5/22/2017

1

1

Definicije osnovnih pojmova, statističko istraživanje i prikupljanje

podataka

Definicija masovne pojave

• Pojava koja se manifestuje na velikom broju objekata.

• Primjeri masovnih pojava:

• proizvodnja,

• uvoz i izvoz,

• prodaja,

• poslovni rezultat,

• trajanje bankarske transakcije.2

Definicija statistike

• Statistika - grupa naučnih metoda ...

• Statistika - nauka ...

• Statistika - skup ureñenih numeričkihpodataka...

3

UVIJEK U VEZI SA MASOVNOM POJAVOM.

Definicija statističke jedinice i populacije

• Statistička jedinica - element koji posjedujeobilježja na osnovu kojih se istražuju varijacijemasovne pojave.

• Populacija (osnovni skup) - skup statističkih

jedinica.• Veličina populacije - broj statističkih jedinica koje

sačinjavaju jednu populaciju (N).4

5/22/2017

2

Tipovi varijabli, distribucije frekvencija i grafikoni

Prodiskutujmo zajedno...

• Sigurno ste nekada mjerili svoju (ili nečiju) težinu, kao i brojali koliko osoba u vašoj užoj porodici ima plavu ili smeñu ili crnu kosu.

• Šta mislite, u čemu je osnovna razlika izmeñu pojmova (varijabli!) “težina” i “boja kose”?

• Kako izražavamo (koje vrijednosti mogu da uzmu) varijable “težina” i “boja kose”?

Definicija statističke varijable

• Osobina ili karakteristika po kojoj se razlikuju jedinicepopulacije

• Matematski: Funkcija koja svakoj statističkoj jedinicikao elementu populacije pridružuje jednu vrijednost.

• Sinonim - obilježje

• Modalitet – vrijednost koju može uzeti statističkavarijabla.

Tipovi mjernih skala –nominalna mjerna skala

• Mjerne skale definišu pravila pridruživanja za formiranjestatističke varijable.

• Nominalna mjerna skala• Atributivno (opisno) data lista obilježja po kojima se razlikuju

statističke jedinice.

• Poredak modaliteta je nebitan.

• Svaki modalitet ima isti relativni značaj, te njihovo uporeñivanje ilirangiranje nije moguće prema objektivnom kriteriju.

• Nisu dozvoljene matematičke operacije.

• Jedino je moguće izvršiti prebrojavanje u kontekstu formiranjadistribucije frekvencija.

5/22/2017

3

Tipovi mjernih skala – ordinalna mjerna skala

• Ordinalna mjerna skala• Modaliteti opisno izraženi, moguće ih je porediti i

rangirati prema nekom logičnom redosljedu iobjektivnom kriteriju.

• Poredak bitan, nemaju svi modaliteti isti značaj.

• Dozvoljeno prebrojavanje i logičke operacijeporeñenja (<,=,>), ali ne i matematičke operacije.

• Moguće opisno date modalitete zamijeniti rangovima(1., 2., 3., ...).

Tipovi mjernih skala – intervalna mjerna skala

• Intervalna mjerna skala• Numerički dati modaliteti, ali položaj nule se

arbitrarno odreñuje.

• Nula ne znači odsustvo pojave (nije “prirodna” već“dogovorena” nula).

• Razlike u mjernim osobinama elemenata supredstavljene razlikama brojeva na intervalnoj skali.

• Dozvoljeno prebrojavanje, poreñenje i oduzimanje.

Tipovi mjernih skala – metrička mjerna skala

• Metrička mjerna skala

• Numerički dati modaliteti i posjeduje “prirodnu” nulu.

• Nula znači odsustvo pojave (“prirodna” nula).

• Dopuštene sve logičke i matematičke operacije.

• Omogućava najprecizniju i najopširniju analizu.

Tipovi statističkih varijabli prema tipu mjerne skale

• Kvalitativna statisti čka varijabla

• Nominalna ili atributivna

• odgovara joj nominalna mjerna skala

• npr. boja automobila

• Ordinalna

• odgovara joj ordinalna mjerna skala

• npr. zvanje univerzitetskog radnika

5/22/2017

4

Tipovi statističkih varijabli prema tipu mjerne skale, cont.

• Kvantitativna statisti čka varijabla

• Prekidna

• može uzeti samo neke ili odreñene vrijednosti iz zadanogintervala

• npr. ocjena na ispitu iz Markeinga, broj prisutnih studenata napredavanju

• Neprekidna

• teoretski može uzeti bilo koju vrijednost iz zadanog intervala

• npr. visina ili težina studenta I godine, dužina proizvoda

Primjer Kojeg su tipa varijable pomoću kojih izražavamo:

• Navršene godine jedne osobe

• Temperaturu u amfiteatru

• Ljubaznost neke osobe

• Bračno stanje

• Način pla ćanja potroša ča u tržnom centru (gotovina,kreditna kartica, ček, potroša čka kartica, ostalo)

Razmislite i prodiskutujmo zajedno...

• Zasigurno ste nekada bili u situaciji da diskutujete o gender strukturi neke grupe.

• Kako ste to radili?

• Prvi korak je bio: izbrojali ste koliko je u grupi pripadnika muškog spola a koliko pripadnica ženskog spola.

• Šta ste vi zapravo uradili?

Frekvencije

• Apsolutna frekvencija - brojpojavljivanja (ponavljanja)datog modaliteta xi.

• Relativna frekvencija -proporcija jedinica statističkogskupa koje imaju istimodalitet.

1

,=

=∑n

i ii

f f N

1

, 1=

= =∑n

ii i

i

fp p

N

5/22/2017

5

Kumulativne apsolutne frekvencije

Rastuća apsolutna kumulanta - koliko podatakaima vrijednost manju ili jednaku vrijednostimodaliteta xi na kojoj se trenutno nalazimo.

1

i

i jj

S f=

=∑

Kumulativne relativne frekvencije

Rastuća relativna kumulanta - koliki je % podatakakoji imaju vrijednost manju ili jednaku vrijednostimodaliteta xi na kojoj se trenutno nalazimo (akopomnožimo sa 100%).

1

i

i jj

F p=

=∑

Primjer

U populaciji od 15 studenata proveli smo anketu sapitanjem: “Koji žanr filma najviše volite?” i dobilisljedeće odgovore:

dramu, triler, komediju, horor, triler, dramu,komediju, triler, akciju, dramu, komediju, akciju,dramu, komediju, dramu

Formirati odgovarajuću distribuciju frekvencija.

Rješenje – osnovni statistički pojmovi

• Populacija?

• Statistička jedinica?

• Veličina populacije

• Varijabla?

• Tip varijable?

• Modaliteti?

5/22/2017

6

Rješenje – distribucija frekvencija

Modaliteti – Filmski žanr

Apsolutne frekvencije - Broj studenata

Akcija 2 Drama 5 Horor 1 Komedija 4 Triler 3 Ukupno 15

Primjer

Na osnovu ispitivanja 35 gradova dobili smo podatke obroju osnovnih škola u jednom gradu:

1, 1, 2, 3, 5, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 3, 4, 1, 2, 7, 2, 2, 4, 4, 3,4, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 1, 5, 2

Uporediti i komentarisati statističku seriju sa brutopodacima, ureñenu statističku seriju i statističkudistribuciju frekvencija.

Primjer - pitanja

• Izračunati i objasniti relativne frekvencije.

• Izračunati i objasniti apsolutne kumulativne frekvencije.

• Izračunati i objasniti relativne kumulativne frekvencije.

Rješenje – osnovni statistički pojmovi

• Populacija

• gradovi

• Statistička jedinica

• grad

• Veličina populacije

• N=35

• Varijabla

• broj osnovnih škola u gradu

• Tip varijable

• kvantitativna prekidna

• Modaliteti

• 1,2,3,4,5,6,7

5/22/2017

7

Rješenje – ureñena serija

• Serija koju imamo u postavci zadatka je statisti čka serijasa bruto podacima , to je baza podataka u koju smoupisivali podatke za svaki grad („nesreñeni ili nabacanipodaci“).

• Da bismo dobili ureñenu statisti čku seriju moramo sortiratipodatke po veličini:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7

Rješenje – distribucija frekvencija

Krajnji oblik grupisanja podataka je statisti čkadistribucija frekvencija , kada svakom modalitetuvarijable (modaliteta ima n jer je riječ o prekidnojvarijabli sa malim brojem modaliteta) pridružimonjemu odgovarajuću apsolutnu frekvenciju:

• - i- ti modalitet posmatrane varijable

• - apsolutna frekvencija i -tog modaliteta

• n - broj modaliteta

ix

if

Rješenje – radna tabela (neintervalno grupisanje)

Rastuća apsolutna kumulanta - S

5

16

23

29

32

34

35

Broj osnovnih škola - x

Apsolutna frekvencija - f

1 5

2 11

3 7

4 6

5 3

6 2

7 1

Σ 351

i

i jj

S f=

= ∑

Rastuća apsolutna kumulanta

Rješenje – radna tabela (neintervalno grupisanje), cont.

Rastuća relativna kumulanta - F

0,1429

0,4571

0,6571

0,8286

0,9143

0,9714

1,0000

Broj osnovnih škola - x

Relativna frekvencija –p=f/N

1 5/35=0,1429

2 11/35=0,3143

3 7/35=0,2000

4 6/35=0,1714

5 3/35=0,0857

6 2/35=0,0571

7 1/35=0,0286

Σ 1,0000 1

i

i jj

F p=

=∑

Rastuća relativna kumulanta

5/22/2017

8

Primjer

Za 25 domaćinstava imamo informacije o veličini zemljišnog posjeda (u ha):

12,3 13,4 14,8 8,3 13,6 12,4 12,0 12,8 11,2 13,8 15,0 13,2 16,2 12,7 11,7 13,9 13,0 9,5 14,5 12,7 16,0 13,5 10,2 9,6 14,8

• Formirati statističku distribuciju frekvencija (širina intervala2).

• Odrediti centre intervala.

Rješenje – osnovni statistički pojmovi

• Populacija • zemljišni posjedi

• Statistička jedinica

• posjed

• Veličina populacije• N=25

• Varijabla

• veličina posjeda

• Tip varijable• kvantitativna neprekidna (kontinuirana)

Rješenje – odreñivanje širine intervala

• N=25,

•

• Formiramo intervale širine (veličine, amplitude)l=2 i za date intervale (n=5) odreñujemoapsolutne frekvencije na osnovu prebrojavanjabruto podataka.

min max8,3 16,2x x= =

Radna tabela – distribucija frekvencija (intervalno grupisanje)

iR -

intervali if -

apsolutne frekvencije

8-10 3 10-12 3 12-14 13 14-16 4 16-18 2

25

5/22/2017

9

Radna tabela – intervalno grupisanje, centri intervala

ci

9

11

13

15

17

Ri fi8-10 3

10-12 3

12-14 13

14-16 4

16-18 2

25

1 2

2j j

i

L Lc

+=

PrimjerZa zadanu distribuciju frekvencija:

• Odrediti relativne frekvencije.

• Odrediti relativne rastuće kumulativne frekvencije.

• Objasniti:• apsolutnu frekvenciju drugog intervala.

• relativnu frekvenciju petog intervala

• relativnu rastuću kumulativnu frekvenciju trećeg intervala.

Broj opravki Broj dana 25-30 2 30-35 6 35-40 9 40-45 8 45-50 5 suma 30

Rješenje – radna tabela

iR if ii

fp

N= iF

25-30 2 0,0667 0,0667 30-35 6 0,2000 0,2667 35-40 9 0,3000 0,5667 40-45 8 0,2667 0,8334 45-50 5 0,1666 1,0000 suma 30 1,0000

Grafičko predstavljanje statističkih varijabli

• Korištenje grafikona predstavlja odličan način da se pojednostavi prikazivanje i razumijevanje obimnog i složenog materijala kao što su poreñenja, obrasci i trendovi u podacima.

• Na primjer, umjesto da analizirate nekoliko kolona brojeva radnog lista, možete koristiti grafikon da biste na prvi pogled uporedili promjene u dinamici upisa u škole izmeñu djevojčica i dječaka u odreñenom vremenskom periodu.

• Izbor grafikona direktno zavisi od tipa statističke varijable.

SLIKA VRIJEDI KOLIKO HILJADU RIJEČI!

5/22/2017

10

Grafičko predstavljanje kvalitativne varijable

• Kvalitativna varijabla može se predstaviti pomoću:

• jednostavnih stubaca

• strukturnog stubca

• strukturnog kruga ili polukruga

• Ako je nominalna varijabla poredak nije bitan, ako jeordinalna varijabla poredak stubaca je bitan i ne smije semijenjati.

• U slučaju kombinovanja više varijabli koristi se:

• strukturni - razdijeljeni stubac

• razdvojeni ili višestruki stupci

• razdijeljeni stupci

• Kod geografske serije moguće je nacrtati i kartogram.

Primjer

Na kursu za manekenke koji je pohañalo 58 djevojakazabilježili smo njihovu boju očiju i dobili sljedećudistribuciju frekvencija:

Grafički predstaviti ovu distribuciju. Analizirati strukturu.

boja očiju broj djevojaka na kursu za manekenke

plava 12 smeña 23 crna 14 zelena 9

Rješenje – osnovni statistički pojmovi

• Riječ je o nominalnoj kvalitativnoj varijabli “boja očiju”.

• Populacija su djevojke sa kursa za manekenke.

• N=58

• Koristićemo sljedeće grafikone:• stupce

• strukturni krug

• strukturni stubac

Rješenje - grafikon stubaca

12

23

14

9

0

5

10

15

20

25

plava smeña crna zelena

bro

j dje

voja

ka

boja o čiju

Možemo mijenjati poredak stubaca , jer je riječ o nominalnoj varijabli .

5/22/2017

11

Rješenje - strukturni krug

21%

40%

24%

15%

plava

smeña

crna

zelena

Rješenje - strukturni stubac

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

zelena

crna

smeña

plava

Rješenje - analiza strukture

Na osnovu prezentiranih strukturnog kruga istrukturnog stupca možemo zaključiti da:

• 39,6% djevojaka imalo je smeñe oči

• 24,1% djevojaka imalo je crne oči

• 20,7% djevojaka imalo je plave oči

• 15,6% djevojaka imalo je zelene oči.

Primjer

Analizirali smo strukturu nastavnog osoblja jednog fakultetaprema naučnom zvanju i dobili informaciju:

Nacrtati grafikon stubaca.

zvanje zaposlenog broj zaposlenih asistent 15 viši asistent 9 docent 10 vanredni profesor 12 redovni profesor 14 ∑ 60

5/22/2017

12

Rješenje – osnovni statistički pojmovi

• Riječ je o ordinalnoj kvalitativnoj varijabli “naučnozvanje”.

• Populaciju čini nastavno osoblje

• N=60

• Ne smijemo prilikom konstruisanja grafikonastubaca mijenjati poredak dat u tabeli, jer je riječ oordinalnoj varijabli.

Rješenje - grafikon stubaca

15

910

1214

0

2

4

6

8

10

12

14

16

asistent viši asistent docent vanredni profesor redovni profesor

bro

j zap

osl

enih

zvanje zaposlenog

Grafičko predstavljanje kvantitativne varijable

Kvantitativna varijabla može se predstaviti zavisno od tipa:

• mali broj podataka, negrupisana serija:• Tukey-ev stablo - list dijagram (S-L)

• x – osa

• grupisana serija ili distribucija frekvencija:• razdijeljeni stupci (prekidna serija, nema intervala)

• strukturni stubac

• strukturni krug

• histogram - spojeni stupci (neprekidna serija, intervali)

• poligon apsolutnih frekvencija

• poligon kumulanti

• linijski dijagram (prekidna neintervalno grupisana serija)

Rješenje

• Numeričko obilježje, mali broj podataka, nema grupisanja

• Podatke prezentujemo na x-osi

27, 14, 22, 8, 12, 25, 18, 5, 22, 19, 30, 4

5/22/2017

13

Rješenje, S-L dijagram

• Stablo – desetice, listovi – jedinice

27, 14, 22, 8, 12, 25, 18, 5, 22, 19, 30, 4

Ili sortirano: 4, 5, 8, 12, 14, 18, 19, 22, 22, 25, 27, 30

Primjer

Broj rasprodaja Broj prodavnica 0 1 1 20 2 23 3 20 4 15 5 12 6 9

Za 100 slučajno odabranih prodavnica pratili smo “brojrasprodaja u toku godine”:

Grafički predstaviti.

Rješenje - grafikon stubaca Rješenje - strukturni krug

1%20%

23%

20%

15%

12%

9% 0

1

2

3

4

5

6

5/22/2017

14

Rješenje - poligon apsolutnih frekvencija

Primjer

Mjesečno primanje (u 100 KM) za 40 radnika bilo je:

Konstruisati: histogram i poligon apsolutne rastuće kumulante.

mjesečno primanje broj radnika 3,5-4,5 3 4,5-5,5 5 5,5-6,5 6 6,5-7,5 10 7,5-8,5 8 8,5-9,5 6 9,5-10,5 2

Rješenje - histogram

3

5

6

10

8

6

2

0

2

4

6

8

10

12

3,5-4,5 4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5

broj

radn

ika

mjesečna primanja

Rješenje - poligon apsolutne rastuće kumulante

5/22/2017

15

Deskriptivna statistika – mjere centralne tendencije i mjere

varijabiliteta Mjere srednje vrijednosti

Mjere srednje vrijednosti

• Kod mjerenja mnogih pojava možemo primjetiti da se rezultati grupišu oko jedne karakteristične vrijednosti -mjere srednje vrijednosti

• Sinonim – mjere centralne tendencije

• Srednja vrijednost je konstanta kojom se predstavlja niz varijabilnih podataka.

• Podatak oko kojeg se grupišu ostali podaci u nizu

• Mogu biti:

• Računske (potpune) – uzimaju u obzir sve podatke u nizu

• Pozicione (nepotpune) – uzimaju u obzir samo podatke koji se nalaze na odreñenoj poziciji u nizu

Izbor mjere srednje vrijednosti prema mjernoj skali

Mjerna skala Potpune

mjere srednje

vrijednosti

Medijana Mod

Nominalna NE NE DA

Ordinalna NE NE DA

Numerička DA DA DA

5/22/2017

16

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina

• Predstavlja najznačajniju mjeru centralne tendencije.

• Potpuna ili računska mjera centralne tendencije.

• Jednaka je količniku zbira svih observacija i veličine serije.

• Ne preporučuje se njeno korištenje ako u nizu imapodataka koji “kvare” niz, jer je sklona “ekstremima”

• “Osjetljiva” je na promjenu bilo kog podatka iz niza.

Formule za izračunavanje

• Negrupisani podaci

• Neintervalno grupisanipodaci

• Intervalno grupisanipodaci

1

1 1

n nX x f x pi i i iN i i

= ⋅ ⋅ = ⋅∑ ∑= =

1

1 1c c

n nX f pi i i iN i i

= ⋅ ⋅ = ⋅∑ ∑= =

1

1

N

NX xii

= ⋅ ∑=

Osobine - I

• Ako imamo niz podatakakoji su svi jednaki nekojkonstanti c, tada jearitmetička sredina takvogniza jednaka toj konstanti.

• Aritmetička sredina senalazi izmeñu najmanje inajveće vrijednosti u nizu. min maxx X x≤ ≤

const. , 1,ix c i n= = ∀ =

1 1

N N

ii i

x cc N

X cN N N

= = ⋅= = = =∑ ∑

5/22/2017

17

Osobine - II

• Suma odstupanja observacija odaritmetičke sredine je 0.

• Osobina agregiranja aritmetičkesredine.

• Zbir kvadratnih odstupanjavrijednosti numeričke varijable odaritmetičke sredine je minimalan.

( )

( )1

1

0

N

ii

n

i ii

x X

x X f

=

=

− =

= − ⋅ =

∑

∑

1

1

m

j jj

m

jj

N X

XN

=

=

⋅=∑

∑

( ) ( )2 2

1 1

N N

i ii i

x X x a= =

− ≤ −∑ ∑

Osobine - III

• Ako svaku observacijupomnožimo istomkonstantom, aritmetičkasredina novoformiranevarijable jednaka jeproizvodu te konstante iaritmetičke sredine polaznevarijable.

• Ako svakoj observacijidodamo istu konstantu,aritmetička sredinanovoformirane varijablejednaka je zbiru te konstantei aritmetičke sredine polaznevarijable.

i iy b x Y b X= ⋅ ⇒ = ⋅

i iy a x Y a X= + ⇒ = +

Primjer

U uzorak je uzeto 10 turističkih centara i ispitivan je brojturista koji u toku sezone posjete te centre. Podaci susljedeći (izraženi u 1000 turista):

5, 7, 11, 17, 9, 4, 14, 3, 8, 5

Koliko u prosjeku ljudi posjeti turističke centre u tokusezone?

Rješenje

• Mali broj podataka, ostaje negrupisana serija.

• Populacija – turistički centri.

• Turističke centre u toku sezone u prosjeku posjeti 8300turista.

3,88310

11 10

1

=⋅=⋅= ∑=i

ixN

X

5/22/2017

18

Primjer

Sprovedeno je ispitivanje koliko neispravan automobilu prosjeku čeka na popravak i dobiveni rezultati:

• Pomoću histograma predstaviti pojavu.

• Izračunati prosječno vrijeme čekanja na popravak.

vrijeme čekanja (u h) broj automehaničarskih radnji 0-0,5 3 0,5-1 8 1-1,5 11 1,5-2 9 2-2,5 6 2,5-3 3

Rješenje – histogram apsolutnih frekvencija

• neprekidna varijabla

0

2

4

6

8

10

12

0-0,5 0,5-1 1-1,5 1,5-2 2-2,5 2,5-3

broj

aut

omeh

aničar

skih

ra

dnji

vrijeme čekanja

Rješenje - radna tabela, aritmetička sredina

Prosječno vrijeme čekanja na popravak iznosi 1,45 h.

6

1

1i i

i

X c fN =

= ⋅ ⋅∑

ix if

0-0,5 3 0,5-1 8 1-1,5 11 1,5-2 9 2-2,5 6 2,5-3 3 ∑ 40

ix if ic

0-0,5 3 0,25 0,5-1 8 0,75 1-1,5 11 1,25 1,5-2 9 1,75 2-2,5 6 2,25 2,5-3 3 2,75 ∑ 40

ix if ic i ic f⋅

0-0,5 3 0,25 0,75 0,5-1 8 0,75 6 1-1,5 11 1,25 13,75 1,5-2 9 1,75 15,75 2-2,5 6 2,25 13,5 2,5-3 3 2,75 8,25 ∑ 40 58

581,45

40= = Pozicione mjere srednje

vrijednosti – mod, medijana, kvartili, decili i centili

5/22/2017

19

Prodiskutujmo zajedno...

• Šta mislite, koji broj godina ima najviše osoba u ovoj prostoriji? 18? 19? Kako ćete to ustanoviti?

• Prebrojavanjem ćemo ustanoviti koji broj godina se najveći broj puta pojavio. Drugim riječima, koji broj godina ima najveću frekvenciju.

• Vjerovali ili ne, na ovaj način smo odredili mod za varijablu starost osoba u ovoj prostoriji.

Mod (dominantna vrijednost)• Centar aktivnosti ili podatak koji se najčešće javlja.

• Kod nominalnog ili ordinalnog niza to je najčešći modalitet,

• Kod numeričkog niza to je najčešća vrijednost

• Podatak koji ima najveću apsolutnu ili relativnu frekvenciju.

• Mod nije najviša frekvencija, već modalitet koji se veže uznajvišu frekvenciju!!!

• Ne može se odrediti ako ne postoje bar dvije jednakevrijednosti varijable - računa se samo za statističkudistribuciju (grupisanu seriju)

• Grafički se odreñuje na histogramu.

• Mod može imati više različitih vrijednosti, te distribucija možebiti:

• unimodalna

• višemodalna

Odreñivanje (izračunavanje) moda

• Za neintervalno grupisanu distribuciju na osnovunajveće frekvencije ( ) čita se modalnipodatak.

• Za intervalno grupisanu distribuciju frekvencija iz pročitanogintervala naspram najveće frekvencije mod se odreñuje nabazi formule:

oMff =max

( ) ( )1

1

1 1

o o

o o

o o o o

M M

o M M

M M M M

f fM L a

f f f f

−

− +

−= + ⋅

− + −

Prednosti i nedostaci moda

• Prednosti

• Može se odrediti i za kvalitativnu varijablu

• Jednostavno se odreñuje

• Nije osjetljiv na “outliere”

• Nedostaci

• Ne može se uvijek odrediti

• Osjetljiv je na način kako se formira statististička serija i njeni intervali

• Nepouzdan kod asimetričnih distribucija

5/22/2017

20

Medijana (centralna vrijednost)

• Vrijednost obilježja koja u seriji ureñenoj po veličinizauzima centralnu poziciju (rang).

• Dijeli statističku seriju na dva jednaka dijela (u svakomdijelu je po 50% podataka iz niza).

• Odreñuje se na osnovu rastuće kumulante.

• Za razliku od aritmetičke sredine:

• Nije osjetljiva na prisustvo “outliera”.

• Ne reaguje na sve promjene vrijednosti podataka unizu.

Odreñivanje (izračunavanje) medijane

• Prvi modalitet ili interval kod kog je zadovoljeno jemedijana ili interval gdje se nalazi medijana. Ako je riječ ointervalu tada medijanu odreñujemo na bazi formule:

2 Me

NS≤ ↑

1

12

( )

e

e e

e

M

e M MM

NS

M L af R

−− ↑= + ⋅

Kvartili

• Označavaju se sa Q1, Q2 i Q3.

• Vrijednosti varijable koji distribuciju ureñenu po veličini dijele na 4 jednaka dijela

• U svakom dijelu 25% podataka

• Prvi kvartil Q1 jednak vrijednosti varijable od koje 25% elemenata skupa ima jednaku ili manju vrijednost i 75% elemenata skupa ima veću vrijednost posmatranog obilježja.

• Medijana je jednaka drugom kvartilu Me=Q2.

• 75% observacija prethode Q3 i 25% observacija se nalaze poslije Q3.

• Računanje kao kod medijane, sa teorijskim pozicijama: (N/4), (2N/4) i (3N/4).

Primjer 6

Data je distribucija osoba na privremenom radu uinostranstvu, prema starosti stanovništva:

God. starosti Br. osoba 15 – 20 20083 20 – 25 52860 25 – 30 41249 30 – 35 38252 35 – 40 30499 40 – 45 20113 45 – 50 10273 50 – 55 3079 55 - 60 2706

5/22/2017

21

Primjer, cont.

• Odrediti najčešću starost osoba na privremenomradu u inostranstvu.

• Odrediti medijanu. Objasniti.

Rješenje – radna tabela

Ri fi iS ↑

15 – 20 20.083 20.083 20 – 25 52.860 72.943 25 – 30 41.249 114.192 30 – 35 38.252 152.444 35 – 40 30.499 182.943 40 – 45 20.113 203.056 45 – 50 10.273 213329 50 – 55 3.079 216.408 55 - 60 2.706 219.114

∑ 219.114

2 Me

NS≤ ↑

maxf =

Rješenje - mod

Najčešća starost osoba na privremenom radu uinostranstvu iznosi 23,69 godina.

[ [max o52.860 20 25f M= ⇒ ∈ −

( ) ( )

( ) ( )

11

1 1

52.860 20.08320 5 23,69

52.860 20.083 52.860 41.249

o o

o o

o o o o

M M

o M M

M M M M

f fM L a

f f f f

−

− +

−= + =

− + −

−= + =− + −

Rješenje – mod, grafičko odreñivanje

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

15 – 20 20 – 25 25 – 3030 – 35 35 – 40 40 – 4545 – 50 50 – 55 55 - 60

starost

broj o

soba

Modalni stubac

Mo

5/22/2017

22

Rješenje – medijana

[ [219.114109.557 114.192 25 30

2 2 e

NM= = ≤ ⇒ ∈ −

1

1

109.557 72.9432 25 5 29,4441.249

e

e e

e

M

e M MM

NS

M L af

−− ↑ −= + = + ⋅ =

50% osoba na privremenom radu u inostranstvu ima manjeili jednako 29,44 godina, dok 50% osoba na privremenomradu u inostranstvu ima više od 29,44 godina.

Rješenje - medijana, grafičko odreñivanje

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

gornje granice intervala

apso

lutn

a ra

stuća

kum

ulan

ta

N/2=109.557

Me

Primjer

Sedmične zarade zaposlenih u kompaniji ''ABC'' datesu u tabeli:

Odrediti mod i medijanu. Objasniti.

Zarada u KM Broj zaposlenih 155 8 165 10 175 16 185 17 195 9 205 5 215 2

Rješenje – radna tabela

ix if iS ↑

155 8 8 165 10 18 175 16 34 185 17 51 195 9 60 205 5 65 215 2 67

∑ 67

2 Me

NS≤ ↑

maxf

5/22/2017

23

Rješenje - mod

• Iznos sedmične zarade zaposlenih u kompaniji''ABC'‘ koji se najčešće pojavljuje u analiziranojdistribuciji je 185 KM.

• Navedeno možemo pokazati i na dijagramustubaca.

max 17 185of M= ⇒ =

Rješenje – mod na grafiku stubaca

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

broj zaposlenih

155 165 175 185 195 205 215

zarada u KM

• Najviši stubac odgovara zaradi 185 KM.

Rješenje - medijana

• Kako nema velikog odstupanja stvarne od teorijskemedijalne kumulante, tumačimo da 50% zaposlenihima sedmičnu zaradu 175 KM ili manje, dok 50%zaposlenih ima sedmičnu zaradu višu od 175 KM.

3 2

6733,5 34 175

2 2 e

NS Q M= = ≤ = ↑ ⇒ = =

Mjere varijabiliteta

5/22/2017

24

Zašto su korisne mjere varijabiliteta?

• Na prvoj godini studija, jedan student Ekonomskogfakulteta imao je prosječnu ocjenu 7,5. Na drugoj godinistudija taj student je imao prosječnu ocjenu 8.

• Na kojoj godini studija je student pokazao bolji uspjeh?

• Odgovor na ovo pitanje ne možemo dati sve dok nemamoinformaciju u kojem su obimu varirale ocjene drugihstudenata na prvoj i drugoj godini studija i kolika jeprosječna ocjena ostvarena na svakoj godini studija.

Mjere varijabiliteta

• Nose informaciju o obimu variranja podataka iz niza oko izračunate mjere srednje vrijednosti.

• Ukazuju na postojanje outliera.

• Mogu biti:

• Apsolutne – izražene u jedinici mjere posmatrane varijable

• Relativne – neimenovani broj ili %

Apsolutne mjere varijabiliteta

Apsolutne mjere varijabiliteta

• Raspon variranja

• Prosje čno apsolutno odstupanje

• Interkvartilno apsolutno odstupanje

• Varijansa

• Standardna devijacija

5/22/2017

25

Apsolutne mjere varijabiliteta, cont.

• Raspon variranja

• Najjednostavnija za izračunavanje (ali i najnetačnija i najmanje precizna) mjera grupisanja rezultata oko neke srednje vrijednosti, jer uzima u obzir samo najviši i najniži podatak u nizu

• Bilo koji “osamljeni” ekstremni rezultat (ili “outlier”) značajno povećava raspon variranja a da se grupacija rezultata oko aritmetičke sredine ipak nije bitno promijenila

• Osnovni nedostatak raspona variranje je što je on obično timveći što je veći broj mjerenja neke pojave.

minmax xxR −=

Apsolutne mjere varijabiliteta, cont.

• Varijansa je mjera varijabiliteta podataka iz niza oko aritmetičke sredine.

• Jedinica mjere za varijansu? Tumačenje?

• Standardna devijacija

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

1 1

2 22

1 1

2 22

1 1

1 1

1 1

N N

i ii i

n n

i i i ii i

n n

i i i ii i

x X x XN N

x X f x f XN N

x X p x p X

σ= =

= =

= =

= ⋅ − = ⋅ − =

= ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − =

= − ⋅ = ⋅ −

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

2σ=σ

Osobine varijanse

• Ukoliko svaki podatak u nizu uvećamo za istu konstantu, varijansa ostaje nepromjenjena.

• Ukoliko svaki podatak u nizu pomnožimo istom konstantom, varijansa se množi sa konstanta2.

2 2,i i y x y xy x a i σ σ σ σ= + ∃ ⇒ = ⇒ =

2 2 2,i i y x y xy b x i b bσ σ σ σ= ⋅ ∃ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Empirijsko pravilo za interpretaciju standardne devijacije

• Ukoliko empirijska distribucija teži “normalnoj distribuciji”, to jeste ima oblik zvona:

– Oko 68% vrijednosti će biti obuhvaćene intervalom (prosjek -/+1 S.D.)

– Oko 95% vrijednosti će biti obuhvaćene intervalom (prosjek -/+2 S.D.)

– Oko 99,7% vrijednosti će biti obuhvaćene intervalom (prosjek -/+3 S.D.)

5/22/2017

26

Upotrebljivost empirijskog pravila• Ako su prosječna primanja u BiH 600 KM sa standardnom

devijacijom 260 KM, to znači da oko 68% populacije u BiH imaprimanja izmeñu 340 i 860 KM i oko 95% populacije ima platu od80 do 1120 KM.

• Ako prosječan Bosanac ili Hercegovac provede 3 sata poredtelevizora dnevno sa standardnom devijacijom od 1 sat, to značida oko 68% bosansko-hercegovačke populacije provodi poredTV-a izmeñu 2 i 4 sata i 95% populacije gleda TV izmeñu 1 i 5sati.

• Ako je prosječna ocjena na Likertovoj skali od 1-5 za političaraXY jednaka 3,0 sa standardnom devijacijom 1,6, to znači da ovogpolitičara 68% populacije ocjenjuje ocjenom od 1,4 do 4,6.

Primjer

Ispit iz predmeta Statistika položilo je 40 studenata. Uslučajno izabranom uzorku od 25 studenata dobijene susljedeće ocjene:

Ocjena Broj studenata

6 7

7 9

8 49 3

10 2

Odrediti i protumačiti apsolutne mjere varijacije.

Rješenje – aritmetička sredina

• Aritmetička sredina 1847,36

25= =

x f x�f6 7 42

7 9 63

8 4 32

9 3 27

10 2 20

Σ 25 184

i ix fX

N

⋅= ∑

x f

6 7

7 9

8 4

9 3

10 2

Σ 25

Rješenje – kvartili

ix if

6 7 7 9 8 4 9 3

10 2 Σ 25

ix if

rastuća apsolutna kumulativna frekvencija -

iS ↑

6 7 7 7 9 16 8 4 20 9 3 23

10 2 25 Σ 25

Za izračunavanje kvartila potrebna nam je rastuća kumulativna frekvencija:

N/4=6,25<7⇒Q1=6

3N/4=18,75<20⇒Q3=8

5/22/2017

27

Rješenje – raspon varijacije, prosječno apsolutno odstupanje

• Raspon varijacije10 6 4= − =

max minRV x x= −

x f

6 7

7 9

8 4

9 3

10 2

Σ 25

Rješenje – varijansa

Prosje čno kvadratno odstupanje podataka od aritmetičke sredine iznosi 1,5104.

37,771,5108

25= =

( )5 22 2

1

1i i

i

x f XN

σ=

= ⋅ ⋅ −

∑

( )5 2

2

1

1i i

i

x X fN

σ=

= ⋅ − ⋅

∑ x f

6 7

7 9

8 4

9 3

10 2

Σ 25

213927,36 1,5104

25= − =

x f (x-xbar)2�f

6 7 12,95

7 9 1,17

8 4 1,64

9 3 8,07

10 2 13,94

Σ 25 37,77

x f (x-xbar)2�f x2�f

6 7 12,95 252

7 9 1,17 441

8 4 1,64 256

9 3 8,07 243

10 2 13,94 200

Σ 25 37,77 1392

Rješenje – standardna devijacija i interkvartilno odstupanje

• Standardna devijacija

Prosje čno linearno odstupanje podataka od aritmetičke sredine iznosi 1,229.

2 1,5104 1,229σ σ= = =

Pitanje

Varijansa plata u preduzeću «XY» za mjesec januar 2007. iznosila je 50 KM2. Zbog dobrog poslovanja preduzeća, menadžment je odlučio da platu svakog radnika za mjesec februar poveća za 10 KM.

Varijansa plata u mjesecu februaru iznosi:a) 40 KM2

b) 50 KM2

c) 10 KM2

d) 60 KM2

5/22/2017

28

Pitanje

Standardna devijacija koncentracije ugljen monoksida u junu iznosila je 10. Uključivanjem postrojenja za centralno grijanje, koncentracija ugljen monoksida u zraku je u januaru bila za 50% veća u odnosu na juni.

Kolika je standardna devijacija koncentracije ugljen monoksida u januaru?

a) 10

b) 15c) 50

Pitanje

Vrijednosti standardne devijacije i varijanse:

1. Nikada nisu negativne

2. Uvijek su pozitivne

3. Nikada nisu jednake nuli

Pitanje

Cijene svih fakultetskih udžbenika slijede “normalnu” distribuciju sa aritmetičkom sredinom 85 KM i standardnom devijacijom 20 KM.

Koristeći empirijsko pravilo odrediti:

A. Procenat fakultetskih udžbenika čija se cijena kreće u intervalu 65 do 105 KM

B. Interval u kojem se nalaze cijene za 99,7% fakultetskih udžbenika

68%

25 – 145 KM

Relativne mjere varijabiliteta

5/22/2017

29

Relativne mjere varijabiliteta

• Relativni (u vidu relativnog broja ili %,daju mogućnost za poreñenjevarijabiliteta serija sa različitimjedinicama mjere)

• koeficijent varijacije

• koeficijent interkvartilnog odstupanja

• z vrijednost

Koeficijent varijacije

• Koeficijent varijacije je relativna mjera varijabiliteta kojumožemo koristiti za uporeñivanje serija sa različitimjedinicama mjere, jer je neimenovani broj.

• Može služiti i za poreñenje nizova gdje su aritmetičkesredine različite.

(%)100⋅σ=X

V

Standardizovane varijable (z-vrijednosti)

• Utvrñivanje relativnog položaja modalitetavarijable u seriji.

• Pogodna za uporeñivanja položaja podataka urazličitim serijama.

, 1,2,...,ii

x Xz i N

σ−= =

Primjer, cont.

• Na prethodnom času smo za varijablu “ocjena na ispituiz Statistike” odredili apsolutne mjere varijacije.

• Izračunali smo:

• Izračunati i objasniti koeficijent varijacije.

1 37,36; 1,229; 6; 8X Q Qσ= = = =

5/22/2017

30

Koeficijent varijacije

• Relativno izraženo variranje podataka oko aritmetičke sredine iznosi 16,7%.

1,229100 100 16,7%

7,36V

X

σ= ⋅ = ⋅ =

Primjer

Za varijablu “dužina radnog staža”, izračunali smo:

Izračunajte i i objasnite koeficijent varijacije.

12,3; 6,16;X σ= =

Rješenje

• Koeficijent varijacije

• Relativno izraženo variranje podataka oko aritmetičke sredine iznosi 50,09%.

6,16100 100 50,09%

12,3V

X

σ= ⋅ = ⋅ =

Primjer

• Student je na prvoj godini studija imao prosječnu ocjenu A=8,2 a na drugoj godini studija B=8,4. Na kojoj godini je ostvario bolji uspjeh?

• Prvoj

• Drugoj

• Ne znam

5/22/2017

31

Rješenje

• Da bismo odgovorili na ovo pitanje potražili smo dodatneinformacije i saznali da je prosječna ocjena na prvoj godinibila 7,3 sa standardnom devijacijom 1,5, dok je na drugojgodini prosječna ocjena bila 8,64 sa standardnomdevijacijom 1,2.

• Već sada vidimo da je na prvoj godini student imao“nadprosječan” uspjeh dok je na drugoj godini imao“ispodprosječan” uspjeh.

Matematski...

8,2 7,30,6 0

1,5AA

A Az

σ− −= = = >

8,4 8,640,2 0

1,2BB

B Bz

σ− −= = = − <

A Bz z>

Pitanje

• Koji pokazatelj ćemo upotrijebiti ako želimo saznati relativnu mjeru variranja podataka oko aritmetičke sredine?

• Koeficijent interkvartilnog odstupanja

• Standardnu devijaciju

• Koeficijent varijacije

• Varijansu

Razmislite i zapišite vaš odgovor:

• Na ispit iz Statistike izašlo je 5 studenata. Izračunali smonjihovu prosječnu ocjenu i standardnu devijaciju. Od svakeocjene smo oduzeli aritmetičku sredinu i dobivenu razlikupodijelili sa standardnom devijacijom. Dobili smo niz odnovih 5 podataka.

• Kako nazivamo novodobivene podatke?

• Kolika je njihova:

• Aritmetička sredina?

• Varijansa?

• Standardna devijacija?

0

1

1

5/22/2017

32

Izvori

• Curwin J. and Slater R., Quantitative Methods for Business Decisions, Thomson Learning – fifth edition 2002.

• Dumičić, K., Bahovec V., at al., Poslovna statistika, Sveučilište u Zagrebu, Element, Zagreb 2011.

• Resić, E., Delalić, A., Balavac, M., Abdić, A., Statistics in Economics and Management, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2010.

• Resić E., Zbirka zadataka iz statistike, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006.

• Somun-Kapetanović R., Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006.