David Fielker

39NämNareN  Nr 2 • 2011

StjärnmönsterFrån den danska Matematik kommer denna artikel som behandlar mellanrummen som uppstår när vi lägger stjärnor intill varandra. Olika antal spetsar på stjärnorna och olika sätt att placera dem ger upphov till olika former på hålen. Hur ser mönstren ut? Vilken roll spelar vinklarnas storlek?

Når man arbejder meget med mønstre, er det muligt at man bliver lidt træt af de sædvanlige, og man prøver derfor at finde noget nyt. En ide som jeg har beskæftiget mig med, er at bruge stjerner. Det er ikke muligt at sætte selve stjernerne sammen uden at man får andre former indi-mellem, men så kan man undersøge de forskellige [olika] ‘huller’ man kan skabe mellem stjernerne.

Den nemmeste stjerne er måske en sekstakket fordi den kan laves af regu-lære trekanter, og de kan tegnes på isometrisk papir (trekantpapir) [1].

Den nemmeste måde et par kan sættes sammen på, er sådan [2]:

Hvad sker der når vi fortsætter på den måde [3]? Ja, det er pænt nok! Før vi for-lader [lämnar] denne, så lad os se hvad vi får når vi fjerner nogle stjerner [4]:

Kan man fortsætte på den måde? For at lave andre mønstre kan man først undersøge andre måder to stjerner kan sættes sammen på [5].

Tag hvert par og undersøg hvilke andre mønstre der kan laves når flere stjerner sættes sammen på den samme måde. Somme tider er der flere muligheder [6].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

40 NämNareN  Nr 2 • 2011

Det er ikke nødvendigt at den sekstakkede stjerne har vinkelspidser der er 60 grader. En interessant mulighed er den her hvor de udvendige vinkler mellem takkerne er rette vinkler [7]. (Man kan selvfølgelig regne størrelsen af vink-lerne i stjernetakkerne ud.)

Nu er det muligt at danne kvadrater [8]:

Og man kan fortsætte [9]:

Prøv med andre muligheder [10]:

Og hvad kan laves med den her [11]?

Det er temmelig nemt at konstruere en firetakket stjerne ved at sætte regulære trekanter rundt omkring et kvadrat [12]. Dette mønster viser nogle af de måder de kan sættes sammen på [13].

Her er nogle andre forslag [14]:

[7][8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

41NämNareN  Nr 2 • 2011

Man kan lave en ottetakket stjerne ved at sætte to kvadrater sammen [15].

[15]

[16]

[17]

[18]

Når man sætter disse sammen, kan det blive dejlig indviklet [16]!

Andre muligheder er måske mere ligetil [okomlicerade] [17]:

Men hvis man sætter to sider sammen, får man nye muligheder [18]:

Jamen. Der findes en masse muligheder for undersøgelser, for fantasi, for eks-perimenter, for problemløsning osv. Oven i købet får man en følelse [känsla] for symmetri, og man kan forstå hvorfor vinkler på 90 og 60 grader er vigtige i denne sammenhæng. Men somme tider føler man som lærer at det ikke er rig-tig matematik hvis der ikke er noget at regne ud, dvs hvis tal og regning ikke dukker op i billedet!

Men bag spørgsmålene er der altid ’rigtig’ matematik. Fx følgende spørgs-mål til vinklerne:

Er der en sammenhæng mellem størrelsen af stjernetakkerne og de udvendige vinkler mellem takkerne?

42 NämNareN  Nr 2 • 2011

Lad os starte med et specielt tilfælde. Den sidste stjerne vi kiggede på, var ottetakket med en stjernetak på 90 grader.

Hvad hvis de udvendige vinkler mellem stjernetakkerne er 90 grader i stedet? Hvor mange grader er stjernetakkerne så?

Man kan konstruere stjernen sådan [19] og så er det klart hvad stjernetakkerne må være! Også selv om man begynder med stjer-nen [20] er det nemt at tegne hjælpelinjer [21]:

[19]

[22]

[21][20]

Nu er det temmelig nemt at se hvor mange grader stjernetakkerne er. Ja, det er måske mere interessant at lege med mønstrene [22].

Men lad os undersøge noget mere udfordrende. Er det muligt at lave en tre-takket stjerne? Måske tænker man først på en trekant [23], men det er svært at betragte den som en stjerne med takker på 60 grader og vinkler mellem tak-kerne på 180 grader.

Hvad hvis vinklerne var 30 grader i stedet for 60? Hvor store er så de udvendige vinkler mellem stjernetakkerne [24]?

Og endelig kan man spørge:

Findes der en formel for bestemmelse af vinklerne mellem stjernetakkerne hvis stjernen har n takker og størrelsen af takkerne er x grader?

[23]

[24]