Embed Size (px)
Citation preview
erein
MATEMATIKAArantza Egurcegui
DBH 2
Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate etaIkerketa Sailak onetsia (2010-VI-30)
Euskararen arduraduna:Rosetta Testu ZerbitzuakAzala eta liburuaren diseinua:IturriMaketazioa:EreinAzaleko irudia eta ilustrazioak:Ivan Landa© Arantza Egurcegui© EREIN. Donostia 2010ISBN: 978-84-9746-439-0L.G.: SS-1244/2010EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 10720018 DonostiaT 943 218 300 F 943 218 311e-mail: [email protected]: GertuZubillaga industrialdea 920560 OñatiT 943 78 33 09 F 943 78 31 33e-mail: [email protected]
Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edoaldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitakosalbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo es-kaneatu nahi baduzu,jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos,www.cedro.org).
Arantza EgurceguiAintzane Olaetaren lankidetzarekin
MatematikaDBH 2
Aurkibidea0. unitatea. Lehen eta Bigarren Hezkuntzen arteko lotura ...................................................... 7
Aurrezagutzak .............................................................................................................................. 10Metodologia / Nola landuko dugun ........................................................................................ 11Ikasturtearen aurkezpena .......................................................................................................... 15
1. blokea: aritmetika1. unitatea. Zenbaki arruntak / zenbakia osoak .......................................................................... 18
1. Zenbaki arruntak .................................................................................................................... 192. Zenbaki osoak ........................................................................................................................ 193. Zenbaki arrunten eta osoen arteko erlazioa ...................................................................... 204. Zenbaki osoak adierazteko modua .................................................................................... 205. Eragiketak zenbaki osoekin .................................................................................................. 216. Zenbaki osoen propietateak.................................................................................................. 257. Zenbaki osoen berreketak eta erroketak ............................................................................ 278. Erroketak .............................................................................................................................. 319. Zatigarritasuna ........................................................................................................................ 35
Taldeko lana ................................................................................................................................ 40Zenbaki arruntak / zenbakia osoak - Sintesia ........................................................................ 41Zenbaki arruntak / zenbakia osoak - Autoebaluazioa .......................................................... 42
2. unitatea. Zenbaki arrazionalak .................................................................................................... 441. Zenbaki arrazionalak .............................................................................................................. 452. Zatiki motak ............................................................................................................................ 463. Zatiki baliokideak .................................................................................................................... 474. Zatikien eragiketak.................................................................................................................. 485. Zatikien propietateak .............................................................................................................. 526. Zenbaki arrazionalaren kontzeptua .................................................................................... 547. Buruketak zatikiekin .............................................................................................................. 57
Taldeko lana ................................................................................................................................ 60Zenbaki arrazionalak - Sintesia ................................................................................................ 61Zenbaki arrazionalak - Autoebaluazioa .................................................................................. 63
3. unitatea. Zenbaki hamartarrak / ehunekoak ............................................................................ 641. Zenbaki arrazionalak eta zenbaki hamartarrak .................................................................. 652. Nola aldatu zenbaki hamartar batetik zatiki batera: Zatiki Sortzailea ............................ 663. Zenbaki hamartarrekin egiteko eragiketak ........................................................................ 684. Zenbaki ez-arrazionalen mundua. Zenbaki irrazionalak.................................................... 715. Zenbaki arrazionalak eta ehunekoak .................................................................................. 75Taldeko lana ................................................................................................................................ 80Zenbaki hamartarrak / ehunekoak - Sintesia ........................................................................ 81Zenbaki hamartarrak / ehunekoak - Autoebaluazioa ............................................................ 82
2. blokea: aljebra1. unitatea. Aljebra ................................................................................................................................ 86
1. Aljebraren esanahia................................................................................................................ 872. Aljebrazko hizkuntza .............................................................................................................. 893. Adierazpen aljebraiko baten zenbakizko balioa ................................................................ 944. Adierazpen aljebraikoekin egiten diren eragiketak............................................................ 975. Eragiketak polinomioekin ...................................................................................................... 100
6. Biderketa bereziak.................................................................................................................. 1047. Biderkadura nabarmenen erabilera...................................................................................... 111
Taldeko lana ................................................................................................................................ 116Aljebra - Sintesia ........................................................................................................................ 117Aljebra - Autoebaluazioa ............................................................................................................ 118
2. unitatea. Ekuazioak ........................................................................................................................ 1201. Ekuazioak / Identitateak ........................................................................................................ 1212. Ekuazio baten ebazpena........................................................................................................ 1233. Ekuazioaren gaiak .................................................................................................................. 1254. Lehen mailako ekuazioak ...................................................................................................... 1265. Emaitza motak ........................................................................................................................ 1336. Problemak ebazten ................................................................................................................ 1337. Bigarren mailako ekuazioak .................................................................................................. 1438. Soluzio kopurua ...................................................................................................................... 1459. Bigarren mailako ekuazio osagabeak.................................................................................. 14710. Bigarren mailako ekuazioak dituzten problemak ebazten ............................................ 154
Taldeko lana ................................................................................................................................ 159Ekuazioak - Sintesia .................................................................................................................. 160Ekuazioak - Autoebaluazioa ...................................................................................................... 161
3. unitatea. Ekuazio-sistemak .......................................................................................................... 1641. Ekuazio-sistemen esanahia .................................................................................................. 1652. Ekuazio-sistemen soluzioa .................................................................................................... 1673. Nola aurkitu soluzioak? .......................................................................................................... 1714. Problemak ebazteko .............................................................................................................. 183
Taldeko lana ................................................................................................................................ 190Ekuazio-sistemak - Sintesia ...................................................................................................... 191Ekuazio-sistemak - Autoebaluazioa ........................................................................................ 192
3. blokea: funtzioak1. unitatea. Funtzioak ............................................................................................................................ 196
1. Funtzioen esanahia ................................................................................................................ 1972. Funtzioak deskribatzeko moduak ........................................................................................ 1983. Grafikoak.................................................................................................................................. 1994. Funtzio baten formula ............................................................................................................ 2085. Funtzio baten ezaugarriak...................................................................................................... 214
Taldeko lana ................................................................................................................................ 220Funtzioak - Sintesia .................................................................................................................... 221Funtzioak - Autoebaluazioa ...................................................................................................... 222
2. unitatea. Funtzio motak .................................................................................................................. 2241. Funtzio motak .......................................................................................................................... 2252. Magnitudeen arteko erlazioak .............................................................................................. 2273. Proportzionaltasun zuzena .................................................................................................... 2294. Proportzionaltasun zuzeneko funtzioa. Formula eta Grafikoa ........................................ 2325. Funtzio linealak........................................................................................................................ 2366. Funtzio konstantea. Grafikoa zuzena duen beste funtzio bat .......................................... 2407. Zuzenen arteko posizioak: zuzen paraleloak, elkar ebakitzen duten zuzenak .............. 2418. Alderantzizko proportzionaltasunezko funtzioa ................................................................ 2439. Proportzionaltasun konposatua ............................................................................................ 248
Taldeko lana ................................................................................................................................ 251Funtzio motak - Sintesia ............................................................................................................ 252Funtzio motak - Autoebaluazioa .............................................................................................. 253
4. blokea: geometria1. unitatea. Geometria laua ................................................................................................................ 258
1. Kideko irudiak.......................................................................................................................... 2592. Talesen teorema...................................................................................................................... 2693. Triangelu hauek ebazteko beste modu bat. Pitagorasen teorema ................................ 275
Taldeko lana ................................................................................................................................ 286Geometria laua - Sintesia .......................................................................................................... 287Geometria laua - Autoebaluazioa ............................................................................................ 288
2. unitatea. Irudiak espazioan: sailkapena .................................................................................... 2901. Sarrera...................................................................................................................................... 2912. Planotik espaziora .................................................................................................................. 2923. Gorputz geometrikoen sailkapena ...................................................................................... 293
Poliedroak........................................................................................................................ 293A. Prismak ................................................................................................................ 294B. Piramideak .......................................................................................................... 297
Biraketa-gorputzak ........................................................................................................ 301A. Zilindroa ................................................................................................................ 301B. Konoa.................................................................................................................... 302C. Esfera.................................................................................................................... 302
Taldeko lana ................................................................................................................................ 305Irudiak espazioan: sailkapena - Sintesia ................................................................................ 306Irudiak espazioan: sailkapena - Autoebaluazioa .................................................................... 308
3. unitatea. Irudiak espazioan: neurriak .......................................................................................... 3101. Irudi geometrikoak. Neurriak ................................................................................................ 3112. Irudi geometrikoen azalera.................................................................................................... 3123. Gorputz geometrikoen bolumena ........................................................................................ 3204. Galderak / geometria sakondu ............................................................................................ 3245. Bolumena / Unitate-aldaketak .............................................................................................. 3256. Bolumenak. Estimazioa ........................................................................................................ 328
Taldeko lana ................................................................................................................................ 330Irudiak espazioan: neurriak - Sintesia ...................................................................................... 331Irudiak espazioan: neurriak - Autoebaluazioa ........................................................................ 332
5. blokea: probabilitatea1. unitatea. Probabilitateak ................................................................................................................ 336
1. Sarrera .................................................................................................................................... 3372. Aurrezagutzak ........................................................................................................................ 3393. Gertaera baten probabilitatea ............................................................................................ 3414. Probabilitatearen propietateak ............................................................................................ 3435. Probabilitatea kalkulatzeko estrategiak .............................................................................. 3456. Problema-ebazpena .............................................................................................................. 352
Taldeko lana ................................................................................................................................ 355Probabilitateak - Sintesia .......................................................................................................... 356Probabilitateak - Autoebaluazioa ............................................................................................ 357
01.DBHtik-2.DBHra
– Aurrezagutzak
– Metodologia / Nola landuko dugun
– Ikasturtearen aurkezpena
uunniittaatteeaa
SarreraHasteko, iazko ikasturtetik dakizkigunak berriro landuko ditugu.
ZER EDUKI LANDU GENITUEN DBH-KO 1. IKASTURTEAN?
NOLA LAN EGINGO DUGU IKASTURTE HONETAN? Iazko ikasturteko metodologiaberari (ikasteko moduari) jarraituz.
MATEMATIKA LAGUNGARRIA DA:
1. IKASTEN IKASTEKO
2. ZURE GOGOETAK KOMUNIKATZEN IKASTEKO
3. TALDEAN LAN EGITEN IKASTEKO
Iazko ikasturtetik gogoan izango duzun bezala, lehendik ere ezagunak dituzunsinbolo batzuk agertuko dira liburu honetan, une bakoitzean zein alor lantzenari zaren zehaztuko dizutenak.
Sinbolo horiek eta bakoitzak zer esan nahi duen taula honetan agertzen dira: 1. IKASTEN IKASI
Ikasten ari zarenak zer esan nahi duen ari zara lantzen (esanahia eta kontzep-tuak).
Ekuazioak ebazteko, emaitzak ateratzeko... zer urrats egin behar dituzun ari zaralantzen. ALGORITMOAK deitzen direnak ari zara lantzen.
Egiten duzunaren arrazoibidea, emaitza batera iristeko frogantzak ari zara lan-tzen.
Matematikaren erabilera nagusiak, eta Aritmetika, Aljebra, Funtzioak, Geome-tria eta Estatistika blokeen arteko loturak ari zara lantzen.
Prozesu batzuk luzeak dira, eta une oro galdetu behar diozu zeure buruari pro-zesu horretako zein unetan zauden.
AUTOEBALUAZIOAK egiten dituzunean, eta EBALUAZIO IRIZPIDEAK ira-kurtzen dituzunean, garbi ikusiko duzu:– zer landu duzun.– ongi menderatzen duzun ala gehiago landu behar duzun.– zeri begiratuko dion irakasleak landu duzuna ulertu duzun neurtzeko.
SINTESIA: Unitatea bukatzerako gauza asko landu izango dituzu, eta ongi an-tolatu behar dituzu zeure baitan, beren arteko loturak aztertuz, hala hobeto ulerditzazun eta denbora joandakoan ahaztu ez ditzazun.
IKURRA Zer esan nahi du?
SAKONDU. Ikasle bakoitza desberdina denez, ikasle batzuek gehiago jakinnahi dute. Hemen aurkituko dituzu sakontzeko ariketak.
8
9
Ariketak
HIZTEGIA / HIZKERA
HIZTEGIA / HIZKERA
DENOK ELKARREKINLAN EGITEN EZ BADUGULANA EZ DA BURUTZEN
Badakizu matematika mundu guztian berdina den HIZKUNTZA BEREZI batdela; horregatik ongi ikasi behar dituzu matematikako terminoak, eragiketeneta sinboloen izen egokiak, zure arrazoibideak ongi adierazi ahal izateko, defi-nizioak erredaktatu ahal izateko...
Ariketa askotan esaldiak osatu beharko dituzu, zure iritzia arrazoitu beharkoduzu, definizioak idatzi beharko dituzu...
2. ZURE PENTSAMENDUA KOMUNIKATZEN IKASI
IKURRA Zer esan nahi du?
Zure ikaskideekin batera lan egingo duzu, era askotako egoerak ebazten. Zureikaskideen iritziak eta ideiak oso garrantzitsuak dira lana burutzeko. Denen ar-teko elkarlanak eta ahaleginak berebiziko garrantzia du egoera horien soluzioaaurkitzeko.Lan horien bidez aukera izango duzu, era berean, ORDENAGAILUA erabil-tzeko: POWER POINT programa aurkezpenak egiteko, Internet informazioa bi-latzeko, KALKULAGAILUA propietate bereziak ondorioztatzeko, KAMERAahozko azalpenak grabatu eta komunikazioa aztertzeko...
3. TALDEAN LAN EGITEN IKASI
IKURRA Zer esan nahi du?
Ikur horiek zer esan nahi duten gogoratzeko, lotu esaldihauek dagokien sinboloekin.
1. Lan hau egiten ezbadut kalte egingo diet nire
ikaskideei.
4. Zeri ematen diogarrantzia irakasleak nota
jartzeko?
8. Zergatik ote da 180º
triangelu guztienangeluen batura?
9. Mendekoaldagaia, aldagai askea,koordinatuen ardatzak,
abszisa, ordenatua,koordenatuen
abiaburua.
10. Hauxe luzea!, ezdakit zertan ari naizen
ere.
11. Zatiki baliokideakazterketan sartuko ote
dira?
12. Azterketa baino lehenideiak ordenatu behar ditut,ikasi dudan guztia ordenatu
behar dut.
5. Zertarako ote dapolinomioen zera hori?
6. Web orri honetanagertzen den informazioak
problema hau ebaztekobalio dit.
2. Koefizientea, maila,kidea, ezezaguna.
3. Zergatik egingo ote da honelahiruko erregela?
7. Hau dasuerte ona: Mariarekin lan egitea
egokitu zait, eta oso trebea da algoritmoakerabiltzen. Ni, berriz, problemak
planteatzen naiz trebea.
DENOK ELKARREKINLAN EGITEN EZ BADUGULANA EZ DA BURUTZEN
10
Aritmetika berrikustea. ZER LANDU GENUEN?
Aurrezagutzak
1. ERAGIKETAK ongi egiten, zenbaki arruntekin, osoekineta zatikiekin.
– Lehentasunak ongi aplikatuz.
– Oinarrizko eragiketak (+, –, x, :) ongi aplikatuz.
– Bitarteko sinplifikazioak ondo eginez.
Egin eragiketa hauek:
a) 5 · 3 –3 · 6 + 20 : 4=
b) 12 – 2 · (8 – 4) + 3 · (22 – 4) =
c) 3 · 7 – 4 · (12 – 3 · 2 + 8 : 4) =
d) 20 – 3 {12 – [4 + 7 · (5 – 4)]} =
e) 2 (3 – 7) + 5 (5 – 3) – 3 (2 – 6) =
f) 8 – 9 : 3 x 2 – 7 – 10 : 5 =
g) 4 · (–3) + (–2) · (–4) – 32 : (–8) =
h) 12 – 2 [7 – 4 – 2 · (–3)] – (–8) : 4 =
i)
j)
k)
2. ZATIGARRITASUNA:mkt eta ZKH aurkitzeko ALGORITMOA: kalkulatu mkt(168,90) ; ZKH(168,90) algoritmoa erabiliz.
3. BERREKETAK, propietateak ondo adierazten eta aplika-tzen.
a) Osatu:
58
42
64
2+ =$-b bl l1221
1418
4536
=$ $
43
62
21
+ =-
aa am
nn m= -
Berreketenpropietateak
b) Aplikatu berreketen propietateak.
a) 84 · 83 = b)
c) 34 · 54 = d)
e) f) 52 3=] g2 2
222
3 4
$$ =
23 4
=b l77
2
5
=
4. Bizkor kalkulatzen dituzu ematen zaizkizun kopuruenehunekoak:Kalkula itzazu ehuneko hauek: 56.023 kg-ren % 27 eta 125 m-ren % 8.
5. ZATIKIAK:a) Bi zatiki baliokideak direla frogatzeko modu bat baino
gehiago dago:
Frogatu hiru modu desberdinetan eta zatiki ba-
liokideak direla.b)Zatiki kanonikoa zer den eta nola ateratzen den.
Bilatu ren zatiki kanonikoa eta azaldu zer den.
6. FROBLEMAK EBAZTEN:
Eguneroko egoeretan badakizu
– Eskemak, marrazkiak, taulak egiten.– Jarraitutako prozesua argi adierazten.– Soluzioa egoki adierazten eta soluzioa logikoa den
aztertzen; beherapena baldin bada, soluzioa hasie-rako prezioa baino txikiagoa izango da; gorakadabada, kopuru handiago bat izango da soluzioa.
a) Zinema-areto batean 250 eserleku daude. Sarrerarenprezioa 6 € da. Gaur 47 eserleku hutsik geratu dira, eta3 pertsona ordaindu gabe sartu dira, gainera. Zenbatdiru jaso dute gaur leihatilan?
b) Iñakik bere pagaren gastatu ditu, eta 20 € geratzen
zaizkiola ohartu da. Zenbatekoa zen paga?
c) Koldok tarta baten jan du, eta Estefaniak geratu den
zatiaren . Tarta osoaren zenbateko zatia jan du Este-
faniak? Zenbateko tarta zatia geratzen da?
d) 460 kg udare eta 621 kg sagar ontziratu nahi dira, on-tzi guztiek pisu bera izateko moduan, eta pisua ahalden handiena izateko moduan. Zenbateko pisua izangodu ontzi bakoitzak? Zenbat ontzi beharko dira fruitumota bakoitzerako?
e) Blue-jean batzuen prezioa 85 €-tik 60 €-ra jaitsi baldinbadute, zenbateko beherapena egin diote, ehunekotan?
f) Erosi nahi nuen mendirako bizikletaren prezioa 1.250€ bazen, eta orain % 8 igo badute, zenbatekoa izangoda oraingo prezioa?
53
72
73
12054
159
106
11
Aritmetikari buruzko gogoetaAriketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz.
Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak
1. Eragiketak zenbakiekin
2.
3.
4.
5.
6.
Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak
1. Aljebrako hizkuntza
2.
3.
4.
5.
Aljebrari buruzko gogoetaAriketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz.
Aljebra. ZER LANDU GENUEN? 1. ALJEBRAKO HIZKUNTZA:
Itzuli esaldi hauek hizkuntza aljebraikora:
a) Zenbaki baten eta bere aurrekoaren batura.
b)Mikelek orain dela hiru urte zuen adinaren karratua.
c) Zenbaki baten eta haren hirukoitzaren arteko ken-dura.
d) 10 €-ko x billeterekin eta 50 €-ko y billeterekin duzundirua.
e) Altuera oinarria baino 3 cm txikiagoa duen laukizuzenbaten perimetroa.
2. ERAGIKETAK adierazpen aljebraikoekin:
a) 3a – 2b – 5a + 4b – 6b + 3 =
b) 4x –5xy –3y + 4xy =
c) 5xy · (–3) xy =
d) =
e) 3x + 2(x + 1) – 7x =
f) 2(z + t) – 3 (z – t) =
g) a · a · b · abc =
h) =
i) 3x · (x + x2 + 1) =102
ab 45
ab3$-
2b5
104b
2 $
3. EKUAZIO BATEN SOLUZIOA: balio bat ekuazio batensoluzioa dela egiaztatzeko, ekuazioan ordezkatu eta ber-dintza betetzen den begiratu.
a) Egiaztatu x= – 2 balioa dela 3x2 + 6x = 0 ekuazioarenemaitza.
4. EKUAZIOAK EBAZTEN:
a) 5x + 7 – 2x = 8 – 4x + 2
b) 2 (x + 1) + 3 (x – 2) = 6 – (x + 4)
c)
d)
5. BURUKETAK:
a) Bilatu bien batura 26 izango den elkarren segidako bizenbaki bikoiti.
b) Pedrok bere seme Julenen adinaren hirukoitza du,baina 15 urte barru Julenen adinaren bikoitza izangoda Pedroren adina; kalkulatu bakoitzaren adina.
c) Kalkulatu laukizuzen baten azalera, jakinik oinarriak al-tuera baino 6 cm gutxiago dituela eta perimetroa 20cm-koa dela.
3x 1
42 x
1 6x 5+
= ++
--
4x
1 6x 2
+ =-
12
Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak
1. Angeluaren esanahia
2.
3.
4.
5.
6.
Geometriari buruzko gogoetaAriketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz.
GEOMETRIA . ZER LANDU GENUEN?
1. ANGELUAREN ESANAHIA:
Angelu hauetatik zein da handiena? Zergatik?
Adierazi zer neurtzen duen angelu magnitudeak?
4. POLIGONOEN NEURRIAK. Kalkulatu azalera hauek:
2. ANGELUEN ARTEKO ERAGIKETAK:
= 48° 36’
= 63° 52’
Kalkulatu + eta 3 BWBWAWBWAW
3. POLIGONOEN SAILKAPENA:
Osatu mapa hau:
dira
motak
motak zer dute
POLIGONOAK
BesteakTriangeluak
A erronboidea =
A erronboa =
A trapezioa =
H = 3,5 cm
8 cm
d = 5 cm
D = 7 cm
H = 2,5 cm
13 cm
8 cm
A pentagonoa =
A triangelua =
l = 3,4 cm
2,5 cm
6 cm
5. ZIRKUNFERENTZIA BATEN NEURRIAK:
P zirkunferentzia = ..........................A zirkulua = .............................
D = 6 cm
6. PROBLEMAK: azalera ala perimetroa eskatzen den be-reizten eta beharrezkoak diren formulak aplikatzen.
a) ZOROk toreatzen duen zezen-plazan egurrezko itxituraberri bat jarri dute, eta 722,56 m behar izan dute. Zer dis-tantzia dago alde batetik itxituraren bi ate hauen artean?
3 cm
b) Era honetako zenbat pin egin daitezke 86 x 128 cm-kometalezko xafla laukizuzen batetik?
Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak
1. Puntuak planoan irudikatzen
2.
3.
4.
5. 13
Funtzioei buruzko gogoetaAriketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz.
FUNTZIOAK. ZER LANDU GENUEN?
1. PUNTUAK PLANOAN IRUDIKATZEN.
Jarri puntuok planoan:
A(–2,3) B(5,–2) C(6,0) D(–1,3)
3. PROPORTZIO BATEAN EZAGUTZEN EZ DEN GAIBAT KALKULATZEN:
; 1815
60x=11
7x14=
2. GRAFIKOAK INTERPRETATZEN. Kontuan hartzen duzu:
– Ardatzetan irudikatzen diren magnitudeez hitz eginbehar dela.
– Grafikoan aztertzen diren puntuak ongi interpre-tatu behar direla, erabili diren eskalak kontuanhartuta.
Interpretatu grafiko hau:
a) Zenbateko bidea egin du lehenengo hiru minutuetan?
b) Zer gertatu da 3. minututik 8.era bitartean?
c) Zein unetan zituen eginda 350 m?
d) Zer abiadatan ibili da 8. minututik 12.era?
e) Zergatik du horren aldapa txikia 12. minututik 20.erabitarteko mugimendua adierazten duen zuzenak.
f) Egoki iruditzen zaizu grafiko honetako puntuak elka-rrekin lotzea?
4. MAGNITUDE ZUZENKI PROPORTZIONALAK:
Zuzenki proportzionalak diren magnitudeen ezaugarria;= konstantea erabiliz, balio ezezagunak aurkitzen.B
A
500
100
3 6 Denbora (min)
Distantzia (m)
A 8 16 24 32
B 7 14 28
5. PROPORTZIONALTASUN-PROBLEMAK EBAZTEN:
Iazko ikasturtearen amaieran izotzetan patinatzera 12pertsona joan ginen eta 3 orduz patinatu genuen. Iaz de-nen sarrerengatik 18 € ordaindu bagenituen, zenbat or-daindu beharko dugu aurten, 15 pertsona bagoaz eta 2orduz patinatu behar badugu?
Edukiak Ongi ulertu dut? Kontuan hartu behar diren akatsak
1. Maiztasun-taulak egin. Grafikoak egin
2.
3.
4.
14
Estatistikari buruzko gogoetaAriketak zuzendu ondoren, osatu taula hau ariketa bakoitzean zer landu duzun idatziz.
ESTATISTIKA . ZER LANDU GENUEN?
1. TAULAK ETA GRAFIKOAK:
Datuak maiztasun-taula batean laburtzen, eta grafikoegoki baten bidez adierazten.
Laburbildu ondoko datuok maiztasun-taula batean etaegin grafiko egoki bat: atari bateko etxebizitza bakoitzekobiztanle kopurua:
1 / 2 / 1 / 5 / 4 /2 / 3 / 4 / 6 / 5 / 12 / 4 / 3 / 5 / 5 / 4 / 2 / 3 / 7 / 5 / 6 / 2 / 5 / 4 / 5 /3 / 4 / 2 / 4 / 6
4. BATEZ BESTEKOA:
Maiztasun-taula batean batez besteko aritmetikoa kalku-latzean datuak eta maiztasunak ondo bereizten
Kalkulatu batez besteko aritmetikoa.
2. EHUNEKOTIK MAIZTASUN ABSOLUTURA ALDATZEA:
Grafiko batean agertzen den informazioa taula batean adie-razteko ehunekotik maiztasun absolutuetara aldatzen.
Galdeketak 1.650 pertsonari egin zaizkiela jakinik, aldatumaiztasun absolutuzko taula batera ondoko honetan bil-tzen diren datuak.
3. NEURRIAK:
Datu errazak direnean neurriak ateratzen: batez bestekoa,moda, mediana eta ibiltartea.
Kalkulatu batez besteko aritmetikoa, moda, mediana, etaibiltartea.
255, 280, 250, 276, 260, 272
% 35 futbola
% 33 bidezidor-kirola
% 8 igeriketa
% 35 tenis
Beste batzuk
Pertsona kopurua 15 8 10 6 12 5 1
Oin zenbakia 35 36 37 38 38 40 41
Aljebra
15
Sintesi-ariketak Ikasturte honetan eduki-bloke hauek landuko ditugu:ARITMETIKA – GEOMETRIA – ALJEBRA – FUNTZIOAK – PROBABILILITATEAIazko ikasturtetik badakizun bezala, garrantzi handiko gauza izaten da eduki-bloke hauen arteko LOTURAK ongi ikustea, bakoitzaren erabilera hobeto uler-tzeko, eta denbora igarotakoan gauzak ez ahazten lagunduko dizun modubatean ikasteko. Zertarako balio du ARITMETIKAK? Ekuazioak ebazteko AL-JEBRAN, formulak ongi aplikatzeko GEOMETRIAN, joko batean zenbatekoprobabilitatea dagoen kalkulatzeko PROBABILITATE BLOKEAN… Bloke bakoitzean zer lantzen den gogoratzeko eta PROBABILITATE BLO-KEAN zer aztertzen den jakiteko –aurtengo ikasturteko gai berria baita–, ira-kurri informazio hau eta erabili ondoko mapa hau osatzeko:
Aritmetika
Aljebra
Geometria
Funtzioak etagrafikoak
Probabilitatea
Zenbakiez, eragiketez, propietatez, neurriezdihardu. Matematikaren beste eremu batzuetanlan egiteko tresna gisa balio du batez ere.
Eragiketak zenbaki arruntekin, osoekin,zatikiekin, hamartarrekin.Propietateak eta lehentasuna edohierarkia.
Sakondu dena
Honetan zenbakien ordez letrak erabiltzen dira,eta egoera desberdinetan balio ezezagunak aur-kitzen ahalegintzen den arlo bat da. Fisikan, Ki-mikan, Teknologian… erabilgarria da, eta bestebloke batzuetan erabili dugu: Geometria; Esta-tistika; Funtzioak.
Aljebrako hizkuntza Adierazpen aljebraikoak eta eragike-tak 1. mailako ekuazio sinpleak ebazten.Buruketak.
Ekuazio konplexuagoak ebaztekopolinomioak behar ditugu.Polinomioen arteko eragiketak.1. eta 2. mailako ekuazioak.Buruketak.
Planoko edo espazioko irudien azterketa da.Historian landu zen lehenengo eremuetako batda, eskulturan, arkitekturan eta astronomianzuen baliagarritasunagatik. Izadiko eta arteaksortutako irudien edertasuna eta harmonia eza-gutzen eta baloratzen laguntzen digu.
Irudiak PLANOAN. Ezaugarriak eta sailkapena.Perimetroa eta azalera.
PLANOAN: Antzeko irudiak. Tha-lesen teorema.Triangeluak. Pitagorasen teorema.ESPAZIOAN: Irudien ezaugarriaketa sailkapena.Azalerak eta bolumenak.
Magnitudeen arteko erlazioen azterketa egitendu, eta informazioa adierazten eta interpretatzenlaguntzen digu. Fisikan, Ekonomian, Kazetari-tzan, Medikuntzan…
Funtzioaren kontzeptua.Hiztegia.Puntuak irudikatu eta interpretatu.Grafikoak eraiki eta interpretatu.
Funtzioaren kontzeptua eta hiztegiasakonduko dugu.Funtzioaren ezaugarriak.Funtzioaren formula.Funtzio motak zuzenak kurbak.
Aldez aurretik asmatu ezin diren esperimentuaknolabait gertatzeko aukerak ikertzen ditu.
Taldeko lanean ikusi genuenGertaera baten probabilitatea =Venn-en diagramak: zenbat ikaslekjokatzen dute futbolean eta tenisean?Zuhaitz-diagramak: Zenbat modutanjantzi naiteke?
Hiztegia.Gertaera motak.Probabilitateak aurkitzeko estrate-gia desberdinak.Problemak ebaztea.
BLOKEAK Zer da / zertan datza 1 DBH-n zer landu genuen 2 DBH-n zer landuko dugu
DBH 2
1. Aurreko informazioa erabiliz osatu eskema hau, lotu blokeak (balio du) ge-zien bidez, blokeen arteko erlazioak adierazteko.
Ariketak
Aritmetika
Geometria
Probabilitatea
Funtzioak
LOTURAK IKASIIKASTEN IKASI!
1blokeaaritmetika
Zer ikasi behar dugu?
– Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak eta zenbaki horiekegoera desberdinetan erabiltzen.
– Zenbakiek leku desberdinetatik bildutako informazioahobeto ulertzeko duten balioa kontuan hartzen.
– Egoera jakin batean soluzio ZEHATZA ala GUTXIGORABEHERAKOA bilatzea komeni den erabakitzen.
– Problemak ebazterakoan pauso guztiak adierazten etaestrategiarik egokiena zein den erabakitzen.
– Kalkulagailua zentzuz eta egoki erabiltzen, kontzeptuaketa prozedurak ikasteko lagungarri gisa. Eragiketenlehentasuna ikasteko, adibidez.
UNITATE HONETAN
ZER GIDOI
ERABILIKO DUGU?
IKASTEN IKASI
**
*
Zer ikasiko dugu?
1. unitatea.Zenbaki arruntak /zenbaki osoak
Zatigarritasuna• Multiploak
etazatitzaileak
• ZKH eta mkt• Buruketak
Zenbaki osoak• Eragiketak
( )• Hierarkia
, —, x, : , a , ab b+
* Helburu didaktiko hauek ikasleei transmititzerakoan ikasten ikasteko gaitasuna lantzen ari gara.
Zenbakiarruntak etazenbaki osoak• Nola
izendatzendiren
• Haien artekoerlazioa
HIZTEGIA / HIZKERA
aritm
etik
a
19
Arrunta = naturalaN � N
garrantzitsuago
Osoak
Z � Zgarrantzitsuago
1. Zenbaki arruntakNola sortu ziren?
Zibilizazioaren hasiera-hasieratik, zenbatu beharra sentitu izan du gizakiak, eazenbat izar ikusten zituen, ea zenbat arbola, zenbat ardi zituen... Hala, oraindela 4.000 urte inguru, zenbakia dei daitekeenaren lehenengo aztarrenakagertu ziren, gaur egun zenbaki arruntak deitzen diegunen hasiera izan zire-nak.
Nola adierazten dira?
Zenbaki arrunten multzoa izendatzeko N letra erabiltzen da. Hau da:
N = { 0, 1, 2, 3, …}
2. Zenbaki osoakNola sortu ziren?
Askotan, ordea, zenbaki arruntak ez dira aski kopuru bat adierazteko. Emandezagun, adibidez, 50 € ditudala aurreztuta, eta 75 € balio duen opari baterosi nahi dudala. 50 – 75 = –25. Beste 25 € behar ditut, opari hori erosiahal izateko. Batuketa- eta kenketa-eragiketen emaitza dira, eta zatitu ezin dai-tekeen unitate kopuru bat adierazten dute. Erabiltzeko alorrik ohikoena eta zu-zenena kontabilitatea da.
Nola adierazten dira?
Zenbaki osoen multzoa Z letraz adierazten da. Hau da:
Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
Espero dugu 1. DBHko ikasliburua gertu izatea. Dena den,2. DBH hasteko, iaz landutako materialaren berrikusketa arin bategingo dugu eta gero eduki batzuk sakonduko ditugu.
HIZTEGIA / HIZKERA
3. Zenbaki arrunten eta osoen arteko erlazioaGarbi dago zenbaki arrunt guztiak zenbaki osoak direla; zenbaki arrunten mul-tzoa zenbaki osoen multzoaren barruan dagoela esan daiteke, horrenbestez.
aritm
etik
a
20
N � Z
barruan dago
N Z NZ
4. Zenbaki osoak adierazteko moduaZuzen batean zero zenbakiaren lekua markatzen dugu, puntu bat jarriz. Erre-ferentziazko neurri bat hartuz, eskuinerantz distantzia errepikatuz, zenbakiarruntak adierazten ditugu, zenbaki oso positiboak, alegia, eta ezkerrerantzzenbaki oso negatiboak.
Kontuan hartu behar da zenbat eta eskuinerago egon, orduan eta handiagoakizango direla zenbakiak, eta, zenbat eta ezkerrerago egon, orduan eta txikia-goak.
Esate baterako: –12 < –3
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
1. Handiagoa ala txikiagoa den idatzi, < edo > iku-rrak erabiliz.
a) –7 zenbakia –2 baino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . da.
Hau da, –7 –2
b) 0 zenbakia –3 baino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . da.
Hau da, –3 0
c) –1 zenbakia –4 baino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . da.
Hau da, –1 –4
2. Hutsuneak bete.
a) < –3 < d) – 4 >
b) < 0 < e) 2 > > –1
c) –4 < < –1 e) > –5 >
3. Ordenatu txikitik handira zenbaki hauek.
8; –5; 4; –2; 0; –1 ; –10
4. Idazkera sakondu.
a) Zer esan nahi du Z+= N dela esateak?
b)
Ariketak
Badakizu � � zeinuak “…-ren barruandago” esan nahi duela. Bi multzoren arteko er-lazio bat adierazteko erabiltzen da. Hau da,
N � ZBeste alde batetik, barnekoa izatea adieraz-teko �– � ikurra erabiltzen da (barneandago). Hala,
–5 �– Z
Zuzen adierazita daude adierazpen hauek?
a) 3 �– Z c) –4 �– N e) �– Z
b) �– N d) 15,7 �– N f) �– Z520-
82-
513
G O G O R A T U
1 txikiago
100 handiago
(handiagoa/txikiagoa)
PRAKTIKOJAUNA
A. UR
RATSA
C.
URRATSA
D.
URRATS
A
E.
URRATSA
…URRATSA
…. URRATSA
B. UR
RATSA
BIDE LOGIKOAZenbakiaren ikurrakagintzen duena egin
(+3) (–4) = –1
Ikur berdinak
(+2) (+4) = 6
(–2) (–4) = –6
aritm
etik
a
5. Eragiketak zenbaki osoekin
21
A Batuketa + Bi bide daude
atzera
–1 3• •
+
+
+
BIDE PRAKTIKOA
+
Ikur desberdinak
(+3) (–4) = –1
(–2) (+4) = 2
+
+
Emaitza: batuketa egineta errepikatzen den
ikurra jarri
Emaitza: kenketa egineta zenbaki
handienaren ikurra jarri
BIDE LOGIKOAZenbakiaren ikurrak agintzenduenaren kontrakoa egin.
(–3) (–2) = –1
(+5) (+2) =
(+5) (–2) = 3
B Kenketa
C Biderketa
– Bi bide daude
+
BIDE PRAKTIKOA
(–5) (–2) =
(–5) (+2) = –3+
Emaitza: lehendabiziko zenbakiaribigarrenaren aurkakoa batu.
–
–3 –1•
–
atzera
– –
(+2) · (–6) = (–6) + (–6) = – 12
batu bi aldiz – 6
(–2) · (–6) = – (–6) – (–6) = +6 +6 = +12
kendu bi aldiz – 6
Emaitza: (+) · (+) = +(–) · (–) = +(–) · (+) = –
D Zatiketa(+8) · (–2) = –16 bada (–16) : (–2) = +8 Emaitza:
(+) : (+) = +(–) : (–) = +(–) : (+) = –
Horregatik biderketa eta zatiketamodu berdinean egingo ditugu.
E Berreketak eta erroakEragiketa hauek aurrerago landuko ditugu.
LOGIKOJAUNA
5. Kalkulatu.(–4) + (–5) = (+7) + (–8) = (+3) – (–2) =(–7) + (–5) = (+2) · (–4) = (–5) · (–3) =(–16) : (–2) = (+10) : (–2) = (–3) · (+4) =
(+7) + ( 2) = +5 (+2) · ( 10) = –20(–4) – ( 3) = –7 (–3) · ( 5) = 15(–4) – ( 5) = –1 (–25) : ( 5) = –5(–2) + ( 3) = –5 (–100) : ( 2) = 50
6. Bete hutsuneak.
7. Adierazi zenbaki-zuzenean ondoko eragiketa haueketa ebatzi.
–
+–5 –3
•Adibidea: (–3) (+2) = –5–
Ariketak / oinarrizko eragiketak
a) (+6) (–3) = b) (–2) (+4) = c) (–5) (–1) = –
8. Osatu(+3) · (–5) = –15, beraz (–15) : (–5) = +3(–10) : (–2) = , beraz ...........................(–25) · (–1) = , beraz ...........................Horregatik, biderketaren arauak eta ..........-renakberdinak dira.
G O G O R A T UErabili “inbutuaren araua”.• Errazago berrikusten dira eragi-ketak.
• Errazago aurkitzen dira akatsak.
60
(2 + 3) 2 – 5 [7 – (8 + 9)] =
–
Parentesiak kendu
aritm
etik
a
22
aurrera
zeinuak dioena
+ (+2) = +2 = 2
atzera
+ (–3) = –3
+
aurrera
zeinuaren kontrakoa
– (+2) = –2
atzera
– (–2) = +2
Hau da (–3) + (–5) = – 3 – 5 = –8
(–4) – (–1) = – 4 + 1 = –3
–(5 – 4 + 7) = – 5 + 4 – 7= –8
Egin beharreko eragiketak luzeak direnean, bi modutan joka dezakegu.
a) Parentesiak kendu eta, gero, dauden ordena berean egin eragiketak.
LEHENIK SEMAFOROA,GERO OINEZKOAK
ETA AZKENIK AUTOAK
LEHENIK · eta :GERO + eta –
3 · –2ez
3 ·( –2)bai
HAU DA
· – · (–)
13 – 5 + 4 –16 + 7 – 7 – 2 – 3 =
13 + 4 + 7 – 5 – 16 – 7 – 2 – 3 =
(13 + 4 + 7) –(5 + 16 + 7 + 2 + 3)=
24 – 33 =
– 9
parentesiakjarri
Eragiketa konposatuak
a) Parentesi barruko eragiketarik ager-tzen ez bada, biderketa/zatiketa egi-ten da lehendabizi, eta gerobatuketa/kenketa.
b) Parentesi barruko eragiketakagertzen badira, haiek egiten diralehendabizi, gero biderketa/zatike-tak, eta gero batuketa/kenketak.
15 – 5 · ( –2) + (–14) : 7 =15 – ( –10) + (–2) =15 + 10 – 2 =25 – 2 =23
8 – 3 · (5 – 7) =8 – 3 · (– 2) =8 – (– 6) =8 + 6=14
IKASTENIKASI!
b) Zenbaki positiboak alde batean eta negatiboak bestean multzokatu.
(12 – 6 – 8) – (3 – 5 + 7) =12 – 6 – 8 – 3 + 5 – 7=
6 –8 –3 + 5 –7 =–2 – 3 + 5 – 7 =– 5 + 5 – 7 =0 – 7 =– 7
16. Kontu 0-arekin.
(5 –4 –7) + 0 · (8 – 5 + 4 – 7 + 10 – 25) =5 – 4 –7 =
– 6
a) 3 – 5 [ 7 · (3 – 3)] =
b) 5 · {3 – 2 [8 + 2 · (3 – 7)]} =
c) (10 – 2 · 5) · {5 – 3 (4 – 5)} =
aritm
etik
a
23
5 – [(3 – 7) – (4 – 5)] =5 – [(–4) – (–1)] =
5 – [–4 + 1] =5 – [–3] =5 + 3 =
8
2 (5 – 7) – {3 – [4 – (6–8)]} =2 (– 2) – {3 – [4 – (–2)]} =
– 4) – {3 – [4 + 2]} =– 4) – {3 – 6} =– 4) – {– 3} =
– 4) + 3 =–1
9. Kendu parentesiak.
a) + (–2) = c) – (+7) =
b) – (–5) = d) + (+6) =
10. Kendu parentesiak.
a) (13 – 5) – (4 – 10) =
b) 3 – (8 – 4 + 11) =
c) (3 – 4 – 7) – (4 + 3) + (5 – 7)=
d) (2 – 3) – (9 – 6) + (2 – 7) – (3 – 4) =
11. Jarri parentesiak.
a) 3 – 6 + 8 – 14 – 5 – 7 + 1
b) 20 – 4 – 5 + 7 – 11 + 4 + 6 =
12.Aplikatu lehentasunak.
a) 12 – 7 · (–4) + (–15) : (–3) =
b) (5 – 7) –3 (4 – 10) =
c) 2 · (1 – 3) – 4 – 3 · (6 – 11) =
d) 7 – 3 (1 – 5) + 8 – 4 · (9 – 13) =
13.Ikusi parentesien garrantzia.
a) – 5 + 6 · (–4) =
b) (–5 + 6) · (–4) =
c) –5 · (6 – 4) =
14. Harrapatu akatsak. Bilatu eta sailkatu akatsak.
Ariketak
Akats mota(Larria/arina)
3 – 2 · (5 – 8) =1 · 3 =
3
5 (8 – 10) – 4 (2 – 8) =5 (– 2) – 4 (–6) =
–7 + 10 =3
15 : (–3) – 3 (1 – 2) =21 : (–3) –3 –1
–7 – 3 =–10
Ariketa Zuzenketa
15. Batzuetan parentesiak ( ), kako zuzenak [ ] edo gil-tzak { } erabili beharra izaten dira. Adibidez:
a) 3 · 5 – 15 : [3 – 2 · (–2 +3) + 14] =
b) 14 : (3 + 4 – 8) – {(12 – 10) (– 1) – [2 – (–1)]} =
c) –36 : [–8 : (–5 + 3) + 12 : (–2 + 2 · 4)] =
d) {11 · (4 – 5) – [3 – 3 – 10 (–1)]} : (9 – 10) =
e) –45 : [–2 + 12 : (–7 + 3)] – (5 – 12) =
f) {6 : (2 + 3 – 6) + (14 – 2 – 8)} – 2 [(3 + 3 – 3) : (–3)] =
g) 2 – {7 · 3 – 2 [8 – 11 – 2 (3 – 4)]} =
h) {18 : (–3) + [10 + (–1) – 16 : 2]} – {6: (–3) –2 [1 – (3 –5)]} =
i) 3 · 5 – 2 {7 : (1 + 7 – 9) – [28 : (1 + 6 – 9) (4 – 14)]} =
j) (–2) (9 – 1 – 6 ) : (–2) + [(–1) –10 + 7] – 3 : (–3) =
UF! LORTU DUT!
0 · (edozergai)=0 denez
a) – 2 – [–2 – (–2 – 5) – (–3 + 1)] – [–2 · (3 + 1)] =b) 1 – [– (7 – 2 + 3) · 2 ] – (–3) · 4 – 24 : [3 + 2 · (2 –7) – 5] =c) 4 – [2 · 3 – (– 3 + 2) – 3 (2 – 1) – 2] – 2 · [ 7 + 3 · 2 + 4 : 4 · ( 2 – 4)] =d) 3 + 15 –[7 – 16 + 144 : 12] + 5 – 3 · (5 – 1) + 3 [2 – (1 – 5)] · 2 =e) 7 – [–2 + 4 (5 – 2) – 7 ( –4 : 2)] +8 · [(–12 + 36) : (–6)] =f) [(–2) + 4 – 3] – 7 ( –2) – 6 : (10 – 11) – [6 : (–1) +3] =g) –28 : [(–12 + 9) – (3 · 3 – 12 : 3) + 2] =h) –10 : [(–12 + 10) : (–2) + (12 – 3 · 5)] + 5 {2 – [–1 – 27 : (–9)]} =i) 10 – 8 · [(–12 + 36) : 6 + (8 – 5 ) : (–3)] – 12 (3 – 4) =j) [3 + (6 – 4) : 2 + 6 : (1 + 7 – 2) + (1 – 3) · 2] – (3 – 3) [5 –7 (–1 – 8)] =
17. Hemen duzu zenbaki osoak erabiltzen trebatzeko beste ariketa sail bat. Zenbat behar dituzu sasoian egoteko?
aritm
etik
a
24
Ariketak
1. maila a) –3 (–1 –3) – 3 · (– 3 + 4 – 1) – ( –2) · (–1 +2) =b) –2 (–2 – 3) –3 (–3 + 4) + (–1) : (–3 + 5) =c) (– 3 – 2 – 5 + 7 · 2 – 8) : 4 =d) – 3 : (–1) + 5 + 7 · 8 : 2 =e) (–4) (–3) – ( –3) · (–5) – (–2) · (–2) – (+2) =f) (–3) · (–5 + 1) – 3 (2 – 3) – ( –3 – 1) · (–4) =g) 3 · 5 – [ –3 : (–3)] =h) (–10) : 2 · (2 · 3 – 4) : 2 =i) (–3) · 4 – 24 : [2 · (5 –7)] =
2. maila
a) (2 – 5) · {14 : (3 + 4 – 8) – [(12 – 10) (–1) – (2 –5) : (–3)]} =b) {2 : (–2) – [(11 – 7 – 1) (–1) – (10– 3)]} · {–10 : (17 – 12) + [2 · (–8 + 5) – 8 (– 5 +3]} =c) [6 : (–6) · (–6) – 8 + (8 – 8 – 1)] – {3 –2 [25 – 24 : (–3 · 5 + 7)]} = d) [18 : (–3)] + {[10 + (–1) – 16 : 2 ]– 6 : (–3)} = e) (6 – 3) : (–1) + 2 {5 – 4 · 2 – [(–1) – 11 : (–1)]} =f) 2 [11 : (–1) – 2 · (–6)] – 4 – 2 · [5 – (7 + 4 – 3)] =g) {(7 + 1 – 3) + 3 : (10 + 3 – 14) – 2 [5 – 7 (8 – 10)]} =h) {[2 (–1)] : [2 : (–1)]} – [6: ( –1)] : [ (2 –3) : (–1)] =i) 11 · (4 – 5) – [3 – 3 – 10 (–1)] –{11 · [7 +8 (–1)] + 3 · (–8) + 12 : (– 3 · 4 + 4 · 2)} =
3. maila
ENTRENADOREPERTSONALA
ZENBAT ARIKETA BEHARDITUZU SASOIAN EGOTEKO?
(AUTONOMIA, ANIZTASUNA…)
Lantzen ari gara AUTONOMIA (• Ahalik eta gehien. • Ez dut behar gehiago)Lantzen ari gara DIBERTSITATEA (• 1. maila minimoak . • 3. maila sakonak)
*
*
14–6 –1
–536
–1
213
–9
14
26
315
22
–20–49
2
–1 –2
1
433
–36
–29
–350
17
772
aritm
etik
a
25
esan nahi du
Zenbaki baten kontrako elementua,zenbaki horrekin batuketa eginikemaitzatzat elementu neutroa
ematen duena da.
esan nahi du esan nahi du
Trukakortasun-propietatea
esan nahi du
Parentesi barruan, batuketa batzenbaki batez biderkatutadagoenean, biderka daiteke
zenbaki hori batugai bakoitzaz etagero batuketa egin.
Eragiketa luzeak direnean,multzoka daitezke batugaiak etabiderkagaiak, komeni den eran.
Beste zenbaki batekin eragiketaeginez emaitza aldatzen ez
duena da.
6. Zenbaki osoen propietateakAurreko ikasturtean lan asko egin genuen zenbaki osoen propietateei dago-kienez. Orain propietate horietako bakoitzaren esanahia berrikusiko dugu.
PROPIETATEAKBETE BEHARREKOLEGEAK DIRA.
Batugaien ordena edo biderkagaien ordenaaldatzeagatik, emaitza ez da aldatzen.
Faktoreen ordenak ez du aldatzen emaitza.
Irakurketa pixka bat
Elementu neutroa
Zenbaki baten alderantzizkoelementua, zenbaki horrekin biderketaeginik emaitzatzat elementu neutroa
ematen duena da.
Alderantzizko elementuaKontrako elementua
Elkartze-legea
Banatze-legea
esan nahi du
esan nahi du
2 + 6 = 6 + 2Adibidez
4 + (7 + 6) = (4 + 7) + 6
Adibidez
2 · (8 + 3) = 2 · 8 + 2 · 3
Adibidez
3 + 0 = 3
Adibidez
5+ (–5) = 0
Adibidez
3 · = 131
Adibidez
Elkartze-legea
Banatze-legea
a · (b + c) = a · b + a · c
Elementu neutroa
a � –a kontrato elementua
a � alderantzizko elementuaa1
aritm
etik
a
26
Hau dena hobeto uler daiteke, zenbakiz adierazi ordez, letraz adierazten badugu.
Ariketak
HIZTEGIA / HIZKERA
Trukakortasun-ezaugarria
Batuketaa + b = b + a
Biderketaa · b = b · a
Batuketaa + 0 = a
Biderketaa · 1 = a
Kontrako elementua
a + (–a) = 0
Alderantzizko elementua
a · = 1a1
(a + b) + c = a + (b + c)
IKASIDUT! ALDERANTZIZKOAAURKAKOA
18. Egia al da –3 zenbakia 3ren kontrakoa dela?
19. Kenketa-eragiketak banatze-legea betetzen du?
20.Aztertu ea berdintza hau betetzen den.
3 · (5 · 2) = (3 · 5) · (3 · 2)
21. Leirek dioenez, banatze-legeak dio x · (3 · 2) = (x · 3) · (x · 2) dela. Egia da hori?
22. Azaldu propietateak, w, t, eta z letrak erabiliz.Adibidez, trukakortasun-legea: w + t = t +w.Elkartze-legea: ............. Banatze-legea: ............. y-ren kontrakoa ............. da, zeren ............. . y-ren alderantzizkoa ............. da, zeren ............. .
23. Aztertu ea berdintza hau betetzen den. 2 · (3 – 4) = 2 · 3 – 2 · 4a) Adierazi eragiketa hori bera, letrak erabiliz.b) Idatzi berdintza horrek adierazten duen pro-
pietatea.c) Azaldu zer esan nahi duen.
24.Orain zenbaki osoekin kalkuluak egiten trebeta-sunaz baliatuko gara, berdintza betetzen den ikus-teko.
a) a · (b+ c) = a · b + a · c
(–3) · [2 + (–5)] = (–3) · 2 + (–3) · (–5)
propietatea ....................................................
b) (a +b) + c = a +(b + c)
[(–5) +7] + (–3) = (–5) + [7 + (–3)]
(a · b) · c = a · (b · c)
[(–4) · 2] · (–5) = (–4) · [2 · (–5)]
propietatea ....................................................
25. Frogatu bi atalek desberdinak direla.
a + (b · c) ≠ (a + b) · (a + c)
(–3) + [(–5) · 2] ≠ [(–3) + (–5)] · [(–3) + 2]
aritm
etik
a
27
Badakizue: 5 · 5 . 5 = 53 = 125. Horrek esan nahi du biderketaren bider-kagaiak berdinak direnean, biderketa hori berreketa bihurtzen dela.
Beste alde batetik, = 5 � 53 = 125 denez; horrek esan nahi du erro-keta berreketaren kontrako eragiketa dela.
Zertarako balio du?
Geometrian, adibidez:
1253
l
� B = l 3
eta
lA = 16 cm2
� l = = 4 cm162
Beste blokeetan ere erabiltzen dira.
ZERTARAKO?ARITMETIKA
ALJEBRAEGITEKO
FUNTZIOAKEGITEKO
GEOMETRIAEGITEKO
PROBABILITATEAEGITEKO
b ca =
Nola erabiltzen dugu?
HIZTEGIA / HIZKERA
HIZTEGIA / HIZKERA
Nola irakurtzen da?
3 ber 4
34 BERRETZAILEA
BERREKIZUNA
E R A G I K E T A K
batu
kendu
biderkatu
zatitu
berreketak
erroketak
� errokaria deitzen zaio
a errotzaileada
b errokizunada
c erroketarenemaitza da
Berreketa Erroketa
Algoritmoa
Kalkulagailua
Karratu eta kuboperfektuakerabiliz.
P1 P2 P3 P4 P5 P6
a a an m n m=$ +aa am
nn m= - an · bn= (a · b)n
ba
ba
n
n n= b l a0 = 1 (an)m = an·m
Kontrako eragiketak
Estimatuz
7. Zenbaki osoen berreketak eta erroketak
aritm
etik
a
28
Berreketen propietateak
Gogoan izango duzue propietateak
Izendatzen dira(berreketa batenberreketa)(an)m
Letra bidezadierazten direla
bb bd
cc d= -
Frogatzen direla3 3 3 3 3 3 3 3 32 4
2 aldiz 4 aldiz
6= =$ $ $ $ $ $1 2 344 44Y
Azaltzen direlaan · am = an+m
berrekizun berdinekoberreketen biderkaketaegiteko berrekizun…
PROPIETATEAK
Ariketak
26. Kalkulatu.
a) 23 ; (–3)2 ; 43
b) (–1)5 ; 50 ; 105
27. Kalkulatu.
a)
b)
c)
d)
28. Esan propietate honen izena.
1030 = 1
29. Frogatu
30.Azaldu (b · c)n = bn · cn
31. Azaldu propietate hau, w, t, eta z letrak erabiliz.
35 5
3
22
2=b l
aa am
nn m= -
273 =
16 =
83 =
1001002 = =
32. Aplikatu propietateak, zenbakiak erabiliz.
a) (53)2 = d) (5 · 2)3 =
b) 63 · 6= e) (–157)0 =
c) f)
33. Aplikatu propietateak, letrak erabiliz.
a) c · c3 = d) (W3)4 =
b) (t · z)2 = e) y0 =
c) t3 · z3 = f) =
34. Berreketa propietateak sakontzen.
a) Frogatu 32 · 52 = 152
b) Azaldu propietate hau (43)2 = 46 hiztegi ego-kia erabiliz.
c) Jarri izena (izenburua) propietate honi
83 · 84 = 87
d) Adierazi letren bidez (hau da, propie-tatea orokortu!)
82
3
3 = 88 2
5
=
33 32
75=
tt2
5
Egiaztatu ≠ frogatu
Frogantza: emaitza batera iristekolehendabizi norbaitek “aurkitu” etaguk ulertu eta ikasi egin behar du-gun ibilbide bat da.
Egiaztatzea: adibide bat erabilizberdintza betetzen dela ikustea.
HIZTEGIA / HIZKERA
aritm
etik
a
29
HIZTEGIA / HIZKERA
Propietateak sakontzen
Berrekizuna negatiboa denean:(–3)2 = (–3)(–3) = 9
(–3)3 = (–3)(–3) (–3) = 27
(–3)8 = ........................... = ? 6.561
(–3)15 = .......................... = ? 14.348.907
Berretzailea bakoitia baldin bada, emaitza negatiboa izango da.
Berretzailea bikoitia baldin bada, emaitza positiboa izango da.
Kasu partikularra: (–1)121 = –1
(–1)328 = +1
Hori ikusirik, hurrengo galdera, normala den bezala, hau izango litzateke: zergertatzen da berretzailea negatiboa denean?
Soluzioa bitxia da, itxuraz, baina frogantzaren bidez berehala ohartuko zaretebaduela bere logika.
Frogantza:
+
–
3–2 = 30–2 = = f.n.g.132
332
0
3–2 = ???
P1Berretzaileakenketa batenmoduan jarriko
dugu
P2Propietateazbaliatuz
30 = 1dakigunez
3–2 = =
Beraz, berreketa zatiki bihurtzen da911
32
f.n.g. laburdurak “frogatu nahi ge-nuenez” esan nahi du .
ariketak
35. Ebatzi berreketa hauek.
a) (–6)2 = c) (–1)3 + (–2)5=
b) (–2)4 = d) (–4)2 – (–1)4=
36. Gogoan izan > 0 adierazpenak positiboadela esan nahi duela, eta < 0 adierazpenaknegatiboa esan nahi duela.
Osatu > edo <
a) (–5)3 0 c) (–1045)3 0
b) (–2)4 0 d) (–4)28 0
Hori kontuan hartuta, kalkulatu adierazpen hauek.
a) (–2)3 – (–4)2 = c) (–9)2 – (–6)2 – (–2)2 =
b) 13 + (–1)3 = d) (–1)121 – (–1)242 =
3 – (–5)2 = 3 + 52
3 + 25 = 28
3 – (–5)2 =3 – 25 =
–22
izatez, soluzioa beste hau delarik:
37. Kontuz ikurrekin eta zeinuekin. Hona askotanerrepikatzen den hutsegite bat:
EEZZ!!
1. berreketa2. aldatu zeinua
BERREKETAK SAKONTZEKO
BBAAII!!
ESKERRAK FROGATU DUGUN, BESTELA EZ NUKE SINETSIKO
(–3) 100 > 0
Esan ea adierazpen hauek egia ala gezurra diren(gezurra bada eman benetako emaitza).
a) (–3)2 = d) 2– 4 =
b) (–2)4 = 24 e) (–1)2 = 1
c) (–1)7 = 1 f) 5– 4 = 0,2
44. (–2)3 = –8 denez, esan genezake (–2)3 �– Z.Hori kontuan hartuta, kalkulatu adierazpenhauek, esan al daiteke ondoko adierazpen hauekegia diren?
a) (–1)125 �– N? Zergatik?b) (–3)38 �– N? Zergatik?c) (–125)3 �– Z? Zergatik?
91
81
HIZTEGIA
aritm
etik
a
30
38. (3 – 5)2 moduko adierazpen bat aurkitzen denean,era honetan ebatzi behar da:
ONGI (3 – 5)2 = (–2)2 = 4
GAIZKI (3 – 5)2 = 32 – 52 = –14
Kalkulatu:
a) (1 – 4)3 =
b) (10 – 11)22 – (10 – 11)53 =
c) (5 – 7)5 · (1 – 3)2 =
39. Batzuetan eragiketa batzuk egin behar izaten dira,propietateak aplikatu baino lehen.Adibidez:
42 · 23 = (22)2 · 23 = 24 · 23 = 27
142 · 74 · 2 = (7 · 2)2 · 74 · 2 =72 · 22 · 74 · 2 = 76 · 23
Praktikatu eragiketa hauetan.
a) (24)3 · 25 · 2 = e) =
b) = f) =
c) (d3) · d = g)
d) = h) 1002 · 53 · 24 =
SAKONTZEKO
40.Arrazoitu egia ala gezurra den.
a) (–1)3 – (–1)8 = 0 b) = 1
41. (–2)4 = 24 egia baldin bada, esan genezake(–2)4 · 23 = 24 · 23 = 27 dela.
Kalkulatu, era berean:
a) (–3)6 · 32 · 3 = b)
42.Ausartuko al zinateke 10–1 = 0,1 dela frogatzen?
( 5)( 5) 5
6
4 4$--
( 1)( 1)
547
243
--
e fe f
2
4 5
$$
(3 ) 399
4 2 $
88 88
4
3$ $ 55
253
4 2$
100102
4
5 5(5 ) 5 1
55
2 3
6
6
= =$
ariketak
delakontuanhartuta
43. Hau bai korapiloa!
(-3)2 = 9 dela eta 3– 2 = 9
1
8 �– N
barruan dago–4 �– Z
45. 41. ariketako logikari jarraituz, berdin kalkulatuahal izango genuke, (–2)4 = 24 dela; eta (–2)3 = –23
denez, egin dezakegu (–2)3 · 25 = –23 · 25 = –28
a) (–3)5 · 34 · 32 = b) =( 5) 5( 5) 2
5 3$--
46. Lotu berreketak eta emaitzak.
Berreketak: 52 ; (–5)2 ; 102 ; (–1)25 ; 5– 2 ; (–1)2 ; (10)– 2 ; 10– 1
Emaitzak: 25 ; 100 ; 0,01 ; –25 ; 1 ; 0,1 ; –100 ; –1
47. Kalkulatu balioak.
(–2)3 + (5 – 7)2 =8 + 52 – 72 =8 + 25 – 49 =
33 – 49 =16
48. Akats-bilaketa, azaldu eta zuzendu.a) 2 · 34 = (2 · 3)4 c) 35 · 33 · 3 = 37 e) 2760 = 0
b) (–2)5 · 23 = 28 d) 32 + 52 = 82
49. Aztertu ariketa hauek, bilatu akatsak eta zuzendu.15 – 3 (– 1) + (–5)2=
12 · (– 1) –25 =– 12 –25 =
37
b)
�
�
a)
ab (a · b)c ac · b
–c2 (a – b)2 c · (a2 – b)
a= 2b = –1c = –3
aritm
etik
a
31
8. Erroketak Dakizuenez, = 10 zeren 102 = 100 delako
= 2 zeren 23 = 8 delako
Zer gertatzen da errokizuna negatiboa denean?
ren erro karraturik ez da existitzen, zeren (–5)2 = 25 eta 52 = 25
Baina bada ren erro kubikoa –3 da, zeren (–3)3 = –27
Ondorioa:
• Ez da existitzen zenbaki negatibo baten (errokizun negatibo baten) erro ka-rraturik.
• Zenbaki negatiboen (errokizun negatiboen) erro kubikoak, berriz, bai existi-tzen dira.
—273
252 -
83
100 1002 =
50. Hiztegia:
a) Idatzi berrekizuna -5 eta berretzailea 2 dituenberreketa bat eta kalkulatu emaitza.
b) Idatzi errokizuna –8 eta errotzailea 3 dituenerroketa bat eta kalkulatu emaitza.
c) Egia al da zenbaki negatiboen errorik inoiz ezdela existitzen? Azaldu adibideren bat jarriz.
51. Kalkulatu erro hauek, existitzen baldin badira.
a) d)
b) e)
c) f) 4-
753 -
64
1.0003 -
81-
144
ariketak
53. Osatu hutsuneak.
a) = 13 d) = 5
b) = –2 e) =900
c) = f) =
54. Hiztegia.
= xkd
12100 643
3
169 125
52. Osatu esaldi hauek.a) = zeren eta 3 = delakob) = ................... zeren eta ...................c) = ................... zeren eta ...................d) = ................... zeren eta ...................1253 -
225
121-
753 -
erro karratua
erro kubikoa83
1002
HIZTEGIA / HIZKERA
existitzen da
ez da existitzenEE
HIZTEGIA / HIZKERA
KASU
PARTIKULARRAK
AZTERTU
ARAUOROKORRAK
ONDORIOZTATU
PENTSAMENDUMATEMATIKOA
d = . . . . . . . . . . . . .K = . . . . . . . . . . . . .x = . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . .
ERROKETAK
DOTOREAK DIRA!
� Estimazioak eginez. a) ? 112 = 121 denez122 = 144 denez
252 = 625b) � 25 < < 26
262 = 676
� Kalkulagailuz.eta teklak baldin badaude, bestela edo teklak bilatu.
Adibidez: =125
� Algoritmoa. Erro karratua bada
1.953.1253
3 yx x1/y
630 630
130
Erroketak kalkulatzeko metodoak
� Karratu perfektuak eta kubo perfektuak erabiliz.
aritm
etik
a
32
ariketak
a 1 2 3 …… 9 10 11 12 13 14 15 20 110 150
a2 1 4 9 …… 81 100 121 144 169 196 225 400 12.100 22.500
Adibidez: kubo baten bolumena125 cm3 baldin bada, zenbat neurtzen duharen aldeak?
l
B = 125 = l 3� l = = 5 cm � l = 5 cm1253
� 11 < < 12130
(Kalkulagailuz)
608449
1184
1184
0
7 8
72 = 49
7 X 2 = 14
14 8 X 8 = 1.184
PRAKTIKOJAUNA
A.
URRA
TSA
C.
URRATSA
D.
URRAT
SA
E.
URRATSA
…URRATSA
….
URRATSA
B. UR
RATSA
HEMEN NAGOBERRIRO!
55. Kalkulatu bi metodo erabiliz:
56. Kalkulatu bi metodo erabiliz:
57. Estimatu erabil dezakezu kalkulagailua x2
egiteko.
a) b)
58. Ikerrek idatzi du 122 < < 32.
Ondo al dago adierazpena?
59. Egia da 10 < < 11? Zergatik?105
150
28.561
16.384
800
125.0003
ZER BIDE JARRAITUKO DUT?
��
B8 Autonomia eta ekimen pertsonala
Erroketen propietateak
Aurreko atalean ikusi dugun bezala, modu bat baino gehiago dago erroak kal-kulatzeko. Beste alde batetik, erroekin eragiketak egiteko, betetzen diren zen-bait propietate ezagutzea komeni da. Lehenengo zenbakiekin ikerketa egingodugu eta ondorio bezala propietatea deduzituko dugu:
� Kalkulatu:
= = Gauza bera da?
= =
Hona ondorioa:
� Kalkulatu:
= = Gauza bera da?
= =
Hona ondorioa: 2
� Kalkulatu:
= = Gauza bera da?
= =
Hona ondorioa: a b a bn n n! !!
36 64+ 36 64+
25 9- —25 9
ba
ban
n
n=
10025
10025
369
369
a b a bn n n=$ $
9 100$ 1009 $
4 9$ 4 9$
aritm
etik
a
33
PROPIETATEAKBETE BEHARREKOLEGEAK DIRA.
Propietate hauek erabiliz ariketa asko egin ditza-kegu adibidez:
Modu honetan egin hurrengo ariketak.
60. a) = c) =
b) d) =25144
0,25 0,26$
0,0273
250.000
0,81 10081
10081
109 0,9= = = =
6400 64 00 64 100 8 10 801= = = =$ $ $
ariketak
61. Hurrengo berdintza beste propietate bat izan daiteke.
Begira: = = ?
? betetzen badu ? 5= 25 � ? = 2
hau da = 2255
325 255
32 216 28 24 22 21
OOnnddoorriiooaa: Errotzailea eta errokizunaren berre-tzailea berdinak direnean, erroketa desegin egi-ten da.
Propietate honetaz baliatzeko, errokizuna des-konposatu egin behar da. Adibidez:
216 6 63 33= =
7 11 ; x7 ; 11 x33 7744 == =
Errokizuna deskonposatuz, kalkulatu:
a) = c) = e) =
b) = d) = f) =
Osatu:
a) = c) e) t88 =7 74 =5 53 =
225
3433
6254
273
814
1253
KASU
PARTIKULARRAK
AZTERTU
ARAUOROKORRAK
ONDORIOZTATU
PENTSAMENDUMATEMATIKOA
69. Erroketen propietateak.a) [35 · 3–2]5 = 3b) [(–5)–1 : (–5)2]4 = 5c) [3–2 · 33]4 = 3d) {(–5)3 · [(–5)2]4}–2= (–5)
x 5 –1 2 –2
x2
(–x)2
x–2
(–x)–2
62. Egin kalkulu hauek erroketen propietateez baliatuz:
a) = h) =
b) = i)
c) = j) =
d) = k) =
e) = l) =
f) = m)
g) = n) =7 6 8$ $ 21 84$
5 80$648
3
272163 - 5 80$
1248
81144
27 48$ 900400
625225 6 12 2$ $
6 6$327
aritm
etik
a
34
ariketak
BERREKETAK/ERROKETAK
63. Idatz ezazu berretura gisa.
a) 32 c) –32 e) 125 g) –64
b) 243 d) –49 f) –128 h) 256
64. Kontuz parentesiekin.
Dakizunez: (–3)2 = (–3) (–3) = +9
–32 = – [3 · 3] = –9
3–2 = (–3)–2 =31
91
2 =31
91
2 =
Hori dena kontuan hartuta, osatu taula hau.
65. Osatu berdintza hauek:
a) d) ............
b) e) .....
c) ..............
66. Kalkulatu kasu bakoitzean x-ren balioa.a) x2 = 64 d) x2 = 625 g) x4 = 16b) x3 = –216 e) x3 = 8.000 h) x3 = –1c) x4 = 81 f) x2 = 169 i) x3 = 1.331
67. Kalkulatu kasu bakoitzean m-ren balioa.
a) = 5 d) = –4 g) = 7
b) = –1 e) = –2 h) = –12
c) = –3 f) = –4
68. Kalkulatu
m3 m5
m5 m4 m
m m4 m
25 = )
16 164 4== ) 1.0003 = )-
27 3 3 273 3= =) 13 = )-
Oharra: lehenengoberreketa, geroaldatu zeinua,adibidez:
–1 – (–2)2 =–1 – (+4) =– 1 – 4 =
–5
a) (–2)3 – (+2)2 – 4 =b) 24 + 33 – 25 =c) –34 + 24 – 15 =d) (–3)4 – (–1)2 – (–3)3=e) (–2)4 – (–2)2 – (–2)3 + 10 + 2.0000 =f) –34 – (–2)5 – 53 =
70. Kalkulatu, algoritmoaz baliatuz.
a) b)
71. Estimatu erro hauen balioak.
a) b) c)
d) e) 42 281
728 67 450
1.369 12.568
72. Osatu eta bete hutsuneak.
a)
b) (33 · 52 · 25 · 3–4 · 5–3) : (2–3 · 22 · 54) = 3 · 2 · 5
3 53 5 5 3 5
53
3 6
3 7 2 5
=$ $
$ $ $$
ERROKETA BERREKETARENALDERANTZIZKO ERAGIKETA DA.
x y y x3 3= =
aritm
etik
a
35
>
1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72
9. Zatigarritasuna• Lehendik gogoan izango duzuen bezala, zatigarritasuna zenbaki osoen ar-teko erlazio bat da.
a eta b zenbaki osoen arteko zatiketa eginda, hondarra zero baldin bada, aeta b zenbakiak zatigarritasun-erlazio batez lotuta daudela esango dugu.
5 eta 75 zenbakien artean zatigarritasun-erlazioa dago, adibidez.
Multiplo eta zatitzaileak
Multiploa. Aurreko adibidean, 75, zenbaki handiena, 5en multiploa da.
Zatitzailea. Kasu horretan, 5 izango da, zenbakirik txikiena, 75en zatitzailea.
Zenbat multiplo ditu zenbaki batek?
5en multiploak, esate baterako, 5 · k eginez ateratzen dira, eta kopuruinfinitu bat dago. Alderantziz, zenbat zatitzaile ditu zenbaki batek?
72ren zatitzaileak, adibidez, hauek dira:
Ondorioa:
• Zenbaki baten zatitzaile kopurua finitua da.• Zenbaki lehenak eta zenbaki konposatuak. 3, 5 eta 13 zenbaki lehenakdira; alegia, 1 eta zenbaki bera beste zatitzailerik ez dute. 4, 6 eta 22, aldiz,zenbaki konposatuak dira, 1 eta zenbaki beraz gainera, beste zatitzaile ba-tzuk ere badituztelako.
• Zenbaki konposatu bat deskonposatzea. Zenbaki konposatua biderketa gisa idatzi daiteke. 42, adibidez.
42 = 2 · 3 · 7
kasu honeten 2, 3, 7 zenbaki lehenak dira. Horri deitzen zaio zenbaki le-henetan deskonposatzea.
73. Teorian ikusi dugun bezala, zenbaki baten zati-tzaileak binaka ateratzen dira.
Egia ote da zatitzaile kopurua zenbaki bikoitiadela beti? Bila itzazu 36ren zatitzaile guztiak; zergertatzen da? Egin gauza bera 81 zenbakiarekin;zer gertatzen da? Ondorioztatu arauak.
74. a) 30 = 25 + 5 zenbaki baten deskonposaketa da?Zergatik?
b) 40 = 2 · 20 deskonposaketa zenbaki lehenetanda? Zergatik
c) 5-en multiplo guztiak 10-en multiploak dira?Zergatik?
ariketak
75 5
75250
155
ZatitzaileaMultiploa
5 = 5en multiploa
5 = {5, 10,15…, 5 · k, …}
HIZTEGIA / HIZKERA
infinitu = ∞HIZTEGIA / HIZKERA
720 12
6
72-ren zatitzaileak6 eta 12 dira �
zatitzaileak bikoteka ateratzen dira.
PRAKTIKOJAUNA
A. UR
RATSA
C.
URRATSA
D.
URRATS
A
E.
URRATSA
…URRATSA
…. URRATSA
B. UR
RATSA
aritm
etik
a
36
Zenbakiak biderkagai lehenetan deskonposatzeko
Adibidez:
10.080 2 � 10.080 = 25 · 32 · 5 ·75.040 22.520 21.260 2630 2315 3105 335 57 71
Lehendik ere badakigu: bi zenbakiren arteko multiplo komun txi-kienari multiplo komunetako txikiena deitzen zaio. Zenbaki hori bi-latzeko, bi bide erabil genitzake:
mkt ZKHeta
Bide logikoa Algoritmoa
• Bi zenbakien multiplo batzuk bi-latu.• Komunak zein diren begiratu.• Horietan txikiena aukeratu.
• Zenbakiak deskonposatu.• Berretzailerik handienarekin hartubiderkatzaile guztiak.
mkt (4,10)• 4 � 4, 8, 12, 20, 24 … 4010 � 10 20 30 40• Komunak 20, 40• Txikiena 20• mkt (4, 10) = 20
mkt (120, 215)• 120 = 23 · 3 · 5215 = 52 · 32
• mkt (120, 215) = 23 · 52 · 32
• mkt (120, 215) = 1.890
mkt
LOGIKOJAUNA
• Zatigarritasun-irizpideakZer dira? Zatiketarik egin gabe, zenbaki bat besteren baten multiploa den alaez jakiten laguntzen diguten zenbakien ezaugarriak dira.
338, adibidez; ren multiploa da, zenbaki bikoitia delako.
1.450 eta 7.855 zenbakiak en multiploak dira, 5ez eta 0z bukatzen dire-lako.
2832 zenbakia ren multiploa da, bere zifren batura (2 + 8 + 3 + 2) = 15delako eta zenbaki hori 3ren multiploa delako.
5•
3•
2•
Zatigarritasun arauak. Zertarako?
A
B ateratzeko
3REN MULTIPLOANAIZ.
ETA EZ DUBALIO
ZATIKETAEGITEA.
2.832
aritm
etik
a
37
Bi zenbaki edo gehiagoren zatitzaile komunetako handiena zenbaki horiek zati-tzen dituen zatitzailerik handiena da. Bi bide, hori bilatzeko:
Bide logikoa Algoritmoa
• Zatitzaile guztiak aurkitu.• Denentzat komunakdirenak bilatu.• Handiena hartu.
• Biderkagai lehenetandeskonposatu.• Errepikatzen direnakhartu bakarrikberretzaile txikienarekin.
ZKH
ZKH (30, 42)• 30 � 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 3042 � 1, 2, 3, 6, 7, 14, 17, 42• Komunak 1, 2, 3, 6• Handiena 6• ZKH (30, 42) = 6
ZKH (600, 315)• 600 = 23 · 52 · 3315 = 32 · 5 · 7• ZKH (600, 315) = 3· 5• ZKH (600, 315) = 15
B8 Autonomia etaekimen pertsonala
ariketak
75. Jonek 120 mineralez osatutako bilduma bat du, etakaxatan gorde nahi du, kaxa bakoitzean mineralkopuru bera izango dela. Zenbat modutan egindezake hori, kaxa bakoitzean bi mineral bainogehiago egoteko moduan?
76. Mirenek 60 liburu ditu; paketetan gorde nahi ditu,pakete bakoitzean liburu kopuru bera jarriz. Zen-bat modutan egin dezake hori, pakete bakoitzeangutxienez 3 liburu eta gehienez ere 12 sartuz?
77. Sagu batek 12 segundo behar ditu pista zirkular batosorik egiteko; beste batek, berriz, 16 segundo be-har ditu horretarako. Bi saguak leku beretik eta aldiberean ateratzen dira, eta 3 minutu eta 12 segun-dotan bukatzen dute lasterketa. Zenbat aldiz aur-kitzen dira elkarren ondoan lasterketa horretan?
ZZAATTIIGGAARRRRIITTAASSUUNN PPRROOBBLLEEMMAAKK
78. Baserri batean arrautza-bilketa egin dute; 700arrautzatik 800era bitartean bildu dituzte. Dozena-kopuru zehatza jaso dute, eta 15 arrautzako pake-tetan ere zehazki sartuko lirateke. Zenbat arrautzabildu dituzte?
79. Bonboi-pila bat daukat: 100dik 300era; 6 bon-boiko kaxatan jartzen baditut, ez zait batere gera-tzen. 8 bonboiko kaxatan jartzen baditut ere, ez zaitbatere geratzen Zenbat bonboi ditut?
80. Zenbait ikasgela elkartu dira, ikasle sail handi batizateko; matematika-lanetarako binaka elkartzendira, hizkuntza-lanetarako hirunaka, gizarte-lane-tarako launaka, eta soinketarako bosnaka. Era guz-tietara ere, beti geratzen da ikasle bat taldeansartu ezinda. Zenbat ikasle dira gutxienez, soluzioaizateko?
ERABAKIAKHARTZEN
AUTONOMIARENBIDEAK
aritm
etik
a
38
ariketak
81. Txema gozokigile aparta da, eta gaur goizeko 10baino lehen prestatuak zituen txokolatezko 120gozoki, esnegainezko 150 eta merengezko 180. Go-zoki kopuru berbera izango duten pilatan bildunahi ditu, gozoki bat ere kanpoan geratuko ez denmoduan. Idatzi horretarako dituen moduak.
84. Belenen autoak 18 urte ditu dagoeneko; 4.000 km-zbehin mekanikariaren lantegira joan behar du ni-belak begiratzeko eta 18.000 km-z behin olioa al-datzera. Gaur, uztailak 7, San Fermin egunez, Bele-nek bi azterketak eginda hartu du autoa. Zenbatkilometro egin beharko ditu berriro bi azterketakbatera egin behar izateko?
85. Uxue mundu osoko posta-txartelen bilduma bat arida egiten; 700 ditu dagoeneko, eta kaxa desberdi-netan bildu nahi ditu; kaxa bakoitzean posta-txar-telen kopuru berbera eduki nahi du, ordea; zenbatmodutan antola ditzake, kaxa bakoitzean 20 posta-txartel baino gehiago baino 60 baino gutxiagoedukitzeko?
86. Murfhinen gazteluaren elezaharrak dioenez, harenfantasma 15 urtez behin agertzen da, eta harenemaztearena 20 urtez behin. Idoia gaztelu hartanegon zen egunean, biak batera agertu zitzaizkioneta izututa utzi zuten; noiz agertuko dira berrirobiak batera?
87. Julio Europako triatloi-txapelketa handi baterakoprestatzen ari da; lanpetuta dago, ordea, eta ez duasti askorik; horregatik, ongi prestatzeko, 5 egunezbehin lasterketa egiten du, 18 egunez behin txi-rrindularitza-prestaketa, eta 15 egunez behin ige-riketa; zenbat egunez behin egiten ditu hiru saioakbatera?
82. Udan Gamarrako igerilekura doan autobusa 20minutuz behin igarotzen da eta Mendizorrotzakoigerilekura doana 25 minutuz behin. Evak ikusiduenez, goizeko 10etan biak batera igaro dira; noizigaroko dira berriro biak batera?
83. Kepa oso pertsona ordenatua da; eskerrak, dendanmilaka botoi ditu-eta. Bi kaxatan dauzka ordenatuta.Kaxa beltzean 24na botoiko poltsatxotan dauzkagordeta, eta ez da bat ere kanpoan geratzen. Kaxagorrian 20na botoiko poltsatxotan dauzka, eta har-tan ere ez da bat ere kanpoan geratzen. Kepak ba-daki botoi kopuru bera daukala kaxa beltzean etagorrian. Zenbat botoi ditu Kepak kaxa bakoitzean?(izan daitezkeen soluzio guztietatik, txikiena askidugu).
aritm
etik
a
39
ariketak
a b b
aba
a b
a
b
a b
n n
nn
n
n
n
n n
=
=
$ $
! !!
88. Zenbaki osoekin eragiketak
a) 2 : ( –2) – (11 – 7 – 1 ) · (–1) – ( 10 –3 – 5) =
b) [–10 : (17 – 12) + 2 · (–8 + 5)] – 2 · [8 · (–5 + 3) –32 : (45 – 29)]
c) 12 – 11 · (4 – 5) – [3 – 3 – 10 · (–1)] –11 · [7 + 8 · (–1)] =
d) 10 – 2 · {3 – (4 – 6) · (–2) – [4– (–1) –1]} =
e) {3 : (–3) · (–1) – (5 – 5 + 2)} – {[2 · (–1)] : [2: (–1)]} =
89. Kalkulatu
a) (–2)4 c) –24 e) (–10)3 g) –52
b) 5–2 d) (–1)35 f) 53 h) (–5)–3
90. Kalkulatu
a) c) e) g) i)
b) d) f) h) j)
91. Estimatu
92. Osatu [(–2)2]3 · (–2)3 · 24 = 2
93. Kalkulatu algoritmoa erabiliz
94. Kalkulatu (3 + 4 – 8)2 =
95. Egia / gezurra.
a) d)
b) (3 – 4)2 = 32 – 42 e) 3–2 = (–3)2
c) = –5 f) (–1)30 + (–1)31 = 0
96. Erroketen propietateak.
25-
25 9 25 9+ = +x x
x x x4
2 52=
$$ +
4.225
450
25641253 - 196 625 64-
900121 16 07 ( 7) 2-
a) = c) =
b) = d) =
e) Egiaztatu 9 16 9 16+ +!
494 0,25
6.400 9 16$
97. Zenbaki osoak + berreketak
Gogoratu:
Gogoratu: (2 – 3)4 = (–1)4 = +1
a) –32 – 22 – [(5 – 7)2 · 2 –23 : 4]2 =
b) –32 + (4 – 8) : 22 – 4 : (1 + 3 – 2)2 =
c) 4 – 32 · 22 – [–8 – (–3)2 – (–5)] =
d) [–52 – (–5)2] – [(–3)2 – 32] =
e) 32 – 22 · [3 · (–2 + 3)2 – (3 · 6 · 2)] =
f) 92 : 3 – 2 (–8)2 – 3 + 12 · (–2)2 =
g) (3 –5)2 : [(33 : 11)2 – 23] =
98. Osatu
a) b)
99. denez, egin dezakezu
Hau kontutan hartu eta egin
a) = c) =
b) = d) =
xx
xx x
x1
x12
23 3= = = =-
yy
2
6
x xx3 4$ $
bb5
a a3$
ba
ba=
cc c c
3 2 4
=] g
3 33 3 34 0 1
2 1 3
=$$- -
-66
@@
3. LANAZENBAKI BITXIEN BILA
23 PANDA ZENBAKIAK. 360 zenbakia 23z zatituz, ateratzen denzatidura hondarraren berdina da; 23 panda-zenbakia esatenzaio.a) Bilatu 100 baino txikiagoak diren 23 panda-zenbaki guztiak.b) 5 panda-zenbakirik izango ote da? Eta 9 panda-zenbakirik?
Beste panda-zenbakirik aurkitu duzu?
Taldeko lanaZER IKASIKO DUZU? LAN HONEK HONETARAKO BALIOKO DIZU:
• Batzuetan egoera baten emaitza topatzeko saiakuntza-hutsegite estrategia aplikatu.
• Ikertzen, probatzen, saiatua izaten baldintza batzuk bete behar dituzten zenbakiak bilatzen. Ez konformatzen edozein
soluziorekin, soluzio sakonagoak bilatzen ahalegintzen…
NOLA LANDUKO DUZU?
• Landuko duzun problema zure taldeko beste kide batek aurkeztuko du; horregatik zure erantzukizuna izango da problema
ongi ulertzea eta taldekide horri ongi ulertu duela ikusten duzun arte ongi azaltzea.
• Zure problemaren azalpena irakasleak esaten dizun bezala prestatuko duzu ( gardenkiak, Power Point, kanoia…)
• Zure eginkizuna da zure azalpenaren bidez, problema hori ikasleen aurrean azaldu behar duen ikaskidea seguru eta eroso
sentitzea.
1. LANAOSO KUBO BEREZI BAT
Irudikatu kubo bat.a) Jarri batetik zortzira bitarteko zenbakiak kuboaren erpinetan,
aurpegi bakoitzeko batura beti berdina izateko moduan.b) Jarri zerotik zazpira bitarteko zenbakiak kuboaren erpinetan,
aurpegi bakoitzeko batura beti zenbaki lehena izateko mo-duan.
2. LANATRIANGELU MAGIKOA
Hemen ikusten duzun triangelu hau oso berezia da. Triangelutxobakoitzean agertzen den zenbakia, inguruan dituen hiru trian-gelutxoetan agertzen diren zenbakien batura da. Alde bakoitzeanlau triangelutxo dituenez, 4. dimentsiokoa dela esango dugu.a) Asmatu 3. dimentsioko triangelu magiko bat.b) Asmatu 4. dimentsioko beste triangelu magiko bat.
4. LANA:ZENBAKI OREKATUAK ETA OREKA GABEAK
12 zenbakiak sei zatitzaile ditu: 1, 2, 3, 4, 6 eta 12 HorietatikLAU bikoitiak dira (2, 4, 6, 12) eta BI bakoitiak. Zenbaki orekagabea dela esaten dugu. Zenbaki orekatua izateko, zatitzaileguztiek izan behar dute (1 salbu, jakina!).
a) Bilatu zenbaki orekatuak.
b) Bilatu zenbaki sasiorekatuak, zatitzaileen erdiak bikoitiak di-renak, alegia.
B1 Matematika-gaitasuna
B2 Hizkuntza-gaitasuna
B3 Zientzia, teknologiaeta osasun gaietako
kultura
B4 Ikastenikastea
B5 Informazioarenerabilera eta
gaitasun digitala
B6 Gaitasunhumanistikoa
eta arte-gaitasuna
B7 Gaitasun sozialaeta herritar-gaitasuna
B8 Autonomia etaekimen pertsonala
Zer gaitasunan lantzen dira?* Lan hau banaka ere egin daiteke, irakasleari hala iruditzen bazaio.
DENOK ELKARREKINLAN EGITEN EZ BADUGULANA EZ DA BURUTZEN
aritm
etik
a
40
63–5 2
–2–3 6 5 –356 2 3 –5 –2 6
aritm
etik
a
41
Zenbaki arruntak eta zenbaki osoak - SINTESia
1. Osatu esaldi hauek zenbakien multzoan.
a) Zenbaki arrunt guztiak zenbaki …………… dira.
b) Zenbaki osoak, zenbat eta ………………… egon,orduan eta txikiagoak dira.
c) Zenbaki arruntak …………… letra bidez izenda-tzen dira eta zenbaki osoak Z ……………………
d) Z + = N berdintzak esan nahi du ………………………………………………………………………
e) N � Z adierazpenak, esan nahi du ……………………………………………………………………
f) –3 �– N ( �– ez dago barruan) adierazpenak hauesan nahi du: …………………………………
2. Zenbaki osoen propietateak.
a) a + b = b + a ………. propietatea da; hau esannahi du: ……………………………………………
b) ……….. banatze-legea da eta hau esan nahi du:………………………………………………………
c) –3 + 3 = 0 denez, honek esan nahi du – 3 zenba-kia 3 zenbakiaren ……………… dela.
d) ……………… denez, horrek esan nahi du zen-
bakia 4 zenbakiaren alderantzizko elementua dela.
3. BERREKETAK / ERROKETAK
a) Erroketak ………… kontrako eragiketak dira.
b) ab berreketan a………… deitzen da eta b ……….
c) erroketan a………. deitzen da eta b …………ab
41
4. Berreketen propietateak. Osatu mapatxo hau.
5. Zatigarritasuna. Osatu esaldiak:
a) Zenbakiak biderkagai lehenetan deskonposatu……………mkt eta ZKH ………
b) mkt bilatzeko bi bide desberdin ditugu …. eta ….
c) Zatigarritasuna zenbakien ………… da.
d) mkt eta ZKH kalkulatzeak ………. balio du.
6. Esaldi hauek kontuan hartuz, osatu mapa hau.
Berreketenpropietateak
Izenburua jarri Frogatu
Zer egiten dugu
dira
an · am = an+m
Zenbakiak biderkagi lehenetan
aljebranzatikieneragiketakegiteko
balio du
aukera daiteke
balio dute
EEBBAALLUUAAZZIIOO IIRRIIZZPPIIDDEEAAKKLLaanndduu dduuzzuunnaa oonnggii mmeennddeerraattzzeenn dduuzzuullaa eessaatteekkoo
iirraakkaasslleeaakk kkoonnttuuaann hhaarrttuukkoo ddiittuueennaakk..
EEDDUUKKIIAAKKZZeerr llaanndduu dduuzzuu??
aritm
etik
a
42
Zenbaki arruntEN eta zenbaki osoak - autoebaluazioa
1. ZZeennbbaakkii oossooaakk eettaa bbeerrrreekkeettaakk.
a) – 4 – 2 · (1 – 4) + 6 · [8 + (–4) · (3 – 6)] =
b) 10 : [15 – 12 : (9 –11)] =
c) [–5 – (–15)] –8 + 3 : [(–2)2 : (9 –13)] =
Badakit, eragiketen hierarkia aplikatuta eragiketa luzeak
trebetasunez egiten.
2. AAkkaattssaakk iiddeennttiiffiikkaattuu. Azaldu zein motatako akatsak diren.
3. BBeerrrreekkeetteenn eessaannaahhiiaa.
a) Egia al da berreketa baten berreketa egiteko berrekizun
berdina jartzen dela eta berretzaileak batu egiten direla.
Jarri adibide bat.
b) Osatu 120 = ................... eta frogatu emaitza hau mon-
dik ateratzen den.
c) Hiztegia
� b ...........ab
� a ...........
Badakit esaldi batek adierazten duena ulertzen eta azaltzen.
Frogantzen pausoak ulertzen ditut.
Hiztegi egokia erabiltzen dut: berrekizun, berretzaile, erroki-
zun, errotzaile.
4. BBeerrrreekkeetteenn pprrooppiieettaatteeaakk.
a) (22 · 25)3 : 210 =
b) [84 · (–5)4] : (–20)4 =
c) 104 : (25 · 55) =
d) 93 : 32=
d) 252 · (53 · 52 · 5)2 =
Onartzen dut propietateak legeak direla eta modu egokian
aplikatu behar ditugula.
5. EErrrrookkeetteenn eessaannaahhiiaa.a) Zenbat balio du Zergatik?b) Osatu hutsuneak
15 =-100.000 10=
1212 =33 =-
49Badakit erroketak berreketen aurkako eragiketak direla.
9 –3 · (–2) + 10 : 2 =9 – 6 + 10 : 2 =
9 + 4 : 2 =13 : 2 = 6,5
12 – 5 · (–2)2 – (1 – 3)2
12 + 5 · 22 – 12 – 32
12 + 102 – 1 – 912 + 10 – 10 = 102
Badakit akats larriak eta arinak identifikatu eta desberdin-
tzen.
Badakit akatsak zuzentzen.
a ..........b .........ab
aritm
etik
a
43
EEBBAALLUUAAZZIIOO IIRRIIZZPPIIDDEEAAKKLLaanndduu dduuzzuunnaa oonnggii mmeennddeerraattzzeenn dduuzzuullaa eessaatteekkoo
iirraakkaasslleeaakk kkoonnttuuaann hhaarrttuukkoo ddiittuueennaakk..
EEDDUUKKIIAAKKZZeerr llaanndduu dduuzzuu??
Zenbaki arruntEN eta zenbaki osoak - autoebaluazioa
7. EErrrrookkeetteenn pprrooppiieettaatteeaakk erabiliz, kalkulatu
Egiaztatu:100 49 1.000 49+ +!
8 8 427
5 80 x
2
1.000 144121
x
3
3
34
3
4
= =
= =
= =
$ $
$ $
Ezagutzen ditut eta ondo aplikatzen ditut erroketen propie-
tateak.
8. ZZaattiiggaarrrriittaassuunnaa::a) 4 eta 28 zenbakien artean bada zatigarritasunezko erla-
zioa; zergatik?b) ZUZEN / OKER
• Zenbaki batek infinitu zatitzaile ditu.• 2.345 zenbakia hiruren multiploa dela esan dezakegu
zatiketa egin gabe.• 9 = 22 + 5 hau da 9 zenbakiaren deskonposaketa zen-
baki lehenetanc) Kalkulatu
mkt (280, 175) etaZKH (90, 250)
d) Zatigarritasunaren aplikazioa:Buruketak1. 120 leka-pote eta 90 alkatxofa-pote banatzeko kaxak
aurkitu behar ditugu. Tamaina bereko kaxak nahi di-tugu, ahalik eta handienak. Zenbat poto sartuko dirakaxa bakoitzean?
2.Atletismo-txapelketa batean bi lasterkarik, Jon Gon-zalezek eta Mikel Gomezek, egin behar duten zirkui-tuaren itzulia egiteko zenbat denbora behar dutenneurtu da. Jonek 12 minutu eta Mikelek 18. Zenbatitzuli egingo ditu bakoitzak, biak berriro hasieran el-karrekin topo egiten dutenerako?
ZUZEN / OKER.
Badakit zatigarritasuna zenbakien arteko erlazio mota bat
dela.
Arrazoi zuzenak ematen ditut, erabili den propietatea azalduz,
berdintza baten bi aldeetan dauden adierazpenak desberdinak
direla egiaztatzen, adibideak ematen egia denean…
mkt et ZKH kalkulatzeko algoritmoa trabetasunez erabiltzen
dut.
Problemak ebazten:
• eskemak, marrazkiak egiten ditut
• jarraitutako prozesua argi adierazten dut
• soluzioa baloratzen dut eta modu egokian adierazten dut.
6. EErrrrookkeetteenn kkaallkkuulluuaa..
a) Kalkulatu hurrengo erroketak baldin eta existiten ba-
dira.
b) Estimatu erroketa honen balioa
c) Kalkulatu algoritmoa erabiliz.61.504
500
1.000 81
1 4.900
425 12
3
7
33
= =
= =
= =
- -
-
Erroketak kalkulatzeko modu bat baino gehiago dakit: karratu
eta kubo perfektuak, estimazioa, algoritmoa eta propietateak.
