Derivate di funzioni - UniPDalvise/IA_2015/SLIDES_1516/DERIVATE_1516/... · 0, con una retta di equazione y = ax + b, passante per (x 0;f (x 0)) e quindi tale che f (x 0) = ax 0 +

Derivate di funzioni

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universita degli Studi di PadovaDipartimento di Matematica

9 novembre 2015

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 1/ 121

Approssimazione

Problema.

Data una funzione f definita in un intorno di x0, ci poniamo ilproblema di approssimarla localmente, cioe in un intornosufficientemente piccolo di x0, con una retta di equazioney = ax + b, passante per (x0, f (x0)) e quindi tale chef (x0) = ax0 + b.

Notazione.

Dicendo che una funzione f e uguale a o(x − c) intenderemo che

limx→c

f (x)

x − c= 0.


Nota sugli o

Nota.

Osserviamo che se limx→x0 f (x) = 0, limx→x0 g(x) = 0 alloraavevamo gia visto che f = o(g) se

limx→x0

f

g= 0.

Con questa vecchia notazione, g(x) = x − c e x0 = c, scrivevamof e uguale a o(x − c) qualora

limx→c

f (x)

x − c= 0.

proprio come nella definizione appena introdotta.


Approssimazione

Esempio

La funzione sin(x)− x e o(x) (cioe o(x − 0)).

Svolgimento.

Da limx→0sin(x)

x = 1 abbiamo che

limx→0

sin(x)− x

x= lim

x→0

sin(x)

x− lim

x→0

x

x= 1− 1 = 0

e quindi sin(x)− x e o(x).

Di conseguenza, sin(x)− x = o(x) e quindi, con un abuso dinotazione, sin(x) = x + o(x).


Approssimazione

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1

0

1

2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−8

Figura : In alto. La funzione sin(x) in [−2, 2] (in nero) e x (in rosso). Inbasso. L’errore assoluto | sin(x)− x | in un intorno di 0.


Retta tangente al grafico di f in (x0, f (x0))

Definizione (Retta tangente)

Sia I un intervallo (anche illimitato), e x0 sia interno ad I (cioe nonsia un estremo di I ). Si dice che la retta passante per (x0, f (x0))

y = f (x0) + m(x − x0)

e tangente al grafico di f in (x0, f (x0)) se

f (x)− [f (x0) + m(x − x0)] = o(x − x0).

Usando l’abuso di notazione precedente, che tornera utile, cio siscrive pure

f (x) = [f (x0) + m(x − x0)] + o(x − x0).


Approssimazione

Nota. (1)

Potrebbe dar fastidio l’abuso di notazione. Vediamone la ragione.Quando scriviamo

f (x)− g(x) = o(x − c)

intendiamo che h(x) = f (x)− g(x) (cioe f (x) = g(x) + h(x)) euna funzione tale che limx→c h(x)/(x − c) = 0. Quindi, portandoa secondo membro g(x) con

f (x) = g(x) + o(x − c)

intendiamo diref (x) = g(x) + h(x)

con h(x) tale che limx→c h(x)/(x − c) = 0.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 7/ 121

Approssimazione

Teorema

Sef (x) = o(x − c) per x → c

alloralimx→c

f (x) = 0.

Dimostrazione. (Facoltativa)

Infatti, per definizione, limx→cf (x)x−c

= 0, dice che

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : |x − c| < δ(ε)⇒ |f (x)/(x − c)| < ε

ovvero∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : |x − c| < δ(ε)⇒ |f (x)| < ε · |x − c|

e quindi, esiste un intorno di c per cui |f (x)| < ε · |x − c| e visto che|x − c| → 0 per x → c, per il teorema del confronto, da

−ε · |x − c| < f (x) < ε · |x − c|

deduciamo che f (x)→ 0 per x → c.


Retta tangente al grafico di f in (x0, f (x0))

Nota.

Ricordando la definizione di o(x − x0)

f (x)− [f (x0) + m(x − x0)] = o(x − x0)

significa

limx→x0

f (x)− [f (x0) + m(x − x0)]

x − x0= lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0−m = 0

cioe facilmente

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= m ∈ R.


Derivata

Definizione (Rapporto incrementale)

La quantitaf (x)− f (x0)

x − x0

si chiama rapporto incrementale di f in x relativamente a x0.

Definizione (Derivabilita )

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R→ R, con x0 interno ad I .Diremo che f e derivabile in x0 se esiste finito il limite

f ′(x0) = limx→x0

f (x)−f (x0)x−x0

.

Tale limite f ′(x0) viene chiamato derivata (prima) di f in x0 eviene a volte indicato con df

dx |x0 o Df (x0).


Derivabilita : definizione alternativa

Nota.

Osserviamo che posto x = x0 + h, abbiamo


f (x)− f (x0)

x − x0= lim

h→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.

Per questo motivo spesso si definisce

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.


Derivata, esempio 1

Esercizio

Mostrare che la derivata prima di sin(x) in 0 vale 1.

Svolgimento.

Per quanto detto basta sia, per f (x) = sin(x)

f ′(0) = limh→0

f (0 + h)− f (0)

0 + h − 0= lim

h→0

sin(h)− sin(0)

h

= limh→0

sin(h)

h= 1

cosa nota per il limite notevole

limx→0

sin(x)

x= 1.


Derivata, esempio non derivabile, 1

Esercizio

La funzione 3√

x non e derivabile in x0 = 0.

Traccia.

Scrivendo il rapporto incrementale

f (0 + h)− f (0)

h=

3√

h

h= h−2/3 → ±∞

con ± a seconda si tenda da destra o sinistra, rispettivamente.


Derivata, esempio

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura : In alto. La funzione 3√

x in [−0.1, 0.1] (in blue).



Definizione (Punto angoloso)

Se

f ′−(x0) = limh→0−

f (x0 + h)− f (x0)

h,

f ′+(x0) = limh→0+

f (x0 + h)− f (x0)

h

sono finiti ma distinti, il punto x0 si dice angoloso per f .

Nota.

In questo caso la funzione non risulta derivabile, si ha quando

f ′+(x0) = limh→0+

f (x0 + h)− f (x0)

h6= lim

h→0−

f (x0 + h)− f (x0)

h= f ′−(x0)

in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0f (x0+h)−f (x0)

h.



Esercizio

La funzione f (x) = |x | ha un punto angoloso in x0 = 0.

Traccia.

Si vede subito che

1 = limh→0+

|h| − 0

h6= lim

h→0−

|h| − 0

h= lim

h→0−

−h − 0

h= −1.

e quindi il limite richiesto per essere derivabile in x0 = 0 non esiste.


Derivata, esempio

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Figura : In alto. La funzione |x | in [−0.1, 0.1] (in blue).


Derivata, cuspide

Definizione (Cuspide)

Se uno tra f ′+(x0) e f ′−(x0) vale +∞ e l’altro −∞, il punto x0 sidice cuspide per f .

Nota.

Tale funzione non risulta derivabile, si ha quando

f ′+(x0) = limh→0+

f (x0 + h)− f (x0)

h6= lim

h→0−

f (x0 + h)− f (x0)

h= f ′−(x0)

in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0f (x0+h)−f (x0)

h.


Derivata, cuspide

Esempio

La funzione√|x | ha una cuspide in x0 = 0.

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Figura : In alto. La funzione√|x | in [−0.1, 0.1]. Si noti che

f ′−(x0) = −∞, f ′+(x0) = +∞.


Derivabilita

Definizione (Derivabilita in un intervallo)

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R→ R, derivabile per ogni x∗

interno ad I . Diremo che f e derivabile in I e con

f ′(x)

intenderemo la funzione che ad x associa il valore della derivata nelpunto x.

Nota.

A voltedf

dx(x)

intenderemo una notazione alternativa a f ′(x), per definire lafunzione che ad x associa il valore della derivata.


Derivata, derivate sinistre e destre

Definizione (Derivata destra)

Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0 < b. Diremo che f ederivabile a destra in x0 se esiste finito il limite destro

limx→x+

0

f (x)− f (x0)

x − x0:= f+

′(x0)

Definizione (Derivata sinistra)

Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0 < b. Diremo che f ederivabile a sinistra in x0 se esiste finito il limite sinistro

limx→x−0

f (x)− f (x0)

x − x0:= f−

′(x0)


Derivata, teorema sulla derivazione, dalle derivate sinistre edestre

Teorema (Legame derivabilita e derivate destre e sinistre)

Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. La funzione f ederivabile in x0 se e solo se

esistono finite f−′(x0), f+

′(x0),

f−′(x0) = f+

′(x0) = f ′(x0).


Derivabilita e continuita

Teorema (Legame derivabilita e continuita)

Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. Sia la funzione fderivabile in x0. Allora la funzione e continua in x0.

Dimostrazione.

Dalla definizione,


f (x)− f (x0)

x − x0

⇔ limx→x0

f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)

x − x0= 0

⇔ f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0) = o(x − x0)

⇔ f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + o(x − x0)

ed essendo f ′(x0)(x − x0)→ 0, o(x − x0)→ 0, per x → x0, ricaviamo

limx→x0

f (x) = f (x0)cioe f continua in x0.


Derivabilita e continuita

Nota.

Il teorema precedente di che la derivabilita di una funzione si studiasolo nei punti in cui f e continua perche dove e discontinuasicuramente non e derivabile.

Nota.

Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, come adesempio, la funzione f (x) = |x | che e ovunque continua ma non ederivabile in x0 = 0.

Si noti che, contro l’intuito, esistono perfino funzioni continueovunque e mai derivabili.


Derivabilite delle funzioni elementari: monomi

Teorema (Derivata di f (x) = xα.)

La derivata di f (x) = xα e, internamente al dominio di f ,

f ′(x) =

{0, se α = 0α · xα−1, se α 6= 0

Dimostrazione.

se α = 0, x0 6= 0 abbiamo

f ′(x0) = limh→0

(x0 + h)0 − (x0)0

h= lim

h→0

0

h= 0.


Derivabilita delle funzioni elementari: monomi

se α 6= 0, da

(x0 + h)α = (x0(1 + (h/x0)))α = xα0 (1 + (h/x0))α

necessariamente

f ′(x0) = limh→0

(x0 + h)α − xα0h

= limh→0

xα0 (1 + (h/x0))α − xα0h

= limh→0

xα0

((1 + h

x0

)α− 1)

h



Dal limite notevole

limt→0

(1 + t)α − 1

t= α

e

f ′(x0) = limh→0

xα0

((1 + h

x0)α − 1

)h

posto t = h/x0, necessariamente t → 0 e

limh→0

x0α(

(1 + hx0

)α − 1)

h= lim

t→0

xα0 ((1 + t)α − 1)

tx0

= limt→0

x0α−1 · ((1 + t)α − 1)

t

= x0α−1 · lim

t→0

((1 + t)α − 1)

t︸︷︷︸=α

= αxα−10 .



se α 6= 0, α 6= 1, x0 = 0 e ha senso considerare il limite per x → 0(pensare quanto differenti siano i casi x2 e

√x!)

limh→0

(0 + h)α − 0α

h= lim

h→0hα−1

che vale 0, come xα−1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,come xα−1 per x = 0 (con abuso di notazione).

se α 6= 0, α 6= 1, x0 = 0 e ha senso considerare esclusivamente il limiteper x → 0+

limh→0+

(0 + h)α − 0α

h= lim

h→0+hα−1

che vale 0, come xα−1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,come xα−1 per x = 0 (con abuso di notazione).

se α = 1 e x0 = 0 allora

limh→0

(0 + h)α − 0α

h= lim

h→0

h

h= 1

come x0 = 1 per x = 0, definendo 00 = 1.


Derivabilita delle funzioni elementari: sin(x)

Teorema (Derivata di f (x) = sin(x).)

La derivata di f (x) = sin(x) e f ′(x) = cos(x).

Dimostrazione.

Osserviamo che da sin(x0 + h) = sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0)

limh→0

sin(x0 + h)− sin(x0)

h

= limh→0

sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0)− sin(x0)

h

= limh→0

sin(x0)(cos(h)− 1) + cos(x0) sin(h)

h

= limh→0

sin(x0)h(cos(h)− 1)

h2+ lim

h→0

cos(x0) sin(h)

h= 0 · (−1/2) + cos(x0) = cos(x0).


Derivabilita delle funzioni elementari: cos(x)

Teorema (Derivata di f (x) = cos(x).)

La derivata di f (x) = cos(x) e f ′(x) = − sin(x).

Dimostrazione. (Facoltativa)

Osserviamo che da cos(x0 + h) = cos(x0) cos(h)− sin(h) sin(x0)

limh→0

cos(x0 + h)− cos(x0)

h

= limh→0

cos(x0) cos(h)− sin(h) sin(x0)− cos(x0)

h

= limh→0

cos(x0) · (cos(h)− 1)− sin(h) sin(x0)

h

= − cos(x0) · limh→0

h︸︷︷︸→0

· 1− cos(h)

h2︸︷︷︸→1/2

− limh→0

sin(h)

h︸︷︷︸→1

· sin(x0)

= 0− sin(x0) = − sin(x0).


Derivabilita delle funzioni elementari: ex

Teorema (Derivata di f (x) = ex .)

La derivata di f (x) = ex e f ′(x) = ex .

Dimostrazione.

Osserviamo che da limh→0eh−1h = 1

limh→0

ex0+h − ex0

h= lim

h→0

ex0 · eh − ex0

h

= limh→0

ex0 · eh − 1

h︸︷︷︸→1

= ex0 .


Derivabilita delle funzioni elementari: ax

Teorema (Derivata di f (x) = ax .)

Per a 6= 1, la derivata di f (x) = ax e f ′(x) = ax log(a).

Dimostrazione.

Osserviamo che da limh→0ah−1h = log(a)

limh→0

ax0+h − ax0

h= lim

h→0

ax0 · ah − ax0

h

= limh→0

ax0 · ah − 1

h︸︷︷︸→log(a)

= ax0 log(a).


Derivabilita delle funzioni elementari: ax

Nota.

Abbiamo visto che se a 6= 1, la derivata di f (x) = ax e

f ′(x) = ax log(a).

Nel caso particolare di a = e abbiamo che se f (x) = ex

f ′(x) = ex log(e) = ex

come affermava il teorema precedente a quello appena mostrato.


Algebra delle derivate

Teorema

Siano f , g : I ⊆ R→ R derivabili in x0 interno ad I . Allora

f + g e derivabile in x0 e

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g ′(x0);

se c ∈ R allora c · f e derivabile in x0

(c · f )′(x0) = c · f ′(x0);

f · g e derivabile in x0 e

(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g ′(x0);

se g(x0) 6= 0 allora f /g e derivabile in x0 e

(f /g)′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f (x0)g′(x0)

g2(x0)


Algebra delle derivate. Esempi.

Esempio

Abbiamo visto che D sin(x) = cos(x), che Dx3 = 3x2 e cheDex = ex . Di conseguenza

D(x3) = 3x2 + cos(x),

D(2 · x3) = 2 · D(x3) = 2 · 3 · x2 = 6 · x2

D(x3 · sin(x)) = 3x2 · sin(x) + x3 · cos(x)

D

(ex

sin(x)

)=

ex · sin(x)− ex · cos(x)

sin2 (x)= ex · sin(x)− cos(x)

sin2 (x)


Algebra delle derivate: tan(x), cot(x)

Teorema (Derivata di f (x) = tan(x))

Se f (x) = tan(x) allora, per x 6= (π/2) + kπ, k ∈ Z,f ′(x) = 1 + tan2(x).

Dimostrazione.

Dall’algebra delle derivate sopra esposta e cos2(x) + sin2(x) = 1

d

dxtan(x) =

d

dx

sin(x)

cos(x)=

cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)

=1

cos2(x)= 1 + tan2(x)

Teorema

Se f (x) = cot(x) := (cos(x)/ sin(x)) allora, per x 6= kπ, k ∈ Z,f ′(x) = −1 + cot2(x).


Derivazione di funzioni composte

Teorema (Derivata di funzioni composte)

Sia I un intervallo e supponiamo che

f : I ⊆ R→ R sia derivabile nell’interno di I ,

g : J ⊆ R→ R sia derivabile nell’interno di J,

f (I ) ⊆ J.

Allora g ◦ f e derivabile e vale

(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).



Esempio

Calcolare la derivata di

h(x) = cos(x)

utilizzando la derivata di una funzione composta.

Svolgimento.

La funzione h(x) = cos(x) = sin(π/2− x) e la composta dig(y) = sin(y) e f (x) = π/2− x. Quindi dalla regola appena vista,visto che g ′(y) = cos(y) e f ′(x) = 0− 1 = −1, ricaviamo

h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x) = (−1) · cos(π/2− x) = − sin(x).



Esempio

Calcolare la derivata di

h(x) = esin(x).

Svolgimento.

La funzione h(x) = esin(x) e la composta di g(x) = ex ef (x) = sin(x). Quindi dalla regola appena vista, visto cheg ′(x) = ex e f ′(x) = cos(x), ricaviamo

h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x) = esin(x) · cos(x).


Derivazione della funzione inversa

Teorema (Derivata della funzione inversa)

Sia I un intervallo e supponiamo che

f : I ⊆ R→ R sia derivabile in x0 appartenente all’interno diI ,

f ′(x0) 6= 0.

Allora f −1 e derivabile in y0 = f (x0) ed e

(f −1)′(y0) = 1f ′(f −1(y0))

.


Derivazione della funzione inversa

Traccia.

Basta applicare il teorema della funzione composta e ricordare che,derivando ambo i membri di f −1(f (x)) = x visto che

D(f −1(f (x))) = (f −1)′(f (x)) · f ′(x);

Dx = 1,

deduciamo che

(f −1)′(f (x)) · f ′(x) = 1⇔ (f −1)′(f (x)) =1

f ′(x)

da cui posto y = f (x), abbiamo x = f −1(y) e quindi

(f −1)′(y) = 1/f ′(x) = 1/f ′(f −1(y)).


Derivazione della funzione inversa: arcsin(x)

Teorema (Derivata di arcsin(x))

Se f (x) = arcsin(x) allora f ′(x) = 1√1−x2

.

Traccia.

Posto f (x) = sin(x), abbiamo per il precedente teorema, visto cheddx

sin(x) = cos(x), che

d

dxarcsin(y) =

1

cos(arcsin(y)).

Osserviamo poi che essendo arcsin(y) ∈ [−π/2, π/2], sicuramentecos(arcsin(y)) ≥ 0 in quanto cos(τ) ≥ 0 per τ ∈ [−π/2, π/2] e quindi dasin2(x) + cos2(x) = 1 abbiamo

cos(arcsin(y)) =√

1− sin2(arcsin(y)).


Derivazione della funzione inversa: arcsin(x)

Inoltre, poiche sin2(τ) := (sin(τ))2 e sin(arcsin(y)) = y, necessariamente

sin2(arcsin(y)) := (sin(arcsin(y)))2 = y 2.

Assemblando i risultati

cos(arcsin(y)) =√

1− sin2(arcsin(y));

esin2(arcsin(y)) := (sin(arcsin(y)))2 = y 2.

ricaviamo

d

dxarcsin(y) =

1

cos(arcsin(y))=

1√1− sin2(arcsin(y))

=1√

1− y 2.


Lista di derivate

Teorema

Vale la seguente lista di derivate (nel dominio della funzione):

f (x) f ′(x) nota

xα α · xα−1 α ∈ Rex ex

ax (log a) · (ax) a > 0sinh (x) cosh (x)cosh (x) sinh (x)log (|x |) 1/xloga (|x |) (1/x) loga(e) a ∈ R+\{0, 1}

sin(x) cos(x)cos(x) − sin(x)tan(x) 1 + tan2(x)

arcsin(x) (1− x2)−1/2

arccos(x) −(1− x2)−1/2

arctan(x) (1 + x2)−1


Derivazione della funzione inversa: log(x)

Teorema (Derivata di log(x))

Mostrare ched

dxloga(x) =

1

x log a

Dimostrazione.

Ricordato che loga ax = x, che ddx ax = (log(a)) · ax , dal teorema

della funzione inversa e aloga(x) = x,

d

dxloga(x) =

1

(log(a)) · aloga(x)=

1

(log(a))x.


Massimi e minimi relativi

Definizione (Minimo locale)

Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unminimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x0 taleche

f (x) ≥ f (x0), per ogni x ∈ U.

Definizione (Massimo locale)

Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unmassimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x0 taleche

f (x) ≤ f (x0), per ogni x ∈ U.


Massimi e minimi assoluti

Definizione (Minimo assoluto)

Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unminimo assoluto (o globale) per f se

f (x) ≥ f (x0), per ogni x ∈ I .

Definizione (Massimo assoluto)

Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unmassimo assoluto (o globale) per f se

f (x) ≤ f (x0), per ogni x ∈ I .


Massimi e minimi assoluti

Nota.

Se x0 e un minimo assoluto allora e anche un minimo relativo.

Se x0 e un massimo assoluto allora e anche un massimorelativo.


Massimi e minimi relativi e zeri di f ′

Teorema (Fermat (1637))

Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .Allora se x0 e un punto di minimo relativo o massimo relativo per fsia ha che f ′(x0) = 0.

Svolgimento.

Dalla derivabilita deduciamo che

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0:= f ′(x0).

Se x0 e un minimo relativo, esiste un intorno U ⊆ I tale chef (x0) ≤ f (x) per ogni x ∈ U, cioe

f (x)− f (x0) ≥ 0 per ogni x ∈ U.



In particolare se x > x0 allora x − x0 > 0 e quindi

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0 per ogni x ∈ U, x > x0

e quindi per il teorema di permanenza del segno

limx→x+

0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0.

Se invece x < x0 allora x − x0 < 0 e quindi

f (x)− f (x0)

x − x0≤ 0 per ogni x ∈ U, x < x0

da cui per il teorema di permanenza del segno

limx→x−0

f (x)− f (x0)

x − x0≤ 0.



Siccome la derivata in x0 esiste, necessariamente

0 ≤ limx→x+

0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→x−0

f (x)− f (x0)

x − x0≤ 0

e quindi

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→x+0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→x−0

f (x)− f (x0)

x − x0= 0.

Con la stessa tecnica si dimostra l’asserto nel caso x0 sia unmassimo relativo.



Definizione (Estremi)

I massimi e minimi locali e globali di una funzione si chiamanoestremi di f .

Nota.

Gli estremi possono essere anche in punti nei quali f non econtinua o non derivabile!

Definizione (Punto critico o stazionario)

Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .Diremo che x0 e un punto critico o stazionario per f se f ′(x0) = 0.

Nota.

Non tutti i punti stazionari sono estremi. La funzione f (x) = x3 haun punto stazionario in x0 = 0 che pero non e estremo.


Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Punti critici.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura : La funzione x3 in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).Evidentemente non ha un punto estremo in 0, tuttavia si annulla laderivata.



Teorema

Sia I un intervallo e f : I → R e supponiamo che x0 sia un minimoo un massimo relativo per f . Allora vale una delle seguenti:

x0 e un punto critico per f ;

x0 non e interno a I (e un estremo, anche ±∞ se l’intervallo eillimitato);

f non e derivabile in x0.



−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

−3 −2 −1 0 1 2 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura : La funzione ||x | − 1| in [−3, 3] (in nero) e la sua derivata (inrosso), qualora esistente.


Teorema di Rolle.

Teorema (Weierstrass (1860))

Sia f : [a, b]→ Rcontinua in [a, b];

−∞ < a < b < +∞Allora esiste f ha un minimo e un massimo assoluto in [a, b].

Teorema (Rolle (1691))

Sia f : [a, b]→ R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo

f continua in [a, b];

f derivabile in (a, b);

f sia tale che f (a) = f (b).

Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che f ′(ξ) = 0.


Teorema di Rolle.

Dimostrazione.

Se f e costante in [a, b], il teorema e ovvio.

Se f non e costante, certamente e continua in quanto persinoderivabile. Per il teorema di Weierstrass, essendo−∞ < a < b < +∞, ha un massimo e minimo in [a, b] equindi esistono x1, x2 ∈ [a, b] tali che

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), per ogni x ∈ [a, b].

Siccome f (a) = f (b) e f non e costante, necessariamente ox1 ∈ (a, b) o x2 ∈ (a, b) e quindi per il Teorema di Fermat, of ′(x1) = 0 o f ′(x2) = 0 con x1 ∈ (a, b) o x2 ∈ (a, b).


Teorema di Rolle.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

−0.5

0

0.5

1

Figura : La funzione sin(x) in [0, π] (in nero) e la sua derivata (in rosso).Evidentemente e applicabile il teorema di Rolle e in effetti la derivata siannulla in almeno un punto (cioe π/2 ≈ 1.570796326794897).


Teorema di Lagrange.

Teorema (Lagrange (1797))

Sia f : [a, b]→ R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo

f continua in [a, b];

f derivabile in (a, b).

Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

f ′(ξ) = f (b)−f (a)b−a .



Dimostrazione.

Sia

g(x) = f (x)− f (b)− f (a)

b − a(x − a).

La funzione g e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali

f e f (b)−f (a)b−a (x − a), e valendo l’algebra delle funzioni continue e

derivabili lo e pure g.

Inoltre g(a) = f (a), g(b) = f (a) e quindi, per il teorema di Rolleesiste ξ ∈ (a, b) tale che

0 = g ′(ξ) = f ′(x)− f (b)− f (a)

b − a

d

dx(x − a) = f ′(x)− f (b)− f (a)

b − a

cioe per cui

f ′(ξ) =f (b)− f (a)

b − a.



0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura : La funzione sin(x) + cos(x) in [0, (5/3)π] (in nero), la sua derivata

(in rosso) con sovrapposta la retta di equazione y = f (b)−f (a)b−a

= f ((5/3)π)−f (0)(5/3)π

.

Evidentemente e applicabile il teorema di Lagrange e in effetti la derivata

interseca la retta in verde in almeno un punto.


Teorema di Cauchy.

Teorema (Cauchy)

Siano f , g : [a, b]→ R, entrambe continue in [a, b] e derivabili in(a, b) con g(a) 6= g(b) e g ′ 6= 0. Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

f ′(ξ)

g ′(ξ)=

f (b)− f (a)

g(b)− g(a)

Dimostrazione.

Si verifica facilmente che

h(x) = f (x)(g(b)− g(a))− g(x)(f (b)− f (a))

e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e g .


Teorema di Cauchy.

Inoltre, da h(x) = f (x)(g(b)− g(a))− g(x)(f (b)− f (a)),

h(a) = f (a)(g(b)− g(a))− g(a)(f (b)− f (a))

= f (a)g(b)− g(a)f (b),

h(b) = f (b)(g(b)− g(a))− g(b)(f (b)− f (a))

= −f (b)g(a) + f (a)g(b).

Per il teorema di Rolle, da h(a) = h(b), esiste ξ ∈ (a, b) tale che

0 = h′(ξ) = f ′(ξ)(g(b)− g(a))− g ′(ξ)(f (b)− f (a))

cioe per cuif ′(ξ)

g ′(ξ)=

f (b)− f (a)

g(b)− g(a).


Derivate prime e monotonia.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo e

f : I → Rf sia derivabile in I

Allora

f crescente in I se e solo se f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I .

f decrescente in I se e solo se f ′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ I .

f strettamente crescente in I , se f ′(x) > 0 per ogni x ∈ I .

f strettamente decrescente in I , se f ′(x) < 0 per ogni x ∈ I .

Nota.

Si noti che il se e solo se vale solo nel caso crescente e decrescente.



Dimostrazione. (⇒)

Siano x1, x2 ∈ I , x1 < x2, arbitrariamente scelti. Per il teorema diLagrange esiste ξ ∈ (x1, x2) tale che

f (x2)− f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1).

Se

f ′(x) > 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo e in ξ, edessendo x1 < x2

f (x2)− f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1) > 0

e vista l’arbitrarieta della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamoche f e strettamente crescente.



f ′(x) < 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo e in ξ, edessendo x1 < x2

f (x2)− f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1) < 0

e vista l’arbitrarieta della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamoche f e strettamente decrescente.

La dimostrazione per f crescente o decrescente, e simile.



Dimostrazione facoltativa. (⇐)

Viceversa, se

se f e crescente in I , allora

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0, x , x0 ∈ I

in quanto

se x > x0 allora f (x) > f (x0) e quindi x − x0 > 0,f (x)− f (x0) > 0;se x < x0 allora f (x) < f (x0) e quindi x − x0 < 0,f (x)− f (x0) < 0.



f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0

e quindi vista l’arbitrarieta di x0 e positiva in I .Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 67/ 121


se f e decrescente in I , allora

f (x)− f (x0)

x − x0≤ 0, x , x0 ∈ I

in quanto

se x > x0 allora f (x) < f (x0) e quindi x − x0 > 0,f (x)− f (x0) < 0;se x < x0 allora f (x) > f (x0) e quindi x − x0 < 0,f (x)− f (x0) > 0.



f (x)− f (x0)

x − x0≤ 0

e quindi vista l’arbitrarieta di x0 e negativa in I .


Derivate prime e monotonia, esercizio 1.

Esercizio

Mostrare che la funzione f (x) = x3 e strettamente crescente in R.

Svolgimento.

Da f ′(x) = 3x2 ≥ 0 e crescente in R.Osserviamo che per ogni x 6= 0 e strettamente crescente, in quantof ′(x) = 3x2 > 0 per x 6= 0. Quindi siccome f ′(x) non estrettamente positiva al piu in un insieme numerabile di punti, lafunzione f (x) = x3 e strettamente crescente in R.



Esercizio

Determinare dove e crescente o decrescente f (x) = ex − x.

Svolgimento.

Da f ′(x) = ex − 1, essendo il logaritmo una funzione crescente,

ex − 1 > 0⇔ ex > 1⇔ x > log(1) = 0,

e quindi e strettamente crescente per x > 0, altrimentistrettamente decrescente. Si deduce che x = 0 e un punto diminimo.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

Figura : Il grafico di ex − x in [−2, 2].



Esercizio

Determinare dove e crescente o decrescente f (x) x2+1x+1 .

Svolgimento.

Osserviamo per prima cosa che il dominio della funzione eD = R\{−1} e che in D la funzione e continua. Da

f ′(x) =2x · (x + 1)− (x2 + 1) · 1

(x + 1)2=

x2 + 2x − 1

(x + 1)2,

visto che il denominatore e sempre positivo in D, f ′(x) > 0 perx ∈ D se e solo se x2 + 2x − 1 > 0.



Vediamo quindi quando x2 + 2x − 1 > 0.

Visto che x2 + 2x − 1 = 0 se e solo sex = (−2±

√4 + 4)/2

cioe x = −1±√

2.

Considerato che

x1 = −1−√

2 = −2.4142 . . . , x2 = −1 +√

2 = +0.4142 . . . .

deduciamo che

f ′(x) > 0, cioe strettamente crescente, se e solo sex ∈ (−∞,−1−

√2) ∪ (1 +

√2,+∞),

f ′(x) = 0 in x1 = −1−√

2, x2 = −1 +√

2,

negli altri punti di D, cioe x ∈ (−1−√

2, 1 +√

2)\{−1},abbiamo f ′(x) < 0, cioe strettamente decrescente.



−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−60

−40

−20

0

20

40

60

Figura : Il grafico di (x2 + 1)/(x + 1) in [−4, 4].


Derivate prime e monotonia, esempio.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo, f : I → R continua. Allora einvertibile in Im(f ) se e soltanto se e strettamente monotona.

Esempio

La funzione f (x) = x3 − 1 : R→ R e continua, strettamentemonotona (lo e x3 e quindi anche x3 − 1). Quindi e invertibile. Ineffetti f −1(y) = 3

√y + 1.


Derivate prime e monotonia, esercizio.

Esempio

Data f (x) = x + sin (x),

dimostrare che f e invertibile;

calcolare (f −1)′( 3π2 − 1).


Asintoti orizzontali.

Definizione (Asintoto orizzontale)

La retta y = y0 e un asintoto orizzontale per f a +∞ selimx→+∞ f (x) = y0.

Definizione (Asintoto verticale)

La retta y = y0 e un asintoto orizzontale per f a −∞ selimx→−∞ f (x) = y0.


Asintoti verticali.

Definizione (Asintoto verticale per f a sinistra di x0)

La retta x = x0 e un asintoto verticale per f a sinistra di x0 selimx→x−0

f (x) = +∞ o limx→x−0f (x) = −∞.

Definizione (Asintoto verticale per f a destra di x0)

La retta x = x0 e un asintoto verticale per f a destra di x0 selimx→x+

0f (x) = +∞ o limx→x+

0f (x) = −∞.


Asintoti obliqui.

Definizione (Asintoto obliquo a +∞)

La retta y = mx + q (m 6= 0) e in asintoto obliquo per f a +∞ se

limx→+∞

f (x)

x= m

elim

x→+∞f (x)−mx = q.


Asintoti obliqui.

Definizione (Asintoto obliquo a −∞)

La retta y = mx + q (m 6= 0) e in asintoto obliquo per f a −∞ se

limx→−∞

f (x)

x= m

elim

x→−∞f (x)−mx = q.


Asintoti.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10−5

−5

0

5

10x 10

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

1.5

2

2.5

3

Figura : Il grafico di tre curve e loro asintoti. In alto, 1/x (in blue) e y = 0 (inverde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 0 a+∞. In centro, (x + 1)/x (in blue) e y = 1 (in verde). La curva ha un asintotoverticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 1 a +∞. In basso,

√x2 + 1 (in

blue) e y = x (in verde). La curva ha un asintoto obliquo y = x a +∞.


Asintoti, esempio.

Esempio

Si determinino i possibili asintoti della funzione f (x) =√

x2 + 1.

Svolgimento.

Si osservi che la funzione e continua in [0,+∞) e quindi non haasintoti verticali. Inoltre

limx→+∞

√x2 + 1 = +∞

e quindi e possibile abbia un asintoto obliquo a +∞. Non haasintoto orizzontale, altrimenti il limite sarebbe finito. Se esiste unasintoto obliquo y = mx + q, allora esiste finito

m = limx→+∞

√x2 + 1

x.


Asintoti, esempio.

Raccogliendo x,

m = limx→+∞

√x2 + 1

x= lim

x→+∞

x√

1 + (1/x2)

x= 1.

Ora, razionalizzando

q = limx→+∞

√x2 + 1− x = lim

x→+∞(√

x2 + 1− x)

√x2 + 1 + x√x2 + 1 + x

= limx→+∞

x2 + 1− x2

√x2 + 1 + x

= limx→+∞

1√x2 + 1 + x

= 0.

Quindi y = x e un asintoto obliquo per f (x) =√

x2 + 1 a +∞.


Derivate successive (di ordine superiore).

Definizione (Derivata seconda)

Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che esista f ′ esia derivabile in I . La funzione f ′′ = (f ′)′ si chiama derivataseconda di f .

Nota.

A volte si scrive

f ′′ =d2

dx2f |x =

d2

dx2f (x).

In alternativa si ponef (2) = f ′′


Derivate successive (di ordine superiore).

Definizione (Derivata k-sima)

Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che

f (k−1) esista,

f (k−1) sia derivabile in I , per k ≥ 2.

La funzione f (k) = (f (k−1))′ si chiama derivata k-sima di f .


Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.

Esercizio

Calcolare le derivate successive di

f (x) = xn.

Svolgimento.

f (2)(x) = 0 se n = 0, altrimenti f (1)(x) = nxn−1;

f (2)(x) = 0 se n ≤ 1, altrimenti f (2)(x) = n(n − 1)xn−2;

f (3)(x) = 0 se n ≤ 2, altrimentif (3)(x) = n(n − 1)(n − 2)xn−3;

f (k)(x) = 0 se n ≤ k − 1, altrimentif (k)(x) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)xn−k ;


Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.

Esercizio

Calcolare le derivate successive di

f (x) = sin(x).

Svolgimento.

f (1)(x) = cos(x);

f (2)(x) = − sin(x);

f (3)(x) = − cos(x);

f (4)(x) = sin(x);

. . .;


Funzioni convesse e funzioni concave.

Definizione (Funzione convessa)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e convessa se perogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1− t)x + ty) ≤ (1− t)f (x) + tf (y).

Definizione (Funzione concava)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e concava se per ognix , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1− t)x + ty) ≥ (1− t)f (x) + tf (y).



Definizione (Funzione strettamente convessa)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e strettamenteconvessa se per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1− t)x + ty) < (1− t)f (x) + tf (y).

Definizione (Funzione strettamente concava)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e strettamenteconcava se per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1− t)x + ty) > (1− t)f (x) + tf (y).



−3 −2 −1 0 1 2 3−2

0

2

4

6

8

−3 −2 −1 0 1 2 3−8

−6

−4

−2

0

2

Figura : Il grafico di una funzione convessa (in nero, sopra) e il grafico diuna funzione concava (in nero, sotto). In entrambe, il segmento cheunisce due punti del grafico. In un caso e sopra la curva, nell’altro e sotto.



Teorema

Sia f : I → R, con I chiuso. Se f e concava o convessa, allora f econtinua in I .

Teorema

Sia f : I → R, con I chiuso.

Se f e convessa, allora

f e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito onumerabile di punti X ;la funzione f ′, ove definita, e monotona crescente.

Se f e concava, allora

f e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito onumerabile di punti X ;la funzione f ′, ove definita, e monotona decrescente.



Teorema

Sia f : I → R, con I aperto. Si supponga f ′, f ′′ : I → R. Allora:

f e convessa se e solo se

f ′′(x) ≥ 0, per ogni x ∈ I ;

f e strettamente convessa se e solo se

f ′′(x) > 0, per ogni x ∈ I ;

f e concava se e solo se

f ′′(x) ≤ 0, per ogni x ∈ I ;

f e strettamente concava se e solo se

f ′′(x) < 0, per ogni x ∈ I ;


Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.

Definizione (Flesso)

Sia f : (a, b)→ R. Un punto x0 ∈ (a, b) si dice di flesso per f se

f ′(x0) ∈ R∗

per ogni intorno arbitrariamente piccolo di x0, la funzione fcambia concavita.

Teorema

Sia f : (a, b)→ R. Supponiamo f sia derivabile due volte in (a, b)e x0 ∈ (a, b) sia di flesso. Allora f (2)(x0) = 0.


Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

Figura : La funzione x5 in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).Evidentemente ha un punto di flesso in x0 = 0.


Funzioni convesse e funzioni concave: nota.

Teorema

Se f : (a, b)→ R e strettamente convessa e derivabile in (a, b)allora ha al piu un punto stazionario e questo sara un minimoglobale.

Teorema

Se f : (a, b)→ R e strettamente concava e derivabile in (a, b)allora ha al piu un punto stazionario e questo sara un massimoglobale.


Funzioni convesse e funzioni concave: esempio.

Esempio

La funzione f (x) = ex e derivabile due volte ed ef (2)(x) = ex > 0. Quindi e strettamente convessa in R.

Esempio

La funzione f (x) = log(x) e derivabile due volte ed ef (2)(x) = −(1/x2) < 0. Quindi e strettamente concava nel suoinsieme di definizione R+\0.

Esempio

Dire dove, al variare di α ∈ R, la funzione f (x) = xα, e derivabiledue volte, stabilendone la concavita o convessita .


Teorema di de l’Hopital.

Teorema (de l’Hopital (1696))

Siano f , g : I ⊆ R→ R, con I = (a, b) intervallo aperto. Sisupponga che

f , g siano entrambe derivabili in I ;

valga una delle seguenti

1 limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0;2 limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = −∞;3 limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = +∞;

sia limx→a+f ′(x)g ′(x) = L, L ∈ R∗.

Allora

limx→a+

f (x)

g(x)= L.



Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo esclusivamente il casolimx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0.

Siano

f (x) =

{f (x), x ∈ (a, b)0, x = a.

g(x) =

{g(x), x ∈ (a, b)0, x = a.

Le funzioni f , g sono

continue in [a, b);

derivabili in (a, b);

limx→a+f (x)g(x) = limx→a+

f (x)g(x)



Osserviamo che

f (x)

g(x)=

f (x)− 0

g(x)− 0=

f (x)− f (a)

g(x)− g(x).

Fissato x ∈ [a, b), si ha che f (x), g(x) sono continue in [a, x ] ederivabili in (a, x).Dal teorema di Cauchy, esiste ξ(x) ∈ (a, x) tale che

f (x)− f (a)

g(x)− g(a)=

f ′(ξ(x))

g ′(ξ(x))



Quindi

limx→a+

f (x)

g(x)= lim

x→a+

f (x)

g(x)

= limx→a+

f (x)− f (a)

g(x)− g(a)= lim

x→a+

f ′(ξ(x))

g ′(ξ(x)). (1)

Osserviamo ora che se x → a+, pure ξ(x)→ a+ poiche

ξ(x) ∈ (a, x). Inoltre limt→a+f ′(t)g ′(t) = limt→a+

f ′(t)g ′(t) . Posto

t = ξ(x), si ha quindi che t → a+ da cui

limx→a+

f (x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(ξ(x))

g ′(ξ(x))= lim

t→a+

f ′(t)

g ′(t)= lim

t→a+

f ′(t)

g ′(t).

come volevasi dimostrare.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 100/ 121

Teorema di de l’Hopital, esempio.

Esempio

Calcolare

limx→0

1− cos2(x)

x

Svolgimento.

E’ una forma indeterminata del tipo 0/0. Usando la regola del’Hopital

limx→0

1− cos(x)

x2= lim

x→0

sin(x)

2x= lim

x→0

cos(x)

2=

1

2(2)


Esercizi

Esercizi


Derivata, esercizio

Esercizio

Mostrare che la derivata prima di log(x) in x0 > 0 vale 1/x0.

Traccia.

Ricordiamo che

limy→0

log(1 + y)

y→ 1.

Dalle proprieta dei logaritmi

log(x + h)− log(x)

h=

log((x + h)/x)

h

=log(1 + (h/x))

(h/x)x→ 1/x


Derivazione: esercizi

Esercizio

Calcolare le derivate di

f (x) = asin (x);

f (x) = cos(

x+1x3+2

)f (x) = sin(x)+e1/x

x2 cos(x)+ log(x);

f (x) = xx (nota che f ′(x) 6= x · xx−1)!!

f (x) = (tan(x))x/(x+1);


Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

La funzione f (x) = 1√|x | e ovunque derivabile nel suo

dominio?

La funzione f (x) = 3√|x | e ovunque derivabile?

Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e leprincipali derivate, che

se f (x) = 1/ sin(x) allora f ′(x) = − cos(x)/ sin2(x);f (x) = 3x2 + ex · sin(x) + (1/log(x)) alloraf ′(x) = 6x + ex · sin(x) + ex · cos(x)− 1/(x(log(x))2);f (x) = sin(x2) allora f ′(x) = 2x · cos(x2);f (x) = e−x allora f ′(x) = −e−x ;f (x) = sinh(x) = (ex − e−x)/2 alloraf ′(x) = cosh(x) = (ex + e−x)/2;f (x) = cosh(x) = (ex + e−x)/2 alloraf ′(x) = sinh(x) = (ex − e−x)/2;

f (x) = 2 log(cos(x2)) allora f ′(x) = −4x sin(x2)cos(x2) .



Esercizio

Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principaliderivate, che

f (x) = xx allora f ′(x) = xx · (log(x) + 1) (sugg.f (x)g (x) = eg(x) log(f (x)));

f (x) = (sin(x))sin(x) + sin(sin(x)) allora f ′(x) =(sin(x))sin(x) ·(cos(x) log(sin(x))+cos(x))+cos(sin(x)) cos(x);

f (x) = arccos(x) allora f ′(x) = −1/(1− x2)1/2 sex ∈ (−1, 1);

f (x) = arctan(x) allora f ′(x) = 1/(1 + x2)1/2;

g(x) = sinh(x), la sua inversa e f (y) = settsenh(y) e alloraf ′(y) = 1/

√1 + y 2 (sugg. se y = sinh(x) allora

cosh(x) =√

1 + y 2);

g(x) = cosh(x), la sua inversa e f (y) = settcosh(y) e alloraf ′(y) = 1/

√−1 + y 2.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 106/ 121


Esercizio

Mostrare che | sin(x)| e continua ma non e derivabile in x = kπ,per k ∈ Z.

Esercizio

Dire in quali punti sono continue e/o derivabili le seguenti funzioni

f (x) = |x3|;e |x−1|;

f (x) =

{1 + x2, se x ≥ 0−(1 + x2), se x < 0


Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Esercizi.

Esercizio

Calcolare i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di

f (x) =

{x2 − 1, se x ≤ 1(x − 1) sin( 1

x−1 ), se x > 1

Esercizio

Calcolare, al variare di β, γ, i punti critici, massimi e minimirelativi e assoluti, di

f (x) =

{βx + γ, se x < πsin(αx), se x ≥ π


Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Esercizi.

Esercizio

Calcolare, al variare di α, β, i punti critici, massimi e minimirelativi e assoluti, di

f (x) =

{αx2 + β, se x ≤ 0

e3x2

x3+x , se x > 0


Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.

Esercizio

Calcolare i possibili asintoti di

f (x) = log(|ex − 4|)− arctan(ex − 5)− log(4).


Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Figura : In alto. La funzione log(|ex − 4|)− arctan(ex − 5)− log(4) in[−10, 10].


Esercizi di ricapitolazione. Teorema di de l’Hopital.

Esercizio

Usando il Teorema de L’Hopital, calcolare

limx→0 sin(x)/x;

limx→0+e−1/x2

x = 0;

limx→0(ex − 1)/x;

limx→0ex

3/(x4+x)−cos(x)sin(x)(tan(x))

limx→0sin(x)+cos(x)−ex

(1/(x+1))−1 = 2;

limx→0ex−(1+x+(1/2)x2)

x2

limx→0x−sin(x)

x3

limx→0+ x3/2 log(sin(x))


Studi di funzione, esercizio 1.

Esercizio

Sia

f (x) =x2 + x + 1

2x − 1.

Determinare

il dominio di f ;

determinare dove f e continua;

determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);

determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;

determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.



Esercizio

Sia

f (x) = log

(x + 4

(x + 1)2

).

Determinare

il dominio di f ;







Esercizio

Sia

f (x) =x + 2

xe− 1

(x+2) .

Determinare

il dominio di f ;






Studio di funzione: esercizio 4.

Esercizio

Siaf (x) = arcsin(x2 − 4|x |+ 3).

Si determini

il dominio di f ;

dove e positiva





dove e concava o convessa.



Esercizio

Siaf (x) = x log(x).

Si determini

il dominio di f ;

dove e positiva








Esercizio

Siaf (x) = 3−1/| sin(x)|.

Si determini

il dominio di f ;

dove e positiva








Esercizio

Siaf (x) = log(ex + e−x) + x .

Si determini

il dominio di f ;

dove e positiva








Esercizio

Sia

f (x) = arcsin

(|x − 1|x + 3

).

Si determini

il dominio di f ;

dove e positiva







Esercizi di ricapitolazione. Studi di funzione

Esercizio

Studiare le seguenti funzioni, al variare di α > 0, β ∈ R

f (x) =

{ex−1xα se x > 0

1 + βx + x2 se x ≤ 0

f (x) =

{1−cos(xα)

x2 se x > 0β + x2 se x ≤ 0


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Derivate di funzioni - UniPDalvise/IA_2015/SLIDES_1516/DERIVATE_1516/... · 0, con una retta di equazione y = ax + b, passante per (x 0;f (x 0)) e quindi tale che f (x 0) = ax 0 +