Derivaci´on de funciones reales - Hasiera - UPV/EHU

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DIFERENCIALEINTEGRAL1,UPV/E

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Cap´ıtulo 6Derivacion de funciones reales

6.1. Definicion y primeras propiedades

Una funcion y = f(x) se dice que es derivable en un punto x0

del dominio cuando existe

lımx!x0

f(x)� f(x0

)

x� x0

.

Cada uno de los lımites laterales de la expresion anterior se llama derivada lateral def en el punto x = x

0

. Cuando las dos derivadas laterales existen (son finitas) y soniguales, la funcion es derivable en x = x

0

y el resultado se llama derivada de la funcionen x = x

0

.

Una forma equivalente de expresar la derivada de una funcion f en el punto x0

es:

lımh!0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h.

La notacion que utilizaremos para expresar la derivada de una funcion es alguna de lassiguientes:

f 0(x) = Df(x) =df(x)

dxo bien y0 = Dy =

dy

dx.

Para las derivadas laterales se usara la notacion analoga f 0(x+) o bien f 0(x�), segunsea el caso.

Al calcular la derivada de una funcion en cualquier punto donde esta exista, se obtienecomo resultado otra funcion, llamada funcion derivada o funcion primera derivada. Siderivamos esta nueva funcion, se obtiene la llamada derivada segunda de la funcionoriginal. Reiterando el proceso n veces, podemos llegar a la llamada derivada de ordenn o derivada n-esima de la funcion original. Ası pues, son validas las mismas formulasy reglas de derivacion con las derivadas sucesivas.

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80 6.1. Definicion y primeras propiedades

La notacion utilizada para indicar derivadas de orden n es:

f (n)(x) = D(n)f(x) =dnf(x)

dxn

o bien y(n) = D(n)y =dny

dxn

.

En algunos casos puede utilizarse un proceso de recurrencia para obtener las derivadasde cualquier orden de una funcion.

De la definicion de funcion derivable se deduce inmediatamente la siguiente propiedad.

Proposicion 6.1.1. Si una funcion es derivable en x0

, entonces es continua en x0

.

Demostracion. Debemos comprobar que lımx!x0

f(x) = f(x0

), lo que equivale a probar

que lımx!x0

(f(x)� f(x0

)) = 0. Ahora bien,

lımx!x0

(f(x)� f(x0

)) = lımx!x0

f(x)� f(x0

)

x� x0

· (x� x0

) = f 0(x0

) · 0 = 0,

como querıamos ver.

Definicion. Se llama recta secante a una curva de ecuacion y = f(x) en los puntosP0

(x0

, f(x0

)) y P1

(x1

, f(x1

)) a la recta que pasa por dichos puntos. La pendiente deesta recta es entonces

f(x1

)� f(x0

)

x1

� x0

.

Si ahora hacemos que el punto P1

se mueva a lo largo de la curva y = f(x) aproximando-se cada vez mas al punto P

0

, la posicion lımite de las rectas secantes se llamara rectatangente a la curva y = f(x) por el punto P

0

. En este caso la pendiente se obtendratambien como un lımite y tendra la forma:

m = lımx1!x0

f(x1

)� f(x0

)

x1

� x0

.

Esta formula corresponde precisamente a la derivada de la funcion y = f(x) en el puntoP0

. De este modo, la recta tangente a una curva en un punto tiene por pendiente laderivada de dicha funcion en el punto.

La ecuacion de la recta tangente sera entonces:

y � f(x0

) = f 0(x0

)(x� x0

).

Se llama recta normal a la curva y = f(x) en el punto P0

(x0

, f(x0

)) a la recta que,pasando por P

0

, es perpendicular a la recta tangente a f en ese punto. Su ecuaciondebe ser, por lo tanto:

y � f(x0

) =�1

f 0(x0

)(x� x

0

).

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Capıtulo 6. Derivacion de funciones reales 81

Reglas de derivacion

a) Si f y g son derivables en x0

, entonces f + g es derivable en x0

y

(f + g)0(x0

) = f 0(x0

) + g0(x0

).

b) Si f y g son derivables en x0

, entonces f · g es derivable en x0

y

(f · g)0(x0

) = f 0(x0

) · g(x0

) + f(x0

) · g0(x0

).

c) Si f y g son derivables en x0

y g(x0

) 6= 0, entonces f/g es derivable en x0

y

(f/g)0(x0

) =f 0(x

0

) · g(x0

)� f(x0

) · g0(x0

)

[g(x0

)]2.

d) (Derivada de la funcion compuesta). Si g es derivable en x0

y f es derivable

en g(x0

), entonces la funcion compuesta f � g es derivable en x0

y

(f � g)0(x0

) = f 0(g(x0

)) · g0(x0

).

Demostracion. Por hipotesis, tenemos que

f 0(g(x0

)) = lımk!0

f(g(x0

) + k)� f(g(x0

))

ky g0(x

0

) = lımh!0

g(x0

+ h)� g(x0

)

h.

Si definimos la funcion

'(h) =

(

f(g(x0+h))�f(g(x0))

g(x0+h)�g(x0)si g(x

0

+ h)� g(x0

) 6= 0

f 0(g(x0

)) si g(x0

+ h)� g(x0

) = 0,

entonces ' es continua en x = 0.

Para comprobarlo, llamamos k = g(x0

+h)�g(x0

). Ası pues, cuando k 6= 0, tenemos

que '(h) =f(g(x

0

) + k)� f(g(x0

))

ky, por tanto,

lımh!0

'(h) = lımk!0

f(g(x0

) + k)� f(g(x0

))

k= f 0(g(x

0

)).

Pero, cuando k = 0, '(h) = f 0(g(x0

)) con lo que, tambien, lımh!0

'(h) = f 0(g(x0

)).

Teniendo en cuenta la continuidad de ', deducimos que

(f � g)0(x0

) = lımh!0

f(g(x0

+ h))� f(g(x0

))

h

= lımh!0

'(h) · lımh!0

g(x0

+ h)� g(x0

)

h= f 0(g(x

0

)) · g0(x0

),

que es el resultado que querıamos probar.

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82 6.1. Definicion y primeras propiedades

e) (Derivada de la funcion inversa). Si f es derivable en x0

e inyectiva en un

entorno de x0

, con f 0(x0

) 6= 0, entonces f�1

es derivable en f(x0

) y

(f�1)0(f(x0

)) =1

f 0(x0

).

Esta propiedad es consecuencia de la anterior, porque, si (f�1 � f)(x) = x, entonces(f�1)0(f(x

0

)) · f 0(x0

) = 1. Basta despejar (f�1)0(f(x0

)) para llegar al resultado.

Ejemplo. Sea h una funcion tal que h0(x) = sen2(sen(x + 1)) y h(0) = 3. Calcular(h�1)0(3) y (��1)0(3), si �(x) = h(x+ 1). Encontrar una formula para (h�1)00(x).

Como h(0) = 3, entonces h�1(3) = 0. Por tanto, (h�1)0(3) = 1/h0(0) = sen2(sen 1).Por otra parte, como �(x) = h(x+ 1), entonces �(�1) = h(0) = 3 y �0(x) = h0(x+ 1).Por tanto,

(��1)0(3) =1

�0(��1(3))=

1

�0(�1)=

1

h0(0)=

1

sen2(sen 1).

Por ultimo, como (h�1)0(x) = 1/h0(h�1(x)), deducimos que

(h�1)00(x) =�h00(h�1(x)) · (h�1)0(x)

(h0(h�1(x)))2=

�h00(h�1(x))

(h0(h�1(x)))3.

Algunas derivadas de funciones mas comunes mediante las cuales se pueden obtenermuchas mas son (u representa cualquier funcion de x, c y n son constantes arbitrarias):

1.- f(x) = c =) f 0(x) = 0.

2.- f(x) = un =) f 0(x) = nun�1 · u0.

3.- f(x) = sen u =) f 0(x) = cos u · u0.

4.- f(x) = cos u =) f 0(x) = � sen u · u0.

5.- f(x) = tg u =) f 0(x) = sec2 u · u0.

6.- f(x) = sec u =) f 0(x) = secu · tg u · u0.

7.- f(x) = cosec u =) f 0(x) = � cosec u · cotg u · u0.

8.- f(x) = cotg u =) f 0(x) = � cosec2 u · u0.

9.- f(x) = arc sen u =) f 0(x) =u0

p1� u2

.

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10.- f(x) = arc cos u =) f 0(x) = � u0p1� u2

.

11.- f(x) = arc tg u =) f 0(x) =u0

1 + u2

.

12.- f(x) = au =) f 0(x) = au · ln a · u0.

13.- f(x) = loga

u =) f 0(x) =u0

u · ln a.

14.- f(x) = sh u =) f 0(x) = ch u · u0.

15.- f(x) = ch u =) f 0(x) = sh u · u0.

16.- f(x) = th u =) f 0(x) = sech2 u · u0.

17.- f(x) = sech u =) f 0(x) = � sech u · th u · u0.

18.- f(x) = csch u =) f 0(x) = � csch u · coth u · u0.

19.- f(x) = coth u =) f 0(x) = � csch2 u · u0.

20.- f(x) = argsh u =) f 0(x) =u0

pu2 + 1

.

21.- f(x) = argch u =) f 0(x) =u0

pu2 � 1

.

22.- f(x) = argth u =) f 0(x) =u0

1� u2

.

6.2. Propiedades de las funciones derivables

Definicion. Sea f una funcion definida en un entorno del punto x0

.

a) Decimos que f tiene unmaximo local en x0

cuando existe � > 0 tal que f(x) f(x0

)para todo x 2 (x

0

� �, x0

+ �).

b) Decimos que f tiene un mınimo local en x0

cuando existe � > 0 tal que f(x) � f(x0

)para todo x 2 (x

0

� �, x0

+ �).

Ejemplos.

1) Es facil comprobar que la funcion f(x) =

(

e�1/x

2si x 6= 0

0 si x = 0tiene un mınimo en

x = 0 porque 0 = f(0) < f(x), para cualquier x 6= 0. De hecho, f tiene un maximoabsoluto en el origen.

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84 6.2. Propiedades de las funciones derivables

2) Del mismo modo, es claro que la funcion g(x) =

(

xe�1/x

2si x 6= 0

0 si x = 0no tiene

maximo ni mınimo en x = 0 porque, si x > 0, entonces f(x) > 0 pero, si x < 0,entonces f(x) < 0.

Definicion. Decimos que x0

2 D(f) es un punto crıtico o singular (de primera especie)

cuando f 0(x0

) = 0 o bien no existe f 0(x0

). En particular, si f 0(x0

) = 0, decimos quex0

es un punto estacionario de f . Por el contrario, decimos que x0

es un punto regular

cuando no es singular.

Proposicion 6.2.1. Sea f una funcion derivable en un punto x0

, donde alcanza suvalor maximo (o mınimo) en un intervalo (a, b). Entonces f 0(x

0

) = 0.

Demostracion. Supongamos que f alcanza su maximo en el punto x0

(si fuera elmınimo, el argumento serıa analogo). Si elegimos h para que x

0

+ h 2 (a, b), comof(x

0

) � f(x0

+ h), entonces

f(x0

+ h)� f(x0

)

h 0 si h > 0 =) f 0(x+

0

) = lımh!0

+

f(x0

+ h)� f(x0

)

h 0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h� 0 si h < 0 =) f 0(x�

0

) = lımh!0

�

f(x0

+ h)� f(x0

)

h� 0.

Como f es derivable en x0

, f 0(x+

0

) = f 0(x�0

), de donde f 0(x0

) = 0.

Corolario 6.2.2. Si f tiene un maximo o mınimo local en un punto x0

, entonces x0

es un punto singular de f .

Observacion. El recıproco no es cierto. Por ejemplo, la funcion f(x) = x3 tiene unpunto singular en x = 0 pero no es maximo ni mınimo.

Proposicion 6.2.3 (teorema de Rolle). Si f es una funcion continua en [a, b], derivableen (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe un numero c 2 (a, b) tal que f 0(c) = 0.

Demostracion. Si f es constante, esta claro que f 0(x) = 0 para todo x 2 (a, b).

Si f no es constante, existe x 2 (a, b) tal que f(x) 6= f(a). Supongamos que f(x) > f(a)(un razonamiento analogo vale para el caso f(x) < f(a)). Por el teorema de Weierstrass,f alcanza el valor maximo, es decir existe c 2 (a, b) tal que f(c) � f(x), para todox 2 [a, b]. Por la proposicion 6.2.1, f 0(c) = 0.

Ejemplo. Probar que la ecuacion 2x3 � 3x2 � 12x� 6 = 0 solo tiene una solucion en

el intervalo (�1, 0).

Definimos la funcion f(x) = 2x3 � 3x2 � 12x � 6, que es continua y derivable en Ry verifica f(�1) = 1 > 0, f(0) = �6 < 0. Por el teorema de Bolzano, sabemos que

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existe c 2 (�1, 0) tal que f(c) = 0. Si tuviera dos soluciones c1

, c2

, podrıamos aplicarel teorema de Rolle en el intervalo [c

1

, c2

]. Sin embargo, f 0(x) = 6x2 � 6x� 12 no tienesoluciones en el intervalo (�1, 0), lo que contradice la suposicion de que f(x) = 0 tienedos soluciones en (�1, 0).

Proposicion 6.2.4 (teorema del valor medio de Lagrange). Si f es una funcioncontinua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un numero c 2 (a, b) tal que

f 0(c) =f(b)� f(a)

b� a.

Demostracion. Definimos la funcion g(x) = f(x)� f(b)� f(a)

b� a(x� a), la cual es evi-

dentemente continua en [a, b] y derivable en (a, b). Ademas, g(a) = f(a) y g(b) = f(a).Podemos aplicar el teorema de Rolle a la funcion g para asegurar que existe c 2 (a, b)

tal que g0(c) = 0. Esto significa que f 0(c) =f(b)� f(a)

b� a.

Corolario 6.2.5. Sea f una funcion continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces,

a) f 0(x) � 0, para todo x 2 (a, b) si y solo si f es creciente en [a, b].

b) f 0(x) 0, para todo x 2 (a, b) si y solo si f es decreciente en [a, b].

c) f 0(x) = 0, para todo x 2 (a, b) si y solo si f es constante en [a, b].

Demostracion. Veamos el apartado (a) porque el resto es similar.

Si suponemos que f 0(x) � 0 en todo (a, b), dados x1

, x2

2 [a, b], con x1

< x2

, por elteorema del valor medio, existe c 2 (x

1

, x2

) tal que f 0(c)(x2

� x1

) = f(x2

) � f(x1

).Como f 0(c) � 0 y x

2

� x1

> 0, entonces f(x2

)� f(x1

) � 0, de modo que la funcion escreciente.

Recıprocamente, si suponemos que f es creciente en [a, b], dados x, x + h 2 (a, b),

entoncesf(x+ h)� f(x)

h� 0 (tanto si h > 0 como si h < 0). Ası pues, f 0(x) =

lımh!0

f(x+ h)� f(x)

h� 0.

Ejemplos.

1) La funcion f(x) = (x� 2)3 + 1 es creciente en todo R pues f 0(x) = 3(x� 2)2 � 0,8x 2 R.

2) Dada la funcion f(x) = tg x, su derivada es f 0(x) = sec2 x � 0. Sin embargo, nopodemos afirmar que f es creciente en todo R porque no es continua. Sı lo sera encualquier intervalo (⇡/2 + k⇡, ⇡/2 + (k + 1)⇡), con k 2 Z.

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3) Para probar la identidad arc senx + arc cosx = ⇡/2, 8x 2 [�1, 1], basta definir lafuncion f(x) = arc sen x+ arc cosx y demostrar que f 0(x) = 0, 8x 2 [�1, 1]. Comoademas f(0) = ⇡/2, entonces f(x) = ⇡/2, 8x 2 [�1, 1].

4) La identidad arc tg1 + x

1� x� arc tg x = ⇡/4, 8x 6= 1, se prueba de forma analoga al

ejemplo anterior.

Proposicion 6.2.6. Sea x0

un punto singular de f y f continua en x0

. Si existe � > 0tal que

a) f 0(x) > 0, 8x 2 (x0

� �, x0

) y f 0(x) < 0, 8x 2 (x0

, x0

+ �), entonces f tiene unmaximo local en x

0

.

b) f 0(x) < 0, 8x 2 (x0

� �, x0

) y f 0(x) > 0, 8x 2 (x0

, x0

+ �), entonces f tiene unmınimo local en x

0

.

Demostracion. Para el apartado a), basta observar que f es creciente en (x0

� �, x0

) ydecreciente en (x

0

, x0

+ �) y, para el apartado b), que f es decreciente en (x0

� �, x0

)y creciente en (x

0

, x0

+ �).

Ejemplos.

1) La funcion f(x) =

(

�x si x < 0

x+ 1 si x � 0no es continua en x = 0 y no tiene maximo

ni mınimo en x = 0 a pesar de que la derivada cambia de signo.

2) Para estudiar los maximos y mınimos de la funcion f(x) = x2e�x, basta calcularf 0(x) = x(2 � x)e�x. Como los puntos x = 0 y x = 2 son singulares, f 0(x) > 0cuando x 2 (0, 2) y f 0(x) < 0 cuando x 2 (�1, 0) [ (2,1), deducimos que f tieneun mınimo local en x = 0 y un maximo local en x = 2.

Observacion. El hecho de tener maximo o mınimo en un punto no implica que lafuncion sea creciente o decreciente a ambos lados del punto. Por ejemplo, la funcion

f(x) =

(

x2(2� sen 1/x) si x 6= 0

0 si x = 0tiene mınimo en x = 0 pero f 0 cambia de signo

infinitas veces en un entorno del punto. Este comportamiento de la funcion en unentorno del origen se ilustra en la figura siguiente.

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Proposicion 6.2.7. Si f 0(x0

) = 0, existe f 00(x0

) y ademas

a) f 00(x0

) < 0, entonces f tiene un maximo local en x0

.

b) f 00(x0

) > 0, entonces f tiene un mınimo local en x0

.

Demostracion. a) Sabemos que, si f 00(x0

) < 0, entonces f 0 decrece en un entorno dex0

, es decir existe � > 0 tal que f 0(x) > f 0(x0

) = 0 para todo x 2 (x0

� �, x0

) yf 0(x) < f 0(x

0

) = 0 para todo x 2 (x0

, x0

+ �). Basta aplicar la proposicion anteriorpara deducir que f tiene un maximo local en x

0

.

La demostracion del apartado (b) es completamente analoga.

Notas historicas. Pierre de Fermat (1601-1665) desarrollo el primer metodo generalpara la determinacion de maximos y mınimos en la memoriaMethodus ad disquirendammaximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum. Para ilustrar su metodo,Fermat escogio el problema de dividir un segmento dado en dos partes de manera queel producto de sus longitudes fuera maximo.

Definicion. Una funcion f es convexa (o concava hacia arriba) en un intervalo Icuando, dados dos puntos x

1

, x2

2 I, con x1

< x2

, se verifica que

f(tx1

+ (1� t)x2

) tf(x1

) + (1� t)f(x2

), 8t 2 [0, 1].

Graficamente, esto significa que la curva y = f(x) se encuentra por debajo de la rectasecante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Si se cumple la desigualdad contraria, diremos que f es una funcion concava (o concavahacia abajo) en el intervalo I. Esto quiere decir que f es concava si y solo si �f esconvexa.

Proposicion 6.2.8. Las siguientes propiedades son equivalentes

a) f es convexa en I.

b) Dados x1

, x2

2 I, con x1

< x2

, si x 2 (x1

, x2

), entoncesf(x)� f(x

1

)

x� x1

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

.

c) Dados x1

, x2

2 I, con x1

< x2

, si x 2 (x1

, x2

), entoncesf(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

f(x2

)� f(x)

x2

� x.

Demostracion. a) =) b): Sean x1

, x2

2 I con x1

< x2

y x = tx1

+ (1� t)x2

, t 2 (0, 1).Como f(x) tf(x

1

)+ (1� t)f(x2

), entonces f(x)� f(x1

) (1� t)(f(x2

)� f(x1

)), de

dondef(x)� f(x

1

)

x� x1

1� t

x� x1

(f(x2

)� f(x1

)).

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Ahora bien, como x� x1

= (1� t)(x2

� x1

), entonces1� t

x� x1

=1

x2

� x1

. En definitiva,

f(x)� f(x1

)

x� x1

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

.

b) =) a): Sean x1

, x2

2 I con x1

< x2

y x 2 (x1

, x2

). Entonces f(x)� f(x1

) x� x

1

x2

� x1

(f(x2

)� f(x1

)). Ademas, existe t 2 (0, 1) tal que x = tx1

+(1� t)x2

, de donde

x � x1

= (1 � t)(x2

� x1

). Por tanto, f(x) � f(x1

) (1 � t)(f(x2

) � f(x1

)), es decirf(x) tf(x

1

) + (1� t)f(x2

).

b) () c): Basta desarrollar ambas desigualdades.

Como se observa en la siguiente figura, la definicion anterior se interpreta graficamen-te mediante las desigualdades m

r1 mr3 m

r2 , donde cada termino representa lapendiente de la recta correspondiente.

P1P

P2

x1 x x2

r1

r2

r3

Proposicion 6.2.9. Sea f continua en [a, b] y con derivada segunda en (a, b).

a) Si f 00(x) > 0, 8x 2 (a, b), entonces f es estrictamente convexa en [a, b].

b) Si f 00(x) < 0, 8x 2 (a, b), entonces f es estrictamente concava en [a, b].

c) Si f 00(x) = 0, 8x 2 (a, b), entonces f es una recta en [a, b].

Demostracion. Veamos el apartado (a) pues el resto es similar.

Dados x1

, x2

2 [a, b], con x1

< x2

, definimos la funcion g(x) = f(x1

) +f(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

·(x � x

1

) � f(x), x 2 [x1

, x2

]. Por el teorema del valor medio de Lagrange, existec 2 (x

1

, x2

) tal que g(x) = f(x1

)+f 0(c)·(x�x1

)�f(x). Por tanto, g0(x) = f 0(c)�f 0(x).

Como f 0 es derivable en (c, x) (o en (x, c) segun el caso), aplicamos nuevamente elteorema del valor medio, con lo que existe d 2 (x

1

, x2

) tal que f 0(c)� f 0(x) = (c� x) ·f 00(d).

Si fuera c < x, entonces f 0(c) < f 0(x) con lo que g0(x) < 0, es decir g es estrictamentedecreciente en [c, x

2

].

Si fuera c > x, entonces f 0(c) > f 0(x) con lo que g0(x) > 0, es decir g es estrictamentecreciente en [x

1

, c].

CALC

ULO


HU


Como g(x1

) = g(x2

) = 0, entonces g(x) > 0 para todo x 2 (x1

, x2

). Esto significa que

f(x) < f(x1

)+f(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

(x�x1

), es decir f es estrictamente convexa en [a, b].

La concavidad de una funcion esta relacionada con el crecimiento de su derivada. Parademostrarlo, necesitaremos un lema previo.

Lema 6.2.10. Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), con f 0 creciente (resp.decreciente). Si existen x

1

, x2

2 (a, b), con x1

< x2

, tales que f(x1

) = f(x2

), entoncesf(x) f(x

1

) (resp. f(x) � f(x1

)), para todo x 2 (x1

, x2

).

Demostracion. Veamos solo la primera parte pues la segunda es similar.

Supongamos, por el contrario, que existe x 2 (x1

, x2

) tal que f(x) > f(x1

). Entoncesel maximo de f en el intervalo [x

1

, x2

] se alcanza en algun punto m 2 (x1

, x2

), conf(m) > f(x

1

) y tal que f 0(m) = 0. Aplicando el teorema del valor medio en [x1

,m],

existe c 2 (x1

,m) tal que f 0(c) =f(m)� f(x

1

)

m� x1

> 0, lo cual contradice el hecho de que

f 0 es creciente.

Proposicion 6.2.11. Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces f esconvexa en (a, b) si y solo si f 0 es creciente en (a, b).

Demostracion. Por una parte, sea f convexa en (a, b) y sean x1

, x2

2 (a, b) tales quex1

< x2

.

Por el apartado b) de la proposicion 6.2.8, sabemos quef(x)� f(x

1

)

x� x1

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

para todo x 2 (x1

, x2

). Por tanto,

lımx!x

+1

f(x)� f(x1

)

x� x1

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

=) f 0(x1

) f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

.

Por el apartado c) de la proposicion 6.2.8, sabemos tambien quef(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

f(x

2

)� f(x)

x2

� xpara todo x 2 (x

1

, x2

). Por tanto,

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

lımx!x

�2

f(x2

)� f(x)

x2

� x=) f(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

f 0(x2

).

En definitiva, f 0(x1

) f 0(x2

).

Recıprocamente, si f 0 es creciente en (a, b), sean x1

, x2

2 (a, b) con x1

< x2

. Definimosla funcion

g(x) = f(x)� f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

(x� x1

).

CALC

ULO


HU


Es evidente que g es derivable en (a, b) con derivada creciente y g(x1

) = g(x2

) = f(x1

).Por el lema anterior, g(x) g(x

1

) para todo x 2 (x1

, x2

), es decir

f(x)� f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

(x� x1

) f(x1

) o bienf(x)� f(x

1

)

x� x1

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

,

de modo que f es convexa.

Definicion. Decimos que x0

2 D(f) es un punto de inflexion de f cuando existe � > 0tal que f es concava en (x

0

� �, x0

) y convexa en (x0

, x0

+ �), o viceversa.

Proposicion 6.2.12. Si x0

es un punto de inflexion de f y f es derivable en unentorno de x

0

, entonces f 00(x0

) = 0 o bien f 00(x0

) no existe.

Proposicion 6.2.13. Si f tiene derivada de segundo orden en un entorno de x0

, f 00

es continua en x0

y f 00(x0

) = 0 pero f 00(x) tiene distinto signo a la izquierda y a laderecha de x

0

, entonces x0

es un punto de inflexion de f .

En particular, si f 00(x0

) = 0 y f 000(x0

) 6= 0, entonces x0

es un punto de inflexion de f .

Ejemplos. Estudiar la concavidad de las funciones

1. f(x) = ln(x2 � 3x+ 2).

2. f(x) =x3

x2 � 4.

Proposicion 6.2.14 (teorema del valor medio de Cauchy). Si f y g son funcionescontinuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un numero c 2 (a, b) tal que

f 0(c)

g0(c)=

f(b)� f(a)

g(b)� g(a).

Demostracion. Sea h(x) = f(x) � f(b)� f(a)

g(b)� g(a)· (g(x) � g(a)), x 2 [a, b]. Esta funcion

es continua en [a, b], derivable en (a, b) y h(a) = h(b) = f(a). Por el teorema de Rolle,

existe c 2 (a, b) tal que h0(c) = 0, es decir f 0(c) =f(b)� f(a)

g(b)� g(a)g0(c).

Corolario 6.2.15 (regla de L’Hopital). Sean f y g funciones derivables en un entorno

reducido de x0

, con g0(x0

) 6= 0, y tales que lımx!x0

f(x) = lımx!x0

g(x) = 0, lımx!x0

f 0(x)

g0(x)= L.

Entonces

lımx!x0

f(x)

g(x)= L.

CALC

ULO


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Demostracion. Demostraremos que, si lımx!x

+0

f(x) = lımx!x

+0

g(x) = 0, lımx!x

+0

f 0(x)

g0(x)= L y

g0(x0

) 6= 0, entonces lımx!x

+0

f(x)

g(x)= L. Analogamente se prueba con los lımites por la

izquierda.

Definimos las funciones

F (x) =

(

f(x) si x > x0

0 si x = x0

, G(x) =

(

g(x) si x > x0

0 si x = x0

.

De este modo, las funciones F y G verifican las condiciones del teorema del valor mediode Cauchy en [x

0

, x] para algun x > x0

. Entonces existe c 2 (x0

, x) tal que

F (x)� F (x0

)

G(x)�G(x0

)=

F 0(c)

G0(c),

es decirf(x)

g(x)=

f 0(c)

g0(c).

Entonces

lımx!x

+0

f(x)

g(x)= lım

c!x

+0

f 0(c)

g0(c)= L,

como establece el enunciado.

Observaciones.

a) La propiedad anterior tambien es cierta cuando x0

= 1, porque

lımx!1

f(x)

g(x)= lım

t!0

+

f(1/t)

g(1/t)= lım

t!0

+

f 0(1/t) · (�1/t2)

g0(1/t) · (�1/t2)= lım

x!1

f 0(x)

g0(x).

b) Veamos que tambien es valida la propiedad cuando lımx!x0

f(x) = lımx!x0

g(x) = 1.

Sean L = lımx!x0

f 0(x)

g0(x)y c > x

0

tal que

�

�

�

�

f 0(x)

g0(x)� L

�

�

�

�

< ", para todo x 2 (x0

, c). Por el

teorema del valor medio de Cauchy,f(x)� f(c)

g(x)� g(c)=

f 0(d)

g0(d)para algun d 2 (x, c).

Si escribimosf(x)

g(x)=

f(x)� f(c)

g(x)� g(c)·1� g(c)

g(x)

1� f(c)

f(x)

(lo cual es posible porque g(x)� g(c) 6= 0, g(x) 6= 0 y f(x) 6= 0), resulta que

lımx!x0

f(x)� f(c)

g(x)� g(c)= lım

d!x0

f 0(d)

g0(d)= L, y lım

x!x0

1� g(c)

g(x)

1� f(c)

f(x)

= 1.

CALC

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92 6.3. Polinomio de Taylor

Los siguientes ejemplos muestran algunos casos donde no es posible aplicar la regla deL’Hopital.

Ejemplos. Calcular los siguientes lımites:

1) lımx!1

x+ sen x

x+ cosx. [Sus derivadas no tienen lımite.]

2) lımx!1

ex + sen x

ex + cosx. [No se simplifica al derivar.]

3) lımx!0

x2 sen 1/x

sen x. [No existe el lımite de la derivada del numerador.]

4) lımx!0

e�1/x

x. [No se simplifica la funcion al derivar.]

6.3. Polinomio de Taylor

Nos planteamos en esta seccion el problema de la mejor aproximacion de funcionesmediante polinomios, ası como la estimacion del error cometido.

Sabemos ya que, dada una funcion f derivable en un punto x = x0

, la recta tangentea f por el punto (x

0

, f(x0

)) tiene por ecuacion

g(x) = f(x0

) + f 0(x0

) · (x� x0

)

y verifica que g(x0

) = f(x0

), ası como g0(x0

) = f 0(x0

). De hecho, esta recta es el unicopolinomio de grado uno que verifica esta propiedad.

Podemos plantear el siguiente problema general: dada una funcion f derivable n veces

en un punto x = x0

, ¿cual sera el polinomio pn

de grado n que verifica simultaneamente

pn

(x0

) = f(x0

), p0n

(x0

) = f 0(x0

), . . . , p(n)n

(x0

) = f (n)(x0

)?

La respuesta es el polinomio de Taylor que definimos a continuacion.

Definicion. Sea f una funcion derivable hasta el orden n en un punto x0

. El polinomio

Tn

(x) =n

X

k=0

f (k)(x0

)

k!(x� x

0

)k

recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n asociado a la funcion f en el punto

x0

.

El caso particular de x0

= 0 recibe el nombre de polinomio de McLaurin asociado a la

funcion f .

La siguiente propiedad indica que Tn

es el unico polinomio de grado n que mejoraproxima a la funcion f en el punto x

0

.

CALC

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Proposicion 6.3.1. Sea f una funcion derivable n� 1 veces en un entorno del puntox0

y tal que existe f (n)(x0

).

a) Si Tn

es el polinomio de Taylor asociado a f en el punto x0

, entonces f � Tn

es uninfinitesimo de orden mayor que n en el punto x

0

, es decir

lımx!x0

f(x)� Tn

(x)

(x� x0

)n= 0.

b) Recıprocamente, si P es un polinomio de grado como maximo n y

lımx!x0

f(x)� P (x)

(x� x0

)n= 0,

entonces P = Tn

.

Demostracion. a) Teniendo en cuenta que Tn

(x0

) = f(x0

), T 0n

(x0

) = f 0(x0

), . . . , T (n)

n

(x0

) =f (n)(x

0

), podemos aplicar el teorema de L’Hopital n veces para obtener

lımx!x0

f(x)� Tn

(x)

(x� x0

)n= lım

x!x0

f 0(x)� T 0n

(x)

n(x� x0

)n�1

= lımx!x0

f 00(x)� T 00n

(x)

n(n� 1)(x� x0

)n�2

= · · · = lımx!x0

f (n)(x)� T (n)

n

(x)

n!= 0.

b) Recıprocamente, si lımx!x0

f(x)� P (x)

(x� x0

)n= 0, entonces debe ser f(x

0

) = P (x0

) (en caso

contrario, el lımite serıa infinito). Ası pues, podemos aplicar la regla de L’Hopital yobtenemos

lımx!x0

f(x)� P (x)

(x� x0

)n= lım

x!x0

f 0(x)� P 0(x)

n(x� x0

)n�1

= 0,

de modo que f 0(x0

) = P 0(x0

). Repitiendo el argumento n veces, deducimos que f (k)(x0

) =P (k)(x

0

) para todo k = 0, 1, . . . , n. Como ya sabemos, el unico polinomio que verificaesta propiedad es T

n

.

Con respecto al error cometido al aproximar una funcion por su polinomio de Taylor,una primera acotacion viene dada por el teorema del valor medio pues sabemos que,bajo ciertas condiciones, f(x)� f(x

0

) = f 0(c)(x�x0

), para algun c comprendido entrex0

y x. Por tanto, si f 0 esta acotada por K en un entorno de x0

, el valor absoluto delerror |f(x)� f(x

0

)| esta acotado por K|x� x0

|.El caso general viene dado por el siguiente teorema.

Proposicion 6.3.2 (formula de Lagrange del resto). Si f es una funcion de clase C(n)

en [a, b] y existe f (n+1)(x), 8x 2 (a, b), entonces existe algun c 2 (a, b) tal que

f(b)� Tn

(b) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b� a)n+1.

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94 6.3. Polinomio de Taylor

Demostracion. La funcion

g(x) = f(x) + f 0(x)(b� x) + · · ·+ f (n)(x)

n!(b� x)n +

f(b)� Tn

(b)

(b� a)n+1

(b� x)n+1

es continua en [a, b], derivable en (a, b) y verifica ademas que

g(a) = f(a) + f 0(a)(b� a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(b� a)n + f(b)� T

n

(b) = f(b),

g(b) = f(b).

Podemos aplicar el teorema de Rolle, con lo que existe c 2 (a, b) tal que g0(c) = 0.Como

g0(c) = f 0(c) + f 00(c)(b� c)� f 0(c) + · · ·+ f (n+1)(c)

n!(b� c)n

� f (n)(c)

n!n(b� c)n�1 � f(b)� T

n

(b)

(b� a)n+1

(n+ 1)(b� c)n,

al igualar a cero y simplificar obtenemos que f(b)� Tn

(b) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(b� a)n+1.

Propiedades. Representamos por Tn,f,x0 al polinomio de Taylor de grado n asociado

a la funcion f en el punto x0

.

1) Si g(x) = k1

f1

(x) + k2

f2

(x), entonces Tn,g,x0(x) = k

1

Tn,f1,x0(x) + k

2

Tn,f2,x0(x).

2) Si g(x) = f 0(x), entonces Tn�1,g,x0(x) = DT

n,f,x0(x).

3) Si g(x) =

Z

x

x0

f(t) dt, entonces Tn+1,g,x0(x) =

Z

x

x0

Tn,f,x0(t) dt.

4) Si g(x) = f(cx), entonces Tn,g,x0(x) = T

n,f,cx0(x).

5) Si g(x) = f(x+ x0

), entonces Tn,g,x0(x) = T

n,f,0

(x).

6) Si g(x) = (x� x0

)pf(x), entonces Tn,g,x0(x) = (x� x

0

)p · Tn�p,f,x0(x).

Ejemplos.

1) Si f(x) = ex, entonces Tn

(x) = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xn

n!.

2) Si f(x) = sen x, entonces T2n+1

(x) = x� x3

3!+ · · ·+ (�1)n

x2n+1

(2n+ 1)!.

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3) Si f(x) = cosx, entonces T2n

(x) = 1 � x2

2!+ · · · + (�1)n

x2n

(2n)!(basta aplicar la

propiedad 2 a la funcion senx).

4) Si f(x) =1

1� x, entonces T

n

(x) = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn.

5) Si f(x) = arc tg x, entonces T2n+1

(x) = x� x3

3+ · · ·+ (�1)n

x2n+1

(2n+ 1).

El polinomio de Taylor permite establecer criterios generales de existencia de maximosy mınimos locales y puntos de inflexion.

Teorema 6.3.3. Sea f 2 C(n)(A), con x0

2 A. Supongamos que f 0(x0

) = · · · =f (n�1)(x

0

) = 0.

a) Si n es par y f (n)(x0

) > 0, entonces f tiene un mınimo local en x0

.

b) Si n es par y f (n)(x0

) < 0, entonces f tiene un maximo local en x0

.

c) Si n es impar y f (n)(x0

) 6= 0, entonces f tiene un punto de inflexion en x0

.

Demostracion. Teniendo en cuenta la hipotesis, la formula de Taylor queda de la forma

f(x0

+ h)� f(x0

) =f (n)(x

0

+ #h)

n!hn, 0 < # < 1.

a) Como n es par, hn > 0. Si f (n)(x0

) > 0 y h es suficientemente pequeno, entoncesf (n)(x

0

+ #h) > 0. Por tanto, f(x0

+ h)� f(x0

) > 0, con lo que f tiene un mınimolocal en x

0

.

b) Como n es par, hn > 0. Si f (n)(x0

) < 0 y h es suficientemente pequeno, entoncesf (n)(x

0

+ #h) < 0. Por tanto, f(x0

+ h)� f(x0

) < 0, con lo que f tiene un maximolocal en x

0

.

c) Si n es impar, hn cambia de signo segun h > 0 o h < 0, de modo que f(x0

+ h) �f(x

0

) > 0 tambien cambia de signo en un entorno de x0

. Esto significa que f tieneun punto de inflexion en x

0

.

Ejemplos. Estudiar los maximos, mınimos y puntos de inflexion de las siguientesfunciones:

1. f(x) = x3 sen x.

2. f(x) = ln(x+px2 + 1).

3. f(x) = x arc tg(x/2).

4. f(x) = e�x sen 2x.

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96 6.4. Ejercicios

Notas historicas. Brook Taylor (1685-1731) descubrio las series que llevan su nombreen 1712 inspirado por una charla en una cafeterıa. Sin embargo, Newton ya conocıaesta formula mucho antes, como demuestra una carta escrita a Oldenburg en 1676,donde afirmaba: Me da verguenza confesar con que exactitud he podido calcular las

funciones elementales seno, coseno, logaritmo, etc.

6.4. Ejercicios

Ejercicio 6.1. Encontrar, usando la definicion, las derivadas de las siguientes funcio-nes:

a) f(x) = x2 + x+ 1/x en el punto x = 1. f 0(1) = 2

b) f(x) = 1/x+ 1/x2 en el punto x = �1/2. f 0(�1/2) = 12

c) f(x) =p3x� 2. f 0(x) = 3

2

p3x�2

d) f(x) =2x� 3

3x+ 2. f 0(x) = 13

(3x+2)

2

e) f(x) = arc sen x. f 0(x) = 1p1�x

2

Ejercicio 6.2. Encontrar los puntos de discontinuidad de f 0(x) si se define

f(x) = x+ |x|+ x� 1/2 + |x� 1/2|2

+x� 1/4 + |x� 1/4|

4.

Ejercicio 6.3. Estudiar la derivabilidad de las funciones siguientes:

a) f(x) = x2 + 1 + |2x� 1|. f 0(1/2�) = �1; f 0(1/2+) = 3.

b) f(x) = x3/2. f 0(0+) = 0; f 0(0�) no existe.

c) f(x) = |x+ 2|+ |x2 � 1|. no es derivable en �2,�1, 1.

d) f(x) =

8

>

<

>

:

0 si x 0

x3 si 0 < x < 1

3x� 1 si x � 1.

no es derivable en x = 1.

e) f(x) =

8

>

<

>

:

x cos x si x 0

|x| si 0 x 1p

|2� x| si x � 1.

no es derivable en 1, 2.

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Ejercicio 6.4. Sea f(x) =

(

x2 si x es racional

0 si x es irracional.Comprobar que f solamente es

derivable en x = 0.

Ejercicio 6.5. Encontrar los valores de a y b para que f(x) =

(

g(x) si x < x0

ax+ b si x � x0

sea derivable en x0

.

Ejercicio 6.6. Sabiendo que f es derivable en x0

, calcular lımh!0

f(x0

+ h)� f(x0

� h)

2h.

Ejercicio 6.7. Establecer las condiciones para que la funcion f(x) =

(

xa sen(1/x) si x 6= 0

0 si x = 0

a) sea continua en x = 0;

b) sea derivable en x = 0;

c) tenga derivada continua en x = 0.

Resp.: (a) a > 0 (b) a > 1 (c) a > 2.

Ejercicio 6.8. Dada la funcion f(x) =

8

>

>

<

>

>

:

1/x si x < 2

�x/4 si 2 x 8x2 � 1

x� 1si x > 8,

hallar, en caso de

existir, f(0), f 0(2), f 0(8).

Resp.: No existen.

Ejercicio 6.9. Calcular las derivadas de las siguientes funciones.

a) f(x) =

r

1� x

1 + x2

f 0(x) = x

2�2x�1

2

p(1�x)(1+x

2)

3

b) f(x) = (x2 � 1)2(2x2 + 3x+ 2)2 f 0(x) = 2(x2 � 1)(2x2 + 3x+ 2)(8x3 + 9x2 � 3)

c) f(x) = sen(sen(sen x)) f 0(x) = cos(sen(sen x)) · cos(sen x) · cos x

d) f(x) = 3p

arc tg2(x3) f 0(x) = 2x

2

(1+x

6)

3p

arc tg(x

3)

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98 6.4. Ejercicios

e) f(x) = cos(x3 + 1)� sec(2px). f 0(x) = �3x2 sen(x3 + 1)� 1p

x

sec(2px) tg(2

px)

f) f(x) = cos(x2 + 1)� arc tg(secx). f 0(x) = �2x sen(x2 + 1)� secx tg x

1+sec

2x

g) f(x) = ln(x+p1� x2). f 0(x) =

p1�x

2�xp1�x

2·(p1�x

2+x)

h) f(x) = exx

. f 0(x) = exx · xx · (1 + ln x)

Ejercicio 6.10. Probar que, si f es un polinomio cuyas n raıces x1

, x2

, . . . , xn

son

todas distintas, entoncesf 0(x)

f(x)=

n

X

i=1

1

x� xi

.

Ejercicio 6.11. Sean f y g dos funciones derivables. Calcular la derivada de y =f(g(xn)) · g(f(x)n).

Resp.: y0 = nxn�1f 0(g(xn)) · g0(xn) · g(f(x)n) + nf(x)n�1f 0(x) · f(g(xn)) · g0(f(x)n).

Ejercicio 6.12. Sean f y g dos funciones derivables tales que f(2) = 3, f 0(2) = �1,g(2) = �5, g0(2) = 2. Calcular (a) (g � f)0(2); (b) (f · f)0(2); (c) (g/f)0(2).

Resp.: (a) 3; (b) �6; (c) 1/9.

Ejercicio 6.13. Sabiendo que f(0) = 1, g(0) = 2, h(0) = 1, f 0(0) = 2, g0(0) = 1,h0(0) = 2, h0(1) = 1, h(1) = 2, f 0(2) = 1, g(1) = 1, g0(1) = 3, calcular:

a) (f � g)0(0) Resp.: 1

b) (f � h � g)0(1). Resp.: 3

Ejercicio 6.14. Sea f(x) = x2/3 + x2/2 � 2x. Encontrar todos los valores de x paralos que

a) f 0(x) = 0 1,�2

b) f 0(x) = �2 0,�1

c) f 0(x) = 10. 3,�4

Ejercicio 6.15. Sea f(x) = x2�4x�3 definida para x � 2 y llamemos g(x) = f�1(x).Calcular g0(x) en el punto donde g(x) = 2.

CALC

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Resp.: g0(x) = 1.

Ejercicio 6.16. Dada la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, hallar los valores de lasconstantes a, b, c y d para que f(0) = 1, f 0(�1) = 8, f 00(0) = �4, f 000(x) = 2.

Resp.: a = 1/3, b = �2, c = 3, d = 1.

Ejercicio 6.17. Mostrar que la funcion que se indica verifica la ecuacion respectiva.

a) y = x+ sen 2x, y00 + 4y = 4x.

b) y = x3[cos(ln x) + 2 sen(ln x)], x2y00 � 5xy0 + 10y = 0.

Ejercicio 6.18. Calcular la derivada de orden 100 de las siguientes funciones:

a) f(x) =1 + xp1� x

.

b) f(x) = x ln x.

Ejercicio 6.19. Probar que la derivada n-esima de la funcion f(x) = e�1/x

2es igual

a esta misma funcion multiplicada por un polinomio de grado 2n� 2, dividido por x3n.

Ejercicio 6.20. Decidir si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas:

a) Si alguna de las funciones y = f(x), y = g(x) no tiene derivada en un punto x = a,entonces la funcion y = (f + g)(x) no tiene derivada en el punto x = a.

b) Si alguna de las funciones y = f(x), y = g(x) no tiene derivada en un punto x = a,entonces la funcion y = (f · g)(x) no tiene derivada en el punto x = a.

c) Si alguna de las funciones y = f(x), y = g(x) no tiene derivada en un punto x = a,entonces la funcion y = (f � g)(x) no tiene derivada en el punto x = a.

d) Si y = f(x) es derivable en el intervalo (a,1) y existe lımx!1 f(x), entonces existe

lımx!1 f 0(x). El recıproco es falso.

Sugerencia: Tener en cuenta las funciones f(x) = sen(x

2)

x

y f(x) = cos(ln x).

Ejercicio 6.21. Encontrar la ecuacion de la recta tangente a f(x) = 3p

1 +p1 + x en

el punto de abscisa x = 0.

CALC

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100 6.4. Ejercicios

Resp.: y � 3p2 = x/6 3

p4.

Ejercicio 6.22. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la curva y =x2 + a

x2 + ben

x = 1. Encontrar los valores de a y b para que la tangente hallada pase por el punto(2, 1) y sea normal a la recta 3x+ 3y � 7 = 0.

Resp.: a = �1, b = 1.

Ejercicio 6.23. Encontrar los puntos de la curva f(x) = x3 +2x2 � 4x+5 cuya rectatangente es paralela a la recta 8x+ 2y � 5 = 0.

Resp.: (0, 5); (�4/3, 311/27).

Ejercicio 6.24. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (6, 5) y sontangentes a la curva y = x2 � 3x� 4.

Resp.: y = 15x� 85; y = 3x� 13.

Ejercicio 6.25. ¿Hay alguna recta que pase por (1, 2) y sea tangente a la curva y =4� x2?

Ejercicio 6.26. Encontrar los puntos de la curva y = x3 cuya recta tangente en esepunto corta al eje X en el punto 4.

Resp.: (0, 0), (6, 216).

Ejercicio 6.27. Encontrar a, b, c, d de forma que la curva y = ax3 + bx2 + cx+ d seatangente a la recta 3x� y � 1 = 0 en (1, 2) y a la recta 10x� y � 12 = 0 en (2, 8).

Resp.: a = 1, b = �1, c = 2, d = 0.

Ejercicio 6.28. Demostrar que las tangentes a la curva y = �4x+12/x en sus puntosde corte con la recta 2x� y = 0 son paralelas entre sı.

Resp.: m1

= m2

= �10.

Ejercicio 6.29. Una bola se deja caer de una altura inicial de 122, 5m y su posicionviene dada por s(t) = 122, 5� 4, 9t2.

(a) ¿Cual es la velocidad instantanea en t = 1/2?

(b) ¿Cuanto tiempo tarda la bola en llegar al suelo?

(c) ¿Cual es la velocidad de impacto?

CALC

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Resp.: v(1/2) = �4, 9m/sg; t = 5sg; v(5) = �49m/sg.

Ejercicio 6.30. Si f(x) = |2x � 1| � 3, al calcular su derivada se observa que estanunca se anula. Ademas f(2) = f(�1) = 0. ¿Contradice esto el teorema de Rolle?

Resp.: No porque en el punto x = 1/2, que pertenece al intervalo (�1, 2), la funcionno es derivable. Como falla una de las hipotesis, no se puede aplicar el teorema.

Ejercicio 6.31. Si la grafica de un polinomio tiene tres intersecciones con el eje X,probar:

(a) que hay al menos dos puntos donde la tangente es horizontal.

(b) que al menos en un punto se anula f 00.

Resp.: Basta aplicar el teorema de Rolle en los intervalos correspondientes a puntosconsecutivos donde la funcion se anula.

Ejercicio 6.32. Sea f un polinomio arbitrario. Demostrar que x0

es una raız doble def si y solo si es una raız de f y de f 0.

Ejercicio 6.33. Probar que f(x) = 6x4 � 7x+ 1 no tiene mas de dos raıces reales.

Ejercicio 6.34. Demostrar que

(a) f(x) = ex + x3 � 2 tiene una unica raız real en el intervalo [0, 1].

(b) f(x) = x3 � 12x+ 1 tiene tres raıces reales.

(c) f(x) = x4 � 2x2 + 3 no tiene raıces reales.

Ejercicio 6.35. Averiguar cual o cuales de las funciones cumplen las hipotesis delteorema del valor medio. Cuando se cumplan, encontrar los valores de c que verificanel teorema.

a) f(x) = �3 + 3(x� 1)2/3 en [0, 2].

b) f(x) =x

x� 1en [�1, 1].

c) f(x) =

(

3�x

2

2

si x 11

x

si x > 1en [0, 2].

d) f(x) =px� 1 en [1, 3].

CALC

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102 6.4. Ejercicios

Ejercicio 6.36. Sea f continua en [0, 3] y derivable en (0, 3) tal que 1 f(x) 4 yf(2) = 4. Responder si cada uno de los siguientes enunciados en verdadero o falso.

(a) f 0(2) = 0.

(b) Existe x 2 [0, 3] tal que f(x) = 1.

(c) Existe x 2 (0, 3) tal que f 0(x) = 4� f(1).

(d) La ecuacion f(x) = 3 tiene al menos dos soluciones.

Ejercicio 6.37. Demostrar que si f es continua en c y existe lımx!c

f 0(x), entonces existe

f 0(c) y es igual a lımx!c

f 0(x).

Ejercicio 6.38. Una persona que recorrio 202 Km en dos horas aseguro que nuncaexcedio el lımite de velocidad de 100 Km/h. Usar el teorema del valor medio parademostrar que mintio.

Ejercicio 6.39. Probar que la ecuacion x2 = x sen x + cosx tiene exactamente dossoluciones.

Ejercicio 6.40. Dada f(x) =

(

x3 + 2x+ 2 si x < 0

x2 � 3x+ 2 si x � 0,probar que f(x) = 0 solo tiene

una raız en el intervalo (�1, 1).

Ejercicio 6.41. Probar que sen x x para todo x en [0,1).

Sug.: Aplicar el teorema del valor medio a f(x) = sen x� x en el intervalo [0, x].

Ejercicio 6.42. Probar que ex � x+ 1, 8x 2 R.

Ejercicio 6.43. Demostrar que | sen x� sen y| |x� y|, 8x, y 2 R.

Ejercicio 6.44. Sea f una funcion continua en [a, b] con derivada segunda f 00 en (a, b)y tal que el segmento que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) corta a la curva en (c, f(c))donde a < c < b. Probar que f 00(t) = 0 para algun t en (a, b).

Ejercicio 6.45. Calcular los siguientes lımites:

CALC

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a) lımx!0

ex � 1� x

sen2 x1/2

b) lımx!0

⇣ 1

1� cos x

⌘

senx

1

c) lımx!⇡/2

⇣ x

cotg x� ⇡

2 cosx

⌘

�1

d) lımx!0

⇣ 1

sen2 x� 1

1� cos x

⌘

1

e) lımx!⇡/2

sen 4x · sen 3xx · sen 2x 4/⇡

f) lımx!a

xn � an

ln xn � ln anan

g) lımx!0

x� sen x

x� tg x�1/2

h) lımx!1

x2

x� sen x1

i) lımx!⇡/2

(sec x� tg x) 0

j) lımx!1

⇣ 1

ln x� 1

x� 1

⌘

1/2

k) lımx!1

⇣ 2

⇡arc tg x

⌘

x

e�2/⇡

l) lımx!1

xlnx

(ln x)x0

m) lımx!0

+tg x · ln x 0

n) lımx!1

+(ln x)x�1 1

n) lımx!1

x1

1�x 1/e

o) lımx!0

+(1/x)tg x 1

p) lımx!1

xn · 2�x (n 2 N) 0

q) lımx!0

(cos 2x)3/x2

e�6

r) lımx!⇡/2

�

tg 5x

tg x1/5

s) lımx!⇡/4

(tg x)tg 2x e�1

Ejercicio 6.46. Dada f(x) =

(

g(x)/x si x 6= 0

0 si x = 0,calcular f 0(0) sabiendo que g(0) =

g0(0) = 0, g00(0) = 17 y que g00 es continua en x = 0.

Ejercicio 6.47. Sea y = f(x) una funcion cuya derivada tiene la siguiente grafica:

a b c

(a) ¿Que se puede decir de f en x = b?

(b) ¿Tiene f algun maximo?

(c) ¿Donde f decrece?

Resp.: f no es derivable en x = b; el maximo de la funcion se encuentra en x = c; lafuncion es siempre creciente.

CALC

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104 6.4. Ejercicios

Ejercicio 6.48. Representar aproximadamente la grafica de una funcion cuya derivadaes la que se representa a continuacion:

-3 2 5 7

-3

2

Resp.: Tener en cuenta que f crece en (�3, 4/5) y decrece en (4/5, 7). Ademas f noes derivable en x = 0, x = 2 y x = 5. Tambien se observa en la grafica que f 0(x) = 0cuando x = �3, x = 4/5 y x = 7.

Ejercicio 6.49. Sea y = f(x) una funcion definida en [a, b] cuya derivada tiene lasiguiente grafica:

a

b c

d e h

(a) ¿Donde es f creciente?

(b) ¿Donde tiene f un maximo local?

(c) ¿Cuales son los puntos de inflexion?

(d) Dibujar aproximadamente la funcion f .

Resp.: f es creciente en (b, d); tiene un maximo en x = d; los puntos x = c, x = e sonde inflexion.

Ejercicio 6.50. Trazar una curva que verifique las siguientes condiciones:

f(1) = 0; f(3) = 0; f 0(2) no existe; f 0(3) = 0

f 0(x) < 0 si x < 2 o x > 3; f 0(x) > 0 si 2 < x < 3 f 00(x) < 0 si x 6= 2.

Ejercicio 6.51. Dibujar la grafica de una funcion y = f(x) que cumpla las condicionessiguientes:

(a) Dom f = (�1, 0) [ (0,1).

(b) Decrece en (�1,�3) [ (0, 2) [ (2, 4).

(c) Tiene un mınimo local en x = 4 y un punto de inflexion en x = 1.

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(d) La recta y = 3x�6

2

es asıntota y corta a la curva en el punto de abscisa x = 3/2.

(e) lımx!�3

�f(x) = �2 , lım

x!�3

+f(x) = �4, lım

x!0

�f(x) = 0, lım

x!0

+f(x) = 1, lım

x!�1f(x) =

3, lımx!2

�f(x) = �1 , lım

x!2

+f(x) = 1.


(a) Dom f = (�1,�1) [ (�1,1).

(b) Es continua y derivable en Dom f .

(c) El unico punto de interseccion con los ejes es (0, 0).

(d) No hay simetrıa con el eje Y .

(e) f 0(x) > 0 en (�1,�2) [ (0,1).

(f) Tiene un mınimo local en (0, 0) y un maximo local en (�2,�1).

(g) La recta y = x� 1 es asıntota y corta a la curva en el punto de abscisa x = �3/2.

(h) lımx!�1

+f(x) = +1, lım

x!�1

�f(x) = �1.


(a) Es continua en (�1, 3) [ (3,1).

(b) f(�2) = 8, f(0) = 4, f(2) = �1.

(c) f 0(x) > 0 si |x| > 2 ; f 0(x) < 0 si |x| < 2; f 0(2) = 0; f 0(�2) no existe.

(d) f 00(x) < 0 si �2 < x < 0; f 00(x) > 0 si x > 0.

(e) lımx!�1

f(x) = �4; x = 3 es asıntota vertical.

Ejercicio 6.54. Dibujar la grafica de las siguientes funciones.

a) f(x) =x2 � 6x+ 12

x� 4

b) f(x) =

�

�

�

�

x

1� x2

�

�

�

�

c) f(x) = x2/3(8� x)

d) f(x) =(x� 2)3

x2

e) f(x) =x

3px� 4

f) f(x) = 3p6x2 + x3

g) f(x) =

r

x

4� x

h) f(x) =x�

px2 + 1

x

i) f(x) = 2 cos x+ cos2 x en [0, 2⇡]

j) f(x) = arc cos

✓

1� x

1� 2x

◆

CALC

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106 6.4. Ejercicios

k) f(x) = ex�e

x

l) f(x) = ex/(1�x)

m) f(x) =1

2ln

✓

1 + x

1� x

◆

n) f(x) =px ln x

n) f(x) =ln(x2/ lnxe2x)

1 + x

o) f(x) = arc tg x� arc tg

✓

x� 1

x+ 1

◆

Ejercicio 6.55. Hallar el area del mayor rectangulo que puede inscribirse en un se-micırculo.

Ejercicio 6.56. Las longitudes de dos lados de un triangulo son a y b. ¿Cual es sumayor area posible?

Ejercicio 6.57. Una ventana tiene forma rectangular con semicırculo en la parte su-perior. El rectangulo es de vidrio claro y el semicırculo de vidrio coloreado. El coloreadosolo transmite la mitad de luz por m2 que el claro. Si el perımetro de la ventana es fijo,determinar las proporciones de la ventana que admitira mas luz.

Resp. a = 2P

8+3⇡

; b = (4+⇡)P

2(8+3⇡)

.

Ejercicio 6.58. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de suanchura por el cubo de su profundidad, pero no esta relacionada con su longitud. Hallarlas proporciones de la viga mas rıgida que puede cortarse de un tronco de diametro dado.

Resp. p = dp3/2 ; a = r.

Ejercicio 6.59. Hallar el perımetro y area del rectangulo de area maxima que puedeinscribirse entre la parabola y = 9� x2 y el eje X.

Resp. A = 12p3 ; P = 12 + 4

p3.

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Ejercicio 6.60. Hallar las coordenadas del punto sobre y =px mas cercano al (4, 0).

Sug.: En vez de minimizar la distancia, es mas comodo minimizar el cuadrado de ladistancia. La variable independiente no cambia.

Resp.: (7/2,p

7/2).

Ejercicio 6.61. Se construye un deposito como el de la figura con una pieza de metalde 3 m de ancho y 20 m de longitud. Expresar el volumen en terminos de � y hallar elmaximo volumen posible.

Sugerencia: La figura es un prisma recto cuya base es un trapecio. El volumen es igualal area de la base por la altura.

Resp.: V = 20(1 + sen �) cos � ; Vmax = 15p3 .

Ejercicio 6.62. Se construye un tanque de gas formado por un cilindro y dos semies-feras. El coste por m2 de los extremos es doble al de la parte cilındrica. Si la capacidades 10⇡, ¿cuales son las dimensiones que minimizan el coste?

Resp.: r = 3p5/2 , h = 30/ 3

p25.

Ejercicio 6.63. Un pescador se encuentra en un bote de remos a 2 Km de la costa.Desea llegar a un punto 6 Km mas alla del primero y se sabe que puede remar a 3Km/h y caminar a 5 Km/h (se supone movimiento uniforme). ¿A que punto de laplaya debe llegar si el tiempo de la trayectoria debe ser mınimo?

Resp.: Debe remar hasta un punto situado 1, 5 Km del punto mas proximo en la costa.

Ejercicio 6.64. Determinar los polinomios de McLaurin de cualquier grado corres-pondientes a las siguientes funciones:

a) f(x) =1

1 + x.

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108 6.4. Ejercicios

b) f(x) =x

1� x2

.

c) f(x) = ln (1 + x).

Ejercicio 6.65. Demostrar que el polinomio de McLaurin de grado 2n+ 1 asociado a

la funcion f(x) = ln

r

1 + x

1� xes P

2n+1

(x) =n

X

k=0

x2k+1

2k + 1.

Sugerencia. Utilizar el resultado obtenido en el apartado (c) del ejercicio anterior.

Ejercicio 6.66. Dado p 62 N, demostrar que el polinomio de McLaurin de grado

n asociado a la funcion f(x) = (1 + x)p es Pn

(x) =n

X

k=0

✓

p

k

◆

xk, siendo

✓

p

k

◆

=

p(p� 1) · . . . · (p� k + 1)

k!.

Ejercicio 6.67. Utilizando los apropiados polinomios de Taylor, calcular los siguienteslımites:

a) lımx!0

cos x� ex2

x2

.

b) lımx!0

ex � esenx

x� sen x.

c) lımx!0

x� sen x

x(1� cos 3x).

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Derivaci´on de funciones reales - Hasiera - UPV/EHU