DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

JOHAN ALEXANDER RUSSI MORENO

CARLOS PEREZProfesor

UNIVERSIDAD SERGIO ARBOLEDAMATEMÁTICAS

BOGOTÁ2008

Primera demostraciónManuscrito árabe del s.XIII

 Euclides I, 47Euclides, en el Libro I de los Elementos proposición 47 demuestra el teorema de Pitágoras: En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto. Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED. Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. A continuación unimos A con M y C con P. Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo determina (BP = AB y BM = BC) Se verifica: [Área triángulo MBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´)

= = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Por otra parte: [Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) =

= 1/2 [Área cuadrado BPQA]

Por tanto: [Área triángulo MBA] = [Área triángulo BPC] =

= 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´ son equivalentes. Análogamente demuestra que el rectángulo NA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED.

Segunda demostraciónEn la proposición 48 del Libro I de los Elementos, Euclides demuestra que Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por esos dos lados es recto es decir el recíproco de la Proposición 47.(Esta es la demostración que hace Euclides en los Elementos, aunque se han adoptado algunas notaciones actualizadas).Sea el triángulo ABC y supongamos a 2 = b 2 + c 2

Tracemos por A una perpendicular a AC y sobre ella tomamos AD igual a AB. Unamos D con C.Como DA = AB = c también lo serán sus cuadrados, es decir

DA 2 = AB 2 = c 2

Si sumamos b 2, tendremosDA 2 + b 2 = c 2 + b 2

Pero m 2 = DA 2 + b 2

(pues DAC es recto; p47) y a 2 = b 2 + c 2

(por hipótesis), luego el cuadrado sobre el lado DC (es decir m 2) es equivalente al cuadrado sobre BC (es decir a 2), por lo que el lado DC será igual al lado BC.Puesto que DA es igual a AB y AC es común DA y y AC serán iguales a BA y AC y la base DC igual a BC por lo que el ángulo DAC será igual a BAC, y como DAC es recto, el BAC también es recto.

Tercera Demostración, atribuida a Leonardo da Vinci.

Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismo aspecto y área)La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.

Cuarta demostración

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestraPartimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un

cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anteriorEl lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es

4 ( 1/2 a b) = 2 a b y un cuadrado interior de lado c y área c 2.Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

Quinta demostración Una demostración del teorema de Pitágoras atribuida a J. A. Garfield (vigésimo Presidente de los EEUU)Uniendo los puntos M y N obtenemos un trapecio cuya área es:

(a + b)/2 . (a + b) = a 2/2 + b 2/2 + a.b

Por otra parte, dicha área es la suma de los tres triángulos rectágulos que lo determinan. Sumado dichas áreas:

(a.b)/2 + (a.b)/2 + c 2/2 = a.b + c 2/2 Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que

a 2/2 + b 2/2 = c 2/2 y simplificando resulta el teorema de Pitágoras.