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1
DERIVADAS
Para iniciar os estudos sobre Derivadas vamos, inicialmente, observar o
exemplo a seguir que ilustra a sua aplicação na Física, dentre tantas outras
aplicações práticas que iremos abordar.
Um veículo, em movimento, obedece à seguinte função: s(t) = 3t2 + 5t+ 3,
onde s em quilômetros, t em horas e 0 t 10. No instante t = 4 horas,
determine a velocidade e a aceleração do veículo.
Quando você tem o espaço percorrido por um veículo representado por
uma função, deve calcular inicialmente a derivada primeira, que representa a
função velocidade, em seguida, substituir o valor do período dado no problema.
O resultado alcançado significa a velocidade do móvel nesse período.
s(t) = 3t2 + 5t + 3
s’(t) = 6t + 5 (função velocidade)
s’(4) = 6.4 + 5
s’(4) = 29
Esse resultado significa que a velocidade do móvel no instante dado é de 29
km/h.
Para encontrar a função aceleração, devemos calcular a derivada
primeira da função velocidade ou a derivada segunda da função do espaço, em
seguida, substituir o valor do período dado no problema.
s(t) = 3t2 + 5t+ 3
s’(t) = 6t + 5
s”(t) = 6 (função aceleração)
s”(4) = 6
Esse resultado significa que a aceleração do móvel no instante dado é de 6
km/h2
2
Em síntese, ao calcular a primeira derivada da função do espaço,
encontramos a função velocidade e, ao determinar a segunda derivada, temos
a função aceleração.
Observe no exemplo abaixo, outra aplicação da derivada, nesse caso, na
Economia.
- Seja L(q) = -q3 + 243q + 15 a função que dá o lucro, em reais, de uma
determinada fábrica na produção/venda de certa quantidade de um produto em
função do número de mão-de-obra (q) utilizada. Pergunta-se:
a) Qual a Função Lucro Marginal na contratação da 7ª unidade?
b) Interprete o resultado.
Solução:
a) Para encontrar a Função Lucro Marginal, devemos calcular a 1ª derivada da
Função Lucro e, para determinar o valor do lucro marginal, devemos
substituir a quantidade produzida.
L(q) = -q3 + 243q + 15
L’(q) = -3q2 + 243 (Função Lucro Marginal)
L’(7) = -3.72 + 243
L’(7) = 96
Lucro Marginal = R$ 96,00.
b) Com utilização da 7ª mão-de-obra, a fábrica terá um Lucro de R$ 96,00.
Nota: toda vez que for calcular a Função Lucro Marginal, Função Custo Marginal etc, deve-se
encontrar a derivada primeira da função.
Após essa introdução, onde mostramos algumas aplicações das
derivadas, vamos dá início ao estudo sobre as mesmas, seguindo o
roteiro;
01) Taxa Média de Variação de uma Função (ou Declividade da Reta Secante).
02) Taxa De Variação Instantânea (ou Declividade da Reta Tangente).
03) Derivada de uma Função num Ponto.
3
04) Regra Geral para o Cálculo das Derivadas.
05) Interpretação Geométrica da Derivada.
06) Regras de Derivação.
07) Derivada de Função Composta.
08) Derivada das Funções Trigonométricas.
09) Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas.
10) Derivada da função y = uv.
11) Aplicações.
12) Aplicação da derivada na economia (Elasticidade).
13) Aplicação da Derivada na Geometria Analítica.
14) Derivadas Sucessivas.
15) Função Crescente e Decrescente.
16) Aplicação da Derivada na Física.
17) Máximos, Mínimos e Ponto de Inflexão.
18) Aplicações sobre Máximos e Mínimos.
19) Renda, Consumo e Poupança Nacionais.
20) Regra de L’Hôpital-Bernoulli.
1- Taxa Média de Variação de uma Função (ou Declividade da Reta
Secante): É a variação média sofrida pelos valores da função f entre dois
pontos quando o valor de x1 passa para x2, cujo resultado é obtido pela
tangente do ângulo () que a reta secante forma com o eixo dos x.
tg = 12
11
12
12
12
12)()()()(
xx
xfxxf
xx
xfxf
xx
yy
x
y
.
Observe o gráfico:
Exemplo - Calcular/interpretar a Taxa de Variação Média de cada função entre os pontos indicados:
4
a) f(x) = 3, entre 1 e 2 b) f(x) = x, entre 2 e 4 c)f(x) = -x + 1, entre 2 e 5 Soução a) f(x) = 3 1 e 2 Como, f(x) é uma função constante, podemos afirmar que, para qualquer valor
atribuído a variável independente x, o resultado (valor numérico) de f(x) será
sempre igual a 3. No nosso exemplo, temos que calcular f(1) e f(2).
3)2(
3)1(3)(
f
fxf
01
0
12
33)1()2()()(
12
12
xx
ff
x
xfxf
x
y
No intervalo [1,2] a função é constante, isto é, para cada unidade acrescida a x, a função não se altera. y
3
0 1 2 x
b) f(x) = x 2 e 4 Como, f(x) é a função identidade, podemos afirmar que, a alteração que se dá a variável independente x, resulta numa variação de igual proporção em f(x). No nosso exemplo, temos que calcular f(2) e f(4).
4)4(
2)2()(
f
fxxf
12
2
24
24)2()4()()(
12
12
xx
ff
x
xfxf
x
y
No intervalo [2,4] para cada unidade acrescida a x, a função cresce em média uma unidade.
c) f(x) = -x + 1 2 e 5
5
415)5(
112)2(1)(
f
fxxf
13
3
25
)1(4)2()5()()(
12
12
xx
ff
x
xfxf
x
y
No intervalo [2,5] para cada unidade acrescida a x, a função decresce em média uma unidade.
2- Taxa De Variação Instantânea (ou Declividade da Reta Tangente): É o
limite da Taxa de Variação Média da Função
x
y quando x 0.
00
)()(11
xx
x
xfxxfLim
x
yLim
Nota: É relevante observar que a taxa de variação média de uma função é determinada num intervalo [x1, x2] e a taxa de variação instantânea é calculada em um ponto (x1, f(x1)).
Observe o gráfico:
Aplicações 1ª) Cada função abaixo representa a função custo associada à produção de q
unidades de certo produto. Determine o custo da produção médio (em unidade
de milhar) e o custo variável médio (a taxa de variação média da função custo)
quando q1 = 1 e q2 = 5 unidades:
a) C(q) = 4q + 54 b) C(q) = 45154 q c) C(q) = 3201
2
5
q
6
Solução a) C(q) = 4q + 54
a.1) Cm(q) =
milhardeunidade
qqq
q
q
q
q
qC 544
544544)(
a.2) Cvm(q) = 44
16
4
5874
4
)541.4()545.4(
15
)1()5(
CC
No intervalo [1,5] para cada unidade acrescida a q, a função custo cresce em média 4.000,00.
b) C(q) = 45154 q
b.1) q
qCqCm
)()( )(
45154milhardeunidade
q
q
b.2) Cvm(q) =
4
45151.445155.4
15
)1()5( CC
4
1935 =
39,04
36,492,5
No intervalo [1,5] para cada unidade acrescida a q, a função custo cresce em média 390,00.
c) C(q) = 3201
2
5
q
c.1) Cm(q) = qq
q
q
q
q
320
1
2.
5
13201
2
5320
1
2
5
(unidade de
milhar)
c.2) 222,04
3,017,1
4
10
3
6
7
15
32011
12
5
1320
51
52
5
5
)(
qCmv
No intervalo [1,5] para cada unidade acrescida a q, a função custo cresce em média 222,00. 2ª) A equação q = -p + 9 representa a demanda de um determinado bem, onde
q representa a quantidade demandada e p o preço do bem, encontre:
a) a receita total em função da quantidade demandada;
b) a receita média em função da quantidade demandada;
c) a taxa de variação média da função receita para as q primeiras
unidades.
7
Solução
a) q = -p + 9 p = -q + 9
Rt(q) qqqqqp 9).9(.2
Rt(q) = qq 92
b) Rm(q) = 99)(
2
q
qRt
c) Rvm(q) =
q
q
q
q
q
q
q
RqR 99)0.90(9
0
)0()(2222
Rvm(q) = 9 q
2ª) Verifique se as funções abaixo são crescentes a taxas crescentes ou
crescentes a taxas decrescentes:
a) f(x) = x2 + 4 b) 42 xy
Solução
a) f(x) = x2 + 4
Para x > 0, calculemos a taxa média de variação da função quando x1
assume outro valor x2.
12
12
1212
12
2
1
2
2
12
2
1
2
2
12
1244)()(
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xfxf
x
y
Como x2 = x1 + x, temos:
x
y
= x2 + x1 = (x1 + x) + x1 = 2x1 + x.
Não alterando o valor x, verifica-se que a função cresce de acordo com o
crescimento do valor de x1, logo, a função f(x) = x2 + 4 é uma função crescente
a taxas crescentes.
b) 42 xy
22
22224242)()(
12
12
12
12
12
12
12
12
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xfxf
x
y
=
22
22
22
22
1212
12
1212
2
1
2
2
xxxx
xx
xxxx
xx
8
221212
12
xxxx
xx
22
1
12
xx
Como x2 = x1 + x, temos:
x
y
22
1
22
1
1112
xxxxx
Não alterando o valor x, verifica-se que a função decresce de acordo com o
crescimento do valor de x1, logo, a função 42 xy é uma função
crescente a taxas decrescentes.
Exercícios: 1ª) Calcular/interpretar a Taxa Média de Variação de cada função entre os
pontos indicados:
a) y = 2, entre 1 e 2 d) y = x + 1, entre 2 e 5
b) y = x, entre 2 e 4 e) C(x) = 1201031,023
xxx
c) y = -x, entre 1 e 4 f) y = 1– x, entre -3 e 2
g) y = 23
42
x
x, entre 0 e 2
2ª) Cada função abaixo representa a função custo associada à produção de x
unidades de certo produto. Determine o custo da produção médio e o custo
variável médio (taxa média de variação da função custo entre os pontos 0 e x
unidades):
a) C(x) = 3x + 6 c) C(x) = 1455
x
b) C(x) = x2 + 3 d) C(x) = 30.ex
3- DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO: - Definição: Seja a função y = f(x) representada pelo gráfico.
9
A derivada de y, em relação a x, é o limite, quando existe, do quociente da
variação y [f(x2 – f(x1)] da função pelo acréscimo correspondente x (x2 – x1)
da variável, quando x tende para zero:
Assim, a derivada de uma função é o limite, caso exista, que fornece o valor da
declividade da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em qualquer ponto (x, y) que,
por sua vez, representa a taxa de variação dessa função num ponto indicado.
A derivada de uma função no ponto x é representada pelas notações:
dx
dyou
dx
dfyxf ,'),(' (lê-se: “derivada de y em relação a x”)
4- REGRA GERAL PARA O CÁLCULO DAS DERIVADAS Para derivar uma função através da regra geral, devemos utilizar os seguintes
passos:
1º) Substitui-se x por x + x e determina-se o valor da nova função y + y.
2º) Subtrai-se o valor da função do novo valor encontrado, achando-se y.
3º) Divide-se y por x.
4º) Determina-se o limite do quociente y/x, quando x tende para zero que,
pela definição, equivale a 1ª derivada, logo,
10
0
x
x
yLim
= y’ = f’(x) = dx
dy *Lê-se: derivada de y em relação a x
Exemplos 01- Derivar as seguintes funções aplicando a regra geral (definição):
a) y = 3x2 d) 3
1
x
y
b) y = x e) 3xy , em x = 4
c) y = 4x – 1 Solução a) y = 3x2 1º passo:
y = 3x2
y + x = 3(x + x)2
y + y = 3[x2 + 2xx + (x)2]
y + y = 3x2 + 6xx + 3(x)2
2º passo:
y + y –y = 3x2 + 6xx + 3(x)2 – 3x2
y = 6xx + 3(x)2
3º passo:
xxx
y
x
xxx
x
y
.36
3.62
4º passo:
00
6.36'
xx
xxxLimx
yLimy
11
b) y = x
1º passo:
xxyy
2º passo:
xxxy
xxxyyy
3º passo:
x
xxx
x
y
4º passo:
y’=
00
)mindet(0
0
xx
açãoerinx
xxxLim
x
yLim
Como temos um limite indeterminado, vamos levantar essa indeterminação multiplicando o
limite por xxx que é o fator racionalizante.
0
x
xxx
xxx
x
xxxLim
0
22
x
xxxx
xxxLim
0
x
xxxx
xxxLim
0
)(
x
xxxx
xLim
0
1
x
xxx
Lim
xxx 2
1
0
1
c) y = 4x - 1
1º passo:
y + y = 4(x + x) -1
y + y = 4x + 4x – 1
12
2º passo:
y + y – y = (4x + 4x – 1) – (4x – 1)
y = 4x + 4x -1 – 4x + 1
y = 4x
3º passo:
44
'
x
x
x
yy
4º passo:
0
44
x
Lim (limite de uma constante é a própria constante)
02- Dada a função quadrática y = x2 – 4:
a) calcule a sua derivada;
b) Calcule o valor da derivada em x = 2 e interprete o resultado.
Solução
a) y = x2 – 4
1º passo:
y + x = (x + x)2 - 4
y + y = x2 + 2xx + (x)2 - 4
2º passo:
y + y –y = x2 + 2xx + (x)2 -4 – x2 + 4
y = 2xx + (x)2
3º passo:
xxx
y
x
xxx
x
y
.2
.22
13
4º passo:
y’ =
0
2')2(
x
xyxxLim
b) y’ = 2x y’(2) = 4
Este resultado significa que, nesse caso, a tendência da função y = x2 – 4, no
ponto dado (x = 2), é de crescimento 4.
Aplicação 1
- Usando a regra geral (definição), determine as derivadas das funções:
01) f(x) = x + 1 02) f(x) = x2 -3 03) y = 2x3 04) y = 4x2 + 8
05) y = x2 + 3x – 5 06) 1 xy 07) y = 3x – x2 08) 3
32
x
y
09) f(x) = 3.x-1 10) y = 3x2 11) y = (x + 4)-1 12) 1
3
x
xy
13) 2 xy 14) y = (x2 + 5)-1 15) y = x-1/2 16) 3xy
17) 3
x
xy 18) 5
1 xy (x=0) dxdsr32 19) x
y
36
1 (x=1/3)
20) 4. xay (x = 1)
5- INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA - Seja y = f(x) uma função representada pelo gráfico:
Vamos escolher um ponto qualquer P1(x1, y1) e, através dele, traçar uma tangente à curva.
14
Dando a variável independente x um acréscimo x, verificamos que a função y
também sofre um acréscimo y, aparecendo, em seguida, o ponto P2. Através
dos pontos P1 e P2 tracemos uma secante.
Preste atenção no triângulo retângulo P1ÂP2, formado no gráfico.
Pela relação métrica no triângulo retângulo, podemos afirmar que:
)(
)(
1
2
adjacentecatetoAP
opostocatetoAPTg .
Como P2A = y e P1A = x, então: x
yTg
*
* Tg é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico que representa
geometricamente a taxa de variação média.
Observe que, quando x tender para zero, o ponto P2 tende a se confundir com
o ponto P1, ou seja, a secante passa ser a tangente à curva no ponto P1
formando com o eixo-x um ângulo , logo,
0
'
x
tgyx
yLim
15
6- REGRAS DE DERIVAÇÃO
Como, derivar funções utilizando o conceito de derivada torna-se um
processo longo, foram introduzidas algumas regras objetivando uma maior
rapidez nas soluções das mesmas. Então, a partir de agora, utilizaremos
algumas regras práticas para calcular derivadas de funções.
1ª) Derivada de uma Função Constante: a derivada de uma função constante
é sempre igual a zero.
f(x) = k f’(x) = 0 (k representa uma constate)
Exemplo
- Derivar as funções:
a) f(x) = -2 f’(x) = 0
b) f(x) = 154 f’(x) = 0
c) f(x) = 2a3 + 1 f’(x) = 0
d) f(p) = -4x f’(p) = 0
16
Para entender o resultado (nulo), observe no gráfico da função f(x) = -2 abaixo
que, quando a variável independente x apresenta uma variação de x1 para x2, a
função f(x), não apresenta modificação, isto é, y = 0, logo:
f’(x) =
0
x
x
yLim
=
0
0
x
xLim
0
00
x
Lim
2ª) Derivada da Função Identidade: a derivada da função identidade é igual a
1 (um).
O gráfico abaixo mostra que, a variação dada à variável independente x resulta
em uma variação de igual valor na variável dependente y (x = y), logo:
f’(x) =
000
11
xxx
Limx
xLim
x
yLim
3ª) Derivada de uma Função Potência f(x) = xn.
Apliquemos a regra geral das derivadas, vista no início, para chegarmos a essa
fórmula:
1º passo:
n
xxyy
2º passo:
17
12321
......
nnnn
nn
xxxxxxxxxxxxy
xxxyyy
12321
......
nnnn
xxxxxxxxxxy
3º passo:
12321
12321
.....
......
nnnn
nnnn
xxxxxxxxxx
y
x
xxxxxxxxxx
x
y
4º passo:
1111112321
12321
...........
0
.....
nnnnnnnnn
nnnn
xnxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxLim
Portanto: f(x) = xn f’(x) = n.xn-1
Exemplo:
- Derivar as funções:
a) f(x) = x4 d) f(x) = 2
5
x
b) f(q) = 3q6 e) 3 2xy , em x = 8
c) f(x) = -5x
Solução
a) f(x) = x4
f’(x) = 4x4-1
f’(x) = 4x3
b) f(q) = 3q6
f’(q) = 6.3x6-1
f’(p) = 18x5
c) f(x) = -5x
f’(x) = 1.(-5)x1-1
f’(x) = -5x0 = -5
18
d) 2
2
5)(
.5
)(
xxf
aka
k
xxf
n
n
f’(x) = -2.5x-2-1
f’(x) = -10x-3 ou f’(x) = 3
10
x
e) b
ab a
xxxy
xxy
32
3 28,
1
3
2
.3
2'
xy
4
3
8.2
38'
.2
3'
2
3'
3
3
3
1
y
xy
xy
4ª) Derivada de uma Função Exponencial.
f(x) = ax (1 a > 0)
xxx
xx
eLneexfexf
Lnaaxfaxf
.)(')(
.)()('
(Ln e = log e e = 1)
Exemplo
Calcular a derivada de cada função:
a) f(x) = 2x c) f(x) = 3.ex
b) f(x) = (1/2)x , em x = 0 d) y = -4.ex
Solução
a) f(x) = 2x Lnaaxfx.)(
'
f’(x) = 2x.Ln 2
19
f’(0) = (1/2)0.Ln(1/2)
f’(0) = Ln (1/2)
b) f(x) = (1/2)x Lnaaxfx.)(
'
f’(x) = (1/2)x.Ln(1/2)
c) f(x) = 3.ex xxeLneexf .)('
f’(x) = 3.ex.Ln e
f’(x) = 3.ex
d) y = -4.ex xxeLneexf .)('
y’ = -4.ex.Lne
y’ = -4ex
5ª) Derivada de uma Função Logarítmica.
f(x) = Log a x (1 a > 0)
xLnexxfLnxxf
LnaxxfxLogxf
a
1
.
1)(')(
.
1)(')(
Exemplo
Encontrar a derivada de cada função:
a) y = Log 3 x , em x = ½
b) f(x) = 4.Log 1/3 x
c) y = 7.Ln x , em x = 7/2
Solução
a) y = Log 3 x Lnax
xf.
1)('
y’ = 3.
1
Lnx
20
y’(1/2) =3
2
3.2
1
1
LnLn
b) f(x) = 4.Log 1/3 x Lnax
xf.
1)('
f’(x) = 4.)3/1(.
1
Lnx
f’(x) = )3/1(.
4
Lnx
c) y = 7.Ln x xLnex
xf1
.
1)('
y’=7.x
1
y’(7/2) = 7.7
2= 2
6ª) Derivada de uma Soma Algébrica.
Devemos derivar cada termo da soma, como segue:
y = f(x) + g(x) + h(x) + ... y’ = f’(x) + g’(x) + h’(x) + ...
Exemplo
Derivar as funções:
a) y = 3x – 7
b) y = 4x2 – 5x + 6, em x = -2
c) y = -2x3 + 3x2 – 5x + 43
Solução
a) y = 3x – 7
y’ = 3
b) y = 4x2 – 5x + 6 y’ = 8x – 5
y’(-2) = 8.(-2) -5 = -21 c) y = -2x3 + 3x2 – 5x + 43 y’ = -6x2 + 6x - 5
21
7ª) Derivada do Produto de Funções.
f(x) = u(x).v(x) f’(x) = u(x).v’(x) + u’(x).v(x) Exemplo Derivar a função f(x) = 2x3. ex , em x = 1. Solução
f(x) = 2x3. ex
xxexvexv
xxuxxu
)(')(
6)('2)(23
f(x) = u(x).v(x) f’(x) = u(x).v’(x) + u’(x).v(x) Substituindo os valores encontrados em f’(x), temos:
f’(x) = 2x3.ex + ex.6x2
Coloca-se em evidência 2x2.ex
f’(x) = 2x2ex(x + 3)
Substituindo o valor de x = 1, temos:
f’(1) = 2.12.e1(1 + 3)
f’(1) = 8e
Obs.: F(x) = U(x).V(x).Z(x) F’(x) = U(x).V(x).Z’(x) + U(x).V’(x).Z(x) + U’(x).V(x).Z(x).
8ª) Derivada do Quociente de Funções
f(x) = )(
)(
xv
xu f’(x) =
2
)(
)(').()(').(
xv
xvxuxuxv
Exemplo
Derivar a função f(x) =x
e
x4
, em x = 1.
Solução
f(x) =x
e
x4
xxexvexv
xxuxxu
)(')(
4)(')(34
f(x) = )(
)(
xv
xu f’(x) =
2
)(
)(').()(').(
xv
xvxuxuxv
Substituindo os valores encontrados em f’(x), temos:
22
f’(x) =
2
43.4.
x
xx
e
exxe (:ex)
f’(x) = x
e
xx43
4
Substituindo o valor de x = 1, temos:
f’(x) = ee
311.4
1
43
Exercícios 01- Calcule a derivada de cada função:
a) f(x) = 2 b) f(x) = -4 c) f(x) = 2a d) f(b) = x2 e) f(x) = x 02- Encontre a derivada primeira das seguintes funções: a) f(x) = x3 b) f(p) = 4p4 c) f(q) = -5q d) f(x) = x/4
e) y = x , em x = 9 f) 3
4
xy g) 3 2
)( xxf h) 4
3)(
x
xf , em x = 1
03- Determine a derivada primeira de cada função: a) f(x) = 2x b) f(x) = (1/2)x c) f(x) = Log 2 x d) Log ½ x 04- Calcule a derivada de cada função:
a) f(x) = 3x + 5 b) y = x
75 – 5 c) f(x) =
2
12
2
3
x
x
d) f(x) = 3x2 – 5x + 6, em x = -2 e) f(x) = x3 – 4x2 – 6x + 8, me x = -1
f) f(p) = 5p2 - 4
p - 5, para p = 10 g) f(p) = 2p5 – 4p2 +
3
6
p – 4.ex + 2Ln x
05- Derivar as funções:
a) f(x) = ex.Lnx b) f(x) = Lnx
ex
c) f(x) = x3.3x, em x = 1
d) y =
24
4322
x
xx e) y = (3x-4)2.(x2-3x+5)
Exercícios de Aprendizagem
- Após esses estudos iniciais sobre derivadas, vamos resolver alguns
problemas práticos que envolvam as mesmas.
01- A função quadrática f(x) = x2 – 7x + 6 representa uma parábola com concavidade voltada para cima. a) Através da definição de derivada, calcule f’(x) no ponto x = 2; b) Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f, em (3, -6); c) Encontre a equação para a reta tangente ao gráfico de f em (3, -6); d) Esboce o gráfico de f e da tangente à curva no ponto (3, -6).
23
Solução
a) f(x) = x2 – 7x + 6
1) 6)(7)(2
xxxxyy
677222
xxxxxxyy
2) 6767722
222 xxxxxxxxyyy
xxxxy 722
3)
x
xxxx
x
y
7722
772
xx
x
y
4)
0
'
x
x
yLimy
0
772
x
xxLim
72` xy
Para x = 2, temos:
3)2('
72.2)2('
72'
y
y
xy
b) Para calcular a declividade (coeficiente angular) da reta tangente, devemos encontrar a 1ª derivada e, em seguida, substituir o valor da abscissa do ponto (3, -6), onde a tangente toca o gráfico .
angularecoeficientm
y
y
xy
xxy
1
1)3('
73.2)3('
72'
672
Este valor (-1) representa a tangente do ângulo (135º) que a reta tangente forma com o eixo positivo do x. c) A equação da reta tangente é determinada pela fórmula
)).((21
xxxxmy , onde m representa o coeficiente angular da reta tangente,
sendo calculado pela derivada da função f(x) = x2 – 7x + 6, no ponto x = 3.
3
)3(1)6(
)()(11
xy
xy
xxmyy
24
d)
02) Seja a função quadrática f(x) = x2 – 6x + 5, cujo gráfico é uma parábola que
apresenta concavidade voltada para cima.
a) Através da definição de derivada, calcule f’(x) no ponto x = 3;
b) Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f, em (0, 4);
c) Determine a taxa de variação da função f quando x = 5;
d) Encontre a equação para a reta tangente ao gráfico de f em (0, 4);
e) Esboce o gráfico de f e da tangente à curva no ponto (0, 4).
03) A função P(t) = -t2 + 10t + 30 (0 t 10) representa as perdas (em milhares
de reais) acumuladas por uma rede de drogaria em razão de projetos maus
sucedidas, onde t é o tempo em anos (t = 0 corresponde ao início de 2000).
Pergunta-se:
a) a que velocidade se acumulavam os prejuízos no início de 2003?
b) a que velocidade se acumulavam os prejuízos no início de 2006?
c) construa o gráfico de P(t).
Solução: a) P(t) = -t2 + 10t + 30
P`(t) = -2t + 10
P`(3) = -2.3 + 10
P`(3) = -6 + 10
P`(3) = 4
R) No início de 2003, os prejuízos acumulavam em R$ 4.000,00.
b) P(t) = -t2 + 10t + 30
P`(7) = -2.6 + 10
25
P`(7) = -2
R) No início de 2006, os prejuízos diminuíam em torno de R$ 2.000,00.
c)
04) As projeções são de que o PIB de um determinado país seja de N(t) = t2 +
2t + 50 (0 t 5) bilhões de dólares daqui a t anos. Quais serão as taxas de variação do PIB desse país daqui a 2 anos e daqui a 4 anos? 7- DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA
Seja a função y = f(U), onde U é função de uma única variável. 01- Derivada da Função Potência
f(x) = un f’(x) = n.un-1.u’
Exemplo
- Derivar cada função abaixo:
a) f(x) = (6x – 5)3, em x = 2 c) 32
3x
ey
b) 24 xy d)
3
26
5)(
x
xf
Solução
a) f(x) = (6x – 5)3
213
6'56
nn
uxu
'..)('1
uunufn
22
)56.(186.56.3)(' xxxf
Substituindo o valor de x = 2, temos:
8827.18)2('
)52.6.(18)2('
2
2
f
f
b) 2
1
2424 xxy
2/112/1
4'24
nn
uxu
'..)('1
uunufn
26
24
2)(')24.(2)('
4.242
1)('
2
1
2
1
x
xfouxxf
xxf
c) 3
2
32
33 xx
eey
3/113/2
'3
nn
eueuxx
'..)('1
uunufn
3
3
1
3
1
3.3
.2)(')3.(
3
.2)('
.33
2)('
x
x
x
x
xx
e
exfoue
exf
eexf
d)
3
3)26.(5
26
5)(
x
x
xf
413
6'26
nn
uxu
'..)('1
uunufn
4
4
4
26
180)(')26.(180)('
6.)26.(5.3)('
x
xfouxxf
xxf
02- Derivada da Função Exponencial
uuu
uu
euLneeuxfexf
Lnaauxfaxf
'..'.)(')(
.'.)(')(
Exemplo - Derivar as funções:
a) f(x) = 2(3x) b) y = 3.e(2 – 5x) c) y = xe em x = 4 d) y = 2/e4x
Solução
a) f(x) = 2(3x)
2
3'3
a
uxu
Lnaauxfu
.'.)('
2.2.3)('3
Lnxfx
27
b) y = 3.e(2 – 5x)
ea
uxu 5'52
ueuxf '.)('
x
x
exf
exf
52
52
.15)('
.3.5)('
c) y = xe
ea
x
uxu
2
1'
ueuxf '.)('
x
ee
x
xf
x
x
22
1)('
d) x
xe
ey
4
4.2
2
ea
uxu 4'4
ueuxf '.)('
x
x
x
exfouexf
exf
4
4
4
8)('8)('
.2.4)('
03- Derivada da Função Logarítmica
u
u
uLne
uufLnuuf
Lnau
uxfuLogxf
a
'')(')(
.
')(')(
Exemplo - Encontrar a derivada primeira de cada função abaixo:
a) y = Ln(3x2 - 4) b) y = Log 2 (4 x )
c) y = Ln (x2 – 3)5 , em x = 2 d) y = 4
23
x
xLn
Solução
a) y = Ln(3x2 - 4) xuxu 6'432
u
uuf
')('
28
f’(x) = 43
6
2x
x
b) y = Log 2 (4 x )
y = xLogLog22
4 (Propriedade do produto)
y = xLogLogxLogLog22
2
1
22
2
144 (Propriedade da potência)
Aplicando a derivada da função constante e da função logarítmica, temos:
y’ = 2.
1.
2
10
Lnx
y’ = 2.2
1
Lnx
c) y = Ln (x2 – 3)5, em x = 2.
y = 5.Ln (x2 – 3) (Propriedade da potência)
Aplicando a derivada da função logarítmica, temos:
u
uy
'' xuxu 2'3
2
y’ = 3
'2.5
2x
x
y’ = 3
10
2x
x
y’ = 2032
2.10
2
d) y = 2
1
4
23
4
23
x
xLn
x
xLn
y =
4
23.
2
1
x
xLn (Propriedade da potência)
y = 423.2
1 xLnxLn (Propriedade do quociente)
Aplicando a derivada da função logarítmica, temos:
y’ =
4
'4
23
'23.
2
1
x
x
x
x
y’ =
4
1
23
3.
2
1
xx [m.m.c. = (3x-2).(x-4)]
29
y’ =
4)-2).(x-(3x
23.143.
2
1 xx
y’ = 4)-2).(x-(3x
10.
2
1
4)-2).(x-(3x
23123.
2
1
xx
y’ = 4)-2).(x-(3x
5
8- DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
8.1) Derivada da Função Seno: A derivada da função seno é a função cosseno.
a) f(x) = senx f’(x) = cosx (função simples)
b) f(x) = senu f’(x) = u’.cosu (função composta) (u: função de uma única variável)
Demonstração
y = senu
Aplicando a definição de derivada.
senuxuseny
senuxusenyyy
uusenyy
)(
)()2
)()1
Aplicando a fórmula
2.
2cos.2
qpsen
qpsenqsenp , temos:
2.
2cos.2
2.
2
2cos.2
2.
2cos.2
usen
uuy
usen
uuy
uuusen
uuuy
)3 u
usen
uu
u
y
2.
2cos.2
u
y
2
2.
2cos
u
usen
uu
30
0
)4
u
u
yLim
0
2
2.
2cos
u
u
usen
uuLim
udu
dyu
du
dycos
2
0cos
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
udx
du
dx
dy
du
dy
dx
du
dx
dy
cos.
.
y’ = u’.cosu
Nota.: As fórmulas seguintes também podem ser demonstradas através da definição de derivada.
2) Derivada da Função Cosseno: A derivada da função cosseno é igual a função seno negativa.
a) f(x) = cosx f’(x) = -senx
b) f(x) = cosu f1(x) = -u’.cosu
3) Derivada da Função Tangente: A derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.
a) f(x) = tgx f’(x) = sec2x
b) f(x) = tgu f’(x) = u´.sec2u
4) Derivada da Função Cotangente: A derivada da função cotangente é igual ao quadrado da função cossecante acompanhado do sinal negativo.
a) f(x) = cotgx f’(x) = -cossec2x
b) f(x) = cotgu f’(x) = -u’.cossec2u
31
5) Derivada da Função Secante: A derivada da função secante é igual ao produto da função secante pela função tangente.
a) f(x) = secx f’(x) = secx.tagx
b) f(x) = secu f’(x) = u’.secu.tagu 6) Derivada da Função Cossecante: A derivada da função cossecante é igual ao produto da função cossecante pela função cotangente acompanhado do sinal negativo.
a) f(x) = cossecx f’(x) = -cossecx.cotagx
b) f(x) = cossecu f’(x) =-u’.cosecu.cotagu
De posse dessas regras, vamos calcular a derivada das seguintes funções:
a) y = sen(4x), 6/xem b) y = cos(3x - 2) c) y = tag(5x3 – 4)
d) y = sec x e) y = cossec(x3 – 4) f) y = cotg3x
Solução
a) y = sen(4x) 4'4 uxu
uuy
senuy
cos''
22
1.4'
3
2cos4'
6.4cos.4'
)4cos(4'
y
y
y
xy
b) y = cos(3x - 2) 3'23 uxu
senuuy
uy
''
cos
)23(3' xseny
c) y = tag(5x3 – 4) 2315'45 xuxu
uuy
taguy
2´sec'
)45(sec15'322 xxy
) y = sec x
x
uxu
2
1'
taguuuy
uy
.sec''
sec
32
xtagx
x
y .sec.
2
1'
e) y = cossec(x3 – 4) 233'4 xuxu
guuuy
ecuy
cot.seccos''
cos
)4cot().4sec(cos3'332 xxxy
f) y = cotg3x
Inicialmente é importante lembrar que cotgnx = (cotagx)n cotagxn.
y = cotg3x = (cotagx)3 xecuagxu2
cos'cot
Aplicando a fórmula da potência, temos:
'.'
1uuny
uy
n
n
y’=3.cotg2x.(-cossec2x)
y’=-3.cotg2x.cossec2x
9- DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. 1) Derivada da Função Arcseno.
a) 2
1
1'
x
yarcsenxy
b) 2
1
''
u
uyarcsenuy
Demonstração
)(cos
1.
cos
1
)(cos
)(
dx
dyisolando
ydu
dx
dx
dy
ydu
dy
invertendoydy
du
derivandosenyuarcsenuy
33
u
uy
uysenyysenyy
uy
ydx
du
dx
dy
1
''
)11cos1(coscos
''
cos
1.
2222
Outra maneira de demonstrar (definição de derivada)
2
2.
2
2cos
2.
2
2cos.2
)3
2.
2
2cos.2
)(
)()2
)()1
y
ysen
yy
y
u
y
ysen
yy
y
u
ysen
yyu
senyyysenu
senyyysenuuu
yysenuu
senyuarcsenuy
34
u
uy
uysenyysenyy
uy
ydx
du
dx
dy
dx
dyisolando
ydu
dx
dx
dy
ydu
dy
invertendoydy
du
1
''
)11cos1(coscos
''
cos
1.
)(cos
1.
cos
1
)(cos
2222
2) Derivada da Função Arccosseno.
a) 2
1
1'arccos
x
yxy
b) 2
1
''arccos
u
uyuy
3) Derivada da Função Arctangente.
a) 2
1
1'arctan
xygxy
b) 2
1
''arctan
u
uyguy
4) Derivada da Função Arccotangente.
a) 2
1
1'cot
xygxarcy
b) 2
1
''cot
u
uyguarcy
5) Derivada da Função Arcsecante.
a) 1
1'sec
2
xx
yxarcy
b) 1
''sec
2
uu
uyuarcy
6) Derivada da Função Arccossecante.
a) 1
1'secarccos
2
xx
yxy
b) 1
''secarccos
2
uu
uyuy
35
Após os estudos das regras acima, vamos derivar as seguintes funções:
a) )3( xarcseny b) )34cos(3 xary
c) xarcy sec d) xarctagy5
Solução
a) )3( xarcseny 3'3 uxu
2
2
2
91
3'
31
3'
1
''
x
y
x
y
u
uy
arcseuy
b) )34cos(3 xary 23
12'34 xuxu
21
''
arccos
u
uy
uy
2
3
2
341
12'
x
xy
c) xarcy sec
x
uxu
2
1'
1
''
sec
2uu
uy
uarcy
12
1'
1
2
1
'2
xxy
xx
xy
d)
2
55
1
1'
xuarctagxuarctagxxarctagy
'..'
1uuny
uy
n
n
36
2
4
2
4
1
5'
1
1..5'
x
xarctagy
xxarctgy
10- DERIVADA DA FUNÇÃO y = uv Seja a função y = uv, onde u e v são funções de uma mesma variável. Para encontrar a derivada dessa função, apliquemos o logaritmo:
Lnuvu
uv
y
y
LnuvLnuvy
y
Derivando
potênciadapropriedaLnuvLny
LnuLny
uy
v
v
'.'
.'
'.'.'
)(.
Lnuuvuuvy
Lnuuuvuuvy
Lnuuvuvuy
u
Lnuuvuvuy
uyu
Lnuuvuvyy
vv
vv
v
v
v
.'.'..'
..'.'..'
.''..'
.''..'
)(.''.
.'
1
11
1
Observe que para derivarmos y = u
v, devemos derivar y como se fosse uma função
potência (y’= v.uv-1
.u’), em seguida, como se fosse uma função exponencial (y’= v’.u
v.Lnu), adicionando os resultados.
De posse dessa fórmula, vamos calcular a primeira derivada de cada função: a) y = x4x b) y = (senx)x Solução
a) y = x4x
4'4
1'
vxv
uxu b) y = (senx)x
1'
cos'
vxv
xusenxu
Lnuuvuuvy
uy
vv
v
.'.'..'1
Lnuuvuuvy
uy
vv
v
.'.'..'1
37
).(.4'
4'
14'
..44'
..41..4'
4
4
4
44
414
xeLnxy
LnxLnexy
ouLnxxy
Lnxxxy
Lnxxxxy
x
x
x
xx
xx
)(cot.'
..cot..'
..cos..
'
...1cos..'1
senxLngxxsenxy
senxLnsenxgxsenxxy
senxLnsenxxsenx
senxxy
senxLnsenxxsenxxy
x
xx
x
x
xx
11- APLICAÇÕES 1- Derivar as seguintes funções:
01) y = (5x + 1)2, em x = 1 02) y = (x – 1)3 03) y = (1 – x)2
04)
2
3
1
x
y
, em x = 2 05) xy 3 06) 314 xy
07) xseny3
08) 44 xy 09) xy
2cos
10) xey
5 11) x
ey 12) xLny3
13) )23(2
xxseny 14) )3sec( xy 15) xy 2seccos
16) y = tg2(2x) 17) y = cotg(x+1) 18) y = Ln(cosx)
19) y = Ln(tgx) 20) y = sen x4 21) y = (5x – 2)3
22) y = (3 – 4x)5, em x = 1 23) y = (x3 – 2)4 24) y = 13)( xxf
25) y = 3 2)62()( xxf 26)
x
xy
23.5
27) y = (Ln 3x): x3
28) 3
)3(
x
xLnY 29) y = (x2 – 5).e3x 30) f(q) =
q2
34
31) x
xxy
23
43
32) y = Ln (4x2 – 1)6 33) xLn
ey .4
34) x
xxf
50.10)( 35) 10
000.10)(
4 5
x
xf 36) 1
5
2
x
xy
37) t
ttf
2100
25,0)(
38) 3 2
464.100)( qqP 39) 2
3
4,01
3,0)(
x
xxf
40)
1
1)(
LKALf 41) 1
3
x
ey 42) y = Ln(x3 – 1)
43)
1
1)(
LKAKf 44) 1cos
2 xy 45) y = senx.cosx
38
46) gxtgxxsenxy cotcos 47) 1
x
senxy 48)
x
xy
cos
2
48) 12 xseny 49) y = sen(Lnx) 50) y = arcsen(x2)
51) y = arccos(x-1) 52) f(x) = arctg(3x) 53) y =
arcsen(Lnx)
54) y = (arcasenx)2 55) y = (x2 + 1)3 56) y = (5x3 – 4x)3
57)
2
1
2
x
y 58) 3 2
3 xy 59) 25 xy
60) y = cos4x, em x = 61) 3senxy 62) y = Ln2(4x)
63) y = e-4x 64) x
ey
9
3 65) y = x.cos2x
66) y = x.tgx 67) y = x2.cotg2x 68) y = cossecx.Lnx
69) (2x-1)3.senx 70)
3
3
2
x
xy 71) y = sen(3-x2)
72) y = sec2(4x) 73) y = cos5x 74) y = cosx5
75) y = sen(3x)-cos(2x), x= 76) y = x.Lnx2 77) Ln(3x2)
78) y = Ln2(4x2) 79) y = esen(2x) 80) y = 2tgx
81) xseny
2
3 82) y = x.cotg(3x2) 83) y = x3.ecosx
84) xexy . 85)
x
xLny
3
3 86)
21 x
ey
87) y = (2x-1).Lnx2 88) y = Lnx.senx2 89) y = 3x.(x+1)3
90) y = 3e3x 91) )(cos senxxsenxy 92) xtg
y2
1
93) xsenxy 223cos3 94) x
xLnxy
22 95)
xLny
3
1
96) 3 5xtgy 97) 2
1. xxy 98) xLn
y2
.3
2
99)
2
12
x
xy 100) y = sen2x.tgx 101) y=cos2x.tgx
102) y = tg(3x+1)2 103) f(x) = sena – cosa 104) f(x)=sena.senx
105) f(x) = x
Lna 106) y = sen(x2- 1)2 107) y = sen3(2x)
39
108) f(t) = sen3x+cos2(t-1) 109) x
xy
2
32
110) 34 xxLny
11 1) 12 xseny 112)
x
xy
2
2 113)
2
1
2
x
xarctg
114)
a
xarcsenaxay .
22 115)
xarcseny
1 116) f(t)=et.cost
117) f(x)=eax.sen(bx) 118) )2cos( xLny 119)f(p)=Ln(p2.ep)
120)
xx
xxLny
1
1
2
2
121) f(x) = xx 122) 3
xxy
123) 2
3 xxy 124)
x
xy sec 125)
x
x
ay
126) xxy 127) xxxf
1
)( 128) y = (cosx)x
129) y = senxx 130) y = (senx)x
2- Problemas. 2.1- Durante os estudo sobre limites, vimos que a função S(t) = 3t2 + 5t + 2
representa a posição (em km) de certo tipo de veículo em um determinado
instante (0 t 10). Então, calcule inicialmente, a velocidade média do
veículo nos intervalos de tempo [3; 3,1] e [3; 3,01], em seguida, a
velocidade instantânea desse veículo quando t = 3 horas.
A velocidade média é calculada pelo quociente da variação do espaço com
a variação do tempo, como segue:
3
4253
3
44)253(
4423.53.3)3(
253)()3(
3
)3()(
2
2
2
2
t
ttVm
t
ttVm
S
tttSt
t
StS
t
SVm
Como, t = 3 não está definido no domínio da função Vm, calculemos a
velocidade média para t = 3,1 e t = 3,01.
40
hkmVm
hkmVm
t
ttVm
/03.23301,3
4201,3.5)01,3.(3)01,3(
/3,2331,3
421,3.5)1,3.(3)1,3(
3
4253
2
2
2
Agora, determinemos a velocidade instantânea do veículo quando t = 3. Neste
caso, devemos encontrar a derivada primeira da função velocidade média no
ponto t = 3, ou seja, o limite, quando existe, da velocidade média quando t se
aproxima de 3, da seguinte maneira:
hkmVm
Vm
tVm
t
ttVm
/23)3('
53.6)3('
56'
3
42532
23km/h é a velocidade instantânea do veículo quando t = 3hs.
2.2- Suponha que a distância (em km) percorrida por um automóvel ao longo
de uma estrada t horas após partir do repouso é dada pela função S(t) =
2t2 (0 t 8). Calcule:
a) a velocidade média do automóvel nos intervalos de tempo [6; 7],
[6;6,1], [6; 6,01].
b) a velocidade instantânea do automóvel quando t = 6.
2.3- A altitude (em pés) de um foguete é alcançada após t segundos em vôo é
dada por S(t) = -t3 + 96t2 + 195t + 5 (t 0).
a) Determine a expressão da velocidade do foguete em qualquer tempo t.
b) Calcule a velocidade do foguete quando t = 0, 30, 50, 65 e 70. Interprete
os resultados.
c) Determine a altitude máxima alcançada pelo foguete e esboce o gráfico.
2.4- A função demanda de certa marca de rádio é dada por 10.10)( 4 54
qqp
onde q é a quantidade fornecida e p é o preço unitário em dólares.
41
a) Determine dq
dp.
b) Qual é a taxa de variação do preço unitário quando a quantidade
fornecida for de 10.000 unidades (q = 10)?
2.5- O valor (em milhões de dólares) estimado na venda de uma determinada
marca de azeite de oliva t anos após seu lançamento no mercado mundial é
1
5)(
2
t
ttS .
a) Determine a taxa de variação do valor das vendas no tempo t.
b) Com que rapidez os valores das vendas estão mudando no instante em
que o produto é lançado (t = 0)? E três anos após a data de lançamento?
2.6- Seja L(q) = -q3 + 192q + 20 a função que dá o lucro, em reais, de uma
determinada fábrica na produção/venda de um certo número de carro em
função da quantidade de mão-de-obra (q) utilizada. Pergunta-se:
a) Qual a Função Lucro Marginal?
b) Qual o lucro marginal ao contratar a 6ª mão-de-obra?
c)Quais os intervalos de crescimento e decrescimento da função Lucro?
Interprete o resultado.
2.7- O rio Murubira foi poluído por um vazamento de combustível proveniente
de um navio. Uma firma se prontificou a remover q por cento desse
combustível mostrando que o custo, em milhões de reais, para fazer essa
operação, é dado por q
qqC
100
5,0)( . Determine C’(80), C’(90) e C’(98) e
interprete os resultados.
12- ELASTICIDADE
Elasticidade: Em geral, a elasticidade reflete o grau de reação ou
sensibilidade de uma variável quando ocorrem alterações em outra variável,
coeteris paribus (permanecendo as demais constantes).
42
12.1- Elasticidade-Preço da Demanda: É a variação percentual na
quantidade demandada do bem X em relação a uma variação percentual
em seu preço, coeteris paribus.
).
,,
var
var
pontonumQ
P
dP
dQE
baPP
Q
Pempercentualiação
QempercentualiaçãoE
pd
pd
* A elasticidade-preço da demanda é negativa em função da relação inversa
entre preço e quantidade demandada. Para evitar problema com o sinal, a
elasticidade é colocada em módulo.
Exemplo:
Observe os dados abaixo:
Po = Preço inicial = R$ 20,00
P1 = Preço final = R$ 16,00
Q0 = Quantidade demandada ao preço P0 => Q0 = 30
Q1 = “ “ “ “ P1 => Q1 = 39
%303,030
9
%202,020
4
0
01
0
01
ouQ
QQQ
ouP
PPP
Calculando a Elasticidade-Preço da Demanda Epd, temos:
5,15,1%20
%30
PDPDEou
P
QE
Significa que, dada uma queda de 20% no preço, a quantidade demandada
aumenta em 1,5 vez os 20%, ou seja, 30%.
A elasticidade pode variar para diferentes pontos do intervalo dado, então, para
resolver esse problema buscamos ajudo em limite da seguinte maneira.
43
Calculamos o limite do quociente entre a variação de Q
Q
Qe a variação de P
P
P quando P tende para zero.
0
P
P
P
Q
Q
Lim=
0
.
P
P
Q
Q
PLim
=
0 P
Q
PLim .
0
P
P
QLim
= PQ
EdP
dQ
Q
P.
0
P
Q
PLim
é o limite de uma constante, então o resultado é a própria
constante Q
P e
0
P
P
QLim
equivale a primeira derivada que representamos
por dP
dQ.
12.2- TIPOS DE DEMANDA
- Demanda Elástica: A variação da quantidade demandada supera a variação
do preço, ou 1PD
E .
- Demanda Inelástica: A variação da quantidade demandada é menor que a
variação do preço, ou 1PD
E .
- Demanda Unitária: A variação da quantidade demandada é a mesma que a
variação do preço, ou 1PD
E .
Exemplos
01- A função Q = 18 – 0,6P representa a quantidade demandada de certo
produto. Calcular/interpretar o valor da elasticidade da demanda ao nível de
preço P = R$ 10,00, P = R$ 15,00 e P = R$ 32,00.
1.1) P = R$ 10,00
44
Calculando dP
dQ, temos:
Q = 18 – 0,6P dP
dQ= -0,6
Q
P
dP
dQE
pd. = -
P
P
6,018
.6,0= 5,0
106,018
106,0
x
x
Esse resultado significa que, aumentando de 1% no preço unitário do produto
teremos um acréscimo de 0,5% na quantidade demandada,
conseqüentemente, um aumento da receita.
1.2) P = R$ 15,00
Q
P
dP
dQE
pd. = -
P
P
6,018
.6,0
= 0,1
156,018
156,0
x
x
Um aumento de 1% no preço unitário do produto irá acarretar um acréscimo de
1% na quantidade demandada, conseqüentemente, a receita não varia.
1.3) P = R$ 32,00
Q
P
dP
dQE
pd. = -
P
P
6,018
.6,0= - 0,16
326,018
326,0
x
x
Um aumento de 1% no preço unitário do produto irá acarretar um decréscimo
de 16% na quantidade demandada, conseqüentemente, uma diminuição da
receita.
02- A função Q = 10.000 – 200P mede a procura de determinado bem. Calcular
e interpretar o valor da elasticidade da procura ao nível de preço P=$ 4,00.
03- A função Q = 2.e-3P representa a função demanda de um determinado
produto. Calcular/interpretar o valor da elasticidade da demanda ao nível
de preço P = R$ 1,40.
04- A demanda semanal de uma determinada Marca de som é estimada pela
equação p(q)= -0,02q + 300 (0 q 15.000), onde p representa o preço
unitário por atacado em reais e q a quantidade demandada. Sabendo que a
função custo C(q) = 3x10-6.q3- 4x10-2.q2 + 200q + 70000 reais.
45
a) Determine a função receita R e a função lucro L.
b) Determine a função custo marginal, a função receita marginal e a função
lucro marginal.
c) Determine a função custo médio marginal.
d) Calcule C’(3000), R’(3000) e P’(3000), e interprete seus resultados.
e) Verifique se a demanda é elástica, unitária ou inelástica quando P = 100
e quando P = 200.
13- APLICACAO DA DERIVADA NA GEOMETRIA ANALÍTICA
Determinação das retas tangente e normal a uma curva.
Para determinar as equações das retas Tangente e Normal a uma curva
através da derivada, devemos, inicialmente, observar o gráfico abaixo:
- A reta perpendicular à reta tangente à curva é denominada de reta normal(N).
- O coeficiente angular (mt) de uma reta tangente a uma curva em um ponto
dado, é determinado através da primeira derivada. mt = f`(x1)
- O produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares vale -1.
- Sendo mt o coeficiente angular da reta tangente, então, o coeficiente angular
da reta normal será:
mt . mn = -1
mn = -1/mt
mn = -1/f’(x1)
46
Já calculados os coeficientes angulares das retas Tangente e Normal a uma
curva em um ponto P(x1, y1), podemos agora escrever suas respectivas
equações:
normalretaxxxf
yy
genteretaxxxfyy
11
11
.)`(
1
tan).`(
Agora, vamos observar os exemplos abaixo:
01- Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 + 2x – 1 no ponto x= 1.
Solução:
)2,1(
2
11.21
1
12
2
2
P
y
y
x
xxy
PpontodoCálculo
t
t
my
y
xy
xxy
mdoCálculo
4)1`(
21.2)1`(
22`
122
24
1.42
).`(11
xy
xy
xxxfyy
TgdaequacãodaCálculo
02- Encontre a equação da reta normal à curva y = tg x no ponto x = /4.
Solução:
47
)1,4/(
1
)4/(
4/
P
y
tgy
x
tgxy
PpontodoCálculo
2
11
2)4/`(
)4/(sec)4/`(
sec`
2
2
t
n
t
t
mm
my
y
xy
tgxy
mdoCálculo
normalretayx
xy
xxmyy
NormalretadaequacãodaCálculo
n
04/22
4/.2
11
.11
14- DERIVADAS SUCESSIVAS
Imaginemos que uma função y = f(x) admita a primeira derivada y’ = f’(x);
a segunda derivada y”= f”(x); ...; a n-ésima derivada yn = fn(x). A essas
derivadas denominamos de derivadas sucessivas que serão indicadas pelas
seguintes notações:
Derivada segunda 2
2
2
2
;;");("dx
yd
dx
fdyxf
Derivada terceira: 3
3
3
3
;,''');('''dx
yd
dx
fdyxf
Derivada de ordem n
n
n
n
n
nn
dx
yd
dx
fdyxf ;;);(
Para fixarmos melhor esse procedimento vamos resolver os seguintes
exemplos:
1º) Calcular a 2ª derivada de cada função abaixo:
a) f(x) = 2x3 – 4x2 + 5x – 2 , em x = 3 b) y = (2x + 3)3
Solução
48
a) f(x) = 2x3 – 4x2 + 5x – 2 b) y = (2x + 3)3
f’(x) = 6x2 – 8x + 5 y’ = 3.(2x + 3)3-1.(2x + 3)’
f”(x) = 12x – 8 y’ = 6.(2x + 3)2
f”(3) = 12.3 – 8 y” = 2.6.(2x + 3)2-1.(2x + 3)’.
f”(3) = 28 y” = 24(2x + 3) = 48x + 72
2) Encontrar a 4ª derivada de cada função:
a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5 b) y = sen(2x), em x = /8
Solução
a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 5 b) y = sen(2x)
f’(x) = 6x2 – 10x + 3 y’ = (2x)’.cos(2x)
f”(x)= 12x – 10 y’=2cos(2x)
f’’’(x) = 12 y” = -4sen(2x)
f(4)(x) = 0 y’’’ = -8cos(2x)
y(4) = 16sen(2x)
E’ relevante observar que a derivada primeira de uma função num determinado
ponto mede a taxa de variação dessa função naquele ponto, a segunda
derivada mede a taxa de variação da primeira derivada da função. A terceira
derivada da função mede a taxa de variação da segunda derivada, e assim por
diante.
15- FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
Seja y = f(x) uma função representada pelo gráfico:
49
Observando o gráfico, verificamos que x > a (para qualquer x maior que a) a
função é crescente; da mesma forma, x < a, a função é decrescente. Porém,
podemos encontrar o intervalo onde a função cresce e o intervalo onde ela
decresce bastando para isso utilizar o Teorema de Fermat. Ele emprega a 1a
derivada para encontrar esses intervalos da seguinte maneira:
1) A função y = f(x) é uma função crescente, quando a 1a derivada é positiva
[f’(x)>0].
2) A função y = f(x) é uma função decrescente, quando a 1a derivada é
negativa[f’(x)<0].
*A função y = f(x) é definida no intervalo aberto ]a, b[.
Após esse estudo sobre o Teorema de Fermat vamos, através de exemplos,
determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função.
01) Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções
abaixo:
1.1) f(x) = x2 – 6x + 8 1.2) 862
9)(
2
3 x
xxxf
Para determinar os intervalos solicitados, vamos percorrer os seguintes
caminhos:
1.1) f(x) = x2 – 6x + 8
a) Determina-se a 1ª derivada.
f(x) = x2 – 6x + 8
f’(x) = 2x – 6
b) Calcula-se a raiz da 1ª derivada, anulando-a.
f’(x) = 0
2x – 6 = 0
x= 3
50
c) Estuda-se o sinal da função derivada encontrada.
3,0)('
[3,(3,0)('
),3]3,0)('
xxf
ouxxf
ouxxf
d) A função f(x) cresce no intervalo ]3, +) e decresce no intervalo (-, 3[.
Observe graficamente.
1"
2'0693)
693)(')
862
9)()2.1
2
2
2
3
x
xxxb
xxxfa
xx
xxf
21,0)('
21,0)('
21,0)('
xouxsexf
xsexf
xouxsexf
)d A função é crescente no intervalo (-,1[ ]2,+) e decrescente no intervalo
]1,2[. Observe o gráfico.
51
02) Seja L(q)= -q3 + 108q + 20 a função que dá o lucro (em reais) de uma
determinada indústria na produção/venda de certo número de carro em função
da quantidade de mão-de-obra q utilizada. Encontre os intervalos de
crescimento e decrescimento dessa função e, em seguida, esboce o gráfico de
L(q).
Solução
a) Calcula-se a 1ª derivada.
L(q)= -q3 + 108q + 20
L’(q) = -3q2 + 108 (Função Lucro Marginal)
b) Calculam-se as raízes da 1ª derivada.
-3q2 + 108 = 0 (-)
3q2 – 108 = 0
))(6"
6'
servenãoq
q
c) Estuda-se o sinal de L’(q).
66,0)('
66,0)('
60,0)('
qouqseqL
qouqseqL
qseqL
d) Como, os intervalos decrescimento e decrescimento dessa função
dependem da quantidade de mão-de-obra, podemos afirmar que a Função
Lucro cresce no intervalo ]0,6[ e decresce no intervalo ]6, +). Observe o
gráfico abaixo.
52
16- APLICAÇÃO DA DERIVADA NA FÍSICA (CINEMÁTICA) Vimos no início dos estudos sobre derivadas que, para calcular a velocidade
instantânea (vt) de um móvel, em um determinado instante t1, devemos
encontrar a derivada primeira da função horária (st) no instante t1 e, para
encontrar a aceleração, utiliza-se a 2ª derivada (derivada sucessiva) da função
horária no instante dado ou a 1ª derivada da função velocidade.
Para entender melhor a explicação acima, vamos resolver o seguinte
problema:
- Um ponto móvel, em movimento, obedece a seguinte função: s(t) = t2 – 4 (t
em horas e s em quilômetros). No instante t = 3 horas, qual a velocidade do
móvel? Qual a aceleração do móvel?
Solução
s(t) = t2 – 4
Calcula-se a 1ª derivada.
s’(t) = 2t
Substitui-se o valor de t na 1ª derivada.
s’(3) = 2.3
s’(3) = 6
Esse resultado significa que, quando o tempo for igual a 3 horas, a velocidade
do móvel chega a 6km/h ( v(3) = s’(3) = 6km/h).
Agora, para calcular a aceleração em t = 3 horas, deve-se calcular a 2ª
derivada de s(t) ou a 1ª derivada de v(t), da seguinte maneira:
s’(t) = 2t
s”(t) = 2
s”(3) = 2
Esse resultado significa que, quando o tempo for igual a 3 horas, a aceleração
do móvel chega a 2km/h2 ( s”(3) = 6km/h).
53
17- MÁXIMOS, MÍNIMOS E PONTO DE INFLEXÃO
- Sejam as funções f(x) e g(x), representadas pelos seus respectivos
gráficos, definidas num conjunto D, onde os pontos a, b, c, d, e pertencem a D.
y y f(x) g(x)
a 0 b c d x 0 e x Verifiquemos que a função f(x) assume valores máximos nos pontos a e c,
pois, nesses pontos, a função passa de crescente [f’(x) > 0] para decrescente
[f’(x) < 0]; já nos pontos b e d, a função f(x) assume valores mínimos, pois a
função, nesses pontos, passa de decrescente para crescente, logo, todos os
extremos de uma função são máximos ou mínimos dessa função.
Agora, preste atenção no ponto e do gráfico de g(x) (acima). Nesse ponto, a
curva não apresenta concavidade nem para cima (mínimo) nem para baixo
(máximo), ou seja, é o ponto onde acontece a mudança de concavidade da
curva. A este ponto denominamos Ponto de Inflexão.
Quando o gráfico é limitado (p h(x) q) ou [p, q] e (s k(x) t) ou [s, t], as
funções h(x) e k(x) apresentam os pontos p e s, como pontos de mínimos
absolutos e q e s como máximos absolutos. Os outros pontos são
denominados máximos/mínimos relativos ou, simplesmente, máximos/mínimos.
Para entender o significado de um ponto de inflexão, observe o seguinte
problema:
- A figura abaixo mostra o total de vendas V, em reais, de um determinado
produto produzido pela indústria “ABA” contra a quantia de dinheiro q que a
indústria gasta anunciando seu produto. Observe que o gráfico muda de
concavidade no ponto P. Este ponto é denominado de Ponto de Inflexão.
54
Note que no início as vendas ocorrem lentamente, porém, à medida que
aumenta o investimento financeiro da indústria em propaganda, as vendas
passam a crescer rapidamente. Porém, chega-se a um ponto P em que o gasto
adicional em propaganda gera nas vendas, uma taxa de crescimento menor.
Este ponto é denominado Ponto de Inflexão.
- Cálculo dos pontos de máximo, mínimo e de inflexão
Para encontrar os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, vamos adotar
os seguintes passos:
1º) Determina-se a 1a derivada [f’(x)].
2º) Calculam-se as raízes da 1a derivada [f’(x) = 0].
3º) Determina-se a 2a derivada [f”(x)].
4º) Substituam-se as raízes de f’(x) em f”(x), se o resultado for positivo [f”(x1) >
0], a função apresenta um mínimo para x = x1; se o resultado for negativo [f”(x1)
< 0], a função apresenta um máximo para x = x1; e, se o resultado for nulo [f”(x)
= 0], a função apresenta um ponto de inflexão para x = x1, caso a 3a derivada
seja diferente de zero em x = x1 [f’’’(x1) 0]. Porém, se a 3a derivada for igual a
zero, o processo se repete, ou seja, determina-se a 4ª derivada e substituam-
se as raízes da 1ª derivada na 4ª, se o resultado for positivo, a função
apresenta um mínimo para x = x1; se o resultado for negativo, a função
apresenta ponto de máximo para x = x1; e, se o resultado for nulo, a função
apresenta um ponto de inflexão para x = x1, caso a 5ª derivada no ponto x = x1
assumir valor diferente de zero, assim por diante.
55
Em resumo, temos:
0)('''inf0)("
0)("
0)("
111
11
11
xfselexãodepontoéxxf
máximoéxxf
mínimoéxxf
Após essa explicação em relação ao cálculo de máximo, mínimo e ponto de
inflexão, vamos verificar se existem esses pontos em cada função abaixo:
a) 161543
2
3
xxx
y b) 128)(2
xxxf c) 35 xy
d) 43 xy e) y = Lnx
Solução
a) 161543
2
3
xxx
y
1º) Determina-se a 1a derivada.
158'2
xxy
2º) Calculam-se as raízes da 1a derivada.
y’ = 0
3"
5'0158
2
x
xxx
3º) Determina-se a 2a derivada.
y” = 2x – 8
4º) Substituam-se as raízes de f’(x) em f”(x).
y”(5) = 2.5 – 8
y”(5) = 2
Sendo a 2ª derivada no ponto x = 5 positiva, podemos afirmar que x = 5
representa um mínimo.
y”(3) = 2.3 – 8
y”(3) = -2
56
Sendo a 2ª derivada no ponto x = 3 negativa, podemos afirmar que x = 5
representa um máximo.
Para que exista ponto de inflexão devemos descobrir o número que anula a
2ª derivada igualando-a a zero.
y” = 0
2x – 8 = 0
x = 4
Como, o número 4 anula a 2ª derivada, ele será ponto de inflexão caso a 3ª
derivada seja diferente de zero.
y” = 2x – 8
y’’’ = 2
Sendo y’’’ diferente se zero, podemos afirmar que x = 4 representa um
ponto de inflexão.
Observe graficamente os pontos encontrados.
b) 128)(2
xxxf
1º) f’(x) = 2x - 8
2º) f’(x) = 0
2x – 8 = 0
x = 4
3º) f’(x) = 2x - 8
f”(x) = 2
Como, a 2ª derivada já deu um resultado positivo, não há necessidade do uso
do 4º passo, então, podemos afirmar que x = 4 é um mínimo. Observe o
gráfico.
57
c) 35 xy
1ª) y’ = 15x2
2ª) y’ = 0
15x2 = 0
x = 0
3ª) y’ = 15x2
y” = 30x
4ª) y”(0) = 30.0
y”(0) = 0
Pode ser ponto de inflexão. Para acontecer esse fato, a 3ª derivada tem que
ser diferente de zero, logo:
y” = 30x
y’’’ = 30
Note que a 3ª derivada deu diferente de zero, então, para x = 0, temos um
ponto de inflexão. Observe o gráfico.
d) 43 xy
1º) y’ = 12x3
2º) y” = 36x2
3º) y” = 0
36x2 = 0 → x = 0
4º) y” = 36x2
y’’’ = 72x
Substituindo x = 0, temos:
58
y’’’(0) = 72.0
y’’’(0) = 0
Por em quanto não é ponto de inflexão.
Vamos calcular a 4ª derivada.
y’’’ = 72x
y(4) = 72
Como, a 4ª derivada deu um número positivo, podemos afirmar que para x
= 0 temos um mínimo. Observe o gráfico.
e) y = Lnx
1º) y’ = 1/x
2º) y’ = 0
01
x
Note que não existe valor de x que anule a 1ª derivada, logo, a função y =
Lnx não apresenta máximo, mínimo e ponto de inflexão. Observe o gráfico.
Exemplo
Verifique se existe máximo, mínimo e ponto de inflexão em cada função:
1) y = 2x2 2) f(x) = 2 – x2 3) y = 3x2 -5
4) f(x) = 1/x 5) y = 31223
2
3
xxx
6) y = x3 – 9x + 27x – 9
7) x – y = x2 + 3 8) y = x3 – 6x2 + 9x – 3 9) f(x) = (x – 1)2.(x + 1)
59
10) f(x) = -x2 + 4x – 4 11) y = -senx 12) y = x3 -3x2 + 3x – 5
13) y=x4– 2x3 + 5x2 + 18 14) f(x) = (x – 1)3.(x – 2)2 15) y = x/Lnx
16) y = senx + cosx 17) y = 2
1
x
x 18) y =
x
xLn )3(
19) y = e5x 20) y = xxe
42 21) f(x) = Ln2x
22) y = Ln3(3x) 23) f(x) = x 24) y = sen2x
25) y = x
x3 26) y =
x
x 42
27) y = 82
3
3
4
4
234
xxx
28) y = sec.(1 – senx) 29) y = xcos (0x/2) 30) (x) = x - x
31) y = 3
26
x 32) y = 2
3
53
5
xx 33) 382
5
3
5
xxx
y
18- APLICAÇÕES SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS
01) Determine as dimensões de um retângulo que tem o menor perímetro e
que apresenta 81cm2 de área.
Área Perímetro
A = a.b P = 2a + 2b
b
a
01- A função Ct = q2 + 2q + 50 representa o custo total de uma indústria
associado à produção de um certo tipo de telefone sem-fio (Ct = R$ e q =
unidades produzidas).
a) Determine o custo marginal.
b) Encontre o custo médio.
c) Determinar o valor de q responsável pelo menor custo médio.
d) Verificar se a resposta do item c torna o custo médio igual ao custo
marginal (1a derivada).
60
02- As funções pqeqq
Ct 360150330
2
representam,
respectivamente, função custo associada a produção de um determinado
produto e função demanda num sistema de monopólio. Determine a
produção que maximiza a receita líquida.
03- Um conjunto residencial é composto por 100 casas populares. Sendo L(q)
= -10q2 + 1760q – 50.000 a função que representa o lucro mensal, em reais,
obtido pelo aluguel de q apartamentos.
a) Admitindo que 60 casas estavam alugadas, determine o lucro real da 61-
ésima unidade.
b) Calcule o lucro marginal quando q = 60.
c) Determine o lucro médio para q = 30.
d) Calculo o lucro médio marginal para q = 30.
e) Encontre a quantidade q que maximiza o lucro.
04- A gerência da companhia “A” planeja lançar no mercado um determinado
aparelho de som. A divisão de marketing determinou que a demanda destes
aparelhos é de p = 20000 – 25q (0 < q 800).
a) Encontre a função receita.
b) Determine/interprete a receita marginal para q = 300, 400 e 500.
a) Encontre a quantidade que maximiza a receita.
05- Um índice de preços ao consumidor (IPC) é descrito pela função I(t) = -0,2t3
+ 3t2 + 100 (0 t 9) onde t = 0 corresponde ao ano de 1991. Encontre o
ponto de inflexão da função I e discuta o seu significado.
Nota: A 2ª derivada de I mede a taxa de variação da taxa de inflação.
06- Uma indústria consegue pela produção/venda de um determinado aparelho
de som um lucro dado pela função L(q) = -0,002q2 + 300q – 200.000 (0 q
20.000).
a) Quantas unidades desse aparelho a indústria deve produzir para
maximizar seus lucros?
61
b) Explique o resultado.
c) Construa o gráfico.
07- A função )0(50004008,00001,023
qqqqCt , representa o custo
total, em reais, da indústria “ABA” na fabricação de uma quantidade q de
calculadoras. Encontre o nível de produção/dia para que a indústria alcance
um custo médio mínimo.
08- A altitude (em metros) de um foguete após t segundos de vôo é dada por
s(t) = -t3 + 96t2 + 195t + 5 (t 0).
a) Determine a altitude máxima alcançada pelo foguete.
a) Determine a velocidade máxima alcançada pelo foguete.
09- A resposta da procura de um produto ao nível de preço foi anotada,
resultando a tabela:
p 10 11 12 13
q 100 80 70 65
a) Ajustar q = f(p) por uma equação do tipo y = Ax + B e determine a receita
máxima.
b) Ajustar q = f(p) por uma equação do tipo y = AxeB
. e determine a receita
máxima.
10- Uma empresa produz um bem com custo total descrito pela equação: Ct =
q2 + 20q +64.
a) Determine a equação do custo médio e do custo marginal.
b) Calcule o custo médio e o marginal quando a produção alcançar 20
unidades desse bem.
a) Calcule o ponto de mínimo do custo médio.
b) Verificar que no ponto de mínimo do custo médio, o custo médio iguala o
custo marginal.
11- A função demanda de um produto é q = p
e04,0
100. Determine:
a) Rt em função da quantidade.
62
a) Rt máximo.
12- Num modelo de monopólio a curto prazo a função custo total apresenta
custo fixo, porém, a longo prazo o custo fixo é nulo, isto é Ct = Cv. Em
função disso, em cada um dos casos seguintes, Ct representa o custo total
de produção de um monopolista e P o preço do seu produto.
12.1-
qP
qqqCt
100
251702123
12.2)
2
180
1001502023
qP
qqqCt
12.3)
5
500
31675,3023
qP
qqqCt
12.4)
3
200
5344023
qP
qqqCt
Determine:
a) A quantidade a ser produzida que maximiza o lucro total do monopolista.
b) O preço de venda.
c) O valor da receita.
d) O valor do custo total.
e) O valor do Lucro.
13- O lucro total, em reais, de uma indústria pela fabricação/venda de q
quantidades de certo produto é dado por L(q) = -0,02q2 + 300q – 200.000 (0
q 20.000). Quantas unidades desse produto a indústria deve produzir
para maximizar seu lucro? Esboce o gráfico.
14- A curva de custo total de um artigo é C(q) = 15q – 8q2 + 2q3, onde C(q)
representa o custo total, em reais, e q representa a quantidade. Determine:
a) A quantidade em que o custo médio é mínimo.
b) A quantidade em que o custo médio é mínimo, supondo que as
condições de mercado indiquem que devem ser produzidas entre 3 e 10
unidades (3 q 10).
c) O custo marginal quando a quantidade alcançar 8 unidades.
63
19- RENDA, CONSUMO E POUPANÇA NACIONAIS
Denomina-se Função Consumo a relação entre a renda nacional total
disponível e o consumo nacional total. Teoricamente, numa função consumo,
admite-se que à medida que a renda aumenta/diminui, o consumo
aumenta/diminui, com menos intensidade que a renda.
- Função Consumo: c = f(r), onde c é o consumo nacional total e r a renda
nacional total. Pode-se considerar a renda como uma função do consumo: r =
f(c).
- Propensão marginal a consumir/taxa de variação no consumo quando a renda
disponível varia: )´( rfdr
dc .
1- A renda nacional total (r) equivale à soma do consumo (c) mais poupança
(s): r = c + s
- Poupança nacional: s = r – c
- Propensão marginal a poupar: dr
dc
dr
ds 1 .
- Multiplicador (k): É a razão entre o último acréscimo na renda e o acréscimo
no investimento que o originou e está relacionado à propensão marginal a
consumir.
dr
ds
dr
dck
1
1
1
Obs.: 1) Se 10 kdr
dc, isto é, se nenhuma renda nacional é gasta, o
acréscimo total na renda é igual ao dispêndio inicial; se kdr
dc,1 ; isto é,
se toda a renda adicional é gasta, o acréscimo total na renda torna-se
infinitamente grande.
Exemplos:
01- A função rrc 5,08,010 representa o consumo total e r a renda total
disponível. Determine:
a) A quantia poupada.
64
b) A propensão marginal a consumir.
c) A propensão marginal a poupar.
d) Construa os gráficos das funções consumo e poupança no mesmo plano
cartesiano.
e) Construa os gráficos das funções propensão marginal a consumir e a poupar
no mesmo plano cartesiano.
02- A função consumo da economia americana de 1929 a 1941 é igual a
05,95712,0)( rrc onde c(r) é a dotação pessoal para o consumo e r a renda
pessoal, ambas medidas em bilhões de dólares. Responda as perguntas do
item anterior.
20- REGRA DE L’HÔPITAL-BERNOULLI
Quando um limite do tipo
tx
xg
xfLim
)(
)(
apresenta-se na forma
indeterminada
ou
0
0, devemos aplicar a derivada tanto no numerador
)(' xf , como no denominador )(' xg independentemente um do outro para
levantarmos essa indeterminação, se persistir a indeterminação
ou
0
0 ,
devemos calcular a 2ª derivada do numerador e do denominador, assim por
diante caso persista a indeterminação citada. A essa regra denominamos
Regra de L’Hôpital-Bernoulli.
Agora, estando de posse dessa regra, vamos resolver os seguintes limites:
a)
2
164
632
2
23
x
x
xxxLim
b)
0
3
13
x
x
eLim
x
tx
xg
xfLim
)(
)(
tx
xg
xfLim
)('
)('
tx
xg
xfLim
...
)("
)("
tx
xg
xfLim
n
n
)(
)(
65
c)
4
2
4/
x
x
xLnLim
d)
x
xLim
x
2
34
Solução
a)
2
164
632
2
23
x
x
xxxLim
= 0
0
162.4
62.32.22
2
23
(indeterminação)
Aplicando L’Hôpital-Bernoulli, temos:
2
164
632
2
23
x
x
xxxLim
=
2
16
7
2.8
32.42.3
8
34322
x
x
xxLim
b)
0
3
13
x
x
eLim
x
=0
0
0.3
1
2
0.3
e
(indeterminação)
Aplicando L’Hôpital-Bernoulli, temos:
0
3
13
x
x
eLim
x
=
0
13
.3 00.3
3
x
eee
Lim
x
c)
4
2
4/
x
x
xLnLim
=
0
0
22
1
42
4/4
LnLn (indeterminação)
Aplicando L’Hôpital-Bernoulli, temos:
4
2
4/
x
x
xLnLim
=
4
2
1
4
41
x
x
xLim
=
4
2
1
1
x
x
xLim
=
4
14
422
x
x
xLim
d)
x
xLim
x
2
34
=
)(2
3)(4
(indeterminação)
66
Aplicando L’Hôpital-Bernoulli, temos:
x
xLim
x
2
34
=
x
LnLim
x
22
3.4
2
3.3.4)(44
É relevante notar que, durante nossos estudos sobre Limites, defrontamos
com tipos de limites que se apresentam nas formas indeterminadas 0x, - ,
1, 00 ou 0. Para resolver os mesmos pela regra de L’Hôpital-Bernoulli,
devemos utilizar alguns métodos para que essas formas indeterminadas
transformem-se em indeterminação do tipo
ou
0
0.
1- Forma indeterminada 0x.
Dados os limites
tx
exfLim
0)(
tx
xgLim
)(. Calculemos
tx
xgxfLim
)().(.
Solução
tx
xgxfLim
)().(=
tx
xfLim
).(
tx
açãoerinxxgLim
mindet0)(
Para resolvermos esse limite, devemos tranformá-lo em
tx
ou
xg
xfLim
)(
1
)(
tx
xf
xgLim
)(
1
)(
da seguinte maneira:
tx
xgxfLim
)().( =
tx
ou
xg
xfLim
)(
1
)(
= 0
0
)(
1
)(
tx
xgLim
tx
xfLim
ou
67
tx
xgxfLim
)().( =
tx
xf
xgLim
)(
1
)(
=
tx
xfLim
tx
xgLim
)(
1
)(
Observamos que, feita a transformação, podemos aplicar a regra de
L’Hôpital-Bernoulli.
Agora, de posse desse método, resolva
0
.3
x
LnxeeLimxx
.
Solução
0
)mindet(0.3
x
açãoerinxLnxeeLimxx
0
.3
x
LnxeeLimxx
0
1
3
x
Lnx
eeLim
xx
0
0
1
11
0
1
00
Ln
ee
Aplicando L’Hôpital-Bernoulli, temos:
0
.3
x
LnxeeLimxx
0
1
3
x
Lnx
eeLim
xx
(derivando)
68
0
1
3
x
Lnx
eeLim
xx
0
.
1
.3
2
3
x
xLnx
eeLim
xx
0
...323
x
xLnxeeLimxx
0
)..3(3
x
eeLimxx
0
.2
x
xLnxLim ..3
00.3ee
0
.2
x
xLnxLim
0
1.2
2
x
x
xLnLim
0
1
1.2
.2
2
x
x
Lnxx
Lim
0
1
1
.4
2
x
x
xLim
0
00.4.4
x
xLim
2- Forma indeterminada - .
Dados os limites
tx
exfLim
)(
tx
xgLim
)(. Calculemos
tx
xgxfLim
)().(.
Solução
tx
xgxfLim
)()(
tx
xfLim
)(
tx
açãoerinxgLim
mindet)(
Para resolver esse limite, devemos primeiramente, caso haja necessidade,
substituir f(x) por )(
1
1xf
e g(x) por )(
1
1xg
em seguida, resuzir ao mesmo
denominador.
tx
xgxfLim
)()(
0
)(
1
)(
1
11
x
xgxfLim
0
)().(
)()(
11
11
x
xgxf
xfxgLim
00
)().(
00
)()(
11
11
xx
xfLimxgLim
xx
xfLimxgLim
=0
0
Notemos que, sendo ,)(
1)(
1xf
xf então:
69
0
)(
x
xfLim
0
)(
1
1
x
xfLim
0
)(1
x
xfLim
0
)(
1
x
xfLim0
1
O mesmo ocorre com )(
1)(
1xg
xg .
Aplicando esse método, vamos resolver o limite
0
1
11
23
x
exLim
x através da
regra de L’Hôpital-Bernoulli. Solução
0
1
11
23
x
exLim
x )mindet(0
1
0
1açãoerin
Reduzindo ao mesmo denominador e, em seguida, resolvendo o limite, temos:
0
1
11
23
x
exLim
x
0
mindet0
0
1.
1
23
32
x
açãoerinex
xeLim
x
x
Aplicando a regra de L’Hôpital-Bernoulli, temos:
0
1.
1
23
32
x
ex
xeLim
x
x
0
0
2
132
3.2
2223
22
x
exex
xeLim
xx
x
3- Formas indeterminadas 1, 00, 0
A essas formas indeterminadas, que provém de uma função do tipo y = f(x)g(x),
devemos aplicar o logaritmo para podermos transformar em alguma forma
indeterminada vista anteriormente.
Para fixarmos melhor esse procedimento, vamos resolver o limite
1
.
1
x
xLimLnx
1
)mindet(11 1
11
x
açãoerinxLim LnLnx
Aplicando logaritmo. Temos:
70
y =
1
1
x
xLimLnx
Lny = Ln
1
1
x
xLimLnx
tx
LnxLimtx
xfLimLnprop
)(:.
Lny
1
ln
1
x
LnxLim x
1
.1
x
LnxLnx
Lim
1
11
x
Lim (propriedade: Lnan = n.Lna)
É relevante lembrar que Ln y = Logey. Portanto:
Logey = 1 y = e1= e
Se y =
1
1
x
xLimLnx
, então,
1
1
x
xLimLnx
= e
SÍNTESE
Neste tópico, você aprendeu a definir derivada; estudou a interpretação
geométrica da derivada; calculou derivadas de funções algébricas; aplicou a
Regra de L’Hopital-Bernoulli em limites indeterminados e, por último, instruiu-se
na maneira de calcular pontos de máximos, de mínimos e ponto de inflexão.
Esse aprendizado que você absorveu sobre derivadas, tem como objetivo
mostrar os caminhos para a resolução de problemas práticos que vinculados a
várias áreas, como Economia (cálculo de Função Custo Marginal, Função
Receita Marginal etc.), à Física, ao crescimento e decrescimento de uma
função etc. Portanto, você está preparado para iniciar os estudos de Cálculo
Diferencial e Integral.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Moscou: Mir, 1978. GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, 1954. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, 2008. IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v. LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.
71
