DCAP 11 RAZONAMIENTO ARITMETICO

7/31/2019 DCAP 11 RAZONAMIENTO ARITMETICO

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CAPTULO11RAZONAMIENTOARITMTICO

Los cuadrados mgicos

Los cuadrados mgicos son un pasatiempo que data de hace ms de

3 000 aos en la antigua India. Dicho cuadrado es una tabla con elmismo nmero de casillas verticales que horizontales y su magia radicaen el hecho de que cualquiera que sea la forma en que se sumen los nmerosque lo conforman, ya sea de manera horizontal, vertical o diagonalmente,siempre se llegar al mismo resultado, la constante mgica, por ejemplo:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Los cuadrados mgicos de orden 4 fueron introducidos en el siglo XV enel Renacimiento europeo. En aquellos aos de supersticin solan hacergrabados en planchas de plata como conjuro contra la peste, ya que seles atribua poderes mgicos.

A continuacin se propone resolver el cuadrado mgico inventado porel pintor alemn Alberto Durero, el cual contiene en las casillas centralesinferiores el ao de la gran peste: 1514, y cuya suma en forma horizontal,vertical y de sus diagonales principales es 34.

15 14


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EjemplosEJEMPLOS

EjemplosEJEMPLOS

Problemas con nmeros enteros

1 Si la diferencia del triple de un nmero y el mismo es igual a 8, cul es el nmero?

Solucin

Si 8 es el triple del nmero menos el mismo, entonces 8 es el doble del nmero.

Por tanto, el nmero es 8 2 4 =

2 Brenda multiplic un nmero por 4, rest 12 al producto, sum 18 a la diferencia, la suma la dividi entre 19 y obtuvo2 como cociente, cul es el nmero?

Solucin

Se comienza por el final del problema y se realizan las operaciones inversas.

2 es el resultado de dividir entre 19, entonces se multiplica: 2 19 = 38

38 es el resultado de sumar 18, luego se resta: 38 18 = 20

20 es el resultado de restar 12, ahora se suma: 20 + 12 = 32

32 es el resultado de multiplicar por 4, entonces se divide: 32 4 = 8

Finalmente, el nmero es 8

Propiedades1. La suma de 2 nmeros enteros ms su diferencia es igual al doble del mayor.

Si a > b, entonces a b a b a+( ) + ( ) = 22. La suma de 2 nmeros enteros menos su diferencia es igual al doble del nmero menor.

Si a > b, entonces a b a b b+( ) ( ) = 23. Al dividir la suma de 2 nmeros enteros entre su cociente aumentado en 1, el resultado es igual al nmero

menor.

Si a > b, entonces a b a b b+( ) +( ) =14. Al dividir la diferencia de 2 nmeros enteros entre su cociente disminuido en 1, el resultado es igual al nmero

menor.

Si a > b, entonces a b a b b( ) ( ) =1

1 Si la suma de 2 nmeros es 18 y la diferencia es 2, cules son los nmeros?

Solucin

Al aplicar la propiedad 1, se suma 18 2 20+ = , se obtiene el doble del mayor, es decir, 20 2 10 = , es el nmero mayor,luego para obtener el nmero menor se resta de la suma 18 10 8 =

Por consiguiente, los nmeros son 10 y 8

2 Si la diferencia de 2 nmeros es 12 y su cociente es 3, cules son los nmeros?

Solucin

Al aplicar el teorema 4 se tiene que: 12 3 1 12 2 6 ( ) = = , el resultado es el nmero menor, si la diferencia es 12,

entonces el nmero mayor es 12 6 18+ =Por tanto, los nmeros son 18 y 6


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3 Entre 2 ciudadesA yB hay una distancia de 480 km. A las 8 de la maana de la ciudad A sale un automvil con una

velocidad de 70km

h, a qu hora se encontrar con un automvil que sale a la misma hora deB haciaA con una velocidad

90km

hy a qu distancia de la ciudad estarA?

Solucin70 kilmetros es la distancia que recorre en 1 hora el automvil que sale de A.

90 kilmetros es la distancia que recorre en 1 hora el automvil que sale de B.

En 1 hora se acercarn: 70 km + 90 km = 160 km.

La distancia entreA yB: 480 kilmetros

Tiempo que tardarn en encontrarse: 480 160 3 = horas.

Por tanto, si salieron a las 8 de la maana, se encontrarn a las 8 3 11+ = de la maana y a una distancia de70 3 210( ) = kilmetros de la ciudadA.

4 Una ciudadB est situada a 240 km al este de otra ciudadA. Si a las 8 de la maana sale un automvil de la ciudad

B con direccin este y a una velocidad de 60km

h, en cunto tiempo lo alcanzar un automvil que sale de A a las

10:00 a.m. con una velocidad de 80km

hen la misma direccin?

Solucin

Si el automvil que sale deB recorre 60 km cada hora, a las 10 de la maana habr recorrido 60 2 120 = km.La distancia entre los automviles ser de 240 120 360+ = km.80 kilmetros es la distancia que recorre el automvil A en 1 hora.

En 1 hora se acerca 80 60 20 = km.Distancia entreA yB a las 10:00 a.m.: 360 km

Tiempo que tardarn en encontrarse 360 20 18 = horas.

Por consiguiente, tardar en alcanzarlo 18 horas.

5Luis, Marcos y Andrs tienen bolsas con canicas, si se juntan las bolsas con canicas de Luis y Marcos suman 200, las

bolsas de Marcos y Andrs suman 320 y las de Luis y Andrs 280 canicas, cuntas canicas tiene cada uno?

Solucin

Al sumar 200 320 280 800+ + = , este resultado es el doble de canicas de Luis, Marcos y Andrs, entonces el total decanicas es: 800 2 400 =

Si Luis y Marcos juntos tienen 200, entonces Andrs tiene 400 200 200 = canicas.Si Marcos y Andrs juntos tienen 320, entonces Luis tiene 400 320 80 = canicas.Si Luis y Marcos juntos tienen 200 y Luis tiene 80 canicas, entonces Marcos 200 80 120 = canicas.

Finalmente, Luis tiene 80, Marcos 120 y Andrs 200 canicas.

6 Un tanque tiene 2 llaves y un desage, una vierte 80 litros en 8 minutos y la otra 60 litros en 10 minutos, adems, por eldesage salen 180 litros en 20 minutos. Si el tanque tena 600 litros y al abrir las llaves y el desage al mismo tiempo

tard 30 minutos en llenarse, cul es la capacidad total del tanque?

Solucin

80 8 10 = , es el nmero de litros por minuto que vierte la primera llave.60 10 6

=, es el nmero de litros por minuto que vierte la segunda llave.

180 20 9 = , es el nmero de litros que salen por el desage.(contina)


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(continuacin)

10 6 16+ = , es el nmero de litros que vierten por minuto las 2 llaves juntas.16 9 7 = , es el nmero de litros que quedan por minuto.Entonces, en 30 minutos quedan 30 7 210( )( ) = litros.

Por tanto, si el tanque tena 600 litros, la capacidad total es de 600 210 810+ = litros.

EJERCICIO 114

1. La suma entre el cudruplo de un nmero y el mismo es igual a 60, cul es el nmero?

2. La diferencia entre el sxtuplo de un nmero y el doble del mismo es igual a 20, cul es el nmero?

3. Se multiplica un nmero por 8, se suma 10 al producto, se resta 20 a la suma y la diferencia se divide entre 19, as

se obtiene como cociente 2, cul es el nmero?

4. Se divide un nmero entre 9, se suma 32 al cociente, se obtiene la raz cuadrada de la suma y este resultado se mul-

tiplica por 4, el resultado es 24, cul es el nmero?

5. La suma del triple de un nmero con 6 se multiplica por 2 y el resultado se divide entre 12, se obtiene como resultado

5, cul es el nmero?

6. La suma de 2 nmeros es 29 y la diferencia es 21, cules son los nmeros?

7. El cociente de 2 nmeros es 6 y la diferencia es 35, cules son los nmeros?

8. El doble de la diferencia de 2 nmeros es 18 y el cudruplo de su cociente es 16, cules son los nmeros?

9. Dos ciudades MyNse encuentran a 640 km de distancia entre s. A las 10 de la maana de la ciudad Msale un

automvil rumbo a la ciudadN, con una velocidad de 85km

h, a la misma hora deNsale otro automvil rumbo aM

con una velocidad de 75km

h, a qu hora se encontrarn y qu distancia ha recorrido cada uno?

10. Entre 2 ciudades P y Q hay una distancia de 990 km. Si a las 11:00 a.m. sale un automvil de P en direccin a Q con

una velocidad de 70 kmh

, a qu hora se encontrar con otro automvil que sale a la 1 de la tarde de Q hacia P con una

velocidad de 100km

h?

11. Un automvil sale a las 6 de la maana con una velocidad de 75km

hsi otro automvil sale a las 8 de la maana con

una velocidad de 105km

h, a qu hora el segundo automvil alcanzar al primero?

12. Una ciudadXest situada a 180 km al oeste de una ciudadZ, si a las 9:00 a.m. sale deXun automvil con direccin

oeste a una velocidad de 80km

h, a qu hora lo alcanzar un automvil que sale de Zen la misma direccin, 1 hora

despus y con una velocidad de 100km

h?

13. Fernanda pag por una playera y un short $1 100, Adriana pag por la misma playera y un par de tenis $1 800,

mientras que Alejandra compr el short y el par de tenis en $1 700. Cul es el precio de cada artculo?

14. Las edades de Paulina y Mnica suman 36, las de Mnica y Andrea 40, mientras que la suma de las edades de Paulina

y Andrea es 44, cuntos aos tiene cada una?


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EjemplosEJEMPLOS

15. Un tanque de 720 litros de capacidad tiene 3 llaves, una de ellas vierte 65 litros en 13 minutos, otra vierte 70 litros en

10 minutos y la ltima vierte 90 litros en 15 minutos. Cunto tiempo tardar en llenarse el tanque vaco si se abren

las 3 llaves al mismo tiempo?

16. Un estanque tiene 2 llaves y 2 desages, si la primera llave vierte 100 litros en 20 minutos, la segunda 112 litros en

16 minutos, mientras que por un desage salen 60 litros en 15 minutos y por el otro salen 42 litros en 14 minutos,

cul es la capacidad del estanque si al abrir las dos llaves y los desages tard 50 minutos en llenarse?

17. Un estanque con capacidad de 5 400 litros tiene 2 llaves, una vierte 42 litros en 6 minutos y la otra 64 litros en8 minutos, tambin tiene un desage por el que salen 48 litros en 12 minutos, si el estanque tiene 2 100 litros y se

abren las llaves y el desage al mismo tiempo, cunto tardar en llenarse?

Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

Problemas con fracciones

1 Al dividir 60 entre cierto nmero se obtiene3

4, cul es el nmero?

Solucin

60 es el dividendo y3

4el cociente, entonces se divide 60 entre el cociente para obtener el divisor.

603

4

60 4

3

240

380 =

( )( )= =

Por tanto, si se divide 60 entre 80 se obtiene 34

2 Al multiplicar5

2por cierto nmero se obtiene

1

20, cul es el nmero?

Solucin

5

2es uno de los factores y

1

20el producto, entonces se divide

1

20entre

5

2y se obtiene el otro factor.

1

20

5

2

1 2

20 5

2

100

1

50 =

( ) ( )

( )( ) = =

Por tanto, el nmero es1

50

3 Un granjero tiene 200 animales, la cuarta parte son patos, la tercera parte del resto son vacas, las2

5partes del resto

cerdos y los dems son gallinas, cuntas gallinas tiene?

Solucin

La cuarta parte son patos:

1

4200

200

450( ) = = , entonces hay 50 patos y restan 150 animales.

La tercera parte del resto son vacas:

1

3150

150

350( ) = = , por tanto hay 50 vacas y restan 100 animales.

Las dos quintas partes del resto son cerdos:

2

5 100

200

5 40( ) = = , entonces hay 40 cerdos y restan 60 animales.Finalmente, el nmero de gallinas es 60


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4 Rodolfo gast la novena parte de su dinero y le quedaron $32 000, cunto dinero tena?

Solucin

Si Rodolfo gast la novena parte, entonces $32 000 son los8

9del total de dinero que tena.

Por tanto, se divide 32 000 entre8

9

320008

9

32 000 9

8

288000

836000 =

( )( )= =

Por consiguiente, Rodolfo tena $36 000

5 Mauricio compr una camisa y unos pantalones en $1 000, si la camisa cost la tercera parte del precio del pantaln,cunto cost el pantaln?

Solucin

Si la camisa cost la tercera parte del pantaln, $1 000 son3

3

1

3

4

3+ = del precio del pantaln, entonces el costo del

pantaln es: 10004

3

1 000 3

4

3000

4750 =

( )( )= =

Por consiguiente, el precio del pantaln es de $750

6 Vctor puede hacer un trabajo en 6 horas y Alberto hace el mismo en 8 horas. En cuntas horas podrn hacer el mismo

trabajo juntos?

Solucin

En 1 hora Vctor hace1

6del trabajo.

En 1 hora Alberto hace1

8del trabajo.

Ambos en 1 hora harn1

6

1

8

4 3

24

7

24

+ =+

= del trabajo.

Luego, para hacer los24

241= trabajo, se divide:

17

24

24

73

3

7 = =

Por tanto, ambos tardarn 33

7horas en realizar el mismo trabajo.

7 Dos llaves llenan un depsito en 8 horas, si una de ellas lo llena en 12 horas, en cunto tiempo lo llenar la otrallave?

Solucin

En 1 hora ambas llaves llenan1

8del depsito.

En 1 hora una de las llaves llena1

12del depsito.

La otra llave llena1

8

1

12

3 2

24

1

24

=

= del depsito.

Por tanto, la otra llave lo llena en 24 horas.


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8 Un depsito tiene 2 llaves y un desage, una de las llaves tarda 6 horas en llenarlo y la otra lo llena en 4 horas. Si estel depsito lleno tarda 8 horas en vaciarse. Cunto tiempo tardar en llenarse si se abren al mismo tiempo las 2 llaves

y el desage?

Solucin

En 1 hora las 2 llaves llenan,

1

6

1

4

2 3

12

5

12+ =

+= del depsito.

En 1 hora se vaca1

8del depsito.

Luego, abriendo todo al mismo tiempo en 1 hora se llena

5

12

1

8

10 3

24

7

24 =

= del depsito.

Entonces, tardar en llenarse,

17

24

24

73

3

7 = =

Finalmente, el depsito se llenar en 33

7horas.

EJERCICIO 115

1. Si al multiplicar un nmero por2

3se obtiene 20 como producto, cul es el nmero?

2. Si al dividir un nmero entre1

2se obtiene

5

2como cociente, cul es el nmero?

3. Al multiplicar4

5por cierto nmero se obtiene 3 como producto, cul es el nmero?

4. Al dividir5

6

entre cierto nmero se obtiene5

4

como resultado, cul es el nmero?

5. La cuarta parte de un nmero es 6, cul es el nmero?

6. Las tres quintas partes de un nmero son6

7, cul es el nmero?

7. Al preguntar Luis a su profesor de matemticas la hora, ste le responde que son los tres cuartos del cudruplo de un

tercio de las 9 de la maana, qu hora es?

8. Margarita tiene la quinta parte de las tres cuartas partes del quntuplo de la edad de Brenda. Cuntos aos tiene

Margarita, si Brenda tiene 24 aos?

9. El cociente de 2 nmeros es 53

y su MCD es 14, cules son los nmeros?

10. El cociente de 2 nmeros es4

7y su mcm es 140, cules son los nmeros?

11. El cociente de 2 nmeros es3

2su MCD es 30, cul es el mcm de los nmeros?

12. La poblacin de un colegio es de 600 alumnos. Si las dos terceras partes de los hombres asisten a un torneo de futbol,

cuntos hombres se quedaron en el colegio, si las tres cuartas partes del total son mujeres?

13. Una regin produce 750 toneladas de maz, de las cuales utiliza la quinceava parte para consumo de su comunidad,

las tres quintas partes del resto se envan a la Ciudad de Mxico y el resto lo exportan, cuntas toneladas son exportadas?


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Ejemplo

sEJEMPLOS

14. Adrin hace su testamento dejando las dos quintas partes de su fortuna a sus hijos, la cuarta parte a su esposa, la

quinta parte a su chofer y $3 750 000 a una institucin de beneficencia. A cunto asciende su fortuna?

15. Jos construye una barda en 24 das, David en 12 y Pedro en 8 das. En cunto tiempo la construirn los 3 juntos?

16. Una llave llena un depsito en 6 horas, otra lo llena en 9, en cunto tiempo lo llenarn si se abren al mismo tiempo

ambas llaves?

17. Dos llaves llenan un depsito en 4 horas, si una de ellas lo llena en 12 horas, en cunto tiempo lo llena la otra llave?

18. Una llave llena un depsito en 5 horas, otra lo llena en 3 horas 20 minutos. Si se abren las 2 llaves al mismo tiempo,

qu parte del depsito se llena en 1 hora?

19. Un depsito tiene 2 llaves y 2 desages. Una de las llaves tarda 8 horas en llenarlo y la otra 12 horas, si se abre uno

de los desages cuando el depsito est lleno tarda 24 horas en vaciarse, mientras que con el otro desage tarda 12

horas. Cunto tiempo tarda en llenarse si se abren al mismo tiempo las llaves y los desages?

20. Un depsito de agua tiene 2 llaves, una de ellas lo llena en 36 minutos, mientras que la otra lo llena en 12 minutos. Si

el depsito est lleno hasta los4

9 de su capacidad, en cunto tiempo acabar de llenarse si se abren al mismo tiempolas 2 llaves?

21. Mario y Jos Luis pintan una barda en 4 das; Mario trabajando solo, tardara 6 das. En cuntos das la pinta Jos

Luis?

22. Alfredo hace un trabajo en 12 horas, Juan y Pedro juntos hacen el mismo en 6 horas. En cunto tiempo lo harn

Alfredo y Juan, si Pedro tarda 8 horas en hacer el mismo trabajo?


Problemas de agrupacin

En ocasiones es conveniente agrupar u ordenar las operaciones de tal forma que al resolverlas el proceso sea ms

sencillo.

Para resolver los siguientes problemas se utilizarn algunas frmulas y conceptos.

1 Deduce la frmula para hallar la suma de 1 +2 + 3 + 4 +5 + + n.

Solucin

Sea S= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n, se invierte el orden de los sumandos de Sy se efecta la suma de la siguiente

manera:

S= 1 + 2 + 3 + + (n 2) + (n 1) + n

S= n + (n 1) + (n 2) + + 3 + 2 + 1

2S= n + 1 + n + 1 + n + 1 + + n + 1 n + 1 n + 1

Existen (n + 1) sumandos y son n trminos, la suma es:

2S= n(n + 1)

Si n (n + 1) es el doble de la suma, entonces la suma es:

Sn n

=+( )1

2

La cual se le conoce como la frmula de Gauss, para hallar la suma de los primeros n nmeros naturales.


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2 Calcula la suma de 4 + 8 + 12 + 16 + + 200.

Solucin

Los trminos de la suma son mltiplos de 4, al aplicar la propiedad distributiva de los nmeros reales

a(b + c) = ab + ac, la suma se escribe de la siguiente forma:

4 + 8 + 12 + 16 + + 200 = 4(1 +2 + 3 + 4 + + 50)

Al aplicar la frmula de Gauss en la suma 1 + 2 + 3 + 4 + + 50 con n = 50 se tiene que:

Sn n

=+( )

=+( )

=( )( )

= =1

2

50 50 1

2

50 51

2

2550

21275

Luego:

4 + 8 + 12 + 16 + + 200 = 4(1 +2 + 3 + 4 + + 50)

= 4(1 275)

= 5 100

Por tanto, 4 + 8 + 12 + 16 + + 200 = 5 100

3 Determina el resultado de 1 4 + 16 64 + 256 1 024.

Solucin

La suma se escribe de la siguiente manera:

1 4 + 16 64 + 256 1 024 = 1 + ( 4)1 + ( 4)2 + ( 4)3 + ( 4)4 + ( 4)5

La expresin anterior tiene la forma:

1 +a1

+a2

+a3

+a4

+ +an

=a

a

n+

11

1

Donde a = 4, n = 5:

1 + ( 4)1 + ( 4)2 + ( 4)3 + ( 4)4 + ( 4)5 =( )

( )

+4 1

4 1

5 1

=( ) 4 1

4 1

6

4 096 1

5

=4095

5

819

=

Por consiguiente, 1 4 + 16 64 + 256 1 024 = 819

4 Escribe 111 111 como suma de potencias de 10.

Solucin

La cantidad 111 111 se escribe de la siguiente forma:

111 111 = 100 000 + 10 000 + 1 000 + 100 + 10 + 1

= 105 + 104 + 103 + 102 + 101 + 100

Por tanto, 111 111 = 105

+ 104

+ 103

+ 102

+ 101

+ 100

5 Escribe 27 + 27 como potencia de 2.

Solucin

27 + 27 = 27 (1 + 1) Propiedad distributiva de los nmeros reales.

= 27 (2)

= 27 (2)1

= 27 + 1 Teorema de los exponentes a a am n m n = +

= 28

Por consiguiente, 27 + 27 = 28


10/16

6 Cuntos dgitos tiene el producto de 2 52006 2012 ?

Solucin

52012 se descompone de la siguiente forma:

5 5 52012 2006 6=

Luego:

2 52006 2012 = ( )2 5 52006 2006 6

= ( )( )2 5 52006 2006 6 Propiedad asociativa de los nmeros reales.

= ( ) 2 5 52006 6 Teorema de los a b a b

n n n( ) =

= ( ) 2 5 52006 6

= ( ) 2 5 15 6252006

= 15 625 102006 Propiedad conmutativa de los nmeros reales.

DGITOSDGITOS

Por tanto, el producto tiene 5 + 2 006 = 2 011 dgitos.

7 Calcula el producto de todos los divisores de 3 5100 100

Solucin

Los divisores de 3100 son: 30, 31, 32, 33, , 3100

Los divisores de 5100 son: 50, 51, 52, 53, , 5100

Los divisores de aaa3100 5100 se obtienen al multiplicar cada uno de los divisores de 3100 por los divisores de 5100, es

decir:

30 50 30 51 30 52 30 53 30 5100

31 50 31 51 31 52 31 53 31 5100

32 50 32 51 32 52 32 53 32 5100

33 50 33 51 33 52 33 53 33 5100

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3100 50 3100 51 3100 52 3100 53 3100 5100

Al multiplicar los nmeros de cada rengln se obtiene:

(30 50) (30 51) (30 52) ... (30 5100) = 3101 (50 51 52 ... 5100)

(31 50) (31 51) (31 52) ... (31 5100) = (31)101 (50 51 52 ... 5100)

(32 50) (32 51) (32 52) ... (32 5100) = (32)101 (50 51 52 ... 5100)

.

.

.

(399 50) (399 51) (399 52) ... (399 5100) = (399)101 (50 51 52 53 ... 5100)

(3100 50) (3100 51) (3100 52) ... (3100 5100) = (3100)101 (50 51 52 53 ... 5100)


11/16

Al multiplicar los productos se obtiene:

3 3 3 3 30101 1 101 2 101 3 101 99 10( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

11 100 101 0 1 2 3 99 100 103 5 5 5 5 5 5 ( )( ) ( )...11

=

3 3 3 3 3 3 5 5 5 50 1 2 3 99 100101 0 1 2 3 ( ) ... .... ( )5 599 100

101

= 3 3 3 3 3 3 5 5 5 50 1 2 3 99 100101 0 1 2 3 ( ) ... .... ( )5 599 100

101

= 3 50 1 2 3 99 100101 0 1 2 3 99 10+ + + + + + + + + + + +( ) ... ... 00

101

( )

Para determinar la suma de 1 + 2 + 3 + + 99 + 100 se utiliza la frmula de Gauss.

Sn n

=+( )1

2

0 + 1 + 2 + 3 + + 99 + 100 = 0 +100 100 1

2

100 101

2

5050+( )

=( )( )

= con n = 100

= 3 55050101 5050 101( ) ( ) = 3 55 050 5 050

101

( ) = 3 5 5050101

( ) = 3 55050 101( ) = 15 510050( )

Finalmente, el producto de los divisores de 3 5100 100 es 15 510050( )

SeaNun nmero compuesto, su descomposicin en factores primos se representa con N=ambncp

con a, b, c nmeros primos; m, n,p nmeros naturales.

El nmero de divisores deNest dado por el producto(m + 1)(n + 1)(p + 1)...

Ejemplo

Encuentra el nmero de divisores de 108.

Solucin

108 se descompone en factores primos, es decir, 108 = 2 2 3 3 3 = 22 33

Al aplicar la frmula con m = 2, n = 3, se tiene que:

m n+( ) +( )= +( ) +( )= =1 1 2 1 3 1 3 4 12

Por tanto, el nmero de divisores de 108 son 12

Suma de los divisores de un nmero

SeaNun nmero compuesto, su descomposicin en factores primos est dada por N= ambncp

con a, b, c nmeros primos; m, n,p nmeros naturales.

La suma de los divisores deNest dada por la frmula:

Sa

a

b

b

c

c

m n p

=

+ + +1 1 11

1

1

1

1

1

Ejemplo

Determina la suma de los divisores de 9 000.

Solucin

El nmero 9 000 se descompone en sus factores primos y se representa de la forma ambncp , obteniendo:

9 000 = 23 32 53

(contina)


12/16

(continuacin)

Se determinan los valores de a, b, c, m, n yp

a= 2 b= 3 c= 5 m= 3 n= 2 p= 3

Estos valores se sustituyen en la frmula

S

a

a

b

b

c

c

m n p

=

=

+ + + +1 1 1 3 11

1

1

1

1

1

2 1

2 1

=

+ +3 13 1

5 1

5 1

2 1

2 1

3 1

3 1

5 1

5

2 1 3 1 4 3 4

1

=

16 1

2 1

27 1

3 1

625 1

5 1

= 15

1

26

2

624

4

= (15)(13)(156)

= 30 420

Por tanto, la suma de los divisores de 9 000 es 30 420

EJERCICIO 116

1. Calcula la suma de: 2 + 4 +6 + 8 + + 20

2. Calcula la suma de: 1 + 3 + 6 + 9 + + 60

3. Calcula la suma de: 5 + 10 + 15 + 20 + + 200

4. Paola ley un libro en 15 das; si el primer da ley 3 pginas y los siguientes das ley 5 pginas ms que el da

anterior, cuntas pginas tiene el libro?

5. Calcula la suma de las 100 fracciones que se obtienen al formar todos los cocientes de los nmeros de la siguiente

lista: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19 683

6. Calcula la suma 1 3 + 9 27 + 81 243 + 729 2 187

7. Escribe el nmero 111 111 111 como suma de potencias de 10

8. Escribe el nmero 111 111 111 111 como suma de potencias de 10

9. Escribe el nmero 101 010 101 como suma de potencias de 102

10. Calcula la suma de todos los divisores positivos de 1 800

11. Expresa 210 + 210 como potencia de 2

12. Expresa 35 + 35 + 35 como potencia de 3

13. Expresa 42 + 42 + 42 + 42 como potencia de 4

Encuentra el nmero de divisores de:

14. 18

15. 60

16. 210

17. 450

18. Cuntas cifras tiene el nmero 2010 2404 5403?

19. Cuntas cifras tiene el nmero 40420 21 001 51 850?



13/16

EjemplosEJEMPLOS

Problemas de repartimientos proporcionales

Es una regla por medio de la cual se divide un nmero propuesto en partes proporcionales a otros nmeros dados.

Para dividir un nmeroNen partes proporcionales entre los nmerosx,y yz; se utiliza la siguiente frmula:

m

x

n

y

p

z

m n p

x y z

N

Sm

N x

Sn

N y

Sp

N z

S= = =

+ ++ +

= =

=

=

, ,

Donde:N= m + n +p

S=x+y +z

1 Dividir proporcionalmente 700 entre los nmeros 2, 3 y 5.

Solucin

Sean m, n yp, lo que le toca a cada parte, respectivamente.

N: cantidad a repartir = m + n +p = 700

S: suma los nmeros dados =x+y +z = 2 + 3 + 5 = 10

Al aplicar la frmula se obtiene:

mN x

S

nN y

S

=

=( )( )

= =

=

=( )( )

700 2

10

1400

10140

700 3

110

2100

10210

700 5

10

3500

10 350

= =

=

=( )( )

= =pN z

S

Por tanto, las cantidades son: 140, 210 y 350, respectivamente.

2 Divide proporcionalmente 4 440 entre los nmeros1

4

5

2

1

3, y .

Solucin

Sean m, n yp, lo que le toca a cada parte, respectivamente.

N: cantidad a repartir = m + n +p = 4 440Al aplicar la frmula se obtiene:

m

x

n

y

p

z

m n p= = = = =

1

4

5

2

1

3

Al transformar a un mismo denominador (mcm) se obtiene:

m

x

n

y

p

z

m n p m n p m n= = = = = = = = = =

1

4

5

2

1

3

3

12

30

12

4

12

3 30==

p

4

S: suma los nmeros dados =x+y +z = 3 + 30 + 4 = 37

mN x

S=

=

( )( )= =

4 440 3

37

13320

37360

n

N y

S=

=

( )4 440 330

37

133200

373600

( )= =

4 440 4

37

17 7=

=

( )( )=p

N z

S

660

37

480=

Por tanto, las cantidades son: 360, 3 600 y 480, respectivamente.


14/16

3 Se repartieron $1 150 a 3 personas, cuyas edades son: 12, 16 y 18 aos. Cunto le toc a cada una, si se dividi pro-porcionalmente a sus edades?

Solucin

Sean m, n yp, lo que le toca a cada persona, respectivamente.

N: cantidad a repartir = m + n +p = $1 150

S: suma de las edades =x+y +z = 12 + 16 + 18 = 46 aos.Al aplicar la frmula se obtiene:

mN x

S

nN y

S

=

=( )( )

= =

=

=(

1 150 12

46

13800

46300

1150))( )= =

=

=( )( )

=

16

46

18400

46400

1 150 18

46

20 7p

N z

S

000

46450=

Por tanto, cada persona recibi $300, $400 y $450 respectivamente.

4 Se repartieron $2 800 a 4 personas, que tienen respectivamente 4, 6, 10 y 15 aos. Cunto le toc a cada una, si sedividi inversamente proporcional a sus edades?

Solucin

Las razones inversas son:1

4

1

6

1

10

1

15, , , , lo que indica que la persona de mayor edad recibi menos cantidad de

dinero.

Sean l, m, n yp, las partes respectivas, entonces:

l

w

m

x

n

y

p

z

l m n p= = = = = = =

1

4

1

6

1

10

1

15

Se transforman las fracciones a un denominador comn (mcm) de 4, 6, 10 y 15

l m n p l m n p

15

60

10

60

6

60

4

60

15 10 6 4= = = = = = =


N: cantidad a repartir = l + m + n +p = $2 800

S: suma de las edades = w +x+y +z = 4 + 6 + 10 + 15 = 35 aos

l

N w

S=

=

( )( )= =

2 800 15

35

42000

351200

mN x

S=

=

2800(( )( )= =

10

35

28000

35800

=

=

( )( )=

2800 6

35

168n

N y

S

000

35480=

2800 4

35

11200

35320=

=

( )( )= =p

N z

S

Finalmente:

La persona de 4 aos recibi $1 200

La persona de 6 aos recibi $800

La persona de 10 aos recibi $480La persona de 15 aos recibi $320


15/16

5 Se repartieron $744 000 entre 3 personas, de modo que la parte de la primera persona sea a la segunda como 4 es a 5,y que la parte de la segunda sea a la tercera como 3 es a 7, cunto le toc a cada una?

Solucin

La segunda parte est representada por 2 nmeros, sta se modificar para ser representada por un solo nmero.

Cuando la segunda parte es 5, la primera es 4, entonces si la segunda es 3 veces mayor, la primera tambin debe

de ser 3 veces mayor.Cuando la segunda parte es 3, la tercera es 7, entonces si la segunda es 5 veces mayor, la tercera tambin debe de

ser 5 veces mayor.

1era parte 2da parte 3ra parte

4 5

3 7

4 3 12( ) ( )=

5 3 15( ) ( )=

3 5 15( ) ( )= 7 5 35( ) ( )=

12 15 35

Por tanto, 744 000 se repartieron en proporcin de 12, 15 y 35

Sean m, n yp, lo que le toc a cada persona.

N: cantidad a repartir = m + n +p = $744 000

S: suma de las partes =x+y +z = 12 + 15 + 35 = 62


mN x

S

nN y

=

=( )( )

= =

=

744000 12

62

8928000

62144000

SS

pN z

S

=( )( )

= =

=

=

744000 15

62

11160000

62180000

7444 000 35

62

26040000

62420000

( )( )= =

Finalmente:

La primera persona recibi $144 000

La segunda persona recibi $180 000

La tercera persona recibi $420 000

6 Antonio deja $141 000 al morir y dispone en su testamento que dicha suma sea repartida entre su madre, 2 hermanos,

3 hermanas y 2 sobrinos, del modo siguiente: a los 2 sobrinos partes iguales; a cada hermana lo que a un sobrino, ms

la tercera parte de lo mismo; a cada hermano lo que a una hermana, ms la mitad de lo mismo, y a su madre 3 veces la

suma de la parte de cada hermano y cada hermana. Cunto le corresponde a cada heredero?

Solucin

Sea 1 la parte de cada sobrino, la de los 2 es 2 1 2 =

La parte que le corresponde a una hermana es: 11

31

4

3+ ( ) = , de las 3 es 3

4

34 =

La parte que le corresponde a un hermano ser4

3

1

2

4

32+

= , de los 2 es 2 2 4 =

La parte que le corresponde a la madre ser 34

32 3

10

310+

=

=

Luego: sea l lo que toca a los 2 sobrinos, m lo que toca a las 3 hermanas, n lo que corresponde a los 2 hermanos

yp lo que toca a la madre.

N: cantidad a repartir = l + m + n +p = $141 000

S: suma de las partes = w +x+y +z = 2 + 4 + 4 + 10 = 20(contina)


16/16

(continuacin)


lN w

S

mN x

S

=

=( )( )

= =

=

=

141000 2

20

282000

2014100

1441000 4

20

564000

2028200

141000

( )( )= =

= = ( )n N yS 4420 56400020 28200

141000 10

20

( ) = =

=

=( )( )

=pN z

S

11410000

2070500=

Finalmente:

Cada sobrino recibir:14100

27050 00= $ .

Cada hermana recibir:28200

39400 00= $ .

Cada hermano recibir:28200

214 100 00= $ .

La mam recibir: $ .70 500 00

EJERCICIO 117

1. Guillermo quiere repartir $2 310 entre sus 3 sobrinos de 7, 11 y 15 aos. Cunto le tocar a cada sobrino, si se

repartir proporcionalmente a sus edades?2. Allan quiere repartir $1 026 entre sus 4 hermanos de 6, 8, 10 y 12 aos. Cunto le tocar a cada hermano, si

se reparte inversamente proporcional a su edad?

3. Tres matemticos se renen para resolver una gua de ecuaciones diferenciales, han ganado juntos $3 800; el primero

ha trabajado durante 3 das, el segundo durante 6 y el tercero durante 10. Qu parte de la ganancia le corresponde

a cada uno en proporcin del tiempo de su trabajo?

4. Divide el nmero 255 en 3 partes, de tal manera que la parte de la primera sea a la de la segunda como 2:5 y la parte

de la primera sea a la de la tercera como 1:4, cunto le corresponde a cada parte?

5. Divide el nmero 1 020 en 3 partes, de tal manera que la parte de la primera sea a la de la segunda como 1:2 y la partede la segunda sea a la de la tercera como 3:4, cunto le corresponde a cada parte?

6. Divide el nmero 228 en 3 partes, de tal manera que la parte de la primera sea a la de la segunda como2

5es a

3

5y la

parte de la segunda sea a la de la tercera como2

5es a

3

5. Cunto le corresponde a cada parte?

7. Reparte $6 440 entre 3 personas, de tal manera que la parte de la primera sea a la de la segunda como 3 es a 5 y que

la parte de la segunda sea a la de la tercera como 1 es a 3, cunto le toca a cada persona?

8. Jos Luis muere dejando en su testamento una herencia de $234 000 a una hermana que se encuentra en otro pas, y

de quien nunca tuvo noticias, el notario lee el testamento: Si mi hermana tiene una hija, dejo para ella las 34

partes de

la herencia y1

4para la madre; pero si tiene un hijo, a ste le tocar

1

4de la herencia y las

3

4partes para la madre.

Sucede que la hermana tiene un hijo y una hija, cunto le corresponde a cada heredero?

9. Jorge deja $142 500 al morir y dispone en el testamento que dicha suma se reparta entre sus 4 hermanas, 2 hermanos

y 5 sobrinos, de tal manera que: los 5 sobrinos a partes iguales, a cada hermana lo que a un sobrino, ms2

3de lo

mismo, a cada hermano lo que a una hermana, ms1

4

de lo mismo. Cunto le corresponde a cada heredero?


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DCAP 11 RAZONAMIENTO ARITMETICO