Derivada en Los Procesos Quimicos

7/21/2019 Derivada en Los Procesos Quimicos

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REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPU LAR PARA LA EDUCACIN UNIVERSITARIA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA DE CABIMAS

REALIZADO POR:

Barboza, Alfredo C.I. 17.189.482Jaller, ngel C.I. 25.173.429

Lugo, Mayolis C.I. 13.361.526Seccin 03

Pnf. Procesos QumicosMatemtica

PROF. Ing. Jos Pozo

Cabimas, Marzo de 2015


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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN LOS PROCESOS QUMICOS

En cintica qumica se aplican las derivadas para expresar la variacin en laconcentracin de alguna sustancia en funcin del tiempo (velocidad de reaccin).En fisicoqumica, variaciones de funciones como capacidad calorfica con la temperatura,

entre otros. En procesos unitarios hay muchas aplicaciones de derivadas como en elintercambio de calor, de masa y de cantidad de movimiento, y ms complicado, sepueden aplicar en coordenadas rectangulares (x, y, z) o en coordenadas cilndricas yhasta esfricas

EJERCICIOS

1. La ley de boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante p.v=kdonde p es la presin, v el volumen y k una constante. Si la presin est dada por laexpresin: p(t) = 30 + 2t con p en cm de hg , t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm3,determina la razn de cambio del volumen v con respecto al tiempo t a los 10 segundos.


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El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante k.En efecto, para t=0 deber ser v= 60.


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Haciendo la sustitucin de valores en (2) encontramos la solucin que y conocamos

2. Un globo esfrico se llena con gas con un gasto constante q = 100 litros /minuto.Suponiendo que la presin del gas es constante, halla la velocidad con que estaumentando el radio r del globo en el instante en que r=0.3 m.

Siendo el globo esfrico de radio r su volumen v ser:

(1)

Ambos , v y r son funciones del tiempo durante el inflado del globo.Como se te pide la velocidad con que vara el radio cuando su valor es de 0.3 m, Debershallar el valor de la derivada de r respecto del tiempo para el valor de r Indicado.Comencemos entonces derivando la expresin (1). Tendremos:


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El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye elclculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente.Los conceptos son difciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ellocontribuy la aparicin de una buena notacin, que es la que usaremos. Las aplicaciones

prcticas de esta teora no dejan de aparecer.1. Tasa de variacin media

Incremento de una funcin

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h,pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valorh se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a+h) y f(a) el incremento de la funcin.

Tasa de variacin media

Llamamos tasa de variacin media (o tasa mediade cambio) T.V.M., de la funcin y =f(x) en el intervalo

[a, b] al cociente entre los incrementos de lafuncin y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

Ejemplo 1. Halla la tasa de variacin media de la funcinf(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]Solucin

T.V.M. [0, 2] =

Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variacin media de la funcin f(x) =ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.

2. Tasa de variacin instantnea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).


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La tasa de variacin media en el intervalo [a, a +h] sera .

Nos interesa medir la tasa instantnea, es decir el cambio cuando la h tiende acero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la funcin f en el punto a y se designa

por , por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmite de la tasa devariacin media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Observacin 1 . Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , tambin puede

expresarse as:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la funcin f(x) = -x2 +4x el punto de abscisa x =1.

Observacin 2. Tambin se puede hablar de derivadas laterales , f + y f -(obligatorio que f sea continua) segn se considere el lmite para h>0 o h


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Aplicacin fsica de la derivada

Consideremos la funcin espacio E= E(t).La tasa de variacin media de la funcin espacio en el intervalo [t0, t] es: vM(t)=

, que es lo que en Fsica llaman la velocidad media en ese intervalo detiempo, si calculamos el lmite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantnea,entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantnea.

Ejercicio 3. La ecuacin de un movimiento es , , calcula lavelocidad en el instante t =5.

Solucinv(t)=E(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendr : v(5)= 2.5 -6 =4

3. Interpretacin geomtrica de la derivada

La tasa de variacin media de una funcin f en [a, a +h] es la pendiente de la rectasecante a la grfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa aser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la funcin en el puntoa es la pendiente de la recta tangente en elpunto (a,.f(a))

La ecuacin de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

y - f(a) = f (a)(x-a) .

Ecuacin punto pendiente de la recta tangente a la grfica de f, pasa por el punto(a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la grficade y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por elpunto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, quetiene por ecuacin y 3 = 2(x-1)


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Ejercicio 4. Hallar la ecuacin de la recta tangente aa la grfica de f(x) = x2-x +5en el punto de abscisa x=0

Ejercicio 5. Qu valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x 1 sean paralelas en x = 1.

Indicacin. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

Funcin derivada. Reglas de derivacin. Clculo de derivadas

La funcin derivada

La funcin que a cada que a cada x le hace corresponder f(x) se llama la funcinderivada de f y se denota por f .

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x) =k f(x) =02) f(x) = xn f(x) = nxn-1

3) f(x) = f(x) =

4) f(x) = ln x f(x) =5) f(x) = ex = ex

6) f(x) = sen x f(x) = cos x7) f(x) = cos x f(x) = -sen x

Reglas de derivacinSi f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se

verifica:-(f +g)= f(a) + g(a)-(f.g)(a) = f(a).g(a) + g(a).f(a)

Adems si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-


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Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f g es derivable en a y severifica:

(f g)(a) = f(g(a)).g(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la funcin compuesta o derivadade la funcin de funcin)

Derivacin logartmica

Como aplicacin de la regla de la cadena se tiene, si y , y deaqu se llega al mtodo de la derivacin logartmica.

Mtodo:

Sea1 Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2 Se deriva

3 Se despeja y

[ ] [ ]

que puede escribirse :

Observacin. La frmula por ser muy compleja[1]

no suele aplicarse es preferibleaplicar el mtodo en cada ejercicio.

Derivada de la funcin inversa

Es otra aplicacin de la regla de la cadena.Como f f -1= I, se tiene (f f 1)(x)= f (f 1(x))(f 1)(x)=1, luego despejando (f 1)(x)= 1/f (f 1)(x),
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Ejemplo 5. Consideremos la funcin y =arc tg x x = tg y, y derivando x = 1+tg2y, de donde:

Ejercicio 9. Calcula la derivada de

Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)

Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ; b) ;

c) y = ; d) h(x) =cos3(x2-2);e) y =e arc tg x; f) j(x) =arc sen(x + 3x2)

g) y = ; h) k(x) =(x2+1)cos x;

j) y = ln ; k) y = ;

5 .Crecimiento y decrecimiento de una funcinProposicin. Si una funcin f es derivable en un puntoa, y f(a)> 0 entonces f es crecienteen el punto a.

Figura 1


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La demostracin de este resultado puede hacerse usando la definicin de derivada y econcepto de lmite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geomtricode la derivada (ver figura 1).Si f es derivable en un intervalo I y f >0 en ese intervalo entonces f crece en I.

El recproco no se cumple en general.Ejemplo 5. La funcin y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f (0) =0. Anlogamente si f es derivable en un punto a y f (a)


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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexin

Una funcin es convexa [3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que ladiferencia entre la ordenada de la funcin y la ordenada de la tangente a la grfica de fen el punto (a, f(a)) es positiva en dicho intervalo.

Figura 3

Anlogamente se dice que es cncava cuando dicha diferencia es negativa.Se dice que f tiene un punto de inflexin en a si existe un entorno de a en que ladiferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierdaque a la derecha.

Por lo tanto f tiene un punto de inflexinen a si en dicho punto la tangenteatraviesa a la grfica.

Ejemplo 7. En la grfica aparece lafuncin y = x3 y la tangente en el punto x=0. Se aprecia que en dicho punto lagrfica posee una inflexin.

Figura 4
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