derivada con respecto de x de y () dy () dx dt … · 2017-12-03 · Cálculo Diferencial e Integral, Áreas III y IV Prof. Jesús Calixto S. 33 LA DERIVADA DERIVACIÓN CON FÓRMULAS1

Cálculo Diferencial e Integral, Áreas III y IV Prof. Jesús Calixto S.

33

LA DERIVADA

DERIVACIÓN CON FÓRMULAS1

Para encontrar la derivada de una función con fórmulas utiliza tu formulario de matemáticas VI, y recuerda que las primeras letras del abecedario como son a, b, c y d representan a constantes es decir números fijos.

Dada una función “f(x)” ó “y”, su derivada la denotaremos por el símbolo si la variable en cuestión es “x” o

si la variable es “t”, además el símbolo antes mencionado no es una fracción donde “d” sea el numerador y

“dx” el denominador, sino todo junto representa la derivada de la función con respecto de la variable

considerada ( “derivada con respecto de x de f de x”, “derivada con respecto de x de y”,

“derivada con respecto de t de f de t) Empecemos con la siguiente función:

Ejemplo 1.- , ésta función está compuesta por tres términos y según la fórmula 3 (F3) al

derivarla se derivará cada término de la función:

Cada uno de los 3 términos se derivan de la siguiente forma:

, entonces tenemos , es decir

3 2 2( ) (4 3 5) 12 6d df x x x x xdx dx

Ejemplo 2.- , ahora derivemos sin explicar paso a paso sino un poco más directo:

(F3)

(3 veces F4)

(3 veces F7 y una vez F1)

1 Encuentra tu formulario en el Anexo 1

ddx

ddt

( )d f xdx

d ydx

( )d f tdt

3 24 3 5f x x x

3 2 3 2( ) (4 3 5) 4 3 5d d d d df x x x x xdx dx dx dx dx

3 3 3 1 2

74

4 4 (4)(3) 12F

F

d dx x x xdx dx

2 2 2 1

74

3 3 (3)(2) 6F

F

d dx x x xdx dx

1

5 0

F

ddx

3 2 24 3 5 12 6 0d d dx x x xdx dx dx

2( ) 12 6d f x x xdx

1

5 3 2 2( ) 3 7 83

f x x x x

15 3 2 2( ) 3 7 8

3d df x x x xdx dx

1

5 3 2 2( ) 3 7 83

d d d d df x x x xdx dx dx dx dx

1

5 3 2 2( ) 3 7 83

d d d d df x x x xdx dx dx dx dx

1 14 2 21( ) (3)(5) (7)(3) (8) 0

2d f x x x xdx

1

4 2 2( ) 15 21 4d f x x x xdx

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34

Ejemplo 3.- , como puedes ver, ésta función es una fracción, encontremos su derivada:

(F8) “u = x; v = x+1”

Las notaciones anteriores las podemos cambiar por f´(x) y y´ respectivamente, y se leen “f

prima de x” y “y prima”.

Ejemplo 4.- , encontremos su derivada .

1xy

x

1

d d xydx dx x

2

1

F

d xdx

2

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( 1)

d dx x x xd dx dxydx x

2 1

3

( 1) 1 1 0 1F F

F

d d dx xdx dx dx

2

( 1)(1) ( )(1)

( 1)

x xd ydx x

2 2

1 1( 1) ( 1)

d x xydx x x

2

1( 1)

d ydx x

( ) ydyd f x

dx dx

4( ) 2 1f x x 'f x

4

4

4

27

(2 1)( ) 2 1

2 2 1F

d xd d dxf x xdx dx x

4

3

4

(2 ) 1

( )2 2 1

F

d dxdx dx

d f xdx x

3

4

(2)(4)'( )

2 2 1

xf x

x

4 4 4 1

714

2 2 (2)(4) ; 1 0F

FF

d d dx x xdx dx dx

3

4

4'( )2 1

xf xxwww.ca

lixto.

com.m

x


35

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Funciones Explícitas: Son aquellas funciones donde la y (y=f(x)), aparece despejada.

Funciones donde está despejada “y”

Funciones Implícitas: Son aquellas en donde la “y” no aparece despejada

Funciones donde NO está despejada “y”

Recordemos que el símbolo que representa la derivada de una función es , y que , ahora para derivar

una función implícita lo que debemos de tener en cuenta es lo siguiente:

Por ejemplo, encontrar la derivada de y si:

(Ojo esto es una multiplicación)

Derivamos en ambos lados de la ecuación, y procediendo como hasta ahora se había hecho para una función explícita:

Hay que aplicar la fórmula de multiplicación

Quitamos paréntesis simplificando

2

2

2

( ) 5 1

4 1

1

1

sen 1

f x x x

y x x

xyx

xf x

x

2 2

2

3 2

22

4

2 3 1

4

13 2

x y

x xy

x x y

yx

ddx

1ddx

22 4x xy y

2(2 ) 4d dx xy ydx dx

22 4d d d dx x y ydx dx dx dx

4 ( ) 0d d dx x y ydx dx dx

4 ( ' ) ' 0x xy y y

4 ' ' 0x xy y y

Pero “y prima o derivada de y”

Recuerda www.calix

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36

Finalmente hay que despejar a , y recuerda si quieres despejar una variable y aparece varias veces, hay que

pasar todos los términos que contienen a dicha variable de un solo lado de la igualdad (puede ser el derecho o izquierdo)

Ahora se factoriza (siempre) a

Ejemplo 2.- Encontrar si

Derivando ambos lados

Producto (al derivar se generan dos términos)

los paréntesis son necesarios ya que –2 afectará a los dos términos

Quitando paréntesis

Para despejar a y’ hay que dejarla de un solo lado de la igualdad (derecho o izquierdo) para posteriormente factorizarla.

'y

4 ' ' 0

' ' 4

x xy y y

xy y x y

'y

'( 1) 4

4'

1

y x x y

x yy

x

'y 6 2 2y xy x

(6 2 ) 2d dy xy xdx dx

6 2 2d d d dy xy xdx dx dx dx

6 ' 2( ' ) 1 0y xy y

6 ' 2 ' 2 1 0y xy y

6 ' 2 ' 2 1

'(6 2 ) 2 1

2 1'

6 2

y xy y

y x y

yy

x

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37

EJERCICIOS Encontrar si:

a) b) c)

d) e) f)

'y3 3 2x y 3xy x 22 3x y x

2 2 9x y 2 32 3 5x y 2x y

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38

DERIVADAS SUCESIVAS Y TRANSCENDENTE

Al tener una función en general, por ejemplo y obtener su derivada, tenemos

, la cual vuelve a ser una función de “x” y por tanto podemos hablar de su derivada.

ó

Ahora, derivando a la derivada.

ó 2( ) 36 30 8f x x x

La derivada de la derivada o mejor dicho la segunda derivada (derivada de segundo orden) vuelve a ser una función de “x”, de la cual por tercera vez podemos encontrar su derivada.

ó

Y así sucesivamente.

Ejemplos.- Encontrar la segunda derivada de las siguientes funciones

a)

4 3 23 5 4 6f x x x x

3 2´ 12 15 8f x x x x

4 3 23 5 4 6f x x x x

3 2( ) 12 15 8d f x x x xdx

3 2( ) 12 15 8f x x x x

2

2

2( ) 36 30 8d d df x x x

dx dx dx

2 3

2 3( ) 72 30d d df x x

dx dx dx ( ) 72 30f x x

1xy

x

1

d d xydx dx x

2

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( 1)

d dx x x xdx dxy

x

2

( 1)(1) ( )(1)

( 1)

x xy

x

Notemos que la notación para las derivadas sucesivas o de orden mayor queda para :

Primer derivada:

“y prima” ó “f prima de x”

Segunda derivada:

“y biprima” ó “f biprima de x”

Tercer derivada:

“y triprima” ó “f triprima de x”

y así sucesivamente.

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39

Ahora, encontremos la segunda derivada.

Finalmente.

EJERCICIOS Encontrar

a) b)

c) d)

2 2

1 1( 1) ( 1)x xy

x x

2

1( 1)

yx

2 2

2 2

( 1) (1) (1) ( 1)

(( 1) )

d dx xx dxy

x

2 1

4

( 1) (0) (1)(2)( 1)

( 1)

x xy

x

1

4 3

(1)(2)( 1) 2( 1) ( 1)

xy

x x

3

2( 1)

yx

''y8 67 5 4y x x x

2xy e

2seny x 225

yx

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40

e) f)

g) h)

i) j)

NOTA: Una función se dice que es trascendente si contiene expresiones con logaritmos, exponenciales, trigonométricas e inversas de las trigonométricas

xy e lny x x

tany x 2ln(1 )y x

sen3y xln

1

x

x

eye

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41

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Dada una función , su derivada ésta definida formalmente como el límite de la razón entre el cambio de la

función y el cambio de la variable independiente, es decir: es decir,

geométricamente significa:

: Pendiente de la recta tangente en el punto

Cuando tú encuentras la derivada de una función, lo que obtienes es una expresión que representa la pendiente de cualquier recta tangente a la curva

Si evalúas la derivada de en el punto , el valor encontrado es la pendiente de la recta tangente a la

curva en el punto .

( )f x

0

( ) ( )( )

h

f x h f xd f x límdx h

Tm x a

( )f x

( )f x x a

x a

Recta tangente: recta que corta en un solo punto a una curva.

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42

Ejemplo 1.- Considera la función , cuya gráfica debes ya conocer y es la siguiente;

Si trazamos una recta tangente a la función en el punto cuando nos queda:

La recta tangente a la curva de le corresponde una pendiente, la cual se obtiene como ya

se había mencionado con la derivada de evaluada en (2,5)

Derivando

, ahora evalúo a en el punto (2, 5)

Ejemplo 2.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en [En este caso solo se da la abscisa del punto de tangencia] Para encontrar lo que se está pidiendo no es necesario graficar, encontremos la derivada de y.

Evaluando y’ en

Para encontrar la ordenada (la y) del punto de tangencia evalúa en tu función cuando

(1, 4) punto de tangencia

pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

Ejemplo 3.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

derivando

despejando a y’

2( ) 1f x x

1)( 2 xxf 2x

2( ) 1f x x

( )f x [ 2, 5]x y

2( ) 1f x x ( ) 2d f x xdx

'( )f x

4)2(2)5,2(' f

32 4 2y x x 1x

2' 6 4y x

1x

2'( 1) 6( 1) 4

6 1 4 2

y

1x 3( 1) 2( 1) 4 ( 1) 2y x

2 4 2 4

2m32 4 2y x x (1, 4)

2 24 5x y 12,2

2 24 5x y 2 4(2) ' 0x y y

No se utiliza pues la derivada no contiene ninguna y

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43

simplificando

Ahora para la pendiente de la recta tangente en el punto , tenemos

evaluando

Pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

EJERCICIOS Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado

1) si

2) en

3) si

4) 2 2 4x y si

5) si

2 8 ' 0x y y 8 ' 2y y x '4

xyy

12,2

1

[ 2, ]2

x y

'4

xyy

21 2' 2, 1

2 2142

y

1RTm 2 24 5x y 12,

2

2( ) 3 6 4f x x x 2x

( )1

xf xx

11,

2

3 4 3x xy 1x

0x

39( )4

f xx

1x www.calix

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44

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

Como ya sabrás en estos momentos la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a

la curva de dicha función, es decir, si tenemos al derivar se tiene y si

evaluamos cuando :

pendiente de la recta tangente a la curva de en el punto .

Ahora bien, en el caso anterior, 9 representa sólo la pendiente de la recta tangente, pero además de la pendiente de la recta tangente podemos encontrar la ecuación de esta recta, recuerda que para encontrar la

ecuación de una recta se necesitan un punto y su pendiente (fórmula punto-pendiente: , está

en tu formulario).

Consideremos la función y encontré mos la ecuación de la recta tangente cuando {es decir

el punto (-3, ?) }

derivando

evaluando la derivada en el punto (-3, ?)

pendiente de la recta tangente

ya tenemos la pendiente, nos hace falta el punto del cual sólo tenemos su “x” que es –3 , o sea , para

encontrar la “y” correspondiente evaluamos cuando en .

con el punto y , la ecuación es:

[Fórmula ]

(Siempre que tu pendiente sea fracción, el denominador que está dividiendo

pásalo multiplicando a todo el lado izquierdo)

(Se pasan todos los términos del lado donde x quede positiva)

Ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

Por último si queremos encontrar la ecuación de la recta normal (una recta normal es una recta perpendicular a la recta tangente), sólo tienes que considerar la pendiente de la recta tangente y tomar el recíproco con signo contrario de ésta y el mismo punto, o sea:

(esto está en tu formulario)

3( ) 2 3 4f x x x 2'( ) 6 3f x x

1x 2'( 1) 6( 1) 3 9f 3( ) 2 3 4f x x x 1x

1 1( )y y m x x

( )1

xf xx

3x

( )1

xf xx

2 2

( 1) (1) 1'( )( 1) ( 1)

x x x xf xx x

2

1'( )( 1)

f xx

2 2

1 1 1'( 3)

( 3 1) ( 2) 4

f

14Tm

3, ?

3x ( )f x

3 3 3( 3)3 1 2 2

f

33,2

14Tm

3 1 ( ( 3))2 4

y x 1 1( )y y m x x

34( ) 1( 3)2

y x

4 6 3y x

0 3 4 6x y

0 4 9x y 1( )

1f x

x

33,2

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45

Pendiente de la recta normal

La ecuación de la recta normal queda:

Ahora para quitar el 2 de denominador que hay, multiplica a toda la ecuación por 2

y finalmente se pasan todos los términos del lado donde la “x” sea positiva

EJERCICIOS Encontrar la ecuación de la tangente y la normal para las funciones en el punto indicado:

a)

b)

c)

d)

e)

1 4 41 14

Nm

4Nm

34( ( 3))

2y x

34( 3)

2y x

34 12

2y x

2 3 8 24y x

8 2 3 24 0x y

8 2 21 0x y

2( ) 5 3 8f x x x 2x

1( ) xf xx 3x

( ) 1f x x 0x

2 2 4x y ( 1,1)

2 22 4x xy y (0,2)

Ecuación de la recta Normal

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46

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Se dice que una función es creciente en un punto si , es decir la derivada evaluada en el punto

es positiva, y va ser decreciente si es negativa

Ejemplo 1.- Dada una función para saber en qué intervalo es creciente o decreciente se

procede de la siguiente manera: Primero se encuentra la derivada de la función y se iguala a cero

derivando

ó

Igualando el resultado a cero.

Se resuelve la ecuación que resulta 4 8 0

4 8

8 24

x

x

x

En la derivada vale cero. Ahora como queremos saber dónde la derivada es positiva o negativa, representemos en la recta numérica que es donde la derivada vale cero y lo tomaremos como referencia

Tomemos un a valor de x antes de , por ejemplo , entonces

derivada evaluada en

negativa

Como la derivada fue negativa en la función es decreciente en cualquier punto antes de ,

o sea, es decreciente en el intervalo

Ahora tomemos un punto después de, por ejemplo y evaluemos en la derivada

positiva

Como la derivada fue positiva la función es creciente en cualquier punto después de , es decir

es creciente en

x a ' 0f a

x a ' 0f a

22 8 5f x x x

22 8 5f x x x

( ) 4 8d f x xdx

' 4 8f x x

4 8 0x

2x

2x

2x 3x

´ 3 4 3 8f 3x

´ 3 4f

3x 2x

f x ( , 2)

0x

’ 0 4 0 8f

’ 0 0 8 8f

2x

f x ( 2, )

Aquí la derivada vale cero

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47

EJERCICIOS Decir en que intervalo las siguientes funciones son crecientes o decrecientes

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

23 12 4f x x x

25 3 1f x x x

3 22 12 18f x x x x

3 243

6 112f x x x x

24 3 8f x x x

3 29 15f x x x

4 4f x x x www.calix

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48

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN

RTa, RTb, RTc y RTd son las rectas tangentes a la curva f en los puntos a, b, c y d respectivamente. Claramente la pendiente de las rectas antes mencionadas es cero, entonces cuando un función alcanza su mínimo o máximo valor, la derivada en estos puntos es cero.

Para encontrar los mínimos y máximos de una función, primero se deriva y se iguala a cero a la derivada obtenida. Después se resuelve la ecuación resultante para encontrar los puntos críticos (así se les llama pues aún no se sabe si serán mínimos o máximos). Después hay que encontrar la segunda derivada (la derivada de la derivada) y evaluarla en dichos puntos críticos, si resulta positiva entones será ese el valor de “x” donde la función alcanza su mínimo valor. Y si al evaluar en la segunda derivada un punto crítico resulta negativa, entonces en ese valor es donde la función alcanza su máximo valor.

Ejemplo 1: Encontrar el mínimo y el máximo valor de la función

Primero encontremos la derivada de

3

22 4 63xf x x x

f x

Recuerda: La pendiente de toda recta vertical es cero. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto.

Si (positiva) La función alcanza su mínimo valor en x.

Si (negativa) La función alcanza su máximo valor en x.

Sugerencia: www.calix

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49

Ahora hay que resolver la ecuación de segundo grado que resultó

Encontrando la segunda derivada

Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos

Entonces la función alcanza su valor máximo cuando

Entonces la función alcanza su valor mínimo cuando 3x Finalmente encontremos el valor mínimo y máximo de la función

Ejemplo 2: Si encontrar el mínimo y máximo valor de y.

Para resolver la ecuación resultante se factoriza

2'3

f x 3

2

2 2

4 2 6

' 2 8 6 Igualando a cero 2 8 6 0

x x

f x x x x x

2 2FACTORIZANDO FACTORIZANDO2 8 6 0 2 4 3 0 2 1 3 0x x x x x x

1 0 3 0

1 3 puntos críticos

x ó x

x x

2 DERIVANDO' 2 8 6 '' 4 8f x x x f x x

'' 1 4 1 8 4 8 4 4 0 (negativo)f

1x

'' 3 4 3 8 12 8 4 4 0 (positivo)f

3 2

Que es 2

3 2

2 2 2 2 6 8 81 1 4 1 6 1 4 6 2 1, Máximo3 3 3 3 3 3 3

2 23 3 4 3 6 33 3

f

f

3 3 3 36 18 18 18 0 3,0 Mínimo

2 42y x x

2 4 3 3DERIVANDO IGUALANDOA CERO2 ' 4 4 4 4 0y x x y x x x x

Para que un producto de cómo resultado cero, uno de los factores (cualquiera) debe ser cero

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50

Un producto resulta cero cuando alguno de sus factores es cero, entonces

Ahora evaluamos en la segunda derivada los puntos que encontramos

finalmente encontremos los valores mínimos y máximos.

EJERCICIOS Encontrar los valores mínimos y máximos para las siguientes funciones:

a) b)

c) d)

e) f)

3 2FACTOR COMÚN DIFERENCIA4 DE CUADRADOS4 4 0 4 1 0 4 1 1 0xx x x x x x x

4 0 ó 1 0 ó 1 0

0 1 1 Puntos círticos

x x x

x x x

3 2DERIVANDO' 4 4 '' 4 12y x x y x

2

2

2

'' 0 4 12 0 4 como 4 0 (es positivo) en 0 hay un mínimo.

'' 1 4 12 1 4 12 8 como 8 0 (es negativo) en 1 hay un máximo.

'' 1 4 12 1 4 12 8 como 8 0 (es negativo) en 1 hay un máximo.

y x

y x

y x

2 4

2 4

2 4

0 2 0 0 0 (0,0) mínimo

1 2 1 1 2 1 1 1,1 máximo

1 2 1 1 2 1 1 1,1 máximo

y

y

y

3 26 9f x x x x 3 3 4f x x x

24 3 8f x x x 3 23 2f x x x

2

24

xf xx

2 1xf x

xwww.ca

lixto.

com.m

x

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