De la Compréhension de l’Unification de l’Électricité et du …logiqueformelle.free.fr/pdf/TPE-electromagnetisme.pdf · 2009. 3. 8. · De la Compréhension de l’Unification

De la Compréhension de l’Unification del’Électricité et du Magnétisme

DELRUE Jonathan - www.logique-formelle.fr

7 mars 2009

De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme 2008-2009

2

Table des matières

1 Introduction 51.1 La science et l’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 L’évolution des idées et l’Unification de la physique . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 La représentation du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Electricité 112.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Magnétisme 153.1 Matériaux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Typologie de l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Définition des caractéristiques techniques des aimants . . . . . . . . . . 183.1.3 Caractéristiques techniques et cycle d’hysétérésis . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Magnétisme à l’échelle de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Point de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Electricité et magnétisme 214.1 Courant électrique et champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 Cas d’un conducteur rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Cas d’une spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.3 Champ d’un solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Calcul du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Loi de J.B. Biot et de F. Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Electromagnétisme 275.1 Expérience de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Courant induit dans la bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.2 Courbe de la force électromotrice induite : . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Loi de l’induction de Michael Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Loi de Heinrich Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Courants de Léon Foucault (1819− 1868) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4.1 Expérience d’Arago (1756− 1853) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3


5.5 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5.1 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5.2 Force électromotrice auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Alternateurs 376.1 L’importance de l’étude géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Générateur simple à courant alternatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Générateur simple à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Annexes 417.1 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3 Force électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.4 Trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme . . . 457.5 Remarques sur le champ magnétique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4

Première partie

Introduction

« Être sceptique de cette façon, c’est encore être superficiel. Douter de tout ou tout croire, ce sontdeux solutions également commandes, qui l’une et l’autre nous dispensent de réfléchir » Henri

Poincaré.

5


1.1 La science et l’hypothèse

Pour bien des hommes la vérité scientifique à une place absolue dans ce qu’elle tend à être.Si le support mathématique à pu être, est et sera, mis en doute par la Vérité ; c’est parce quenous en connaissions alors mal les véritables principes. Et ce sont les générations suivantesqui perfectionnent l’outil mathématique et qui font évoluer les idées à l’esprit et la visionde l’Homme quant à l’Univers et toutes ces questions qui viennent nous apostropher, en yapportant d’époque en époque quelques nouvelles réponses ; tout en faisant naître de nouvelleslois et théories qui s’imposent conformes ou de mieux en mieux à la pensée du Créateur. Si cesthéories ou conceptions physiques naissent et meurs les unes après les autres au fil des sièclespar des générations qui se moquent de leur précédente ; c’est tout de même en y conservantune part de Vérité et c’est certainement ainsi que comme à pu dire Isaac Newton on se «juchesur les épaules des Géants».

Ces vérités que nous nous imposons, nous les imposons à la Nature elle-même. Mais ellesdécoulent de successions de raisonnements mathématiques irréprochables, ainsi de suite jusqu’anous apprendre l’une des pensées de Dieu et savoir quels choix il a fait il y a de ça depuis lanaissance de l’Univers, choix qu’il a établi peut-être en jouant aux Dés et que nous pourronsvérifier ou observer (parfois) qualitativement par l’expérience en nous donnant quels choixont biens pu être établis plutôt que d’autres. Mais les Dés rouleraient toujours ? En parallèle,l’Hypothèse tient une place importante dans le raisonnement du mathématicien. Par l’empruntà l’expérience, on se sera tous posé quant à la Vérité de ce que nous établissons depuis celle-ci.Certaines hypothèses sont vérifiables, d’autres restes à l’état d’axiomes, et nous fondons larigueur de la mathématique formelle depuis ceux-ci, issus de notre Liberté d’Esprit.

De cette Liberté d’Esprit nous avons eu à poser un outil fondateur pour la Science : leGrandeur, le Nombre ; en comparant tout à celui-ci, la Nature, ce que nos sens perçoivent.La Grandeur est un cadre où nous voulons tout faire entrer, c’est à manipuler avec extrême-ment d’habiliter pour ne pas justement Dénaturer l’essence des phénmènes. Sans habilité del’utilisateur, le Nombre devient une concept dangereux, stérile et sans réalité tel l’argent, larichesse.

Une bonne expérience, c’est pouvoir analyser de multiples conséquences liées issues d’unphénomène. C’est encore pouvoir généraliser les phénomènes, pour à juste titre les prédire. Lesexpériences ne nous donnent que des informtions ponctuelles, le travail de la généralisationest de les coordonner par simple liaison qui ne passe cepandant pas en chacun de ces points,d’où le rôle de la science. La généralisation à pour but de corriger l’expérience pour prévoir leschoses.

1.2 L’évolution des idées et l’Unification de la physique

Juché sur les épaules de Nicolas Copernic, I. Newton a unifié la Gravité Terrestre et laGravité Célèste, juché sur celles de André-Marie Ampère et de Michael Faraday entre autres,James Clerck Maxwell a unifié les théories d’électricité et de magnétisme au 19eme siècle pour lesfaire découler d’une seule : l’Électromagnétisme basée sur quatre équations, juché sur celles deMaxwell, d’Henri Poincaré (et j’en passe), Albert Einstein mis au point de nouvelles Vérités :les théories Restreinte en 1905 puis Généralisée dix ans plus tard de la Relativité et avecl’accord de Dieu nous apprenions par exemple de l’équivalence masse-énergie ; d’une existenceet de la déformation de l’espace-temps ; de la juste banalité de la dilatation du temps, tant

7


encore.L’unification de la physique a toujours été un ultime but, depuis 200 ans les théories se

veulent se simplifier ; s’unifier. Après Maxwell un grande unification a été celle de réunir l’in-teraction nucléaire faible et l’électromagnétisme sous l’interaction électrofaible au 20eme sièclepar Sheldon Glashow, Steven Weinberg et Abdus Salam. Le modèle standard tente de l’unirà la force nucléaire forte. Ensuite, l’unification veut se faire à toutes les interactions ; c’est lasupersymétrie ; mais la Relativité Générale et la Mécanique Quantique ne sont pas en accords,la première traite de la matière à l’échelle de l’univers et de la déformation de l’espace-temps,l’autre de la matière à l’échelle de l’infiniement petit : les particules élémentaires (que les ac-célérateurs de particules traquent), et jusqu’a aujourd’hui il y a des disparités. La quète de laphysique continue, pour aujoud’hui unifier ce que sont ou en partie la Relativité Générale &la Mécanique Quantique.

1.3 La représentation du champ

On imagine facilement le champ de force gravitationnel entourent un objet massique (commecelui du Soleil qui provoque la révolution des autres planètes de son sytème autour de lui).On se représente le champ électrique d’un corps ayant une charge non nulle d’une manièreanalogue.

Faraday fut l’un des premiers à introduire la représentation du champ par des lignes. Entout point de l’espace le champ est dirigée vers la tangeante à la ligne de force en ce point.

champ électrique

Les lignes de champ électrique divergent d’une charge et s’écarte avec l’éloigement de celle-ci. Si la charge est positive le champ est dirigé ver l’extérieur de la charge, si elle est négativeil est dirigé vers la charge.

Les lignes de champs du champ électrique diminuent d’intensité avec le carré de la distance.Le fait que les lignes de champs ne se referment pas exprime le fait que l’on a une charge.

champ magnétique

Les lignes de champ magnétique d’un aimant partent du pôle Nord vers le pôle Sud, c’estaussi pour cela que les charges magnétiques n’existent pas.

8


Quelques lignes de champ magnétique d’un aimant droit :

9


10

Deuxième partie

Electricité

« Une question sans réponse est une question mal posée » Albert Einstein.

11


On aborde ici quelque notions d’électricité avec la loi de Coulomb et le théorème de Gaussqui pourront nous être utile par la suite ; avec la loi de Faraday.

2.1 Loi de Coulomb

Coulomb remarqua que le force de répulsion de 2 corps chargés avec le même type (chargespositives ou négatives) se repoussent et qu’elle est inversement propotionnel à la distance dd’éloignements de ces corps.

FE ∝1

d2

On peut remarquer la ressemble avec la force d’interaction gravitationnelle.On peut considérer un corps massique de masse uniformément répartie dans son volume

tel qu’un point positionné au centre de gravité affecté de la masse du corps, de même uncorps chargé uniformément dans son volume peut être considéré comme une charge ponctuellesituée au centre de gravité affecté de la charge totale du corps. Coulomb remarqua aussi qu’endivisant par un facteur disons β l’une de 2 charges électriques en interactions alors cette forceétait aussi divisé par ce facteur.

Loi 1 (de Coulomb) Concernant la force électrique :

FE = k ·|q1q2|d2

k est une constante qui caractérise le milieu où se fait l’interaction, dans le vide k =8, 98 · 109N ·m2

q1 et q2 sont les 2 charges en interactions (C).d la distance entre les 2 charges ponctuelles (m).Concernant le champ électrique :Le Champ électostatique E[N/C] dans l’espace et le quotient de la force F [N ] subit par une

charge q[C] par la valeur de cette charge.

E =F

q(1)

La tengeante à une ligne de force dans l’espace est dans le sens du champ E.

E = k · qr2

=1

4πε· qr2

(2)

2.2 Théorème de Gauss

On a pu facilement calculer le champ électrique que génère une charge électrique avec la loide Coulomb, pour des situations assez simples. Il est une autre méthode d’utiliser le théorèmede Gauss avec le flux électrique.

On définit le flux électrique ΦE sur une surface élémentaire S ′, à l’aide de la représentationdu champ, comme le nombre de vecteur champ par projection orthogonale à une surface parunité de surface. En projetant par la trigonométrie, Φe = eS ′ cos (θ) = e⊥S ′ avec θ = (

−→E ;−→S ).

13


Le flux électrique ΦE à travers une surface S est la somme des contributions du flux surses surfaces élémentaires, d’où ΦE =

∑Φe =

∑e⊥S

′

S ′ → 0 =⇒ ΦE =∫S

−→E · d

−→S =

∫S

E⊥ · dS (3)

L’équation (3) définit le flux électrique à travers une surface. La signification physique duflux de fluide, par exemple, est la quantité de volume qui transite par unité de temps à traversune surface. La notion de flux électrique n’a pas la même signification (en physique classique)car il peut exister à travers une surface alors même que les charges électriques ne sont pas enmouvement, le flux électrique est alors statique et existant. Le flux représente ici l’intensité duchamp électrique. Et avec une vision simpliste du monde, c’est le quantité de vecteur champqui traverse une surface.

Quand on intègre le flux sur une surface fermée (une sphère par exemple) on note alors leflux avec la notation d’intégrale curviligne :

ΦE =

∮S

−→E · d

−→S =

∮S

E⊥ · dS (4)

Considérons une sphère de surface S et de rayon r centrée sur une charge électrique q. Lechamp E est constant à travers la sphère donc on peut noter :

ΦE =

∮S

E⊥ · dS = E∮S

dS

La somme des aires élémentaires de la sphère de surface S est telle que S = 4πr2.On sait avec le loi de Coulomb qu’une charge ponctuelle q produit un champ électrique E

à une distance r et dans un milieu de permittivité ε telle que E = q4πε·r2 , il vient ΦE =

qεou

plus généralement :

ΦE =

∑q

ε(5)

L’équation (5) donne la grandeur du flux de champ électrique à l’intérieur de la surfacefermée délimitée par la sphère dans les conditions de charges électriques et de permittivitédonnées.

Théorème 1 (de Gauss) Le théorème de Gauss est en faite plus générale que la loi de Cou-lomb et peut donc s’énnoncer ainsi : ∮

S

−→E · d

−→S =

∑q

ε

Le théorème est utilisable que les charges soit immobiles ou en mouvements à l’intérieurd’une surface fermée, et quelques soit la surface fermée d’origine puisque l’on peut la rapporterà une sphère par projection.

14

Troisième partie

Magnétisme

« La vérité recule, mais le savant avance » Henri Poincaré.

15


Le magnétisme est la capacité de corps à s’attirer ou à se repousser par des champs ma-gnétiques, et ces champs créés des électrons dans des conducteurs électriques quand ils sontrelativement en mouvement.

L’unité caractérisant le champ magnétique est le Tesla (T ) en hommage aux contributionsimportantes du physicien Nikola Tesla (1856 - 1943). Le champ magnétique existant en unpoint dans un milieu est le produit de la perméabilité magnétique du milieu par la somme del’excitation magnétique et de l’intensité magnétique qui y règne.

3.1 Matériaux magnétique

Aimant en ferrite :

La férrite est de la famille des céramiques. Par sa disponibilité en quantité importante,son coût est relativement à d’autres peu coûeux. Le champ magnétique du matériaux estorienté, préssé, et fritté à haute tempéraure. La direction de l’aimantation est déterminée lorsdes procédés de fabrication (direction dite anisotrope). Les qualités du matériaux ferrite estl’inoyxdation, et ne se modifie pas avec la pression atmosphérique. Utilisation efficace plus oumoins jusqu’a 250̊ .

Aimant en néodyme NdFeB :

Le néodyme est de la famille des terres rares. On obtient ces aimants par compression depoudre d’alliage dans un champ magnétique, puis par frittage à chaud. Performances décrusavec la corrosion et les tempértures supérieurs à 180̊ , mais peuvent cepandant reçevoir untraitement pour des utilisations spécifiques.

Aimant en alcalino :

C’est un alliage ; d’aluminium, cobalt, cuivre, fer, nickel, titane, et coulé à haute tempéra-ture. L’aimantation se réalise dans le direction de la plus grande longueur du volume coulé.Resiste à des tempértures de −270̊ à 450̊ .

Aimant en samarium cobalt SmCo :

Comme le nodyme, le samarium cobalt fait partie des terres rares. De même, ces aimantssont obtenus par la compression de pourdre d’alliage dans un champ magnétique, puis parfrittage à chaud. Utilisation jusqu’a 300̊ .

3.1.1 Typologie de l’aimantation

Selon les différentes utilisation des aimants, il est possible dans leurs constructions deprivilégier une orientation. Cette orientation des pôles magnétiques, et de la forme de l’aimantsont très importantes dans le cas des alternateurs.

17


3.1.2 Définition des caractéristiques techniques des aimants

Anisotrope - Isotrope : Les matériaux anisotrope peuvent être magnétisé que dans la di-rection d’aimantation donnée, alors que ceux istrope peuvent l’être dans toutes les directions.Cepandant la rémanance (Br) d’un matériaux anisotrope est deux fois plus importante danssa direction priviligiée que dans celle donnée à l’aimant istrope.

Coercivité normale HcB[A/m] : Valeur correspondant au point de fonctionnement, dans lecycle d’hystérésis de l’aimant, où il ne peut plus fournir d’énergie magnétique. C’est le champmagnétique nécéssaire pour annuler l’aimantation de l’aimant.

Coercivité intrincèque HcJ [A/m] : Champ nécéssaire pour détruire la polarisation de l’ai-mant, cela caractérise aussi la capacité d’un aimant à conserver son aimantation.

Démagnétisation : On insère dans un espace clos l’aimant qui subit une excitation magné-tique +H qui le sature, à saturation on le change le champ en −H, ce qui le démagnétise.

Densité maximale d’énergie B ·Hmax : Densité maximale d’énergie que peu fournir un ai-mant. C’est une indication sur les performances de l’aimant. B[T ] est l’induction magnétiqueen Tesla. Hmax est l’excitation magnétique maximale.

Excitation magnétique H[A/m] : Elle caractérise le champ magnétique, donné dans la re-lation : B = µ(H +M), M étant l’intensité de l’aimantation en A/m et µ est la perméabilitémagnétique du millieu.

Rémanance Br : Induction magnétique rémanante. Cette grandeur correspond à la capacitéd’aimantation en l’absence d’excitation magnétique extérieure (H=0).

18


3.1.3 Caractéristiques techniques et cycle d’hysétérésis

On peut résumer les caractéristiques d’un aimant par son cycle d’hystérésis, cela montrel’augmentation de son aimantation lorsqu’il subit une excitation magnétique en [A/m].

Cycle d’hystérésis d’un aimant anisotrope

3.2 Magnétisme à l’échelle de l’atome

Les charges électriques en mouvement produisent des forces magnétiques, si un circuit ferméest sous l’influence du champ magnétique des charges alors il se forme un courant induit danscelui-ci.

L’électron ayant une moment cinétique intrinsèque (ou «spin» : tourner en anglais), c’estune charge en mouvement sur elle même, ce mouvement fait de l’atome un dîpole au niveausubatomique. Le mouvement orbital de l’électron autour d’un atome produit un champ ma-gnétique.• Si les électrons s’associent en paire au sein de l’atome ou de la molécule et leurs mouve-

ment globale est de sens opposé de sorte que le moment magnétique de l’atome ou de lamolécule soit nul (Faraday observa se phénomène en 1845 qu’il appela diamagnétisme).Alors les électrons sont soumis à un champ magnétique, leurs moment cinétique est doncmodifié. Il y a un mouvement supplémentaire qui s’oppose au champ d’origine. On observedonc le diamagnétisme dans toutes substances, et on peut s’en rendre compte expérimen-talement si le milieu n’est pas soumis à un autre champ magnétique plus important, quinégligerait alors le diamagnétisme.• Si l’atome à un nombre total d’électron impaire, il produit alors sont propre champ

magnétique, c’est un dipôle. Ces substances sont dites paramagnétiques. C’est le cas del’aluminium, l’oxègène, le sodiaum, uranium etc, si on les place près dans un champ

19


magnétique alors les substances paramagnétiques s’aimantent et ils s’en approchent (cequi n’est pas le cas avec les diamagnétique), c’est le paramagnétisme.• Le troisième (plus) important type de magnétisme est le ferromagnétisme. Le fer, co-

balt, nickel, magnétite et d’autres encore sont ferromagnétiques à température ambiante.D’autres deviennent ferromagnétique à base température. Les dipôles magnétiques de cesatomes ont une interaction à grande distance, qui les aligne à grande échelle.

Les dipôles d’un atome interagit avec ceux des atomes voisins, ce qui leurs donne uneorientation commune, ces substances peuvent s’aimenter facilement sous l’influence d’unchamp magnétique et devenir eux-même des aimants (que l’on qualifiera de permanent).

3.3 Point de CurieSi on chauffe un aimant jusqu’a la température critique de sa matière, les atomes vibrent et

finissent par s’orienter au "hasard", en respectant aucune règle. Pierre Curie à découvert que lessubstances ferromagnétiques chauffés au-delà d’une température limite que l’on appèle aujour-d’hui température ou point de Curie disparaissait en laissant la matière paramagnétique. Ilest d’ailleurs connu que le fer chauffé jusqu’a ce que sa coloration rouge perd son aimantation.En 1894, Pierre Curie à déterminé la température critique du fer qu’il donne à 770̊ C, pourle magnétite (Fe3O4) c’est 575̊ C. Il est intéréssant de remarquer que cette température estinférieure au point de fusion du matériaux.

Matériaux magnétique Point de Curie en C̊Néodyme Fer Bore 310Ferrite 450Samarium Cobalt 775Alnico 860

20

Quatrième partie

Electricité et magnétisme

« Le commencement de toutes sciences, c’est l’étonnement de ce que les choses sont ce qu’elles sont »Aristote.

21


4.1 Courant électrique et champ magnétique

4.1.1 Cas d’un conducteur rectiligne

Un conducteur filiforme et rectiligne produit traversé par un courant I produit un champmagnétiqueB cyclindrique dans l’espace à 3 et 4 dimensions axé sur ce fil. Le champ magnétiqueà des points équidistants de r d’un du fil à la même valeur. Une expérience en 1820 de Jean-Batiste Biot et Félix Savart à montré que :

B ∝ Ir

(6)

Pour transformer cette proportionnalité en équalité il faut homogénéiser les deux membresen insérant une constante de proportionnalité. Dans le S.I. rationalisé il faut faire apparaître lefacteur 1

2πpour l’expression du champ, champ magnétique qui est ici circulaire dans le plan. On

a aussi remarqué que le champ magnétique dépendait de la perméabilité magnétique1 (notéeµ d’unité T ·m ·A−1 par homogenéisation) du milieu dans lequel est le système aimant-fil. Lesphysiciens ont donc par habitude introduit le facteur de proportionalité µ

2π.

On arrive finalement à l’équation suivante, qui est en accord avec les expériences :

B =µ

2π· Ir

(7)

4.1.2 Cas d’une spire circulaire

Au centre d’une spire circulaire : (R le rayon de la spire)

B =µ · I2R

(8)

Au centre d’une bobine :

B = N · µ · I2R

(9)

4.1.3 Champ d’un solénoïde

Le terme vient du grec "solen" signifiant "tube" en français. En effet un solénoïde idéal estconsidéré de longeur infinie, l’impossibilité matérielle de réaliser un solénoïde pour satisfaireles calculs de champ et la mesure, fait qu’il faudrait mieux considérer les équations du calculdu champ magnétique d’un fil enroulé circulairement tel un solénoïde si sa longueur L est aumoins dix fois plus grande que son diamètre, pour limiter l’erreur entre la prédiction et laréalité. plus on se rapproche des bords du solénoïde, plus le champ magnétique y raignant ests’faiblit.

Le champ magnétique B à l’intérieur du solénoïde est propotionnel à l’intensité du courantI le traversant, ainsi qu’on nombre de spire N qu’il comporte. Il en est d’autant plus importantque le nombre de spire par mètre n = N

Ll’est aussi.

B ∝ nI (10)1dans le vide la perméabilité magnétique est µ0 = 4π · 10−7T ·m ·A−1

23


Le perméabilité magnétique du milieu (noté µ) dans lequel existe le système considéré estun facteur d’importance. On détermine le champ axial d’un solénoïde :

B ≈ µnI (11)

A l’extrémité du solénoïde :

B =1

2· µnI (12)

4.2 Calcul du champ magnétique

4.2.1 Théorème d’Ampère

La formule déterminée expérimentalement pour calculer le champ magnétique créé par uncourant traversant un fil rectiligne s’est avéré juste, par la prédiction d’un champ magnétiquedans les conditions de la perméabilité magnétique existente, l’intensité du courant traverant lefil et la distance à laquelle on veut évaluer le champ magnétique. On pourra de ce fait, l’utiliserpour arriver jusqu’a une loi plus générale pour la géométrie simple (fil rectiligne et champmagnétique circulaire dans le plan) : la loi d’Ampère.

Au dix-neuvième siècle, on parlait de charge magnétique qm. Comme pour la force subitpar une charge dans un champ électrique (loi de Coulomb), on reprend un énnoncé similaire :

Fm = qm ·B (13)

Le charge magnétique qm est considéré comme un monopôle magnétique et on l’imagine sedéplacer d’une trajectoire circulaire de rayon R autour d’un fil rectiligne. Le travail infinitésimalde la force magnétique sur les éléments ∆l de sa trajectoire est le produit de ce déplacementpar la force magnétique Fm exercée. Dans le cas d’un conducteur rectiligne

−→FM⊥

−→B .

∆W = qm · Fm ·∆l

Le travail total est ensuite :W =

∑qm · Fm ·∆l (14)

qm et B ne varient pas ;

W = qm · Fm ·∑

∆l

W = qm ·B · 2πR

Fm = B

(7)⇒ W = qm ·µI

2πR//////· 2πR//////

W = qmµI (15)

(14) ∧ (15)⇐⇒∑

Fm ·∆l = µI

24


On remarque que la charge magnétique Fm hypothétique que douter de l’existence réelle lesphysiciens d’autrefois à disparus, en faite, cette charge n’a jamais été observé. C’est en faiteque les charges magnétiques n’existent pas.

La sommation doit être faite à tous les éléments ∆l entourant le fil traversé d’un courantI. Chaque portion de longeur ∆l contribue à

∑Fm∆l. On peut alors noter :∑

Fm∆l = µ∑

I

ou encore : ∑B∆l = µ

∑I (16)

B est le champ magnétique total dont la sommation doit être étendue à tous les éléments∆l.

∆l→ 0 : (16)⇐⇒∮B · dl = µ

∑I (17)

Voici donc le théorème d’Ampère tel qu’il a pu être donné :

Théorème 2 (d’Ampère) ∮ −→B · d

−→l = µ

∑I

∮B : intégrale fermée ; vecteur champ magnétique à travers la surface

dl : longeur du conducteur (m)µ : perméabilité magnétique du milieu∑I : somme des courants traversant le conducteur (A)

4.2.2 Loi de J.B. Biot et de F. Savart

La loi de Jean-Batiste Biot et de François Savart permet de calculer en magnétostatiqueune champ magnétique en un point donné dans un espace où un courant est distribué.

On considère un élement dl (orienté dans le sens de circulation du courant) au point Pétant parcouru par un courant I. On veut calculer le champ magnétique au point M séparéd’une distance r de P . Soit uPM le vecteur unitaire parallèle à (PM).

Illustration symbolique :

25


Loi 2 (de Biot et Savart) La loi de Biot et Savart donne que l’élement dB de champ ma-gnétique créé depuis P par l’élement dl, au point M est :

dB =µIdl ∧ uPM

4πr2

Les champs magnétiques pouvant se superposer, on peut aussi noter :

B =

∫circuit

µIdl ∧ uPM4πr2

26

Cinquième partie

Electromagnétisme« Gott würfelt nicht ! » Albert Einstein.

27


Qu’est ce que c’est ? Il a été établi que l’électricité engendre le magnétisme. Comme unecharge électrise un corps proche par influence, et un aimant magnétisme du fer par induction ;il été concevable que le magnétisme puisse produire l’électricité comme un courant électriqued’un circuit fermé induise un autre courant dans un autre circuit fermé à sa proximité.

En 1821, A.M. Ampère observa le phénomène d’induction électromagnétique, dix ans plustard, M. Faraday su l’interpréter.

5.1 Expérience de Faraday

L’expérience historique : Faraday disposait de deux bobines de fil conducteur enroulée au-tour d’un morceau de bois en forme de tore. L’une est branchée sur un générateur (plusieursdixaines de piles à l’époque) lié ou coupé par un interupteur. L’autre bobine était branché surune galvanomètre. M. faraday remarqua un bref phénomène : dans l’instant où l’interupteurouvert se ferme, ou celui où l’interupteur fermé s’ouvre ; l’aiguille du galvanomètre dévie dansun sens ou dans l’autre (par rapport au 0A). Il était devenu incontestable qu’un champ ma-gnétique variable (il y a une variation de l’ampérage quand on ouvre ou ferme le circuit avecl’interupteur) pouvait induire un courant électrique dans un proche circuit.

L’expérience refaite au laboratoire du lycée :

On dispose d’une bobine électrique, d’un aimant, d’un galvanomètre. La bobine fait uncircuit fermé avec le galvanomètre. Lorsque l’on met en mouvement l’aimant le galvanomètredécèle le courant induit dans la bobine et nous l’indique par une déviation de l’aiguille.

On a pu aussi faire quelques remarques qualitatives concernant le phénomène via cetteexpérience, et sont traduites mathématiquement dans les lois et théorèmes que nous aborderonsplus loin :

• concernant la géométrie de la bobine (presque cyclindique), un mouvement transeversalde l’aimant à travers la bobine génère un courant bien plus important que lorsque l’aimanttourne à l’intérieur de la bobine autour de l’axe centrale et bien plus encore que quandl’aimant garde ce mouvement à l’extérieur de celle-ci. On interprète se résultat, par lanotion de flux magnétique à travers la surface de la bobine et de ligne de champ coupépar cette bobine ;• plus le mouvement de l’aimant est rapide dans le référentiel lié à la bobine, plus le courant

induit dans la bobine est important ;• en comparant avec deux aimants, l’un plus «puissant» que l’autre, on vient à remarquer

que plus le champ magnétique généré par l’aimant est important, plus le courant induitdans la bobine l’est ;• l’aiguille du galvanomètre dévie du zéro d’un côté ou de l’autre selon si le pôle sud ou le

pôle nord de l’aimant s’approche ou s’éloigne en premier de la bobine électrique.

29


5.1.1 Courant induit dans la bobine

Approche du pôle Nord de l’aimant Rapproche du pôle Sud de l’aimant1 - Vitesse nulle de l’aimant, variation nulle 4 - on change le sens du mouvement de

du flux magnétique ; translation, l’aiguille du galvanomètredévie de l’autre sens ;

2 - le pôle Nord s’approche de la bobine 5 - le courant croît encore d’intensité ;électrique, avant le pôle Sud ; un courant

est décelé par le galvanomètre ;

3 - en gardant la vitesse de translation, un 6 - le courant induit atteint encorecourant maximal est décelé lorsque le ; une valeur maximale

centre de l’aimant arrive à celui de la bobine

30


5.1.2 Courbe de la force électromotrice induite :

On reprend un dispositif semblable au précédent :Dispositif (on remplace dans la manipulation précédente le galvanomètre par l’oscilloscope) :

bobine reliée à un oscilloscope, l’aimant aura un mouvement de translation dans l’axe passantpar le centre de la bobine.

Configuration de l’oscilloscope :

abscisse : 0, 5ms/Division, ordonnée : 10mV/Division

31


Courbe de la force électromotrice(V ) induite par la variation du flux magnétique (ΦM), enfonction du temps (l’aimant à un mouvement de translation et une vitesse en fonction du

temps) :

période de la fonction : T = 3Divisions = 1, 5ms ; fréquence : f = 1/T = 23kHz ≈ 667Hz

Le sommet de la courbe est atteint lorsque le pôle sud de l’aimant arrive au centre de labobine en s’approchant

5.2 Loi de l’induction de Michael Faraday

L’induction électromagnétique dépend de la variation du flux magnétique Φm. La tensioncréé par le courant généré par la variation est appelé force électromotrice (f.é.m.) notée E .

L’amplitude de la f.é.m. est d’autant plus grande que l’aimant se déplace vite dans leréférentiel du circuit (bobine). Si v = 0m/s ⇔ E = OV . Si le circuit est soumis à un champmagnétique B constant et uniforme, alors plus il y a de plus grandes spires, plus la f.é.m estimportante. Plus la surface d’une spire est perpendiculaire aux lignes de champ magnétique,plus le f.é.m. est importante. Si une spire est parallèle au champ B alors la f.é.m est nulle. Laf.é.m est proportionnelle à l’aire de la spire par sa projection sur un plan perpendiculaire quiest traversée par le champ magnétique.

32


Exemple : un anneau de rayon R formant un angle θ avec un plan perpendiculaire au champqui le traverse se projette en une ellipse. Le rayon R se projette en R·cos(θ), l’anneau de surfaceS = πR2 se projette en S⊥ = π(R · cos(θ)) ·R = S cos(θ).

On définit le flux de vecteur de champ magnétique sur une surface par :

ΦM = B⊥S = BS⊥ = BS cos(θ) (18)

Plus généralement :

ΦM =

∫S

B · dS (19)

Loi 3 (Loi de Faraday) La variation temporelle du flux magnétique induit une f.é.m. dansun circuit qui le décèle et a pour valeur :

E = −dΦMdt

(20)

(Le signe «−» se justifiera par la loi de Heinrich Lenz).Un champ magnétique variable est aussi toujours accompagné d’un champ électrique, on

arrive ensuite ;

−dΦMdt

=

∮E · dl = − d

dt

∫ −→B · d

−→A (21)

E : le champ électrique en N/Cdl : longeur du conducteur en mB : champ magnétique en T−→A : potentiel-vecteur dont dérive

−→B

La tension moyenne est l’opposée de la dérivée de la variation du champ magnétique parunité de temps : Emoyenne = −∆ΦMdt .

Une bobine circulaire formé de N tours, peut être le siège d’un f.é.m. induite qui se note :

E = −N dΦMdt

(22)

Chaque tour est le siège d’une f.é.m. et sont en séries.

5.3 Loi de Heinrich LenzLoi 4 la variation du flux magnétique du milieu dans lequel est un circuit, lui induit une f.é.m.qui s’oppose à la cause qui la crée (car il y un courant dans la bobine qui génère un champmagnétique).

33


5.4 Courants de Léon Foucault (1819− 1868)

Si un conducteur étendu sur une surface se déplace dans un milieu où le champ magnétiquen’est pas constant et uniforme, ou si des endroits de ce conducteur se déplacent à des vitessesdifférentes que d’autres par rapport au champ magnétique considéré ; alors en vertu de la loide Faraday une f.é.m. en est induite, des courants sont donc produits dans le conducteur, cedernier étant un circuit fermé, les courants se déplaçent en boucle. Ce sont les courants deLéon Foucault. En vertu de la loi de Faraday-Lenz, le champ magnétique crée autour du disques’oppoe à celui dans lequel le système baigne et s’oppose au mouvement du conducteur. Lef.é.m. tente à annuler le mouvement du disque.

5.4.1 Expérience d’Arago (1756− 1853)

L’astronome et physicien François Arago à conçu un dispositif simple pour déceler les cou-rants de Foucault, effet de l’induction électromagnétique. Sur Terre nous sommes soumis auchamp magnétique de la planète. Arago installa un disque de cuivre juste en dessous d’uneboussole. Lorsque la disque n’est pas entraîné par un quelconque mouvement relatif au référen-tiel terrestre dont la boussole est aussi solidaire, alors elle s’aligne dans la direction Nord-Suddu champ magnétique terrestre. Quand le disque tourne, l’aiguille dévie.

Dispositif Disque-Boussole sous l’influence du champ magnétique terrestre :

Orientation de la boussole lorsque le disque de cuivre est immobile avec le reste du dispositifTerre-Boussole :

Lorsque l’on fait tourner le disque dans un sens ou dans un opposé (plan horizontal), l’aiguilledévie la direction du champ magnétique terrestre d’un côté ou de l’autre dans ce même plan :

34


5.5 Auto-induction

5.5.1 Inductance

L’inductance ou auto-inductance L, en Henry (H), d’un circuit est une constante de pro-portionalité traduisant des plusieurs informations physique d’un système étudié. Elle dépendde la taille et de la forme du conducteur, de la perméabilité magnétique du milieu ; de l’inten-sité du courant qui le traverse et du flux magnétique. Une bobine traversé par un flux de 1Wlorsqu’elle conduit un courant de 1A, a une auto-inductance de 1H.

L =NΦMI

(23)

avec N le nombre de spire de la bobine, ΦM le flux magnétique et I le courant qui circuledans le bobine.

Inductance du solénoïde : considérons un solénoïde de longeur l avec n = Nlspires par mètre,

de section S et traversé par un courant I. A l’intérieur du solénoïde le champ magnétiqueB peutêtre considéré constant ; B ≈ µnI. On peut alors obtenir une estimation de l’auto-inductanceL (surestimée) :

L ≈ NΦMI

=NBS

I=N2µS

l(24)

Le flux magnétique à travers une bobine est NΦM (avec N le nombre de tours), et estproportionel à l’intensité du courant qu’elle fait circuler.

5.5.2 Force électromotrice auto-induite

On peut se rappeler de la loi d’induction de Faraday concernant l’auto-inductance, qui créeune force électromotrice auto-induite. Avec (23), la f.é.m auto-induite moyenne vient :

(Eai)moyenne = −NNΦM

∆t= −L∆I

∆t(25)

(25) est considérable si l’auto-inductance L est constante de sorte que : ∆(LI) = L∆I.

35


Théorème 3 (Force électromotrice auto-induite) Soit Eai le force électromotrice auto-induite.

On peut généraliser l’équation (25), ainsi ;

∆t→ 0⇐⇒ Eai = −LdI

dt

Le f.é.m auto-induite est proportionelle à la variation temporelle du flux magnétique créepar le courant, à travers la bobine.

Une auto-inductance de 1H produit une f.é.m. de 1V quand la variation du courant dansle conducteur est de 1A/s.

Si l’intensité du courant dans un conducteur augmente, alors le flux magnétique augmenteet le champ magnétique crée par ce courant s’oppose à l’augmentation du courant qui lui adonner lieu d’être, d’après la loi de Lenz.

36

Sixième partie

Alternateurs

« L’autorité d’un seul homme compétent, qui donne de bonnes raisons et des preuves certaines, vautmieux que le consentement unanime de ceux qui n’y comprennent rien » Galileo Galilei.

37


6.1 L’importance de l’étude géométrique

Il est d’une importance primaire d’étudier la géométrie des lignes de champs d’un aimantau sein d’un alternateur et de son fonctionnement. Par exemple, si on fait tourner un aimantdroit dans une bobine (1), il y aura un flux magnétique beaucoup plus faible que dans le cas(2) ou l’aimant traverse la bobine par la longeur.

Selon le fonctionnement d’alternateur qu’il faut, la typologie de l’aimantation va avoirun rôle très important. En terme de ligne de champ de l’aimant, plus le nombre de lignesde champs qui traversent la bobine varie, plus la tension crée est importante. Si le systèmeveut que l’aimant tourne de la manière de (1), alors un aimant multipolaire axiale sera plusperformant(voir illustration ci-dessous) parce qu’il créera une variation du flux magnétiqueplus importante pour un mouvement équivalent :

39


6.2 Générateur simple à courant alternatifLes générateurs fonctionnent, lorsqu’un mouvement relatif entre aimant/bobine existe. On

a alors le choix de faire varier le champ magnétique à travers la bobine ou de faire varier lasurface par projection orthogonale au champ.

On considère une bobine rectangulaire de longeur L et de largeur l(un fil plié) pouvantêtre en mouvement autour d’un axe passant par le centre de l , dans un champ magnétique Bconstant et uniforme.

Par projection v⊥ = v · sin (θ) par rapport au champ B dans les côtés et E = v⊥LB =Lbv · sin (θ)

Dès que θ > 180̊ le sens de la f.é.m s’inverse, on a une tension alternative. Si une bobineà N spires, la f.é.m. totale est E = 2NLbv · sin (θ).

On pose : v = r · ω (r = l2le rayon, ω la vitesse angulaire). La vitesse angulaire étant

constante θ = ωt. Soit S la surface de la bobine tel que S = Ll.Lv = Lrω = L l

2ω = 1

2Sω

E = 2NBlv sin (θ)⇐⇒ E = NBSω sin (θ) = NBSω sin (ωt) ;ou avec la loi de Faraday : φ(t) = NBS cos (ωt =⇒ E = −dφ

dt= NBSω · sin (ωt)

�

(la fréquence f en Hz est telle que f = 1T

= 2πω)

6.3 Générateur simple à courant continuOn peut avoir besoin de courant continu. À l’originie il est créé avec une tension alternative.

On plus ou moins uniformiser la polarité de la tension alternative pour avoir une tensioncontinue avec des commutateur, pont de diode puis un condensteur pour lisser la tension.L’effet de garder toujours positive la tension se dit de la redresser.

40

Septième partie

Annexes

« Combien il est contraire au dessein de Dieu que la vérité de sa religion soit aussi évidente et clairepour tous les hommes qu’une démonstration mathématique » Isaac Newton.

41


7.1 Force de Laplace

La force de Laplace est la force qu’un conducteur subit lorsqu’il est dans un champ magné-tique et qu’il est traversé par un courant électrique.

Le conducteur est ici en orbite terrestre (ionosphère), la Terre qui est source de champmagnétique y induit un courant électrique car le conducteur échange des électrons avec le

plasma de la ionosphère et ferme le circuit.

43


On peut noter la force F de Laplace tel que :

−→F = I

−→l ∧−→B (26)

7.2 Force de Lorentz

La force de Lorentz est une force microscopique qui se fait sur les charges électriques. Ellepeut se noter :

−→F = q−→v ∧

−→B (27)

44


7.3 Force électromagnétiqueLa force électromagnétique est la somme des forces de Lorentz de de la force électrique.

C’est à dire que c’est la force qu’il s’exerce sur une particule chargée qui est en mouvementdans un champ magnétique plus la force qui la met en mouvement depuis le champ électriquequi y règne, elle peut se noter :

F = q(E +−→v ∧−→B ) (28)

7.4 Trajectoire d’une particule chargée dans un champmagnétique uniforme

Une particule P de masse m possède une charge q. Lorsqu’elle pénètre dans un champmagnétique B,

−→Fm⊥ ~B et

−→Fm⊥~v :

45


La charge ayant une vitesse v non nulle, et étant dans un champ magnétique B uniformeentre les deux pôles magnétiques, sa trajectoire décrit un cercle de rayon R. La force magnétiqueFm qu’elle subit est, en faite, une force centripète Fc de centre C sur l’illustration suivante.

Fc = Fm =mv2

R(29)

D’après la l’équation de la force de Laplace et sachant que ~v⊥ ~B ⇐⇒ θ = (~v; ~B) = π2rad, il

vient donc :

qvB =mv2

R

R =mv

qB(30)

Remarque : concernant les accélérateurs de particules, on essai de faire des collisions departicules à des vitesses très importantes (on augmente alors la masse des particules et aussil’énergie par équivalence) pour provoquer un mini big-bang et trouver par exemple de nouvelles

46


particules comme le boson de Higgs qui théoriquement à donné la masse aux particules n’enayant pas et étant isolé (électron, photon), son existence théorique à sauvé le modèle standartde l’atome (théorie quantique des champs). C’est pour ces ordres de vitesse et de masse queles accélérateurs de particules sont relativement grand (le LHC est un anneau de 27km decirconférence).

7.5 Remarques sur le champ magnétique terrestreA grande échelle, le champ magnétique est appelé accélérateur cosmique de particule. Ils

peuvent produire des rayons X et des aurores polaires.

Le Soleil bombarde la Terre de rayon cosmique et de vent solaire qui rencontrent le champmagnétique terrestre. Certains rayons sont déviés de la Terre, d’autres qui ont une vitesse dontla composante est dans la direction du champ magnétique décrivent une trajectoire en spirale.De ceux qui ne sont pas déviés, certain sont cernés entre les pôles géomagnétiques nord etsud de la Terre, ils forment ce que l’on appèle la ceinture de Van Allen (voir illustrationci-dessous).

47


La ceinture intérieure (3 500km d’altitude) est essentiellement constituée de protons dusau bombardement solaire de ces rayons cosmiques, il y a aussien densité moins importante desélectrons chargés à moins de 5MeV . La ceinture extérieures (20 000km d’altitude est composéprincipalement d’électrons.

Les aurores polaires ou boréales (image ci-dessous) sont la conséquence de la collision departicules du vent solaire piégées dans le champ magnétique terrestre avec les molécules d’airen dessous de l’atmosphère. C’est un phénomène lumineux visible dans le ciel nocturne.

48

Bibliographie

[1] Science & vie (hors série). La matière et ses ultimes secrets, septembre 2008.[2] Albert Van de Vorst. Introduction à la Physique. DeBoeck Université, 1997.[3] Albert Einstein and Leopold Infeld. L’évolution des idées en Physique. Champs Flamma-

rions, 1982.[4] Eugene Hecht. Physique (2. Electricité et Magnétisme). De Boeck Université, 2007.[5] Henri Poincaré. La science et l’hypothèse. Champs Flammarions, 1968.[6] Théodore Wildi. Électrotechnique. DeBoeck Université, 1999.

49

Documents

De la Compréhension de l’Unification de l’Électricité et du …logiqueformelle.free.fr/pdf/TPE-electromagnetisme.pdf · 2009. 3. 8. · De la Compréhension de l’Unification