Das Prinzip des Cavalieri bei Das Prinzip des Cavalieri bei der Einführung der der Einführung der der Einführung der der Einführung der Volumenformel für eine Volumenformel für eine Pyramide Pyramide Kristin Hille und Axel Heider

Vergleicht die Körper. Was lässt Vergleicht die Körper. Was lässt sich über die einzelnen Volumina sich über die einzelnen Volumina aussagen?aussagen?

IntegralrechnungIntegralrechnung

GruppenarbeitGruppenarbeitGruppenarbeitGruppenarbeit

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

� K – Körper im (n+1)-dim. Raum

� Betrachte Intervalle

qp yxyxf ℜ∈ℜ∈ ,),,(

qp II ℜ⊂ℜ⊂ ,� Betrachte Intervallesodass

� Zerlege und in i bzw. j Abschnitte⇒Viele kleine „Kästchen“

yx II ℜ⊂ℜ⊂ ,

nqpIIIK nyx =+ℜ⊂××=⊂ + ,],[ 1βα

xI yI

ijK

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

Zerlegung Z:

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

„Säule über einem Feld“:

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

� Minima

� „Fläche“ über einem bei ix ∆

),(min,

yxfmji yyxx

ij ∆∈∆∈=

� „Fläche“ über einem bei festem

� Alle „Flächen“ über bei festem

ix ∆

∫∆≤∆ixiij dxyxfxm

),(| |

∫∑ ≤∆xI

iiij dxyxfxm ),(| |

jyy ∆∈

jyy ∆∈ xI

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

� Integration über :jy ∆

∫∫∑ ∆≤∆

jx yIi

iij dxyxfxm | ),(| |

dydxyxfxmy Iy iij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆

≤∆ dydxyxfxmj xj y Iy

iiij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆

≤∆

dydxyxfyxmj xy I

iiiij )),((| || | ∫ ∫∑ ∆

≤∆∆

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

� Integration über :jy ∆

∫∫∑ ∆≤∆

jx yIi

iij dxyxfxm | ),(| |

dydxyxfxmy Iy iij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆

≤∆

� Summierung über alle :

∫ ∫∑ ≤∆×∆=y xI I

jijiij dydxyxfyxmZs )),((| |)(

,

dydxyxfxmj xj y Iy

iiij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆

≤∆

dydxyxfyxmj xy I

ijiij )),((| || | ∫ ∫∑ ∆

≤∆∆

jy ∆

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

� Analog für die Obersumme:

∫ ∫y xI I

dydxyxf )),((

)(

| |,

ZS

yxMji

jiij

=

∆×∆≤∑

Der Satz von Der Satz von FubiniFubini

∫ ∫ ≤≤y xI I

ZSdydxyxfZs )( ) ),(()(

� Zerlegungs-nullfolge

)(lim)(lim0,0,

ZSZsjiji yxyx →∆∆→∆∆

=

∫ ∫ ==y xI I

ZSdydxyxfZs )( ) ),(()(

Der Satz von Der Satz von FubiniFubiniSatz: Ist über integrierbar, so

Sei mit

∫ ∫ ∫ ∫ ∫==I I I I Iy x x y

dxdyyxfdydxyxfdxdyyxf )),(( )),((),(

),( 21 xxx = psrxx sr =+ℜ∈ℜ∈ ,, 21

III ×=

yx III ×=f

Corollar: Ist überintegrierbar, so gilt

21 xxx III ×=

nnn babaI ℜ⊂××= ],[],[ 11 ⋯f

∫ ∫ ∫=I

b

a

b

a nn

n

n

dxdxxxfdxxf1

111 ),,()( ⋯…⋯

Die charakteristische FunktionDie charakteristische Funktion

=)(xcM

Mx ∈ falls ,1

onst ,0 s

)(

1

)1( Mvol

abccb

a

b

a MI M

=

−=== ∫∫∫)())((

)(1

)2( Mvolcdab

cdcb

a

b

a

d

c

b

a

d

c M

=−−=

−== ∫∫ ∫∫ ∫

Die charakteristische FunktionDie charakteristische Funktion

)())()(( )3( Mvolefcdabccb

a

d

c

f

e MI M =−−−== ∫ ∫ ∫∫

Die charakteristische FunktionDie charakteristische Funktion

∫=I McMvol )()3(

Das Das CavalierischeCavalierische PrinzipPrinzip

� K – Körper im�

�

„Ebenenschnitt“

3ℜ],[,),(),,,( 2 βα=ℜ∈= tyxtyxP

}),,(:),{( 2 KtyxyxK t ∈ℜ∈=„Ebenenschnitt“

� Sei ein Intervall, sodass2ℜ⊂× yx II

IIIK yx :],[ =××⊂ βα

∫ ∫∫ ×=

β

αdtdxdytyxcdxdydttyxc

yx II K

Fubini

I K )),,((),,(

Das Das CavalierischeCavalierische PrinzipPrinzip

∫ ∫∫ ×=

β

αdtdxdytyxcdxdydttyxc

yx II K

Fubini

I K )),,((),,(

1),,( =tyxcK

tKyx ∈⇔ ),( 1),( =⇔ yxctK

∫ ∫

∫

×=

=β

αdtdxdytyxc

dxdydttyxc

Kvol

yx II K

I K

)),,((

),,(

)()3(

tKyx ∈⇔ ),( 1),( =⇔ yxctK

∫ ∫ ×=

β

αdtdxdyyxc

yxtII K )),((

Körpergesamter als - K

itt"Ebenenschn" als - KK t ⊂

Das Das CavalierischeCavalierische PrinzipPrinzip

Satz:

Besitzen zwei Körper mit gleicher Höhe und gleichem Grundflächeninhalt in und gleichem Grundflächeninhalt in jeder zur Grundfläche parallelen Ebene eine gleich große Schnittfläche, so sind sie stets volumengleich.

Wege zur Vermutung einer Wege zur Vermutung einer Volumenformel für PyramidenVolumenformel für Pyramiden

ArbeitsaufträgeArbeitsaufträgeArbeitsaufträgeArbeitsaufträge

Arbeitsauftrag 1Arbeitsauftrag 1

Arbeitsauftrag 2Arbeitsauftrag 2

Arbeitsauftrag 3Arbeitsauftrag 3

Arbeitsauftrag 4Arbeitsauftrag 4

Pyramidenvolumen V=1/3Pyramidenvolumen V=1/3··A(GA(G))··h h

Satz:

Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und gleich großem Grundflächeninhalt besitzen das gleiche Volumen.

Volumenvergleich zweier Volumenvergleich zweier PyramidenPyramiden

EEEETSERDAA RD ′∈⊂= |||| ; , ; , ; 2121

hhk

TS

∗=

•

or Streckfaktmit

Streckungr zentrische

Zentren : ,

RRDD ′→′→• ,

ähnlich

sind und , und RRDD ′′•

hk =or Streckfaktmit

ktsfaktor Ähnlichkei •

RRDD AAkAkA ′′ =⋅=⋅= 22

Satz Cavalieri⇒

Beweis der Volumenformel für Beweis der Volumenformel für PyramidenPyramiden

Guido Fubini* 1879 † 1943

Bonaventura Francesco Cavalieri* 1598 † 1647

DiskussionDiskussion

Inwieweit lässt sich das Prinzip des Cavalieri im Unterricht begründen? Ist Cavalieri im Unterricht begründen? Ist eine exakte Begründung überhaupt erforderlich?