliruan

eksperimen

(b-1)(p-1) Ey E

Kekeliruan

sampling

bp(n-1) Sy S

Jumlah bpn -

Contoh

Diteliti lima macam padi berdasarkan hasil perconaan

dari 15 petak yang telah dibuat menjadi tiga blok (tiap

blok terdiri dari 5 petak). Untuk keperluan penelitian

pengambilan data dilakukan secara subsampling dengan

jalan membagi petak yang ada menjadi beberapa sub petak

kecil. Dan setiap petak diambil secara acak 3 sub petak

dan hasilnya diberikan sebagai berikut.

Contoh Desain

Blok Padi

1 2 3 4 5 Jio Yio

1 1

2

3

95

90

89

102

88

109

123

101

113

57

46

38

67

72

66

J1j 274 299 337 141 205 1256 83,7

2 1

2

3

92

89

106

96

99

107

93

110

115

37

40

35

54

68

64

J2j 287 302 318 112 186 1205 80,3

3 1

2

3

91

82

98

102

93

98

112

104

110

39

39

47

57

61

63

J3j 271 293 326 125 181 1196 79,7

Joj 832 894 981 378 572 J=

3657

Yoo=

81,27 Yoj 92,4 99,3 109 42 63,6

819.3266361...9095Y 22222

2,192.297)3)(5)(3/()657.3(R 2y

054.282,192.2973

)181(...)299()274(S

222

b

4,684.272,192.29733

)572()378()981()894()832(P

22222

yx

17165,885.105,373.2025.703.1000.718.1Ey

572.18,054.282,192.297819.326Sy

6,1392,192.29735

)196.1()205.1()256.1(B

222

yx

Daftar Anava


Rata-rata

Blok

Padi


Kekeliruan Sampling

1

(b-1) 2

(p-1) 4

(b-1)(p-1) 8

bp (n-1) 30

297.192,2

139,6

27.684,4

230,8

1.572

297.192,2

69,8

6.921,1

28,9

52,4

239,5

Jumlah 45 326.819

Untuk membandingkan rata-rata perlakuan, maka langkah

berikutnya dapat dilakukan seperti metoda sebelumnya

menggunakan kontras ortogonal atau Newman-Keuls.

Perhitungan varians rata-rata perlakuan dapat dilakukan

dengan rumus:

Untuk menentukan interval konfiden (1-) 100%

digunakan rumus:

dengan dk untuk distribusi Student diambil sama dengan

(b-1)(p-1)

bnEbnE j /tY/tY /2-1oj/2-1oj

bn/)ns(sE/bns 2e22

oj

Efisiensi Relatif DBLA terhadap DAS

Untuk mengetahui apakah sebuah desain lebih efisien atau

tidak, maka perlu dibandingkan harga varians rata-rata

perlakuan kedua desain

Ukuran yang sering digunakan adalah efisiensi relatif (ER)

Contoh sebelumnya akan sulit dimengerti karena

diperoleh taksiran bias dimana

sehingga diperlukan contoh lain

n/)S-E(sdan Ss dimana

0s

2

e

2

2

e

Percobaan tidak dilakukan berdasarkan atas 15 petak

menjadi 3 blok, melainkan 30 petak menjadi enam blok.

Dari tiap petak dilakukan subsampling sebanyak 4

subpetak. Setelah dianalisis, berikut ini adalah daftar Anava

yang disusun:

Daftar Anava


Rata-rata

Blok

Padi


Kekeliruan Sampling

1

5

4

20

90

694.307,36

405,62

87.124,32

2.517,73

4.075,17

81,12

21.781,08

125,89

45,28

173,02

Jumlah 120 788.430,20

Maka taksiran kekeliruan sampling adalah 45,28, taksiran

untuk kekeliruan eksperimen adalah

Misal sekarang desain diubah menjadi empat blok dan tiap

petak diambil enam subpetak. Untuk desain ini

diperkirakan harga

b dan n merupakan blok dan subpetak desain baru

5,256x4)/(125,89E/bns

15,204

28,4589,125

n

S-Es

2

2

e

oj

6,926x4)/(6x20,15),2845(

)nb/()s(s ''2e'22

ojsn

Efisiensi relatif desain baru terhadap desain lama menjadi

Apabila membandingan ER antara DBLA dan DAS maka

aturan yang digunakan adalah:

Dinyatakan dengan KT (blok) dan KT (kekeliruan

eksperimen) yang masing-masing besarnya B dan E, maka

aturan menjadi:

%9,75%1006,92

5,25ER x

%100xDBLA) Eksperimenn (Kekelirua KT

DAS) Eksperimenn (Kekelirua KTER

1)E-(bp

1)E-b(p1)B-(bER

Daftar Anava Hasil Ujian



Rata-rata

Blok (hari)

Perlakuan (Mesin)


1

3

3

9

1.703.025

2.373,5

10.885,5

1.716

1.703.025

791,2

3.628.5

190,7

19,03

Jumlah 16 1.780.000


(Data Hilang)

Data Hilang (1)

Dalam penelitian, data hilang sangat mungkin terjadi pada

sebuah atau lebih pengamatan. Data yang hilang dapat

disebabkan oleh mesin yang rusak, tabung percobaan yang

pecah, dan sebagainya

Dalam desain blok lengkap acak, data yang hilang

mengakibatkan hilangnya keseimbangan atau sifat simetri

ataupun sifat ortogonal

Jika sebuah blok hilang, maka analisis dapat dilanjutkan

sebagaimana biasa asal sisa blok yang ada masih lengkap

dan tidak kurang dari dua buah blok

Data Hilang (2)

Jika data yang hilang hanya sebuah data hasil perlakuan,

maka data yang hilang diganti dengan harga taksiran yang

menyebabkan jumlah kuadrat-kuadrat untuk kekeliruan

menjadi minimum, dimana:

p = banyak perlakuan

b = banyak blok

P = jumlah nilai pengamatan untuk perlakuan tanpa data yang hilang

B = jumlah nilai pengamatan untuk blok tanpa data yang hilang

J = jumlah nilai pengamatan tanpa data yang hilang

1)-1)(b-(p

bB'-J'pP'h

Data Hilang (3)

Untuk menghindari hasil bias karena data yang ditaksir,

perlu diberikan penyesuaian dengan merubah derajat

kebebasan kekeliruan eksperimen menjadi[(p-1)(b-1)-1],

sedangkan derajat kebebasan jumlah berubah menjadi (bp-

1).

Penyesuaian berikutnya adalah melakukan pengurangan

jumlah kuadrat-kuadrat (Py) dengan z, dimana:

Sehingga JK (perlakuan) = Py= Py-z

1)-p(p

1)h}-{B'-(pz

2

Anava DBLA

Anava DBLA dengan Sebuah Pengamatan Hilang

Daftar Anava Untuk DBLA


Rata-rata

Blok (hari)

Perlakuan (Mesin)


1

b-1

p-1

(b-1)(p-1)

Ry

By

Py

Ey

R

B

P

E

Jumlah bp Y2 -

Daftar Anava Untuk DBLA dengan Sebuah Pengamatan Hilang


Rata-rata

Blok (hari)

Perlakuan (Mesin)


1

b-1

p-1

(b-1)(p-1)-1

Ry

By

Py

Ey

R

B

P

E

Jumlah bp-1 Y2-z -

Contoh

Perlakuan (Mesin)

Blok (hari) A B C D Jumlah Rata-rata

1 260 308 323 330 1221 305,3

2 280 358 343 345 1326 331,5

3 298 353 h 333 984+h

4 288 323 365 363 1339 334,8

Jumlah 1126 1342 1031+h 1371 4870+h

Rata-rata 281,5 335,5 342,8 326,3

Maka data hilang untuk hari ketiga hasil mesin C ditaksir

dengan:

sehingga

4,3541)-1)(4-(4

4870)984(44(1031)h

7,5221)-4(4

}4,354)(14(984{z

2

7,576.720.17,522)363()333(...)280()260(Y 22222 z

2,897.705.1x44

)4,3544870(

bp

JR

22

y

9,440.22,897.705.14

)1339()4,354984()1326()1221(B

2222

y

3,056.112,897.705.14

)1371()4,3541031()1342()1126(P

2222

y

0,705.16,533.109,24402,897.705.17,576.720.1Ey

6,533.107,5223,056.11'P sehingga y



Rata-rata

Blok (hari)

Perlakuan (Mesin)


1

3

3

8

1.705.897,2

2.440,9

10.533,6

1.705,0

1.705.897,2

813,6

3.511,2

231,1

16,48

Jumlah 15 1.720.576

Desain Blok Tak Lengkap Acak

Pada desain blok acak sering terjadi bahwa tidak selalu

mungkin semua perlakuan terdapat di dalam tiap blok

Hal ini akan terjadi apabila adanya perlakuan lebih banyak

dari pada yang dapat ditempatkan dalam sebuah blok

Hal ini menyebabkan blok menjadi tidak lengkap dan

karenanya desain ini dinamakan desain blok tak lengkap


Contoh:

Ada 4 buah perlakuan A, B, C, D yang eksperimennya akan

diadakan dalam waktu empat hari. Karena melakukan

eksperimen memerlukan waktu, ternyata bahwa ke-4 perlakuan

itu tidak dapat diadakan dalam tempo satu hari dan hanya dapat

diselesaikan sebanyak tiga buah saja. Jadi setiap hari kita

melakukan eksperimen sejumlah 3 dari 4 yang tersedia


b = 4

p = 4

k = 3

r = 3

N = 12

= 2

Perlakuan

Blok (hari) A B C D Jumlah

1 8 21 - 3 32

2 6 15 36 - 57

3 - 36 23 6 65

4 13 - 18 2 33

Jumlah 27 72 77 11 187

Simbol:

b = banyak blok dalam eksperimen

P = banyak perlakuan dalam eksperimen

k = banyak perlakuan dalam tiap blok

r = banyak replikasi terhadap sebuah perlakuan eksperimen

N = banyak eksperimen

= bk = pr

= berapa kali dua perlakuan nampak bersama-sama dalam

blok yang sama

= r (k-1)/(p-1)

Maka:

4429)2()6(...)6()8(Y 22222

08,914.212/(187)N/JR 22y

59,28108,29143

)33()65()57()32(B

R/k)(JB

2222

y

b

1i

y

2

ioy

)/(kpQP dimanap

1j

2

jy

Sedangkan

Q1= 3(27) (32+57+33) = -41

Q2= 3(72) (32+57+65) = 62

Q3= 3(77) (57+65+33) = 76

Q4= 3(11) (32+65+33) = -97

Dengan demikian:

)(kJQ1

ojj

b

i

ioijJn

41,37092,86259,28108,29144429

PBRYE

862,923(4)(2)

97)((76)(62)41)(P

yyy

2

y

2222

y

)/(kpQPp

1j

2

jy

Harga F = 287,64/74,08 = 3,88 lebih kecil daripada F =

5,41 yang didapat dari daftar dk v1=3, v2=5 dan alpha 5%.

Jadi hasil pengujian tidak signifikan.

Daftar Anava


Rata-rata

Blok

Perlakuan


1

3

3

5

2914,08

281,59

862,92

370,41

2914,08

93,86

287,64

74,08

3,88

Jumlah 12 4429

Documents

Desain Blok Acak